Cycles à vapeur, pompes à chaleur et exergie

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• expliquer pourquoi un fluide qui change de phase, et l'eau en particulier, se prête mieux qu'un gaz à la production de travail, et ce qui empêche de réaliser un cycle de Carnot à vapeur;
• établir le rendement du cycle de Rankine idéal à partir des bilans de ses quatre appareils, montrer que le travail de la pompe vaut à peu près $v\Delta p$, et lire le cycle dans les diagrammes $T$–$s$ et $h$–$s$;
• évaluer l'effet d'une turbine irréversible, de la surchauffe, de la pression au condenseur et de la pression de chaudière, et expliquer le principe de la resurchauffe et du soutirage;
• décrire le cycle frigorifique à compression de vapeur, le tracer dans le diagramme $\log p$–$h$, calculer les $\mathrm{COP}$ d'un réfrigérateur et d'une pompe à chaleur, et justifier qualitativement le choix d'un fluide frigorigène;
• définir l'état mort et l'exergie, et démontrer l'exergie de la chaleur $(1-T_0/T)Q$, l'exergie d'un système fermé, l'exergie d'écoulement et le théorème de Gouy–Stodola ${\mathrm{Ex}}_{\mathrm{d}}=T_0{S}_{\mathrm{c}}$;
• dresser le bilan d'exergie d'une installation, calculer un rendement exergétique et expliquer pourquoi chauffer à l'électricité gaspille l'exergie alors qu'une pompe à chaleur l'économise.

Pourquoi l'eau et le changement de phase

Ce que les cycles à gaz n'arrivent pas à faire

Le chapitre 6 a établi la borne de Carnot, relation (6.5): une machine qui reçoit de la chaleur d'une source à $T_{\mathrm{c}}$ et en cède à une source à $T_{\mathrm{f}}$ ne peut pas dépasser le rendement $1-T_{\mathrm{f}}/T_{\mathrm{c}}$, et seul un cycle qui échange sa chaleur à ces deux températures, de façon réversible, l'atteint. Les cycles à gaz du même chapitre, Otto, Diesel ou Brayton, en restent loin pour une raison simple: un gaz qui reçoit de la chaleur s'échauffe. Dans le cycle d'Otto témoin (exemple 6.1), la chaleur entre pendant que la température monte de K à K et sort pendant qu'elle descend de K à K; le cycle n'atteint que %, contre % pour Carnot entre les mêmes extrêmes. Pour échanger de la chaleur avec un gaz, il faudrait le détendre ou le comprimer lentement pendant l'échange, ce qu'aucune machine pratique ne fait à grande puissance.

Un fluide qui change de phase résout ce problème sans effort. Pendant l'ébullition à pression constante, un liquide reçoit de la chaleur sans que sa température bouge: c'est le palier de la courbe de chauffe du chapitre 3 (figure 3.3). La raison en est l'égalité des potentiels chimiques des deux phases (théorème 7.11): un corps pur en équilibre liquide-vapeur n'a qu'un seul degré de liberté (règle des phases, théorème 8.4), si bien que fixer la pression fixe la température. Une chaudière qui fait bouillir de l'eau à pression constante est donc une source de chaleur isotherme, et un condenseur qui la recondense en est une autre. Un cycle qui reçoit et cède sa chaleur pendant des changements de phase ressemble beaucoup à un cycle de Carnot.

Le changement de phase a un second avantage, aussi important que le premier: les densités d'énergie sont énormes. Vaporiser un kilogramme d'eau à $100$ °C demande $L_{\mathrm{v}}=2256,4$ kJ, autant qu'échauffer ce kilogramme de $539$ K à l'état liquide. Les débits nécessaires pour transporter des centaines de mégawatts restent donc modestes, de l'ordre de la centaine de kilogrammes par seconde, comme l'exemple 10.2 le montrera.

Le cycle de Carnot à vapeur et ses deux défauts

Imaginons un cycle de Carnot réalisé avec de l'eau, entièrement sous la cloche de saturation: ébullition isotherme et isobare du liquide saturé jusqu'à la vapeur saturée, détente isentropique dans une turbine, condensation isotherme partielle jusqu'à un mélange bien choisi, puis compression isentropique de ce mélange jusqu'au liquide saturé de départ. Les quatre branches existent dans les tables; sur le papier, le rendement est celui de Carnot. En pratique, deux étapes sont irréalisables.

• Comprimer un mélange liquide-vapeur jusqu'à l'état liquide demande une machine qui avale des gouttes et de la vapeur dans une proportion qui varie, et qui doit les recondenser en les comprimant: aucun compresseur ne le fait de façon fiable, et le travail nécessaire est considérable, puisqu'on comprime un fluide encore largement gazeux.
• Détendre de la vapeur saturée dans une turbine produit, en fin de détente, une vapeur très humide: les gouttelettes, entraînées à grande vitesse, érodent les aubes. Et la température de la chaudière reste bornée par le point critique de l'eau, $373,95$ °C et $220,64$ bar (CoolProp), ce qui plafonne le rendement de Carnot lui-même.

