Circuits en courant alternatif · Physique générale II

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

décrire une tension ou un courant sinusoïdal par son amplitude, sa pulsation et sa phase, démontrer que sa valeur efficace vaut $U_{m} / 2$ et interpréter les «230 V, 50 Hz» de la prise suisse;
représenter une grandeur sinusoïdale par un phaseur (diagramme de Fresnel) et par une amplitude complexe $\underline{U}$ , et établir les impédances complexes d'une résistance, d'une bobine et d'un condensateur;
calculer l'amplitude et la phase du courant dans un circuit RLC série, déterminer sa fréquence de résonance, son facteur de qualité et sa bande passante, et expliquer la surtension aux bornes de la bobine et du condensateur;
établir l'analogie entre le circuit RLC série et l'oscillateur mécanique amorti et forcé;
calculer les puissances instantanée, active, réactive et apparente, démontrer $P = U_{eff} I_{eff} cos φ$ et expliquer pourquoi un faible facteur de puissance coûte cher au distributeur;
démontrer le rapport de transformation d'un transformateur idéal et justifier le transport de l'énergie électrique sous haute tension.

Grandeurs sinusoïdales

Pourquoi le courant alternatif?

Le réseau électrique européen distribue l'énergie sous forme de tensions et de courants qui s'inversent cent fois par seconde. Ce choix, qui s'est imposé à la fin du XIXe siècle, repose sur deux faits que nous connaissons déjà ou que ce chapitre établira. Le premier est que la machine la plus simple pour convertir un mouvement de rotation en énergie électrique, le générateur du chapitre 9 «Induction électromagnétique», produit naturellement une force électromotrice sinusoïdale: une bobine de $N$ spires et d'aire $A$ qui tourne à la pulsation $ω$ dans un champ $B$ uniforme voit un flux $N B A cos ω t$ et développe la f.é.m. $E (t) = N B A ω sin ω t$ . Le second est que seule une tension variable permet l'induction, donc le , cet appareil sans pièce mobile qui élève ou abaisse une tension avec un rendement proche de l'unité; et nous verrons à la fin du chapitre que transporter l'énergie sous haute tension divise les pertes en ligne par le carré du rapport des tensions.

Ce chapitre développe les outils qui rendent l'étude des circuits en régime sinusoïdal aussi simple que celle des circuits en courant continu du chapitre 6 «Courant électrique et circuits en courant continu»: les phaseurs et les impédances complexes. Il les applique au circuit RLC série, qui est l'oscillateur électrique par excellence, puis à la puissance et au transformateur. Tout au long du chapitre, nous supposons le régime sinusoïdal établi (ou permanent): les transitoires qui suivent la mise sous tension, étudiés pour le circuit RC au chapitre 6 et pour le circuit RL au chapitre 9, se sont éteints, et toutes les grandeurs oscillent à la pulsation de la source.

Amplitude, pulsation, phase

Ces notions sont exactement celles de l'oscillateur harmonique de Physique générale I, chapitre 7 «Oscillations», où la position s'écrivait $x (t) = A cos (ω_{0} t + φ)$ ; seule change la grandeur qui oscille. Deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation sont comparées par leur déphasage: si $u$ et $i$ ont les phases à l'origine $φ_{u}$ et , le déphasage de par rapport à est

φ = φ_{u} - φ_{i} . (10.2)

Si $φ > 0$ , la tension atteint son maximum avant le courant, d'un temps $φ / ω$ : on dit que $u$ est en avance sur $i$ . Si $φ < 0$ , $u$ est en retard sur $i$ . Pour $φ = 0$ , les deux grandeurs sont en phase; pour , elles sont ; pour , . Le déphasage n'est défini qu'à près; nous le prendrons toujours dans , et, pour les dipôles passifs de ce chapitre, il sera même compris entre et . Notez qu'un déphasage n'a de sens qu'entre deux grandeurs : entre deux sinusoïdes de fréquences différentes, la différence des phases varie avec le temps.

Valeur moyenne et valeur efficace

La valeur moyenne d'une tension sinusoïdale sur une période est nulle: elle passe autant de temps positive que négative. Un voltmètre à aiguille de type continu, qui mesure une moyenne, afficherait zéro sur une prise. Pourtant, une bouilloire branchée sur cette prise chauffe: la puissance Joule $u^{2} / R$ (chapitre 6) ne dépend pas du signe de $u$ . C'est cette observation qui fonde la grandeur que l'on utilise en pratique.

