Constantes, unités et ordres de grandeur

Cette annexe rassemble les constantes, les unités et les données numériques utilisées dans les exemples et les exercices du cours. Elle est faite pour être consultée pendant la résolution d'un problème: on y cherche une valeur, on vérifie une unité, on contrôle un ordre de grandeur. Elle ne remplace ni les définitions des chapitres, ni le formulaire de l'annexe A. Toutes les valeurs dérivées qui y figurent (produits de constantes, expressions en unités de base, longueurs d'onde, capacités) ont été recalculées à partir des constantes données ci-dessous, et non recopiées.

Sources et précision

Les constantes sont celles de l'ajustement CODATA 2022, publié par le NIST, dans le cadre du Système international révisé entré en vigueur le 20 mai 2019. L'annexe B de Physique générale I utilise encore les valeurs CODATA 2018: les deux jeux ne diffèrent qu'au neuvième ou dixième chiffre significatif (${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$, $m_e$, $m_p$), ce qui est sans effet sur les calculs de ces deux cours.

Que signifie «exacte»? Depuis 2019, sept constantes ont une valeur numérique fixée par définition: la vitesse de la lumière, la charge élémentaire ou la constante de Planck ne se mesurent plus, ce sont les unités qui sont définies à partir d'elles. Leur incertitude est nulle, et leur valeur ne changera plus jamais. Toutes les autres constantes, y compris ${\epsilon }_0$ et ${\mu }_0$, sont des grandeurs mesurées: elles ont une incertitude, indiquée ci-dessous sous forme relative, et leur valeur recommandée est révisée tous les quatre ans.

Les valeurs sont données avec plus de chiffres qu'il n'en faut. Dans un exemple ou un exercice, on arrondit à trois ou quatre chiffres significatifs (${\epsilon }_0=8,854\cdot 10^{-12}$ F/m, $k=8,988\cdot 10^9$ N·m²/C², N/A²), ce qui est cohérent avec la précision des données. Les propriétés des matériaux, en revanche, sont des : elles varient de quelques pour cent (métaux) à plusieurs ordres de grandeur (isolants, semi-conducteurs) selon la pureté, la température, l'humidité ou la fréquence. Ce sont des données d'exercice, pas des données de dimensionnement.

Constantes fondamentales

Les constantes qui définissent le SI

Des produits et quotients de ces constantes sont exacts eux aussi. Ceux qui servent dans ce cours:

Les deux constantes $K_J$ et $R_K$ ne sont pas au programme, mais elles expliquent comment les laboratoires de métrologie (en Suisse, l'Institut fédéral de métrologie METAS) réalisent en pratique le volt et l'ohm: l'effet Josephson donne une tension qui ne dépend que de $h/2e$ et d'une fréquence, l'effet Hall quantique une résistance qui ne dépend que de $h/e^2$. Depuis 2019, ces deux réalisations sont exactes par construction.

Les constantes mesurées du cours

Deux rapports reviennent souvent: la charge massique de l'électron $e/m_e=1,758820\cdot 10^{11}$ C/kg (chapitres 2 et 7) et le rapport des masses $m_p/m_e=1836,153$ (chapitre 1). Le rayon de Bohr, , est recalculé à partir des constantes du tableau à dix chiffres près; c'est la distance électron–proton de l'exemple de l'atome d'hydrogène du chapitre 1.

Unités SI

Les sept unités de base

Depuis 2019, chaque unité de base est définie en fixant la valeur numérique d'une constante du premier tableau de cette annexe. Pour l'électromagnétisme, seules quatre d'entre elles interviennent: toute unité électrique ou magnétique s'écrit à l'aide du kilogramme, du mètre, de la seconde et de l'ampère.

Unités dérivées électriques et magnétiques

La dernière colonne a été obtenue en composant les relations de la quatrième à partir des unités de base, puis contrôlée par une seconde relation indépendante (indiquée dans le texte qui suit le tableau). C'est elle qu'il faut utiliser pour une analyse dimensionnelle.

Chaque ligne se contrôle par une seconde relation du cours: le volt est aussi un joule par coulomb ($W=qU$); le tesla est aussi un newton par ampère-mètre (force de Laplace, $F=I\ell B$) et un newton par coulomb-mètre-par-seconde (force de Lorentz, $F=qvB$), et c'est la relation (7.2) du chapitre 7; le henry est aussi un volt-seconde par ampère ($u=L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$) et un ohm-seconde; le farad est aussi une seconde par ohm. Toutes ces égalités ont été vérifiées sur les exposants de kg, m, s et A.

Plusieurs grandeurs du cours n'ont pas d'unité à nom spécial; voici leurs unités usuelles, avec les équivalences les plus utiles.

