Formulaire · Physique générale II

Ce formulaire rassemble, chapitre par chapitre, les lois, théorèmes et formules essentiels du cours, avec la notation des chapitres et un renvoi à l'endroit où chacun les énonce: «théorème 3.2, (3.4)» désigne le théorème 3.2 et l'équation numérotée (3.4) du chapitre 3. Chaque formule est suivie de la signification des symboles et de son domaine de validité; les démonstrations, les exemples et les pièges se trouvent dans les chapitres. Une loi marquée «expérimentale» est postulée par le cours et non démontrée.

Conventions. Unités SI. Vecteurs en gras droit ( $E$ , $B$ , $F$ ), normes en italique ( $E$ , $B$ , $F$ ), vecteurs unitaires $e_{x}$ , $e_{r}$ , $e_{θ}$ . Une surface fermée est orientée par la normale sortante; une surface ouverte bordée par un contour orienté l'est par la règle de la main droite (doigts selon le sens de parcours, pouce selon la normale). Potentiel $V$ , tension $U_{A B} = V_{A} - V_{B}$ (en continu) et $u (t)$ (valeur instantanée); f.é.m. $E$ ; densité de courant $J$ ; moment dipolaire électrique $p$ , moment magnétique $m$ , moment de force $M$ ; unité imaginaire $j$ , amplitudes complexes soulignées ( $\underline{U}$ , $\underline{Z}$ ). Convention récepteur pour R, L et C (flèches de $u$ et de $i$ opposées), convention générateur pour les sources.

Constantes (CODATA 2022). $e = 1, 602176634 \cdot 1 0^{- 19}$ C et $c = 299792458$ m/s exactes; $ε_{0} = 8, 8541878188 \cdot 1 0^{- 12}$ F/m et N/A² mesurées (); N·m²/C², arrondie à dans les exemples; kg, kg, N·m²/kg². L'annexe B donne les autres constantes, les unités et les ordres de grandeur.

Chapitre 1 – Charge électrique et loi de Coulomb

q = n e, n \in Z, i \sum q_{i} = constante

Quantification de la charge (théorème 1.1, (1.1)), exacte pour tout corps isolé (les quarks, de charge $\pm e /3$ ou $\pm 2 e /3$ , sont confinés); conservation de la charge d'un système isolé (théorème 1.2, (1.2)), vraie même lorsque des particules sont créées ou détruites. La conservation est aussi locale: sa forme locale est l'équation de continuité (11.8).

F_{1 \to 2} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q _{1} q _{2}}{r _{12}^{2}} e_{12} = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0}} \frac{r _{2} - r _{1}}{∥ r _{2} - r _{1} ∥ ^{3}}, F_{2 \to 1} = - F_{1 \to 2}

Loi de Coulomb, expérimentale (théorème 1.3, (1.3)–(1.5)), et actions réciproques (1.7): $e_{12}$ unitaire de $q_{1}$ vers $q_{2}$ ; le signe de $q_{1} q_{2}$ donne seul l'attraction ou la répulsion. Validité: charges ponctuelles (ou petites devant leur distance), (la force exercée une charge immobile reste exacte sur une charge quelconque), dans le vide; dans l'air, à mieux qu'un millième près. L'égalité (1.7) ne vaut qu'en statique.

F = \frac{q}{4 π ε _{0}} i = 1 \sum n q_{i} \frac{r - r _{i}}{∥ r - r _{i} ∥ ^{3}}, \frac{F _{e}}{F _{g}} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} G m _{e} m _{p}} = 2, 27 \cdot 1 0^{39}

Principe de superposition, expérimental (théorème 1.4, (1.8)): les forces exercées par plusieurs charges s'additionnent comme des vecteurs; la force est linéaire en chaque charge. Rapport des forces électrique et gravitationnelle entre l'électron et le proton (1.9), indépendant de la distance.

Chapitre 2 – Champ électrique

E (P) = q_{0} \to 0 lim \frac{F}{q _{0}}, F = q E, E (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} e_{r}

Définition du champ électrique (définition 2.1, (2.1)) par une charge d'essai positive et immobile, en N/C = V/m; champ d'une charge ponctuelle immobile placée à l'origine (théorème 2.1, (2.2)), radial, sortant si $q > 0$ .

E (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} i = 1 \sum N \frac{q _{i} ( r - r _{i} )}{∣ r - r _{i} ∣ ^{3}}, E (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \int \frac{( r - r ^{'} ) d q}{∣ r - r ^{'} ∣ ^{3}}

Superposition des champs (théorème 2.2, (2.3)) et distribution continue (2.4), avec $d q = λ d ℓ$ , $σ d S$ ou $ρ d τ$ selon que la charge est linéique, surfacique ou volumique.