Démonstration. Calculons la moyenne de $u^{2}$ sur une période. La formule de duplication $cos^{2} θ = \frac{1}{2} (1 + cos 2 θ)$ donne

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} U_{m}^{2} cos^{2} (ω t + φ_{u}) d t = \frac{U _{m}^{2}}{2} + \frac{U _{m}^{2}}{2 T} \int_{0}^{T} cos (2 ω t + 2 φ_{u}) d t .

La seconde intégrale porte sur deux périodes entières du cosinus de pulsation $2 ω$ ; elle vaut $[sin (2 ω t + 2 φ_{u})]_{0}^{T} / (2 ω) = 0$ , puisque $2 ω T = 4 π$ . La moyenne du carré vaut donc , et sa racine d'après (10.3). Le raisonnement est identique pour le courant.

Le facteur $2$ n'est vrai que pour une sinusoïde: la valeur efficace d'une tension carrée d'amplitude $U_{m}$ est $U_{m}$ elle-même, et celle d'une tension triangulaire . C'est pourquoi les multimètres bon marché, qui mesurent en réalité une valeur moyenne redressée et la multiplient par le facteur propre à la sinusoïde, se trompent sur les signaux déformés; les appareils marqués «TRMS» () calculent réellement (10.3).

La prise suisse. Les «230 V» du réseau suisse et européen sont une valeur efficace. L'amplitude de la tension vaut donc

U_{m} = 2 \cdot 230 V = 325, 3 V,

à la fréquence $f = 50$ Hz, soit une pulsation $ω = 2 π f = 314, 2$ rad/s et une période $T = 20, 0$ ms. Quand on parle de «tension du réseau», de «courant de 10 A» ou d'un «fusible de 16 A», on parle toujours de valeurs efficaces; les isolants, eux, doivent tenir la valeur de crête.

Question 10.1

Sur l'écran d'un oscilloscope, une tension sinusoïdale varie entre $- 10, 0$ V et $+ 10, 0$ V (soit $20, 0$ V «crête à crête»). Quelle valeur afficherait un voltmètre mesurant la valeur efficace?

Phaseurs et amplitudes complexes

Le diagramme de Fresnel

Dans un circuit linéaire alimenté par une source sinusoïdale, toutes les tensions et tous les courants du régime établi oscillent à la même pulsation $ω$ . Ce qui les distingue, ce sont leurs amplitudes et leurs phases, et c'est tout ce qu'il faut suivre. Le physicien Augustin Fresnel a donné à cette remarque une forme géométrique: on associe à $u (t) = U_{m} cos (ω t + φ_{u})$ un vecteur du plan, le phaseur, de longueur $U_{m}$ et faisant l'angle avec un axe de référence. Lorsque varie, le vecteur tourne à la vitesse angulaire , et sa projection sur l'axe est : c'est exactement la construction du mouvement harmonique comme projection d'un mouvement circulaire uniforme (Physique générale I, chapitre 7).

Comme tous les phaseurs d'un même circuit tournent ensemble, leurs positions relatives ne changent pas: on les dessine figés à $t = 0$ , chacun avec l'angle $φ_{u}$ ou $φ_{i}$ . Et comme la projection d'une somme de vecteurs est la somme des projections, la somme de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation est représentée par la somme vectorielle de leurs phaseurs. Additionner deux tensions déphasées revient à additionner deux vecteurs, sans jamais écrire une formule de trigonométrie. Dans la pratique, on dessine souvent les phaseurs avec la longueur de la valeur efficace plutôt que de l'amplitude: toutes les longueurs sont alors divisées par $2$ , ce qui ne change ni les angles ni les sommes.

Les amplitudes complexes

La géométrie des phaseurs se traduit dans le plan complexe, où les calculs deviennent algébriques. Une remarque de notation d'abord.

L'égalité (10.5) découle de la formule d'Euler: $\underline{U} e^{j ω t} = U_{m} e^{j (ω t + φ_{u})} = U_{m} cos (ω t + φ_{u}) + j U_{m} sin (ω t + φ_{u})$ . Certains ouvrages d'électrotechnique prennent pour module la valeur efficace au lieu de l'amplitude; les formules ci-dessous ne changent pas, à l'exception de la puissance complexe, qui perd alors son facteur .

Trois propriétés font de cette représentation un outil de calcul. Soit $u = Re (\underline{U} e^{j ω t})$ et $v = Re (\underline{V} e^{j ω t})$ .

