Induction électromagnétique

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• calculer le flux magnétique ${\Phi }_B$ à travers une surface orientée et relier l'orientation de la surface à celle du contour par la règle de la main droite, sans jamais la laisser implicite;
• établir la force électromotrice de mouvement d'une tige sur des rails à partir de la force de Lorentz, et faire le bilan de puissance qui l'accompagne: puissance mécanique fournie, puissance électrique produite, force de freinage;
• appliquer la loi de Faraday $\mathcal{E}=-\mathrm{d}{\Phi }_B/\mathrm{d}t$ avec son signe, prévoir le sens du courant induit par la loi de Lenz, et expliquer pourquoi le champ électrique induit n'est pas conservatif;
• démontrer que la bobine tournante d'un générateur produit $\mathcal{E}(t)=NBA\omega \sin \omega t$ et calculer amplitude et valeur efficace;
• définir inductance mutuelle et auto-inductance, calculer l'inductance d'un solénoïde long et vérifier que l'énergie $\frac{1}{2}L{I}^2$ est aussi l'intégrale de la densité $B^2/(2{\mu }_0)$;
• résoudre l'établissement et la rupture du courant dans un circuit RL, interpréter la constante de temps $\tau =L/R$ et expliquer l'étincelle à l'ouverture d'un circuit inductif.

Les expériences de Faraday

Un courant sans pile

Au chapitre 8 («Sources du champ magnétique»), un courant crée un champ magnétique. Dès que ce fait fut connu, la question inverse se posa naturellement: un champ magnétique peut-il créer un courant? Pendant une dizaine d'années, la réponse expérimentale fut négative, et pour une bonne raison: on cherchait un courant produit par un champ magnétique constant, placé à côté d'un circuit immobile. Un tel courant n'existe pas.

Michael Faraday découvrit en 1831 les phénomènes qui résolvent l'énigme. Ses expériences, reproduites aujourd'hui dans toutes les salles de travaux pratiques, se résument en trois situations.

1. Un aimant que l'on déplace. Une bobine est reliée à un galvanomètre, sans aucune source. Tant que l'aimant est immobile, même tout près, l'aiguille reste à zéro. Lorsqu'on approche l'aimant, elle dévie; lorsqu'on l'éloigne, elle dévie dans l'autre sens; plus le mouvement est rapide, plus la déviation est grande.
2. Un circuit voisin que l'on allume. Deux bobines sont enroulées sur le même anneau de fer, sans contact électrique entre elles. La première est reliée à une pile par un interrupteur, la seconde à un galvanomètre. À la fermeture de l'interrupteur, l'aiguille donne un coup bref; en régime établi, elle revient à zéro alors que le courant continue de circuler dans la première bobine; à l'ouverture, elle donne un coup bref dans l'autre sens.
3. Un circuit que l'on déforme ou que l'on déplace. Un cadre conducteur que l'on fait tourner, ou dont on change la surface, entre les pôles d'un aimant fixe est parcouru par un courant pendant le mouvement.

Le point commun n'est ni le mouvement de l'aimant, ni celui du circuit, ni l'existence d'un courant voisin: c'est la variation d'une grandeur qui mesure «combien de champ magnétique traverse le circuit». Cette grandeur est le flux magnétique. Tout le chapitre découle de cette observation, que Faraday exprima qualitativement et que nous allons rendre quantitative.

On appelle courant induit le courant qui apparaît dans le circuit et force électromotrice induite (f.é.m.) la cause qui le met en mouvement. Le mot «force» est historique: une f.é.m. se mesure en volts, pas en newtons. Elle joue le même rôle que la f.é.m. d'une pile au chapitre 6 («Courant électrique et circuits en courant continu»): c'est le travail fourni par unité de charge qui fait le tour du circuit.

On exclut la force électrostatique parce que sa circulation sur un contour fermé est nulle (chapitre 4, «Potentiel électrique»): elle ne peut pas entretenir un courant autour d'une boucle, elle ne fait que répartir les charges. Dans un circuit de résistance totale $R$, la f.é.m. entretient le courant $I=\mathcal{E}/R$, compté positivement dans le sens positif choisi.

Le flux magnétique

Définition et orientation

Le flux électrique ${\Phi }_E$ du chapitre 3 («Flux électrique et loi de Gauss») comptait le champ électrique qui traverse une surface. Le flux magnétique se définit exactement de la même façon, à une différence près: ici, la surface est presque toujours ouverte, bordée par le contour d'un circuit, et son orientation n'est pas imposée par un «extérieur».

