Transferts thermiques

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• distinguer les trois modes de transfert thermique — conduction, convection, rayonnement —, manier le flux $\Phi$ et la densité de flux $\phi$, et énoncer la loi de Fourier avec les ordres de grandeur des conductivités;
• établir l'équation de la chaleur à une dimension par un bilan d'énergie sur une tranche, l'énoncer à trois dimensions et interpréter la diffusivité $D_{\mathrm{th}}$ et le temps de diffusion $L^2/D_{\mathrm{th}}$;
• calculer un régime permanent: profil linéaire dans un mur plan, résistances thermiques en série et en parallèle, coefficient $U$ d'une paroi composite et températures d'interface, résistance logarithmique d'une conduite;
• appliquer la loi de Newton de la convection, situer les coefficients $h$, traiter le refroidissement exponentiel d'un corps à température uniforme et justifier cette hypothèse par le nombre de Biot;
• résoudre la diffusion instationnaire dans un solide semi-infini par la fonction erf, estimer une profondeur de pénétration par $\sqrt{D_{\mathrm{th}}t}$ et l'appliquer à l'onde thermique journalière ou annuelle;
• utiliser les lois du corps noir (Planck, Stefan–Boltzmann, Wien), l'émissivité et l'échange radiatif net entre un corps et son enceinte, et calculer la température d'équilibre radiatif de la Terre.

Trois modes de transfert

La chaleur en mouvement

Jusqu'ici, ce cours a traité la chaleur comme une quantité échangée entre deux états d'équilibre: le chapitre 3 l'a définie comme le transfert d'énergie qui n'est pas un travail macroscopique, et le chapitre 5 a montré qu'elle passe spontanément du chaud vers le froid, jamais l'inverse. Ces deux principes disent combien d'énergie passe et dans quel sens; ils ne disent rien de la vitesse du passage. Or c'est souvent elle qui intéresse l'ingénieur. Une maison chauffée à 20 °C par −5 °C dehors ne tend pas vers un équilibre: elle perd de la chaleur en permanence, et la question est de savoir combien de watts il faut lui fournir. Une tasse de café chaud finira à la température de la pièce, le deuxième principe le garantit; il faut savoir en combien de minutes. Le présent chapitre répond à ces questions. Il quitte la thermodynamique des états d'équilibre pour celle des flux, avec trois mécanismes physiquement distincts.

• La conduction transporte l'énergie à travers la matière sans mouvement macroscopique de celle-ci: les molécules d'un gaz se transmettent leur énergie par collisions, les atomes d'un solide par leurs vibrations, et, dans un métal, les électrons libres en transportent l'essentiel. C'est le mode des murs, des casseroles et du sol.
• La convection transporte l'énergie par le mouvement d'un fluide: l'air chaud qui monte au-dessus d'un radiateur emporte avec lui son énergie interne. On la dit naturelle (ou libre) quand le mouvement est créé par les différences de masse volumique dues à la température elle-même, forcée quand un ventilateur, une pompe ou le vent l'imposent. Au contact immédiat d'une paroi, le fluide est immobile et la chaleur y passe par conduction; la convection est donc une conduction couplée à un écoulement.
• Le rayonnement transporte l'énergie par des ondes électromagnétiques, émises par toute matière du seul fait de sa température. Il n'a besoin d'aucun milieu: c'est par lui seul que l'énergie du Soleil traverse 150 millions de kilomètres de vide.

Dans une situation réelle, les trois modes coexistent. La chaleur qui quitte un séjour passe de l'air de la pièce à la face intérieure du mur par convection et par rayonnement (la paroi échange aussi avec les autres surfaces de la pièce), traverse le mur par conduction, puis quitte sa face extérieure à nouveau par convection et rayonnement. L'art du sujet consiste à reconnaître le mode qui limite le flux et à modéliser chaque étape le plus simplement possible.

Flux et densité de flux

Le flux est donc une puissance, et la chaleur échangée pendant une durée finie est son intégrale, $Q=\int \Phi \mathrm{d}t$. Le signe d'un flux dépend du sens choisi pour la surface; dans un bilan d'énergie, nous gardons la convention du cours: la chaleur reçue par le système est positive (chapitre 3). Lorsque nous parlerons du flux «à travers le mur», il sera compté positivement de l'intérieur vers l'extérieur, et nous le dirons.