E_{fil} = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}, E_{z}^{anneau} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q z}{( z ^{2} + R ^{2} ) ^{3/2}}, E_{z}^{disque} = \frac{σ}{2 ε _{0}} (1 - \frac{z}{z ^{2} + R ^{2}}), E_{plan} = \frac{σ}{2 ε _{0}}

Fil rectiligne infini de densité $λ$ (théorème 2.3, (2.6); tige finie de longueur $L$ sur sa médiatrice: (2.5)); anneau de rayon $R$ et de charge $Q$ , sur son axe (théorème 2.4, (2.7)), maximal en $z = R / 2$ ; disque de densité $σ$ sur son axe, (théorème 2.5, (2.8)), et plan infini (2.9): champ uniforme, perpendiculaire au plan, de part et d'autre.

p = q d, E_{axe} \approx \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{2 p}{z ^{3}} (z ≫ d), M = p \times E, E_{p} = - p \cdot E

Moment dipolaire (définition 2.2, (2.10)), $d$ allant de $- q$ à $+ q$ , en C·m; champ sur l'axe (théorème 2.6, (2.11)–(2.12)), en $1/ z^{3}$ à grande distance; dans un champ uniforme, force nulle, couple et énergie potentielle d'orientation (théorème 2.7, (2.13)–(2.14), $E_{p} = 0$ pour $p ⊥ E$ ).

a = \frac{q}{m} E, tan θ = \frac{∣ q ∣ E L}{m v _{0}^{2}}, Y = tan θ (\frac{L}{2} + D)

Charge dans un champ uniforme (2.15), mouvement parabolique entre des plaques de longueur $L$ , déviation angulaire à la sortie (2.16) et déviation $Y$ sur un écran à la distance $D$ au-delà des plaques (2.17), poids négligé.

Chapitre 3 – Flux électrique et loi de Gauss

Φ_{E} = E A cos θ, Φ_{E} = \iint_{S} E \cdot n d S, d Ω = \frac{e _{r} \cdot n d S}{r ^{2}}

Flux d'un champ uniforme à travers une surface plane (définition 3.1, (3.1)) et à travers une surface orientée (définition 3.2, (3.2)), en V·m; angle solide (définition 3.3, (3.3)), en stéradians ( $4 π$ sr pour la sphère entière).

\oint_{S} E \cdot n d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}

Théorème de Gauss (théorème 3.2, (3.4)), établi pour une charge ponctuelle par l'angle solide (théorème 3.1) puis par superposition: $E$ est le champ de toutes les charges, $Q_{int}$ la charge algébrique intérieure, $S$ fermée et orientée vers l'extérieur. Toujours vrai, il ne donne $E$ que lorsqu'une symétrie rend $E$ constant sur la surface. Analogue gravitationnel (3.9): $\oint_{S} g \cdot n d S = - 4 π G M_{int}$ .

E_{boule} (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0}} \frac{r}{R ^{3}} (r \leq R), E (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}} (r \geq R), E_{fil} = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}, E_{plan} = \frac{σ}{2 ε _{0}}

Sphère de rayon $R$ chargée uniformément en volume (3.5), fil infini (3.6) et plan infini (3.7), retrouvés par la loi de Gauss; à l'intérieur de la boule, $E = ρ r / (3 ε_{0})$ croît linéairement.

E = 0 dans un conducteur en \overset{e}{ˊ} quilibre, E = \frac{σ}{ε _{0}} n juste \overset{a}{ˋ} l’ext \overset{e}{ˊ} rieur

Conducteur en équilibre électrostatique (théorème 3.3): champ nul dans la matière, charge excédentaire en surface (cage de Faraday). Théorème de Coulomb (théorème 3.4, (3.8)), $n$ normale sortante du conducteur. Pas dans un fil parcouru par un courant (chapitre 6).

\oint_{\partial V} E \cdot n d S = ∭_{V} \nabla \cdot E d τ, \nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε _{0}}

Théorème de la divergence (théorème 3.5, (3.10)), admis ici et démontré en Analyse III, chapitre 5 (Théorèmes de la divergence et de Stokes), pour un champ continûment dérivable; divergence $\nabla \cdot E = \partial_{x} E_{x} + \partial_{y} E_{y} + \partial_{z} E_{z}$ (définition 3.4), flux sortant par unité de volume. Forme locale de la loi de Gauss (3.11).

Chapitre 4 – Potentiel électrique

W_{A \to B} = q \int_{C} E \cdot d l, \oint_{C} E \cdot d l = 0, W_{A \to B} = E_{p} (A) - E_{p} (B)

Travail de la force électrique (4.1); le champ électrostatique est conservatif (théorème 4.1, (4.2)–(4.3)): circulation indépendante du chemin, nulle sur toute courbe fermée qui évite les charges ponctuelles. Énergie potentielle électrique (définition 4.1, (4.4)), définie à une constante près; pour deux charges ponctuelles, $E_{p} = q Q / (4 π ε_{0} r)$ avec $E_{p} (\infty) = 0$ (4.5).

