Machines thermiques et cycles

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• démontrer, à partir des bilans d'énergie et d'entropie sur un cycle, qu'un moteur monotherme est impossible, et classer une machine ditherme d'après les signes de $W$, $Q_{\mathrm{c}}$ et $Q_{\mathrm{f}}$ (moteur, réfrigérateur, pompe à chaleur, ou machine qui ne fait que dissiper);
• définir le rendement d'un moteur et les coefficients de performance ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{F}}$ et ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}$, démontrer leurs bornes de Carnot à partir des deux principes, et chiffrer le travail perdu par l'irréversibilité;
• lire le travail d'un cycle comme une aire dans le diagramme $p$–$V$ et la chaleur comme une aire dans le diagramme $T$–$S$, en déduire le sens de parcours d'un moteur et d'un récepteur, et exprimer le rendement d'un cycle réversible par ses températures moyennes;
• tracer le cycle de Carnot d'un gaz parfait dans les deux diagrammes et expliquer pourquoi personne ne construit de moteur de Carnot à gaz;
• énoncer les hypothèses de l'air standard, établir le rendement des cycles d'Otto, Diesel et Brayton en forme fermée, et montrer que le cycle de Stirling à régénérateur idéal atteint le rendement de Carnot;
• calculer le coefficient de performance d'un réfrigérateur et d'une pompe à chaleur de Carnot, et expliquer, mécanisme par mécanisme, ce que les moteurs réels perdent par rapport à leur cycle idéal.

Du cycle à la machine

Pourquoi un cycle

Le chapitre 4 a fait subir au gaz du cylindre témoin des transformations isolées: une détente isotherme fournit du travail, une compression adiabatique en consomme. Une transformation unique ne fait cependant pas une machine. Une détente isotherme de $1$ mol d'air peut convertir intégralement en travail la chaleur qu'elle reçoit, puisque $\Delta U=0$ pour un gaz parfait à température constante; mais au bout de la détente, le piston est au fond du cylindre, la pression est tombée, et l'opération ne peut pas être répétée sans ramener le gaz à son état initial. Or c'est en le ramenant que l'on rend une partie du travail obtenu.

Une machine utile fonctionne en régime, c'est-à-dire qu'elle répète indéfiniment la même suite d'opérations. Le fluide qui la traverse — l'air d'un moteur, l'eau d'une centrale, le fluide frigorigène d'un réfrigérateur — revient périodiquement dans le même état. C'est cette contrainte, et elle seule, qui donne à la thermodynamique des machines ses résultats les plus forts: puisque le fluide revient à son état initial, toutes ses fonctions d'état reprennent leur valeur, et les bilans se réduisent à des relations entre les seules quantités échangées.

Le système des bilans de ce chapitre est toujours le fluide de la machine, et lui seul: les sources et l'organe qui reçoit ou fournit le travail (arbre, piston, réseau électrique) sont à l'extérieur. Il est fermé dans un moteur à piston idéalisé; dans une turbine à gaz ou une pompe à chaleur, le fluide circule en boucle à travers plusieurs appareils ouverts, mais une masse donnée de fluide suivie sur un tour complet de la boucle est un système fermé qui décrit un cycle, et c'est elle que nous bilançons. Le chapitre 9 refera les mêmes bilans appareil par appareil, en système ouvert.

Toutes les quantités sont comptées selon la convention du cours: $W$, $Q_{\mathrm{c}}$ et $Q_{\mathrm{f}}$ sont reçus par le fluide, et positifs s'ils entrent. Un moteur fournit du travail, donc $W<0$ pour lui; il faut s'y habituer, c'est le prix d'une convention unique.

Les deux bilans sur un cycle

Appliquons les deux principes au fluide sur un nombre entier de cycles. Le premier principe, avec $\Delta U=0$, donne

où $Q_i$ est la chaleur reçue de la source $i$. Le travail net reçu est l'opposé de la chaleur nette reçue: un moteur ne «fabrique» pas d'énergie, il convertit de la chaleur en travail, et rien de plus.

Le bilan d'entropie du chapitre 5, relation (5.6), $\Delta S=S_{\mathrm{e}}+S_{\mathrm{c}}$, donne avec $\Delta S=0$ et l'entropie échangée $S_{\mathrm{e}}={\sum }_i{Q}_i/T_i$, chaque chaleur étant divisée par la température de la frontière où elle passe, c'est-à-dire celle de la source:

Prendre la frontière du système au contact même des sources, à leur température, est un choix: on y inclut les couches de fluide et de paroi où la température chute, de sorte que toute l'entropie créée par le transfert de chaleur sous un écart de température fini est comptée dans $S_{\mathrm{c}}$. La relation (6.2) est l'inégalité de Clausius du chapitre 5 (théorème 5.6, relation (5.4)), appliquée à un nombre fini de sources: ${\sum }_i{Q}_i/T_i\le 0$, avec égalité si et seulement si le cycle est réversible.

