Systèmes ouverts en régime permanent

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• délimiter un volume de contrôle, écrire son bilan de masse et démontrer, à partir du premier principe appliqué à un système fermé qui se déplace, le bilan d'énergie d'un système ouvert, avec le travail de transvasement et l'enthalpie;
• appliquer l'équation de l'énergie en régime permanent, termes cinétique et potentiel compris, à une tuyère, un diffuseur, une turbine, un compresseur, une pompe, une vanne de laminage, un échangeur et une chambre de mélange, en écrivant chaque puissance avec son sens, «reçue» ou «fournie»;
• écrire le bilan d'entropie d'un volume de contrôle, démontrer que le travail d'un écoulement réversible vaut $\int v\mathrm{d}p$ et obtenir le théorème de Bernoulli comme cas limite réversible et incompressible;
• définir et utiliser les rendements isentropiques d'une turbine, d'un compresseur et d'une tuyère, et lire une détente dans le diagramme $h$–$s$ de Mollier;
• établir la vitesse du son $c=\sqrt{\gamma rT}$, la relation entre section et vitesse et le rapport critique $p^{\ast }/p_0=0,5283$ de l'air, et expliquer pourquoi une tuyère convergente ne dépasse pas Mach 1 alors qu'une tuyère de Laval le peut;
• traiter un régime non permanent simple, le remplissage d'un réservoir vide, et démontrer que le gaz y entre plus chaud qu'il n'était: $T=\gamma T_0$.

Du système fermé au volume de contrôle

Masse de contrôle et volume de contrôle

Jusqu'ici, tous les bilans du cours ont porté sur un système fermé: le gaz du cylindre témoin, l'eau de la bouilloire, deux blocs mis en contact. La matière du système était toujours la même, et c'est ce qui permettait d'écrire $\Delta U=W+Q$ (chapitre 3) et $\Delta S=S_{\mathrm{e}}+S_{\mathrm{c}}$ (chapitre 5). Or la plupart des machines de l'ingénieur ne fonctionnent pas ainsi. Une turbine de centrale reçoit chaque seconde des dizaines de kilogrammes de vapeur et les rejette aussitôt; un compresseur d'atelier aspire l'air ambiant et le refoule dans un réseau; un échangeur voit passer deux fluides qui ne s'y arrêtent jamais. Suivre «le système» au sens du chapitre 3 reviendrait à suivre chaque kilogramme de fluide à travers la machine, ce qui est possible mais peu commode. Il est bien plus naturel de faire le bilan que la matière traverse.

Le choix de la surface de contrôle est libre, mais il commande tout le bilan. On la place de façon à couper les conduites là où l'on connaît l'état du fluide, à traverser les arbres qui transmettent un travail, et à épouser les parois à travers lesquelles passe la chaleur. Ce que l'on ne connaît pas — l'écoulement compliqué entre les aubes d'une turbine, les tourbillons dans une vanne — reste à l'intérieur: c'est toute la force de la méthode, qui relie l'entrée à la sortie sans rien demander de ce qui se passe entre les deux. L'hypothèse d'uniformité sur chaque section est une idéalisation: dans une conduite réelle, la vitesse est nulle à la paroi et maximale au centre. On utilise alors des valeurs moyennes, ce qui suffit aux bilans de ce chapitre.

Une remarque de notation, valable dans tout le chapitre. Le volume massique est $v$, conformément aux conventions du cours, et il intervient sans cesse, par exemple dans $\int v\mathrm{d}p$. Pour ne pas le confondre avec la vitesse de l'écoulement, nous noterons celle-ci $\mathcal{V}$ (en m/s). Les débits sont surmontés d'un point: $\dot{m}$ (kg/s) est le débit massique, $\dot{Q}$ et $\dot{W}$ (W) sont les puissances thermique et mécanique par le fluide, selon la convention du chapitre 3. Lorsqu'une machine cède du travail, comme une turbine, est négatif, et nous écrirons «puissance fournie » plutôt que de changer de convention. Enfin, la lettre désigne en dynamique des gaz la vitesse du son et, pour l'eau liquide, la capacité thermique massique J/(kg·K) des conventions du cours; les deux n'apparaissent jamais dans le même calcul.

Le bilan de masse

Le débit massique à travers une section d'aire $A$, où le fluide de masse volumique $\rho$ avance à la vitesse $\mathcal{V}$ perpendiculairement à la section, vaut

En effet, pendant $\mathrm{d}t$, la matière qui franchit la section occupe un cylindre de base $A$ et de hauteur $\mathcal{V}\mathrm{d}t$, de masse $\rho A\mathcal{V}\mathrm{d}t$.

Démonstration. Considérons la masse de contrôle formée, à l'instant $t$, du contenu du volume de contrôle et des petits paquets $\delta m_e$ qui s'apprêtent à franchir chaque entrée pendant $\mathrm{d}t$. À l'instant $t+\mathrm{d}t$, ces paquets sont entrés, tandis que des paquets $\delta m_s$ sont sortis par les sorties: la même masse de contrôle est alors formée du contenu du volume de contrôle et des paquets sortis. La masse d'un système fermé ne change pas:

Avec $\delta m_e={\dot{m}}_e\mathrm{d}t$ et $\delta m_s={\dot{m}}_s\mathrm{d}t$, on divise par et l'on obtient (9.2).