Cette convention n'est pas un détail. Choisir $\mathbf{n}$, c'est choisir le signe de ${\Phi }_B$; choisir le sens positif du contour, c'est choisir le signe de $\mathcal{E}$ et de $I$. La loi de Faraday relie les deux signes, et elle n'est juste que si les deux choix sont liés par la main droite. L'erreur la plus fréquente de tout le chapitre vient d'une orientation que personne n'a écrite. Dans ce chapitre, chaque calcul de flux commence donc par la phrase «normale choisie…, donc sens positif…».

Pour un champ uniforme et une surface plane d'aire $A$ dont la normale fait l'angle $\theta$ avec $\mathbf{B}$, l'intégrale se réduit à un produit:

Le flux est maximal ($BA$) quand la surface est perpendiculaire au champ, nul quand elle lui est parallèle (les lignes de champ glissent le long de la surface sans la traverser), et négatif quand la normale choisie pointe contre le champ. Si le circuit est une bobine de $N$ spires identiques, chaque spire est traversée par le même flux ${\Phi }_B$ et les f.é.m. des spires, en série, s'additionnent: c'est le flux total $N{\Phi }_B$, parfois appelé flux embrassé, qui intervient.

Une propriété du champ magnétique rend la définition (9.2) cohérente: le flux de $\mathbf{B}$ à travers toute surface fermée est nul, parce que les lignes de champ magnétique se referment sur elles-mêmes (il n'existe pas de «charge magnétique» où elles commenceraient). Le chapitre 11 («Équations de Maxwell») en fait l'une des quatre équations. Conséquence pratique: deux surfaces différentes bordées par le même contour et orientées de manière cohérente sont traversées par le même flux, puisque leur réunion forme une surface fermée. Le flux «à travers un circuit» ne dépend donc que du circuit, et non de la surface que l'on a choisie pour le calculer.

Le flux dans le solénoïde témoin

Reprenons le solénoïde du chapitre 8: $N=1000$ spires, longueur $\ell =50,0$ cm, rayon $a=2,00$ cm, courant $I=2,00$ A. Son champ intérieur, uniforme loin des extrémités, vaut $B={\mu }_{0}NI/\ell =5,027$ mT et il est dirigé le long de l'axe, dans le sens donné par la main droite à partir du sens du courant dans les spires. Choisissons pour chaque spire la normale dans le sens de ; le sens positif de la spire est alors, par la main droite, le sens du courant. Avec cette orientation, chaque spire est traversée par

et le flux total à travers les $1000$ spires vaut $N{\Phi }_B=6,317\cdot 10^{-3}$ Wb. Ce nombre reviendra: divisé par le courant, il donnera l'inductance du solénoïde.

La force électromotrice de mouvement

La tige sur des rails

Commençons par la situation où l'induction se comprend sans loi nouvelle, à partir de la seule force de Lorentz du chapitre 7 («Champ magnétique et force de Lorentz»). Deux rails conducteurs parallèles, distants de $\ell$, sont reliés à une extrémité par une résistance $R$. Une tige conductrice posée en travers des rails glisse sans frottement à la vitesse $\mathbf{v}$, parallèlement aux rails. L'ensemble baigne dans un champ magnétique $\mathbf{B}$ uniforme et perpendiculaire au plan des rails (figure 9.1). On note $x$ la distance de la tige à la résistance: le circuit fermé tige–rails–résistance est un rectangle d'aire $\ell x$ qui s'agrandit quand la tige avance.

Démonstration. Prenons des axes: ${\mathbf{e}}_x$ le long des rails dans le sens du mouvement, ${\mathbf{e}}_y$ le long de la tige vers le haut de la figure 9.1, ${\mathbf{e}}_z$ sortant de la page. Le champ entre dans la page: $\mathbf{B}=-B{\mathbf{e}}_z$ avec ; la tige se déplace à .

Force sur les charges de la tige. Un porteur de charge $q$ entraîné avec la tige subit la force de Lorentz magnétique

puisque ${\mathbf{e}}_x\times {\mathbf{e}}_z=-{\mathbf{e}}_y$. Cette force est parallèle à la tige, constante le long d'elle, et vaut $vB$ par unité de charge. Les charges des rails et de la résistance, immobiles, ne subissent aucune force magnétique.

Circulation le long du contour. Orientons le contour dans le sens horaire de la figure, ce qui correspond, par la main droite, à la normale entrant dans la page, c'est-à-dire à $\mathbf{n}=-{\mathbf{e}}_z$. Dans ce sens, la tige est parcourue vers le bas: $\mathrm{d}\mathbf{\ell }=-\mathrm{d}y{\mathbf{e}}_y$. Seule la tige contribue à (9.1):

La f.é.m. est négative: le courant circule dans le sens antihoraire, vers le haut dans la tige, comme la force $qvB{\mathbf{e}}_y$ pousse les charges positives. Sa norme est $B\ell v$, ce qui établit (9.4).

