Tables, constantes et données

Cette annexe rassemble les nombres du cours: les constantes fondamentales, les unités et leurs conversions, les propriétés des gaz parfaits usuels, les constantes critiques, les tables de l'eau et du propane, les propriétés des matériaux et quelques ordres de grandeur. Elle est faite pour être consultée pendant la résolution d'un problème, pas lue d'un bout à l'autre. Mais la prose qui accompagne chaque table mérite d'être lue une fois, parce qu'elle dit d'où viennent les valeurs, avec quelle précision on a le droit de s'en servir et comment on lit une table — une table de vapeur mal lue donne un résultat faux avec la même assurance qu'une table bien lue.

Trois principes gouvernent tout ce qui suit.

• Chaque nombre a été calculé, pas recopié. Les constantes dérivées sont recalculées à partir des constantes fixées du SI; toutes les propriétés de l'eau, de la vapeur, du propane et des gaz proviennent de la bibliothèque CoolProp 8.0 (Bell et al., 2014), qui implémente pour l'eau la formulation de référence IAPWS-95. Les lignes qui recoupent la table de l'eau saturée et les données témoins des chapitres reproduisent exactement leurs valeurs.
• Chaque nombre porte son statut. Une constante est exacte par définition, conventionnelle ou mesurée; une propriété de fluide est calculée par une équation d'état de référence; une propriété de matériau est une valeur typique, qui varie d'un produit à l'autre de quelques pour cent à un facteur deux.
• Une table de propriétés n'a de sens qu'avec son état de référence. L'enthalpie et l'entropie d'un fluide ne sont définies qu'à une constante près; seules leurs différences sont physiques. Chaque table ci-dessous dit quel état a été choisi comme zéro.

Sources, précision et états de référence

Les constantes sont celles du Système international révisé, entré en vigueur le 20 mai 2019. Les propriétés thermodynamiques des fluides (eau, propane, air, azote, oxygène, dioxyde de carbone, hélium, argon, hydrogène, méthane) ont été calculées avec CoolProp 8.0 par des scripts Python dont chaque valeur imprimée a été reportée telle quelle. Pour l'eau, CoolProp implémente la formulation IAPWS-95 de l'International Association for the Properties of Water and Steam, la référence internationale pour les usages scientifiques; les tables imprimées des manuels d'ingénierie (Çengel, Moran–Shapiro) en sont tirées, et vous y retrouverez les mêmes valeurs à l'arrondi près.

Les états de référence retenus sont ceux de CoolProp par défaut:

Précision. Les équations d'état de référence reproduisent les mesures à mieux que quelques dixièmes de pour cent pour les enthalpies et les volumes dans tout le domaine de ces tables. Les valeurs sont imprimées avec quatre ou cinq chiffres significatifs: c'est plus que la précision d'un problème d'ingénieur, assez pour qu'une différence $h_2-h_1$ de deux grands nombres reste juste au dixième de kJ/kg. Dans un exemple ou un exercice, on garde les chiffres de la table pendant le calcul et on arrondit le résultat à trois ou quatre chiffres.

Constantes fondamentales

Les sept constantes qui définissent le SI

La constante de Planck notée $h$ dans ce tableau n'a rien à voir avec l'enthalpie massique $h$ du reste du cours; le contexte suffit toujours à les distinguer, et elle n'apparaît qu'aux chapitres 11 et 12.

Constantes dérivées, conventionnelles et mesurées

Pourquoi $R$ est exacte. $R$ est le produit de deux constantes dont la valeur est fixée par définition, $N_{\mathrm{A}}$ et $k_{\mathrm{B}}$. Le produit de deux nombres exacts est exact: $R=6,02214076\cdot 10^{23}\times 1,380649\cdot 10^{-23}=8,31446261815324$ J/(mol·K), une valeur dont l'écriture décimale est simplement plus longue qu'on ne veut l'écrire. Avant 2019, c'était l'inverse: se mesurait, notamment par la vitesse du son dans l'argon (pour un gaz monoatomique, avec exactement), et ces mesures ont précisément servi à choisir la valeur fixée de . Le cours calcule avec la valeur complète et écrit J/(mol·K).