Le cycle de Rankine corrige le premier défaut en condensant entièrement la vapeur avant de la renvoyer à la chaudière: on ne comprime plus qu'un liquide, avec une simple pompe. Il corrige en partie le second en surchauffant la vapeur au-delà de la saturation, ce qui élève la température moyenne d'apport de chaleur et assèche la fin de la détente. Le prix à payer est qu'une partie de la chaleur est reçue pendant que le liquide s'échauffe, à température variable: le cycle de Rankine s'écarte de Carnot, mais il devient réalisable.

L'eau comme fluide de travail

Pourquoi l'eau? Elle est abondante, bon marché, ni toxique ni inflammable, chimiquement stable aux températures d'une chaudière, et sa chaleur latente est l'une des plus grandes de tous les liquides courants. Ses défauts sont connus et acceptés. À la température d'un condenseur refroidi par une rivière, vers $45$ °C, sa pression de saturation n'est que de $0,10$ bar: le condenseur fonctionne sous vide, et il faut en extraire en permanence l'air qui s'infiltre. À l'autre bout, les pressions de chaudière se comptent en dizaines, voire en centaines de bars. Les centrales nucléaires suisses de Beznau, Gösgen et Leibstadt, les grandes centrales thermiques et la plupart des centrales solaires à concentration produisent leur électricité avec un cycle de Rankine à eau; Beznau rejette sa chaleur dans l'Aar, Gösgen et Leibstadt dans l'atmosphère par des tours de refroidissement.

Le cycle de Rankine idéal

Les quatre appareils et leurs bilans

Chaque appareil est un système ouvert en régime permanent: sa frontière est fixe, une entrée, une sortie, un débit massique $\dot{m}$ identique partout, puisque rien ne s'accumule. Le chapitre 9 a établi pour un tel système le bilan d'énergie (9.5), que nous écrivons par unité de masse en négligeant les termes cinétique et potentiel:

où $q$ et $w$ sont la chaleur et le travail reçus par le fluide entre l'entrée e et la sortie s, conformément à la convention du cours. Pour éviter de traîner des signes négatifs, nous notons, dans les sections consacrées au cycle de Rankine et au cycle frigorifique, chaque échange par sa valeur positive et nous disons dans quel sens il va: «reçu» ou «fourni» (cédé); une valeur absolue le rappelle quand il le faut, comme $|q_{\mathrm{c}}|$. La section sur l'exergie revient aux grandeurs signées de la convention du cours. Appliquons (10.1) aux quatre appareils, chacun délimité par ses brides d'entrée et de sortie.

• La pompe (adiabatique) reçoit le travail $w_{\mathrm{P}}=h_2-h_1$.
• La chaudière (aucun travail) reçoit la chaleur $q_{\mathrm{in}}=h_3-h_2$.

Démonstration. Le rendement d'un moteur est $\eta =-W/Q_{\mathrm{c}}$ (chapitre 6), où $W$ est le travail net reçu par le fluide sur un cycle et $Q_{\mathrm{c}}$ la chaleur reçue de la source chaude. Pour un écoulement permanent, ces grandeurs se rapportent à un kilogramme de fluide qui fait le tour de l'installation. Le travail net reçu est la somme des travaux reçus dans la pompe et dans la turbine, $W=w_{\mathrm{P}}-w_{\mathrm{T}}$ par kilogramme, et la chaleur reçue de la source chaude est celle de la chaudière, . D'où la première forme de (10.2). En remplaçant chaque échange par sa différence d'enthalpie, tirée de (10.1), on obtient la deuxième. Enfin, la somme des quatre bilans (10.1) sur le tour complet donne : les enthalpies se compensent, parce que est une fonction d'état. Donc , ce qui donne la troisième forme. Aucune hypothèse d'isentropie n'a servi.

Les deux formes de (10.2) fournissent un contrôle gratuit: un calcul de cycle dans lequel $w_{\mathrm{T}}-w_{\mathrm{P}}$ et $q_{\mathrm{in}}-q_{\mathrm{out}}$ diffèrent contient une erreur de lecture de table.

Reste à trouver les quatre enthalpies. Celle du point 1 est celle du liquide saturé à la pression du condenseur, et celle du point 3 se lit dans la table de la vapeur surchauffée. Le point 4 est fixé par la turbine, idéale ou non. Le point 2 demande un résultat de plus.