V (P) = - \int_{O}^{P} E \cdot d l, U_{A B} = V_{A} - V_{B} = \int_{A}^{B} E \cdot d l, W_{A \to B} = q U_{A B}

Potentiel (définition 4.2, (4.6)), énergie potentielle par unité de charge, nul au point de référence $O$ ; tension (4.7) en volts ( $1$ V $= 1$ J/C); travail de la force électrique (4.8). Électron-volt (définition 4.3): $1 eV = 1, 602176634 \cdot 1 0^{- 19}$ J, exact. Conservation de l'énergie d'une charge (4.17): $\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = q U_{A B}$ .

V (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{r}, V (P) = \frac{1}{4 π ε _{0}} i \sum \frac{Q _{i}}{r _{i}} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \int \frac{d q}{r}

Potentiel d'une charge ponctuelle avec $V (\infty) = 0$ (4.9) et superposition (4.10), une somme de scalaires; anneau sur son axe (4.15): $V = Q / (4 π ε_{0} z^{2} + a^{2})$ .

W_{\overset{e}{ˊ} l} = \frac{1}{4 π ε _{0}} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} = \frac{1}{2} i \sum q_{i} V_{i}

Énergie d'un système de charges ponctuelles (4.11)–(4.12): travail pour les amener de l'infini, chaque paire comptée une fois; $V_{i}$ est le potentiel créé en $q_{i}$ par toutes les autres charges.

E = - \nabla V, E_{x} = - \frac{\partial V}{\partial x}, E_{y} = - \frac{\partial V}{\partial y}, E_{z} = - \frac{\partial V}{\partial z}

Le champ est l'opposé du gradient du potentiel (théorème 4.2, (4.13)), là où $E$ est continu: il est perpendiculaire aux équipotentielles (définition 4.4) et dirigé vers les potentiels décroissants. $V$ est défini à une constante près, $E$ ne l'est pas; $V = 0$ n'implique pas $E = 0$ .

V (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r} (r \geq R), V (r) = \frac{Q ( 3 R ^{2} - r ^{2} )}{8 π ε _{0} R ^{3}} (r \leq R)

Potentiel de la sphère uniformément chargée en volume (théorème 4.3, (4.14)), $V (\infty) = 0$ : continu en $r = R$ , maximal au centre ( $\frac{3}{2}$ de la valeur en surface). Un conducteur en équilibre est équipotentiel (théorème 4.4); deux sphères éloignées reliées par un fil (4.16): $Q_{1} / Q_{2} = R_{1} / R_{2}$ , et , d'où l'effet de pointe.

Chapitre 5 – Condensateurs et diélectriques

C = \frac{Q}{U}, C_{plan} = \frac{ε _{0} A}{d}, E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{U}{d}

Capacité (définition 5.1, (5.1)), en farads, $Q$ charge de l'armature positive et $U = V_{+} - V_{-}$ ; condensateur plan (théorème 5.1, (5.2)–(5.3)), armatures d'aire $A$ à la distance $d ≪ A$ , champ uniforme loin des bords.

C_{cyl} = \frac{2 π ε _{0} L}{ln ( b / a )}, C_{sph} = 4 π ε_{0} \frac{ab}{b - a}, C_{sph \overset{e}{ˋ} re isol \overset{e}{ˊ} e} = 4 π ε_{0} R

Condensateurs cylindrique (théorème 5.2, (5.4)), de longueur $L ≫ b$ , et sphérique (théorème 5.3, (5.5)–(5.6)), armatures de rayons $a < b$ , dans le vide.

C_{par} = C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}, \frac{1}{C _{s \overset{e}{ˊ} r}} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}} + \dots + \frac{1}{C _{n}}

Associations en parallèle (même tension) et en série (même charge, condensateurs initialement déchargés) (théorème 5.4, (5.7)–(5.8)). Les règles sont inverses de celles des résistances (6.11).

W_{\overset{e}{ˊ} l} = \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} Q U, w_{\overset{e}{ˊ} l} = \frac{ε _{0}}{2} E^{2}

Énergie stockée (théorème 5.5, (5.9)), établie par le travail de charge, et densité d'énergie du champ électrique dans le vide (théorème 5.6, (5.10)), en J/m³. Force entre les armatures à charge fixée (5.11): $F_{x} = - (\partial W_{\overset{e}{ˊ} l} / \partial x)_{Q} = - Q^{2} / (2 ε_{0} A)$ , attractive, soit .

C = ε_{r} C_{0}, P = ε_{0} χ_{e} E, σ_{b} = P, E = \frac{σ}{ε _{0} ε _{r}} = \frac{E _{0}}{ε _{r}}

Diélectrique remplissant tout l'espace du champ (définition 5.2, (5.12)), $ε_{r} \geq 1$ ; polarisation d'un diélectrique linéaire et isotrope (définition 5.3, (5.13)), $ε_{r} = 1 + χ_{e}$ ; charges liées d'un diélectrique uniformément polarisé (définition 5.4, (5.14)); champ réduit dans un condensateur plan rempli, à charges libres données (théorème 5.7, (5.15)). Rigidité diélectrique (définition 5.5): de l'ordre de MV/m pour l'air sec.