L'ampère: la définition de 1948 et celle de 2019

De 1948 à 2019, l'ampère était défini par une force: «l'ampère est l'intensité d'un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 mètre l'un de l'autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à $2\cdot 10^{-7}$ newton par mètre de longueur». Avec la force entre deux fils du chapitre 8, $F/\ell ={\mu }_0{I}_1{I}_2/(2\pi d)$, cette définition revient à N/A². La charge élémentaire était alors une grandeur mesurée, exprimée en coulombs, c'est-à-dire en ampères-secondes.

Depuis 2019, l'ampère est défini en fixant la valeur numérique de la charge élémentaire, $e=1,602176634\cdot 10^{-19}$ C, avec $1\text{C}=1\text{A⋅s}$. Un courant d'un ampère est donc un débit de

L'ancienne définition est devenue une conséquence mesurable: deux fils parcourus par $1$ A et distants de $1$ m s'attirent avec une force par mètre ${\mu }_0/(2\pi )=1,9999999997\cdot 10^{-7}$ N/m, soit $2\cdot 10^{-7}$ N/m à près. Le rôle des deux constantes s'est simplement inversé: est devenue exacte, mesurée. La raison du changement est pratique. Une force entre deux fils infinis ne se réalise pas avec précision, alors qu'un courant se réalise par la loi d'Ohm à partir du volt de l'effet Josephson et de l'ohm de l'effet Hall quantique, qui ne dépendent plus que de et , toutes deux exactes.

Préfixes

Les préfixes SI multiplient l'unité par une puissance de dix. Ils s'attachent sans espace (kV, µF, MΩ), et l'ensemble préfixe–unité se comporte comme un seul symbole: $1{\text{mm}}^2=(10^{-3}\text{m}{)}^2=10^{-6}{\text{m}}^2$, et non m², l'erreur la plus fréquente sur une section de fil (chapitre 6).

Depuis 2022, ronna (R, $10^{27}$), quetta (Q, $10^{30}$), ronto (r, $10^{-27}$) et quecto (q, $10^{-30}$) complètent la liste. En électricité, la casse est piégeuse: «m» est milli et «M» méga ($1$ mΩ et $1$ MΩ diffèrent d'un facteur ); «T» est à la fois le préfixe téra et le symbole du tesla, «F» à la fois le farad et, en chimie, la constante de Faraday. Les capacités se comptent en pF, nF et µF; le farad entier est une unité énorme, que seuls les supercondensateurs atteignent.

Unités hors SI rencontrées

L'ampère-heure est une unité de charge, pas d'énergie: une batterie de $4000$ mAh fait circuler $14400$ C par décharge complète (chapitre 1); son énergie s'obtient en multipliant par sa tension. Le gauss appartient au système CGS électromagnétique, abandonné en ingénierie mais encore courant dans la littérature ancienne et en astrophysique.

Propriétés des matériaux

Conducteurs: résistivité et coefficient de température

Valeurs typiques à 20 °C, arrondies; pour un métal réel, elles varient de quelques pour cent selon la pureté et l'état métallurgique. Ce sont celles du tableau du chapitre 6, complétées par le platine; la conductivité $\sigma =1/\rho$ est calculée.

Le coefficient $\alpha$ s'utilise dans $\rho (T)={\rho }_0[1+\alpha (T-T_0)]$, relation (6.7), sur quelques dizaines de kelvins autour de $T_0=20$ °C. Pour le cuivre, °C au lieu de °C multiplie la résistance par . Les sondes industrielles Pt100 utilisent le platine, avec un coefficient normalisé de K⁻¹. Un semi-conducteur a au contraire une résistivité qui quand la température monte, et celle du silicium dépend surtout de ses impuretés: la valeur du tableau est celle du matériau intrinsèque.

Isolants: permittivité relative et rigidité diélectrique

Ordres de grandeur à 20 °C et aux basses fréquences. La rigidité diélectrique dépend fortement de l'épaisseur, de la forme des électrodes, de l'humidité et de la durée d'application; les valeurs ci-dessous sont des repères, pas des données de dimensionnement.

L'air, avec ${\epsilon }_r-1=6\cdot 10^{-4}$, se traite comme le vide dans tout le cours. Sa rigidité, de l'ordre de $3$ MV/m, soit $3$ kV par millimètre, est le seuil le plus utilisé des chapitres 2, 4 et 5; elle limite la densité d'énergie d'un condensateur à air à $\frac{{\epsilon }_0}{2}(3\cdot 10^6{)}^2=39,84$ J/m³. L'eau doit sa grande permittivité à ses molécules polaires ( C·m, chapitre 2), qui s'orientent dans le champ.