Pourquoi $\sigma$ et $b$ sont exactes. Ces deux constantes du rayonnement se déduisent de la loi de Planck (chapitre 12) et ne contiennent que $h$, $c$ et $k_{\mathrm{B}}$:

où $x=4,96511423\dots$ est la racine non nulle de $x=5(1-e^{-x})$, un nombre purement mathématique. Elles sont donc exactes au même titre que $R$.

Pourquoi le point triple de l'eau est devenu une mesure. De 1954 à 2019, le kelvin était défini comme la fraction $1/273,16$ de la température du point triple de l'eau: cette température valait 273,16 K par définition, et $k_{\mathrm{B}}$ se mesurait. Depuis 2019, $k_{\mathrm{B}}$ est fixée et le point triple se mesure; sa valeur reste 273,16 K, avec une incertitude de l'ordre du dixième de millikelvin. Le zéro de l'échelle Celsius, lui, reste défini exactement: $T/\mathrm{K}=\theta /{}^{\circ }\mathrm{C}+273,15$. C'est pourquoi le point triple vaut 0,01 °C et non 0 °C — et pourquoi la première ligne de la table de l'eau est à 0,01 °C.

Unités et conversions

Pression

Le bar ($10^5$ Pa exactement) est l'unité de pression de l'ingénieur et l'état standard du cours, $p^{\circ }=1$ bar. L'atmosphère normale (101 325 Pa exactement) est la pression moyenne au niveau de la mer adoptée par convention; elle diffère du bar de 1,3 %, ce qui ne compte jamais pour un ordre de grandeur et toujours pour un calcul à quatre chiffres: l'eau bout à 99,61 °C sous 1 bar et à 99,97 °C sous 1 atm (table de l'eau saturée ci-dessous). Le torr (1/760 atm), égal au millimètre de mercure à $2\cdot 10^{-7}$ près, survit en technique du vide. Les manomètres de pneus anglo-saxons lisent des psi: 1 bar $=$ 14,50 psi.

Énergie et puissance

Deux conversions reviennent sans cesse: 1 kWh $=$ 3,6 MJ (la facture d'électricité, la capacité d'une batterie, le pouvoir calorifique d'un combustible exprimé en kWh/kg) et 1 L·bar $=$ 100 J, qui permet de calculer un travail $p\Delta V$ directement en litres et en bars: le travail du cylindre témoin du chapitre 3, $-p_1(2V_1-V_1)=-1$ L·bar, vaut J.

Température

Une différence de 1 K est égale à une différence de 1 °C; une différence de 1 °F vaut 5/9 K $=$ 0,5556 K. C'est pourquoi une capacité thermique s'écrit indifféremment en J/(kg·K) ou en J/(kg·°C), et pourquoi $c\Delta T$ se calcule avec des degrés Celsius. Mais toute température qui apparaît seule dans une formule — dans $pV=nRT$, dans un rendement de Carnot $1-T_{\mathrm{f}}/T_{\mathrm{c}}$, dans , dans — est une température . Un rendement de Carnot calculé en degrés Celsius est le défaut le plus fréquent des copies d'examen.

Propriétés des gaz parfaits

Le tableau suivant donne, pour neuf gaz, la masse molaire, la constante spécifique $r=R/M$ et les capacités thermiques massiques du gaz parfait à 300 K, calculées avec CoolProp (partie gaz parfait de l'équation d'état de chaque fluide, à une pression assez basse pour que l'eau elle-même soit vapeur). La dernière colonne donne la capacité molaire $C_{p,\mathrm{m}}$ en unités de $R$, qui est la colonne à lire pour comprendre le tableau. Les colonnes $r$, $c_p$ et sont en J/(kg·K).

Ce que montre la dernière colonne. Pour un gaz parfait, $C_{p,\mathrm{m}}-C_{V,\mathrm{m}}=R$ (relation de Mayer, chapitre 4), donc $\gamma =C_{p,\mathrm{m}}/(C_{p,\mathrm{m}}-R)$, et tout se lit sur :

• Les gaz monoatomiques, hélium et argon, donnent exactement $C_{p,\mathrm{m}}=\frac{5}{2}R$ et $\gamma =5/3=1,667$: leurs atomes n'ont que trois degrés de liberté de translation, (chapitres 2 et 11), et rien d'autre ne s'excite avant des milliers de kelvins. Ce sont les seuls gaz du tableau pour lesquels le modèle du gaz parfait à capacités constantes est exact.