Les deux relations (6.1) et (6.2) sont tout ce dont nous aurons besoin pour les bornes. Le reste du chapitre consistera à les appliquer, puis à calculer $W$ et les $Q_i$ pour des cycles particuliers.

L'impossibilité du moteur monotherme

Démonstration. Avec une seule source, (6.1) s'écrit $W+Q=0$ et (6.2) s'écrit $Q/T_0+S_{\mathrm{c}}=0$. La seconde donne $Q=-T_0{S}_{\mathrm{c}}$, qui est négatif ou nul puisque et ; la première donne alors . Si le cycle est réversible, et les deux échanges sont nuls.

Ce théorème est l'énoncé de Kelvin–Planck du chapitre 5, retrouvé à partir du bilan d'entropie. Ce n'est pas une nouvelle preuve du deuxième principe — le bilan d'entropie en est la traduction, construite au chapitre 5 sur ce même énoncé —, c'est une vérification de cohérence, et surtout une méthode: toutes les bornes qui suivent s'obtiennent exactement ainsi, en éliminant une chaleur entre (6.1) et (6.2).

Le théorème interdit un navire qui avancerait en refroidissant l'océan, ou une centrale qui produirait de l'électricité en puisant dans la chaleur du lac Léman, sans autre source plus froide. Il n'interdit nullement l'inverse: un radiateur électrique, un frein, un agitateur qui chauffe un liquide sont des machines monothermes parfaitement possibles, qui reçoivent du travail et le restituent intégralement sous forme de chaleur. La relation (6.3) dit même combien d'entropie ils créent: $S_{\mathrm{c}}=W/T_0$. Un radiateur de $2$ kW dans une pièce à $20$ °C crée $2000/293,15=6,82$ W/K d'entropie.

Machines dithermes

Quatre usages, deux interdits

Avec deux sources, les bilans (6.1) et (6.2) deviennent

Trois quantités, liées par une égalité: les signes de $W$, $Q_{\mathrm{c}}$ et $Q_{\mathrm{f}}$ ne peuvent pas être tous les trois identiques, ce qui laisse six combinaisons. Le premier principe les autorise toutes; le deuxième en interdit deux. Le tableau les passe en revue.

Les deux lignes interdites le sont parce que $Q_{\mathrm{c}}/T_{\mathrm{c}}+Q_{\mathrm{f}}/T_{\mathrm{f}}$ y serait positif. Pour la cinquième, les deux termes sont positifs. Pour la sixième, $W<0$ exige , et alors : c'est l'énoncé de Clausius, sous une forme plus forte encore. Les deux lignes «sans intérêt» sont des machines qui consomment du travail sans rien produire d'utile; on les rencontre comme pannes, pas comme projets.

Il reste donc deux usages véritables d'une machine ditherme. Le moteur reçoit de la chaleur de la source chaude, en cède une partie à la source froide et fournit la différence sous forme de travail. Le réfrigérateur et la pompe à chaleur sont une seule et même machine, qui reçoit du travail, prend de la chaleur à la source froide et en cède davantage à la source chaude; ils ne diffèrent que par l'effet recherché. Le réfrigérateur sert à refroidir la source froide (l'intérieur de l'appareil), la pompe à chaleur à chauffer la source chaude (la maison). Un même appareil réversible peut d'ailleurs faire les deux, selon la saison.

La figure 6.1 résume ce classement dans le plan des deux chaleurs, une représentation due à Raveau. Chaque cycle y est un point; le premier principe y trace la droite $W=0$, le deuxième une droite plus raide au-dessus de laquelle aucun point n'est accessible.

Rendement et coefficients de performance

On juge une machine par le rapport de ce qu'elle produit d'utile à ce qu'elle coûte. Pour un moteur, on paie la chaleur prise à la source chaude, le combustible; on obtient du travail. Pour un réfrigérateur, on paie le travail, généralement électrique; on obtient la chaleur retirée à la source froide. Pour une pompe à chaleur, on paie aussi le travail, et l'on obtient la chaleur cédée à la source chaude.

Pour une même machine réceptrice, le premier principe donne $-Q_{\mathrm{c}}=W+Q_{\mathrm{f}}$, donc ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{F}}$: la chaleur livrée à la maison est la chaleur prise au sol le travail du compresseur, qui finit lui aussi en chaleur. C'est pourquoi un réfrigérateur dont on ouvre la porte réchauffe la cuisine: il y rejette, outre la chaleur qu'il en retire, le travail qu'il consomme (exercice 6.2).