Cette démonstration est le modèle de toutes celles du chapitre: on revient à un système fermé bien choisi, à qui l'on applique un principe connu, puis on traduit le résultat en termes du volume de contrôle. Nous ferons de même pour l'énergie et pour l'entropie.

En régime permanent, (9.2) se réduit à ${\sum }_e{\dot{m}}_e={\sum }_s{\dot{m}}_s$: ce qui entre sort. Pour une machine à une entrée et une sortie, , et (9.1) donne . Pour un liquide, est pratiquement constante et l'on obtient l' : dans une conduite, la vitesse d'un liquide est inversement proportionnelle à la section. Pour un gaz, la masse volumique change le long de l'écoulement, et c'est précisément ce qui rendra la dynamique des gaz si différente, en fin de chapitre.

Le régime permanent est un modèle: une turbine démarre, un compresseur s'arrête, un réservoir se remplit. Mais pendant les longues heures où la machine tourne à charge constante, il décrit très bien son fonctionnement, et c'est lui que les fiches techniques rapportent. Une centrale électrique, une pompe à chaleur en fonctionnement établi, le réacteur d'un avion en croisière sont en régime permanent.

Le premier principe pour un système ouvert

Le travail de transvasement

Avant d'écrire le bilan d'énergie, regardons ce qui se passe à une entrée (figure 9.1). Le paquet de fluide $\delta m_1$, juste en amont de la section 1, n'entre pas tout seul dans le volume de contrôle: il est poussé par le fluide qui le suit, qui exerce sur lui la force de pression $p_1{A}_1$. Pendant que le paquet franchit la section, la face arrière avance de la longueur $\delta x_1$ telle que soit le volume du paquet, . Le fluide amont fournit donc au paquet le travail

Symétriquement, à la sortie, le paquet $\delta m_2$ doit repousser le fluide aval, ce qui lui coûte le travail $p_2{v}_2\delta m_2$. Ces deux termes s'appellent le travail de transvasement (en anglais flow work). Ce n'est pas une nouvelle forme d'énergie que le fluide «contiendrait»: c'est un travail des forces de pression, échangé à la frontière, comme celui d'un piston au chapitre 3 (théorème 3.1). Simplement, le «piston» est ici le fluide voisin.

Le bilan d'énergie

Démonstration. Reprenons la masse de contrôle de la démonstration du théorème 9.1: le contenu du volume de contrôle et les paquets $\delta m_e$ à l'instant $t$; le contenu et les paquets $\delta m_s$ à l'instant $t+\mathrm{d}t$. C'est un système fermé en mouvement, et le premier principe du chapitre 3, avec énergies cinétique et potentielle (relation (3.3)), s'y applique: la variation de son énergie totale $E=U+E_{\mathrm{c}}+E_{\mathrm{p}}$ est égale au travail et à la chaleur qu'il reçoit,

Variation d'énergie. Un paquet $\delta m$ à l'état d'une section porte l'énergie $\left(u+\frac{1}{2}{\mathcal{V}}^2+gz\right)\delta m$. Donc

Travail reçu. Il comprend le travail de l'arbre, $\dot{W}\mathrm{d}t$, et le travail des forces de pression sur la frontière mobile de la masse de contrôle, c'est-à-dire aux sections d'entrée et de sortie, où elle se déplace avec le fluide. D'après (9.3), il vaut $+p_e{v}_e\delta m_e$ à chaque entrée (le fluide amont pousse) et à chaque sortie (le système repousse le fluide aval). Sur les parois fixes, la frontière ne bouge pas et les forces de pression ne travaillent pas. Ainsi

Bilan. En égalant, en regroupant $u+pv=h$ dans chaque paquet et en divisant par $\mathrm{d}t$, on obtient (9.4). En régime permanent, $\mathrm{d}{E}_{\mathrm{vc}}/\mathrm{d}t=0$; avec une entrée et une sortie de même débit $\dot{m}$, on divise par et l'on obtient (9.5).

Voilà pourquoi l'enthalpie, introduite au chapitre 3 (définition 3.5) comme une commodité pour les transformations isobares, est la fonction d'état naturelle des systèmes ouverts. Le terme $pv$ qu'elle ajoute à $u$ n'est autre que le travail de transvasement: une machine traversée par un fluide échange avec lui, outre $q$ et $w$, le travail nécessaire pour faire entrer et sortir chaque kilogramme, et (9.5) le comptabilise automatiquement. Le travail $w$ qui reste est celui que l'on peut recueillir ou qu'il faut fournir sur l'arbre; on l'appelle parfois travail technique ou travail utile. Nous l'appellerons simplement le travail reçu par kilogramme, positif pour un compresseur, négatif pour une turbine.

