Condensateurs et diélectriques

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• définir la capacité $C=Q/U$ d'un condensateur, expliquer pourquoi elle ne dépend que de la géométrie et du milieu, et situer l'ordre de grandeur du farad;
• démontrer les capacités des condensateurs plan, cylindrique et sphérique ainsi que celle d'une sphère isolée, et reconnaître le condensateur plan comme leur limite commune à faible écartement;
• établir les lois d'association en parallèle et en série et les appliquer à un réseau de condensateurs, en vérifiant le résultat par l'égalité des charges;
• calculer l'énergie stockée $W_{\text{eˊl}}=\frac{1}{2}C{U}^2$ par le travail de charge, l'interpréter comme l'énergie du champ de densité $w_{\text{eˊl}}=\frac{{\epsilon }_0}{2}{E}^2$, et en déduire la force entre les armatures avec son signe;
• expliquer la polarisation d'un diélectrique, les charges liées et la réduction du champ par ${\epsilon }_r$, et distinguer l'introduction d'un diélectrique à tension constante et à charge constante;
• estimer les grandeurs en jeu dans un défibrillateur, un flash, un supercondensateur, une cellule de mémoire DRAM ou un écran tactile, et reconnaître la limite imposée par le claquage.

Le condensateur et sa capacité

Deux conducteurs, deux charges opposées

Un condensateur est formé de deux conducteurs, appelés armatures, séparés par un isolant: de l'air, du vide, un film plastique, une céramique. On le charge en le reliant à un générateur, qui transporte des électrons d'une armature vers l'autre: l'une se retrouve avec une charge $+Q$, l'autre avec $-Q$. La charge totale du condensateur reste nulle; quand on parle de «la charge du condensateur», on désigne $Q$, la charge de l'armature positive.

Au chapitre 4 («Potentiel électrique»), vous avez vu qu'un conducteur en équilibre électrostatique est un volume équipotentiel. Chaque armature a donc un potentiel bien défini, $V_{+}$ et $V_{-}$, et la tension entre elles, $U=V_{+}-V_{-}$, est une grandeur sans ambiguïté, positive puisque le champ va de l'armature positive vers l'armature négative et que le potentiel décroît le long des lignes de champ.

Que se passe-t-il si l'on double la charge? Le champ électrique en chaque point est la somme des contributions de toutes les charges des armatures (principe de superposition, chapitre 1). Si toutes les charges sont multipliées par un même facteur $\lambda$ et gardent leur répartition, le champ est multiplié par $\lambda$ en tout point, donc aussi la circulation du champ d'une armature à l'autre, c'est-à-dire la tension. Il reste un point à justifier: la nouvelle répartition, obtenue en multipliant l'ancienne par $\lambda$, est bien celle que prennent les charges à l'équilibre. C'est le cas, car elle rend encore chaque armature équipotentielle, et l'on admet (c'est un théorème d'unicité de l'électrostatique) qu'une seule répartition possède cette propriété pour des charges totales données. Conclusion: $Q$ et $U$ sont proportionnelles, et leur rapport ne dépend que de la forme des armatures, de leur disposition et de l'isolant qui les sépare.

Le farad, une unité énorme

Le farad, nommé en l'honneur de Michael Faraday, est une unité démesurée pour les condensateurs ordinaires. Pour le voir, anticipons le résultat de la section suivante, $C={\epsilon }_{0}A/d$ pour deux plaques d'aire $A$ séparées par une épaisseur $d$ d'air. Un condensateur de $1$ F à air, avec un écartement de $1$ mm, demanderait des plaques d'aire

un carré de $10,63$ km de côté. De même, une sphère conductrice isolée de rayon $R$ a la capacité $4\pi {\epsilon }_{0}R$ (nous le démontrerons): pour atteindre $1$ F, il faudrait $R=1/(4\pi {\epsilon }_0)=8,988\cdot 10^9$ m, environ fois le rayon moyen de la Terre ( km). La Terre elle-même, vue comme une sphère conductrice isolée, n'a qu'une capacité de .

En pratique, on rencontre donc des picofarads ($1\text{pF}=10^{-12}$ F) dans les circuits haute fréquence et les capteurs, des nanofarads dans les filtres et les câbles, des microfarads dans les alimentations et les appareils à décharge. Les supercondensateurs, qui atteignent des milliers de farads, ne sont pas une contradiction: ils contournent le problème en rendant l'écartement «$d$» moléculaire et l'aire «$A$» gigantesque, comme nous le verrons à la fin du chapitre.

