Champ magnétique et force de Lorentz

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• définir le champ magnétique $\mathbf{B}$ par la force $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ qu'il exerce sur une charge en mouvement, en donner l'unité (le tesla) et quelques ordres de grandeur, et déterminer la direction d'une force magnétique par la règle de la main droite et par les composantes du produit vectoriel;
• démontrer que la force magnétique ne travaille pas et en tirer les conséquences: un champ magnétique courbe une trajectoire mais ne change pas la vitesse d'une charge;
• établir le rayon $r=mv/(|q|B)$ et la fréquence cyclotron $f_c=|q|B/(2\pi m)$ d'une particule dans un champ uniforme, expliquer pourquoi la période ne dépend pas de la vitesse, et décrire le mouvement hélicoïdal, les bouteilles magnétiques et les aurores;

Aimants, pôles et champ magnétique

Ce que l'on observe avec des aimants

Le magnétisme est connu bien avant l'électricité du courant: certaines pierres, les aimants naturels, attirent le fer, et une aiguille aimantée librement suspendue s'oriente toujours dans la même direction. Quelques expériences simples, que vous pouvez refaire avec deux aimants droits et de la limaille de fer, fixent le vocabulaire.

• Un aimant possède deux régions où son action est la plus forte, ses pôles. On appelle pôle nord celui qui, sur un aimant libre de tourner, se tourne vers le nord géographique, et pôle sud l'autre.
• Deux pôles de même nom se repoussent, deux pôles de noms contraires s'attirent. L'analogie avec les charges électriques du chapitre 1 est frappante, mais elle s'arrête vite.
• Si l'on casse un aimant en deux, on n'obtient pas un pôle nord et un pôle sud séparés: on obtient deux aimants complets, chacun avec ses deux pôles. On peut recommencer jusqu'à l'échelle atomique sans jamais isoler un pôle. Aucune expérience n'a mis en évidence un monopôle magnétique isolé; au chapitre 11, cette absence deviendra l'une des quatre équations de Maxwell: le flux de $\mathbf{B}$ à travers toute surface fermée est nul.
• Un morceau de fer non aimanté est attiré par l'un ou l'autre pôle indifféremment: il s'aimante lui-même au voisinage de l'aimant. Les matériaux magnétiques sont évoqués au chapitre 8.

La limaille saupoudrée autour d'un aimant dessine des lignes de champ: chaque grain, petit aimant induit, s'aligne sur la direction locale de l'action magnétique. Par convention, à l'extérieur de l'aimant, les lignes sortent du pôle nord et entrent par le pôle sud. Contrairement aux lignes du champ électrostatique, qui naissent sur les charges positives et meurent sur les charges négatives, les lignes du champ magnétique se referment sur elles-mêmes à travers l'aimant: elles n'ont ni début ni fin, ce qui est une autre manière de dire qu'il n'existe pas de «charge magnétique».

La boussole et le champ terrestre

Une boussole est une petite aiguille aimantée qui peut tourner librement autour d'un axe vertical. Elle s'oriente selon la composante horizontale du champ magnétique local, son pôle nord indiquant le sens des lignes de champ. Elle fonctionne partout sur la Terre parce que la Terre elle-même se comporte, en première approximation, comme un gros aimant dont les lignes de champ sortent de l'hémisphère sud et rentrent dans l'hémisphère nord. Il en résulte une conséquence de vocabulaire souvent déroutante: la région proche du pôle Nord géographique, qui attire le pôle nord de l'aiguille, abrite un pôle magnétique de type sud.

L'intensité du champ terrestre à la surface est de l'ordre de 50 µT (microteslas; l'unité est définie plus bas). Elle varie avec le lieu et lentement avec le temps, et le champ n'est horizontal qu'au voisinage de l'équateur magnétique; sous nos latitudes, il plonge nettement vers le sol. Pour ce cours, seul l'ordre de grandeur compte, et il suffit à expliquer un piège pratique: au chapitre 8, vous verrez qu'un fil rectiligne parcouru par $10,0$ A crée à $5,00$ cm un champ de $40,0\mu$T, comparable au champ terrestre. Une boussole posée près d'un câble d'alimentation indique donc n'importe quoi.

Courants et aimants: une seule interaction

En 1820, Hans Christian Ørsted observe qu'un fil parcouru par un courant fait dévier une aiguille aimantée placée à proximité. Ce n'est pas un détail: c'est la preuve que les courants électriques, c'est-à-dire des charges en mouvement, produisent le même effet qu'un aimant. Inversement, un aimant exerce une force sur un fil parcouru par un courant (c'est le principe de tous les moteurs électriques) et sur un faisceau d'électrons dans le vide (c'est ainsi que l'on déviait le faisceau des anciens téléviseurs à tube cathodique).