L'air du cours et l'air de CoolProp. Le cours traite l'air comme un gaz parfait diatomique à capacités constantes: $M=28,97$ g/mol, $r=287,0$ J/(kg·K), $\gamma =1,4$, $c_v=\frac{5}{2}r=717,5$ et J/(kg·K). CoolProp, qui traite l'air comme un mélange réel de composition fixe, donne à 300 K J/(kg·K) pour le gaz parfait: l'écart, 0,03 %, est sans effet sur les calculs du cours. Il n'en va plus de même à haute température, où croît et décroît à mesure que la vibration de N₂ et O₂ s'éveille:

C'est l'une des raisons pour lesquelles les cycles «air standard» du chapitre 6, calculés avec $\gamma =1,4$ jusqu'à 2000 K, surestiment le rendement: ce sont des modèles, et le chapitre 6 les présente comme tels.

Constantes critiques et constantes de van der Waals

Le point critique est mesuré; les constantes de van der Waals, elles, sont des paramètres d'un modèle. Pour cette table, on les a déduites des coordonnées critiques de CoolProp par les relations du chapitre 8, qui imposent au modèle de passer exactement par le point critique observé:

La colonne $Z_c=p_c{v}_c/(R{T}_c)$ est calculée à partir de la masse volumique critique mesurée. L'équation de van der Waals impose $Z_c=3/8=0,375$ à les fluides; les fluides réels se situent entre 0,23 (l'eau, fortement polaire) et 0,30 (l'hélium et l'hydrogène). C'est la mesure la plus simple de ce que le modèle ne sait pas faire: il ne peut pas reproduire à la fois , et . En imposant et comme ci-dessus, on obtient un volume critique trop grand de 23 % (hélium) à 64 % (eau).

Deux jeux de constantes pour le CO₂. Le chapitre 8 emploie pour le CO₂ les constantes tabulées classiques, $a=0,3640$ Pa·m⁶/mol² et $b=4,267\cdot 10^{-5}$ m³/mol, celles des recueils de données. Celles de la table ci-dessus, déduites des coordonnées critiques de CoolProp, valent $a=0,3657$ et $b=4,285\cdot 10^{-5}$: plus grandes de 0,45 % et de 0,41 %. Les deux jeux sont légitimes et ne se contredisent pas; ils ne répondent pas à la même question.

Les constantes tabulées ne redonnent pas exactement le point critique mesuré (304,0 K et 74,04 bar au lieu de 304,13 K et 73,77 bar), parce qu'elles ont été ajustées autrement; celles déduites du point critique le redonnent par construction. Sur l'état témoin du chapitre 8 — une mole de CO₂ dans un litre à 300 K — les deux jeux donnent 22,42 et 22,40 bar: la différence entre eux (0,05 %) est plus de trente fois plus petite que l'erreur du modèle lui-même face à la pression de référence de CoolProp, 22,04 bar (1,7 %). Choisir entre deux jeux de constantes de van der Waals n'améliore pas un modèle dont l'erreur est ailleurs. Le chapitre 8 garde les constantes tabulées; ne les mélangez pas avec celles de cette table dans un même calcul.

L'eau: tables de vapeur IAPWS-95

Comment lire une table de vapeur

Dans le domaine liquide–vapeur, la pression et la température ne sont pas indépendantes: à chaque température correspond une pression de saturation $p_{\mathrm{sat}}(T)$. Un état diphasique est donc repéré par une de ces deux variables et par le titre en vapeur $x$, fraction massique de vapeur (chapitre 8). Les tables de saturation donnent les propriétés des deux phases en équilibre, indicées $f$ pour le liquide saturé et $g$ pour la vapeur saturée; celles du mélange s'en déduisent par la règle des leviers:

et inversement $x=(h-h_f)/(h_g-h_f)$, et de même avec $v$ ou . La différence est la chaleur latente de vaporisation à cette température; la table par température l'imprime sous le nom .