Le poids relatif des termes

L'équation (9.5) contient cinq termes, et tous ne pèsent pas autant. Pour fixer les idées, un kilojoule par kilogramme correspond à une vitesse de $\mathcal{V}=\sqrt{2\times 1000}=44,72$ m/s, ou à une dénivellation de $1000/9,807=102,0$ m. Or les variations d'enthalpie dans une turbine ou un compresseur se comptent en de kJ/kg: le compresseur témoin de ce chapitre reçoit kJ/kg. Une vitesse d'entrée de m/s n'y pèse que kJ/kg, et une différence d'altitude de quelques mètres moins encore. D'où les simplifications usuelles:

• dans une turbine, un compresseur ou une pompe, on néglige en général les variations d'énergie cinétique et potentielle, et l'on considère l'appareil comme adiabatique (le fluide le traverse trop vite pour échanger beaucoup de chaleur avec le carter): $w=h_2-h_1$;
• dans une tuyère ou un diffuseur, en revanche, la variation d'énergie cinétique est l'effet recherché, et il n'y a pas d'arbre: $h_1+{\mathcal{V}}_1^2/2=h_2+{\mathcal{V}}_2^2/2$;

Chacune de ces simplifications est une hypothèse, et doit être énoncée comme telle avant le calcul.

Le bilan d'entropie

Le deuxième principe s'étend de la même façon. Pour un système fermé, le chapitre 5 a établi le bilan $\Delta S=S_{\mathrm{e}}+S_{\mathrm{c}}$, avec l'entropie échangée $S_{\mathrm{e}}=\int \delta Q/T_{\mathrm{fr}}$, calculée avec la température de la frontière à l'endroit où la chaleur passe, et l'entropie créée .

Démonstration. On applique le bilan d'entropie du chapitre 5, sous forme différentielle $\mathrm{d}S=\delta S_{\mathrm{e}}+\delta S_{\mathrm{c}}$, à la même masse de contrôle que plus haut. L'entropie étant extensive, $\mathrm{d}S=S_{\mathrm{vc}}(t+\mathrm{d}t)+{\sum }_s{s}_s\delta m_s-S_{\mathrm{vc}}(t)-{\sum }_e{s}_e\delta m_e$. L'entropie échangée pendant est ; le transvasement est un , il n'échange pas d'entropie. On divise par et l'on pose .

Ce bilan dit une chose simple et puissante: dans un appareil adiabatique, l'entropie massique du fluide ne peut qu'augmenter de l'entrée à la sortie. Une turbine, un compresseur ou une tuyère idéaux sont isentropiques; les appareils réels font croître $s$, et l'écart mesure leur imperfection. C'est sur cette remarque que reposent les rendements isentropiques, plus loin. Le chapitre 10 transformera ${\dot{S}}_{\mathrm{c}}$ en puissance perdue, l'exergie détruite $T_0{\dot{S}}_{\mathrm{c}}$.

Les appareils en régime permanent

Tuyère et diffuseur

Une tuyère est une conduite de section variable, sans pièce mobile, qui accélère un fluide au prix d'une chute de pression; un diffuseur fait l'inverse, il ralentit l'écoulement et en relève la pression. Les tuyères éjectent les gaz d'un moteur-fusée ou d'un réacteur, détendent la vapeur avant les aubes d'une turbine, pulvérisent le carburant d'un injecteur. Le diffuseur se trouve à l'entrée d'un réacteur d'avion, où il ralentit l'air capté à grande vitesse avant le compresseur, et à la sortie des pompes et des ventilateurs.

Avec $w=0$ (pas d'arbre), $q\approx 0$ (la traversée est rapide) et $z_1\approx z_2$, l'équation (9.5) se réduit à

Le fluide gagne en énergie cinétique exactement ce qu'il perd en enthalpie. Pour un gaz parfait de $c_p$ constante, $h_1-h_2=c_p(T_1-T_2)$: , et un gaz que l'on arrête se réchauffe. Le bilan (9.7) ne dit pas encore quelle forme donner à la conduite: une tuyère subsonique est convergente, une tuyère supersonique est divergente. Nous le démontrerons dans la section consacrée à la dynamique des gaz.

Turbine, compresseur et pompe

Une turbine extrait du travail d'un fluide qui se détend: vapeur dans les centrales thermiques et nucléaires, gaz de combustion dans les turbines à gaz, eau dans les centrales hydrauliques. Un compresseur (pour un gaz) ou une pompe (pour un liquide) fait l'inverse: il reçoit du travail sur son arbre pour élever la pression du fluide. Avec les simplifications énoncées plus haut, le bilan (9.5) donne pour les trois

Pour un compresseur, $w>0$: le fluide reçoit du travail et son enthalpie augmente. Pour une turbine, $w<0$ et la puissance fournie à l'arbre vaut $-\dot{W}=\dot{m}(h_1-h_2)$.

Que vaut ce travail quand l'écoulement est réversible? La réponse est l'un des résultats centraux du chapitre.