Démonstration. Entre deux états d'équilibre voisins, l'enthalpie massique vérifie l'identité $\mathrm{d}h=T\mathrm{d}s+v\mathrm{d}p$ (chapitres 7 et 9), relation entre fonctions d'état qui ne dépend pas de la transformation. Dans une pompe adiabatique et réversible, l'entropie massique se conserve, $\mathrm{d}s=0$, donc $\mathrm{d}h=v\mathrm{d}p$, et le bilan (10.1) sans chaleur donne $w_{\mathrm{P}}=h_2-h_1={\int }_{p_1}^{p_2}v\mathrm{d}p$: c'est la relation (9.9) du théorème 9.4, appliquée ici à un liquide. Le modèle incompressible du chapitre 8 prend constant, et l'intégrale vaut .

La relation (10.3) dit pourquoi la pompe ne coûte presque rien. Le liquide occupe environ $0,001$ m³/kg; la vapeur à la sortie de la turbine idéale témoin, à $0,10$ bar, occupe $11,89$ m³/kg. Le même saut de pression, franchi dans un sens par un liquide et dans l'autre par une vapeur, échange des travaux dans un rapport de plusieurs centaines. C'est l'avantage décisif du cycle à vapeur sur le cycle à gaz de Brayton, dont le compresseur avale un gaz: dans la turbine à gaz de l'exemple 6.3 (rapport de pressions $10$, entrée à $300$ K, entrée de turbine à $1400$ K), le compresseur consomme $41,37$ % du travail de la turbine.

Le cycle dans le diagramme $T$–$s$

La figure 10.1 trace le cycle témoin de ce chapitre, la centrale à vapeur: chaudière à $80$ bar, vapeur surchauffée à $500$ °C à l'entrée de la turbine, condenseur à $0,10$ bar, où l'eau se condense à $45,81$ °C. La cloche de saturation et l'isobare de $80$ bar ont été calculées avec CoolProp (équation d'état IAPWS-95) et non dessinées à main levée.

Le diagramme $T$–$s$ se lit avec la propriété démontrée au chapitre 5: le long d'une transformation réversible, la chaleur reçue par unité de masse est l'aire sous la courbe, $q=\int T\mathrm{d}s$. L'apport de chaleur, de 2 à 3, se fait à température variable: environ un tiers pendant l'échauffement du liquide, sous $295$ °C, presque la moitié sur le palier d'ébullition, et le reste pendant la surchauffe. Le théorème 6.4 résume cela par une température moyenne de réception de la chaleur, ici ${\overline{T}}_{\mathrm{c}}$ définie par , et donne , relation (6.9). Comme le rejet se fait à la température constante du condenseur, avec et pour le cycle idéal, donc , et (10.2) devient

Le cycle de Rankine idéal a le rendement d'un cycle de Carnot qui fonctionnerait entre $T_{\mathrm{f}}$ et la température moyenne ${\overline{T}}_{\mathrm{c}}$, pas entre $T_{\mathrm{f}}$ et la température maximale. Tous les perfectionnements de la section suivante se lisent dans (10.4): ils élèvent ${\overline{T}}_{\mathrm{c}}$ ou abaissent .

La centrale réelle et ses améliorations

L'irréversibilité de la turbine

Une vraie turbine n'est pas isentropique: le frottement du fluide sur les aubes, les tourbillons et les fuites entre étages créent de l'entropie. Le chapitre 9 a mesuré cet écart par le rendement isentropique de la turbine (définition 9.3), rapport du travail réellement fourni à celui de la turbine isentropique entre la même entrée et la même pression de sortie:

Le diagramme $h$–$s$ de Mollier, présenté au chapitre 9 (figure 9.2), se prête particulièrement bien à cette lecture, parce que les travaux y sont des longueurs verticales. La figure 10.2 en montre la partie utile pour la turbine témoin. Nous n'y traçons pas le cycle entier: dans le plan $h$–$s$, la pompe et l'échauffement du liquide occupent une étroite bande de faibles enthalpies et entropies, loin de la turbine, et les dessiner sur les mêmes axes écraserait la détente, qui est précisément ce que l'ingénieur lit dans ce diagramme. Le cycle complet se suit dans le diagramme $T$–$s$ de la figure 10.1; ses états 1 à 4 ont les mêmes coordonnées $s$ dans les deux diagrammes.

La figure 10.2 contient une remarque utile. Sous la cloche, une isobare est aussi une isotherme, et sa pente $(\partial h/\partial s{)}_p=T$, qui découle de $\mathrm{d}h=T\mathrm{d}s+v\mathrm{d}p$, est constante: c'est une droite. Le point 4 se trouve donc sur la même droite que 4s, et le travail perdu par rapport à la turbine idéale vaut exactement $h_4-h_{4s}=T_{\mathrm{f}}(s_4-s_3)$. Nous retrouverons cette perte dans le bilan d'exergie, où elle se partagera en deux.