Chapitre 6 – Courant électrique et circuits en courant continu

I = \frac{d q}{d t}, I = \iint_{S} J \cdot d A, J = n q v_{d}, I = n ∣ q ∣ A v_{d}

Intensité (définition 6.1, (6.1)), algébrique, en ampères; densité de courant (définition 6.2, (6.2)), en A/m², dans le sens du courant conventionnel; intensité et vitesse de dérive $v_{d}$ de porteurs de charge $q$ et de densité $n$ (théorème 6.1, (6.3)).

J = σ E, σ = \frac{n q ^{2} τ _{c}}{m}, ρ = \frac{1}{σ}, U = R I, R = ρ \frac{L}{A}

Loi d'Ohm locale dans le modèle de Drude (théorème 6.2, (6.4)), $τ_{c}$ temps moyen entre collisions; résistivité (définition 6.3, (6.5)), en Ω·m, et conductivité en S/m, ici notées $ρ$ et $σ$ (réutilisation déclarée); loi d'Ohm et résistance d'un conducteur cylindrique homogène (théorème 6.3, (6.6)), pour un matériau ohmique, en convention récepteur. Variation avec la température (6.7): $ρ (T) = ρ_{0} [1 + α (T - T_{0})]$ , au premier ordre. Cuivre à : .

P = U I, P_{Joule} = R I^{2} = \frac{U ^{2}}{R}, U = E - r I

Puissance reçue par un dipôle en convention récepteur (définition 6.4; théorème 6.4, (6.8)), fournie si $P < 0$ , et effet Joule (6.9); force électromotrice $E$ (définition 6.5), travail par unité de charge des forces non électrostatiques, et caractéristique d'une source de résistance interne $r$ en convention générateur (6.10).

R_{\overset{e}{ˊ} q}^{s \overset{e}{ˊ} rie} = k = 1 \sum N R_{k}, \frac{1}{R _{\overset{e}{ˊ} q}^{par}} = k = 1 \sum N \frac{1}{R _{k}}, n œ ud \sum ε_{k} I_{k} = 0, maille \sum ε_{k} U_{k} = 0

Associations de résistances (théorème 6.5, (6.11)); lois de Kirchhoff en régime stationnaire (théorème 6.6, (6.12)): la loi des nœuds exprime la conservation de la charge, la loi des mailles le caractère conservatif du champ électrostatique ( $ε_{k} = \pm 1$ selon le sens de référence).

R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = U_{0}, τ = R C, charge: u_{C} = U_{0} (1 - e^{- t / τ}), i = \frac{U _{0}}{R} e^{- t / τ}; d \overset{e}{ˊ} charge: u_{C} = U_{0} e^{- t / τ}, i = - \frac{U _{0}}{R} e^{- t / τ}

Circuit RC (6.13) et solutions de la charge et de la décharge (théorème 6.7, (6.14)–(6.15)), avec le même sens de référence de $i$ dans les deux phases; $u_{C}$ est continue, $i$ peut sauter. Bilan de la charge complète (théorème 6.8, (6.16)): la source fournit $C U_{0}^{2}$ , dont la moitié est stockée et la moitié dissipée, quelle que soit $R$ .

Chapitre 7 – Champ magnétique et force de Lorentz

F = q v \times B, F = ∣ q ∣ v B sin θ, F = q (E + v \times B)

Force magnétique sur une charge en mouvement, expérimentale (théorème 7.1, (7.1)), qui définit $B$ ; unité le tesla (7.2), $1 T = 1 N / (A \cdot m)$ , $1 G = 1 0^{- 4}$ T; produit vectoriel en composantes (7.3). Force de Lorentz, expérimentale (théorème 7.2, (7.4)). La force magnétique ne travaille pas (théorème 7.3): elle ne change pas la norme de la vitesse.

r = \frac{m v}{∣ q ∣ B}, ω_{c} = \frac{∣ q ∣ B}{m}, f_{c} = \frac{∣ q ∣ B}{2 π m}, T = \frac{2 π m}{∣ q ∣ B}

Mouvement cyclotron (théorème 7.4, (7.5)–(7.6)) d'une particule de masse $m$ lancée perpendiculairement à un champ uniforme: pulsation, fréquence et période indépendantes de la vitesse (non relativiste); vu du côté vers lequel pointe $B$ , une charge positive tourne dans le sens horaire. Vitesse oblique (7.7): hélice de rayon $m v_{⊥} / (∣ q ∣ B)$ et de pas $p_{h} = 2 π m v_{∥} / (∣ q ∣ B)$ .

v = \frac{E}{B}, m = \frac{q B _{0} B r}{E}, E_{c, m a x} = \frac{q ^{2} B ^{2} R ^{2}}{2 m}, U_{H} = \frac{I B}{n q t}

Filtre de vitesse de Wien (théorème 7.5, (7.8)) dans des champs croisés, indépendant de la charge et de la masse; spectromètre de masse (7.9), champ $B_{0}$ après le filtre; énergie de sortie d'un cyclotron de rayon $R$ (7.10); tension de Hall (7.11) d'une plaquette d'épaisseur $t$ parcourue par $I$ , $n$ densité des porteurs.