Démonstration. Découpons l'écoulement en tranches infiniment minces et appliquons (9.5) à une tranche, entre deux sections infiniment voisines:

L'écoulement étant réversible, il ne crée pas d'entropie, et le bilan (9.6) de la tranche se réduit à $\delta q=T\mathrm{d}s$. D'autre part, la relation fondamentale $\mathrm{d}u=T\mathrm{d}s-p\mathrm{d}v$, écrite pour $h=u+pv$, donne l'identité entre fonctions d'état

valable pour tout changement d'état infinitésimal entre états d'équilibre (le chapitre 7 en fait la différentielle de l'enthalpie). En la reportant dans le bilan de la tranche, les termes $T\mathrm{d}s$ s'éliminent:

L'intégration de 1 à 2 donne (9.9). $\square$

Comparez avec le système fermé: un gaz enfermé reçoit $-\int p\mathrm{d}v$, l'aire sous la courbe de transformation dans le diagramme $p$–$v$; un écoulement reçoit $\int v\mathrm{d}p$, l'aire à gauche de la même courbe, entre elle et l'axe des pressions. La différence est $\int v\mathrm{d}p+\int p\mathrm{d}v=p_2{v}_2-p_1{v}_1$: le solde des deux travaux de transvasement.

Deux conséquences pratiques en découlent immédiatement. D'abord, pour comprimer, il vaut mieux que le fluide soit dense: à pression égale, le travail est proportionnel au volume massique. Pomper de l'eau liquide de 1 à 40 bar ne coûte que $v\Delta p\approx 0,001\times 39\cdot 10^5=3,9$ kJ/kg, alors que comprimer de la vapeur sur le même écart coûterait des centaines de kJ/kg. C'est le principe du cycle de Rankine (chapitre 10): on condense la vapeur avant de la remettre sous pression. Ensuite, pour un gaz parfait, refroidir pendant la compression la rend moins chère: le long d'une isotherme, $v=r{T}_1/p$ et , plus petit que le travail isentropique, puisque le gaz reste plus froid, donc moins volumineux, à chaque pression. On ne sait pas réaliser une compression isotherme, mais on s'en approche en comprimant par étages avec un .

Pour un gaz parfait comprimé de façon réversible et adiabatique, la loi de Laplace (4.8) donne $v=v_1(p_1/p{)}^{1/\gamma }$, et l'intégrale se calcule:

La dernière égalité est la forme (9.8) du même travail, $h_{2s}-h_1$, avec $c_p=\gamma r/(\gamma -1)$ et : les deux routes s'accordent, comme il se doit.

Bernoulli, cas limite réversible et incompressible

Le théorème 9.4 contient le résultat central de l'hydraulique, le théorème de Bernoulli, qui relie pression, vitesse et altitude le long d'un écoulement de liquide. Nous l'établissons ici sans le supposer connu.

Démonstration. Avec $w_{\text{reˊv}}=0$ et $v$ constant, (9.9) devient $0=v(p_2-p_1)+\frac{1}{2}({\mathcal{V}}_2^2-{\mathcal{V}}_1^2)+g(z_2-z_1)$; en multipliant par , on obtient (9.11). Dans le cas irréversible et adiabatique, (9.5) avec donne , et pour un fluide incompressible . Donc

Pour un corps incompressible, $\mathrm{d}u=T\mathrm{d}s$ (le terme $-p\mathrm{d}v$ est nul), et le bilan (9.6) d'un écoulement adiabatique impose $\mathrm{d}s\ge 0$ le long de l'écoulement: la perte de charge est positive ou nulle. $\square$

Bernoulli apparaît ainsi comme ce qu'il est: le premier principe pour un écoulement sans échange de chaleur ni de travail, dans la limite où le fluide ne se comprime pas et ne dissipe rien. La thermodynamique précise en outre ce que devient l'énergie «perdue» dans une conduite réelle: elle n'est pas perdue, elle chauffe le fluide, en augmentant son énergie interne. L'échauffement est minuscule — l'exercice 9.2 le chiffre à quelques centièmes de kelvin pour une centrale hydraulique —, mais il est la signature de l'entropie créée.

Les rendements isentropiques

Une machine réelle n'est pas réversible. Pour la caractériser par un seul nombre, on la compare à la machine isentropique qui fonctionnerait entre le même état d'entrée et la même pression de sortie. Pourquoi l'isentropique? Parce que, pour un appareil adiabatique, le théorème 9.3 impose $s_2\ge s_1$, et que le cas $s_2=s_1$ est la limite réversible.

Notez l'ordre des termes: pour une turbine, le travail fourni réel est au numérateur, puisqu'il est le plus petit des deux; pour un compresseur, c'est le travail reçu réel qui est au dénominateur, puisqu'il est le plus grand. Dans les deux cas, l'irréversibilité coûte: la turbine fournit moins, le compresseur demande plus. Des valeurs de 0,80 à 0,90 sont typiques des turbines et compresseurs industriels bien conçus, davantage pour les grandes turbines à vapeur et les tuyères; ce sont des ordres de grandeur, chaque machine a le sien, mesuré au banc.

L'explorateur 9.1 reprend ce compresseur dans le diagramme $T$–$s$ de l'air. Les isobares y sont tracées à partir de $s-s_1=c_p\ln (T/T_1)-r\ln (p/p_1)$, et l'axe des températures part de 0 K, si bien que les aires y sont de vraies chaleurs. Sous une isobare, puisque : l'aire sous l'isobare de sortie, entre et , vaut donc , exactement le travail supplémentaire . L'irréversibilité se lit comme une surface.