Le condensateur plan

Capacité du condensateur plan

Le condensateur le plus simple est formé de deux plaques conductrices parallèles d'aire $A$, séparées par une distance $d$ petite devant leurs dimensions. C'est aussi celui que l'on retrouve, à peine déguisé, dans presque tous les autres.

Démonstration. Plaçons l'axe $z$ perpendiculaire aux plaques, l'armature négative en $z=0$ et l'armature positive en $z=d$. Comme $d$ est petit devant les dimensions des plaques, un point situé entre elles et loin des bords «voit» deux plans infinis; c'est l'approximation que nous faisons, et que la section suivante discute. Les charges se répartissent alors uniformément, avec les densités surfaciques $+\sigma$ et $-\sigma$, $\sigma =Q/A$.

Au chapitre 3 («Flux électrique et loi de Gauss»), le théorème de Gauss a donné le champ d'un plan infini de densité $\sigma$: de norme $\sigma /(2{\epsilon }_0)$ de part et d'autre, perpendiculaire au plan et dirigé vers l'extérieur si $\sigma >0$. Superposons les deux plans:

• entre les plaques, le plan positif (au-dessus) crée un champ dirigé vers le bas, $-\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}{\mathbf{e}}_z$, et le plan négatif (au-dessous), qui attire les lignes de champ, crée lui aussi un champ dirigé vers le bas, $-\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}{\mathbf{e}}_z$. Ils s'ajoutent: ;

On retrouve le résultat du chapitre 3 pour un conducteur: juste à l'extérieur de sa surface, le champ vaut $\sigma /{\epsilon }_0$, et il est nul du côté où il n'y a pas d'autre armature. La tension s'obtient par la circulation du champ de l'armature positive à l'armature négative (chapitre 4): le long d'un segment parallèle à ${\mathbf{e}}_z$, parcouru de $z=d$ à $z=0$,

Le rapport $C=Q/U$ vaut donc ${\epsilon }_{0}A/d$, et $E=\sigma /{\epsilon }_0=U/d$. $\square$

Trois remarques. La capacité est proportionnelle à l'aire, car à tension donnée chaque mètre carré supplémentaire porte la même charge $\sigma$. Elle est inversement proportionnelle à l'écartement, car à charge donnée le champ est fixé par $\sigma$ et la tension croît comme la longueur sur laquelle il s'étend. Enfin, la relation $E=U/d$ est la raison d'être de l'unité du champ en volts par mètre: c'est le gradient de potentiel dans un condensateur plan.

Les effets de bord

La démonstration du théorème 5.1 a remplacé les armatures par des plans infinis. Pour des plaques réelles, le champ n'est uniforme que loin des bords. Près des bords, les lignes de champ se bombent vers l'extérieur, et une petite partie du flux passe par l'arrière des plaques: c'est ce qu'on appelle les effets de bord. La figure 5.1 les montre pour un écartement volontairement exagéré.

Deux conséquences. D'abord, l'extérieur n'est pas rigoureusement dépourvu de champ: un condensateur plan réel rayonne un peu de champ autour de lui, ce qui explique qu'on le blinde dans les montages sensibles. Ensuite, le flux supplémentaire qui passe par les bords correspond à une charge supplémentaire pour une même tension: la capacité réelle est un peu plus grande que ${\epsilon }_{0}A/d$. Pour des disques de même aire que le témoin (rayon $5,642$ cm) à $1,00$ mm d'écart, la formule approchée classique due à Kirchhoff, $C\approx \frac{{\epsilon }_0\pi R^2}{d}+{\epsilon }_{0}R\left[\ln \frac{16\pi R}{d}-1\right]$, donne une correction d'environ . La correction diminue avec , mais lentement, à cause du logarithme: l'approximation du plan infini est excellente pour les condensateurs à film mince, et seulement correcte pour un montage de laboratoire à plaques écartées.

Condensateurs cylindrique et sphérique

La même démarche — le théorème de Gauss donne le champ, la circulation du champ donne la tension, le rapport donne la capacité — s'applique à toute géométrie assez symétrique. Deux cas ont une importance pratique: le câble coaxial et la sphère.

Le condensateur cylindrique

Démonstration. Plaçons la charge $+Q$ sur le cylindre intérieur et $-Q$ sur le cylindre extérieur, et négligeons les effets d'extrémité, ce qui est légitime si $L\gg b$. Par symétrie cylindrique, le champ est radial et sa norme ne dépend que de la distance $r$ à l'axe. Appliquons le théorème de Gauss (chapitre 3) à un cylindre coaxial de rayon $r$ et de longueur $\ell$, orienté par la normale sortante. Le flux à travers les deux bases est nul (le champ y est tangent) et le flux latéral vaut $E(r)\cdot 2\pi r\ell$.