L'image moderne est la suivante. Les charges en mouvement sont les sources du champ magnétique, et le champ magnétique agit en retour sur les charges en mouvement. Les aimants permanents ne font pas exception: leur magnétisme provient des mouvements et du spin des électrons de la matière, et un aimant se comporte, vu de l'extérieur, comme un ensemble de petites boucles de courant. Ce chapitre traite de la seconde moitié de l'histoire, l'action du champ sur les charges et les courants. La première moitié, comment un courant crée un champ (loi de Biot–Savart, théorème d'Ampère), fait l'objet du chapitre 8.

La force magnétique sur une charge en mouvement

Définir le champ par la force qu'il exerce

Au chapitre 2, le champ électrique a été défini par la force qu'il exerce sur une charge d'essai au repos: $\mathbf{E}=\mathbf{F}/q$. On procède de la même façon pour le champ magnétique, à ceci près qu'une charge au repos dans un champ magnétique ne subit aucune force. Il faut lancer la charge d'essai et observer ce qui se passe lorsque l'on change sa vitesse. En un point donné d'une région où règne un champ magnétique (au voisinage d'un aimant, entre les pôles d'un électroaimant), l'expérience montre que:

1. la force magnétique est proportionnelle à la charge $q$ et change de sens avec le signe de $q$;
2. elle est proportionnelle à la vitesse et s'annule pour une charge immobile;
3. elle est toujours perpendiculaire à la vitesse;
4. il existe une direction particulière, celle de la boussole en ce point, pour laquelle une charge qui s'y déplace ne subit aucune force;
5. pour une vitesse faisant l'angle $\theta$ avec cette direction, l'intensité de la force est proportionnelle à $\sin \theta$, et la force est perpendiculaire à la fois à la vitesse et à cette direction privilégiée.

Ces cinq constats sont exactement ceux d'un produit vectoriel. On les résume en une loi.

Unité: le tesla

D'après (7.1), $B=F/(|q|v)$ pour une vitesse perpendiculaire au champ. L'unité SI de $B$ est donc le newton par coulomb-mètre-par-seconde, qui a reçu le nom de tesla (T):

La deuxième forme, qui utilise $1\text{A}=1\text{C/s}$, sera naturelle pour la force sur un fil. On rencontre encore le gauss, unité du système CGS: $1\text{G}=10^{-4}\text{T}$. Le tesla est une grande unité à l'échelle de la vie courante, comme le montre le tableau suivant.

Direction de la force: la règle de la main droite

Le produit vectoriel $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ est perpendiculaire au plan de $\mathbf{v}$ et $\mathbf{B}$. Son sens est donné par la règle de la main droite: les doigts de la main droite tendus selon $\mathbf{v}$ se replient vers $\mathbf{B}$ (par le plus petit angle); le pouce indique alors le sens de $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$. Pour une charge positive, c'est le sens de la force; pour une charge négative, la force est de sens opposé. Oublier ce second temps est l'erreur la plus fréquente du chapitre: un électron et un proton lancés de la même manière dans le même champ tournent en sens contraires.

Dans un repère orthonormé direct $({\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z)$, on a ${\mathbf{e}}_x\times {\mathbf{e}}_y={\mathbf{e}}_z$, , , et les composantes du produit vectoriel sont

Sur une figure plane, le champ est souvent perpendiculaire au plan du dessin. On le représente alors par un cercle marqué d'une croix, $\otimes$, s'il entre dans la page (on voit l'empennage d'une flèche qui s'éloigne), et par un cercle marqué d'un point, $\odot$, s'il en sort (on voit la pointe d'une flèche qui arrive).

La force de Lorentz

Lorsque règnent à la fois un champ électrique et un champ magnétique, les deux forces s'ajoutent. Cette superposition est elle aussi un fait expérimental.

La relation (7.4) contient à elle seule tout ce qu'une charge «sait» des champs: c'est par elle que $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ se mesurent. Une charge d'essai immobile donne $\mathbf{E}$; la même charge lancée successivement dans trois directions différentes donne ensuite $\mathbf{B}$. Avec les équations de Maxwell du chapitre 11, qui disent comment les charges et les courants créent les champs, la force de Lorentz complète la description de l'électromagnétisme classique. Signalons enfin que le partage entre partie électrique et partie magnétique dépend du référentiel de l'observateur, puisque la vitesse en dépend: c'est l'une des questions qui ont conduit Einstein à la relativité restreinte. Dans ce cours, tous les calculs sont faits dans le référentiel du laboratoire.