Linéarité. Pour des réels $a$ et $b$ , $a u + b v = Re ((a \underline{U} + b \underline{V}) e^{j ω t})$ : la combinaison linéaire à coefficients réels de deux sinusoïdes a pour amplitude complexe la combinaison des amplitudes complexes. C'est la somme des phaseurs du paragraphe précédent.

La conséquence est capitale: les lois de Kirchhoff, qui valent à chaque instant, valent pour les amplitudes complexes. Si la loi des mailles s'écrit $u_{1} (t) + u_{2} (t) + u_{3} (t) = u (t)$ à tout instant, la linéarité et l'unicité donnent ; de même pour la loi des nœuds. Une équation différentielle linéaire en régime sinusoïdal devient une équation algébrique en nombres complexes. C'est la méthode que Physique générale I, chapitre 7, a utilisée pour résoudre l'oscillateur forcé; nous en faisons un outil systématique.

Impédances de la résistance, de la bobine et du condensateur

Les trois dipôles élémentaires

Un dipôle linéaire parcouru par un courant sinusoïdal présente à ses bornes une tension sinusoïdale de même pulsation. Le rapport de leurs amplitudes complexes le caractérise entièrement.

L'impédance réunit en un seul nombre les deux informations utiles: son module donne le rapport des valeurs efficaces, comme une résistance en courant continu, et son argument donne le déphasage de la tension sur le courant.

Démonstration. Partons des relations instantanées, toutes écrites en convention récepteur, puis appliquons la règle de dérivation.

Résistance. La loi d'Ohm (chapitre 6), $u = R i$ , est une relation linéaire à coefficient réel: $\underline{U} = R \underline{I}$ par linéarité et unicité, d'où $\underline{Z}_{R} = R$ , réel positif, d'argument nul.

Bobine idéale. Une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable est le siège de la f.é.m. d'auto-induction $E = - L d i / d t$ (chapitre 9); en convention récepteur, la tension à ses bornes vaut $u = L d i / d t$ . La dérivation devient la multiplication par $j ω$ : $\underline{U} = j L ω \underline{I}$ . L'impédance a pour module et pour argument .

Condensateur. L'armature vers laquelle le courant $i$ est orienté porte la charge $q = C u$ (chapitre 5 «Condensateurs et diélectriques»), et la conservation de la charge donne $i = d q / d t = C d u / d t$ . En amplitudes complexes, $\underline{I} = j C ω \underline{U}$ , donc , de module et d'argument .

Le comportement en fréquence se lit sur les modules. La réactance d'une bobine, $L ω$ , est nulle en continu ( $ω = 0$ ), où la bobine idéale se comporte comme un simple fil, et croît sans limite avec la fréquence: aux hautes fréquences, la bobine s'oppose au passage du courant, parce qu'elle s'oppose à ses variations (loi de Lenz), et ces variations sont d'autant plus rapides que la fréquence est haute. Celle d'un condensateur, $1/ (C ω)$ , est infinie en continu, où le condensateur chargé bloque le courant (chapitre 6), et tend vers zéro aux hautes fréquences, où il se comporte comme un court-circuit: le courant n'a pas le temps de le charger avant de s'inverser.

Dipôle	Relation instantanée	Impédance $\underline{Z}$	Module	$φ$	Basses fréquences	Hautes fréquences
Résistance	$u = R i$	$R$	$R$	$0$	$R$

Associations d'impédances

Puisque les lois de Kirchhoff valent pour les amplitudes complexes et que chaque dipôle obéit à la «loi d'Ohm complexe» $\underline{U} = \underline{Z} \underline{I}$ , toutes les règles établies au chapitre 6 pour les résistances se transposent mot pour mot. Des dipôles en série sont parcourus par le même courant $\underline{I}$ et leurs tensions s'ajoutent:

\underline{Z}_{s \overset{e}{ˊ} rie} = \underline{Z}_{1} + \underline{Z}_{2} + \dots . (10.8)

Des dipôles en parallèle sont soumis à la même tension $\underline{U}$ et leurs courants s'ajoutent: $1/ \underline{Z}_{∥} = 1/ \underline{Z}_{1} + 1/ \underline{Z}_{2} + \dots$ , c'est-à-dire que les admittances s'ajoutent. La seule différence avec le courant continu est que ces sommes sont des sommes de : les modules ne s'ajoutent pas, et c'est ce qui rend possibles les phénomènes de ce chapitre.

Question 10.2

Un condensateur idéal est branché sur une source sinusoïdale. Quelle est la relation de phase entre le courant $i$ et la tension $u$ à ses bornes (convention récepteur)?