• Pour $a<r<b$, la charge intérieure est $\lambda \ell$, avec $\lambda =Q/L$: $E(r)2\pi r\ell =\lambda \ell /{\epsilon }_0$, donc , le champ du fil infini du chapitre 3.

La tension est la circulation du champ du cylindre intérieur au cylindre extérieur, le long d'un rayon:

D'où $C=Q/U=\lambda L/U=2\pi {\epsilon }_{0}L/\ln (b/a)$. $\square$

Vérifions la cohérence avec le condensateur plan. Si l'intervalle $d=b-a$ est petit devant $a$, on a $\ln (b/a)=\ln (1+d/a)\approx d/a$ au premier ordre, et (5.4) devient $C\approx 2\pi {\epsilon }_{0}aL/d={\epsilon }_{0}A/d$, avec l'aire latérale du cylindre intérieur. Vu de près, un cylindre à intervalle mince est un condensateur plan enroulé — ce qui est exactement la façon dont on fabrique beaucoup de condensateurs à film.

Le condensateur sphérique et la sphère isolée

Démonstration. Plaçons $+Q$ sur la sphère intérieure, $-Q$ sur la sphère extérieure. Par symétrie sphérique, le champ est radial et sa norme ne dépend que de $r$. Le théorème de Gauss sur une sphère de rayon $r$, $a<r<b$, donne $E(r)4\pi r^2=Q/{\epsilon }_0$, soit le champ coulombien ; au-delà de , la charge intérieure est nulle et . La tension vaut

d'où (5.5). Faisons tendre $b$ vers l'infini: $\frac{ab}{b-a}=\frac{a}{1-a/b}\to a$, et l'on obtient (5.6). Physiquement, la sphère isolée porte $Q$ et son potentiel, mesuré par rapport à l'infini, vaut , comme l'a établi le chapitre 4; le rapport est la capacité.

Là encore, le cas limite redonne le condensateur plan. Si $d=b-a\ll a$, alors $ab\approx a^2$ et $C\approx 4\pi {\epsilon }_0{a}^2/d={\epsilon }_{0}A/d$, avec . Les trois géométries obéissent à la même logique: une grande aire en regard et un faible écartement font une grande capacité.

Appliquons (5.6) à la sphère chargée des chapitres 3 et 4, dans sa version conductrice: rayon $R=10$ cm, charge $Q=+5$ nC. Sa capacité vaut

et son potentiel $V=Q/C=5\cdot 10^{-9}/1,113\cdot 10^{-11}=449,4$ V — exactement la valeur $V(R)$ trouvée au chapitre 4 par intégration du champ. Deux routes, un seul résultat.

Associations de condensateurs

Dans un circuit, les condensateurs sont souvent groupés. Deux montages élémentaires permettent de remplacer un groupe par un condensateur équivalent, c'est-à-dire un condensateur unique qui, sous la même tension, porterait la même charge totale.

Démonstration. En parallèle, toutes les armatures «hautes» sont reliées par des fils conducteurs, donc au même potentiel (un ensemble de conducteurs reliés forme un seul conducteur en équilibre, équipotentiel); de même pour toutes les armatures «basses». Chaque condensateur est donc soumis à la même tension $U$ et porte $Q_i=C_{i}U$. La charge totale fournie par le générateur est

d'où (5.7).

En série, l'armature basse de $C_1$ est reliée à l'armature haute de $C_2$, et ainsi de suite; seules les armatures extrêmes sont reliées au générateur. Considérons le conducteur formé de l'armature basse de $C_1$, du fil et de l'armature haute de $C_2$: il est (aucun fil ne le relie au générateur), et sa charge totale, nulle au départ, le reste par conservation de la charge. Si le générateur place sur l'armature haute de , l'armature basse de porte (les deux armatures d'un condensateur portent des charges opposées), donc l'armature haute de porte , et ainsi de suite: . Les tensions s'ajoutent le long de la chaîne:

d'où $U/Q={\sum }_{i}1/C_i$, c'est-à-dire (5.8). $\square$

Deux conséquences se lisent directement. En parallèle, la capacité équivalente est plus grande que la plus grande des capacités: on ajoute de l'aire en regard. En série, elle est plus petite que la plus petite: on ajoute de l'écartement. Pour deux condensateurs en série, (5.8) s'écrit $C_{\text{seˊr}}=C_1{C}_2/(C_1+C_2)$, et la tension se partage des capacités, : c'est le plus petit condensateur qui supporte la plus grande tension, ce qu'il faut vérifier avant de monter en série des composants dont la tension maximale est limitée.