La force magnétique ne travaille pas

La conséquence la plus importante de la perpendicularité entre $\mathbf{F}$ et $\mathbf{v}$ concerne l'énergie. Rappelons (Physique générale I, chapitre 4 «Travail, énergie et puissance») que la puissance d'une force est $P=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$ et que le théorème de l'énergie cinétique s'écrit $\mathrm{d}{E}_c/\mathrm{d}t=\sum P$.

Démonstration. Pour tout vecteur $\mathbf{B}$, le produit vectoriel $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ est orthogonal à $\mathbf{v}$; le produit mixte $(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v}$ est nul parce qu'il contient deux fois le même vecteur. La puissance est donc

à chaque instant, et le travail entre deux instants $t_A$ et $t_B$ est $W={\int }_{t_A}^{t_B}P\mathrm{d}t=0$. Si la force magnétique est la seule force, le théorème de l'énergie cinétique donne : est constante, donc aussi. Le raisonnement n'utilise ni l'uniformité ni la stationnarité de : il vaut pour n'importe quel champ magnétique.

La relation (7.4) en donne la contrepartie: seule la partie électrique de la force de Lorentz travaille, avec la puissance $q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}$. Une particule qui traverse une région où ne règne qu'un champ magnétique en ressort avec la même énergie cinétique qu'à l'entrée, quelle que soit la forme de sa trajectoire.

Mouvement d'une particule chargée dans un champ uniforme

Vitesse perpendiculaire au champ: le mouvement circulaire

Considérons une particule de masse $m$ et de charge $q$ lancée avec la vitesse ${\mathbf{v}}_0$ perpendiculaire à un champ magnétique uniforme et constant $\mathbf{B}$, et soumise à cette seule force.

Démonstration. Le mouvement reste plan. Prenons $\mathbf{B}=B{\mathbf{e}}_z$. La force $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ est perpendiculaire à ${\mathbf{e}}_z$, donc $m\mathrm{d}{v}_z/\mathrm{d}t=0$: garde sa valeur initiale, nulle. Le mouvement a lieu dans le plan perpendiculaire à qui contient le point de départ.

La trajectoire est un cercle parcouru à vitesse constante. D'après le théorème 7.3, $v=|\mathbf{v}|$ est constante. La force a donc une norme constante, $F=|q|vB$ (ici $\sin \theta =1$), et elle est perpendiculaire à la vitesse: l'accélération est purement normale, de norme constante $a_n=|q|vB/m$. Or, en cinématique (Physique générale I, chapitre 2 «Cinématique du point»), l'accélération normale d'un mouvement de vitesse vaut , où est le rayon de courbure de la trajectoire (dans ce seul raisonnement, et dans la rigidité magnétique plus loin, ne désigne pas une densité de charge). Ici

constant. Une courbe plane dont le rayon de courbure est constant est un cercle: la particule décrit un cercle de rayon $r=\rho$, ce qui établit (7.5).

Période. Le périmètre $2\pi r$ est parcouru à la vitesse $v$ en $T=2\pi r/v=2\pi m/(|q|B)$: la vitesse s'élimine, et l'on obtient (7.6).

Seconde route, par les composantes. Écrivons $m\mathrm{d}\mathbf{v}/\mathrm{d}t=q\mathbf{v}\times B{\mathbf{e}}_z$ en composantes avec (7.3), en posant $\Omega =qB/m$ (qui porte le signe de $q$):

En dérivant la première et en y reportant la seconde, ${\mathrm{d}}^2{v}_x/\mathrm{d}{t}^2=-{\Omega }^2{v}_x$: c'est l'équation de l'oscillateur harmonique. Avec $v_x(0)=v$ et , la solution est , ; une intégration de plus donne et . C'est un cercle de centre , de rayon , parcouru avec la pulsation . Pour , le point part du sommet du cercle en allant vers : vu depuis , il tourne dans le sens horaire; pour , change de signe et le sens aussi.