Les quatre paragraphes qui suivent expliquent les leviers dont dispose l'ingénieur. Ils se lisent tous dans la relation (10.4), $\eta =1-T_{\mathrm{f}}/{\overline{T}}_{\mathrm{c}}$, et dans le titre de fin de détente. Les nombres cités ont été calculés avec CoolProp pour le cycle idéal témoin, en ne changeant qu'un paramètre à la fois.

La surchauffe

Surchauffer davantage ajoute à l'apport de chaleur une portion à haute température, ce qui élève ${\overline{T}}_{\mathrm{c}}$, et déplace le point 3 vers la droite dans le diagramme $T$–$s$, ce qui assèche la fin de la détente. À $80$ bar, une entrée de turbine à $400$, $500$ puis $600$ °C donne des rendements idéaux de $37,97$, puis % et des titres de sortie de , puis . Les deux effets vont dans le bon sens. La limite est métallurgique: la résistance des aciers des surchauffeurs et des premiers étages de la turbine diminue avec la température.

La pression du condenseur

Abaisser la pression du condenseur abaisse sa température de saturation, donc $T_{\mathrm{f}}$. De $0,20$ à $0,10$ puis à $0,05$ bar, la température de condensation passe de $60,06$ à $45,81$ puis à $32,87$ °C, et le rendement idéal de $37,45$ à puis à %. Mais le titre de sortie baisse, de à , et surtout le condenseur ne peut pas descendre au-dessous de la température de l'eau de refroidissement dont il dispose, plus l'écart nécessaire au transfert de chaleur (chapitre 12). C'est la rivière ou l'air ambiant qui fixe , et c'est pourquoi une centrale produit un peu plus en hiver qu'en été.

La pression de la chaudière et la resurchauffe

Élever la pression de la chaudière élève la température d'ébullition, donc ${\overline{T}}_{\mathrm{c}}$: à $500$ °C, passer de $40$ à $80$ puis à $120$ bar fait monter le rendement idéal de $36,77$ à $39,42$ puis à $40,78$ %. Le revers se lit dans le diagramme –: à température d'entrée fixée, une pression plus élevée déplace le point 3 vers la gauche, et le titre de sortie tombe de à puis à . Les manuels (Çengel et Boles, par exemple) indiquent qu'on évite de descendre beaucoup au-dessous d'un titre de l'ordre de en fin de détente, à cause de l'érosion des aubes. La concilie les deux exigences: on détend la vapeur dans une première turbine jusqu'à une pression intermédiaire, on la renvoie à la chaudière pour la surchauffer de nouveau, puis on achève la détente dans une seconde turbine. Le point de fin de détente se déplace vers la droite, donc vers des titres plus élevés, et la chaleur de resurchauffe est reçue à haute température, ce qui ne dégrade pas .

Le soutirage et la régénération

Dans le cycle de base, la chaudière reçoit l'eau à $46,07$ °C et doit l'échauffer à l'état liquide jusqu'à $295$ °C: c'est la partie de l'apport de chaleur qui se fait à la plus basse température, et qui tire ${\overline{T}}_{\mathrm{c}}$ vers le bas. Le soutirage prélève un peu de vapeur partiellement détendue dans la turbine et l'utilise, dans des réchauffeurs d'eau alimentaire, pour préchauffer l'eau qui va à la chaudière. Cette vapeur cède sa chaleur de condensation à l'eau au lieu de la céder au condenseur, et la chaudière ne fournit plus la chaleur à basse température: ${\overline{T}}_{\mathrm{c}}$ monte. On parle de , parce que le cycle se fournit à lui-même une partie de sa chaleur, comme le régénérateur du cycle de Stirling (théorème 6.7). Les grandes centrales comptent plusieurs réchauffeurs en série.

Ces leviers expliquent aussi pourquoi les centrales nucléaires à eau légère, comme celles de Beznau, Gösgen et Leibstadt, ont des rendements plus faibles que les centrales à combustible fossile modernes: leur réacteur livre une vapeur à peu près saturée, à une température limitée par la tenue du circuit primaire, et elles ne peuvent pas recourir à une forte surchauffe. L'exercice 10.2 «Un cycle à vapeur saturée», en fin de chapitre, chiffre un cycle fictif de ce type.

Le cycle frigorifique et la pompe à chaleur

Inverser le cycle de Rankine

Parcourons maintenant un cycle à vapeur dans l'autre sens: le fluide reçoit de la chaleur à basse température en s'évaporant, il est comprimé, il cède de la chaleur à haute température en se condensant, puis il revient à la basse pression. Le chapitre 6 a montré qu'un cycle inversé de ce genre est un réfrigérateur ou une pompe à chaleur, selon que l'on s'intéresse à la chaleur prise à la source froide ou à celle cédée à la source chaude. C'est la même machine: votre réfrigérateur chauffe votre cuisine par la grille à l'arrière, et une pompe à chaleur refroidit le sol ou l'air extérieur dont elle tire sa chaleur.