Énergie stockée dans un condensateur

Le travail de charge

Charger un condensateur coûte du travail: il faut transporter des charges positives vers une armature qui les repousse déjà. Ce travail n'est pas perdu; il est stocké, et le condensateur le restitue lorsqu'il se décharge — c'est ce qui fait fonctionner un flash ou un défibrillateur.

Démonstration. Chargeons le condensateur progressivement, de façon quasi statique. À un instant intermédiaire, l'armature positive porte la charge $q$, avec $0\le q\le Q$, et la tension vaut $u=q/C$. Transportons une petite charge $\mathrm{d}q>0$ de l'armature négative vers l'armature positive. D'après le chapitre 4, l'énergie potentielle d'une charge $\mathrm{d}q$ au potentiel $V$ vaut : ce transport l'augmente de , et c'est le travail que doit fournir l'opérateur (ou le générateur) si le transport se fait sans variation d'énergie cinétique. Ainsi

En sommant de $q=0$ à $q=Q$ (la capacité est constante, puisqu'elle ne dépend que de la géométrie):

Les deux autres formes s'obtiennent en remplaçant $Q$ par $CU$. $\square$

Le facteur $\frac{1}{2}$ mérite qu'on s'y arrête. Le générateur, lui, maintient la tension $U$ pendant toute la charge et fournit le travail $QU$: le double de ce qui est stocké. Où passe l'autre moitié? Elle est dissipée en chaleur dans les résistances du circuit de charge, et — résultat qui surprend toujours — elle ne dépend pas de la valeur de la résistance: une résistance faible dissipe une grande puissance pendant peu de temps, une résistance élevée une petite puissance pendant longtemps. Le chapitre 6 le démontrera en résolvant l'équation du circuit RC. Dans la démonstration ci-dessus, au contraire, la tension appliquée suit à chaque instant la tension du condensateur, et rien n'est dissipé.

Graphiquement, $W_{\text{eˊl}}$ est l'aire du triangle sous la droite $u=q/C$ dans le plan $(q,u)$, exactement comme l'énergie d'un ressort était l'aire du triangle sous $F=kx$ au chapitre 4 de Physique générale I. L'analogie est complète: , , . Un condensateur de faible capacité est un ressort raide.

L'énergie est dans le champ

L'expression (5.9) attribue l'énergie au condensateur tout entier. On peut aller plus loin et se demander où elle se trouve. Dans le condensateur plan, la réponse est suggestive.

Démonstration dans le cas du condensateur plan. Exprimons (5.9) à l'aide du champ, avec $C={\epsilon }_{0}A/d$ et $U=Ed$:

Or $Ad$ est exactement le volume où règne le champ, et ce champ y est uniforme, tandis qu'il est nul à l'extérieur. L'énergie est donc répartie uniformément dans ce volume, avec la densité $\frac{{\epsilon }_0}{2}{E}^2$. $\square$

La démonstration ne vaut, telle quelle, que pour le condensateur plan. L'énoncé général — l'énergie électrostatique est l'intégrale de $w_{\text{eˊl}}$ sur tout l'espace — se démontre dans les cours plus avancés; nous le vérifions ici sur un autre cas. Dans le condensateur cylindrique, le champ vaut $E(r)=\lambda /(2\pi {\epsilon }_{0}r)$ entre $a$ et . Découpons l'intervalle en coques cylindriques de rayon , d'épaisseur et de longueur , de volume :

Avec $Q=\lambda L$ et $C=2\pi {\epsilon }_{0}L/\ln (b/a)$, on a $\frac{Q^2}{2C}=\frac{{\lambda }^2{L}^2\ln (b/a)}{4\pi {\epsilon }_{0}L}$: c'est la même expression. Le champ n'est pas uniforme, l'énergie est concentrée près du conducteur central où le champ est intense, et pourtant l'intégrale redonne exactement . L'exercice 5.5 fait la même vérification pour la sphère.

Revenons au témoin. Avec $E=12,0$ kV/m,

et le volume entre les armatures vaut $Ad=1,00\cdot 10^{-2}\times 1,00\cdot 10^{-3}=1,00\cdot 10^{-5}{\text{m}}^3$. Le produit donne J, et par l'autre route, J. Le témoin stocke donc nJ.

La densité d'énergie limite aussi ce que peut stocker un condensateur à air. Nous verrons que l'air cesse d'être isolant pour un champ de l'ordre de $3$ MV/m. La densité maximale correspondante est $\frac{{\epsilon }_0}{2}(3\cdot 10^6{)}^2=39,84{\text{J/m}}^3$: une pile alcaline AA, qui stocke de l'ordre de kJ, en contient autant que d'air au seuil du claquage. Pour stocker davantage, il faut un meilleur isolant — c'est l'objet de la section sur les diélectriques.