Le résultat central est l'indépendance de la période par rapport à la vitesse. Une particule deux fois plus rapide décrit un cercle deux fois plus grand, dans le même temps. Toutes les particules de même rapport $q/m$ tournent en phase, quelle que soit leur énergie: c'est ce qui rend possible le cyclotron, plus loin. La quantité $mv$ au numérateur de (7.5) est la quantité de mouvement $p$ (dans ce chapitre, $p$ désigne la quantité de mouvement, et non le moment dipolaire électrique $\mathbf{p}$ du chapitre 2): on retiendra $r=p/(|q|B)$, forme qui restera vraie en relativité.

L'explorateur ci-dessous permet de faire varier indépendamment la particule, sa vitesse et le champ. Observez en particulier ce qui ne bouge pas.

Vitesse oblique: le mouvement hélicoïdal

Si la vitesse initiale fait un angle $\alpha$ quelconque avec $\mathbf{B}=B{\mathbf{e}}_z$, on la décompose en une composante parallèle au champ, $v_{\parallel }=v\cos \alpha$, et une composante perpendiculaire, $v_{\perp }=v\sin \alpha$. La force ne dépend que de , puisque , et elle n'a pas de composante selon . La démonstration du théorème 7.4 s'applique donc telle quelle à la projection du mouvement dans le plan perpendiculaire au champ, tandis que la composante reste constante. La particule décrit une d'axe parallèle à , de rayon et de pas

Le pas $p_h$ est la distance parcourue le long du champ pendant un tour. Les particules chargées «s'enroulent» ainsi autour des lignes de champ et les suivent: elles se déplacent librement le long de $\mathbf{B}$ et très difficilement en travers. Cette propriété est la base du confinement magnétique des plasmas.

Champ non uniforme: bouteilles magnétiques et aurores

Lorsque les lignes de champ se resserrent, c'est-à-dire lorsque le champ s'intensifie le long de sa propre direction, il possède une petite composante dirigée vers l'axe du faisceau de lignes. Une particule qui tourne autour de cet axe subit alors, en plus de la force qui la fait tourner, une composante de force dirigée vers la région de champ faible. Sa vitesse le long des lignes diminue, s'annule et change de signe: la particule est réfléchie, comme par un miroir. La norme de sa vitesse n'a pas changé (théorème 7.3); c'est la répartition entre $v_{\parallel }$ et $v_{\perp }$ qui a basculé au profit de la rotation. Nous nous en tenons à cette description qualitative; le calcul quantitatif de ce miroir magnétique dépasse ce cours.

Deux miroirs placés face à face forment une bouteille magnétique: le champ est faible au milieu et intense aux deux extrémités, et les particules chargées font des allers-retours entre les deux. C'est l'une des idées étudiées pour confiner un plasma chaud en vue de la fusion nucléaire. Le champ terrestre réalise naturellement une telle bouteille: ses lignes se resserrent à l'approche des pôles, et des particules chargées d'origine solaire restent piégées dans des ceintures de radiation (dites de Van Allen), où elles oscillent d'un hémisphère à l'autre le long des lignes de champ. Celles qui ne sont pas réfléchies assez haut, en particulier aux hautes latitudes où les lignes de champ plongent vers le sol, pénètrent dans la haute atmosphère; elles y excitent les atomes d'oxygène et les molécules d'azote, qui se désexcitent en émettant de la lumière: ce sont les aurores polaires, vertes et rouges pour l'essentiel à cause de l'oxygène. Leur localisation en anneaux autour des pôles magnétiques est une conséquence directe du fait qu'une charge suit les lignes de champ.

Champs croisés: filtre de vitesse, spectromètre de masse, cyclotron

Le filtre de vitesse

Envoyons un faisceau de particules chargées, de vitesses diverses, dans une région où règnent à la fois un champ électrique uniforme et un champ magnétique uniforme, perpendiculaires entre eux et à la direction du faisceau. On dit que les champs sont croisés. Par exemple, le faisceau va selon $+{\mathbf{e}}_y$, le champ magnétique entre dans la page, $\mathbf{B}=-B{\mathbf{e}}_z$, et le champ électrique, créé par deux plaques parallèles, est dirigé selon $+{\mathbf{e}}_x$.

Démonstration. Avec les orientations choisies, pour une particule de vitesse $\mathbf{v}=v{\mathbf{e}}_y$:

La particule n'est pas déviée si et seulement si la force transversale est nulle à l'entrée: $q(E-vB)=0$, c'est-à-dire $v=E/B$ (la charge $q$ n'étant pas nulle). Dans ce cas la force reste nulle tout au long de la traversée, puisque la vitesse ne change pas, et la trajectoire est rectiligne. La condition ne fait intervenir ni $q$ ni $m$: $q$ se simplifie, et n'intervient pas dans une condition d'équilibre des forces.