Inverser le cycle de Rankine terme à terme demanderait une turbine pour détendre le liquide condensé. On n'en met pas: la détente d'un liquide fournit très peu de travail, pour la même raison que la pompe de Rankine en consomme très peu, et une turbine qui avale un liquide qui se vaporise en partie serait une machine délicate. Pour le propane témoin ci-dessous, la détente isentropique du liquide saturé de $13,69$ à $4,060$ bar fournirait $11,03$ kJ/kg, à comparer aux $75,97$ kJ/kg du compresseur. On remplace donc la turbine par une simple vanne de détente (détendeur), un étranglement, qui conserve l'enthalpie (théorème 9.6): $h_4=h_3$. On renonce ainsi à un petit travail en échange d'une grande simplicité.

Ces définitions sont celles de la relation (6.4), ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{F}}=Q_{\mathrm{f}}/W$ et ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}=-Q_{\mathrm{c}}/W$, écrites par kilogramme de fluide. Comme , le bilan du cycle complet se lit directement: , d'où

La pompe à chaleur rend toujours au moins le travail qu'on lui donne, plus la chaleur qu'elle a prise à la source froide.

Le diagramme $\log p$–$h$

Les frigoristes ne travaillent pas dans le diagramme $T$–$s$ mais dans le diagramme pression–enthalpie, la pression étant portée en échelle logarithmique. Ce choix n'est pas une habitude: il rend le cycle trivial à lire.

• Les deux échangeurs sont isobares: l'évaporateur et le condenseur sont deux segments horizontaux. Sous la cloche, une isobare est aussi une isotherme, ce qui place la température d'évaporation et celle de condensation directement sur le diagramme.
• Le détendeur conserve l'enthalpie: c'est un segment vertical.
• Toutes les quantités de (10.5) sont des différences d'enthalpie, donc des longueurs horizontales: $q_{\mathrm{f}}$ est la longueur du segment de l'évaporateur, $w$ l'extension horizontale de la compression, $|q_{\mathrm{c}}|$ celle du condenseur. La relation (10.6) se voit: la longueur du condenseur est la somme des deux autres.
• L'échelle logarithmique de la pression étale à la fois la région de l'évaporateur, à quelques bars, et celle du condenseur, à une quinzaine de bars.

La figure 10.3 trace dans ce diagramme le second cycle témoin du chapitre, la pompe à chaleur au propane.

Ce qui fait chuter le COP

Le ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}$ de Carnot, $T_{\mathrm{c}}/(T_{\mathrm{c}}-T_{\mathrm{f}})$ par (6.5), ne dépend que de l' entre les deux températures. Celui du cycle réel en dépend encore davantage. Pour le cycle témoin, avec la condensation à °C, le vaut si l'on évapore à °C, à °C et à °C; avec l'évaporation à °C, il vaut si l'on condense à °C et à °C. C'est pourquoi une pompe à chaleur est faite pour un à basse température plutôt que pour d'anciens radiateurs à ou °C, et pourquoi une sonde géothermique, qui offre en hiver un sol bien plus tiède que l'air extérieur, rend un meilleur qu'une pompe à chaleur air-eau. Les normes SIA 180 et 380/1, qui encadrent la protection thermique et les besoins de chaleur des bâtiments, agissent en amont: une maison qui perd moins peut être chauffée par une eau plus tiède.

L'explorateur ci-dessous refait le calcul de l'exemple 10.3 pour d'autres températures et d'autres compresseurs.

Trois expériences à faire. D'abord, partez du réglage témoin et abaissez la température de condensation de $40$ à $35$ °C: le ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}$ gagne plus de $13$ %, alors que la chaleur à livrer ne change pas; c'est le gain d'un chauffage au sol mieux dimensionné. Ensuite, poussez le rendement isentropique à $1$: le point 2 rejoint l'isentrope, mais le $\mathrm{COP}$ reste nettement sous celui de Carnot, à cause du détendeur et de la désurchauffe. Enfin, observez la dernière ligne: le rendement exergétique du radiateur électrique ne dépend que des températures, et le rapport entre la ligne de la pompe à chaleur et celle du radiateur est exactement le ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}$. La section suivante explique pourquoi. Le modèle de l'explorateur suppose que la source est K plus chaude que le propane qui s'évapore et que l'eau de chauffage sort K plus froide que le propane qui se condense: c'est un choix didactique, qui reproduit le cas témoin (sol à °C, chauffage à °C), et non une mesure.