Le rendement s'écrit aussi, avec (6.1), $\eta =(Q_{\mathrm{c}}+Q_{\mathrm{f}})/Q_{\mathrm{c}}=1+Q_{\mathrm{f}}/Q_{\mathrm{c}}=1-|Q_{\mathrm{f}}|/Q_{\mathrm{c}}$. Un moteur est donc d'autant meilleur qu'il rejette moins de chaleur à la source froide pour une chaleur reçue donnée. Le théorème 6.1 nous a appris qu'il doit en rejeter un peu; le suivant dit combien, au minimum.

Les bornes de Carnot

Démonstration. Dans chaque cas, on élimine la chaleur qui n'intéresse pas l'utilisateur entre (6.1) et (6.2), en gardant $S_{\mathrm{c}}$.

Moteur. De (6.2), $Q_{\mathrm{f}}=-T_{\mathrm{f}}\left(Q_{\mathrm{c}}/T_{\mathrm{c}}+S_{\mathrm{c}}\right)$. Avec (6.1), . En divisant par :

Réfrigérateur. De (6.2), $Q_{\mathrm{c}}=-T_{\mathrm{c}}\left(Q_{\mathrm{f}}/T_{\mathrm{f}}+S_{\mathrm{c}}\right)$, d'où . Avec :

Pompe à chaleur. On garde cette fois $Q_{\mathrm{c}}$: $W=-Q_{\mathrm{c}}-Q_{\mathrm{f}}=-Q_{\mathrm{c}}(T_{\mathrm{c}}-T_{\mathrm{f}})/T_{\mathrm{c}}+T_{\mathrm{f}}{S}_{\mathrm{c}}$, et avec :

Dans les trois cas, l'inégalité devient une égalité si et seulement si $S_{\mathrm{c}}=0$, c'est-à-dire pour un cycle réversible. $\square$

Le chapitre 5 a obtenu la première borne par une autre route, le théorème de Carnot et la relation (5.3) du théorème 5.5: aucun moteur ne peut avoir un meilleur rendement qu'un moteur réversible entre les mêmes sources, et tous les moteurs réversibles ont le même. Les deux démonstrations reposent sur le même principe; celle-ci a l'avantage de livrer, en plus de la borne, l'écart à la borne. Récrivons les trois résultats intermédiaires en comparant le travail $W$ à celui, $W_{\mathrm{rev}}$, qu'échangerait une machine réversible chargée de la même tâche (même chaleur reçue pour le moteur, même froid produit pour le réfrigérateur, même chaleur livrée pour la pompe):

Chaque joule par kelvin d'entropie créée coûte du travail: le moteur en fournit moins, le récepteur en consomme plus, et la facture est l'entropie créée multipliée par la température d'une des sources. Le chapitre 10 généralisera ce résultat sous le nom de théorème de Gouy–Stodola, relation (10.11), avec la température de l'environnement à la place de celle d'une source.

Les bornes (6.5) appellent trois remarques. La borne du moteur tend vers $1$ seulement si $T_{\mathrm{f}}/T_{\mathrm{c}}\to 0$; avec une source froide à la température ambiante, $300$ K, il faudrait une source chaude infiniment chaude. Elle est d'autant meilleure que l'écart de températures est grand, d'où l'intérêt des températures de combustion élevées. Les bornes des récepteurs, au contraire, sont d'autant meilleures que l'écart est petit: pomper de la chaleur sur un faible dénivelé de température coûte peu. Enfin, les températures sont absolues: c'est le rapport $T_{\mathrm{f}}/T_{\mathrm{c}}$ en kelvins qui compte, et un calcul en degrés Celsius donne un résultat faux.

Propriétés générales des cycles

Le travail et la chaleur comme des aires

Lorsque le cycle est quasi statique, son travail et sa chaleur se lisent sur un diagramme. Le chapitre 3 a établi que le travail des forces de pression vaut $\delta W=-p\mathrm{d}V$ le long d'une transformation quasi statique, et qu'il dépend du chemin; sur un cycle, les chemins aller et retour diffèrent, et c'est précisément cette différence qui donne un travail net. Le chapitre 5 a montré que, pour un échange réversible, $\delta Q=T\mathrm{d}S$, de sorte que la chaleur est une aire dans le diagramme $T$–$S$.

Démonstration. La relation (6.7) est la somme des travaux élémentaires $-p\mathrm{d}V$ sur le contour. Supposons le cycle simple (sans boucle), et notons $V_a$ et $V_b$ les volumes extrêmes. Le contour se compose d'une branche supérieure $p_{\mathrm{h}}(V)$ et d'une branche inférieure entre et . Parcouru dans le sens horaire, il suit la branche supérieure de vers () et la branche inférieure en revenant:

qui est l'aire enclose. Donc $W=-\oint p\mathrm{d}V<0$: le fluide fournit du travail. Le sens antihoraire change le signe. Pour (6.8), le premier principe sur le cycle donne $Q=-W$, et pour un cycle réversible $Q=\oint \delta Q=\oint T\mathrm{d}S$; le même découpage en branches haute et basse, avec et à la place de et , montre que est l'aire enclose, positive dans le sens horaire.