La force entre les armatures

Les armatures portent des charges opposées: elles s'attirent. Calculer cette force directement demanderait de sommer les forces de Coulomb entre toutes les charges des deux plaques. La méthode énergétique est plus rapide, et elle a l'avantage de s'étendre à des situations où le calcul direct est hors de portée.

Isolons le condensateur plan chargé (plus de générateur: $Q$ est constante), et repérons la position de l'armature positive par l'écartement $x$. L'énergie stockée, en fonction de $x$, vaut

Soit $F_x$ la composante, selon l'axe des $x$ croissants, de la force électrique exercée sur l'armature mobile. Un opérateur déplace lentement cette armature de $\mathrm{d}x$ en exerçant la force opposée $-F_x$; son travail $-F_x\mathrm{d}x$ est la seule énergie reçue par le système isolé, et il se retrouve dans le champ: . Donc

Signe. $F_x<0$: la force pousse l'armature vers les $x$ décroissants, c'est une attraction, comme attendu. Sa norme ne dépend pas de l'écartement (tant que $d\ll \sqrt{A}$), puisque le champ entre les armatures n'en dépend pas à charge fixée. On peut l'écrire : le facteur est celui du callout sur le champ d'une seule armature, car chaque plaque n'éprouve que le champ de l'autre. Rapportée à l'aire, cette force donne une , numériquement égale à la densité d'énergie.

Pour le témoin, $F=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}A}=\frac{(1,063\cdot 10^{-9}{)}^2}{2\times 8,854\cdot 10^{-12}\times 1,00\cdot 10^{-2}}=6,375\cdot 10^{-6}$ N, et l'on retrouve la même valeur par : quelques micronewtons, le poids d'une masse de mg. La pression correspondante, Pa, grimpe à Pa pour un champ de MV/m. C'est peu à l'échelle humaine, mais énorme à l'échelle d'un microsystème: les actionneurs électrostatiques des MEMS (miroirs orientables, micro-interrupteurs) exploitent précisément cette force, avec des écartements de quelques micromètres.

Les diélectriques

Ce que change un isolant

Faisons une expérience. Chargeons le condensateur témoin sous $12,0$ V, isolons-le, et glissons entre ses armatures une plaque de verre qui remplit tout l'intervalle. Un voltmètre électrostatique (qui ne prélève pas de charge) montre que la tension chute, par exemple de $12,0$ V à $3,0$ V. La charge n'a pas pu changer — le condensateur est isolé — donc la capacité a été multipliée par $4$. Retirons la plaque: la tension remonte à $12,0$ V. Faraday a étudié systématiquement cet effet, et constaté que le facteur ne dépend que de la nature de l'isolant.

Pour le condensateur plan, (5.12) donne $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$; pour le témoin rempli d'un diélectrique de permittivité relative ${\epsilon }_r=4$, $C=4\times 88,54=354,2$ pF. Le tableau ci-dessous donne des ordres de grandeur pour quelques matériaux. Les valeurs précises dépendent de la composition, de la température et de la fréquence du champ; celles-ci sont indicatives, dans l'esprit des tables des manuels cités en référence.

L'air se comporte donc presque comme le vide, ce qui justifie de confondre les deux pour le condensateur témoin. L'eau, avec sa permittivité exceptionnelle, a une place à part; nous verrons pourquoi.

La polarisation

Pourquoi un isolant, où aucune charge ne peut circuler, modifie-t-il le champ? Parce que ses charges, sans quitter leurs atomes, se déplacent un peu. Deux mécanismes y contribuent.

• Polarisation électronique. Dans un atome ou une molécule sans moment dipolaire propre, le champ tire le nuage électronique dans un sens et le noyau dans l'autre. Le déplacement est minuscule — une petite fraction du rayon atomique — mais il crée un dipôle induit $\mathbf{p}$, orienté selon $\mathbf{E}$.
• Polarisation d'orientation. Certaines molécules, comme l'eau, possèdent un moment dipolaire permanent. En l'absence de champ, l'agitation thermique les oriente au hasard et leurs moments se compensent. Un champ exerce sur chacune le moment de force $\mathbf{M}=\mathbf{p}\times \mathbf{E}$ étudié au chapitre 2 («Champ électrique»), qui tend à les aligner; l'alignement n'est que partiel, mais il donne un moment moyen dans le sens du champ. C'est ce mécanisme, très efficace, qui explique la valeur élevée de ${\epsilon }_r$ pour l'eau.