La conduction et la loi de Fourier

Énoncé

La conduction obéit à une loi expérimentale établie par Joseph Fourier dans sa Théorie analytique de la chaleur (1822). Elle relie localement la densité de flux au gradient de température, tel que l'Analyse II l'a défini au chapitre 4 («Gradient, dérivées directionnelles et règle de la chaîne»).

À une dimension, le contenu de (12.2) est simple: si la température décroît quand $x$ croît ($\partial T/\partial x<0$), la densité de flux ${\phi }_x$ est positive, la chaleur avance vers les $x$ croissants. Plus la pente du profil est forte, plus le flux est intense, et un même flux exige une pente d'autant plus forte que le matériau conduit mal.

Ordres de grandeur des conductivités

Le tableau suivant rassemble des valeurs typiques à température ambiante: celles des solides varient selon la composition, la densité et l'humidité, et ne doivent être prises que comme ordres de grandeur. Les valeurs de l'air et de l'eau ont été calculées avec CoolProp à 20 °C et 1 atm. Le béton et la laine minérale sont ceux du mur témoin du chapitre.

Entre le cuivre et l'air, la conductivité varie d'un facteur de l'ordre de $15000$, plus de quatre ordres de grandeur. Trois lectures de ce tableau reviendront tout au long du chapitre. Les métaux conduisent bien parce que leurs électrons libres transportent l'énergie en même temps que la charge, ce qui explique que les bons conducteurs électriques soient aussi de bons conducteurs thermiques. Les gaz conduisent mal, parce que leurs molécules sont peu nombreuses par unité de volume. Et les isolants du bâtiment — laines minérales, mousses, fibres de bois — tirent leur performance de l'air qu'ils emprisonnent: la laine minérale a une conductivité à peine supérieure à celle de l'air immobile, et les fibres n'ont pour fonction que d'empêcher cet air de bouger, c'est-à-dire de supprimer la convection.

L'équation de la chaleur

Le bilan d'une tranche

La loi de Fourier donne le flux quand on connaît le champ de température. Pour trouver ce champ, il faut une seconde relation: la conservation de l'énergie. Elle conduit à l'équation aux dérivées partielles centrale du chapitre.

Démonstration. Délimitons le système: la tranche de matériau comprise entre les abscisses $x$ et $x+\mathrm{d}x$, de section $A$ perpendiculaire à l'axe. C'est un système fermé (la matière ne bouge pas), qui ne reçoit aucun travail: le solide est supposé incompressible, si bien que le travail des forces de pression est nul et que $c_p$ et $c_v$ se confondent en une seule capacité $c$ (modèle incompressible, chapitre 8). Son énergie interne est pour une variation de température , la tranche étant assez mince pour que sa température soit uniforme.

Pendant $\mathrm{d}t$, la tranche reçoit par sa face gauche la chaleur ${\phi }_x(x,t)A\mathrm{d}t$ (positive si la chaleur entre, c'est-à-dire si elle va vers les $x$ croissants) et par sa face droite la chaleur $-{\phi }_x(x+\mathrm{d}x,t)A\mathrm{d}t$ (ce qui sort vers les croissants est perdu). Le premier principe, , s'écrit

Après division par $A\mathrm{d}x\mathrm{d}t$, il reste l'équation locale de conservation de l'énergie

Elle est générale: elle dit qu'un point se réchauffe là où il entre plus de chaleur qu'il n'en sort. La loi de Fourier (12.2), avec $\lambda$ constant, donne $-\partial {\phi }_x/\partial x=\lambda {\partial }^{2}T/\partial x^2$, d'où (12.3) après division par $\rho c$. À trois dimensions, le même bilan sur un petit parallélépipède fait apparaître la somme des trois différences de flux entre faces opposées, c'est-à-dire la divergence: , et , d'où (12.4).

