Sources du champ magnétique

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

énoncer la loi de Biot–Savart, dire sur quoi elle repose expérimentalement et situer la constante $μ_{0}$ depuis la révision du SI de 2019;
calculer par intégration le champ d'un fil rectiligne fini ou infini et celui d'une spire sur son axe, et en orienter le résultat par la règle de la main droite;
établir la force entre deux courants parallèles et expliquer pourquoi l'ancienne définition de l'ampère en est aujourd'hui une conséquence;
énoncer le théorème d'Ampère avec l'orientation du contour et de la surface, reconnaître les symétries qui permettent d'en tirer $B$ , et l'appliquer au fil, au solénoïde, au tore et au câble coaxial;
utiliser la forme locale $\nabla \times B = μ_{0} J$ , $\nabla \cdot B = 0$ pour vérifier un champ donné;
décrire qualitativement le diamagnétisme, le paramagnétisme et le ferromagnétisme, lire un cycle d'hystérésis et estimer l'ordre de grandeur du champ d'un électroaimant ou d'un appareil d'IRM.

L'expérience d'Ørsted

Au chapitre 7 («Champ magnétique et force de Lorentz»), le champ magnétique $B$ était donné: on le supposait uniforme entre les pôles d'un aimant ou dans un appareil de laboratoire, et l'on étudiait ce qu'il fait subir à une charge en mouvement, $F = q v \times B$ , ou à un conducteur parcouru par un courant, $d F = I d ℓ \times B$ . Ce chapitre répond à la question inverse: qu'est-ce qui produit $B$ ? La réponse tient en une phrase, et c'est l'un des faits fondateurs de la physique du XIXᵉ siècle: les courants électriques. Les aimants permanents eux-mêmes n'échappent pas à la règle; leur champ provient des courants et des moments magnétiques à l'échelle atomique, comme on le verra à la fin du chapitre.

Ce lien n'a rien d'évident. Jusqu'en 1820, l'électricité et le magnétisme étaient deux chapitres séparés de la physique: on connaissait la boussole depuis des siècles, la pile de Volta depuis vingt ans, et rien ne suggérait qu'ils eussent quoi que ce soit en commun. En 1820, à Copenhague, Hans Christian Ørsted place une aiguille aimantée près d'un fil relié à une pile et constate qu'elle dévie lorsque le courant passe. L'effet a trois propriétés qui frappèrent ses contemporains. L'aiguille ne s'aligne ni vers le fil ni dans sa direction, mais tend à se placer perpendiculairement au plan qui contient le fil et l'aiguille: la force est «tournante». Le sens de la déviation s'inverse quand on inverse le courant. Et l'effet décroît quand on éloigne l'aiguille. Le mémoire d'Ørsted, publié en juillet 1820, se répandit en quelques semaines dans toute l'Europe; dès septembre de la même année, André-Marie Ampère présentait à l'Académie des sciences de Paris ses premières expériences sur les forces entre deux fils parcourus par des courants, et Jean-Baptiste Biot et Félix Savart mesuraient, à l'automne, la décroissance du champ d'un long fil avec la distance.

Vous pouvez refaire l'expérience d'Ørsted avec une boussole et une pile de 4,5 V dont on court-circuite brièvement les bornes par un fil: la boussole posée sous le fil dévie nettement, et d'autant plus que le fil est proche. C'est aussi pour cette raison qu'on éloigne les boussoles des câbles électriques d'un bateau ou d'un avion: l'exemple 8.1 montrera qu'un courant ordinaire produit à quelques centimètres un champ du même ordre que celui de la Terre.

Le chapitre suit le chemin historique, qui est aussi le chemin logique. On postule d'abord une loi élémentaire, celle de Biot et Savart, qui donne la contribution d'un petit morceau de courant; on l'intègre pour obtenir le champ du fil et de la spire. On en déduit la force entre deux courants, qui définissait l'ampère jusqu'en 2019. On énonce ensuite le théorème d'Ampère, qui joue pour $B$ le rôle que la loi de Gauss joue pour $E$ (chapitre 3, «Flux électrique et loi de Gauss»): toujours vrai, mais utile seulement quand une symétrie le rend calculable. On termine par les matériaux magnétiques.

La loi de Biot–Savart

Énoncé

La loi de Coulomb donne le champ d'une charge ponctuelle, et le principe de superposition celui de n'importe quelle distribution. Pour le champ magnétique, l'élément de base n'est pas une charge mais un élément de courant $I d ℓ$ : un petit morceau de conducteur, de longueur $d ℓ$ , orienté dans le sens du courant $I$ qui le parcourt.

Lisons (8.1) comme on a lu la loi de Coulomb. La contribution décroît en $1/ s^{2}$ , comme le champ d'une charge. Elle est proportionnelle au courant, et les contributions de plusieurs éléments s'additionnent vectoriellement: le principe de superposition vaut pour $B$ comme pour $E$ . La différence est dans la direction. $d B$ n'est pas porté par la droite $A P$ : c'est un produit vectoriel, donc il est perpendiculaire à la fois à $d ℓ$ et à $u$ , c'est-à-dire perpendiculaire au plan qui contient l'élément et le point. Sa norme vaut $\frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d ℓ sin ψ}{s ^{2}}$ , où est l'angle entre et : un élément ne produit dans son propre prolongement (), et le plus grand champ dans la direction perpendiculaire. Voilà le caractère «tournant» qu'avait vu Ørsted: les lignes de ne partent pas du courant, elles s'enroulent autour.

Sur quoi repose la loi de Biot–Savart

La loi (8.1) n'est pas démontrée: elle est postulée, comme la loi de Coulomb au chapitre 1. On ne peut d'ailleurs pas la mesurer directement, parce qu'un élément de courant isolé n'existe pas en régime stationnaire: le courant circule toujours dans un circuit fermé. Biot et Savart mesurèrent le champ d'un long fil rectiligne en observant les oscillations d'une aiguille aimantée placée à différentes distances, et trouvèrent une décroissance en $1/ r$ ; Laplace proposa la loi différentielle dont l'intégrale reproduit ce résultat. Une loi élémentaire n'est donc fixée que par ses conséquences pour des circuits fermés, et c'est à ce niveau qu'elle est validée: le champ du fil, de la spire, du solénoïde, les forces entre circuits, mesurés depuis deux siècles avec une précision croissante, sont tous ceux que prédit (8.2). La loi vaut en régime stationnaire (courants constants); lorsque les courants varient rapidement, elle doit être complétée, ce que fera le chapitre 11 («Équations de Maxwell»).