Pour savoir dans quelle table chercher, comparez l'état donné aux valeurs de saturation à la même pression (ou à la même température):

• si $T<T_{\mathrm{sat}}(p)$, ou $h<h_f(p)$: liquide comprimé (ou sous-refroidi);
• si $h_f\le h\le h_g$ à la pression donnée: , calculez ;

Eau saturée, entrée en température

La table est donnée en deux parties qui partagent leur première colonne: pression et volumes massiques d'abord, enthalpies et entropies ensuite. La pression est en kPa (1 kPa $=$ 1000 Pa $=$ 0,01 bar). Le point critique de l'eau est à 373,95 °C et 220,64 bar; au-delà, liquide et vapeur ne se distinguent plus, et la dernière ligne, à 370 °C, montre $v_f$ et $v_g$ qui se rapprochent.

Les lignes à 0,01, 20, 50, 100, 150 et 200 °C sont exactement celles de la table de l'eau saturée du cours (où la pression est en pascals: 611,65 Pa, 2339,3 Pa, …, 1 554 900 Pa). La chaleur latente à 100 °C, $h_{fg}=2256,4$ kJ/kg, est celle de la bouilloire du chapitre 3. Trois choses se lisent d'un coup d'œil: $h_{fg}$ décroît avec la température et s'annule au point critique; $v_f$ reste entre 0,001 000 et 0,001 157 m³/kg jusqu'à 200 °C, ce qui justifie le modèle du liquide incompressible; et croît à peu près exponentiellement avec , comme le prévoit la relation de Clausius–Clapeyron (chapitre 8).

Eau saturée, entrée en pression

Même contenu, mais organisé par pression ronde, ce qui est commode pour un appareil dont on connaît la pression de service: une chaudière à 80 bar, un condenseur à 0,10 bar, un circuit à 8 bar. La ligne à 1,013 25 bar est l'atmosphère normale.

Les lignes témoins s'y retrouvent: le condenseur de la centrale du chapitre 10 à 0,10 bar (45,81 °C, $h_1=191,81$ kJ/kg), le liquide saturé à 8 bar de la vanne du chapitre 9 (170,4 °C, $h=720,9$ kJ/kg), l'ébullition à 99,97 °C sous l'atmosphère normale et à 99,61 °C sous 1 bar.

Vapeur surchauffée

Au-dessus de la température de saturation, la pression et la température redeviennent indépendantes: il faut une table à double entrée. Voici trois pressions, celles des exemples du cours. La première ligne de chaque table est la vapeur saturée à cette pression, rappelée de la table précédente.

Sous 1 bar ($T_{\mathrm{sat}}=99,61$ °C)

Sous 10 bar ($T_{\mathrm{sat}}=179,88$ °C)

Sous 80 bar ($T_{\mathrm{sat}}=295,01$ °C)

Deux remarques de lecture. D'abord, à 1 bar et au-dessus de 200 °C, $h$ croît d'environ 100 kJ/kg par tranche de 50 K, soit $c_p\approx 2$ kJ/(kg·K): la vapeur peu dense s'y comporte presque en gaz parfait, et $pv=1\cdot 10^5\times 2,639=263,9$ kJ/kg à 300 °C est à 0,2 % de kJ/kg. Ensuite, à 80 bar près de la saturation, il n'en est plus rien: gagne 201,6 kJ/kg entre 300 et 350 °C, et la vapeur est loin du gaz parfait. Ne traitez jamais une vapeur dense comme un gaz parfait.

Liquide comprimé

Un liquide à une pression supérieure à $p_{\mathrm{sat}}(T)$ est dit comprimé (ou sous-refroidi). Comme le liquide est presque incompressible, ses propriétés dépendent bien plus de $T$ que de $p$. La table suivante le montre à trois températures; la ligne «sat.» est le liquide saturé à la même température.

À défaut de table, on emploie l'approximation du liquide incompressible (chapitre 8): $v\approx v_f(T)$, $s\approx s_f(T)$ et $h\approx h_f(T)$, éventuellement corrigée par le travail d'écoulement, .