Comparaison avec le flux. Avec $\mathbf{n}=-{\mathbf{e}}_z$, parallèle à $\mathbf{B}$, le flux à travers le rectangle est ${\Phi }_B=+B\ell x$. Sa dérivée vaut $\mathrm{d}{\Phi }_B/\mathrm{d}t=B\ell \mathrm{d}x/\mathrm{d}t=B\ell v$, donc . Le résultat ne dépend pas du choix d'orientation: avec la normale opposée, le flux, sa dérivée et le sens positif changent tous de signe ensemble, et le courant physique reste antihoraire.

Cas général. Pour un élément de circuit quelconque qui se déplace de $\mathbf{v}\mathrm{d}t$, la contribution $(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\mathbf{\ell }\mathrm{d}t=\mathbf{B}\cdot (\mathrm{d}\mathbf{\ell }\times \mathbf{v}\mathrm{d}t)$ est, au signe près, le flux à travers le petit parallélogramme balayé par l'élément pendant $\mathrm{d}t$ (identité du produit mixte). En sommant sur le contour, on obtient la variation du flux due au mouvement du circuit; un soin d'orientation identique à celui qui précède donne .

Le résultat est remarquable: la f.é.m. de mouvement, calculée à partir de la seule force de Lorentz, s'écrit comme moins la dérivée du flux. Il n'y a encore rien de nouveau en physique; seulement une réécriture. La loi de Faraday de la section suivante affirmera que la même formule vaut aussi lorsque rien ne bouge et que c'est le champ qui change — et cela, la force de Lorentz ne peut pas l'expliquer.

Bilan de puissance et force de freinage

Le courant induit vaut, en norme, $I=|\mathcal{E}|/R=B\ell v/R$, où $R$ est la résistance totale du circuit. Dès qu'il circule, la tige est un conducteur parcouru par un courant dans un champ magnétique: elle subit la force de Laplace du chapitre 7, $\mathbf{F}=I\mathbf{\ell }\times \mathbf{B}$, où $\mathbf{\ell }$ est orienté dans le sens du courant. Ici $\mathbf{\ell }=\ell {\mathbf{e}}_y$ (courant vers le haut) et

La force est opposée à la vitesse et proportionnelle à elle: c'est une force de freinage visqueuse, comme un frottement fluide. Pour maintenir la tige à vitesse constante, l'opérateur doit exercer la force opposée, de norme $B^2{\ell }^{2}v/R$, et fournir la puissance mécanique

Le bilan se referme exactement: toute la puissance mécanique fournie devient puissance électrique, dissipée par effet Joule dans la résistance ($R{I}^2$, chapitre 6). La tige sur des rails est un générateur élémentaire: elle convertit du travail mécanique en énergie électrique, avec un rendement de 100 % tant qu'on néglige les frottements. Retournez le raisonnement: si la force de Laplace poussait la tige dans le sens du mouvement, la tige accélérerait d'elle-même, le courant augmenterait, la force aussi, et l'on produirait de l'énergie à partir de rien. Le signe de la force de freinage est imposé par la conservation de l'énergie. C'est, sous une première forme, la loi de Lenz.

La loi de Faraday et la loi de Lenz

L'énoncé général

La tige sur des rails relève de la force de Lorentz. Mais la deuxième expérience de Faraday — deux bobines immobiles sur un anneau de fer — n'a rien à voir avec elle: aucun conducteur ne bouge, et pourtant un courant apparaît dans la seconde bobine quand le courant de la première varie. Aucune force $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ ne peut mettre en mouvement des charges au repos. Il faut donc une loi nouvelle. L'expérience montre que la même formule, moins la dérivée du flux, décrit les deux situations, quelle que soit la raison pour laquelle le flux varie.

La loi de Faraday dit trois choses. Seule la variation compte: un flux énorme mais constant n'induit rien, un petit flux qui varie vite induit beaucoup. La vitesse de variation compte: approcher l'aimant deux fois plus vite double la f.é.m. Le signe compte: il indique dans quel sens circule le courant induit, et c'est ce signe que la loi de Lenz permet de lire sans calcul.

La loi de Lenz

Emil Lenz énonça en 1834 la règle qui donne le sens du courant induit. Elle se lit directement dans le signe moins de (9.7).