La constante $μ_{0}$

Pendant soixante et onze ans, de 1948 à 2019, la perméabilité du vide a valu exactement $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ N/A². Ce n'était pas une mesure, c'était une conséquence de la définition de l'ampère d'alors, fondée sur la force entre deux fils (on y reviendra au paragraphe sur la force entre courants). Depuis la révision du Système international entrée en vigueur le 20 mai 2019, l'ampère est défini autrement: on a fixé la valeur de la charge élémentaire $e = 1, 602176634 \cdot 1 0^{- 19}$ C, exactement, en même temps que celles de la constante de Planck , de la constante de Boltzmann et de la constante d'Avogadro (la vitesse de la lumière est fixée, elle, depuis 1983). Le prix à payer est que n'est plus fixé: il est relié à la constante de structure fine , une grandeur sans dimension que seule l'expérience détermine, par

μ_{0} = \frac{2 α h}{e ^{2} c}, (8.3)

et il hérite donc de l'incertitude de mesure de $α$ . (Dans la suite du chapitre, $h$ désigne une longueur, la largeur d'un contour ou la hauteur d'un tore, et non plus la constante de Planck.) La valeur recommandée (CODATA 2022) est

μ_{0} = 1, 25663706127 \cdot 1 0^{- 6} N/A^{2}, \frac{μ _{0}}{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} N/A ^{2}} = 0, 999999999 87.

L'écart à l'ancienne valeur est de $1, 3 \cdot 1 0^{- 10}$ en valeur relative, de l'ordre de l'incertitude de mesure elle-même. Pour tout calcul d'ingénieur, et même pour tout calcul de ce cours, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ N/A² est juste à neuf chiffres significatifs. C'est la raison pour laquelle la révision de 2019 n'a changé aucun appareil, aucune norme et aucun résultat pratique: elle a changé le de , pas sa valeur utilisable. Dans ce chapitre, nous écrivons dans les formules et calculons avec la valeur mesurée; les résultats arrondis à quatre chiffres sont identiques avec . On retiendra aussi que T·m/A et T·m/A, deux raccourcis de calcul mental très utiles. L'unité N/A² s'écrit aussi H/m (henry par mètre), l'henry étant l'unité d'inductance du chapitre 9.

Question 8.1

Un élément de courant $I d ℓ$ est placé à l'origine, orienté selon $+ e_{x}$ . Quelle est la direction de sa contribution $d B$ au point $P = (0; d; 0)$ , avec $d > 0$ ?

Le fil rectiligne

Fil de longueur finie

Considérons un segment de fil rectiligne parcouru par un courant $I$ et un point $P$ situé à la distance $r$ de la droite qui le porte. Prenons l'axe $z$ le long du fil, orienté dans le sens du courant, et l'origine $O$ au pied de la perpendiculaire abaissée de $P$ ; le segment va de $z_{1}$ à $z_{2}$ .

Démonstration. L'élément situé à la cote $z$ vaut $I d ℓ = I d z e_{z}$ . Plaçons $P$ en $(r, 0, 0)$ . Le vecteur de l'élément vers $P$ est $s = r e_{x} - z e_{z}$ , de norme , et

d ℓ \times s = d z e_{z} \times (r e_{x} - z e_{z}) = r d z e_{y},

puisque $e_{z} \times e_{x} = e_{y}$ et $e_{z} \times e_{z} = 0$ . les contributions ont donc la même direction , perpendiculaire au plan qui contient le fil et : on peut additionner leurs normes. Avec , la loi (8.1) donne

B = \frac{μ _{0} I}{4 π} \int_{z_{1}}^{z_{2}} \frac{r d z}{( r ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} .

Posons $z = r tan β$ , de sorte que $d z = r d β / cos^{2} β$ et $r^{2} + z^{2} = r^{2} / cos^{2} β$ . L'intégrande devient

\frac{r \cdot r d β / cos ^{2} β}{r ^{3} / cos ^{3} β} = \frac{cos β d β}{r},

d'où

B = \frac{μ _{0} I}{4 π r} \int_{β_{1}}^{β_{2}} cos β d β = \frac{μ _{0} I}{4 π r} (sin β_{2} - sin β_{1}) .

Pour le fil infini, $sin β_{2} - sin β_{1} \to 1 - (- 1) = 2$ , ce qui donne (8.5). Enfin, $e_{y}$ est, en , le vecteur orthoradial des coordonnées cylindriques d'axe ; par symétrie de révolution autour du fil, il en va de même en tout point, et tourne dans le sens donné par la main droite autour de , le sens du courant.

Le champ d'un fil infini a trois propriétés à retenir. Ses lignes sont des cercles centrés sur le fil, dans des plans perpendiculaires au fil. Sa norme décroît en $1/ r$ , et non en $1/ r^{2}$ : c'est la signature d'une source étendue à l'infini, exactement comme le champ électrique $λ / (2 π ε_{0} r)$ d'un fil chargé au chapitre 2 («Champ électrique»). Et il ne dépend que du courant et de la distance, pas de la section ni du matériau du fil, pourvu que $P$ soit à l'extérieur.

La règle de la main droite est la seule chose à mémoriser pour orienter tous les champs de ce chapitre, et elle a deux lectures équivalentes. Pour un fil: pouce selon le courant, doigts selon $B$ . Pour une boucle (une spire, un solénoïde): doigts selon le courant qui tourne, pouce selon $B$ au centre. C'est la même règle, appliquée tantôt à un courant rectiligne entouré de lignes circulaires, tantôt à un courant circulaire traversé par des lignes droites.

Superposer des fils

Le champ de plusieurs fils se calcule par superposition vectorielle, comme celui de plusieurs charges au chapitre 2. Il faut seulement se souvenir que chaque contribution est orthoradiale autour de son propre fil: pour deux fils parallèles, les deux champs en un point sont perpendiculaires aux deux rayons, et l'angle entre eux est celui des rayons. Sur le segment qui joint deux fils antiparallèles, les deux champs ont le même sens et s'ajoutent; à l'extérieur du segment, ils se retranchent, comme dans le câble d'aller et de retour de l'exemple 8.1. L'exercice corrigé 8.1, en fin de chapitre, fait le calcul vectoriel complet en deux points, pour des courants antiparallèles puis parallèles.