Une particule plus rapide que $E/B$ subit une force magnétique qui l'emporte et est déviée du côté de la force magnétique; une particule plus lente est déviée du côté de la force électrique. Une fente placée à la sortie, dans l'axe, ne laisse donc passer que les particules de vitesse proche de $E/B$. Avec des plaques distantes de $5,00$ mm portées à une tension de $1,00$ kV, $E=2,00\cdot 10^5$ V/m; dans $B=0,400$ T, la vitesse sélectionnée est m/s, pour des protons comme pour des ions ou des électrons. La même idée de champs croisés est au cœur de l'effet Hall, plus loin: la nature y réalise elle-même l'équilibre .

Le spectromètre de masse

Un spectromètre de masse sépare des ions selon leur masse. Dans le montage de Bainbridge (figure 7.2), les ions produits par une source traversent d'abord un filtre de vitesse, qui leur impose tous la même vitesse $v=E/B$. Ils entrent ensuite dans une chambre où règne un seul champ magnétique $B_0$, perpendiculaire à leur vitesse. Chacun y décrit un demi-cercle de rayon $r=mv/(q{B}_0)$ et frappe un détecteur à la distance de la fente d'entrée. À vitesse et charge égales, le rayon est proportionnel à la masse:

Le filtre est indispensable: sans lui, une dispersion des vitesses produirait une dispersion des rayons qui masquerait celle des masses. C'est précisément avec des ions de néon que l'on a mis en évidence, au début du XXᵉ siècle, que les atomes d'un même élément chimique peuvent avoir des masses différentes: ce sont les isotopes.

Le cyclotron

L'indépendance de la période par rapport à la vitesse a une application immédiate, imaginée par Ernest Lawrence au début des années 1930: le cyclotron. Deux électrodes creuses en forme de D («dés»), placées dos à dos dans un champ magnétique uniforme, sont séparées par un intervalle étroit. Une tension alternative de fréquence $f_c$ est appliquée entre elles. Un ion injecté près du centre décrit un demi-cercle à l'intérieur d'un dé, où le champ électrique est nul; lorsqu'il atteint l'intervalle, la tension a changé de signe juste ce qu'il faut pour l'accélérer à nouveau. À chaque passage, il gagne l'énergie $qU$, son rayon augmente, mais le temps d'un demi-tour reste $T/2=\pi m/(qB)$: il reste en phase avec la tension. La trajectoire est une spirale de demi-cercles de rayons croissants, jusqu'au bord de l'aimant, de rayon $R$, où le faisceau est extrait. D'après (7.5), sa quantité de mouvement y vaut et son énergie cinétique

L'énergie finale ne dépend pas de la tension entre les dés, qui ne fixe que le nombre de tours nécessaires. Elle croît comme le carré du champ et du rayon: c'est pourquoi les cyclotrons sont de gros aimants. Le problème guidé de ce chapitre en calcule un exemple. En Suisse, l'Institut Paul Scherrer (PSI), à Villigen, exploite des cyclotrons pour la recherche et pour la protonthérapie des tumeurs.

L'effet Hall

Les porteurs de charge dévient dans le conducteur

Dans un conducteur parcouru par un courant, les porteurs de charge se déplacent à la vitesse de dérive ${\mathbf{v}}_d$ (chapitre 6). S'il est placé dans un champ magnétique, chaque porteur subit la force $q{\mathbf{v}}_d\times \mathbf{B}$, et le conducteur devient un filtre de vitesse naturel.

Considérons une plaquette conductrice rectangulaire de largeur $w$ (selon ${\mathbf{e}}_y$) et d'épaisseur $t$ (selon ${\mathbf{e}}_z$), parcourue par un courant $I$ selon $+{\mathbf{e}}_x$, dans un champ uniforme perpendiculaire à sa grande face. Supposons d'abord des porteurs positifs, de charge et de densité : ils se déplacent selon , et la force magnétique les pousse vers le bord . Des charges s'y accumulent, un défaut apparaît sur le bord opposé, et un s'établit. Il croît jusqu'à ce que la force électrique compense exactement la force magnétique sur les porteurs, qui repartent alors en ligne droite: c'est la condition du filtre de vitesse (7.8), . Ce régime est atteint en un temps extrêmement court.

Entre les deux bords, distants de $w$, apparaît ainsi la tension de Hall $U_H=E_{H}w=v_{d}Bw$. Avec et (chapitre 6), , et la largeur s'élimine:

La tension de Hall est d'autant plus grande que la densité de porteurs est faible et que la plaquette est mince.

Le signe des porteurs

Refaisons le raisonnement avec des porteurs négatifs. Pour le même courant $I$ selon $+{\mathbf{e}}_x$, ils se déplacent selon $-{\mathbf{e}}_x$. La force $q{\mathbf{v}}_d\times \mathbf{B}$ change deux fois de signe, par et par : elle pousse les porteurs . Mais cette fois ce sont des charges négatives qui s'y accumulent. Le signe de la tension entre les deux bords est donc inversé. Mesurer le signe de revient à mesurer , information qu'aucune mesure de courant ou de résistance ne donne: un courant de charges positives vers la droite et un courant de charges négatives vers la gauche sont indiscernables dans un circuit.

L'expérience confirme que dans la plupart des métaux, dont le cuivre, les porteurs sont des électrons. Dans certains métaux et dans les semi-conducteurs dits de type p, en revanche, le signe de la tension de Hall est celui de porteurs positifs, les «trous», résultat que seule la physique quantique du solide explique.

Ordres de grandeur et sonde de Hall

Pour le cuivre, en admettant un électron de conduction par atome, $n={\rho }_m{N}_A/M$ avec la masse volumique ${\rho }_m=8,96{\text{g/cm}}^3$ et la masse molaire g/mol (ici n'est pas un moment de force, ni une densité de charge), soit . Une bande de cuivre de largeur cm et d'épaisseur mm parcourue par A a une vitesse de dérive mm/s. Dans T, la tension de Hall vaut

les deux formes donnant la même valeur. C'est très peu: dans un métal, les porteurs sont si nombreux qu'ils vont très lentement.

Dans un semi-conducteur, la densité de porteurs est plus faible de nombreux ordres de grandeur. Avec une valeur de l'ordre de $n=10^{22}{\text{m}}^{-3}$ (ordre de grandeur illustratif, qui dépend fortement du dopage), une plaquette de $0,100$ mm d'épaisseur parcourue par $1,00$ mA dans $0,100$ T donne $U_H=0,624$ mV: fois la tension de la bande de cuivre, avec un courant dix mille fois plus faible et un champ dix fois plus faible. Le rapport des densités de porteurs, , fait toute la différence. C'est le principe de la : une plaquette semi-conductrice étalonnée, alimentée par un courant fixe, délivre une tension proportionnelle à la composante de perpendiculaire à sa face. Les teslamètres de laboratoire en sont équipés, et des capteurs à effet Hall détectent sans contact la position du rotor dans les moteurs sans balais ou mesurent un courant par le champ qu'il crée.

La force de Laplace sur un conducteur

De la force de Lorentz à la force sur un fil

Un fil parcouru par un courant est un ensemble de charges en mouvement. Dans un champ magnétique, chacune subit une force magnétique, et la somme de ces forces, transmise au réseau cristallin du conducteur, est la force que l'on observe sur le fil. On oriente un segment rectiligne de longueur $\ell$ par le vecteur $\mathbf{\ell }$, de norme $\ell$, dirigé dans le sens conventionnel du courant.

Démonstration. Soit un fil de section $A$ contenant $n$ porteurs de charge $q$ par unité de volume, qui se déplacent à la vitesse de dérive ${\mathbf{v}}_d$. Chacun subit, d'après (7.1), la force $q{\mathbf{v}}_d\times \mathbf{B}$ (la vitesse d'agitation thermique, désordonnée, a une moyenne nulle et ne contribue pas à la force moyenne). Le segment de longueur $\ell$ contient porteurs; la force totale est

Or ${\mathbf{v}}_d$ est parallèle au fil. Si $q>0$, ${\mathbf{v}}_d$ a le sens du courant et $\ell {\mathbf{v}}_d=v_d\mathbf{\ell }$; si , est opposée au courant et . Dans les deux cas, et

puisque $I=n|q|v_{d}A$ (chapitre 6). Le signe des porteurs disparaît: la force de Laplace ne dépend que du courant, ce qui explique qu'elle ne permette pas, contrairement à l'effet Hall, de déterminer ce signe. Pour un fil courbe ou un champ non uniforme, le même raisonnement appliqué à un élément de longueur $\mathrm{d}\ell$, assez court pour être rectiligne et plongé dans un champ uniforme, donne $\mathrm{d}\mathbf{F}=I\mathrm{d}\mathbf{\ell }\times \mathbf{B}$, et l'on somme. $\square$

Deux conséquences simples de (7.13) sont utiles. Dans un champ uniforme, $\mathbf{B}$ sort de l'intégrale et $\int \mathrm{d}\mathbf{\ell }$ est le vecteur qui joint les extrémités du fil: un fil de forme quelconque allant de $P$ à $Q$ subit la même force qu'un fil rectiligne de $P$ à $Q$ (démonstration dans l'exercice 7.5 de la section «Exercices», en fin de chapitre). Pour un circuit fermé, ce vecteur est nul: dans un champ uniforme, la force totale sur une spire est nulle. Elle ne l'est plus dans un champ non uniforme, et le couple, lui, n'est pas nul en général: c'est l'objet de la section suivante. Au chapitre 8, (7.12) appliquée au champ créé par un fil voisin donnera la force entre deux courants parallèles.

Un ordre de grandeur: une barre de cuivre horizontale de masse $10,0$ g et de longueur $20,0$ cm, placée perpendiculairement à un champ horizontal de $0,250$ T, est soutenue contre son poids si $I\ell B=mg$, c'est-à-dire pour $I=mg/(B\ell )=0,0100\times 9,81/(0,250\times 0,200)=1,96$ A, à condition que le courant circule dans le sens qui rend la force verticale ascendante.

Couple sur une spire: le moment magnétique

Couple sur une spire rectangulaire

Plaçons une spire rectangulaire rigide, parcourue par le courant $I$, dans un champ magnétique uniforme $\mathbf{B}=B{\mathbf{e}}_x$ horizontal. Elle peut tourner autour d'un axe vertical passant par son centre. Ses côtés verticaux ont la longueur $a$, ses côtés horizontaux la longueur $b$; son aire est $A=ab$. On oriente la spire par son courant et l'on définit sa normale unitaire $\mathbf{n}$ par la règle de la main droite: les doigts repliés dans le sens du courant, le pouce indique . On note l'angle entre et .

Démonstration pour la spire rectangulaire. Appliquons (7.12) à chacun des quatre côtés (figure 7.3).

Les deux côtés horizontaux, de longueur $b$, sont parcourus en sens contraires. Leurs forces sont égales et opposées, et toutes deux verticales: le champ est horizontal, et ces côtés sont horizontaux, donc leur produit vectoriel est vertical. Elles s'exercent le long de l'axe de rotation, ou parallèlement à lui, et leur moment par rapport à cet axe est nul. Elles tendent seulement à déformer la spire, que l'on suppose rigide.

Les deux côtés verticaux, de longueur $a$, sont toujours perpendiculaires au champ. Celui où le courant monte subit ${\mathbf{F}}_1=Ia{\mathbf{e}}_z\times B{\mathbf{e}}_x=IaB{\mathbf{e}}_y$; celui où le courant descend subit . La somme des quatre forces est nulle, comme on l'attendait pour un circuit fermé dans un champ uniforme. Mais et n'ont pas la même ligne d'action: elles forment un . Vu de dessus (figure 7.3b), chacune des deux lignes d'action passe à la distance de l'axe. Le moment total par rapport à l'axe a donc pour norme

Direction. Le couple fait tourner $\mathbf{n}$ vers $\mathbf{B}$: sur la figure 7.3b, la rotation est dans le sens horaire vue de dessus, donc le moment est dirigé vers le bas, selon $-{\mathbf{e}}_z$. C'est exactement la direction de $\mathbf{m}\times \mathbf{B}$: avec $\mathbf{n}=\cos \theta {\mathbf{e}}_x+\sin \theta {\mathbf{e}}_y$, on a . Le calcul vectoriel complet, avec les points d'application où est la direction des côtés horizontaux, donne le même résultat: . Le moment d'un couple ne dépend pas du point par rapport auquel on le calcule, puisque la force totale est nulle.

Énergie. Le moment $M=mB\sin \theta$ tend à diminuer $\theta$. Pour faire tourner la spire de $\theta$ à $\theta +\mathrm{d}\theta$, un opérateur doit fournir le travail $\mathrm{d}W=M\mathrm{d}\theta =mB\sin \theta \mathrm{d}\theta$, qui est stocké sous forme d'énergie potentielle (le couple magnétique est conservatif: il ne dépend que de l'orientation). En intégrant, ; en choisissant pour , on obtient (7.16).

Le résultat (7.15), établi ici pour un rectangle, vaut pour toute spire plane: on peut la découper en une mosaïque de petits rectangles parcourus par le même courant, dont les côtés intérieurs, parcourus deux fois en sens contraires, ne contribuent pas. Seules comptent l'aire, le courant et l'orientation: la forme de la spire disparaît.

L'analogie avec le dipôle électrique du chapitre 2 est complète: un dipôle $\mathbf{p}$ dans un champ $\mathbf{E}$ subit $\mathbf{M}=\mathbf{p}\times \mathbf{E}$ et possède l'énergie $-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}$. Une petite spire de courant est un dipôle magnétique. La position $\theta =0$ ($\mathbf{m}$ parallèle à $\mathbf{B}$) est un équilibre stable, d'énergie minimale ; la position est un équilibre , d'énergie maximale . Il faut fournir pour retourner la spire. L'aiguille d'une boussole est un tel dipôle: son moment magnétique s'aligne sur le champ, ce qui est une manière précise de dire qu'elle indique la direction de . De même, les électrons, les protons et de nombreux noyaux possèdent un moment magnétique propre; dans un appareil d'IRM, c'est l'énergie des moments des protons de l'eau qui est sondée.

Le moteur à courant continu

Dans un moteur à courant continu, la bobine (le rotor) tourne entre les pôles d'un aimant ou d'un électroaimant (le stator). Pour que le couple garde toujours le même sens, le courant dans la bobine est inversé à chaque demi-tour, au moment où $\mathbf{m}$ passe par la direction de $\mathbf{B}$. C'est le rôle du collecteur: un anneau fendu en deux demi-bagues, solidaire de l'axe, sur lequel frottent deux contacts fixes, les balais, reliés à la source. À chaque demi-tour, les demi-bagues échangent leurs balais, le sens du courant s'inverse dans la bobine, $\mathbf{m}$ se retourne, et le couple repousse la bobine dans le même sens de rotation. Le couple d'une seule bobine varie encore comme $|\sin \theta |$; les moteurs réels répartissent plusieurs bobines à des angles différents, chacune avec ses lames de collecteur, de sorte que le couple total est presque constant.

Un moteur en rotation est aussi une bobine qui tourne dans un champ magnétique: il est le siège d'une force électromotrice qui s'oppose au courant qui l'alimente. Cette «force contre-électromotrice» ${\mathcal{E}}^{\prime }$ croît avec la vitesse de rotation; la source doit donc fournir, en plus de l'effet Joule, la puissance ${\mathcal{E}}^{\prime }I$ pour maintenir le courant, et c'est exactement cette puissance qui devient le travail mécanique du couple. C'est ainsi que l'énergie passe de la source à la charge, sans que la force magnétique sur les porteurs ne travaille. L'existence de cette force électromotrice découle de la loi de l'induction, établie au chapitre 9.

Le galvanomètre

Le galvanomètre à cadre mobile est l'ancêtre des ampèremètres et voltmètres à aiguille. Une bobine légère est enroulée sur un cadre qui tourne autour d'un noyau de fer cylindrique, entre deux pièces polaires creusées en arcs de cercle. Dans l'entrefer, le champ est radial: il est toujours dans le plan de la bobine, quelle que soit sa position, si bien que $\sin \theta =1$ en permanence et que le couple magnétique vaut $NIAB$, indépendamment de l'angle de rotation. Un ressort spiral exerce le couple de rappel $\kappa \phi$ proportionnel à l'angle de déviation $\phi$. À l'équilibre,

La déviation est proportionnelle au courant: l'échelle est linéaire, ce qui est tout l'intérêt du champ radial. Associé à une résistance en dérivation, le galvanomètre devient un ampèremètre; associé à une grande résistance en série, un voltmètre.

Synthèse

• Le champ magnétique est défini par la force qu'il exerce sur une charge en mouvement, $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$, loi expérimentale; avec le champ électrique, la force de Lorentz s'écrit $\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$. L'unité de $B$ est le tesla; le champ terrestre est de l'ordre de $50\mu$T. La direction de la force se lit par la règle de la main droite, puis le signe de $q$.

Exercices

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Références

• Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière Éducation, Montréal, chapitre sur le champ magnétique.
• Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, Pearson, chapitre «Magnetic Field and Magnetic Forces».
• Purcell, E. M. et Morin, D. J., Electricity and Magnetism, 3ᵉ éd., Cambridge University Press, chapitre 6.
• Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme 1, Dunod, Paris, chapitres 13 et 14.
• Benson, H., Physique 2 – Électricité et magnétisme, De Boeck, Bruxelles, chapitre sur le champ magnétique.
• Pérez, J.-P., Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod, Paris.