Le propane (R-290) saturé

Le propane est le fluide frigorigène de la pompe à chaleur du chapitre 10. C'est un fluide naturel, de très faible potentiel de réchauffement global, mais inflammable, ce qui limite la charge admissible dans une installation. Son point critique est à 96,74 °C et 42,51 bar, et il bout à −42,11 °C sous 1 atm: entre −40 °C et 80 °C, il couvre tout le domaine d'une pompe à chaleur domestique avec des pressions de 1 à 31 bar.

Les lignes à −5 °C et 40 °C sont celles de la pompe à chaleur témoin du chapitre 10: évaporation à 4,060 bar avec $h_1=h_g=569,30$ kJ/kg, condensation à 13,69 bar avec $h_3=h_f=307,15$ kJ/kg. Remarquez que passe par un maximum vers 70 °C puis décroît: à l'approche du point critique, la chaleur latente s'effondre (189,8 kJ/kg à 80 °C contre 423,4 kJ/kg à −40 °C), et une pompe à chaleur qui condenserait trop près de 96 °C ne transporterait presque plus de chaleur par kilogramme.

Propriétés thermiques des matériaux

Les valeurs ci-dessous sont des valeurs typiques. La conductivité thermique d'un matériau de construction dépend de sa masse volumique, de son humidité, de sa température et de sa fabrication; celle d'un métal, de sa pureté et de son alliage. Pour un même nom («béton», «brique», «acier»), les valeurs publiées varient de quelques pour cent pour les métaux purs à un facteur deux pour les matériaux poreux. Ce sont des données d'exercice, cohérentes avec les chapitres 12 et 13; un dimensionnement réel emploie les valeurs déclarées par le fabricant ou les valeurs de calcul des normes (SIA 180 et SIA 380/1 en Suisse). La diffusivité $D_{\mathrm{th}}=\lambda /(\rho c)$ est calculée à partir des trois colonnes précédentes. Les deux lignes de fluides (air immobile et eau, à 20 °C et 1 bar) ont été calculées avec CoolProp; leur conductivité suppose le fluide immobile, sans convection.

Le béton armé (2,3 W/(m·K)) et la laine minérale (0,035 W/(m·K)) sont ceux du mur témoin des chapitres 12 et 13; la diffusivité du béton, $1,09\cdot 10^{-6}$ m²/s, est celle du chapitre 12 ($1,089\cdot 10^{-6}$ à quatre chiffres). Le bois est donné perpendiculairement aux fibres, la direction du flux dans une paroi; le long des fibres, il conduit environ deux fois mieux.

Ce que dit la table. Les conductivités s'étendent sur plus de quatre ordres de grandeur, de 400 W/(m·K) pour le cuivre à 0,025 pour la mousse de polyuréthane. Tous les bons isolants ont une conductivité proche de celle de l'air immobile, 0,026 W/(m·K), et pour cause: un isolant est de l'air (ou un gaz) emprisonné dans des cellules assez petites pour empêcher la convection. Il ne peut pas faire beaucoup mieux que l'air qu'il immobilise, sauf à remplacer l'air par un gaz plus lourd, ou par le vide. La diffusivité, elle, varie de moins d'un facteur mille, parce que les isolants légers ont aussi une très faible capacité thermique volumique $\rho c$: la laine minérale et le béton diffusent la chaleur à la même vitesse, alors que l'un conduit soixante-cinq fois mieux que l'autre. C'est pourquoi le béton fait l'inertie d'un bâtiment (il stocke $\rho c=2,1$ MJ/(m³·K), contre 0,031 pour la laine) et la laine son isolation.

Émissivités

L'émissivité $\epsilon$ d'une surface (chapitre 12) dépend de son état bien plus que de sa composition: oxydation, rugosité, peinture. Les valeurs suivantes sont des plages typiques dans l'infrarouge thermique, pour des surfaces proches de la température ambiante; une surface donnée peut sortir de la plage.

Le chapitre 12 prend $\epsilon =0,97$ pour la peau, au milieu de sa plage. Deux enseignements à retenir. D'abord, la couleur visible ne dit rien de l'émissivité infrarouge: une peinture blanche et une peinture noire rayonnent pratiquement autant à 20 °C, parce que leur pic d'émission, vers 10 µm, est très loin du visible. Ensuite, seul un métal nu et poli émet peu: c'est le principe de la couverture de survie, des réflecteurs derrière les radiateurs et des vitrages à couche basse émissivité, dont une couche métallique de quelques nanomètres réduit fortement l'échange radiatif entre les deux verres.