Deux observations méritent d'être faites en manipulant l'explorateur. La première: le point $2s$ ne bouge pas quand ${\eta }_s$ varie; il ne dépend que du rapport de pression, et la ligne pointillée entre 1 et 2 n'est pas un chemin suivi par le gaz — dans un compresseur réel, l'air ne passe pas par une suite d'états d'équilibre, et seules les extrémités ont un sens. La seconde: à rendement fixé, la température de sortie croît très vite avec le rapport de pression. Des températures de refoulement aussi élevées posent des problèmes de lubrification et de matériaux, et coûtent du travail (théorème 9.4: un gaz chaud est volumineux): pour les grands rapports de pression, on comprime en plusieurs étages avec un refroidisseur entre chacun.

La vanne de laminage

Une vanne de laminage — un robinet partiellement fermé, un orifice calibré, un tube capillaire, un bouchon poreux — fait chuter la pression d'un fluide sans rien produire. C'est l'organe de détente des réfrigérateurs et des pompes à chaleur (chapitre 10), le détendeur d'une bouteille de gaz, et le principe du procédé de liquéfaction de Linde (chapitre 7).

Démonstration. On applique (9.5) au volume de contrôle qui entoure la vanne: $q=0$ (adiabatique), $w=0$ (aucune pièce mobile ne traverse la frontière), $z_1=z_2$ et ${\mathcal{V}}_1^2\approx {\mathcal{V}}_2^2$, d'où . La chute de pression a lieu sans travail recueilli, par frottement visqueux et tourbillons dans l'étranglement; en régime adiabatique, le bilan (9.6) donne . Pour vérifier qu'elle est strictement positive, écrivons entre deux états d'équilibre d'enthalpie égale: puisque la pression baisse. En intégrant le long d'un chemin réversible fictif à constant, .

Pour le gaz parfait, $h$ ne dépend que de $T$ (deuxième loi de Joule, théorème 4.1): le laminage le laisse à la même température, ce que le chapitre 4 a démontré pour la détente de Joule–Thomson, relation (4.14). Pour un gaz réel, la température change selon le signe du coefficient ${\mu }_{\mathrm{JT}}$ (chapitre 7). Pour un liquide saturé, l'effet est spectaculaire: une partie du liquide se vaporise et le mélange se refroidit jusqu'à la température de saturation de la pression aval. C'est cette chute de température que les machines frigorifiques exploitent.

Échangeurs de chaleur et chambres de mélange

Un échangeur de chaleur fait passer de la chaleur d'un fluide chaud à un fluide froid sans les mélanger: condenseur et évaporateur d'une pompe à chaleur, radiateur de voiture, refroidisseur d'air comprimé. Si l'on prend pour volume de contrôle l'échangeur entier, enveloppe comprise, et qu'il est bien isolé, les deux courants échangent de la chaleur entre eux, à l'intérieur du volume, et le bilan (9.4) en régime permanent, sans travail ni variation notable d'énergie cinétique, s'écrit

Ce que l'un perd, l'autre le gagne. Si l'on prend au contraire pour volume de contrôle un seul des deux courants, la chaleur qu'il cède traverse sa frontière et devient un $\dot{Q}$: les deux choix sont corrects, ils répondent à des questions différentes. C'est l'exemple même de la règle du cours: nommer le système avant d'écrire le bilan.

Reprenons l'air de l'exemple 9.1, sorti du compresseur à $573,0$ K. Un refroidisseur le ramène à $30$ °C au moyen d'eau qui entre à $15$ °C et sort à $35$ °C. La puissance cédée par l'air vaut $\dot{m}{c}_p(T_2-T_3)=0,500\times 1004,5\times (573,0-303,15)=135,5$ kW, et (9.13) donne le débit d'eau: kg/s. Le bilan d'entropie (9.6) de l'échangeur entier, adiabatique, donne l'entropie créée: l'air perd W/K, l'eau gagne W/K, et W/K. Elle est grande parce que la chaleur passe à travers de grands écarts de température; c'est la deuxième leçon de l'échangeur, dont l'exemple 10.4 (la chaudière d'une centrale) et l'exercice 10.5 (le condenseur d'une pompe à chaleur) donnent l'analogue chiffré en exergie.

Une chambre de mélange réunit deux courants qui en forment un seul: le mitigeur d'une douche, le dégazeur d'une centrale, le mélange d'air neuf et d'air repris dans une ventilation. Les bilans permanents de masse et d'énergie, sans travail et pour une chambre adiabatique, s'écrivent

si bien que $h_3$ est la moyenne des enthalpies pondérée par les débits. Le mélange de deux courants de températures différentes est irréversible, exactement comme le mélange de deux masses d'eau de l'exemple 5.3; l'exercice 9.1 le vérifie sur un mitigeur.

Le diagramme $h$–$s$ de Mollier

Pour les machines thermiques en écoulement, le diagramme le plus utile n'est ni le $p$–$v$ ni le $T$–$s$, mais le diagramme enthalpie–entropie, proposé par l'ingénieur allemand Richard Mollier au début du XXᵉ siècle et qui porte son nom. Sa raison d'être est simple: dans un appareil adiabatique, les deux grandeurs qui comptent sont précisément $h$ et $s$.