La distinction entre $\lambda$ et $D_{\mathrm{th}}$ est importante. Un matériau peut bien conduire et pourtant réagir lentement, parce qu'il doit stocker beaucoup d'énergie pour changer de température ($\rho c$ grand): c'est le cas du béton et de l'eau. Pour le béton témoin, de masse volumique $2400$ kg/m³ et de capacité thermique massique $880$ J/(kg·K) (valeurs typiques),

Celle de l'eau à 20 °C, calculée avec CoolProp, vaut $1,432\cdot 10^{-7}$ m²/s, celle de l'air immobile $2,135\cdot 10^{-5}$ m²/s: l'air conduit vingt-trois fois moins bien que l'eau, mais il «diffuse» la température cent cinquante fois plus vite, parce qu'il faut très peu d'énergie pour le chauffer.

Le temps de diffusion

L'équation (12.3) contient une loi d'échelle qu'il faut savoir lire avant toute résolution. Si l'on remplace $x$ par $kx$ et $t$ par $k^{2}t$, les deux membres sont multipliés par le même facteur $1/k^2$: toute solution, dilatée d'un facteur $k$ en espace et $k^2$ en temps, reste une solution. Une perturbation de température parcourt donc une distance en un temps de l'ordre de

Le temps croît comme le carré de la distance. Pour le béton témoin, la chaleur met de l'ordre de $L^2/D_{\mathrm{th}}=2,55$ h pour traverser $10$ cm, et $10,2$ h pour en traverser $20$ cm: doubler l'épaisseur quadruple le délai. Ce comportement est celui de toute diffusion, et le chapitre 13 retrouvera exactement la même équation pour la diffusion des molécules (loi de Fick), avec un coefficient $D$ à la place de $D_{\mathrm{th}}$ et la même relation pour une marche aléatoire.

Conduction stationnaire

Le mur plan

En régime permanent (ou stationnaire), plus rien ne dépend du temps: $\partial T/\partial t=0$. La paroi d'une maison chauffée par un temps froid et stable s'en approche bien, à condition de raisonner sur des moyennes de plusieurs jours.

Démonstration. En régime permanent, (12.3) se réduit à ${\mathrm{d}}^{2}T/\mathrm{d}{x}^2=0$: la dérivée $\mathrm{d}T/\mathrm{d}x$ est constante, et $T$ est une fonction affine de $x$. Les deux conditions $T(0)=T_1$ et fixent les deux constantes et donnent (12.6). La loi de Fourier donne alors , indépendante de , et est (12.7). L'uniformité du flux était d'ailleurs attendue: en régime permanent, une tranche du mur n'accumule pas d'énergie, donc ce qui entre par une face sort par l'autre.

Résistance thermique

La relation (12.7) a exactement la forme de la loi d'Ohm, $I=U/R$, avec le flux à la place du courant et la différence de température à la place de la tension. Cette analogie est plus qu'une image: elle permet de traiter des parois composées avec les règles des circuits électriques.

Démonstration. Série. En régime permanent, aucune énergie ne s'accumule aux interfaces: le même flux $\Phi$ traverse toutes les couches. Par (12.8), la chute de température dans la couche $i$ est $\Delta T_i=R_{\mathrm{th},i}\Phi$, et la chute totale est la somme des chutes, $T_1-T_{n+1}=\Phi {\sum }_i{R}_{\mathrm{th},i}$, ce qui identifie la résistance totale. Chaque élément est soumis à la même différence et laisse passer ; le flux total est . L'hypothèse cachée est que le flux reste perpendiculaire aux couches, sans passage latéral d'un élément à l'autre: c'est une approximation dès que les éléments ont des conductivités très différentes, et c'est elle qui est en défaut au voisinage d'un .

Une conséquence pratique de la règle de série: dans une paroi composite, la chute de température se répartit en proportion des résistances. La couche la plus résistante porte presque toute la différence de température, et c'est elle qui fixe le flux.

Échanges superficiels et coefficient U

Une paroi réelle sépare deux airs, pas deux surfaces de température imposée. Entre l'air de la pièce et la face intérieure du mur, la chaleur passe par convection et par rayonnement; on représente ce passage par une résistance superficielle intérieure $R_{\mathrm{si}}$, et de même $R_{\mathrm{se}}$ à l'extérieur. Pour un flux horizontal à travers un mur vertical, la norme européenne EN ISO 6946 adopte les valeurs conventionnelles $R_{\mathrm{si}}=0,13$ m²·K/W et m²·K/W; la seconde est plus faible parce que le vent active la convection au dehors. Nous comprendrons plus loin, avec le rayonnement, l'ordre de grandeur de .