Le choix du fluide frigorigène

La thermodynamique fixe les critères, la chimie et la sécurité tranchent. Un bon fluide frigorigène a, aux deux températures du cycle, des pressions de saturation commodes: au-dessus de la pression atmosphérique à l'évaporation, pour qu'aucun air n'entre dans le circuit, et pas trop élevées à la condensation, pour que les tubes et le compresseur restent légers. Sa température critique doit dépasser largement la température de condensation, faute de quoi la condensation disparaît. Sa chaleur latente rapportée au volume de vapeur aspirée doit être grande, pour que le compresseur reste petit. Il doit enfin être stable, compatible avec les huiles et les métaux, et sans danger pour l'environnement.

Le dernier critère a réécrit l'histoire de la discipline. Les chlorofluorocarbures, longtemps employés, détruisent la couche d'ozone et ont été abandonnés à la suite du protocole de Montréal (1987); beaucoup de leurs remplaçants fluorés sont de puissants gaz à effet de serre. D'où le retour des fluides naturels. Le propane (R-290), dont le point critique est à $96,74$ °C et $42,51$ bar (CoolProp), convient très bien au chauffage domestique, comme l'exemple 10.3 l'a montré; son défaut est d'être inflammable, ce qui impose de petites charges et des précautions d'installation. L'isobutane (R-600a) équipe la plupart des réfrigérateurs domestiques, pour la même raison et avec la même contrainte. L'ammoniac (R-717), excellent thermodynamiquement, est toxique et réservé aux installations industrielles surveillées. Le dioxyde de carbone (R-744) n'est ni toxique ni inflammable, mais son point critique est à $31$ °C (le chapitre 8 en donne la valeur mesurée, $304,13$ K): ses cycles fonctionnent à très haute pression et souvent au-dessus du point critique, sans condensation. La réfrigération a d'ailleurs une histoire genevoise: Raoul Pictet, physicien à Genève, construisit des machines frigorifiques et liquéfia l'oxygène en 1877.

Exergie

Toutes les énergies ne se valent pas

Un kilojoule de chaleur à $1500$ K, celle d'une flamme, et un kilojoule de chaleur à $310$ K, celle d'un bain tiède, sont la même quantité d'énergie. Le premier principe ne les distingue pas. Pourtant, avec le premier, un moteur peut fournir du travail, et avec le second presque rien. De même, le radiateur électrique a un «rendement» énergétique de $100$ %, et la pompe à chaleur un «rendement» de $445$ %: aucun de ces deux nombres ne dit lequel des deux appareils fait bon usage de l'électricité.

Le deuxième principe fournit l'instrument qui manque. Il dit qu'on ne peut tirer du travail d'un système qu'en le laissant évoluer vers l'équilibre avec son environnement, et que l'irréversibilité détruit une partie de ce travail possible. L'exergie mesure ce travail possible: c'est l'énergie utilisable, la seule qui se perde vraiment. Le mot a été proposé au milieu du XXᵉ siècle; l'idée remonte aux travaux de Gouy en France et de Stodola, ingénieur des turbines à vapeur et professeur à l'École polytechnique fédérale de Zurich.

L'exergie dépend donc de deux choses, l'état du système et celui de l'environnement. Un bloc de glace a de l'exergie en été, puisqu'un moteur peut fonctionner entre l'air chaud et la glace; il n'en a plus sur un glacier. Tous les résultats qui suivent sont des conséquences directes des deux principes et de l'entropie créée $S_{\mathrm{c}}\ge 0$ du chapitre 5.

L'exergie de la chaleur

Démonstration. Le travail maximal que l'on peut tirer de $Q$ est celui d'un moteur qui reçoit $Q$ à $T$ et cède de la chaleur à la seule autre source disponible, l'environnement à $T_0$. Appliquons à ce moteur, système fermé qui décrit un nombre entier de cycles, les deux bilans. Il reçoit $Q$ à $T$ et $Q_0$ (négative) à ; son état final est son état initial, donc et . Le bilan d'entropie du chapitre 5 donne , soit . Le premier principe donne le travail fourni, . Comme , ce travail est maximal pour , c'est-à-dire pour un moteur réversible, et vaut alors . Si varie, on applique le raisonnement à chaque élément , reçu à une température qui ne varie pas pendant l'élément, et l'on somme.

Le facteur $1-T_0/T$ est le facteur de Carnot: l'exergie de la chaleur est le travail du moteur de Carnot qui l'utilise contre l'environnement. Avec $T_0=298,15$ K, un mégajoule de chaleur vaut $148,1$ kJ d'exergie à $350$ K, $503,1$ kJ à K et kJ à K. La chaleur de basse température est presque sans valeur; seule celle des flammes et des réacteurs approche la valeur du travail.

Lorsque $T<T_0$, le facteur $1-T_0/T$ est négatif: une chaleur reçue par un système froid fait perdre de l'exergie au système, et l'exergie d'une chaleur $Q_{\mathrm{f}}$ d'un espace froid à vaut . C'est l'exergie que produit un réfrigérateur, et c'est elle qui coûte cher quand est très bas: extraire un joule à K, la température de l'azote liquide, représente une exergie de J.