Justification à partir de (9.7). Supposons que le flux augmente: $\mathrm{d}{\Phi }_B/\mathrm{d}t>0$. Alors $\mathcal{E}<0$ et le courant circule dans le sens opposé au sens positif. Par la règle de la main droite appliquée au courant (chapitre 8), un courant qui circule dans le sens négatif crée, à l'intérieur de la boucle, un champ dirigé selon $-\mathbf{n}$: son flux propre est négatif et tend à diminuer le flux total. Si le flux diminue, tous les signes s'inversent et le courant induit tend à le maintenir. Dans les deux cas, il s'oppose à la variation. $\square$

La loi de Lenz est la conservation de l'énergie déguisée: nous l'avons vu sur la tige, un courant induit qui aiderait la variation l'amplifierait sans fin. Pour l'appliquer, il suffit de trois questions: le flux à travers le circuit augmente-t-il ou diminue-t-il? Dans quel sens doit pointer le champ du courant induit pour s'y opposer? Quel sens du courant, par la main droite, crée ce champ?

Deux conséquences mécaniques rendent la loi de Lenz tangible. Un aimant qu'on approche d'un anneau de cuivre est repoussé: le courant induit fait de l'anneau un petit aimant dont la face tournée vers l'aimant est de même nature. Un aimant qu'on éloigne est retenu: la face devient de nature opposée et l'attire. Dans les deux cas, l'anneau s'oppose au mouvement, et l'opérateur fournit un travail qui finit en chaleur dans l'anneau.

Le champ électrique induit n'est pas conservatif

Dans un circuit immobile, la seule force capable de mettre les charges en mouvement est une force électrique $q\mathbf{E}$. La loi de Faraday (9.7) appliquée à un circuit fixe dit donc que, là où le champ magnétique varie, il existe un champ électrique dont la circulation sur le contour vaut

Ce champ ne dépend pas de la présence du fil: le fil ne fait que révéler, par le courant qu'il laisse passer, un champ qui existe dans tout l'espace où $\mathbf{B}$ varie. La relation (9.8) est l'équation de Maxwell–Faraday sous forme intégrale; le chapitre 11 la range parmi les quatre équations de Maxwell.

Comparez avec le chapitre 4 («Potentiel électrique»). Le champ électrostatique, créé par des charges immobiles, est conservatif: sa circulation sur tout contour fermé est nulle, et c'est ce qui permet de définir un potentiel $V$ avec $\mathbf{E}=-\nabla V$. Le champ électrique induit a une circulation non nulle: il n'est pas conservatif, ses lignes de champ se referment sur elles-mêmes comme celles d'un champ magnétique, et il n'existe pas de potentiel dont il dérive. La notion de «différence de potentiel entre deux points» perd alors son sens univoque: le travail de la force électrique entre deux points dépend du chemin. Un voltmètre branché aux bornes d'une bobine placée dans un champ variable indique une tension qui dépend de la façon dont on dispose ses fils de mesure, parce que ses fils forment eux-mêmes une boucle traversée par un flux variable.

Un exemple rend ce champ concret. À l'intérieur du solénoïde témoin, si le courant augmente au rythme de $\mathrm{d}I/\mathrm{d}t=100$ A/s, le champ croît de $\mathrm{d}B/\mathrm{d}t={\mu }_0(N/\ell )\mathrm{d}I/\mathrm{d}t=0,2513$ T/s. Par symétrie de révolution, le champ induit est tangent aux cercles centrés sur l'axe et sa norme ne dépend que de la distance $r$ à l'axe. Sur un cercle de rayon , (9.8) donne (en norme), soit

Au bord du bobinage ($r=a$), $E=2,513$ mV/m. Ce champ est faible, mais il agit sur chacune des $1000$ spires, dont chacune a une circonférence de $2\pi a$: la f.é.m. par spire vaut $\pi a^2\mathrm{d}B/\mathrm{d}t=0,3158$ mV, et la f.é.m. totale de la bobine sur elle-même V. Nous retrouverons ce nombre avec l'auto-inductance.

Les courants de Foucault

La loi de Faraday ne s'applique pas qu'aux fils. Dans un bloc de métal massif traversé par un flux variable — parce que le champ change ou parce que le bloc se déplace dans un champ non uniforme — le champ électrique induit met en mouvement les électrons de conduction le long de boucles fermées à l'intérieur du métal. Ces courants tourbillonnaires sont appelés courants de Foucault (en anglais eddy currents). Ils dissipent de l'énergie par effet Joule et, par la loi de Lenz, ils s'opposent à la cause qui les produit. Trois applications, décrites qualitativement:

• Le freinage magnétique. Une plaque de métal conducteur (cuivre, aluminium) qui passe entre les pôles d'un aimant est traversée par un flux variable; les courants de Foucault qui y naissent subissent des forces de Laplace opposées au mouvement. La force de freinage est proportionnelle à la vitesse, comme dans (9.5): elle est forte à grande vitesse et s'annule à l'arrêt, sans usure puisqu'il n'y a aucun contact. On l'utilise sur certains trains, dans les ralentisseurs de poids lourds et pour arrêter en douceur les nacelles des tours de chute libre des parcs d'attractions. Elle ne peut pas immobiliser un véhicule arrêté: un frein mécanique reste nécessaire.
• La plaque à induction. Sous la vitre d'une plaque à induction, une bobine parcourue par un courant alternatif de haute fréquence (de l'ordre de quelques dizaines de kilohertz) crée un champ magnétique variable. Le fond de la casserole, métallique, est le siège de courants de Foucault qui le chauffent directement; la vitre, isolante, ne chauffe que par contact avec la casserole. C'est pourquoi une casserole en verre ou en aluminium trop mince ne chauffe pas, ou mal, et pourquoi les fabricants demandent des fonds ferromagnétiques, où l'effet est renforcé.
• Le détecteur de métaux. Une bobine émettrice crée un champ variable; un objet métallique enfoui devient le siège de courants de Foucault qui créent à leur tour un champ, détecté par une bobine réceptrice ou par la perturbation qu'il cause sur la première. Les portiques de sécurité des aéroports et les détecteurs de véhicules enfouis sous la chaussée aux carrefours fonctionnent sur ce principe.

Les courants de Foucault ont aussi un coût: dans le noyau de fer d'un transformateur, ils dissipent de l'énergie à chaque période. On les limite en construisant les noyaux avec de tôles minces isolées les unes des autres, qui coupent les boucles de courant: chaque tôle, mince dans la direction perpendiculaire au flux, n'embrasse qu'un flux faible, la f.é.m. le long de chaque boucle est réduite d'autant, et les pertes diminuent fortement.

Le générateur

La bobine tournante

La tige sur des rails produit un courant tant qu'elle avance, mais les rails ont une longueur finie. Pour produire de l'électricité de façon continue, on fait tourner une bobine dans un champ, ou un champ autour d'une bobine. C'est le principe de tous les alternateurs, de la dynamo de vélo aux turbines des barrages valaisans.

Une bobine plane de $N$ spires, d'aire $A$ chacune, tourne à la vitesse angulaire constante $\omega$ autour d'un axe situé dans son plan et perpendiculaire à un champ magnétique uniforme $\mathbf{B}$. On repère sa position par l'angle $\theta$ entre la normale $\mathbf{n}$ à la bobine et le champ, et l'on choisit l'origine des temps lorsque $\mathbf{n}$ est parallèle à $\mathbf{B}$: $\theta =\omega t$.

Démonstration. Orientation. On oriente chaque spire par la normale $\mathbf{n}$ qui tourne avec elle; le sens positif du contour en découle par la règle de la main droite et tourne lui aussi avec la bobine. Flux. Le champ est uniforme et chaque spire est plane: par (9.3), le flux à travers une spire vaut ${\Phi }_B(t)=BA\cos \theta =BA\cos \omega t$. Dérivée. Par la loi de Faraday pour $N$ spires en série,

Valeur efficace. La valeur efficace d'un signal périodique est la racine de la moyenne de son carré sur une période $T=2\pi /\omega$. Comme ${\sin }^{2}u=\frac{1}{2}(1-\cos 2u)$ et que est de moyenne nulle sur une période, , d'où . et sont décalés d'un quart de période: quand la normale est parallèle au champ (), le flux est extrême mais il ne varie pas (tangente horizontale) et la f.é.m. est nulle; quand la bobine est parallèle au champ (), le flux passe par zéro avec la pente maximale et la f.é.m. est extrême.

On peut retrouver (9.9) par la force de Lorentz, en considérant les deux côtés de chaque spire parallèles à l'axe comme deux tiges en mouvement: leur vitesse vaut $\omega$ fois leur distance à l'axe, et seule la composante de la vitesse perpendiculaire au champ contribue, ce qui fait apparaître le $\sin \omega t$. Le calcul, un peu plus long, donne exactement le même résultat, comme le garantit le théorème 9.1: c'est un circuit qui se déplace dans un champ statique.