Dans le diagramme $T$–$S$, on lit plus que le travail. L'aire sous une branche où $S$ croît est la chaleur reçue; l'aire sous une branche où $S$ décroît est la chaleur cédée. Le moteur reçoit de la chaleur «en haut», à température élevée, et en cède «en bas», à température basse: la différence des deux aires est le travail.

Le rendement par les températures moyennes

Cette lecture conduit à un outil qui servira à comparer tous les cycles de ce chapitre. Considérons un cycle réversible qui reçoit de la chaleur sur une partie de son contour, où $S$ croît, et en cède sur l'autre, où $S$ décroît. Comme $\Delta S=0$ sur le cycle, l'entropie gagnée sur la première partie, $\Delta S_{\mathrm{cycle}}$, est exactement perdue sur la seconde.

Démonstration. Par (6.8) et la définition, $Q_{\text{rec¸ue}}={\int }_{\text{rec¸ue}}T\mathrm{d}S={\overline{T}}_{\mathrm{c}}\Delta S_{\mathrm{cycle}}$ et , la même variation d'entropie intervenant dans les deux. Le rendement vaut .

Le théorème 6.4 explique d'un coup pourquoi un cycle réversible peut rester loin de la borne de Carnot entre ses températures extrêmes. Si la chaleur n'est pas reçue tout entière à la température maximale, ${\overline{T}}_{\mathrm{c}}$ est plus bas que $T_{\max }$; si elle n'est pas rejetée tout entière à la température minimale, ${\overline{T}}_{\mathrm{f}}$ est plus haut que . Sans régénérateur, le cycle de Carnot est le seul qui reçoive et rejette la chaleur aux températures extrêmes (le cycle de Stirling à régénérateur idéal du théorème 6.7 y parvient aussi, vu de l'extérieur): dans le diagramme –, c'est un rectangle, et c'est le cycle d'aire maximale entre deux températures données pour une variation d'entropie donnée. Les cycles à air que nous étudierons ensuite échangent leur chaleur pendant que la température varie, et ils paient cette variation par un trop bas et un trop haut.

Le cycle de Carnot

Les quatre transformations

Le cycle que Sadi Carnot décrivit en 1824 dans ses Réflexions sur la puissance motrice du feu est le seul cycle réversible qui, sans régénérateur, n'échange de la chaleur qu'avec deux sources. Pour que l'échange avec une source soit réversible, le fluide doit être à la température de la source pendant tout l'échange: les deux branches d'échange sont des isothermes, à $T_{\mathrm{c}}$ et à $T_{\mathrm{f}}$. Pour passer d'une température à l'autre sans échanger de chaleur avec une troisième source, le fluide doit être isolé thermiquement: les deux autres branches sont des adiabatiques réversibles, donc isentropiques. Le cycle de Carnot est fait de deux isothermes et de deux isentropiques, quel que soit le fluide.

Construisons-le avec le gaz du cylindre témoin des chapitres 3 et 4: de l'air, $\gamma =1,4$, $nR=1/3$ J/K et $C_V=5/6$ J/K, entre $T_{\mathrm{f}}=300$ K et K. Nous numérotons les états comme pour tous les cycles de ce chapitre: compression, réception de chaleur, détente, rejet de chaleur.

• État 1: $V_1=1,000$ L, $p_1=1,000$ bar, $T_1=300$ K.

Le travail net est $W=250-138,6-250+69,31=-69,31$ J; les deux travaux adiabatiques s'annulent, puisque $\Delta U$ ne dépend que de $T$. Le rendement vaut $\eta =69,31/138,6=0,500$, exactement . Une intégration numérique de le long des quatre branches redonne J, et le premier principe, , aussi.

Dans le diagramme $T$–$S$, le cycle est un rectangle. Les isentropiques sont verticales; sur chaque isotherme, l'entropie varie de $\Delta S=Q/T=nR\ln 2=0,2310$ J/K. L'aire du rectangle, $(600-300)\times 0,2310=69,31$ J, est le travail fourni; l'aire sous la branche haute, J, est . La figure 6.2 montre les deux diagrammes côte à côte, à l'échelle.