La spire circulaire

Le champ sur l'axe

Une spire est un circuit circulaire de rayon $a$ parcouru par un courant $I$ . C'est la brique de base du solénoïde, de la bobine et, à l'échelle atomique, du moment magnétique. Hors de l'axe, son champ s'exprime par des intégrales elliptiques; sur l'axe, un calcul élémentaire suffit.

Démonstration. Prenons l'axe $z$ de la spire, orienté de sorte que le courant tourne dans le sens trigonométrique vu depuis $z > 0$ . Soit $P = (0, 0, z)$ et un élément $I d ℓ$ au point $A$ de la spire. Le vecteur $s = A P$ a pour norme , , et il est perpendiculaire à , qui est tangent au cercle alors que est contenu dans le plan formé par l'axe et le rayon . Donc et

∣ d B ∣ = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d ℓ}{a ^{2} + z ^{2}} .

$d B$ est perpendiculaire à $s$ , dans le plan qui contient l'axe et $A$ . Décomposons-le en une composante le long de l'axe et une composante radiale. Le vecteur $s$ fait avec l'axe un angle $φ$ tel que $sin φ = a / s$ ; $d B$ , perpendiculaire à $s$ dans ce même plan, fait avec l'axe l'angle $π /2 - φ$ , et sa composante axiale vaut . Les composantes radiales de deux éléments diamétralement opposés sont opposées et ; seule la composante axiale survit. Comme , et sont les mêmes pour tous les éléments, l'intégration sur la spire se réduit à :

B = \frac{μ _{0} I}{4 π} \frac{1}{a ^{2} + z ^{2}} \frac{a}{a ^{2} + z ^{2}} 2 π a = \frac{μ _{0} I}{2} \frac{a ^{2}}{( a ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} .

Le sens: pour l'élément situé en $(a, 0, 0)$ , $d ℓ$ est selon $+ e_{y}$ et $s = - a e_{x} + z e_{z}$ ; la composante de vaut . Le champ est donc selon , le sens du pouce quand les doigts suivent le courant.

Nous avons vérifié (8.6) par une sommation numérique de la loi de Biot–Savart sur 4000 éléments: pour $a = 10$ cm et $I = 1$ A, les deux calculs donnent $6, 283 μ$ T au centre, $4, 496 μ$ T à $z = 5$ cm et $2, 221 μ$ T à $z = a$ , et la composante radiale sur l'axe est nulle à la précision de la machine.

Loin de la spire: le dipôle magnétique

Pour $z ≫ a$ , $(a^{2} + z^{2})^{3/2} \approx z^{3}$ et

B (z) \approx \frac{μ _{0} I a ^{2}}{2 z ^{3}} = \frac{μ _{0}}{2 π} \frac{m}{z ^{3}}, m = I π a^{2} . (8.7)

On reconnaît la norme du moment magnétique $m = I A n$ de la spire, d'aire $A = π a^{2}$ et de normale $n$ orientée par la main droite, introduit au chapitre 7 à propos du couple $M = m \times B$ qu'elle subit dans un champ extérieur. Une même grandeur décrit donc les deux faces du phénomène: comment la spire est tournée par un champ, et quel champ elle produit au loin. La comparaison avec le dipôle électrique du chapitre 2 est frappante: sur l'axe d'un dipôle $p$ , le champ lointain vaut , et l'on passe de l'un à l'autre en remplaçant par . Loin de leur source, une petite boucle de courant et un dipôle électrique ont ; ce n'est qu'au voisinage de la source qu'ils diffèrent, les lignes électriques partant des charges tandis que les lignes magnétiques traversent la spire et se referment. À , l'approximation (8.7) surestime le champ exact de 1,5 % seulement (le rapport des deux vaut 0,9852).

Les bobines de Helmholtz

Le champ d'une spire est loin d'être uniforme: sur l'axe, il perd déjà 5,7 % à une distance du centre égale au cinquième du rayon. Or beaucoup d'expériences demandent un champ uniforme dans un volume accessible: la mesure de $e / m_{e}$ par la déviation circulaire d'un faisceau d'électrons (chapitre 7), l'étalonnage d'une sonde à effet Hall, la compensation du champ terrestre autour d'un montage sensible. La solution classique est la paire de bobines de Helmholtz: deux bobines identiques de rayon $R$ , coaxiales, parcourues dans le même sens par le même courant, et séparées d'une distance égale à leur rayon.

Pourquoi cette distance? Plaçons l'origine au milieu des deux bobines, séparées de $d$ . Sur l'axe,

B (z) = \frac{μ _{0} N I R ^{2}}{2} [f (z - d /2) + f (z + d /2)], f (u) = (R^{2} + u^{2})^{- 3/2} .

La fonction $B$ est paire en $z$ , donc sa dérivée première est nulle au centre, quelle que soit $d$ . Le champ sera d'autant plus uniforme que sa dérivée seconde y sera nulle aussi. Or $f^{''} (u) = 3 (4 u^{2} - R^{2}) (R^{2} + u^{2})^{- 7/2}$ , qui s'annule pour . En choisissant , soit , on annule (au facteur près): les deux bobines sont placées exactement au point d'inflexion l'une de l'autre, là où la courbure de l'une compense celle de l'autre. Le premier terme non nul du développement de autour du centre est alors d'ordre 4; un calcul un peu plus long donne . Au centre,

B (0) = (\frac{4}{5})^{3/2} \frac{μ _{0} N I}{R} = 0, 7155 \frac{μ _{0} N I}{R} . (8.8)

Force entre deux courants parallèles

Le calcul

Deux fils rectilignes, parallèles, très longs, distants de $d$ , sont parcourus par des courants $I_{1}$ et $I_{2}$ . Le fil 1 crée à l'emplacement du fil 2 le champ $B_{1} = μ_{0} I_{1} / (2 π d)$ , et le fil 2 y subit la force de Laplace du chapitre 7. Ampère avait vu, dès 1820, que deux courants de même sens s'attirent: c'est le premier effet d'un courant sur un autre courant, sans aimant.

Démonstration. Plaçons le fil 1 sur l'axe $z$ , parcouru par $I_{1}$ selon $+ e_{z}$ , et le fil 2 parallèle, passant par $(d, 0, 0)$ , parcouru par $I_{2}$ selon . D'après le théorème 8.2, le fil 1 crée en tout point du fil 2 le champ ( en ce point). Ce champ est uniforme le long du fil 2. La force de Laplace (chapitre 7) sur une longueur du fil 2 vaut

F_{1 \to 2} = I_{2} ℓ e_{z} \times B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2} ℓ}{2 π d} e_{z} \times e_{y} = - \frac{μ _{0} I _{1} I _{2} ℓ}{2 π d} e_{x} .