Une remarque de notation s'impose. Dans le reste du cours, $U$ désigne l'énergie interne et $h$ l'enthalpie massique; dans ce chapitre seulement, nous suivons l'usage universel du bâtiment et des transferts thermiques: $U$ est le coefficient de transmission d'une paroi, et $h$, plus loin, le coefficient de convection. Le contexte et les unités, W/(m²·K) pour les deux, lèvent toute ambiguïté.

La figure 12.1 rend visible une règle qui guide toute la conception thermique d'une enveloppe: la pente du profil est $\phi /\lambda$, la même densité de flux traversant toutes les couches. Dans le béton, la pente est de $5,178/2,3=2,25$ K/m; dans la laine, de $147,9$ K/m. Le béton porte le bâtiment, la laine l'isole, et ces deux fonctions se laissent séparer. Pour obtenir avec du béton seul la résistance de $16$ cm de laine, il en faudrait $4,571\times 2,3=10,5$ m.

La conduite cylindrique

Dans une conduite, le flux est radial et traverse des surfaces cylindriques dont l'aire croît avec le rayon. Le profil n'est plus linéaire.

Démonstration. En régime permanent, le cylindre de rayon $r$ compris entre $r_1$ et $r_2$ n'accumule rien: le flux $\Phi$ qui traverse la surface latérale de rayon $r$, d'aire $2\pi rL$, est le même pour tout $r$. La loi de Fourier en direction radiale donne , soit, en séparant les variables,

Par (12.8), $R_{\mathrm{th}}=(T_1-T_2)/\Phi$ est (12.11); l'intégration de $r_1$ à donne le profil. Pour une couche mince, avec , et l'on retrouve le mur plan d'aire .

La résistance superficielle extérieure d'une conduite se calcule avec l'aire extérieure, $1/(h2\pi r_{2}L)$, où $h$ est le coefficient de convection défini à la section suivante; lorsqu'il réunit convection et rayonnement, on l'appelle aussi coefficient d'échange superficiel. Comme l'aire croît avec $r_2$, ajouter de l'isolant augmente la résistance de conduction et diminue la résistance superficielle; l'exercice 12.2 montre que, sur un fil fin, le second effet peut l'emporter.

Convection

La loi de Newton

Entre une paroi à la température $T_s$ et un fluide en écoulement dont la température loin de la paroi est $T_{\infty }$, la chaleur traverse une mince couche limite où la vitesse et la température du fluide passent de leurs valeurs à la paroi à celles de l'écoulement. Ce qui se passe dans cette couche dépend de la vitesse, de la viscosité, de la géométrie et du régime d'écoulement, qui relèvent de la mécanique des fluides; l'ingénieur le résume par un seul coefficient.

Il faut bien voir ce que dit et ne dit pas (12.12). Elle ne dit pas que le flux est «naturellement» proportionnel à l'écart de température: elle définit $h$ comme le rapport des deux. Tout le travail de la convection consiste à prédire $h$, ce qui se fait par des corrélations expérimentales entre nombres sans dimension — de Nusselt, de Reynolds, de Prandtl, de Grashof —, objet des cours de transferts thermiques avancés. Pour une convection naturelle, $h$ dépend d'ailleurs lui-même de l'écart de température, et la loi n'est alors linéaire qu'approximativement.

Les ordres de grandeur suivants sont les plages typiques données par les manuels de transferts thermiques (Incropera et al.):

Deux tendances s'y lisent. Un liquide échange beaucoup mieux qu'un gaz, parce qu'il conduit mieux et transporte plus d'énergie par unité de volume. Et l'écoulement forcé amincit la couche limite, ce qui augmente $h$: c'est l'effet du vent sur la peau, et la raison pour laquelle $R_{\mathrm{se}}=0,04$ m²·K/W, soit un échange de $25$ W/(m²·K), est plus petit que $R_{\mathrm{si}}=0,13$, soit W/(m²·K) à l'intérieur. Les changements de phase, enfin, transportent la chaleur latente: c'est pourquoi les échangeurs d'une pompe à chaleur (chapitre 10) font bouillir et condenser leur fluide plutôt que de simplement le chauffer.

Corps à température uniforme

Un objet chaud plongé dans un fluide plus froid se refroidit. Si sa température reste uniforme pendant le refroidissement, le problème se réduit à une équation différentielle ordinaire.