Le circuit RLC série

Le circuit témoin

Nous étudions désormais le circuit de la figure 10.1: une résistance $R$ , une bobine idéale d'inductance $L$ et un condensateur de capacité $C$ en série, alimentés par un générateur de tension sinusoïdale $u (t) = U_{m} cos ω t$ dont nous prenons la phase comme origine. Pour fixer les idées, nous utilisons tout au long du chapitre un circuit témoin:

R = 10, 0 Ω, L = 0, 100 H, C = 100 μ F, U_{eff} = 10, 0 V .

La source est un générateur de laboratoire réglable en fréquence, et non le réseau: nous verrons pourquoi cette précision n'est pas un détail.

Courant et déphasage

Démonstration. Par le calcul complexe. Les trois dipôles sont en série, parcourus par la même amplitude complexe $\underline{I}$ . D'après (10.7) et (10.8), la loi des mailles donne

\underline{U} = \underline{U}_{R} + \underline{U}_{L} + \underline{U}_{C} = [R + j (L ω - \frac{1}{C ω})] \underline{I} = \underline{Z} \underline{I} .

L'impédance $\underline{Z}$ a pour partie réelle $R > 0$ et pour partie imaginaire la réactance totale $X = L ω - 1/ (C ω)$ . Écrite sous forme polaire, $\underline{Z} = ∣ \underline{Z} ∣ e^{j φ}$ , elle a pour module (10.9) et pour argument l'angle de (10.10), qui est compris entre et parce que la partie réelle est positive. Avec (phase nulle), , et .

Par la géométrie du diagramme de Fresnel. Prenons le phaseur du courant, commun aux trois dipôles, comme référence horizontale (figure 10.2). D'après le théorème 10.2, le phaseur de $u_{R}$ est parallèle à celui du courant, de longueur $R I_{m}$ ; celui de $u_{L}$ est tourné de $+ π /2$ , de longueur $L ω I_{m}$ ; celui de est tourné de , de longueur . Les deux derniers sont colinéaires et de sens opposés: leur somme est verticale, de longueur algébrique . Le phaseur de est l'hypoténuse du triangle rectangle de côtés et ; le théorème de Pythagore donne , qui est (10.9), et l'angle de ce triangle au sommet donne , qui est (10.10).

Le signe de la réactance totale décide de la nature du circuit. Si $L ω > 1/ (C ω)$ , la bobine l'emporte: $φ > 0$ , la tension est en avance sur le courant, et le circuit est dit inductif. Si $L ω < 1/ (C ω)$ , le condensateur l'emporte: $φ < 0$ , le courant est en avance sur la tension, et le circuit est capacitif. Entre les deux se trouve la résonance.

La résonance

La figure 10.2 suggère qu'il existe une fréquence à laquelle les phaseurs de $u_{L}$ et de $u_{C}$ se compensent exactement. À cette fréquence, l'impédance se réduit à $R$ et le courant est maximal.

Démonstration. Maximum du courant. À $U_{eff}$ fixée, $I_{eff} = U_{eff} /∣ \underline{Z} ∣$ est maximal lorsque est minimal. Comme ne dépend pas de , il faut et il suffit que la réactance s'annule, ce qui arrive pour , soit . Alors , et .

Surtension. À la résonance, $U_{L} = L ω_{0} I_{eff} = (L ω_{0} / R) U_{eff}$ et . Les deux coefficients sont égaux, puisque est précisément la condition de résonance; en y reportant , on trouve , d'où les trois expressions de dans (10.12). Les phaseurs de et de sont de même longueur et de sens opposés: leur somme est nulle, et toute la tension de la source se retrouve aux bornes de .

Bande passante. $I_{eff} = I_{eff,max} / 2$ lorsque $∣ \underline{Z} ∣^{2} = 2 R^{2}$ , c'est-à-dire , soit . En multipliant par : . Chacune de ces deux équations du second degré a une seule racine positive,

ω_{1, 2} = \mp \frac{R}{2 L} + \frac{R ^{2}}{4 L ^{2}} + ω_{0}^{2},

d'où $ω_{2} - ω_{1} = R / L$ exactement et $ω_{1} ω_{2} = ω_{0}^{2}$ (produit avec ). Enfin . Entre et , et le courant dépasse ; au-dehors, il est inférieur.

Pour le circuit RLC série, la largeur de bande $R / L$ est exacte, sans l'approximation de faible amortissement que demandait l'oscillateur mécanique; elle est aussi symétrique au sens géométrique: $ω_{0}$ est la moyenne géométrique de $ω_{1}$ et $ω_{2}$ , non leur moyenne arithmétique. La courbe de résonance est donc légèrement dissymétrique, plus raide du côté des basses fréquences, comme le montre la figure 10.3.