F = I ℓ \times B, F = I \int_{fil} d ℓ \times B

Force de Laplace sur un segment rectiligne dans un champ uniforme (théorème 7.6, (7.12)), $ℓ$ orienté dans le sens du courant, et sur un fil quelconque (7.13); elle découle de la force de Lorentz sur les porteurs.

m = I A n, M = m \times B, E_{p} = - m \cdot B

Moment magnétique d'une spire plane (définition 7.1, (7.14)), en A·m², $n$ orientée par la main droite ( $N I A n$ pour $N$ spires); dans un champ uniforme, force nulle, couple et énergie d'orientation (théorème 7.7, (7.15)–(7.16)). Galvanomètre à champ radial (7.17): déviation $φ = N A B I / κ$ , proportionnelle au courant.

Chapitre 8 – Sources du champ magnétique

d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d ℓ \times u}{s ^{2}}, B (P) = \frac{μ _{0}}{4 π} \oint_{C} \frac{I d ℓ \times u}{s ^{2}}

Loi de Biot–Savart, expérimentale (théorème 8.1, (8.1)–(8.2)), en régime stationnaire et dans le vide: $u$ unitaire de l'élément vers $P$ , $s$ leur distance. Depuis 2019, $μ_{0} = 2 α h / (e^{2} c)$ (8.3) est mesurée; $4 π \cdot 1 0^{- 7}$ N/A² reste exacte à près.

B_{segment} = \frac{μ _{0} I}{4 π r} (sin β_{2} - sin β_{1}), B_{fil} = \frac{μ _{0} I}{2 π r}, \frac{F}{ℓ} = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2}}{2 π d}

Champ d'un segment rectiligne et d'un fil infini (théorème 8.2, (8.4)–(8.5)), orthoradial, sens donné par la main droite (pouce selon le courant); force par unité de longueur entre deux fils parallèles distants de $d$ (théorème 8.4, (8.9)), attractive pour des courants de même sens. L'ancienne définition de l'ampère ( $2 \cdot 1 0^{- 7}$ N/m pour $1$ A à $1$ m) en est désormais une conséquence.

B (z) = \frac{μ _{0} I}{2} \frac{a ^{2}}{( a ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}, B (0) = \frac{μ _{0} I}{2 a}, B (z) \approx \frac{μ _{0}}{2 π} \frac{m}{z ^{3}} (z ≫ a)

Spire de rayon $a$ sur son axe (théorème 8.3, (8.6)), $\times N$ pour une bobine plate; à grande distance (8.7), champ de dipôle de moment $m = I π a^{2}$ . Bobines de Helmholtz de rayon $R$ distantes de $R$ (8.8): $B (0) = (4/5)^{3/2} μ_{0} N I / R = 0, 7155 μ_{0} N I / R$ , très uniforme au centre.

\oint_{Γ} B \cdot d ℓ = μ_{0} I_{enl}, \nabla \times B = μ_{0} J, \nabla \cdot B = 0

Théorème d'Ampère (théorème 8.5, (8.10)), énoncé et vérifié sur le fil, en régime stationnaire: $Γ$ orientée, $I_{enl}$ compté avec la normale donnée par la main droite (définition 8.1). Comme la loi de Gauss, il ne donne $B$ qu'avec une symétrie. Formes locales de la magnétostatique (théorème 8.6, (8.15)), avec le rotationnel (définition 8.2). Le chapitre 11 corrige (8.10) en régime variable.

B_{fil \overset{e}{ˊ} pais} = \frac{μ _{0} I}{2 π R ^{2}} r (r \leq R), B_{sol} = μ_{0} n I = μ_{0} \frac{N}{ℓ} I, B_{tore} = \frac{μ _{0} N I}{2 π r}

Applications du théorème d'Ampère: fil de rayon $R$ parcouru uniformément (8.11); solénoïde infiniment long (8.12), champ uniforme à l'intérieur et nul à l'extérieur; tore (8.13), champ nul hors de l'enroulement; câble coaxial (8.14), champ nul à l'extérieur. Solénoïde fini (8.16): $B = \frac{1}{2} μ_{0} n I (cos θ_{2} - cos θ_{1})$ sur l'axe. Matériau magnétique linéaire remplissant le solénoïde ou le tore (8.17): , .

Chapitre 9 – Induction électromagnétique

E = \oint_{C} \frac{f}{q} \cdot d ℓ, Φ_{B} = \iint_{S} B \cdot n d A, Φ_{B} = B A cos θ

Force électromotrice d'un circuit orienté (définition 9.1, (9.1)), circulation de la force non électrostatique par unité de charge; flux magnétique (définition 9.2, (9.2)–(9.3)), en webers, $n$ liée au sens positif du contour par la main droite.