Du modèle aux centrales

Un alternateur industriel n'est pas une bobine tournant entre deux aimants fixes: pour éviter de faire passer de forts courants par des contacts glissants, c'est l'inducteur (un électroaimant, le rotor) qui tourne, et les bobines où naît la f.é.m. (le stator) sont fixes. Pour la loi de Faraday, cela ne change rien: seul compte le flux variable à travers les bobines du stator. Un rotor à une paire de pôles qui fait un tour par période doit tourner à $3000$ tr/min pour produire du $50$ Hz; un rotor à $p$ paires de pôles produit $p$ périodes par tour et tourne $p$ fois moins vite, soit $1500$ tr/min pour $p=2$ et $250$ tr/min pour $p=12$. C'est pourquoi les alternateurs des centrales hydrauliques, entraînés par des turbines relativement lentes, ont un grand nombre de pôles, alors que ceux des turbines à vapeur en ont une ou deux.

Le réseau électrique suisse, comme tout le réseau européen interconnecté, fonctionne à $50$ Hz, avec une tension de $230$ V efficaces entre phase et neutre dans les habitations. Le réseau de traction des CFF est un réseau séparé, alimenté en $15$ kV à $16,7$ Hz, une fréquence trois fois plus basse héritée des débuts de l'électrification ferroviaire, lorsque les moteurs de traction supportaient mal les fréquences plus élevées. Les CFF ont donc leurs propres centrales et leurs propres convertisseurs de fréquence. La relation ${\mathcal{E}}_m=NBA\omega$ montre la conséquence directe: à champ, surface et nombre de spires égaux, une machine à $16,7$ Hz produit une f.é.m. environ trois fois plus faible. Le problème guidé de ce chapitre le quantifie.

Inductance mutuelle et auto-inductance

Deux circuits couplés

Revenons à la deuxième expérience de Faraday: deux circuits voisins, immobiles. Le courant $I_1$ du circuit 1 crée un champ ${\mathbf{B}}_1$ proportionnel à $I_1$ en tout point, par la loi de Biot–Savart du chapitre 8. Le flux de ${\mathbf{B}}_1$ à travers le circuit 2 est donc, lui aussi, proportionnel à . Le coefficient ne dépend que de la géométrie des deux circuits et de leur position relative.

Une remarque de notation. La lettre $M$ désigne dans ce cours le moment d'une force ($\mathbf{M}=\mathbf{m}\times \mathbf{B}$ au chapitre 7); nous la réutilisons ici pour l'inductance mutuelle, comme le fait toute la littérature. Le contexte, et le fait que l'une est un vecteur et l'autre un scalaire, lèvent l'ambiguïté.

On admettra un résultat remarquable, qui se démontre à partir de la loi de Biot–Savart (formule de Neumann): le coefficient est symétrique. Le flux, à travers le circuit 1, du champ créé par un courant $I_2$ dans le circuit 2 vaut $M{I}_2$ avec le même $M$, même si les deux circuits sont très différents. Un petit anneau placé au centre d'un grand solénoïde a la même inductance mutuelle avec lui que le solénoïde avec le petit anneau, bien que le calcul direct soit facile dans un sens et difficile dans l'autre. L'exercice 9.4 exploite le sens facile.

Le principe du transformateur. Enroulons deux bobines de $N_1$ et $N_2$ spires sur le même noyau de fer fermé, qui canalise presque tout le champ: chaque spire des deux bobines est traversée par le même flux ${\Phi }_B$. Si l'on impose une tension alternative au primaire, le flux varie et chaque spire est le siège de la même f.é.m. $-\mathrm{d}{\Phi }_B/\mathrm{d}t$. Les f.é.m. totales sont proportionnelles aux nombres de spires, et le rapport des tensions vaut . C'est ainsi que les transformateurs d'une sous-station abaissent la tension des lignes à haute tension vers celle du réseau de distribution. Un transformateur ne fonctionne qu'en régime : en courant continu, le flux est constant et le secondaire ne voit rien — c'est la deuxième expérience de Faraday, où l'aiguille revient à zéro en régime établi. Le chapitre 10 («Circuits en courant alternatif») établit le rapport de transformation d'un transformateur idéal et en discute les limites.

L'auto-inductance

Un circuit parcouru par un courant $I$ est traversé par le flux de son propre champ. Ce flux est proportionnel à $I$, et si $I$ varie, le circuit est le siège d'une f.é.m. induite par lui-même: c'est l'auto-induction.

Par la loi de Lenz, cette f.é.m. s'oppose à la variation du courant: elle freine sa croissance quand on l'établit, et elle tend à le maintenir quand on le coupe. L'inductance joue pour le courant le rôle que la masse joue pour la vitesse en mécanique: elle n'empêche pas le courant d'exister, elle l'empêche de changer brutalement. Un composant conçu pour avoir une inductance notable s'appelle une bobine (ou inductance, ou self). Dans un schéma, on la représente en convention récepteur, avec la tension $u_L$ orientée à l'opposé du courant $i$. La tension à ses bornes vaut alors

l'opposé de la f.é.m. (9.12), exactement comme la tension aux bornes d'une pile idéale est égale à sa f.é.m. en convention générateur.