Dans les deux cas, le matériau acquiert un moment dipolaire macroscopique, que l'on décrit par une densité.

La relation (5.13) n'est pas une loi fondamentale; c'est un modèle de comportement, bien vérifié pour les gaz, les liquides et la plupart des plastiques et des verres, en deçà du claquage. Il échoue pour les cristaux anisotropes (où $\mathbf{P}$ n'est pas parallèle à $\mathbf{E}$) et pour les matériaux ferroélectriques comme le titanate de baryum, dont la polarisation dépend de l'histoire du matériau. Notez aussi une réutilisation de lettre: $\mathbf{P}$, en gras, est ici la polarisation, et non la puissance $P$ du chapitre 6; de même, $\mathbf{p}$ désigne le moment dipolaire électrique, pas la quantité de mouvement de Physique générale I.

Les charges liées. Considérons une plaque de diélectrique uniformément polarisée, $\mathbf{P}$ perpendiculaire à ses faces. Modélisons chaque dipôle comme une charge $+q$ déplacée de $\delta$ par rapport à une charge $-q$, dans le sens de $\mathbf{P}$, de sorte que $p=q\delta$. À l'intérieur du matériau, chaque petit volume contient autant de charges positives que négatives: les déplacements se compensent. Mais sur la face vers laquelle pointe $\mathbf{P}$, les charges positives ont avancé d'une épaisseur $\delta$ au-delà des charges négatives: une couche d'épaisseur $\delta$ contient un excès de charges positives, par unité de volume, soit une charge par unité d'aire . Sur la face opposée, il manque la même quantité: la densité y vaut .

Le champ réduit par la permittivité

Les charges liées de la figure 5.2 sont de signe opposé aux charges libres de l'armature voisine. Elles créent donc, dans le diélectrique, un champ opposé à celui des armatures: le champ total diminue. Le calcul, à l'échelle du condensateur plan, est court.

Démonstration. Le diélectrique se polarise selon le champ, qui est perpendiculaire aux armatures et dirigé de l'armature positive vers l'armature négative. Ses faces portent les charges liées ${\sigma }_b=P$ (5.14): $-{\sigma }_b$ contre l'armature positive, $+{\sigma }_b$ contre l'armature négative. Nous avons ainsi quatre plans chargés parallèles. Par superposition, comme dans la démonstration du théorème 5.1:

• les charges libres $\pm \sigma$ créent entre les armatures le champ $\sigma /{\epsilon }_0$, dirigé de $+$ vers $-$;
• les charges liées $\mp {\sigma }_b$, disposées en sens inverse, créent dans le diélectrique le champ ${\sigma }_b/{\epsilon }_0$ dirigé en sens opposé.

Le champ total dans le diélectrique vaut donc $E=(\sigma -{\sigma }_b)/{\epsilon }_0$. Or ${\sigma }_b=P={\epsilon }_0{\chi }_{e}E$ d'après (5.13), d'où

La tension vaut $U=Ed=\sigma d/({\epsilon }_0{\epsilon }_r)$ et la capacité $C=Q/U=\sigma A/U={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$, ce qui justifie (5.12) dans ce cas et identifie .

Les charges liées écrantent donc une fraction des charges libres: ${\sigma }_b={\epsilon }_0{\chi }_{e}E=\sigma {\chi }_e/{\epsilon }_r=\sigma (1-1/{\epsilon }_r)$. Pour , la moitié des lignes de champ s'arrête sur les charges liées, comme sur la figure 5.2; pour l'eau, avec , il n'en passe qu'une sur quatre-vingts.

Le résultat (5.15) se lit dans deux situations. À charge constante (condensateur isolé), $\sigma$ ne change pas: le champ et la tension sont divisés par ${\epsilon }_r$. C'est l'expérience du début de la section. À tension constante (condensateur relié au générateur), $E=U/d$ ne peut pas changer: c'est la charge libre qui est multipliée par ${\epsilon }_r$, le générateur apportant ce qu'il faut pour compenser les charges liées. Pour le témoin rempli d'un diélectrique de permittivité relative $4$ sous V, la charge passe de nC à nC, la densité libre de à , et la densité liée vaut de cette dernière, : le champ net est bien kV/m.

Rigidité diélectrique et claquage

Un isolant ne l'est que jusqu'à un certain champ. Dans un gaz, quelques électrons libres existent toujours (créés par la radioactivité naturelle ou le rayonnement cosmique). Sous un champ intense, ils acquièrent entre deux collisions assez d'énergie pour ioniser les molécules qu'ils heurtent; chaque ionisation libère un nouvel électron, et une avalanche se développe: l'isolant devient conducteur, une étincelle jaillit. Dans un solide, le mécanisme est différent et le claquage est souvent destructif — il perce le matériau.