L'exergie d'un système fermé

Démonstration. Le système passe de son état à l'état mort en ne recevant de chaleur, $Q$, que de l'environnement à $T_0$, et en recevant au total le travail $W$. Une partie de ce travail est échangée avec l'atmosphère: quand le volume du système varie de $V$ à $V_0$, l'atmosphère reçoit de lui le travail $p_0(V_0-V)$, qu'il est impossible de récupérer. Le travail utile est donc . Les deux bilans du système fermé s'écrivent

Le second donne $Q=T_0(S_0-S)-T_0{S}_{\mathrm{c}}$; en le portant dans le premier, , et

Le maximum est atteint pour $S_{\mathrm{c}}=0$, et c'est (10.8). $\square$

L'exergie (10.8) est nulle à l'état mort et positive partout ailleurs: un système qui n'est pas en équilibre avec l'environnement peut toujours fournir du travail en y retournant, qu'il soit plus chaud, plus froid, comprimé ou détendu. L'exercice 10.4 «L'exergie de l'air comprimé» en tire un résultat frappant: un réservoir d'air comprimé à la température ambiante a la même énergie interne que l'air extérieur, et pourtant une exergie importante.

L'exergie d'écoulement

Dans une installation en régime permanent, l'exergie est transportée par les écoulements. Le chapitre 9 a montré que l'enthalpie $h=u+pv$ est la bonne mesure de l'énergie transportée par un fluide qui traverse une frontière, le terme $pv$ représentant le travail de transvasement. Le même raisonnement fournit l'exergie transportée.

Démonstration. Considérons un appareil en régime permanent, système ouvert délimité par ses brides, que traverse un débit $\dot{m}$: le fluide entre dans l'état $(h,s,\mathcal{V},z)$ et sort à l'état mort $(h_0,s_0,0,0)$. L'appareil reçoit la puissance thermique de l'environnement seulement, et fournit la puissance mécanique . Les bilans d'énergie et d'entropie du chapitre 9 s'écrivent

La seconde équation donne ${\dot{Q}}_0=-T_0\dot{m}(s-s_0)-T_0{\dot{S}}_{\mathrm{c}}$; en la portant dans la première,

Le maximum, atteint pour ${\dot{S}}_{\mathrm{c}}=0$, est (10.9). Il n'y a pas de terme $p_0(v-v_0)$ comme dans (10.8): le travail de transvasement est déjà compté dans l'enthalpie, et le travail fourni à l'atmosphère, qui pousse le fluide à la sortie, l'est aussi.

Pour la vapeur à l'entrée de la turbine témoin, à $80$ bar et $500$ °C, l'état mort de l'eau est le liquide à $25$ °C et $1$ bar. CoolProp donne $h-h_0=3294,6$ kJ/kg et $s-s_0=6,3594$ kJ/(kg·K), d'où

La vapeur vive porte donc une exergie égale à $42,45$ % de son excédent d'enthalpie sur l'état mort. Aucune machine, aussi parfaite soit-elle, ne tirera davantage de travail d'un kilogramme de cette vapeur dans un environnement à $25$ °C.

Le bilan d'exergie et le théorème de Gouy–Stodola

L'énergie se conserve, l'entropie se crée; l'exergie se détruit. Le bilan suivant le dit avec précision.

Démonstration. Écrivons les bilans d'énergie et d'entropie du chapitre 9 pour le système, en isolant la chaleur ${\dot{Q}}_0$ reçue de l'environnement à $T_0$ et en négligeant, pour alléger, les termes cinétique et potentiel (ils s'ajoutent à $h$ dans tout ce qui suit):

Multiplions la seconde par $T_0$ et retranchons-la de la première: ${\dot{Q}}_0$ disparaît, et

En régime permanent, la masse se conserve, ${\sum }_{\mathrm{e}}{\dot{m}}_{\mathrm{e}}={\sum }_{\mathrm{s}}{\dot{m}}_{\mathrm{s}}$: on peut donc retrancher de chaque terme d'écoulement sans rien changer, ce qui fait apparaître les exergies (10.9). On obtient (10.10) avec , positif par le deuxième principe. Pour le travail perdu: entre les mêmes états d'entrée et de sortie et avec les mêmes , un processus réversible a ; (10.10) montre que la puissance fournie, , est alors plus grande de que dans le processus réel. Le cas fermé se traite de même à partir de la démonstration du théorème 10.4, où le terme est déjà apparu.