Démonstration. Champ. Au chapitre 8, le théorème d'Ampère a donné le champ à l'intérieur d'un solénoïde long: $B={\mu }_{0}NI/\ell$, uniforme et axial, dans le sens donné par la main droite à partir du sens du courant; on néglige les effets de bord. Orientation. On compte $I$ positivement dans le sens de circulation choisi pour les spires et l'on prend, par la main droite, la normale de chaque spire dans le sens de $\mathbf{B}$. Flux. Chaque spire, d'aire $\pi a^2$, est traversée par ${\Phi }_B=B\pi a^2={\mu }_{0}NI\pi a^2/\ell$, positif. Les spires en série donnent . Par (9.11), .

L'inductance croît comme le carré du nombre de spires: doubler $N$ double le champ et double le nombre de spires qui l'embrassent. Elle croît avec la section et décroît avec la longueur. Elle ne dépend pas du courant: c'est une propriété géométrique, comme la capacité d'un condensateur au chapitre 5 («Condensateurs et diélectriques»). Dans un solénoïde réel de longueur finie, le champ tombe à environ la moitié de sa valeur centrale aux extrémités, et (9.14) surestime légèrement $L$. Pour le solénoïde témoin, une estimation grossière, qui remplace le flux de chaque spire par le champ sur l'axe à la position de cette spire, donne une moyenne égale à $0,961$ fois la valeur du solénoïde infini: l'erreur de (9.14) est de l'ordre de $4$ %. Un noyau de fer, enfin, multiplie l'inductance par un facteur qui peut dépasser plusieurs centaines, mais qui dépend du courant; nous nous en tenons aux bobines à air.

L'énergie magnétique

L'énergie stockée dans une bobine

Établir un courant dans une bobine demande du travail: pendant que le courant croît, la f.é.m. d'auto-induction s'y oppose, et la source doit fournir de l'énergie pour la vaincre. Cette énergie n'est pas perdue: elle est stockée, et elle est restituée quand le courant décroît. C'est l'analogue exact de l'énergie d'un condensateur chargé (chapitre 5).

Démonstration de (9.15). Établissons le courant de $0$ à $I$ dans la bobine, que l'on suppose sans résistance (la résistance du fil est traitée à part, avec l'effet Joule). En convention récepteur, la tension à ses bornes vaut $u_L=L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ (9.13), et la puissance qu'elle reçoit est

L'énergie reçue entre l'instant où le courant est nul et celui où il vaut $I$ s'obtient en intégrant: $W=\int p\mathrm{d}t=\frac{1}{2}L{I}^2-0$. Elle ne dépend que du courant final, et non de la façon dont on l'a atteint: c'est une fonction d'état, l'énergie stockée. Lorsque le courant redescend à zéro, $p<0$ et la bobine restitue exactement cette énergie au reste du circuit.

Démonstration de (9.16) sur le solénoïde. Avec $L={\mu }_0{N}^2\pi a^2/\ell$ et $I=B\ell /({\mu }_{0}N)$ (le champ du solénoïde, inversé), l'énergie (9.15) s'écrit

Le facteur $\pi a^2\ell$ est le volume intérieur du solénoïde, où le champ est uniforme et vaut $B$; à l'extérieur, le champ d'un solénoïde long est négligeable. L'énergie est donc celle d'une densité uniforme $B^2/(2{\mu }_0)$ remplissant ce volume. $\square$

La démonstration n'utilise que le solénoïde, mais le résultat est général: on admettra que, dans le vide, toute distribution de champ magnétique porte l'énergie $w_{\text{mag}}=B^2/(2{\mu }_0)$ par unité de volume, et que l'énergie d'un circuit est l'intégrale de cette densité sur tout l'espace. Le parallèle avec le chapitre 5 est complet: l'énergie d'un condensateur est $\frac{1}{2}C{U}^2$ l'intégrale de ; celle d'une bobine est l'intégrale de . L'énergie n'est pas localisée «dans les fils» mais . Dans une onde électromagnétique (chapitre 12, «Ondes électromagnétiques»), où , les deux densités sont égales.

Vérification sur le solénoïde témoin. Première route: $W_{\text{mag}}=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\times 3,158\cdot 10^{-3}\times 2,00^2=6,317\cdot 10^{-3}$ J. Seconde route: la densité vaut , le volume intérieur , et le produit J. Les deux routes donnent mJ.