Pourquoi personne ne construit de moteur de Carnot à gaz

Regardez la forme du cycle dans le diagramme $p$–$V$: un croissant effilé. La pression varie d'un facteur $11,31/0,500=22,6$ et le volume d'un facteur $2/0,1768=11,3$, tandis que le travail obtenu, $69,31$ J, est minuscule à côté des quelque $250$ J échangés sur chaque adiabatique. Le cylindre doit balayer $1,823$ L pour en tirer J: c'est une (le travail net divisé par le volume balayé, définition 6.4 plus loin) de bar. Un moteur aussi gros pour aussi peu de travail serait écrasé par ses propres frottements.

La seconde raison est cinétique. Une isotherme réversible exige que le gaz reçoive la chaleur sous un écart de température infinitésimal, donc infiniment lentement, tandis que les adiabatiques doivent être assez rapides pour que les fuites de chaleur y soient négligeables. Aucun moteur ne concilie les deux. Le cycle de Carnot reste un étalon — la borne (6.5) et le rectangle du diagramme $T$–$S$ —, pas un plan de moteur. Les machines réelles s'en approchent par d'autres chemins: le changement de phase, qui rend les échanges de chaleur naturellement isothermes à pression constante (cycle de Rankine, chapitre 10), ou la régénération, que nous verrons avec le cycle de Stirling.

Les cycles à air standard

Les hypothèses

Un moteur à combustion interne n'est pas une machine ditherme. Le fluide n'y décrit même pas de cycle: de l'air frais entre, brûle avec le carburant et ressort sous forme de gaz brûlés. Pour en faire une théorie simple, on remplace le moteur réel par un cycle fictif qui en conserve les traits essentiels.

On parle d'air standard «froid» lorsque l'hypothèse 5 est retenue, comme ici. Le cycle à air standard n'est donc ni le moteur réel ni une machine ditherme: il échange de la chaleur à des températures qui varient, si bien qu'il faudrait une infinité de sources pour le réaliser de façon réversible. Il sert à isoler l'effet des paramètres de conception — le taux de compression, la façon d'apporter la chaleur — et à fournir une borne au sein de ce modèle. Les grandeurs sont rapportées au kilogramme d'air: $q$ et $w$, en kJ/kg, avec la même convention de signe que $Q$ et $W$.

Le moteur à quatre temps

Le moteur à allumage commandé à quatre temps, que Nikolaus Otto mit au point en 1876, fonctionne ainsi. Le piston va et vient dans le cylindre entre le point mort haut, où le volume est minimal $V_{\min }$, et le point mort bas, où il est maximal $V_{\max }$. Un cycle dure deux tours de vilebrequin et comprend quatre courses: l'admission, piston descendant, soupape d'admission ouverte, qui aspire le mélange d'air et d'essence; la compression, soupapes fermées, piston montant; la combustion et la détente, déclenchées par l'étincelle de la bougie près du point mort haut, la combustion très rapide faisant monter la pression presque à volume constant avant que le piston ne redescende; l'échappement, piston remontant, soupape d'échappement ouverte, qui chasse les gaz brûlés. Seule la troisième course fournit du travail; les trois autres en consomment, prélevé sur l'inertie du volant ou sur les autres cylindres.

Le cycle d'Otto

Le cycle d'Otto à air standard est formé de deux adiabatiques réversibles et de deux isochores: compression $1\to 2$ de $v_1$ à $v_2=v_1/\tau$, apport de chaleur $2\to 3$ à volume constant, détente de à , rejet de chaleur à volume constant.

Démonstration. Le système est le kilogramme d'air du cylindre. Sur les isochores, le travail est nul et le premier principe donne $q=\Delta u=c_v\Delta T$: le fluide reçoit $q_{\mathrm{c}}=q_{23}=c_v(T_3-T_2)>0$ et . Les adiabatiques n'échangent pas de chaleur. Par la définition 6.2 et (6.1),

Sur les deux adiabatiques réversibles, la loi de Laplace $T{v}^{\gamma -1}=\text{cte}$ relie les températures aux mêmes volumes $v_1$ et $v_2$:

Donc $T_3-T_2={\tau }^{\gamma -1}(T_4-T_1)$, et .

La démonstration montre aussi pourquoi le rendement ne dépend pas de $T_3$. Les deux isochores sont parcourues entre des températures dans le même rapport, $T_3/T_2=T_4/T_1$; leurs températures moyennes, au sens du théorème 6.4, sont dans le rapport . Chauffer davantage agrandit le cycle et le travail, mais déplace les deux moyennes ensemble.

La relation (6.10) dit que le rendement croît avec le taux de compression, de plus en plus lentement: à $\tau =8$, $56,47\%$; à $\tau =10$, $60,19\%$; à $\tau =12$, $62,99\%$. Pourquoi ne pas comprimer davantage? Parce que dans un moteur à allumage commandé, c'est le mélange air–carburant que l'on comprime. Au-delà d'un certain taux, qui dépend du carburant, l'échauffement de compression fait s'enflammer spontanément une partie du mélange avant le passage du front de flamme: c'est le (ou détonation), qui produit des ondes de pression destructrices. L'indice d'octane d'une essence mesure précisément sa résistance à cette auto-inflammation. Le taux de compression d'un moteur à essence est donc limité par la chimie du carburant, non par la thermodynamique du cycle.