∣ E ∣ = B ℓ v, E = \oint_{C} (v \times B) \cdot d ℓ, F = - \frac{B ^{2} ℓ ^{2}}{R} v e_{x}

F.é.m. de mouvement (théorème 9.1, (9.4)), déduite de la force de Lorentz, pour une tige de longueur $ℓ$ , $v$ , $B$ et la tige deux à deux perpendiculaires. Tige sur des rails fermés par $R$ (9.5)–(9.6): la force de Laplace freine la tige, et la puissance mécanique fournie, $B^{2} ℓ^{2} v^{2} / R$ , est entièrement dissipée par effet Joule.

E = - \frac{d Φ _{B}}{d t}, E = - N \frac{d Φ _{B}}{d t}, \oint_{C} E \cdot d ℓ = - \frac{d}{d t} \iint_{S} B \cdot n d A

Loi de Faraday, postulée (théorème 9.2, (9.7)), quelle que soit la cause de la variation du flux, $Φ_{B}$ orienté par la main droite à partir du sens positif; loi de Lenz (théorème 9.3): le courant induit s'oppose à la variation du flux, pas au flux. Pour un circuit fixe, (9.8) est l'équation de Maxwell–Faraday: le champ électrique induit n'est pas conservatif.

E (t) = N B A ω sin ω t, E_{m} = N B A ω, E_{eff} = \frac{E _{m}}{2}

Générateur (théorème 9.4, (9.9)): bobine de $N$ spires d'aire $A$ tournant à $ω$ dans un champ uniforme perpendiculaire à l'axe, $θ = ω t$ ; flux $N Φ_{B} = N B A cos ω t$ et f.é.m. en quadrature.

N_{2} Φ_{2} = M I_{1}, N Φ_{B} = L I, E_{L} = - L \frac{d I}{d t}, u_{L} = L \frac{d i}{d t}

Inductance mutuelle (définition 9.3, (9.10)), en henrys, $E_{2} = - M d I_{1} / d t$ ; auto-inductance (définition 9.4, (9.11)–(9.12)), $L > 0$ ; tension aux bornes d'une bobine en convention récepteur (9.13).

L_{sol} = \frac{μ _{0} N ^{2} π a ^{2}}{ℓ}, W_{mag} = \frac{1}{2} L I^{2}, w_{mag} = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}

Inductance d'un solénoïde long, $ℓ ≫ a$ (théorème 9.5, (9.14)); énergie magnétique d'une bobine et densité d'énergie magnétique (théorème 9.6, (9.15)–(9.16)), établies sur le solénoïde.

L \frac{d i}{d t} + R i = U_{0}, i (t) = \frac{U _{0}}{R} (1 - e^{- t / τ}), τ = \frac{L}{R}

Circuit RL série (9.17) établi à $t = 0$ sous la tension constante $U_{0}$ (théorème 9.7, (9.18)); après court-circuit à $t_{1}$ , $i = I_{0} e^{- (t - t_{1}) / τ}$ (9.19). Le courant dans une bobine est continu.

Chapitre 10 – Circuits en courant alternatif

u (t) = U_{m} cos (ω t + φ_{u}), φ = φ_{u} - φ_{i}, U_{eff} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^{2} d t = \frac{U _{m}}{2}

Grandeur sinusoïdale (définition 10.1, (10.1)): amplitude $U_{m}$ , pulsation $ω = 2 π f$ , phase à l'origine $φ_{u}$ ; déphasage de $u$ sur $i$ (10.2), $u$ en avance si ; valeur efficace (définition 10.2, (10.3)), égale à pour une sinusoïde seulement (théorème 10.1, (10.4)).

\underline{U} = U_{m} e^{j φ_{u}}, u (t) = Re (\underline{U} e^{j ω t}), \underline{Z} = \frac{U}{I} = R_{e} + j X

Amplitude complexe (définition 10.3, (10.5)), $j^{2} = - 1$ ; impédance complexe en convention récepteur (définition 10.4, (10.6)): $∣ \underline{Z} ∣ = U_{m} / I_{m} = U_{eff} / I_{eff}$ , , résistance , réactance , admittance .

\underline{Z}_{R} = R, \underline{Z}_{L} = j L ω, \underline{Z}_{C} = \frac{1}{j C ω} = - \frac{j}{C ω}, \underline{Z}_{s \overset{e}{ˊ} rie} = \underline{Z}_{1} + \underline{Z}_{2} + \dots

Impédances de R, L et C (théorème 10.2, (10.7)): tension en phase, en avance de $π /2$ et en retard de $π /2$ sur le courant; associations (10.8), les admittances s'ajoutant en parallèle.

I_{m} = \frac{U _{m}}{∣ Z ∣}, ∣ \underline{Z} ∣ = R^{2} + (L ω - \frac{1}{C ω})^{2}, tan φ = \frac{L ω - \frac{1}{C ω}}{R}

Circuit RLC série en régime sinusoïdal établi (théorème 10.3, (10.9)–(10.10)): $i = I_{m} cos (ω t - φ)$ sous $u = U_{m} cos ω t$ , $cos φ = R /∣ \underline{Z} ∣$ , si le circuit est inductif. Équation différentielle (10.14): , l'oscillateur amorti et forcé de Physique générale I, chapitre 7 (Oscillations).