Le circuit RL

Établissement du courant

Plaçons en série une source de tension idéale $U_0$ (constante, égale à sa f.é.m. puisqu'elle n'a pas de résistance interne), une résistance $R$ et une bobine d'inductance $L$ (figure 9.3, interrupteur en position 1). Le courant est nul avant $t=0$; on ferme le circuit à $t=0$. Orientation: le courant $i$ est compté dans le sens où la source le débite; la source est en convention générateur, $R$ et en convention récepteur. La loi des mailles de Kirchhoff (chapitre 6) s'écrit , soit

La loi des mailles, rappelons-le, repose sur un champ conservatif; ici, le champ électrique induit ne l'est pas. Elle reste utilisable parce que tout le flux variable est confiné à l'intérieur de la bobine: on traite la bobine comme un composant dont on connaît la tension aux bornes (9.13), et le reste du circuit, où aucun flux ne varie, obéit à la loi des mailles habituelle.

Démonstration. L'équation (9.17) est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, du type traité en Analyse II, chapitre 1 («Équations différentielles ordinaires»). Solution particulière: la constante $i_p=U_0/R$, pour laquelle $\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=0$. Solution homogène: $L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t+Ri=0$ se sépare en et donne avec . . le courant dans une bobine ne peut pas sauter, puisqu'un saut fini en un temps nul exigerait une tension infinie; donc et , ce qui donne (9.18). sans source, l'équation devient homogène, , avec par continuité du courant; sa solution est (9.19).

La constante $\tau =L/R$ a bien la dimension d'un temps: $1\text{H}/\Omega =1(\text{V⋅s/A})/(\text{V/A})=1$ s. Elle joue le rôle de la constante $RC$ du circuit RC (chapitre 6), avec les mêmes repères: à $t=\tau$, le courant a atteint $1-{\mathrm{e}}^{-1}=63,2$ % de sa valeur finale; à , %; à , %. La tangente à l'origine atteint la valeur finale en , parce qu'au départ le courant est nul, la résistance n'absorbe aucune tension et la tension de la source est aux bornes de la bobine: . Au contraire, en régime établi, , la bobine idéale se comporte comme un simple fil et tout le courant est limité par .

Rupture du courant et étincelle

Que se passe-t-il si, au lieu de refermer la bobine sur une résistance (position 2 de la figure 9.3), on ouvre simplement l'interrupteur? Le courant devrait passer de $I_0$ à zéro en un temps très court $\Delta t$, et la bobine développerait à ses bornes une tension de l'ordre de $L{I}_0/\Delta t$ — d'autant plus grande que la coupure est rapide. L'énergie $\frac{1}{2}L{I}_0^2$ stockée dans le champ doit aller quelque part: elle ne peut pas disparaître. Elle part dans une . La tension élevée ionise l'air entre les contacts qui s'écartent, un arc s'y forme et laisse passer le courant le temps que l'énergie soit dissipée. L'arc use les contacts des interrupteurs et des relais, produit des perturbations électromagnétiques, et peut détruire le transistor qui commande une bobine.

La parade classique est la diode de roue libre: une diode placée en parallèle sur la bobine, montée de manière à ne pas conduire en fonctionnement normal. À l'ouverture, la bobine maintient son courant, qui trouve un chemin à travers la diode; le courant décroît alors selon (9.19), avec pour constante de temps $L$ divisée par la résistance de la boucle bobine–diode, et l'énergie est dissipée doucement dans la résistance du bobinage. On en trouve aux bornes de presque toutes les bobines de relais et de tous les moteurs commandés par un transistor. Le même phénomène, recherché cette fois, est utilisé dans les allumages de moteurs à essence, où la coupure rapide du courant dans une bobine produit la haute tension de la bougie.

Synthèse

• Le flux magnétique ${\Phi }_B={\iint }_S\mathbf{B}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}A$ (en webers) ne se calcule qu'après avoir choisi la normale, et ce choix fixe, par la règle de la main droite, le sens positif du contour. Pour une bobine de $N$ spires, c'est le flux total $N{\Phi }_B$ qui compte.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière Éducation, Montréal, chapitres sur l'induction et l'inductance.
• Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, 15ᵉ éd., Pearson, chap. 29–30.
• Purcell, E. M. et Morin, D. J., Electricity and Magnetism, 3ᵉ éd., Cambridge University Press, chap. 7.
• Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme, vol. 2, Dunod, Paris, chapitres sur les lois de l'induction.
• Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, chap. 7.
• Pérez, J.-P., Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod, Paris, chapitres sur l'induction.