Elle est dirigée vers $- e_{x}$ , c'est-à-dire vers le fil 1: attraction. Le même calcul, fil 2 agissant sur le fil 1, donne une force de même norme dirigée vers $+ e_{x}$ , vers le fil 2: les deux forces sont opposées, comme le veut la troisième loi de Newton. Si $I_{2}$ change de signe, la force aussi: répulsion. $□$

Le résultat est l'inverse de ce que suggère l'électrostatique: des charges de même signe se repoussent, mais des courants de même sens s'attirent. Un moyen de s'en souvenir: entre deux courants de même sens, les champs des deux fils sont opposés et la densité de lignes est faible; à l'extérieur, ils s'ajoutent. Les fils sont poussés vers la région où le champ est faible.

L'ampère, hier et aujourd'hui

Pour deux fils distants de $d = 1$ m, parcourus chacun par $1$ A,

\frac{F}{ℓ} = \frac{μ _{0}}{2 π} \times \frac{1 \times 1}{1} = 1, 9999999997 \cdot 1 0^{- 7} N/m,

soit $2, 00000000 \cdot 1 0^{- 7}$ N/m à neuf chiffres significatifs.

La définition de l'ampère est devenue une conséquence

De 1948 à 2019, l'ampère était défini par ce résultat: c'était le courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie et de section négligeable, placés à un mètre l'un de l'autre dans le vide, produit entre eux une force de $2 \cdot 1 0^{- 7}$ newton par mètre de longueur. Cette définition fixait $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ N/A², et c'est la raison de cette valeur ronde. Elle avait l'inconvénient d'être irréalisable à la lettre (aucun fil n'est infini ni de section nulle) et de lier une unité électrique à une mesure mécanique de force. Depuis 2019, l'ampère est défini en fixant la charge élémentaire: est le courant qui transporte charges élémentaires par seconde, et on le réalise en pratique par des étalons quantiques. La force de N/m n'est plus une définition: c'est une de (8.9) avec la valeur mesurée de , vraie à neuf chiffres. Aucun ampèremètre n'en a été affecté.

Question 8.2

Deux fils parallèles très longs, distants de $4, 00$ cm, sont parcourus par des courants de même sens de $20, 0$ A et $30, 0$ A. Quelle est la norme de la force exercée par unité de longueur, en mN/m?

Le théorème d'Ampère

Circulation et orientation

Au chapitre 3, la loi de Gauss reliait le flux de $E$ à travers une surface fermée à la charge qu'elle contient. Pour $B$ , la grandeur pertinente n'est pas un flux mais une circulation le long d'une courbe fermée, et la source n'est pas une charge mais un courant qui traverse la courbe. Avant d'énoncer quoi que ce soit, il faut dire comment on compte ce qui traverse, parce que le signe de toute la suite en dépend.

Si l'on inverse le sens de parcours de $Γ$ , la circulation change de signe, la normale aussi, et le courant enlacé aussi: l'égalité qui suit ne dépend pas de ce choix, mais chaque membre en dépend. L'erreur classique consiste à choisir un sens pour la circulation et à compter le courant avec l'autre.

Le théorème découle de la loi de Biot–Savart, mais sa démonstration générale, pour des circuits de forme quelconque, dépasse ce cours (elle demande de calculer le rotationnel de l'intégrale (8.2)): nous l'admettons. En revanche, on peut le vérifier sur le champ que nous connaissons déjà, celui du fil infini, et cette vérification contient l'essentiel de l'idée.

Vérification sur le fil infini

Contour circulaire. Prenons pour $Γ$ le cercle de rayon $r$ centré sur le fil, dans un plan perpendiculaire, parcouru dans le sens de $e_{θ}$ (sens trigonométrique vu depuis la pointe du courant). Le champ (8.5) est tangent au cercle et de norme constante: $B \cdot d ℓ = B r d θ$ , et

\oint_{Γ} B \cdot d ℓ = \frac{μ _{0} I}{2 π r} 2 π r = μ_{0} I .

La normale donnée par la main droite est $+ e_{z}$ , le sens du courant: $I_{enl} = + I$ . Le rayon $r$ s'est simplifié: la décroissance en $1/ r$ compense exactement la croissance du périmètre.

Contour quelconque qui enlace le fil. En coordonnées cylindriques, un déplacement élémentaire s'écrit $d ℓ = d r e_{r} + r d θ e_{θ} + d z e_{z}$ , et seul le terme orthoradial compte:

B \cdot d ℓ = \frac{μ _{0} I}{2 π r} r d θ = \frac{μ _{0} I}{2 π} d θ .

La circulation ne dépend que de l'angle balayé autour du fil. Une courbe qui fait une fois le tour du fil dans le sens trigonométrique balaie $2 π$ , quelle que soit sa forme: la circulation vaut $μ_{0} I$ .

Contour qui n'enlace pas le fil. L'angle $θ$ varie, puis revient à sa valeur de départ sans avoir fait le tour: $\oint d θ = 0$ , la circulation est nulle. Et aucun courant ne traverse une surface s'appuyant sur la courbe qui ne rencontre pas le fil: $I_{enl} = 0$ .

Par superposition, (8.10) vaut pour un nombre quelconque de fils rectilignes, chacun contribuant $μ_{0} I_{k}$ s'il est enlacé et $0$ sinon. La démonstration générale, pour des circuits de forme quelconque, repose sur la même idée (un angle solide au lieu d'un angle plan) et sur l'analyse vectorielle.

Le théorème d'Ampère est toujours vrai, mais il ne donne

B

que par symétrie

Comme la loi de Gauss, le théorème d'Ampère est vrai pour toute courbe fermée, mais il ne livre qu'un seul nombre: la circulation. Pour en tirer le champ, il faut que la symétrie du problème permette de choisir une courbe le long de laquelle $B$ est tangent et de norme constante (la circulation vaut alors $B \times$ longueur) ou perpendiculaire (contribution nulle). Cela arrive pour trois géométries: le fil infini et les distributions de révolution autour d'un axe infini (lignes circulaires), le solénoïde infini (lignes droites), le tore (lignes circulaires). Pour une spire, un segment de fil fini ou un solénoïde court, (8.10) reste vrai mais ne permet pas de calculer $B$ : il faut revenir à la loi de Biot–Savart. Et le raisonnement de symétrie se fait avant d'écrire le théorème: c'est lui qui dit quelle composante de $B$ existe et de quoi elle dépend.