Ordres de grandeur

Coefficients de convection

Le coefficient de convection $h$ de la loi de Newton, $\phi =h(T_{\mathrm{s}}-T_{\infty })$, n'est pas une propriété du fluide: il dépend de la géométrie, de la vitesse et du régime d'écoulement. Les plages ci-dessous sont des ordres de grandeur typiques, ceux qu'on retient pour une estimation (Incropera et al.); un calcul réel passe par des corrélations entre nombres sans dimension, hors programme.

Le chapitre 12 emploie les résistances superficielles des parois de bâtiment, $R_{\mathrm{si}}=0,13$ m²·K/W à l'intérieur et $R_{\mathrm{se}}=0,04$ m²·K/W à l'extérieur. Elles correspondent à des coefficients globaux $1/R_{\mathrm{si}}=7,7$ et W/(m²·K), qui : à l'intérieur, en air calme, le rayonnement vers les autres parois en fournit environ les deux tiers ( W/(m²·K) pour à 20 °C, sur 7,7); à l'extérieur, le vent rend la convection dominante.

Densités d'énergie

Les lignes «calculé» se refont en une ligne. Les pouvoirs calorifiques du méthane et du dihydrogène viennent des enthalpies de formation de Chimie générale, annexe B, reprises au chapitre 14: $890,5$ kJ/mol et $802,5$ kJ/mol pour le méthane, divisés par 16,04 g/mol; $285,8$ et $241,8$ kJ/mol pour le dihydrogène, divisés par 2,016 g/mol. La différence entre pouvoir supérieur et inférieur est la chaleur de condensation de l'eau formée, récupérée ou non (c'est le gain d'une chaudière à condensation). L'eau chaude vaut $c\Delta T=4186\times 50=209,3$ kJ/kg, soit 58,1 kWh par mètre cube; le barrage, J/kg. Les lignes «typique» dépendent de la composition du carburant, de l'humidité du bois ou de la chimie de la batterie, et sont données comme plages.

La table parle d'elle-même: un kilogramme de méthane contient de cinquante à quatre-vingt-dix fois plus d'énergie qu'un kilogramme de batterie lithium-ion, et 239 fois plus qu'un kilogramme d'eau chauffée de 50 K. Mais cette comparaison est celle de l'énergie, pas du travail utile: la chaleur d'une combustion ne se convertit en travail qu'avec un rendement borné par Carnot (chapitre 6), alors que l'énergie électrique d'une batterie est presque entièrement de l'exergie et se convertit en travail mécanique par un moteur électrique, sans borne de Carnot. En termes d'exergie (chapitre 10), l'écart se réduit d'autant.

Exercices d'utilisation des tables

Références

• Bell, I. H., Wronski, J., Quoilin, S. & Lemort, V. (2014), «Pure and pseudo-pure fluid thermophysical property evaluation and the open-source thermophysical property library CoolProp», Industrial & Engineering Chemistry Research 53(6). La bibliothèque (version 8.0) qui a calculé toutes les propriétés de fluides de cette annexe.
• Wagner, W. & Pruß, A. (2002), «The IAPWS formulation 1995 for the thermodynamic properties of ordinary water substance for general and scientific use», Journal of Physical and Chemical Reference Data 31(2). La formulation IAPWS-95, source des tables de l'eau.
• Bureau international des poids et mesures, Le Système international d'unités (SI), 9ᵉ édition, Sèvres, 2019. Les sept constantes fixées et les définitions des unités de base.
• Çengel, Y. A. & Boles, M. A., Thermodynamics: An Engineering Approach, McGraw-Hill. Tables de vapeur et de fluides frigorigènes imprimées, à comparer avec celles-ci (attention à l'état de référence des frigorigènes).
• Incropera, F. P., DeWitt, D. P. et al., Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Wiley. Propriétés thermophysiques des matériaux, émissivités et ordres de grandeur des coefficients de convection.
• Borel, L. & Favrat, D., Thermodynamique et énergétique, PPUR. Les tables et diagrammes de l'ingénieur en énergétique, dans l'usage des hautes écoles suisses.