Démonstration. Le système est le corps, fermé, incompressible, ne recevant aucun travail. Pendant $\mathrm{d}t$, il reçoit la chaleur $\delta Q=-hA(T-T_a)\mathrm{d}t$ (négative si $T>T_a$: il perd de la chaleur), et le premier principe s'écrit . Pour l'écart , c'est l'équation linéaire du premier ordre , résolue en Analyse II, chapitre 1: , ce qui est (12.13).

La constante de temps $\tau$ a deux lectures géométriques: la tangente à l'origine coupe l'asymptote $T=T_a$ en $t=\tau$, et l'écart initial est divisé par $\mathrm{e}=2,718$ après chaque durée $\tau$. Le temps de demi-écart, au bout duquel l'écart a diminué de moitié, vaut $\tau \ln 2=0,693\tau$.

Le nombre de Biot

L'hypothèse d'une température uniforme dans un solide n'est pas gratuite: la chaleur qui part par la surface doit d'abord venir de l'intérieur par conduction. Elle reste uniforme si la conduction interne est beaucoup plus facile que l'échange superficiel.

Si $\mathrm{Bi}\ll 1$, presque toute la différence de température entre le cœur et le fluide se trouve dans la couche limite, et le solide est pratiquement isotherme: (12.13) s'applique. Le critère d'usage, $\mathrm{Bi}<0,1$, garantit une erreur de quelques pour cent. Pour une sphère de rayon $r$, $L_c=r/3$; pour une plaque d'épaisseur $2e$ refroidie sur ses deux faces, . Si n'est pas petit, il faut résoudre l'équation de la chaleur à l'intérieur du solide: le cœur reste chaud alors que la surface est déjà froide — c'est la situation d'un rôti dans un four.

Diffusion instationnaire à une dimension

Le solide semi-infini

Entre le régime permanent et le corps isotherme, il reste le cas le plus riche: un solide dont la température varie dans l'espace et dans le temps. Le plus simple de ces problèmes, et le plus utile, est celui d'un massif très épais — le sol, un mur épais, un bloc de métal — dont la surface subit brusquement un changement de température. Tant que la perturbation n'a pas atteint l'autre face, le massif se comporte comme s'il était infiniment épais: on le dit semi-infini.

Démonstration. Construction. La loi d'échelle (12.5) suggère que la température ne dépend de $x$ et de $t$ qu'à travers la combinaison sans dimension $\xi =x/(2\sqrt{D_{\mathrm{th}}t})$: le problème ne contient aucune longueur propre, et la seule échelle disponible est . Cherchons donc . Par la règle de la chaîne,

d'où $\partial T/\partial t=-(T_i-T_s)f^{\prime }(\xi )\xi /(2t)$ et ${\partial }^{2}T/\partial x^2=(T_i-T_s)f^{\prime \prime }(\xi )/(4D_{\mathrm{th}}t)$. En reportant dans (12.3) et en multipliant par , l'équation aux dérivées partielles devient une équation :

C'est une équation linéaire du premier ordre en $f^{\prime }$, dont la solution est $f^{\prime }(\xi )=C{\mathrm{e}}^{-{\xi }^2}$; une seconde intégration donne $f(\xi )=C{\int }_0^{\xi }{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u+C^{\prime }$.

Conditions. À la surface, $x=0$ donne $\xi =0$ pour tout $t>0$, et l'on veut $T=T_s$, soit $f(0)=0$: . Dans l'état initial, donne pour tout , et l'on veut , soit ; comme , il faut , et . La même limite décrit aussi à fixé: le solide reste à loin de la surface. La fonction (12.15) satisfait donc l'équation et ses trois conditions.

Vérification directe. Réciproquement, avec $f=\mathrm{erf}$, $f^{\prime }=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-{\xi }^2}$ et : l'équation est satisfaite identiquement. Nous l'avons aussi contrôlé numériquement pour le béton témoin, en cm et jour: les différences finies donnent et égales à K/s toutes deux (pour K).

Flux. En surface, $\partial T/\partial x=(T_i-T_s)\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{1}{2\sqrt{D_{\mathrm{th}}t}}$, et la chaleur reçue par le solide entre par dans le sens des croissants: , ce qui est (12.16).