• Une distance verticale est une différence d'enthalpie, donc, par (9.8), un travail de turbine ou de compresseur, ou, par (9.7), un gain d'énergie cinétique dans une tuyère. On la lit directement en kJ/kg.
• Une distance horizontale, dans un appareil adiabatique, est l'entropie créée par kilogramme. Une détente isentropique est un segment vertical; une détente réelle penche vers la droite.
• Un laminage est un segment horizontal ($h$ constant, $s$ croissante).
• La pente d'une isobare vaut $(\partial h/\partial s{)}_p=T$, puisque $\mathrm{d}h=T\mathrm{d}s$ à pression constante. Dans la région de vapeur humide, où est constante à pression donnée, les isobares sont des ; dans la vapeur surchauffée, elles se redressent à mesure que croît.

Pour le gaz parfait, $h=c_{p}T$ à une constante près, et le diagramme $h$–$s$ n'est qu'un diagramme $T$–$s$ dont l'axe vertical est multiplié par $c_p$: c'est pourquoi l'explorateur 9.1 travaille en $T$–. Pour la vapeur d'eau, en revanche, le diagramme de Mollier a été pendant un siècle de calcul des turbines, sur papier, avant que les bibliothèques de propriétés comme CoolProp ne le remplacent par un calcul direct. Il reste irremplaçable pour une détente.

Éléments de dynamique des gaz

Jusqu'ici, la vitesse ne servait qu'à compléter un bilan. Dans une tuyère ou un diffuseur, elle devient l'acteur principal, et une grandeur nouvelle entre en jeu: la vitesse du son. Cette section établit les quelques résultats qui suffisent à comprendre les tuyères des turbines, des fusées et des réacteurs. On y traite l'air comme un gaz parfait de $\gamma =1,4$, l'écoulement comme unidimensionnel (grandeurs uniformes sur chaque section) et isentropique, sauf mention contraire.

Les grandeurs d'arrêt

Une remarque d'indice d'abord: dans ce chapitre, l'indice $0$ ($h_0$, $T_0$, $p_0$) désigne l'état d'arrêt défini ci-dessous. Au chapitre 10, le même indice désigne l'état mort de l'exergie ($T_0=298,15$ K, bar), et c'est en ce sens qu'il apparaît une seule fois plus haut, dans l'exergie détruite .

Avec cette notation, le bilan (9.7) d'une tuyère ou d'un diffuseur dit simplement que l'enthalpie d'arrêt se conserve: $h_{0,1}=h_{0,2}$. Pour le bilan (9.5) complet, sans variation d'altitude, $q+w=h_{0,2}-h_{0,1}$. Une tuyère alimentée par un grand réservoir, où le gaz est au repos, part donc des conditions d'arrêt du réservoir, et c'est pourquoi on les note , . La température d'arrêt, elle, ne dépend que de et se conserve même dans un écoulement adiabatique irréversible; la pression d'arrêt, au contraire, diminue dès que l'écoulement crée de l'entropie.

L'échauffement d'arrêt n'est pas une curiosité. Un avion de ligne en croisière à $11$ km d'altitude vole à Mach $0,8$ dans de l'air à $216,65$ K (température de l'atmosphère standard à cette altitude). La vitesse du son y vaut $\sqrt{1,4\times 287,0\times 216,65}=295,0$ m/s, donc m/s, et l'air arrêté sur le bord d'attaque ou dans le diffuseur du réacteur se réchauffe de K. Les sondes de température des avions mesurent d'ailleurs une température proche de la température d'arrêt, que l'ordinateur de bord corrige. Le diffuseur du réacteur en tire une compression gratuite: la pression d'arrêt y est fois la pression ambiante.

La vitesse du son et le nombre de Mach

Une petite perturbation de pression — un son — se propage dans un gaz au repos à une vitesse bien définie. Pour la calculer, plaçons-nous dans le référentiel de l'onde, où l'écoulement est permanent.

Démonstration. Considérons une onde plane qui avance à la vitesse $c$ dans une conduite d'aire $A$ remplie de gaz au repos, à $p$ et $\rho$. Derrière l'onde, le gaz est à $p+\mathrm{d}p$, $\rho +\mathrm{d}\rho$, et il a été mis en mouvement à la petite vitesse $\mathrm{d}\mathcal{V}$ dans le sens de l'onde. Dans le référentiel de l'onde, l'écoulement est permanent: le gaz arrive à la vitesse $c$ et repart à $c-\mathrm{d}\mathcal{V}$. Prenons un volume de contrôle mince qui enferme le front.

Masse. Le débit est le même des deux côtés: $\rho cA=(\rho +\mathrm{d}\rho )(c-\mathrm{d}\mathcal{V})A$, d'où, au premier ordre, $\rho \mathrm{d}\mathcal{V}=c\mathrm{d}\rho$.

Quantité de mouvement. La résultante des forces de pression sur le volume de contrôle, $pA-(p+\mathrm{d}p)A=-A\mathrm{d}p$, est égale au débit de quantité de mouvement sortant moins le débit entrant (la loi de Newton appliquée à la matière qui traverse le volume, Mécanique, chapitre 5 «Quantité de mouvement, collisions et centre de masse»): $\dot{m}[(c-\mathrm{d}\mathcal{V})-c]=-\rho cA\mathrm{d}\mathcal{V}$. Donc .