L'explorateur ci-dessous redessine le cycle à l'échelle pour d'autres valeurs de $\tau$ et de $T_3$.

Trois expériences à faire. Laissez $\tau =10$ et déplacez $T_3$ de $1200$ à $2600$ K: le cycle grandit, le travail par kilogramme passe de $192,8$ à $797,4$ kJ/kg, la borne de Carnot monte de $75,00$ à $88,46\%$, mais le rendement d'Otto reste à . Ramenez ensuite à : le cycle s'écrase en largeur et le rendement tombe à . Enfin, à fixé, observez que la pression maximale croît beaucoup plus vite que le rendement: à K, elle passe de bar à à bar à (elle vaut , proportionnelle à ), pour un gain de rendement de points seulement. Les contraintes mécaniques limitent aussi le taux de compression.

Le cycle Diesel

Rudolf Diesel proposa dans les années 1890 un moteur qui contourne la limite du cliquetis: on ne comprime que de l'air, assez fortement pour qu'il dépasse la température d'auto-inflammation du gazole, et l'on n'injecte le carburant qu'au point mort haut. Le carburant brûle à mesure qu'il est injecté, pendant que le piston commence à redescendre; dans le modèle, la pression reste constante pendant la combustion. Sans mélange à comprimer, le taux de compression n'est plus limité par le cliquetis, et les moteurs Diesel compriment nettement plus que les moteurs à essence. La firme Sulzer, à Winterthour, compte parmi les constructeurs historiques de grands moteurs Diesel, notamment pour la marine.

Le cycle Diesel à air standard diffère du cycle d'Otto par une seule branche: l'apport de chaleur $2\to 3$ se fait à pression constante, de $v_2$ à $v_3$. On définit le rapport de détente préalable (ou d'injection) $\beta =v_3/v_2>1$.

Démonstration. Le système est encore le kilogramme d'air. Sur l'isobare $2\to 3$, le premier principe donne $q_{\mathrm{c}}=\Delta h=c_p(T_3-T_2)$, résultat du chapitre 3, relation (3.7); sur l'isochore , . Donc

Exprimons tout en fonction de $T_1$. La compression adiabatique donne $T_2=T_1{\tau }^{\gamma -1}$. Sur l'isobare, $T\propto v$, donc . La détente adiabatique va de à , d'où . En reportant,

qui est (6.11). $\square$

Le facteur $\frac{{\beta }^{\gamma }-1}{\gamma (\beta -1)}$ vaut $1$ à la limite $\beta \to 1$ (la règle de L'Hôpital le montre: la dérivée du numérateur en $\beta =1$ vaut ) et il est supérieur à pour , puisque est convexe. , le cycle Diesel a donc un rendement plus faible que le cycle d'Otto: avec et , il atteint contre . Le théorème 6.4 en donne la raison: l'apport de chaleur à pression constante se poursuit pendant la détente et se fait en moyenne à une température plus basse. L'avantage réel du Diesel vient d'ailleurs: il peut fonctionner à des taux de compression que le moteur à essence ne peut pas atteindre.

Le cycle de Stirling et le régénérateur

Le pasteur écossais Robert Stirling fit breveter en 1816 un moteur à air chaud à combustion externe: la chaleur traverse une paroi, comme dans une machine à vapeur, et le gaz de travail reste enfermé. Le cycle de Stirling idéal est formé de deux isothermes et de deux isochores. Avec la numérotation du chapitre: compression isotherme $1\to 2$ à $T_{\mathrm{f}}$, chauffage isochore $2\to 3$ jusqu'à $T_{\mathrm{c}}$, détente isotherme $3\to 4$ à , refroidissement isochore jusqu'à .

Faisons-le décrire au gaz du cylindre témoin, entre $V_{\min }=1$ L et $V_{\max }=2$ L, et entre $300$ K et $600$ K. Les isothermes échangent $Q_{12}=-nR{T}_{\mathrm{f}}\ln 2=-69,31$ J et J; les isochores échangent J — c'est le chauffage isochore témoin du chapitre 3 — et J. Le travail net vaut J, le même que pour le cycle de Carnot entre les mêmes températures. Mais si toute la chaleur reçue vient de la source chaude, le rendement vaut seulement

Stirling eut l'idée qui change tout: le régénérateur, un bloc poreux (toile métallique, laine d'acier) placé sur le chemin du gaz entre la zone chaude et la zone froide. Pendant le refroidissement $4\to 1$, le gaz chaud traverse le régénérateur et lui cède sa chaleur, tranche par tranche, en se refroidissant; pendant le chauffage $2\to 3$, le gaz froid le traverse en sens inverse et reprend cette chaleur. Le régénérateur est une mémoire thermique interne à la machine.