Trois propriétés se lisent sur ces formules. La profondeur atteinte croît comme $\sqrt{t}$: en $x=\sqrt{D_{\mathrm{th}}t}$, et le saut de température est parcouru à % quel que soit l'instant; le saut n'est plus que de % à la profondeur . Le en surface décroît comme : il est infini à l'instant initial (l'échelon est une idéalisation) et s'épuise ensuite lentement. Et l' reçue depuis , intégrale de (12.16), croît comme :

Un ordre de grandeur. Un massif de béton témoin à $20$ °C dont la surface est portée à $0$ °C a, après un jour, une longueur de diffusion $\sqrt{D_{\mathrm{th}}t}=\sqrt{1,089\cdot 10^{-6}\times 86400}=0,307$ m. Par (12.15), la température vaut °C à cm de profondeur, °C à cm et °C à cm. La surface a perdu, au bout de ce jour, W/m² (le signe dit que le solide de la chaleur) et en tout MJ/m². Ce dernier nombre a été contrôlé par une seconde route: l'énergie interne perdue par le massif, , intégrée numériquement, donne la même valeur.

Faites varier la durée: la courbe s'étire vers l'intérieur, mais la courbe en tirets, au quart du temps, atteint chaque température exactement à mi-profondeur. C'est la loi d'échelle (12.5) rendue visible, et c'est elle qui fait que la part du saut parcourue au repère reste $47,95$ %, quel que soit le réglage. Comparez ensuite les matériaux à durée égale: l'acier diffuse douze fois plus vite que le béton, le bois de sapin presque sept fois moins vite. Le flux et l'énergie reçus, eux, ne dépendent pas seulement de $D_{\mathrm{th}}$ mais de la combinaison $\lambda /\sqrt{D_{\mathrm{th}}}=\sqrt{\lambda \rho c}$, l': c'est elle qui explique, à l'exercice 12.4, pourquoi un objet métallique paraît plus froid au toucher qu'un objet en bois à la même température.

L'onde thermique journalière et annuelle

La surface d'un mur ou du sol ne subit pas un échelon mais une variation périodique: le cycle du jour, et celui des saisons. Si la température de surface oscille comme $T(0,t)=T_m+A\cos (\omega t)$, de période $P=2\pi /\omega$, l'équation de la chaleur admet la solution établie

On vérifie qu'elle satisfait (12.3) en l'écrivant comme la partie réelle de $A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t-(1+\mathrm{i})x/\delta }$: la dérivée en temps multiplie par $\mathrm{i}\omega$, la dérivée seconde en espace par $(1+\mathrm{i}{)}^2/{\delta }^2=2\mathrm{i}/{\delta }^2$, et les deux coïncident à un facteur près précisément lorsque . L'onde thermique d'un facteur sur chaque profondeur et , de radians.

Pour le béton témoin, la profondeur d'amortissement journalière vaut $\delta =\sqrt{1,089\cdot 10^{-6}\times 86400/\pi }=17,3$ cm. À cm sous la surface, l'amplitude n'est plus que % de celle de la surface et le maximum arrive avec h de retard: c'est l' d'une construction massive, qui écrête la chaleur de l'après-midi et la restitue la nuit. Pour la période d'une année, est multiplié par et vaut m pour la même diffusivité, qui est aussi l'ordre de grandeur de celle d'un sol humide (valeur typique). À m de profondeur, l'onde annuelle n'a plus que % de son amplitude, et vers m elle est en : plus chaude en hiver qu'en été, ce qui fait la fraîcheur estivale des caves profondes. C'est aussi pourquoi les des pompes à chaleur suisses, forées bien plus profondément que quelques mètres, puisent dans un sol dont la température ne suit pratiquement plus les saisons.

Rayonnement thermique

Le corps noir

Toute matière à une température non nulle émet un rayonnement électromagnétique, parce que ses charges sont agitées thermiquement. La puissance et la répartition spectrale de ce rayonnement dépendent de la température et de la surface; il existe pourtant un émetteur idéal, dont l'émission ne dépend que de la température.

Dans toute cette section, selon l'usage de l'optique, $\lambda$ désigne la longueur d'onde, et non plus la conductivité thermique, qui n'y intervient pas.