Élimination. En reportant $\mathrm{d}\mathcal{V}=c\mathrm{d}\rho /\rho$, on obtient $\mathrm{d}p=c^2\mathrm{d}\rho$. Reste à dire comment la pression et la masse volumique varient ensemble dans l'onde. Les gradients y sont faibles (amplitude petite), de sorte que la viscosité et la conduction ne dissipent presque rien, et la perturbation passe trop vite pour échanger de la chaleur: la transformation est adiabatique et réversible, donc isentropique. D'où (9.15). Pour un gaz parfait, la loi de Laplace $p{\rho }^{-\gamma }=\text{constante}$ donne , et avec on obtient (9.16).

Newton avait fait le même calcul en supposant l'onde isotherme, ce qui donne $\sqrt{rT}$ et une valeur environ 15 % trop faible; c'est Laplace qui introduisit le facteur $\gamma$, au début du XIXᵉ siècle, en reconnaissant l'onde comme adiabatique. Dans l'air à 20 °C, (9.16) donne $c=\sqrt{1,4\times 287,0\times 293,15}=343,2$ m/s. La vitesse du son ne dépend que de la température (et du gaz, par et ), pas de la pression: elle est plus faible en altitude parce qu'il y fait plus froid, pas parce que l'air y est raréfié.

Pour un gaz parfait, la définition des grandeurs d'arrêt s'écrit alors en fonction du seul nombre de Mach: avec $c_p=\gamma r/(\gamma -1)$ et ${\mathcal{V}}^2={\mathrm{Ma}}^2\gamma rT$,

Section et vitesse: la relation d'Hugoniot

Dans un tuyau d'arrosage, pincer l'extrémité fait jaillir l'eau plus vite: pour un liquide, réduire la section accélère toujours l'écoulement. Pour un gaz rapide, ce n'est plus vrai.

Démonstration. Masse: $\rho \mathcal{V}A$ est constant, donc, en différentiant son logarithme, $\frac{\mathrm{d}\rho }{\rho }+\frac{\mathrm{d}\mathcal{V}}{\mathcal{V}}+\frac{\mathrm{d}A}{A}=0$. (9.7) sous forme différentielle donne , et pour une évolution isentropique ; donc . l'évolution étant isentropique, par (9.15). En combinant les deux dernières relations,

et en reportant dans la relation de masse, $\frac{\mathrm{d}A}{A}=-\frac{\mathrm{d}\rho }{\rho }-\frac{\mathrm{d}\mathcal{V}}{\mathcal{V}}=({\mathrm{Ma}}^2-1)\frac{\mathrm{d}\mathcal{V}}{\mathcal{V}}$. Si , et sont de signes opposés; si , de même signe. Enfin, si en un point où l'écoulement accélère (), (9.18) impose : ce point est un extremum de la section, et ce ne peut être qu'un minimum, puisque l'accélération demande une section décroissante juste avant (subsonique) et croissante juste après (supersonique).

L'explication physique tient dans la relation intermédiaire $\mathrm{d}\rho /\rho =-{\mathrm{Ma}}^2\mathrm{d}\mathcal{V}/\mathcal{V}$. À faible Mach, quand la vitesse augmente de 1 %, la masse volumique ne baisse presque pas, et il faut réduire la section pour faire passer le même débit plus vite: c'est le comportement «liquide». À Mach supérieur à 1, la masse volumique chute plus vite que la vitesse ne croît: le gaz se dilate tellement qu'il lui faut une section croissante pour passer, bien qu'il aille plus vite. Le flux massique $\rho \mathcal{V}$ est donc maximal à Mach 1, et c'est au col qu'il l'atteint.

Le blocage et le rapport critique

Considérons une tuyère convergente alimentée par un réservoir à $p_0$, $T_0$, qui débouche dans une enceinte où règne la pression $p_{\mathrm{b}}$ (pression «aval», back pressure). Tant que $p_{\mathrm{b}}$ est proche de , le jet est lent et sa pression de sortie est . Quand on abaisse , le débit augmente et la vitesse de sortie croît. Le théorème 9.8 dit que ce processus a une fin: dans une conduite convergente, l'écoulement peut au plus devenir sonique à la sortie, qui est son col. Il reste à trouver la pression qui règne alors.

Démonstration. On pose $\mathrm{Ma}=1$ dans (9.17): $T_0/T^{\ast }=1+(\gamma -1)/2=(\gamma +1)/2$, et la pression s'en déduit par la même relation isentropique. Au col, et ; le débit devient (9.20) en remplaçant et par (9.19): , et . Que ce soit le maximum: pour une section donnée, le flux est maximal à (fin de la section précédente), donc le col, section la plus étroite, limite le débit, et il le limite au plus à la valeur sonique. Enfin, une fois le col sonique, une perturbation de pression née en aval se propage vers l'amont à la vitesse par rapport au gaz, donc à la vitesse par rapport au col: l'information «la pression aval a baissé» ne remonte plus jusqu'au réservoir, et l'écoulement en amont du col ne change plus.