Le parallèle avec le chapitre 3 se résume dans un tableau.

	Loi de Gauss	Théorème d'Ampère
Intégrale	flux $\iint E \cdot n d S$ sur une surface fermée	circulation $\oint B \cdot d ℓ$ sur une courbe fermée
Source	charge intérieure $Q_{int} / ε_{0}$

À l'intérieur d'un fil

Le théorème d'Ampère donne aussi le champ dans un conducteur, ce que la loi de Biot–Savart ne ferait qu'au prix d'une intégrale double. Soit un fil cylindrique de rayon $R$ parcouru par un courant $I$ réparti uniformément sur sa section, avec une densité $J = I / (π R^{2})$ . Par symétrie de révolution et de translation le long de l'axe, les lignes de champ sont des cercles centrés sur l'axe et $B$ ne dépend que de $r$ . Un cercle de rayon $r < R$ enlace le courant , et

2 π r B = μ_{0} I \frac{r ^{2}}{R ^{2}} ⟹ B (r) = \frac{μ _{0} I}{2 π R ^{2}} r (r \leq R) . (8.11)

Le champ croît linéairement depuis zéro sur l'axe jusqu'à $μ_{0} I / (2 π R)$ à la surface, puis décroît en $1/ r$ à l'extérieur: c'est exactement le profil du champ électrique de la sphère chargée en volume du chapitre 3, transposé du flux à la circulation. Pour un fil de rayon $R = 1, 00$ mm parcouru par $10, 0$ A, $B$ vaut $1, 000$ mT à mi-rayon et mT à la surface.

Le solénoïde

Un solénoïde est un fil enroulé en hélice serrée sur un cylindre: $N$ spires sur une longueur $ℓ$ , soit $n = N / ℓ$ spires par mètre. Idéalisons-le: longueur infinie, spires jointives assimilées à une nappe de courant orthoradial. Deux arguments de symétrie fixent alors la forme du champ. Le système est invariant par translation le long de l'axe et par rotation autour de lui, donc $B$ ne dépend que de la distance $r$ à l'axe. Et l'on montre (par la loi de Biot–Savart appliquée aux spires deux à deux, ou par $\nabla \cdot B = 0$ ci-dessous) que $B$ n'a ni composante radiale ni composante orthoradiale: il est . Il reste à trouver .

Le champ extérieur est nul. Prenons un rectangle entièrement extérieur au solénoïde, avec deux côtés parallèles à l'axe, aux distances $r_{1}$ et $r_{2}$ . Il n'enlace aucun courant; les côtés perpendiculaires à l'axe ne contribuent pas ( $B$ est axial); la circulation se réduit à $[B_{z} (r_{1}) - B_{z} (r_{2})] h = 0$ . Le champ extérieur est donc . Comme il doit tendre vers zéro très loin d'un solénoïde (dont le champ lointain est celui d'une distribution de courants bornée dans le plan transverse), il est nul partout à l'extérieur. Le même argument avec un rectangle entièrement montre que le champ intérieur est : il ne dépend pas de .

Le champ intérieur. Prenons maintenant le rectangle de la figure 8.3, à cheval sur l'enroulement: un côté de longueur $h$ à l'intérieur, parallèle à l'axe, un côté à l'extérieur. Parcouru dans le sens trigonométrique, il a sa normale hors de la page, et il enlace $nh$ spires dont le courant sort de la page: $I_{enl} = + nh I$ . Le côté intérieur, parcouru dans le sens de $B$ , contribue $B h$ ; le côté extérieur contribue $0$ (champ nul); les côtés transversaux contribuent $0$ ( à l'intérieur, à l'extérieur). Donc :

B = μ_{0} n I = μ_{0} \frac{N}{ℓ} I . (8.12)

Le champ ne dépend ni du rayon du solénoïde, ni de la position à l'intérieur: seulement du nombre de spires par mètre et du courant. Le sens est donné par la main droite: doigts selon le courant des spires, pouce selon $B$ . Dans la figure 8.3, le courant sort de la page en haut et y entre en bas: $B$ est dirigé vers la droite, ce que confirment les lignes calculées.

Le tore

Enroulons maintenant les $N$ spires sur un anneau: c'est une bobine torique, ou tore. La symétrie est de révolution autour de l'axe du tore: les lignes de champ sont des cercles coaxiaux à cet axe, et $B$ ne dépend que de la distance $r$ à l'axe (et de la position dans la section). Appliquons (8.10) à un cercle de rayon $r$ coaxial au tore, parcouru dans le sens où tourne le champ.

Si le cercle passe dans l'enroulement, il enlace les $N$ brins qui traversent le disque qu'il borde, tous dans le même sens: $2 π r B = μ_{0} N I$ , et

B (r) = \frac{μ _{0} N I}{2 π r} . (8.13)

Si le cercle passe dans le trou central, il n'enlace aucun courant; s'il passe à l'extérieur du tore, il enlace $N$ brins montants et $N$ brins descendants: dans les deux cas $I_{enl} = 0$ et $B = 0$ .

Le champ d'un tore idéal est donc entièrement confiné dans l'enroulement, sans les fuites d'extrémité d'un solénoïde. Il n'est pas uniforme: il décroît en $1/ r$ du bord intérieur au bord extérieur. Pour un tore de $N = 500$ spires parcouru par $1, 50$ A, de rayon intérieur $10, 0$ cm et extérieur $12, 0$ cm, $B$ passe de $1, 500$ mT au bord intérieur à $1, 250$ mT au bord extérieur, avec mT au milieu. Une sommation numérique de Biot–Savart sur 500 spires circulaires de cm de rayon, découpées en 192 segments chacune, donne mT au milieu de la section, un champ nul à la précision de la machine au centre du trou et à l'extérieur. C'est pourquoi les transformateurs de qualité et les inductances de filtrage sont souvent toriques: ils ne rayonnent presque pas de champ vers leurs voisins.