Une cavité fermée dont les parois sont à une température uniforme, percée d'un petit trou, réalise un corps noir: un rayon qui entre par le trou s'y réfléchit tant de fois qu'il est absorbé avant de ressortir. Le rayonnement qui sort du trou est celui de l'équilibre entre la matière et le rayonnement à la température des parois; il ne dépend ni de la forme de la cavité ni de son matériau. Son spectre a été obtenu par Max Planck en 1900, au prix de l'hypothèse que les échanges d'énergie entre matière et rayonnement se font par quanta $h\nu$ — l'acte de naissance de la physique quantique. Avec la constante de Planck $h$ (à ne pas confondre avec le coefficient de convection), la vitesse de la lumière $c$ et $k_{\mathrm{B}}$, la loi de Planck s'écrit

Le facteur exponentiel est un facteur de Boltzmann (chapitre 11); nous admettons cette loi, dont la démonstration relève de la physique statistique quantique.

Démonstration. Stefan–Boltzmann. Posons $u=hc/(\lambda k_{\mathrm{B}}T)$, d'où $\lambda =hc/(u{k}_{\mathrm{B}}T)$ et $\mathrm{d}\lambda =-hc\mathrm{d}u/(u^2{k}_{\mathrm{B}}T)$. L'intégrale de (12.19) devient

où l'on a utilisé la valeur classique ${\int }_0^{\infty }{u}^3/({\mathrm{e}}^u-1)\mathrm{d}u={\pi }^4/15$, que l'on admet. Toute la dépendance en température est sortie de l'intégrale par le changement de variable: elle est en quel que soit le résultat de l'intégrale. Avec les constantes exactes du SI, la formule de donne W/(m²·K⁴), la valeur du tableau des constantes.

Wien. À $T$ fixé, écrivons $M_{\lambda }\propto u^5/({\mathrm{e}}^u-1)$ en fonction de $u$, qui est décroissant en $\lambda$. Le maximum annule la dérivée: $5u^4({\mathrm{e}}^u-1)-u^5{\mathrm{e}}^u=0$, soit . Cette équation n'a pas de solution en termes de fonctions élémentaires; par itération de point fixe , elle donne . Donc m·K, qui est .

La figure 12.3 et les deux lois donnent les ordres de grandeur essentiels. La surface du Soleil, à $5772$ K, émet $\sigma T^4=6,294\cdot 10^7$ W/m², avec un maximum à $b/T=0,5020$ µm, au milieu du visible: notre œil s'est adapté au rayonnement de notre étoile. La peau humaine, à $34$ °C, émet surtout dans l'infrarouge lointain, avec un maximum à µm; les murs d'une pièce à °C, à µm. Les caméras thermiques travaillent dans cette bande, autour de µm, et c'est pourquoi elles voient les personnes dans l'obscurité.

L'émission et l'absorption sont liées. À l'équilibre thermique, une surface doit absorber exactement ce qu'elle émet, sans quoi elle se réchaufferait ou se refroidirait spontanément dans une enceinte isotherme, ce que le deuxième principe interdit. La loi de Kirchhoff du rayonnement (à ne pas confondre avec la loi de Kirchhoff de la thermochimie, chapitre 14) en tire que, à chaque longueur d'onde, le facteur d'absorption d'une surface est égal à son émissivité: un bon émetteur est un bon absorbeur. Pour un corps gris, les deux sont égaux en bloc, $\alpha =\epsilon$.

Échange radiatif net

Un corps n'émet pas dans le vide absolu: il reçoit aussi le rayonnement de son environnement. Ce qui compte pour son bilan d'énergie est l'échange net.

Démonstration. Délimitons le système: le corps, fermé. Émission. Il rayonne $\epsilon \sigma A{T}^4$, puissance qu'il perd. Absorption. Une grande enceinte isotherme se comporte comme une cavité de corps noir: le rayonnement qui la remplit, et qui tombe sur le corps, est celui du corps noir à $T_p$, et la puissance incidente par unité d'aire du corps est $\sigma T_p^4$ — le corps, petit devant l'enceinte, ne perturbe pas ce rayonnement de façon notable, et sa convexité garantit qu'il ne se voit pas lui-même. Gris, il en absorbe la fraction (loi de Kirchhoff), soit . Le bilan est la différence, (12.21). , et pour proche de , .