Matériaux magnétiques

Ordres de grandeur de la susceptibilité magnétique ${\chi }_m={\mu }_r-1$ (sans dimension, système SI) à température ambiante. Pour les matériaux ferromagnétiques, ${\mu }_r$ n'est pas une constante (chapitre 8): la colonne donne seulement la plage usuelle, en dessous de la saturation.

Le bismuth est le plus diamagnétique des métaux usuels, près de vingt fois plus que l'eau ou le cuivre. Les matériaux ferromagnétiques saturent vers $2$ T (fer) et perdent leur ordre au-dessus de la température de Curie: environ $770$ °C pour le fer, $360$ °C pour le nickel, $1120$ °C pour le cobalt.

Ordres de grandeur

Ces tables donnent des repères pour contrôler la plausibilité d'un résultat. Les valeurs suivies d'un renvoi sont calculées dans le chapitre cité et reprises à quatre chiffres; les autres sont des ordres de grandeur, arrondis volontairement.

Charges

Champs électriques

La première ligne rappelle qu'un conducteur parcouru par un courant n'est pas en équilibre électrostatique: le champ n'y est pas nul, mais il est minuscule, $E=\rho J=1,68\cdot 10^{-8}\times 10/(1,5\cdot 10^{-6})=0,112$ V/m.

Champs magnétiques

Le champ terrestre n'est donné qu'en ordre de grandeur: il dépend du lieu et varie lentement dans le temps. La densité d'énergie magnétique correspondante, $B^2/(2{\mu }_0)$, vaut environ $10^{-3}$ J/m³ pour $50\mu$T et $3,6\cdot 10^6$ J/m³ pour T: c'est pourquoi un objet en fer approché d'une IRM devient un projectile.

Courants

Capacités

La Terre entière a une capacité inférieure au millifarad: le farad est une unité énorme à l'échelle des conducteurs isolés, et seuls les condensateurs dont les armatures sont séparées par une couche de quelques nanomètres (supercondensateurs) l'atteignent.

Fréquences et spectre électromagnétique

Les longueurs d'onde dans le vide sont calculées par $\lambda =c/f$ et l'énergie d'un photon par $hf$, avec les valeurs exactes de $c$ et $h$. Le chapitre 12 donne les limites des domaines du spectre; ce tableau donne des sources.

À $50$ Hz, la longueur d'onde vaut près de $6000$ km: un circuit domestique est des centaines de milliers de fois plus petit, et c'est ce qui justifie de le traiter en régime quasi stationnaire (chapitre 10), le courant étant le même en tout point d'une branche à un instant donné. Le raisonnement cesse d'être valable quand les dimensions du circuit approchent $\lambda$, par exemple pour les pistes d'un circuit imprimé à quelques gigahertz. Retenez aussi $hc=1239,84$ eV·nm: un photon de longueur d'onde $\lambda$ porte $1240/\lambda$ eV, $\lambda$ en nanomètres.

Analyse dimensionnelle

Toute relation physique correcte est homogène: ses deux membres, et chacun des termes d'une somme, ont la même dimension. Le contrôle est rapide en unités de base (kg, m, s, A) avec le tableau des unités dérivées, ou, plus vite encore, en combinant les relations du cours ($\text{F}=\text{C/V}$, $\text{H}=\text{V⋅s/A}$, $\Omega =\text{V/A}$). Il ne prouve pas qu'une formule est juste, puisqu'un facteur sans dimension comme $\frac{1}{2}$ ou lui échappe; mais il prouve qu'une formule inhomogène est fausse. Trois contrôles reviennent sans cesse dans le cours.

D'autres contrôles se font de la même façon et valent d'être essayés une fois: $\frac{{\epsilon }_0}{2}{E}^2$ et $B^2/(2{\mu }_0)$ sont en J/m³ (kg·m⁻¹·s⁻², comme une pression); est en m/s, ce qui rend homogène (chapitre 12); le vecteur de Poynting est en W/m² (kg·s⁻³).

Références

• NIST, CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2022, valeurs en ligne sur physics.nist.gov/constants.
• Bureau international des poids et mesures, Le Système international d'unités (SI), 9ᵉ édition, Sèvres, 2019 (mise à jour 2022 pour les nouveaux préfixes).
• Institut fédéral de métrologie METAS, Unités de mesure et constantes, Berne (ressources en ligne sur les unités légales en Suisse).
• Rumble, J. R. (éd.), CRC Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press (propriétés électriques et magnétiques des matériaux).
• Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, Pearson (tables de résistivités et de constantes diélectriques).
• Halliday, Resnick & Walker, Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière.