Potentiel électrique

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

calculer le travail de la force électrique le long d'un chemin et démontrer que le champ électrostatique est conservatif, d'abord pour une charge ponctuelle, puis pour toute distribution par superposition;
définir l'énergie potentielle électrique, le potentiel $V$ et la tension $U_{A B} = V_{A} - V_{B}$ , choisir une référence, et convertir entre joules et électron-volts;
calculer le potentiel d'un ensemble de charges ponctuelles et l'énergie d'un système de charges, par la somme sur les paires et par $\frac{1}{2} \sum q_{i} V_{i}$ ;
démontrer la relation $E = - \nabla V$ , en déduire que les lignes de champ coupent les surfaces équipotentielles à angle droit, et retrouver un champ à partir d'un potentiel;
obtenir le potentiel d'une distribution continue — la sphère chargée en volume, l'anneau, le disque — par intégration du champ ou par sommation, et contrôler le résultat par la relation $E = - d V / d r$ ;
expliquer pourquoi un conducteur en équilibre est équipotentiel, pourquoi le champ est intense près des pointes, et calculer la vitesse d'une particule accélérée par une différence de potentiel.

Le travail de la force électrique

Travail élémentaire et travail le long d'un chemin

Les chapitres 1 à 3 ont décrit l'interaction électrique par des vecteurs: la force de Coulomb, puis le champ $E$ , qui attache à chaque point de l'espace la force par unité de charge. Ce langage est complet, mais il est lourd: pour trois charges, il faut déjà additionner trois vecteurs composante par composante, et pour une distribution continue, trois intégrales. Le présent chapitre introduit une description scalaire de la même physique, le potentiel électrique. Il y a deux raisons de le faire. La première est pratique: un scalaire s'additionne sans composantes, et le champ s'en déduit par dérivation. La seconde est physique: la grandeur que l'on mesure et que l'on impose dans un circuit, un appareil ou une installation, ce n'est pas un champ, c'est une tension, et la tension est une différence de potentiel.

La porte d'entrée est la même qu'en mécanique: le travail. Physique générale I, chapitre 4 («Travail, énergie et puissance»), a défini le travail d'une force le long d'une courbe par une intégrale curviligne et appelé conservative une force dont le travail ne dépend pas du chemin. Nous allons montrer que la force électrique exercée par des charges immobiles possède exactement cette propriété, et en tirer une énergie potentielle.

Considérons une charge d'essai $q$ qui se déplace dans le champ électrostatique $E$ créé par d'autres charges, immobiles. Sur un déplacement élémentaire $d l$ , la force $q E$ fournit le travail élémentaire $δ W = q E \cdot d l$ , et le long d'une courbe $C$ allant de $A$ à $B$

W_{A \to B} = q \int_{C} E \cdot d l . (4.1)

L'intégrale $\int_{C} E \cdot d l$ s'appelle la circulation du champ le long de $C$ . Elle ne dépend que du champ et de la courbe, pas de la charge d'essai: c'est elle qui portera le potentiel. Le travail (4.1) est celui de la force électrique seule. Si une autre force agit — la main d'un opérateur, le poids, un frottement —, elle a son propre travail, et c'est le théorème de l'énergie cinétique qui fait le bilan de tous.

Le champ uniforme

Le cas le plus simple est un champ uniforme, $E = E e_{x}$ avec $E$ constant, que l'on réalise à peu près entre deux plaques parallèles chargées (le chapitre 5 en fera le condensateur plan). Le produit scalaire vaut $E \cdot d l = E d x$ , quel que soit le déplacement, puisque seule sa composante selon $e_{x}$ compte. Donc

W_{A \to B} = q E (x_{B} - x_{A}) .

Le travail ne dépend que de l'abscisse de départ et de celle d'arrivée. Qu'une charge de $+ 1$ nC, dans un champ de $10000$ V/m, avance de $3$ cm dans le sens du champ en ligne droite, ou qu'elle fasse un détour de plusieurs mètres pour arriver au même point, la force électrique lui fournit $1 0^{- 9} \times 1 0^{4} \times 0, 03 = 3, 00 \cdot 1 0^{- 7}$ J. Un déplacement perpendiculaire au champ ne coûte et ne rapporte rien. C'est exactement le comportement du poids près du sol, , avec dans le rôle de : les surfaces jouent le rôle des surfaces d'altitude constante.

Le champ d'une charge ponctuelle est conservatif

Pour un champ non uniforme, le calcul n'est plus immédiat, et c'est là que se joue la propriété essentielle du chapitre.

Démonstration. Une charge ponctuelle. Le champ de $Q$ en un point $P$ situé à la distance $r$ de $O$ est $E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}} e_{r}$ , où est le vecteur unitaire de vers . Décomposons un déplacement élémentaire de en une partie radiale, le long de , et une partie perpendiculaire à . Seule la partie radiale contribue au produit scalaire; or elle mesure exactement la variation de la distance à : . (Analytiquement, donne , d'où .) Par conséquent

E \cdot d l = \frac{Q}{4 π ε _{0}} \frac{d r}{r ^{2}},

et, le long de n'importe quelle courbe de $A$ à $B$ qui ne passe pas par $O$ , la distance $r$ varie de $r_{A}$ à $r_{B}$ :

\int_{C} E \cdot d l = \frac{Q}{4 π ε _{0}} \int_{r_{A}}^{r_{B}} \frac{d r}{r ^{2}} = \frac{Q}{4 π ε _{0}} (\frac{1}{r _{A}} - \frac{1}{r _{B}}) .

Le résultat ne dépend de la courbe que par ses extrémités: c'est (4.2). Si la distance $r$ n'est pas monotone le long de la courbe, le calcul reste valable, car les allers et retours en $r$ se compensent dans l'intégrale d'une fonction de $r$ seul.

Un ensemble de charges. Par le principe de superposition (chapitre 1), le champ de $N$ charges ponctuelles $Q_{1}, \dots, Q_{N}$ est la somme $E = \sum_{i} E_{i}$ de leurs champs. L'intégrale curviligne étant linéaire,

\int_{C} E \cdot d l = i = 1 \sum N \int_{C} E_{i} \cdot d l = i = 1 \sum N \frac{Q _{i}}{4 π ε _{0}} (\frac{1}{r _{i A}} - \frac{1}{r _{i B}}),

somme de termes dont aucun ne dépend du chemin. Une distribution continue se découpe en éléments $d q$ assimilables à des charges ponctuelles; la somme devient une intégrale et la conclusion subsiste. Enfin, l'équivalence avec (4.3) est celle de Physique générale I: deux chemins de $A$ à $B$ , le second parcouru à l'envers, forment une courbe fermée, et réciproquement. $□$

Le cœur de la démonstration tient en une ligne: le champ d'une charge ponctuelle est central (dirigé selon $e_{r}$ ) et son intensité ne dépend que de $r$ . Toute force qui a ces deux propriétés est conservative; c'est pourquoi la gravitation de Newton, étudiée en Physique générale I au chapitre 6, l'est aussi, avec la même démonstration et $- GM m$ à la place de $q Q / (4 π ε_{0})$ . La loi en $1/ r^{2}$ n'intervient que dans la valeur de l'intégrale, pas dans le fait qu'elle ne dépend pas du chemin.

Question 4.1

Une charge $q = + 5$ nC fait le tour complet d'une boucle fermée de $40$ cm de périmètre au voisinage de deux charges fixes. Que vaut le travail total de la force électrique sur la boucle?

Énergie potentielle et potentiel

Énergie potentielle électrique

Puisque le travail de la force électrique ne dépend que des extrémités, on peut lui associer une énergie potentielle, exactement comme au poids ou au ressort.

Une remarque de notation: Physique générale I notait l'énergie potentielle $U$ . Nous la notons $E_{p}$ dans tout ce cours, parce que la lettre $U$ y désigne la tension, que nous allons définir dans un instant.

Pour deux charges ponctuelles $q$ et $Q$ à la distance $r$ , la relation (4.2) multipliée par $q$ donne $W_{A \to B} = \frac{q Q}{4 π ε _{0}} (\frac{1}{r _{A}} - \frac{1}{r _{B}})$ , ce qui est de la forme (4.4) avec

E_{p} (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q Q}{r} (r \overset{e}{ˊ} f \overset{e}{ˊ} rence: E_{p} \to 0 lorsque r \to \infty) . (4.5)

Le signe de $E_{p}$ a un sens physique précis, une fois la référence fixée à l'infini. Pour deux charges de même signe, $E_{p} > 0$ : il a fallu fournir du travail pour les rapprocher depuis l'infini, et elles le restituent si on les lâche, en s'écartant. Pour deux charges de signes opposés, $E_{p} < 0$ : le système est lié, et il faut fournir le travail pour séparer les deux charges jusqu'à l'infini. C'est la même lecture que pour un satellite en Physique générale I, dont l'énergie gravitationnelle est toujours négative, sauf qu'ici les deux signes existent.

L'énergie (4.5) n'est pas «l'énergie de la charge $q$ » mais celle de la paire: elle appartient à la configuration des deux charges, et elle est symétrique en $q$ et $Q$ . Tant que $Q$ est tenue immobile, on peut la mettre au compte de $q$ seule; lorsque les deux bougent, il faut compter l'énergie une fois, pas deux. Nous y reviendrons avec l'énergie d'un système de charges.

Le potentiel électrique

L'énergie potentielle d'une charge d'essai est proportionnelle à sa charge. Le quotient ne dépend donc que des charges sources et de la position: c'est une propriété du champ, au même titre que $E$ .

L'égalité des deux expressions de (4.7) découle de (4.6) par la relation de Chasles: $V_{A} - V_{B} = - \int_{O}^{A} E \cdot d l + \int_{O}^{B} E \cdot d l = \int_{A}^{B} E \cdot d l$ , le théorème 4.1 garantissant que le chemin est indifférent. En combinant (4.1) et (4.7), on obtient la relation que l'on utilisera sans cesse:

W_{A \to B} = q (V_{A} - V_{B}) = q U_{A B} . (4.8)

Elle se lit ainsi: le champ fait travailler positivement une charge positive qui va vers les potentiels décroissants, et une charge négative qui va vers les potentiels croissants. Le champ pointe vers les potentiels décroissants, puisque $V_{A} - V_{B} = \int_{A}^{B} E \cdot d l > 0$ lorsque l'on avance dans le sens de . Une pile de V fait passer chaque coulomb d'une borne à l'autre en lui cédant, ou en lui prenant, J.

Deux conséquences sur les unités. Comme $V = - \int E \cdot d l$ , le champ s'exprime en volts par mètre, et $1 V/m = 1 N/C$ : les deux unités sont identiques, et l'on préfère désormais la première. D'autre part, la relation $W = q U$ fait du volt l'unité naturelle des installations: le réseau suisse distribue du $230$ V entre phase et neutre, les lignes de transport à très haute tension fonctionnent à $220$ kV et kV, le réseau de traction des CFF à kV.

Le potentiel est défini à une constante près, le champ ne l'est pas

Changer de point de référence ajoute la même constante à $V$ en tout point: les tensions $U_{A B}$ , les travaux (4.8) et le champ n'en sont pas affectés. Le choix habituel pour des charges localisées est $V (\infty) = 0$ ; dans un circuit, on choisit la masse; en électrotechnique, la terre. Un potentiel de « $500$ V» ne signifie rien tant que l'on ne sait pas par rapport à quoi. Un oiseau posé sur une ligne à $380$ kV est à un potentiel énorme par rapport au sol, mais la tension entre ses deux pattes est à peu près nulle: c'est elle seule qui ferait circuler un courant dans son corps. Pour une distribution qui s'étend à l'infini, comme un fil infini (exercice 4.3 «Le câble coaxial», en fin de chapitre), la référence ne peut pas être prise à l'infini.

L'électron-volt

En physique atomique et nucléaire, le joule est une unité démesurée. La relation (4.8) en suggère une autre: le travail reçu par une charge élémentaire qui traverse une tension de un volt.

Quelques ordres de grandeur situent l'échelle. L'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène vaut $13, 6$ eV; les énergies de liaison chimique sont de quelques eV; un électron accéléré sous $200$ V acquiert $200$ eV, soit $3, 204 \cdot 1 0^{- 17}$ J; l'énergie de masse de l'électron, $m_{e} c^{2}$ , vaut keV; au LHC du CERN, chaque proton est porté à TeV. Attention: l'électron-volt est une unité d', pas de potentiel. Un proton et un électron qui traversent la même tension de V gagnent la même énergie, eV, mais pas la même vitesse.

Question 4.2

Dans un noyau atomique, deux protons sont distants d'environ $2, 00$ fm ( $1 fm = 1 0^{- 15}$ m). Calculez leur énergie potentielle électrique mutuelle, référence à l'infini, en MeV.

Potentiel de charges ponctuelles

Une charge, puis plusieurs

Le potentiel d'une charge ponctuelle $Q$ s'obtient en divisant (4.5) par la charge d'essai:

V (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{r} (V (\infty) = 0) . (4.9)

Il décroît en $1/ r$ , plus lentement que le champ, qui décroît en $1/ r^{2}$ , et il a le signe de $Q$ . À $10$ cm d'une charge de $+ 5$ nC, par exemple, il vaut $8, 988 \cdot 1 0^{9} \times 5 \cdot 1 0^{- 9} /0, 10 = 449, 4$ V; nous retrouverons ce nombre avec la sphère témoin.

Pour un ensemble de charges ponctuelles $Q_{i}$ situées aux points $P_{i}$ , la démonstration du théorème 4.1 a déjà fait le travail: la circulation du champ total est la somme des circulations, donc le potentiel total est la somme des potentiels:

V (P) = \frac{1}{4 π ε _{0}} i \sum \frac{Q _{i}}{r _{i}}, V (P) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \int \frac{d q}{r}, (4.10)

où $r_{i}$ est la distance de $P_{i}$ à $P$ et, dans la seconde forme, $r$ la distance de l'élément de charge $d q$ au point $P$ . Tout l'intérêt du potentiel est là: c'est une somme de nombres, avec leurs signes, et non de vecteurs. Il n'y a ni composantes ni angles à calculer.

Énergie d'un système de charges

Assemblons $N$ charges ponctuelles, initialement dispersées à l'infini, en les amenant une à une à leur place, lentement (sans leur donner d'énergie cinétique). L'opérateur fournit à chaque étape le travail opposé à celui de la force électrique, c'est-à-dire la variation d'énergie potentielle. La première charge ne coûte rien: aucun champ n'est encore présent. La deuxième coûte $q_{2}$ fois le potentiel de la première au point où on la pose, soit $\frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0} r _{12}}$ . La troisième coûte fois le potentiel des deux premières, et ainsi de suite. Au total, chaque apparaît exactement une fois:

W_{\overset{e}{ˊ} l} = \frac{1}{4 π ε _{0}} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} . (4.11)

Nous la notons $W_{\overset{e}{ˊ} l}$ , comme l'énergie électrostatique emmagasinée du chapitre 5; la lettre $W$ seule reste réservée au travail d'une force. Cette énergie ne dépend pas de l'ordre dans lequel on a amené les charges, puisque la somme porte sur les paires. On peut l'écrire sous une forme plus symétrique. Notons $V_{i}$ le potentiel créé au point de la charge $q_{i}$ par charges: . Dans la somme , chaque paire apparaît deux fois, une fois comme dans et une fois dans . Donc

W_{\overset{e}{ˊ} l} = \frac{1}{2} i \sum q_{i} V_{i} . (4.12)

Le facteur $\frac{1}{2}$ est exactement la correction du double comptage signalé plus haut. Les deux formes sont utiles: (4.11) pour un petit nombre de charges, (4.12) lorsque l'on connaît les potentiels, notamment pour les conducteurs, qui sont à potentiel uniforme (chapitre 5).

Surfaces équipotentielles et gradient

Surfaces équipotentielles

Les surfaces équipotentielles sont les surfaces de niveau du champ scalaire $V$ , au sens de l'Analyse II. Pour une charge ponctuelle, (4.9) montre que ce sont des sphères centrées sur la charge; pour un champ uniforme $E e_{x}$ , ce sont les plans $x = cte$ , puisque $V = - E x + cte$ . Deux propriétés les rendent utiles.

Déplacer une charge sur une équipotentielle ne coûte aucun travail, puisque $W_{A \to B} = q (V_{A} - V_{B}) = 0$ lorsque $V_{A} = V_{B}$ . C'est vrai même si le champ est intense sur le chemin.

Les lignes de champ coupent les surfaces équipotentielles à angle droit. En effet, pour un petit déplacement $d l$ dans la surface équipotentielle, la variation de potentiel est nulle; or, par (4.6), elle vaut $d V = - E \cdot d l$ . Donc $E \cdot d l = 0$ pour tout déplacement tangent à la surface: $E$ est perpendiculaire à la surface, en tout point où il n'est pas nul. Il pointe vers les potentiels décroissants.

La figure 4.1 montre ces deux familles de courbes pour un dipôle électrique: deux charges opposées $\pm q$ séparées de $2 a$ . Elles ont été calculées, les lignes de champ par intégration numérique de l'équation $d l ∥ E$ , les équipotentielles par recherche des niveaux de $V$ sur une grille fine. Nulle part les deux familles n'ont été ajustées l'une à l'autre, et pourtant elles se coupent partout à angle droit: c'est la propriété que nous venons de démontrer, vérifiée à l'œil. Le plan médiateur, à égale distance des deux charges, est l'équipotentielle $V = 0$ .

Lisez aussi l'espacement des équipotentielles. Les niveaux ont été choisis en progression géométrique ( $0, 3$ , $0, 6$ , $1, 2$ , $2, 4$ ): près des charges, où le champ est intense, les courbes successives sont serrées; loin d'elles, elles s'écartent. Pour des niveaux régulièrement espacés de $Δ V$ , la distance $Δ s$ entre deux équipotentielles voisines donne l'intensité du champ, $E \approx Δ V /Δ s$ . C'est ce que dit, sous forme exacte, le théorème suivant.

Le champ est l'opposé du gradient du potentiel

La définition (4.6) obtient $V$ à partir de $E$ par une intégrale. La relation inverse obtient $E$ à partir de $V$ par une dérivation, et c'est elle qui fait du potentiel un outil de calcul. Elle utilise le gradient, étudié en Analyse II au chapitre 4 («Gradient, dérivées directionnelles et règle de la chaîne»): pour une fonction différentiable $f$ , $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$ , et la variation de le long d'un petit déplacement est .

Démonstration. Fixons un point $P = (x, y, z)$ et calculons la dérivée partielle de $V$ par rapport à $x$ . Par (4.7) appliquée entre $P$ et $P^{'} = (x + h, y, z)$ , en prenant pour chemin le segment parallèle à (le choix du chemin est libre par le théorème 4.1), avec :

V (x + h, y, z) - V (x, y, z) = - \int_{x}^{x + h} E_{x} (s, y, z) d s .

Comme $E_{x}$ est continue, le théorème de la moyenne donne un $ξ$ entre $x$ et $x + h$ tel que l'intégrale vaille $h E_{x} (ξ, y, z)$ . En divisant par et en faisant tendre vers , on obtient . Le même raisonnement le long de et de donne les deux autres composantes. Les trois dérivées partielles de existent et sont continues, puisqu'elles valent , , ; par le critère de l'Analyse II, une fonction dont les dérivées partielles sont continues est différentiable. Son gradient est , et la dérivée directionnelle .

Toutes les propriétés du gradient se traduisent en propriétés du champ. Le gradient est perpendiculaire aux surfaces de niveau: nous retrouvons l'orthogonalité des lignes de champ et des équipotentielles. Le gradient indique la direction de plus forte croissance: $E$ indique celle de plus forte décroissance du potentiel, et son intensité est la pente dans cette direction, $∣ E ∣ = - d V / d s$ le long d'une ligne de champ. Pour un potentiel qui ne dépend que de la distance $r$ à un centre, la règle de la chaîne donne $\nabla V = V^{'} (r) e_{r}$ et donc

E = - \frac{d V}{d r} e_{r} .

Appliquée à (4.9), elle redonne le champ de Coulomb: $- \frac{d}{d r} (\frac{Q}{4 π ε _{0} r}) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ .

La relation (4.13) a une conséquence qu'il vaut la peine d'énoncer à part: le champ ne dépend pas de la constante arbitraire du potentiel, puisque le gradient d'une constante est nul. Elle en a une autre, plus profonde: un champ qui est un gradient a un rotationnel nul. La forme locale de (4.3) est donc $rot E = 0$ ; le chapitre 11 la rangera parmi les équations de Maxwell, et l'Analyse III en fera un théorème général.

L'explorateur ci-dessous permet de voir la relation (4.13) à l'œuvre sur deux charges dont vous choisissez les valeurs. Les équipotentielles y sont tracées à des niveaux fixes en volts, si bien que leur resserrement se lit directement comme l'intensité du champ.

Explorateur 4.1 · Équipotentielles et lignes de champ de deux charges

Réglez les deux charges, fixées à $\pm 3$ cm de l'origine, et promenez la sonde. Les équipotentielles (en bleu) sont tracées à des niveaux fixes, $0$ , $\pm 100$ , $\pm 200$ , $\pm 400$ , $\pm 800$ et $\pm 1600$ V: là où elles se resserrent, le champ est intense. Les lignes de champ (traits fléchés, quatre par nanocoulomb) les coupent partout à angle droit. Comparez les deux dernières lectures: la pente $- Δ V /Δ s$ mesurée le long de $E$ reproduit $∣ E ∣$ , et la pente le long de l'équipotentielle reste nulle.

Charge q₁ (nC)2,0

Charge q₂ (nC)−2,0

Sonde x (cm)0,0

Sonde y (cm)3,0

Potentiel V

0,0 V

Champ |E|

14,12 kV/m

Direction de E

0°

Pente −ΔV/Δs le long de E

14,12 kV/m

Pente le long de l'équipotentielle

0,00 kV/m

Quelques expériences à faire. Avec $q_{1} = + 2$ nC et $q_{2} = - 2$ nC, vous retrouvez le dipôle de la figure 4.1, et la sonde placée sur l'axe vertical indique $V = 0$ avec un champ non nul, horizontal. Avec deux charges égales et de même signe, la sonde placée à l'origine indique un champ nul — c'est le point neutre du chapitre 2 — mais un potentiel de $1198$ V pour deux charges de nC. Avec nC et nC, une équipotentielle fermée entoure la petite charge négative: le lieu d'un couple de charges inégales est une sphère, et non plus un plan. Dans tous les cas, les deux dernières lectures confirment le théorème 4.2: la pente de mesurée le long de reproduit au centième près, et la pente le long de l'équipotentielle est nulle.

Question 4.3

Dans une région de l'espace, le potentiel vaut $V (x, y, z) = 50 x^{2} y - 30 z$ (en volts, coordonnées en mètres). Calculez l'intensité du champ électrique au point $(1; 2; 0)$ m.

Question 4.4

Sur une carte d'équipotentielles tracées tous les $10$ V, deux lignes voisines sont distantes de $2, 0$ mm au point $A$ et de $8, 0$ mm au point $B$ . Que peut-on dire du champ?

Potentiel des distributions continues

Deux méthodes

Pour une distribution continue de charges, deux routes mènent au potentiel.

Par sommation, avec la seconde forme de (4.10): on découpe la distribution en éléments $d q = λ d l$ , $σ d A$ ou $ρ d τ$ , et l'on intègre $d q / r$ . L'intégrande est un scalaire, sans projection. Cette méthode suppose la référence à l'infini, et donc une distribution bornée.
Par intégration du champ, avec (4.6), lorsque le champ est déjà connu, typiquement par le théorème de Gauss dans une situation symétrique (chapitre 3). On intègre $E$ le long d'un chemin commode depuis la référence.

Les deux routes doivent donner le même résultat, et nous les suivrons toutes deux sur la sphère témoin. Dans tous les cas, on dispose d'un contrôle: dériver le potentiel obtenu doit redonner le champ, par (4.13).

La sphère chargée en volume

La sphère témoin du chapitre 3 a pour rayon $R = 10$ cm et porte la charge $Q = + 5$ nC, répartie uniformément dans son volume. Le théorème de Gauss y a donné le champ, radial:

E (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q r}{R ^{3}} (r \leq R), E (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{r ^{2}} (r \geq R) .

Démonstration. Première route: intégration du champ. Prenons comme chemin un rayon, de l'infini jusqu'au point à la distance $r$ ; le long de ce chemin, $E \cdot d l = E (r^{'}) d r^{'}$ . Par (4.6) avec $O$ à l'infini,

V (r) = - \int_{\infty}^{r} E (r^{'}) d r^{'} = \int_{r}^{\infty} E (r^{'}) d r^{'} .

Pour $r \geq R$ , seule la forme extérieure du champ intervient: $V (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0}} \int_{r}^{\infty} \frac{d r ^{'}}{r ^{'2}} = \frac{Q}{4 π ε _{0} r}$ . Pour , on coupe l'intégrale en :

V (r) = V (R) + \int_{r}^{R} \frac{Q r ^{'}}{4 π ε _{0} R ^{3}} d r^{'} = \frac{Q}{4 π ε _{0} R} + \frac{Q ( R ^{2} - r ^{2} )}{8 π ε _{0} R ^{3}} = \frac{Q ( 3 R ^{2} - r ^{2} )}{8 π ε _{0} R ^{3}},

ce qui est (4.14). En $r = R$ , les deux formes valent $Q / (4 π ε_{0} R)$ : le potentiel est continu, comme il doit l'être, puisqu'il est une intégrale d'un champ borné. En $r = 0$ , il vaut $\frac{3 Q}{8 π ε _{0} R} = \frac{3}{2} V (R)$ .

Seconde route: superposition de coquilles. Découpons la sphère en coquilles minces de rayon $s$ et d'épaisseur $d s$ , de charge $d q = ρ 4 π s^{2} d s = \frac{3 Q s ^{2}}{R ^{3}} d s$ . Une coquille mince de charge crée un champ nul à l'intérieur et le champ d'une charge ponctuelle à l'extérieur (chapitre 3); son potentiel vaut donc à l'extérieur () et, à l'intérieur, la valeur constante qu'il a sur la coquille, . Au point à la distance , les coquilles intérieures () contribuent comme une charge ponctuelle au centre, et les coquilles extérieures () chacune par :

V (r) = k \frac{Q r ^{3} / R ^{3}}{r} + k \int_{r}^{R} \frac{3 Q s ^{2}}{R ^{3}} \frac{d s}{s} = k \frac{Q r ^{2}}{R ^{3}} + k \frac{3 Q ( R ^{2} - r ^{2} )}{2 R ^{3}} = k \frac{Q ( 3 R ^{2} - r ^{2} )}{2 R ^{3}} .

Les deux routes coïncident. Enfin, le contrôle par (4.13): $- \frac{d}{d r} [\frac{k Q ( 3 R ^{2} - r ^{2} )}{2 R ^{3}}] = \frac{k Q r}{R ^{3}}$ à l'intérieur et à l'extérieur redonnent le champ de départ.

Pour la sphère témoin, avec $k = 8, 988 \cdot 1 0^{9}$ N·m²/C², (4.14) donne

V (0) = \frac{3 k Q}{2 R} = 674, 1 V, V (5 cm) = 617, 9 V, V (R) = 449, 4 V, V (20 cm) = 224, 7 V .

Nous avons recalculé ces valeurs par les deux routes, en intégrant numériquement le champ depuis l'infini et en sommant les coquilles: elles concordent au dixième de volt. La tension entre le centre et la surface vaut $674, 1 - 449, 4 = 224, 7$ V, et elle est égale, par une coïncidence propre à cette géométrie, à la tension entre la surface et le point à $20$ cm, qui vaut $449, 4 - 224, 7 = 224, 7$ V. (Les deux valent $k Q / (2 R)$ .)

La figure 4.2 met en regard la sphère témoin et une sphère conductrice de même rayon et de même charge, que nous étudierons plus bas: à l'extérieur, les deux sont indiscernables, puisque le théorème de Gauss n'y voit que la charge totale. À l'intérieur, la sphère conductrice a un potentiel constant, le potentiel de la sphère chargée en volume continue de monter. Notez que le potentiel est continu dans les deux cas, même là où le champ est discontinu: le potentiel est une intégrale du champ, et intégrer adoucit.

L'anneau chargé sur son axe

Un anneau de rayon $a$ porte une charge $Q$ répartie uniformément. Cherchons le potentiel en un point $P$ de son axe, à la cote $z$ du centre. Chaque élément $d q$ de l'anneau est à la même distance $z^{2} + a^{2}$ de . La seconde forme de (4.10) donne donc, sans aucun calcul d'intégrale,

V (z) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \int \frac{d q}{z ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{z ^{2} + a ^{2}} . (4.15)

Comparez avec le calcul direct du champ au chapitre 2: il fallait projeter chaque contribution $d E$ sur l'axe, remarquer que les composantes transverses se compensent deux à deux par symétrie, puis intégrer. Ici, rien de tout cela. Le champ s'obtient ensuite par dérivation. Sur l'axe, par symétrie, $E$ est dirigé selon l'axe, et sa composante est

E_{z} = - \frac{d V}{d z} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q z}{( z ^{2} + a ^{2} ) ^{3/2}},

qui est exactement l'expression que le chapitre 2 obtient par intégration directe. Deux limites servent de contrôle: au centre de l'anneau ( $z = 0$ ), le champ est nul, mais le potentiel est maximal; loin de l'anneau ( $z ≫ a$ ), $V \approx Q / (4 π ε_{0} z)$ , le potentiel d'une charge ponctuelle.

Une remarque de méthode: la relation $E_{z} = - d V / d z$ ne donne que la composante selon l'axe. Pour obtenir les autres composantes, il faudrait connaître $V$ hors de l'axe, ce que (4.15) ne fournit pas. Qu'elles soient nulles sur l'axe vient de la symétrie, pas du calcul.

Pour fixer les idées, prenons $a = 5, 00$ cm et $Q = 10, 0$ nC. Au centre, $V (0) = k Q / a = 1797, 5$ V et $E = 0$ . À $z = 5, 00$ cm, V et V/m; une dérivation numérique de en ce point, par différence centrée, redonne V/m. Le champ est maximal en cm, où il vaut V/m. À m, V, contre V pour une charge ponctuelle: à vingt rayons, l'anneau n'est plus qu'un point, à près.

Conducteurs en équilibre

Un conducteur est un volume équipotentiel

Le chapitre 3 a établi qu'à l'intérieur d'un conducteur en équilibre électrostatique — lorsque les charges libres ne se déplacent plus —, le champ est nul, que toute charge excédentaire se trouve à la surface, et que, juste à l'extérieur, le champ est perpendiculaire à la surface et vaut $σ / ε_{0}$ . Le potentiel permet de résumer tout cela en une phrase.

Démonstration. Soient $A$ et $B$ deux points intérieurs au conducteur, et $C$ un chemin qui les joint en restant à l'intérieur (un conducteur d'un seul tenant le permet). Le champ étant nul en tout point de $C$ , la relation (4.7) donne $V_{A} - V_{B} = \int_{C} E \cdot d l = 0$ . Un point de la surface est limite de points intérieurs, et le potentiel est continu (c'est une intégrale d'un champ borné, même si le champ saute à la traversée de la surface chargée): il prend donc la même valeur à la surface. La surface étant équipotentielle, le champ extérieur lui est perpendiculaire par le résultat du paragraphe sur les surfaces équipotentielles.

Pour la sphère conductrice témoin ( $R = 10$ cm, $Q = + 5$ nC), le potentiel vaut $k Q / R = 449, 4$ V dans toute la sphère, centre compris; le champ y est nul, et il vaut $σ / ε_{0} = 4494$ V/m juste à l'extérieur, avec C/m². C'est la courbe en tirets de la figure 4.2. On y vérifie une relation propre à la sphère: , soit V/m.

Relier deux conducteurs par un fil conducteur en fait un seul conducteur: à l'équilibre, ils sont au même potentiel. C'est tout le sens de la mise à la terre: relier une carcasse métallique au sol, conducteur gigantesque, fixe son potentiel à celui du sol, quelle que soit la charge qui s'écoule pour cela. Et c'est ce qui rend intéressante la situation suivante.

Deux sphères reliées par un fil

Deux sphères conductrices de rayons $R_{1}$ et $R_{2}$ , très éloignées l'une de l'autre, sont reliées par un long fil fin et portent ensemble la charge $Q$ . Comment se répartit-elle? À l'équilibre, les deux sphères sont au même potentiel. Si elles sont assez éloignées pour que chacune ne soit pas influencée par le champ de l'autre, et si la charge du fil est négligeable, le potentiel de chaque sphère est celui de sa propre charge: $V = k Q_{1} / R_{1} = k Q_{2} / R_{2}$ . Donc

\frac{Q _{1}}{Q _{2}} = \frac{R _{1}}{R _{2}}, \frac{σ _{1}}{σ _{2}} = \frac{Q _{1} / ( 4 π R _{1}^{2} )}{Q _{2} / ( 4 π R _{2}^{2} )} = \frac{R _{2}}{R _{1}}, E_{surface} = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{V}{R} . (4.16)

La petite sphère porte moins de charge, mais sa densité surfacique, et donc le champ à sa surface, est plus grand, dans le rapport inverse des rayons.

L'effet de pointe: paratonnerres et effet couronne

Un conducteur quelconque n'est pas un assemblage de sphères, mais la leçon de l'exemple 4.3 se généralise qualitativement: sur un conducteur en équilibre, qui est à potentiel uniforme, la densité de charge et le champ sont les plus grands là où le rayon de courbure est le plus petit. Une pointe se comporte comme une toute petite sphère reliée au reste du conducteur: au même potentiel, elle porte un champ de surface d'autant plus grand que son rayon est petit, dans l'esprit de $E = V / R$ . C'est l'effet de pointe.

Il a une conséquence pratique, parce que l'air n'isole que jusqu'à un certain champ. Dans l'air sec à la pression atmosphérique, entre des électrodes de quelques centimètres, la décharge se produit vers $3 \cdot 1 0^{6}$ V/m (un ordre de grandeur: le seuil dépend de l'humidité, de la pression et de la géométrie, et il augmente pour les très petits rayons de courbure). Au-delà, les quelques ions toujours présents dans l'air sont accélérés assez fort entre deux collisions pour ioniser d'autres molécules, et l'air devient conducteur. En prenant ce seuil comme ordre de grandeur, $E = V / R$ montre qu'une sphère de $10$ cm peut être portée à environ $3 \cdot 1 0^{5}$ V avant que l'air ne claque à sa surface, une sphère de cm seulement à V, et une pointe de mm de rayon à quelques centaines de volts.

Autour d'une pointe portée à haute tension, l'air s'ionise localement sans qu'une étincelle franchisse tout l'intervalle: c'est l'effet couronne, une décharge lumineuse et crépitante. On l'entend près des lignes à très haute tension par temps humide; il y représente une perte d'énergie et une source de perturbations radio, ce qui explique les conducteurs en faisceaux et les anneaux de garde lisses et de grand rayon qui équipent les installations à très haute tension. Il est au contraire recherché dans les photocopieurs et les imprimantes laser, où un fil fin porté à quelques kilovolts dépose, par effet couronne, une couche uniforme de charges sur le tambour photosensible.
Un paratonnerre est une tige métallique pointue, reliée à la terre par un conducteur de forte section. Sous un nuage d'orage, le sol et tout ce qui lui est relié portent des charges d'influence; à l'extrémité de la tige, le champ est fortement renforcé. C'est donc là que la décharge a le plus de chances de s'amorcer et de s'accrocher, et le courant de foudre est conduit à la terre par un chemin prévu, au lieu de traverser la toiture. L'électrostatique explique le renforcement du champ par la pointe; le détail de l'accrochage d'un éclair relève de la physique des décharges et dépasse ce cours.
À l'inverse, tout ce qui doit tenir une haute tension sans décharge est arrondi et poli: la coupole d'un générateur de Van de Graaff (exercice 4.4 «Le générateur de Van de Graaff», en fin de chapitre), les électrodes d'un appareillage à haute tension. Une rayure ou une poussière suffit à créer une petite pointe locale.

Accélérer une particule chargée

Conservation de l'énergie

Une particule de masse $m$ et de charge $q$ , soumise à la seule force électrique, voit son énergie mécanique se conserver, puisque cette force est conservative (théorème 4.1). Entre deux points $A$ et $B$ :

\frac{1}{2} m v_{B}^{2} + q V_{B} = \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + q V_{A}, soit \frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = q (V_{A} - V_{B}) = q U_{A B} . (4.17)

C'est le théorème de l'énergie cinétique de Physique générale I, avec (4.8) pour le travail. On n'a besoin ni de la forme du champ entre $A$ et $B$ , ni de la trajectoire, ni de la durée: seule compte la tension. Une particule chargée positivement est accélérée en allant vers les potentiels décroissants; un électron, de charge $- e$ , est accéléré en allant vers les potentiels croissants. Partie du repos et accélérée sous la tension $U > 0$ , une particule de charge $∣ q ∣$ atteint

v = \frac{2∣ q ∣ U}{m} .

C'est le principe du canon à électrons: une cathode chauffée émet des électrons presque sans vitesse, et une anode percée d'un trou, portée à une tension $U$ positive par rapport à la cathode, les accélère; ceux qui passent par le trou forment un faisceau d'énergie cinétique $e U$ . On le trouve dans les tubes cathodiques des anciens écrans et oscilloscopes, dans les tubes à rayons X et dans les microscopes électroniques.

Question 4.5

Un proton initialement au repos est accéléré par une différence de potentiel de $1, 00$ kV. Calculez sa vitesse finale en m/s (masse du proton $m_{p} = 1, 6726 \cdot 1 0^{- 27}$ kg).

Synthèse

Le champ de charges immobiles est conservatif (théorème 4.1): la circulation $\int_{A}^{B} E \cdot d l$ ne dépend que des extrémités, parce que le champ d'une charge ponctuelle est central et ne dépend que de $r$ , et la superposition conserve cette propriété. Le travail de la force électrique vaut $W_{A \to B} = q (V_{A} - V_{B}) = q U_{A B}$ .

Série d'exercices du chapitre 4Exercice 1 sur 5

Question 4.6

Dans une certaine région de l'espace, le potentiel électrique a la même valeur, $250$ V, en tout point. Que vaut le champ électrique dans cette région?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 4.1 · Entre deux plaques

Deux grandes plaques parallèles, distantes de $d = 5, 00$ cm, sont soumises à une tension $U = 500$ V. On admet que le champ est uniforme entre elles et nul à l'extérieur.

Calculez l'intensité du champ et indiquez son sens.
Un proton quitte sans vitesse la plaque positive. Calculez le travail de la force électrique jusqu'à la plaque négative, en joules et en électron-volts, puis sa vitesse d'arrivée.
Une charge de $+ 1, 00$ nC est déplacée de $3, 00$ cm parallèlement au champ, dans son sens, puis de $4, 00$ cm perpendiculairement. Quel est le travail total de la force électrique? Aurait-il été différent en allant en ligne droite?

Exercice 4.2 · Quatre charges au sommet d'un carré

Quatre charges ponctuelles occupent les sommets d'un carré de côté $a = 5, 00$ cm: $+ q$ en $(0, 0)$ et en $(a, 0)$ , $- q$ en $(a, a)$ et en , avec nC.

Exercice 4.3 · Le câble coaxial

Un câble coaxial est formé d'un conducteur central de rayon $r_{a} = 0, 50$ mm et d'une gaine conductrice de rayon intérieur $r_{b} = 2, 00$ mm, séparés par de l'air (dans un vrai câble, par un isolant; voir le chapitre 5). Le conducteur central porte la charge linéique $+ λ$ , la gaine . Par le théorème de Gauss (chapitre 3), le champ entre les deux vaut , radial, et il est nul hors de la gaine.

Exercice 4.4 · Le générateur de Van de Graaff

La coupole d'un générateur de Van de Graaff est une sphère conductrice de rayon $R = 20$ cm. On admet que l'air claque lorsque le champ à la surface atteint environ $3 \cdot 1 0^{6}$ V/m.

Quel potentiel maximal la coupole peut-elle atteindre? Quelle charge porte-t-elle alors?
Une petite aspérité de la coupole se comporte, localement, comme une sphère de rayon $1$ mm au même potentiel. Estimez le champ à sa surface et concluez.

Solution

Pour une sphère conductrice, $V = k Q / R$ et . Le potentiel maximal est donc V, soit environ kV. La charge correspondante vaut C, soit C. Ces valeurs sont des ordres de grandeur, puisque le seuil de claquage l'est.

Exercice 4.5 · L'énergie de la sphère témoin (démonstration)

On considère une sphère de rayon $R$ portant la charge $Q$ répartie uniformément dans son volume, de densité $ρ = \frac{3 Q}{4 π R ^{3}}$ .

En généralisant (4.12) à une distribution continue, $W_{\overset{e}{ˊ} l} = \frac{1}{2} \int ρ V d τ$ , et en utilisant le potentiel (4.14), démontrez que l'énergie de la sphère vaut .

Références

Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière, chapitre sur le potentiel électrique.
Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, Pearson, chap. 23 (Electric Potential).
Purcell, E. M. et Morin, D. J., Electricity and Magnetism, 3ᵉ éd., Cambridge University Press, chap. 2 (le potentiel, le gradient, l'énergie d'un système de charges).
Feynman, R. P., Leighton, R. B. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme, vol. 1, Dunod, chapitres sur le potentiel et les conducteurs.
Benson, H., Physique 2 – Électricité et magnétisme, De Boeck.
Pérez, J.-Ph., Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod.

Objectifs du chapitre

Le travail de la force électrique

Travail élémentaire et travail le long d'un chemin

Le champ uniforme

Le champ d'une charge ponctuelle est conservatif

Énergie potentielle et potentiel

Énergie potentielle électrique

Le potentiel électrique

L'électron-volt

Potentiel de charges ponctuelles

Une charge, puis plusieurs

Énergie d'un système de charges

Surfaces équipotentielles et gradient

Surfaces équipotentielles

Le champ est l'opposé du gradient du potentiel

Potentiel des distributions continues

Deux méthodes

La sphère chargée en volume

L'anneau chargé sur son axe

Conducteurs en équilibre

Un conducteur est un volume équipotentiel

Deux sphères reliées par un fil

L'effet de pointe: paratonnerres et effet couronne

Accélérer une particule chargée

Conservation de l'énergie

Synthèse

Exercices

Références

Le potentiel au centre du disque

Le potentiel à une distance égale au rayon

Le champ sur l'axe

Tout près du disque