Démonstration. Le système est le gaz. Pour un gaz parfait, $C_V$ ne dépend pas du volume (première loi de Joule, chapitre 4); la chaleur cédée sur l'isochore $V_{\max }$ entre $T$ et $T-\mathrm{d}T$, $C_V\mathrm{d}T$, est donc exactement celle que demande l'isochore entre et . Le régénérateur idéal stocke la première à la température et rend la seconde à la même température: chaque échange se fait sans écart de température, donc de façon réversible, et le bilan net du régénérateur sur un cycle est nul. Les sources extérieures ne fournissent alors que et ne reçoivent que . Le travail net, , ne change pas, puisque les deux isochores se compensent de toute façon. D'où

Ce résultat est conforme au théorème 6.2: les seuls échanges avec l'extérieur se font sur des isothermes aux températures des sources, et toutes les transformations sont réversibles; le cycle vu de l'extérieur est ditherme et réversible, il atteint donc la borne. $\square$

Avec le gaz témoin, le régénérateur idéal fait passer le rendement de $17,84\%$ à $50,00\%$. Comparé au cycle de Carnot entre les mêmes températures, qui fournit le même travail, le cycle de Stirling n'utilise qu'un rapport de volumes de $2$ au lieu de $11,3$: sa pression moyenne effective vaut $69,31\text{J}/1\text{L}=0,693$ bar, contre $0,380$ bar. Le prix est un régénérateur qui, en pratique, n'est jamais parfait: il faut un écart de température pour qu'il échange de la chaleur, et il oppose une perte de charge au gaz qui le traverse. L'exercice 6.3 chiffre l'effet d'un régénérateur imparfait. Les moteurs Stirling sont silencieux et acceptent n'importe quelle source de chaleur externe, du concentrateur solaire au bois; ils restent des machines de niche.

Le cycle de Brayton: la turbine à gaz

Une turbine à gaz fonctionne en écoulement continu, et non par à-coups comme un moteur à piston. Un compresseur aspire l'air et le comprime; une chambre de combustion le chauffe à pression à peu près constante en y brûlant du carburant; une turbine détend les gaz chauds et entraîne à la fois le compresseur, monté sur le même arbre, et la charge — un alternateur, une hélice, ou rien du tout dans un turboréacteur, où l'énergie restante sert à accélérer les gaz dans une tuyère. Le cycle à air standard correspondant, que l'on appelle cycle de Brayton ou cycle de Joule, ferme la boucle par un refroidissement à pression constante: $1\to 2$ compression adiabatique réversible de $p_1$ à $p_2$, $2\to 3$ apport de chaleur à , détente adiabatique réversible jusqu'à , rejet de chaleur à . On note le .

Chaque appareil est un système ouvert en régime permanent, et le chapitre 9 montrera que le travail échangé par un compresseur ou une turbine adiabatique vaut $\Delta h$ par kilogramme, relation (9.8), et la chaleur reçue dans un échangeur isobare aussi. La masse d'air suivie sur un tour de boucle est, elle, un système fermé qui décrit un cycle; les deux points de vue donnent les mêmes $q$ et le même $w$ net, et nous adoptons ici le second.

Démonstration. Sur les deux isobares, $q=\Delta h=c_p\Delta T$: $q_{\mathrm{c}}=c_p(T_3-T_2)$ et , donc

La loi de Laplace sous la forme $T{p}^{(1-\gamma )/\gamma }=\text{cte}$ (chapitre 4), appliquée aux deux adiabatiques qui relient les mêmes pressions $p_1$ et $p_2$, donne $T_2/T_1=T_3/T_4=r_p^{(\gamma -1)/\gamma }$. Donc , et .

La structure de la démonstration est celle du cycle d'Otto, avec le rapport des pressions à la place du rapport des volumes: dans les deux cas, $\eta =1-T_1/T_2$, le rapport des températures avant et après la compression. Comme pour Otto, le rendement idéal ne dépend pas de la température d'entrée de turbine $T_3$; le travail, si.

La turbine à gaz a une place dans l'histoire suisse de l'énergie: la première turbine à gaz destinée à produire de l'électricité pour un réseau public fut livrée par Brown, Boveri & Cie, de Baden, à la ville de Neuchâtel en 1939. Aujourd'hui, les centrales à cycle combiné placent un cycle à vapeur sous le cycle de Brayton: les gaz qui sortent de la turbine, à plus de $700$ K dans notre exemple, sont encore assez chauds pour produire de la vapeur. Le théorème 6.4 dit exactement pourquoi l'idée est bonne: elle abaisse la température moyenne à laquelle l'ensemble rejette sa chaleur.