Le câble coaxial

Un câble coaxial est formé d'un conducteur central cylindrique de rayon $R_{1}$ et d'une gaine conductrice comprise entre les rayons $R_{2}$ et $R_{3}$ , parcourus par des courants égaux et opposés, répartis uniformément sur leurs sections. C'est un fil infini à symétrie de révolution: lignes circulaires, $B$ fonction de $r$ seul, et un cercle de rayon donne avec

I_{enl} (r) = ⎩ ⎨ ⎧ I r^{2} / R_{1}^{2} I I \frac{R _{3}^{2} - r ^{2}}{R _{3}^{2} - R _{2}^{2}} 0 r \leq R_{1}, R_{1} \leq r \leq R_{2}, R_{2} \leq r \leq R_{3}, r \geq R_{3} . (8.14)

À l'extérieur du câble, le champ est nul: le câble coaxial ne produit pas de champ magnétique au-dehors. C'est la version idéale du câble d'aller et de retour de l'exemple 8.1: la compensation y est exacte, parce que le retour entoure l'aller. Le problème guidé en fin de chapitre fait le calcul numérique.

Question 8.3

Remettez dans l'ordre les étapes d'un calcul de champ par le théorème d'Ampère.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Calculer la circulation de

B

en fonction de la norme inconnue

Calculer le courant enlacé et appliquer

\oint B \cdot d ℓ = μ_{0} I_{enl}

pour isoler

B

Orienter la courbe et en déduire, par la main droite, la normale qui fixe le signe des courants

Choisir une courbe fermée le long de laquelle

B

est tangent et de norme constante, ou perpendiculaire

Analyser les symétries et invariances de la distribution de courants pour trouver la direction de

B

et les variables dont dépend sa norme

La forme locale

Deux équations en un point

Le théorème d'Ampère porte sur une courbe; on peut en tirer une relation en chaque point, comme la loi de Gauss du chapitre 3 a une forme locale, $\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ . L'outil est le rotationnel, que vous étudierez en Analyse III. En voici le strict nécessaire, sous forme opérationnelle.

Appliquons le théorème d'Ampère à un tel petit contour, d'aire $Δ S$ , autour d'un point où la densité de courant vaut $J$ . La circulation vaut $(\nabla \times B) \cdot n Δ S$ par la définition, et le courant enlacé $J \cdot n Δ S$ . Comme c'est vrai pour toute direction $n$ :

La première équation est la forme locale du théorème d'Ampère; le passage rigoureux de l'une à l'autre, pour des surfaces quelconques, est le théorème de Stokes, $\oint_{\partial Σ} B \cdot d ℓ = \iint_{Σ} (\nabla \times B) \cdot n d S$ , le bord étant orienté par la main droite — démontré en Analyse III, chapitre 5 («Théorèmes de la divergence et de Stokes»). La seconde dit que le flux de à travers : autant de lignes de champ entrent qu'il en sort. C'est l'analogue magnétique de la loi de Gauss, avec zéro au second membre, parce qu' isolée (de monopôle): couper un aimant en deux donne deux aimants, chacun avec son pôle nord et son pôle sud. Les lignes de n'ont ni début ni fin; elles se referment, comme sur les figures 8.1 à 8.3. On passe du flux nul à travers toute surface fermée à par le théorème de la divergence, démontré au même chapitre 5 d'Analyse III.

Vérification sur le fil

Reprenons le fil de rayon $R$ parcouru par un courant uniforme $I$ selon $+ e_{z}$ . À l'intérieur, d'après (8.11), $B = \frac{μ _{0} I}{2 π R ^{2}} r e_{θ}$ ; comme en coordonnées cartésiennes,

B = \frac{μ _{0} J}{2} (- y, x, 0), \nabla \times B = \frac{μ _{0} J}{2} (0, 0, 1 + 1) = μ_{0} J e_{z} = μ_{0} J .

À l'extérieur, $B = \frac{μ _{0} I}{2 π} \frac{( - y , x , 0 )}{x ^{2} + y ^{2}}$ , et un calcul de dérivées partielles donne : le rotationnel est nul là où il n'y a pas de courant, bien que les lignes de champ y tournent. Les deux champs ont une divergence nulle ( se vérifie de même). Nous avons aussi contrôlé la première équation numériquement: pour mm et A ( A/m²), la circulation de le long d'un carré de m de côté centré à mi-rayon, divisée par son aire, vaut T/m, égale à ; centrée à l'extérieur du fil, elle est nulle.

Le solénoïde de longueur finie

Le solénoïde infini est une idéalisation. Pour un solénoïde réel de longueur $ℓ$ , le théorème d'Ampère ne suffit plus (la symétrie de translation est perdue), mais sur l'axe on peut sommer les spires avec (8.6). Prenons l'axe $z$ du solénoïde, centré à l'origine, et un point $P$ de l'axe à la cote $z$ . La tranche d'épaisseur $d z^{'}$ située en $z^{'}$ contient $n d z^{'}$ spires et contribue, en posant ,

d B = \frac{μ _{0} n I d u}{2} \frac{a ^{2}}{( a ^{2} + u ^{2} ) ^{3/2}} .

Une primitive de $a^{2} / (a^{2} + u^{2})^{3/2}$ est $u / a^{2} + u^{2}$ (dérivez-la pour le vérifier), et n'est autre que le cosinus de l'angle entre et la droite qui joint à un point du bord de la spire située en . D'où:

B (z) = \frac{μ _{0} n I}{2} (cos θ_{2} - cos θ_{1}), (8.16)

où $θ_{1}$ et $θ_{2}$ sont les angles, mesurés depuis la direction $+ e_{z}$ , sous lesquels $P$ voit le bord des extrémités $z^{'} = - ℓ /2$ et . Deux cas particuliers suffisent à tout retenir. Au centre d'un solénoïde très long, et : , le résultat d'Ampère. À une extrémité d'un solénoïde très long, et : . , ce qui se comprend sans calcul: un solénoïde semi-infini est la moitié d'un solénoïde infini, et deux solénoïdes semi-infinis mis bout à bout redonnent en leur point de jonction.

Explorateur 8.1 · Le solénoïde de longueur finie

Allongez ou raccourcissez le solénoïde témoin (rayon 2 cm, 2000 spires par mètre, 2 A) et déplacez le point P sur l'axe. Le champ au centre rejoint $μ_{0} n I$ dès que le solénoïde est long devant son rayon, et il vaut toujours à peu près la moitié de cette valeur à une extrémité.