Le condensateur témoin, à $12,0$ kV/m, est donc très loin du claquage: il faudrait l'amener à environ $3$ kV. Deux conséquences pratiques:

• Les pointes. Le champ est plus intense au voisinage des parties pointues d'un conducteur. La formule (5.6) le fait comprendre: deux sphères de rayons différents reliées par un long fil sont au même potentiel $V=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$, donc chacune porte une charge proportionnelle à son rayon, une densité $\sigma \propto Q/R^2\propto 1/R$ et un champ superficiel $\sigma /{\epsilon }_0\propto 1/R$: la petite sphère, comme une pointe, a le champ le plus fort. C'est là que le claquage s'amorce, sous forme d'effluves (l'effet couronne des lignes à haute tension, audible par temps humide) ou d'étincelles. Les électrodes des éclateurs et des bornes haute tension sont donc arrondies, et les paratonnerres, à l'inverse, sont pointus.

Introduire un diélectrique: à tension constante ou à charge constante

Revenons à l'expérience du début de la section, et faisons le bilan d'énergie. C'est ici que l'intuition trompe le plus souvent.

À charge constante (condensateur isolé), $W_{\text{eˊl}}=Q^2/(2C)$ et $C$ est multipliée par ${\epsilon }_r$: l'énergie stockée est par . Le système étant isolé, l'énergie manquante a été cédée sous forme de travail mécanique: le champ la plaque dans le condensateur, et l'opérateur qui la retient pendant l'insertion reçoit ce travail (ou, si on lâche la plaque, elle accélère).

À tension constante (condensateur relié au générateur), $W_{\text{eˊl}}=\frac{1}{2}C{U}^2$ est multipliée par ${\epsilon }_r$. Faut-il en conclure qu'on a dû pousser la plaque pour la faire entrer? Non. Le générateur fournit la charge supplémentaire sous la tension , donc le travail — exactement le de l'augmentation d'énergie stockée, . La moitié va au champ; l'autre moitié, comme à charge constante, est cédée sous forme de travail mécanique: la plaque est .

L'explorateur ci-dessous reprend le témoin et vous laisse modifier l'écartement, la permittivité et le protocole. Observez en particulier la barre de l'énergie: elle part vers la gauche quand vous augmentez ${\epsilon }_r$ sur le condensateur isolé, vers la droite quand il est relié. Observez aussi ce qui ne bouge pas: $Q$ dans un cas, $U$ dans l'autre — et, à tension constante, le champ tant que vous ne touchez pas à l'écartement.

Des condensateurs dans la vie courante

Les chiffres de cette section sont des ordres de grandeur construits pour l'illustration: les valeurs de composants que nous posons sont plausibles, mais elles ne décrivent aucun appareil précis.

L'écran tactile capacitif

Un écran tactile capacitif est recouvert, sous sa vitre, d'une grille d'électrodes transparentes. L'électronique mesure en permanence les capacités entre électrodes voisines ou entre chaque électrode et la masse. Un doigt, conducteur et relié au corps, modifie ces capacités là où il se pose: il s'ajoute comme une armature supplémentaire et détourne une partie des lignes de champ. Pour fixer les idées, modélisons la pulpe du doigt comme une armature de $1{\text{cm}}^2$ posée sur une vitre de $0,70$ mm, de permittivité relative de l'ordre de $7$. La capacité doigt–électrode vaut alors ${\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d=8,854$ pF: quelques picofarads, et ce sont des variations d'une fraction de picofarad que l'électronique détecte. Deux conséquences familières: un gant épais ajoute un isolant de faible permittivité et éloigne l'armature — l'écran ne réagit plus —, et un stylet doit être conducteur pour fonctionner.

Le défibrillateur

Un défibrillateur externe délivre au cœur une impulsion électrique brève et intense. Aucune batterie portable ne peut fournir directement des dizaines de kilowatts; le condensateur sert d'amplificateur de puissance. Prenons un condensateur de $C=100\mu \text{F}$ chargé sous $U=2,00$ kV (ordres de grandeur de notre choix). Il stocke

avec une charge $Q=CU=0,200$ C. Un chargeur de $50$ W alimenté par la batterie met $200/50=4,0$ s à l'accumuler. La décharge se fait à travers le thorax, dont nous prendrons la résistance de l'ordre de $50\Omega$. Au chapitre 6, vous montrerez que la tension décroît alors exponentiellement avec la constante de temps $\tau =RC=5,0$ ms; le courant initial vaut A et la puissance initiale kW, soit fois la puissance du chargeur. L'énergie restante décroît comme : au bout d'une seule constante de temps, de l'énergie a été délivrée. Les appareils réels façonnent la forme de l'impulsion (souvent en deux alternances de signes opposés) et adaptent l'énergie au patient; ce modèle ne retient que l'ordre de grandeur et le principe: .