Réfrigérateurs et pompes à chaleur idéaux

Le cycle de Carnot inversé

Un cycle réversible peut être parcouru dans les deux sens. Le cycle de Carnot parcouru en sens inverse — compression isotherme à $T_{\mathrm{c}}$ où le fluide cède de la chaleur, détente adiabatique jusqu'à $T_{\mathrm{f}}$, détente isotherme à $T_{\mathrm{f}}$ où il en reçoit, compression adiabatique jusqu'à $T_{\mathrm{c}}$ — est le réfrigérateur et la pompe à chaleur idéaux. Toutes les quantités changent de signe: le cylindre témoin, parcourant le cycle de la figure 6.2 dans le sens antihoraire, recevrait J de travail, prendrait J à la source à K et livrerait J à la source à K. Son vaut , égal à , et son vaut . Il atteint les bornes (6.5), puisqu'il est réversible.

Le cycle de Carnot inversé à gaz a les défauts du cycle moteur: il est maigre et lent. Les réfrigérateurs et pompes à chaleur réels utilisent un fluide qui change de phase: il s'évapore à basse pression en prenant de la chaleur à la source froide, à température constante, et se condense à haute pression en cédant de la chaleur à la source chaude, à température presque constante. Le cycle à compression de vapeur qui en résulte, ses quatre appareils, son diagramme $\log p$–$h$ et le choix du fluide frigorigène sont l'objet du chapitre 10. Le Genevois Raoul Pictet, qui liquéfia l'oxygène en 1877, construisit aussi des machines frigorifiques industrielles. Ici, nous retenons la forme idéale et ses bornes, qui ne dépendent que des températures.

Ce que perdent les moteurs réels

Le cycle d'Otto témoin a un rendement de $60,19\%$. Les moteurs à essence réels convertissent en travail sur l'arbre une fraction nettement plus faible de l'énergie de leur carburant, et cette fraction dépend fortement du régime et de la charge; nous ne la chiffrerons pas, faute d'une source unique qui la fixe. Nous pouvons en revanche dire où passe la différence, mécanisme par mécanisme. Chacun viole une des hypothèses de la définition 6.3.

1. Le fluide n'est pas de l'air à capacités thermiques constantes. La capacité thermique de l'air croît avec la température: d'après CoolProp, $\gamma$ passe de $1,402$ à $300$ K à $1,298$ à $2000$ K sous $1$ bar, et les gaz brûlés, riches en CO₂ et en H₂O, ont un $\gamma$ plus faible encore. Avec $\gamma =1,3$ partout, la relation (6.10) ne donnerait plus que $49,88\%$ à . Ce calcul n'est qu'une indication de sensibilité, pas le rendement d'un moteur. À haute température, de plus, une partie du CO₂ et de l'H₂O se dissocie, en absorbant de l'énergie qui n'est pas restituée au bon moment (chapitre 14).

Tous ces mécanismes, sauf le premier, créent de l'entropie ou détournent de l'énergie, et la relation (6.6) en donne le prix: le travail perdu est l'entropie créée multipliée par une température. Le premier, lui, est un défaut du modèle et non du moteur. Pour un ingénieur, l'intérêt du cycle à air standard n'est pas de prédire le rendement, mais d'isoler l'effet des paramètres — le taux de compression, le mode d'apport de chaleur — à travers lesquels les moteurs réels progressent effectivement.

Synthèse

• Sur un cycle, toutes les fonctions d'état reprennent leur valeur: $W+\sum Q_i=0$ et $\sum Q_i/T_i+S_{\mathrm{c}}=0$, . Une machine monotherme ne peut que recevoir du travail, (théorème 6.1).

Exercices

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Références

• Pérez, J.-P., Thermodynamique — fondements et applications, Dunod, chapitres sur les machines thermiques et le diagramme de Raveau.
• Borel, L. & Favrat, D., Thermodynamique et énergétique, PPUR, volume 1, chapitres sur les cycles moteurs et les pompes à chaleur.
• Ansermet, J.-P. & Bréchet, S., Thermodynamique, EPFL Press / PPUR, chapitre sur les machines thermiques.
• Çengel, Y. A. & Boles, M. A., Thermodynamics: An Engineering Approach, McGraw-Hill, chapitres «Gas Power Cycles» (Otto, Diesel, Stirling, Brayton) et «Refrigeration Cycles».
• Moran, M. J., Shapiro, H. N. et al., Fundamentals of Engineering Thermodynamics, Wiley, chapitre sur les cycles à gaz.
• Curzon, F. L. & Ahlborn, B. (1975), «Efficiency of a Carnot engine at maximum power output», American Journal of Physics 43(1).