Élancement ℓ/a25,0

Position de P, z/(ℓ/2)0,00

Longueur ℓ, nombre de spires N

50 cm, 1000

Angles θ₁, θ₂ vus de P

175,4°, 4,6°

B(P)

5,011 mT

B au centre

5,011 mT

B(P) / μ₀nI

0,9968

L'explorateur trace (8.16) pour le solénoïde témoin, dont on garde le rayon, la densité de spires et le courant en faisant varier sa longueur. Au centre, le rapport $B / μ_{0} n I$ vaut $0, 7071$ pour $ℓ / a = 2$ , $0, 9285$ pour $ℓ / a = 5$ , $0, 9806$ pour , pour et pour ; à l'extrémité, il vaut respectivement , , , et . Un solénoïde dix fois plus long que son rayon donne déjà le champ «infini» à 2 % près en son centre. Remarquez aussi la forme de la courbe: un plateau au centre, une chute rapide concentrée sur quelques rayons autour de chaque extrémité, où le champ passe par la moitié de sa valeur centrale. La région uniforme occupe toute la longueur, sauf quelques rayons à chaque bout.

Question 8.4

Une bobine courte de $N = 200$ spires, de longueur $ℓ = 10, 0$ cm et de rayon $a = 2, 50$ cm, est parcourue par $1, 50$ A. Calculez le champ en son centre avec (8.16), en mT.

Les matériaux magnétiques

Trois comportements

Jusqu'ici, tous les courants circulaient dans le vide, ou dans des fils de cuivre dont nous avons ignoré l'effet magnétique. Remplissons maintenant le solénoïde témoin d'un matériau. Le champ change, parfois d'une fraction de millionième, parfois d'un facteur mille, et le sens du changement dépend du matériau. L'origine est atomique: les électrons, par leur mouvement orbital et par leur spin, portent des moments magnétiques $m$ , petites boucles de courant au sens de (8.7). Placés dans un champ, ces moments s'orientent ou se modifient, et le matériau acquiert un moment magnétique par unité de volume, son aimantation, qui crée à son tour un champ. Pour un matériau linéaire, homogène, remplissant tout l'espace où règne le champ (l'intérieur d'un tore ou d'un solénoïde long), l'effet est un simple facteur:

B = μ_{r} μ_{0} n I, (8.17)

où $μ_{r}$ est la perméabilité relative du matériau et $χ_{m} = μ_{r} - 1$ sa susceptibilité magnétique. C'est l'analogue de la permittivité relative $ε_{r}$ des diélectriques du chapitre 5 («Condensateurs et diélectriques»), à une différence de sens près: un diélectrique toujours le champ électrique d'un facteur à charges fixées, alors qu'un matériau magnétique peut le champ magnétique à courant fixé.

Diamagnétisme. Tous les matériaux sont diamagnétiques: le champ appliqué modifie le mouvement orbital des électrons de façon à créer un moment opposé au champ. L'effet est minuscule: $χ_{m}$ est négatif, de l'ordre de $- 1 0^{- 5}$ pour l'eau, le cuivre ou les tissus vivants, et atteint $- 1, 7 \cdot 1 0^{- 4}$ pour le bismuth, le plus diamagnétique des matériaux courants. Il domine dans les matériaux dont les atomes n'ont pas de moment propre. Un matériau diamagnétique est repoussé vers les régions de champ faible; avec des champs de plus de dix teslas, cela suffit à faire léviter de petits objets contenant de l'eau.

Pour les deux premiers, $μ_{r}$ diffère de 1 de quelques millièmes au plus, et le plus souvent de bien moins: en pratique, ils ne changent pas le champ d'une bobine, et (8.12) s'applique tel quel. Le ferromagnétisme est d'une autre nature, et c'est lui qui fait les aimants, les transformateurs et les électroaimants.

Le cycle d'hystérésis

Un matériau ferromagnétique n'est pas linéaire: son $μ_{r}$ n'est pas une constante, et (8.17) n'en donne qu'une description grossière. Remplissons un tore de fer non aimanté et augmentons le courant $I$ depuis zéro, en mesurant $B$ . Plutôt que $I$ , portons en abscisse $n I$ (en A/m), qui ne dépend que du bobinage; les cours plus avancés l'appellent l'excitation magnétique $H$ .

Le champ $B$ croît d'abord vite (les domaines favorables grandissent), puis de plus en plus lentement: le matériau sature quand tous les moments sont alignés. Pour le fer, la saturation est atteinte vers 2 T. Au-delà, $B$ ne croît plus que comme dans le vide, avec la pente $μ_{0}$ .
Si l'on ramène le courant à zéro, $B$ ne redescend pas à zéro: il reste une induction rémanente $B_{r}$ . Le matériau est devenu un aimant.
Pour annuler $B$ , il faut inverser le courant jusqu'à une valeur appelée . En poursuivant, on sature en sens inverse, puis, en revenant, on décrit une boucle fermée: le .

La courbe $B (n I)$ dépend donc de l'histoire du matériau, pas seulement du courant présent. L'aire du cycle est une énergie dissipée en chaleur à chaque parcours, par unité de volume: dans un transformateur, où le champ alterne cinquante fois par seconde, elle chauffe le noyau et fait partie des pertes. On distingue ainsi deux familles. Les matériaux doux (fer au silicium des transformateurs, ferrites) ont un cycle étroit: faible champ coercitif, faibles pertes, aimantation qui suit docilement le courant. Les matériaux durs (aciers spéciaux, alliages néodyme–fer–bore des aimants modernes) ont un cycle large: leur aimantation rémanente résiste aux champs extérieurs, et c'est ce qu'on attend d'un aimant permanent.

Électroaimants et IRM

Un électroaimant est un solénoïde ou un tore bobiné sur un noyau de fer doux. Avec le solénoïde témoin rempli d'un fer de $μ_{r} = 1000$ supposé linéaire, (8.17) promettrait $1000 \times 5, 027$ mT $= 5, 027$ T. C'est impossible: le fer sature vers 2 T. Mais l'intérêt apparaît à l'envers: pour obtenir $1, 5$ T avec le même bobinage, dans la partie linéaire de la courbe, il suffirait d'un courant de $0, 597$ A au lieu d'un courant mille fois plus grand. Le fer ne crée pas d'énergie; il fournit, par l'alignement de ses domaines, l'essentiel des «courants» qui produisent le champ, et il le canalise là où on le veut. Électroaimants de levage de ferraille, relais, contacteurs, sonneries, haut-parleurs, moteurs et transformateurs reposent tous sur ce principe; tous travaillent la saturation.