ω_{0} = \frac{1}{L C}, Q = \frac{L ω _{0}}{R} = \frac{1}{R} \frac{L}{C}, U_{L} = U_{C} = Q U_{eff}, Δ ω = \frac{ω _{0}}{Q}

Résonance du RLC série (théorème 10.4, (10.11)–(10.13)): impédance réelle et minimale $R$ , courant maximal et en phase avec la tension, surtension $Q$ aux bornes de L et de C; bande passante à $I_{eff,max} / 2$ , $ω_{1} ω_{2} = ω_{0}^{2}$ . La lettre du facteur de qualité est une réutilisation déclarée.

P = U_{eff} I_{eff} cos φ = R_{e} I_{eff}^{2}, S = U_{eff} I_{eff}, Q_{r} = U_{eff} I_{eff} sin φ, S^{2} = P^{2} + Q_{r}^{2}

Puissance active (théorème 10.5, (10.15)–(10.16)), moyenne de $p (t)$ , en W, $cos φ$ facteur de puissance; puissances apparente (VA) et réactive (var) (définition 10.5, (10.17)–(10.18)) et puissance complexe $\underline{S} = \frac{1}{2} \underline{U} \underline{I}^{*} = P + j Q_{r}$ (10.19). Les valeurs efficaces se multiplient en la puissance , pas en la puissance active.

\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} = m, \frac{i _{2}}{i _{1}} = \frac{1}{m}, u_{1} i_{1} = u_{2} i_{2}, P_{pertes} = \frac{R _{ℓ} P ^{2}}{U ^{2}}

Transformateur idéal (définition 10.6; théorème 10.6, (10.20)): pas de fuites de flux, enroulements sans résistance, noyau sans pertes et de perméabilité infinie; primaire en convention récepteur, secondaire en convention générateur; une charge $\underline{Z}_{2}$ est vue du primaire comme $\underline{Z}_{2} / m^{2}$ . Pertes en ligne à puissance transportée fixée (10.21), inversement proportionnelles au carré de la tension.

Chapitre 11 – Équations de Maxwell

I_{D} = ε_{0} \frac{d Φ _{E}}{d t}, J_{D} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}, \oint_{C} B \cdot d r = μ_{0} I_{enl} + μ_{0} ε_{0} \frac{d Φ _{E}}{d t}

Le théorème d'Ampère (11.1) est contradictoire pendant la charge d'un condensateur (théorème 11.1): la quantité indépendante de la surface est (11.2). Courant de déplacement (définition 11.1, (11.3)), en ampères, qui n'est pas un courant de charges; loi de Maxwell–Ampère (théorème 11.2, (11.4)). Condensateur à armatures circulaires de rayon $a$ chargé par $I$ (11.5)–(11.6): $B = μ_{0} I r / (2 π a^{2})$ entre les armatures, $μ_{0} I / (2 π r)$ au-delà.

Équation	Forme intégrale	Forme locale
Gauss	$\oint_{S} E \cdot n d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}$

Les quatre équations de Maxwell, forme intégrale (théorème 11.3) et forme locale (théorème 11.6, (11.7)), valables en tout point et à tout instant dans le vide, en présence de charges $ρ$ et de courants $J$ : $S$ est une surface fermée orientée vers l'extérieur, $C$ une courbe fermée bordant une surface $Σ$ orientée par la main droite, à travers laquelle sont comptés $Φ_{B}$ , $Φ_{E}$ et . On passe de l'une à l'autre forme par les théorèmes de la divergence et de Stokes (théorèmes 11.4 et 11.5, démontrés en Analyse III, chapitre 5), avec et (rappelés au chapitre 11 à partir des définitions 3.4 et 8.2). Le chapitre 11 écrit l'intégrale sur une surface fermée ; ce formulaire, comme le chapitre 3, la note . En régime stationnaire, on retrouve l'électrostatique (, donc ) et la magnétostatique (8.15).

\oint_{S} J \cdot n d S = - \frac{d Q _{int}}{d t}, \frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot J = 0

Équation de continuité (théorème 11.7, (11.8)), conséquence de Maxwell–Ampère et de Gauss: la conservation locale de la charge, pour une surface fermée fixe.

w = \frac{ε _{0}}{2} E^{2} + \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}, S = \frac{1}{μ _{0}} E \times B, \frac{\partial w}{\partial t} + \nabla \cdot S = - J \cdot E

Densité d'énergie électromagnétique (11.9), vecteur de Poynting (définition 11.2), en W/m², et théorème de Poynting (théorème 11.8, (11.10)–(11.11)): l'énergie perdue par un volume fixe sort par son bord ou est cédée aux charges. Fil résistif en régime permanent (11.12): le flux de $S$ entrant par la surface latérale vaut $U I = R I^{2}$ , quel que soit le rayon.