Le coefficient radiatif explique l'ordre de grandeur des résistances superficielles. À $20$ °C, pour une paroi d'émissivité $0,9$ (valeur typique d'un enduit ou d'une peinture), $h_r=4\times 0,9\times \sigma \times 293,15^3=5,14$ W/(m²·K). La résistance intérieure conventionnelle m²·K/W correspond à un échange total de W/(m²·K): de l'échange superficiel intérieur sont radiatifs, la convection naturelle de l'air de la pièce n'en fournissant qu'environ . C'est aussi pourquoi le confort d'une pièce dépend de la température de ses murs autant que de celle de son air.

Le bilan radiatif de la Terre

La Terre ne perd d'énergie vers l'espace que par rayonnement, puisqu'il n'y a ni conduction ni convection dans le vide. Sa température moyenne s'obtient donc, en première approximation, par un bilan radiatif. Le système est la Terre avec son atmosphère, en régime permanent en moyenne sur l'année.

Le Soleil envoie, à la distance de la Terre, une densité de flux $S=1361$ W/m² (la constante solaire, notée $S$ par l'usage, sans rapport avec l'entropie) sur une surface perpendiculaire à ses rayons. La Terre intercepte ce flux sur son disque apparent, d'aire $\pi R_T^2$; elle en réfléchit la fraction $a=0,30$, son albédo (nuages, glace, océans, déserts), et absorbe le reste. Elle rayonne, elle, par toute sa surface $4\pi R_T^2$, et nous la traitons comme un corps noir à une température uniforme . L'égalité de la puissance absorbée et de la puissance émise s'écrit

Le rayon de la Terre disparaît; le facteur $4$ est le rapport de la surface d'une sphère à celle de son disque. Numériquement, la puissance absorbée moyenne est $(1-0,30)\times 1361/4=238,2$ W/m², et

Sans albédo, on trouverait $278,3$ K. La température moyenne observée à la surface de la Terre est d'environ $15$ °C, soit $288$ K: l'écart de plus de $30$ K est l'effet de serre de l'atmosphère, transparente pour l'essentiel du rayonnement solaire (maximum à $0,5$ µm) mais absorbante pour le rayonnement infrarouge de la surface (maximum vers $10$ µm). $T_e$ n'est pas la température du sol: c'est celle à laquelle la Terre vue de l'espace rayonne, et elle correspond à une altitude de la troposphère. L'exercice 12.5 construit le modèle le plus simple de cet effet.

Synthèse

• La chaleur se transmet par conduction (sans mouvement de matière), convection (par un fluide en mouvement) et rayonnement (sans milieu). Le flux $\Phi$ est une puissance (W), la densité de flux $\phi$ une puissance par unité d'aire (W/m²). La loi de Fourier $\mathbf{\phi }=-\lambda \nabla T$ est phénoménologique; $\lambda$ va d'environ $400$ W/(m·K) pour le cuivre à $0,0259$ pour l'air immobile, et les isolants valent par l'air qu'ils immobilisent.
• Un bilan d'énergie sur une tranche donne l'équation de la chaleur $\partial T/\partial t=D_{\mathrm{th}}{\partial }^{2}T/\partial x^2$, avec , et à trois dimensions. Une perturbation parcourt en un temps de l'ordre de : h pour cm de béton.

Exercices

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Références

• Incropera, F. P., DeWitt, D. P., Bergman, T. L. et Lavine, A. S., Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Wiley — conduction, convection (plages de $h$), rayonnement, solide semi-infini, nombre de Biot.
• Pérez, J.-P., Thermodynamique — fondements et applications, Dunod — diffusion thermique, équation de la chaleur et rayonnement d'équilibre.
• Ansermet, J.-P. et Bréchet, S., Thermodynamique, EPFL Press / PPUR — transferts thermiques et production d'entropie.
• Borel, L. et Favrat, D., Thermodynamique et énergétique, PPUR — transferts dans les installations énergétiques.
• Çengel, Y. A. et Boles, M. A., Thermodynamics: An Engineering Approach, McGraw-Hill — mécanismes de transfert de chaleur.
• Feynman, R. P., Leighton, R. B. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman — Mécanique 1 et 2, Dunod — rayonnement du corps noir et diffusion.