Le flash photographique

Le même principe, à plus petite échelle, alimente le flash d'un appareil photo: un condensateur de l'ordre de $150\mu \text{F}$, chargé vers $300$ V par un petit convertisseur à partir de piles de quelques volts, stocke $\frac{1}{2}\times 150\cdot 10^{-6}\times 300^2=6,75$ J. Déchargée dans un tube au xénon en une durée de l'ordre de la milliseconde, cette énergie correspond à une puissance moyenne de l'ordre de kW. Le sifflement aigu que l'on entend pendant la recharge de certains flashs est celui du convertisseur.

Les supercondensateurs

Un supercondensateur (ou condensateur à double couche) plonge deux électrodes de carbone activé, extrêmement poreux, dans un électrolyte. À l'interface entre chaque électrode et l'électrolyte, les ions de charge opposée à celle de l'électrode s'accumulent en une couche très proche de la surface: une double couche qui se comporte comme un condensateur plan dont l'«écartement» est de l'ordre d'une taille moléculaire. Faisons le calcul avec des valeurs de modèle, $d\approx 0,5$ nm et ${\epsilon }_r\approx 6$ pour la couche de solvant:

Le carbone activé offre une surface spécifique de l'ordre de $1000{\text{m}}^2$ par gramme. Une cellule de $3000$ F contient deux doubles couches en série (une par électrode): d'après (5.8), chacune doit valoir $6000$ F, soit une surface de $6000/0,1063=5,647\cdot 10^4{\text{m}}^2$ — environ g de carbone par électrode dans ce modèle. La tension est en revanche limitée à quelques volts, au-delà desquels l'électrolyte se décompose: sous V, une cellule de F stocke kJ, soit Wh. C'est peu face à une batterie de même masse, mais un supercondensateur se charge et se décharge en quelques secondes, des centaines de milliers de fois: on l'utilise pour récupérer l'énergie de freinage, secourir une alimentation ou fournir des pics de puissance.

La cellule de mémoire DRAM

La mémoire vive dynamique (DRAM) d'un ordinateur stocke chaque bit dans un minuscule condensateur: chargé, il code un 1; déchargé, un 0. Avec une capacité de l'ordre de $20$ fF ($1\text{fF}=10^{-15}$ F) sous environ $1$ V, la charge stockée vaut $2\cdot 10^{-14}$ C, soit $1,248\cdot 10^5$ électrons. Pour obtenir cette capacité avec un isolant de nm et de permittivité relative de l'ordre de (un oxyde dit «high-k»), le modèle plan demande une aire , bien plus que la place disponible pour une cellule dans une puce qui en contient des milliards. Les fabricants construisent donc le condensateur , sous forme de cylindres étroits et profonds qui déploient l'aire nécessaire sur une petite emprise. Et comme l'isolant n'est pas parfait, la charge fuit: chaque cellule doit être relue et réécrite périodiquement, typiquement toutes les quelques dizaines de millisecondes — c'est le «rafraîchissement» qui donne son nom à la mémoire .

Synthèse

• Un condensateur est formé de deux armatures portant $+Q$ et $-Q$; sa capacité $C=Q/U$ ne dépend que de la géométrie et de l'isolant. Le farad est énorme: les composants courants se comptent en pF, nF et µF.
• Condensateur plan: $C={\epsilon }_{0}A/d$ et $E=\sigma /{\epsilon }_0=U/d$, à des effets de bord près qui augmentent un peu la capacité. Cylindrique: . Sphérique: , et pour une sphère isolée ( pF pour cm). Tous tendent vers le plan quand l'écartement devient petit.

Exercices

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Références

• Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière Éducation, Montréal, chapitre sur la capacité et les diélectriques.
• Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, Pearson, chapitre «Capacitance and Dielectrics».
• Purcell, E. M. et Morin, D. J., Electricity and Magnetism, 3ᵉ éd., Cambridge University Press, chapitres 3 et 10 (conducteurs et condensateurs, champs dans la matière).
• Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme, vol. 1, Dunod, chapitres sur l'énergie électrostatique et les diélectriques.
• Pérez, J.-P., Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod, chapitres sur les condensateurs et les milieux diélectriques.
• Polycopiés de Physique générale II de l'EPFL.