Chapitre 12 – Ondes électromagnétiques

\frac{\partial E _{y}}{\partial x} = - \frac{\partial B _{z}}{\partial t}, \frac{\partial B _{z}}{\partial x} = - ε_{0} μ_{0} \frac{\partial E _{y}}{\partial t}, \frac{\partial ^{2} E _{y}}{\partial t ^{2}} = \frac{1}{ε _{0} μ _{0}} \frac{\partial ^{2} E _{y}}{\partial x ^{2}}

Onde plane dans le vide se propageant selon $x$ : transversale (théorème 12.1); Maxwell–Faraday et Maxwell–Ampère sur de petits rectangles (12.1)–(12.2); équation d'onde (théorème 12.2, (12.3)), la même pour $B_{z}$ , de solutions $f (x - c t)$ et $g (x + c t)$ .

c = \frac{1}{ε _{0} μ _{0}} = 299792458 m/s, E = c B, E = f (x - c t) e_{y} ⟹ B = \frac{f ( x - c t )}{c} e_{z}

Vitesse de la lumière (12.4), à 9 chiffres avec les valeurs CODATA; structure de l'onde plane progressive (théorème 12.3, (12.5)): $E = c B$ , champs en phase, $E$ , $B$ et la direction de propagation deux à deux perpendiculaires, $E \times B$ dans le sens de propagation.

E_{y} = E_{m} cos (k x - ω t), B_{m} = \frac{E _{m}}{c}, ω = c k, c = λ f

Onde plane harmonique polarisée selon $y$ (12.6)–(12.7), $k = 2 π / λ$ nombre d'onde (réutilisation de la lettre $k$ ), la même vitesse pour toutes les fréquences dans le vide.

w = ε_{0} E^{2} = \frac{B ^{2}}{μ _{0}}, I = ⟨ S ⟩ = \frac{1}{2} c ε_{0} E_{m}^{2} = \frac{E _{m} B _{m}}{2 μ _{0}}, I (r) = \frac{P}{4 π r ^{2}}

Équipartition de l'énergie dans une onde plane (théorème 12.4, (12.8)); vecteur de Poynting rappelé en (12.9); intensité, moyenne temporelle de $S$ (définition 12.1, réutilisation déclarée de la lettre $I$ ), d'une onde plane harmonique (théorème 12.5, (12.10)); source isotrope de puissance $P$ dans un milieu non absorbant (12.11), l'amplitude décroissant en $1/ r$ .

p_{rad} = \frac{I}{c} (absorption), p_{rad} = \frac{2 I}{c} (r \overset{e}{ˊ} flexion), I = I_{0} cos^{2} θ

Pression de radiation sous incidence normale (théorème 12.6, (12.12)): l'onde transporte une quantité de mouvement égale à son énergie divisée par $c$ . Loi de Malus (théorème 12.7, (12.13)) pour une onde polarisée rectilignement traversant un polariseur idéal dont l'axe fait l'angle $θ$ avec la polarisation; une onde non polarisée en ressort avec $I_{0} /2$ .

Données témoins du cours

Ces cas numériques sont communs à plusieurs chapitres et y sont cités avec les mêmes valeurs. Le chapitre indiqué est celui qui les développe.

Témoin (chapitre)	Données	Résultats
Les trois charges (ex. 1.3)	$q_{1} = + 2$ nC en $(0; 0)$ , $q_{2} = - 3$ nC en $(4; 0)$ cm, nC en cm

Réutilisations de lettres

Le cours ne force pas une notation contraire à l'usage: certaines lettres changent de sens d'un chapitre à l'autre. Le tableau recense ces changements; le contexte et l'unité lèvent toujours l'ambiguïté.

Lettre	Sens principal	Autre sens (chapitre)
$ρ$	densité volumique de charge	résistivité (6, 11); rayon de courbure (7)
$σ$	densité surfacique de charge	conductivité (6, 11)
$p$	moment dipolaire électrique	quantité de mouvement (7, 12)
$M$	moment de force $M$	inductance mutuelle (9)
$Q$	charge	facteur de qualité; $Q_{r}$ puissance réactive (10)

Exercices de synthèse

Question A.1

Parmi ces relations, lesquelles restent vraies lorsque les champs varient dans le temps?

Plusieurs réponses possibles

Question A.2

Le solénoïde témoin du chapitre 8 ( $N = 1000$ spires, $ℓ = 50, 0$ cm, $a = 2, 00$ cm, $I = 2, 00$ A) crée le champ $B = 5, 027$ mT. Quelle est la densité d'énergie magnétique à l'intérieur, en J/m³? Vérifiez ensuite qu'en la multipliant par le volume intérieur, vous retrouvez $W_{mag} = \frac{1}{2} L I^{2}$ .

Question A.3

Un pointeur laser de $1, 00$ mW concentre sa puissance sur $1, 00$ mm². En l'assimilant à une onde plane harmonique d'intensité uniforme, quelle est l'amplitude $E_{m}$ de son champ électrique, en V/m?