Le théorème porte le nom du physicien français Louis Georges Gouy et d'Aurel Stodola. Il donne un sens concret à l'entropie créée: chaque joule par kelvin créé dans un environnement à $T_0$ coûte $T_0$ joules de travail possible. Reprenons l'un des trois témoins d'irréversibilité du chapitre 5: $1000$ J de chaleur qui passent d'une source à $600$ K à une source à $300$ K créent $S_{\mathrm{c}}=1,667$ J/K, donc détruisent J d'exergie. Le contrôle par (10.7) est immédiat: la chaleur valait J d'exergie au départ et J à l'arrivée. La différence est la même, J. Un transfert de chaleur à travers un grand écart de température est l'une des façons les plus sûres de détruire de l'exergie.

Le rendement exergétique

Contrairement au rendement énergétique d'un moteur ou au $\mathrm{COP}$, le rendement exergétique compare toujours la même grandeur à elle-même, et sa borne est toujours $1$: un moteur, une pompe à chaleur, un réfrigérateur et une turbine se classent sur la même échelle. Pour un moteur qui reçoit sa chaleur à $T_{\mathrm{c}}$ constante, ${\eta }_{\mathrm{ex}}=\eta /(1-T_0/T_{\mathrm{c}})$: c'est le rendement rapporté à celui de Carnot. Pour une turbine, , à ne pas confondre avec le rendement isentropique.

Chauffer avec de l'électricité ou avec une pompe à chaleur

Le dernier témoin du chapitre résume tout ce qui précède. Une maison est chauffée par une eau à $35$ °C, soit $308,15$ K, quand il fait $0$ °C dehors; l'environnement de référence est l'air extérieur, $T_0=273,15$ K. Par (10.7), chaque joule de chaleur livré à $35$ °C contient

Un radiateur électrique reçoit un joule d'électricité, qui est de l'exergie pure, et livre un joule de chaleur: son rendement énergétique vaut $1$, son rendement exergétique $0,1136$. Il détruit près de neuf dixièmes de l'exergie qu'il consomme, en dégradant du travail en chaleur tiède. La pompe à chaleur au propane de l'exemple 10.3 livre $4,451$ J de chaleur par joule d'électricité: son rendement exergétique vaut $4,451\times 0,1136=0,5055$, quatre fois et demie mieux. La chaleur qu'elle prend au sol est à la température de l'environnement et n'apporte aucune exergie: le compresseur fournit toute l'exergie livrée, et la machine n'en détruit qu'une moitié environ, dans son compresseur, son détendeur et ses deux échangeurs.

La pompe à chaleur de Carnot de l'exemple 6.4, entre $0$ °C et $35$ °C, avait ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}=8,804$. Son rendement exergétique est $8,804\times 0,1136=1,000$: c'est le seul appareil qui ne détruise rien, comme il se doit pour une machine réversible. Le rendement exergétique d'une pompe à chaleur n'est rien d'autre que son $\mathrm{COP}$ rapporté au de Carnot calculé entre l'environnement et la température d'emploi. Il dit, en un seul nombre, que la pompe à chaleur au propane fait la moitié de ce que les lois de la physique permettent, et le radiateur électrique un neuvième.

Synthèse

• Un fluide qui change de phase reçoit et cède sa chaleur à température constante et transporte beaucoup d'énergie par kilogramme. Le cycle de Rankine condense entièrement la vapeur pour ne pomper qu'un liquide, dont le travail $\int v\mathrm{d}p\approx v\Delta p$ est minime (rapport de travail retour de $0,635$ % pour la centrale témoin).
• Les bilans des quatre appareils donnent $\eta =((h_3-h_4)-(h_2-h_1))/(h_3-h_2)$, et pour le cycle idéal , avec la température moyenne d'apport de chaleur. La centrale témoin (80 bar, 500 °C, 0,10 bar) atteint % avec une turbine idéale et % avec , contre % pour Carnot; kg/s de vapeur donnent MW.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Borel, L. et Favrat, D., Thermodynamique et énergétique, vol. 1, PPUR, chapitres sur les cycles à vapeur, les pompes à chaleur et l'exergie.
• Moran, M. J., Shapiro, H. N. et al., Fundamentals of Engineering Thermodynamics, Wiley, chapitres «Vapor Power Systems», «Refrigeration and Heat Pump Systems» et «Exergy Analysis».
• Çengel, Y. A. et Boles, M. A., Thermodynamics: An Engineering Approach, McGraw-Hill, chapitres sur l'exergie et les cycles à vapeur et frigorifiques.
• Ansermet, J.-P. et Bréchet, S., Thermodynamique, EPFL Press / PPUR.
• Pérez, J.-P., Thermodynamique — fondements et applications, Dunod.
• Bell, I. H., Wronski, J., Quoilin, S. et Lemort, V. (2014), «Pure and pseudo-pure fluid thermophysical property evaluation and the open-source thermophysical property library CoolProp», Industrial & Engineering Chemistry Research 53(6) — source de toutes les propriétés de l'eau et du propane de ce chapitre.