Au-delà de 2 T, le fer ne sert plus à rien, et il ne reste que le bobinage lui-même: $B = μ_{0} n I$ . Un appareil d'imagerie par résonance magnétique (IRM) produit un champ de quelques teslas (1,5 T et 3 T sont les valeurs courantes en clinique) dans un tunnel assez grand pour un patient, avec une très bonne uniformité. D'après (8.12), 3 T demandent $n I = B / μ_{0} = 2, 387 \cdot 1 0^{6}$ A/m: avec un courant de 300 A (valeur choisie pour fixer les idées), près de 8000 spires par mètre. Dans un fil de cuivre, un tel courant dissiperait par effet Joule une puissance considérable, en permanence. Les bobines d'IRM sont donc : un alliage niobium–titane refroidi à l'hélium liquide, vers 4 K, dans lequel le courant circule sans résistance et sans dissipation. Les aimants dipolaires du LHC, au CERN, reposent sur la même technologie, pour courber la trajectoire de protons de très haute énergie.

Question 8.5

On remplit successivement l'intérieur d'un long solénoïde parcouru par un courant fixé avec de l'eau, de l'aluminium et du fer doux (non saturé). Comment le champ au centre varie-t-il?

Synthèse

Loi de Biot–Savart (postulée, validée par ses conséquences pour les circuits fermés): $d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d ℓ \times u}{s ^{2}}$ , perpendiculaire à l'élément et à la direction du point. Depuis 2019, N/A² est mesuré, égal à à neuf chiffres.

Série d'exercices du chapitre 8Exercice 1 sur 5

Question 8.6

Deux fils parallèles sont parcourus par des courants de sens opposés. Les fils:

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 8.1 · Deux fils antiparallèles

Deux fils rectilignes très longs, parallèles à l'axe $z$ , passent par $(- 5, 00 cm; 0)$ et $(+ 5, 00 cm; 0)$ dans le plan $(x, y)$ . Le premier transporte $20, 0$ A selon , le second A selon .

Exercice 8.2 · Cadre carré et spire circulaire

Un cadre carré de côté $b = 10, 0$ cm est parcouru par un courant $I = 5, 00$ A.

a) Montrez que le champ au centre du carré vaut $B = \frac{2 2 μ _{0} I}{π b}$ et calculez-le.

Exercice 8.3 · Flux dans un tore de section rectangulaire

Un tore de $N = 500$ spires, parcouru par $I = 1, 50$ A, a une section rectangulaire: rayon intérieur $r_{1} = 10, 0$ cm, rayon extérieur $r_{2} = 12, 0$ cm, hauteur cm.

Exercice 8.4 · Nappe de courant et ligne à deux rubans

Une nappe plane infinie (le plan $x = 0$ ) est parcourue par un courant surfacique uniforme: $K = 100$ A par mètre de largeur, dirigé selon $+ e_{z}$ .

a) Par des arguments de symétrie puis le théorème d'Ampère appliqué à un rectangle qui traverse la nappe, montrez que $B = μ_{0} K /2$ de part et d'autre, et donnez la direction du champ de chaque côté. Calculez .

Exercice 8.5 · Une cavité dans un conducteur (démonstration)

Un long conducteur cylindrique de rayon $R$ est parcouru par une densité de courant uniforme $J = J e_{z}$ . On y a percé, parallèlement à l'axe, une cavité cylindrique de rayon $r_{c}$ dont l'axe est décalé de $d$ (vecteur perpendiculaire à ) par rapport à celui du conducteur, la cavité restant entièrement dans le conducteur.

Références

Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière Éducation, Montréal, chap. 29 (sources du champ magnétique).
Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, 15e éd., Pearson, chap. 28.
Purcell, E. M. et Morin, D. J., Electricity and Magnetism, 3e éd., Cambridge University Press, chap. 6 et 11.
Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme 1, Dunod, Paris, chap. 13 et 14.
Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, chap. 5 et 6.
Pérez, J.-P., Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod, Paris.

Distance au centre	Paire de Helmholtz	Une seule bobine
$0, 1 R = 1, 5$ cm	$- 0, 011 %$	$- 1, 48 %$
$0, 2 R = 3, 0$ cm	$- 0, 176 %$	$- 5, 71 %$
$0, 3 R = 4, 5$ cm	$- 0, 844 %$	$- 12, 1 %$
$0, 5 R = 7, 5$ cm	$- 5, 42 %$	$- 28, 4 %$

Objectifs du chapitre

L'expérience d'Ørsted

La loi de Biot–Savart

Énoncé

La constante $μ_{0}$

Le fil rectiligne

Fil de longueur finie

Superposer des fils

La spire circulaire

Le champ sur l'axe

Loin de la spire: le dipôle magnétique

Les bobines de Helmholtz

Force entre deux courants parallèles

Le calcul

L'ampère, hier et aujourd'hui

Le théorème d'Ampère

Circulation et orientation

Vérification sur le fil infini

À l'intérieur d'un fil

Le solénoïde

Le tore

Le câble coaxial

La forme locale

Deux équations en un point

Vérification sur le fil

Le solénoïde de longueur finie

Les matériaux magnétiques

Trois comportements

Le cycle d'hystérésis

Électroaimants et IRM

Synthèse

Exercices

Références

Dans le conducteur central

Dans l'isolant

Dans la gaine

À l'extérieur du câble

Objectifs du chapitre

L'expérience d'Ørsted

La loi de Biot–Savart

Énoncé

La constante μ0​

Le fil rectiligne

Fil de longueur finie

Superposer des fils

La spire circulaire

Le champ sur l'axe

Loin de la spire: le dipôle magnétique

Les bobines de Helmholtz

Force entre deux courants parallèles

Le calcul

L'ampère, hier et aujourd'hui

Le théorème d'Ampère

Circulation et orientation

Vérification sur le fil infini

À l'intérieur d'un fil

Le solénoïde

Le tore

Le câble coaxial

La forme locale

Deux équations en un point

Vérification sur le fil

Le solénoïde de longueur finie

Les matériaux magnétiques

Trois comportements

Le cycle d'hystérésis

Électroaimants et IRM

Synthèse

Exercices

Références

Dans le conducteur central

Dans l'isolant

Dans la gaine

À l'extérieur du câble

La constante $μ_{0}$