La tuyère de Laval

Une tuyère convergente–divergente, ou tuyère de Laval, du nom de l'ingénieur suédois Gustaf de Laval qui l'employa à la fin du XIXᵉ siècle pour détendre la vapeur de ses turbines, accélère le gaz jusqu'à Mach 1 au col, puis au-delà dans le divergent. Pour chaque section, la relation entre aire et Mach s'obtient en écrivant que le débit $\rho \mathcal{V}A$ est le même qu'au col sonique, avec (9.17) pour $\rho$ et $T$:

Cette fonction vaut 1 pour $\mathrm{Ma}=1$ et croît de part et d'autre: à chaque section $A>A^{\ast }$ correspondent deux nombres de Mach, l'un subsonique, l'autre supersonique. C'est la pression aval qui décide lequel s'établit dans le divergent. La figure 9.3 montre les deux solutions isentropiques d'une même tuyère.

Si la pression aval est exactement celle de la solution supersonique en trait plein, la tuyère est dite adaptée: le jet sort parallèle, à la pression ambiante, avec la vitesse maximale. Si elle vaut celle de la solution en tirets, la tuyère fonctionne en venturi: accélération jusqu'à Mach 1 au col, puis ralentissement. Pour une pression aval intermédiaire, l'écoulement ne peut rester isentropique: une onde de choc droite se forme dans le divergent, à travers laquelle le gaz repasse brutalement en subsonique en créant de l'entropie, et la pression d'arrêt chute. L'étude des chocs dépasse ce chapitre; retenez qu'ils sont la manière dont un écoulement supersonique s'adapte à une pression aval trop élevée, et qu'ils sont irréversibles.

Un régime non permanent: le remplissage d'un réservoir

Le bilan (9.4) vaut aussi quand le contenu du volume de contrôle change. Le cas le plus simple, et le plus surprenant, est celui d'un réservoir vide que l'on remplit.

Démonstration. Le volume de contrôle est l'intérieur du réservoir, avec une seule entrée, la vanne. Il n'y a ni sortie, ni travail (paroi rigide), ni chaleur (adiabatique), et l'on néglige l'énergie cinétique du gaz qui entre et celle du gaz dans le réservoir une fois calmé. Les bilans (9.2) et (9.4) s'écrivent

où $h_0$ est l'enthalpie massique du gaz de la conduite, constante. En éliminant ${\dot{m}}_{\mathrm{e}}$, $\mathrm{d}(mu)=h_0\mathrm{d}m$, qui s'intègre depuis l'état vide () en . Donc : l'énergie interne massique du gaz dans le réservoir égale l'enthalpie massique du gaz qui y est entré. Pour le gaz parfait, avec la même référence pour et (à ), , d'où (9.22).

Le gaz ne garde pas sa température: il s'échauffe en entrant. L'explication est le travail de transvasement. Chaque kilogramme qui entre est poussé dans le réservoir par le gaz de la conduite, qui lui fournit le travail $p_{\mathrm{l}}{v}_{\mathrm{l}}=r{T}_0$; ce travail, ajouté à son énergie interne $c_v{T}_0$, devient de l'énergie interne dans le réservoir, . Ni la pression finale ni le volume n'interviennent. Pour de l'air à °C, K, soit °C. Une bouteille de L remplie ainsi jusqu'à bar contient g d'air; on vérifie que son énergie interne, kJ, égale bien l'enthalpie apportée, kJ. Refroidie ensuite à °C, la bouteille, rigide, ne serait plus qu'à bar.

Dans la réalité, la paroi du réservoir absorbe une partie de cette chaleur et le remplissage n'est pas parfaitement adiabatique: la température atteinte est plus basse. Mais l'échauffement est bien réel, et quiconque a gonflé un pneu ou rempli une bouteille de plongée l'a senti. L'exercice 9.4 traite le cas d'un réservoir qui n'est pas vide au départ.

Synthèse

• Un volume de contrôle est une région de l'espace que la matière traverse; on l'étudie en revenant à un système fermé bien choisi. Bilan de masse: $\mathrm{d}{m}_{\mathrm{vc}}/\mathrm{d}t=\sum {\dot{m}}_e-\sum {\dot{m}}_s$; en , ce qui entre sort.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Borel, L. & Favrat, D., Thermodynamique et énergétique, vol. 1, PPUR — systèmes ouverts, rendements, diagrammes de l'eau.
• Moran, M. J., Shapiro, H. N. et al., Fundamentals of Engineering Thermodynamics, Wiley — chapitres sur le volume de contrôle, l'entropie des systèmes ouverts et les écoulements compressibles.
• Çengel, Y. A. & Boles, M. A., Thermodynamics: An Engineering Approach, McGraw-Hill — bilans des appareils en régime permanent, remplissage de réservoirs, tuyères.
• Pérez, J.-P., Thermodynamique — fondements et applications, Dunod — premier et deuxième principes pour les systèmes ouverts.
• Ansermet, J.-P. & Bréchet, S., Thermodynamique, EPFL Press / PPUR.
• Bell, I. H. et al. (2014), «Pure and pseudo-pure fluid thermophysical property evaluation and the open-source thermophysical property library CoolProp», Industrial & Engineering Chemistry Research 53(6) — source des propriétés de l'eau de ce chapitre.