La sélectivité mesurée par $Q$ est ce qui permet à un récepteur radio de choisir une station parmi toutes celles que capte son antenne: un circuit accordé de facteur de qualité élevé ne laisse passer qu'une bande étroite autour de sa fréquence de résonance, que l'on règle en faisant varier une capacité (exercice 10.4). À l'inverse, dans un réseau de puissance, une résonance accidentelle entre l'inductance des lignes et les condensateurs d'une installation est un danger que les ingénieurs doivent prévenir.

Explorateur 10.1 · Explorateur du circuit RLC série

Le circuit témoin ( $L = 0, 100$ H, $C = 100$ µF, source de $10, 0$ V efficaces) dont vous choisissez la fréquence $f$ et la résistance $R$ . À gauche, le diagramme de Fresnel, le courant servant de référence; à droite, la courbe de résonance $I_{eff} (f)$ et le point de fonctionnement. Passez la résonance à $50, 33$ Hz et regardez $U_{L}$ et $U_{C}$ dépasser la tension de la source, puis diminuez $R$ : le pic s'élève et s'affine. La somme des phaseurs reste égale à $10, 00$ V; la somme des valeurs efficaces, elle, n'a aucune raison de l'être.

Fréquence f (Hz)50,0

Résistance R (Ω)10,0

Impédance |Z|

10,01Ω

Déphasage φ de u sur i

−2,4°

Courant I_eff

0,999A

Puissance active P

9,98W

U_L et U_C (efficaces)

31,39 et 31,80V

Somme des phaseurs |U_R + U_L + U_C|

10,00V

Somme des valeurs efficaces U_R + U_L + U_C

73,18V

Facteur de qualité Q = √(L/C)/R

3,16

Question 10.3

Un circuit RLC série comporte une bobine de $10, 0$ mH et un condensateur de $1, 00$ µF. Calculez sa fréquence de résonance $f_{0}$ .

L'analogie avec l'oscillateur mécanique

Écrivons la loi des mailles du circuit RLC série à chaque instant, avec la charge $q$ de l'armature du condensateur vers laquelle le courant est orienté, de sorte que $i = d q / d t$ et $u_{C} = q / C$ :

L \frac{d ^{2} q}{d t ^{2}} + R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C} = u (t) . (10.14)

C'est, terme à terme, l'équation de l'oscillateur amorti et forcé de Physique générale I, chapitre 7 «Oscillations», $m \overset{x}{¨} + b \overset{x}{˙} + k x = F (t)$ . Toute la physique de ce chapitre-là se transpose donc au circuit, grâce au dictionnaire suivant.

Oscillateur mécanique	Circuit RLC série
position $x$	charge $q$
vitesse $v = \overset{x}{˙}$	courant $i = \overset{q}{˙}$
masse $m$ (inertie)	inductance

L'inductance joue le rôle de l'inertie: elle s'oppose aux variations du courant comme la masse s'oppose aux variations de la vitesse. Le condensateur joue le rôle du ressort: il emmagasine une énergie qui croît comme le carré de la «déformation» $q$ . La résistance dissipe l'énergie comme le frottement. Le facteur de qualité du circuit témoin, $Q = 3, 162$ , correspond à un taux d'amortissement $ζ = 1/ (2 Q) = 0, 158$ et à un coefficient $γ = R / (2 L) = 50$ s: circuit laissé à lui-même, il oscillerait librement à peine plus lentement qu'à , avec une enveloppe de constante de temps ms.

Deux nuances méritent d'être relevées, parce qu'elles éclairent Physique générale I sous un jour nouveau. D'abord, le courant est l'analogue de la vitesse, non de la position: c'est pourquoi la résonance en courant a lieu exactement à $ω_{0}$ , comme la puissance absorbée par l'oscillateur mécanique, tandis que l'amplitude de la charge, donc la tension $U_{C}$ , culmine un peu plus bas, à la pulsation $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 ζ^{2}$ de l'oscillateur mécanique (exercice 10.5). Ensuite, les déphasages se correspondent avec un décalage d'un quart de période: Physique générale I écrivait , retard de la position sur la force; ici, est l'avance de la tension sur le courant. La charge étant en retard de sur le courant, : à la résonance, et l'on retrouve le retard de de la position sur la force.

L'analogie a longtemps été utilisée dans le sens inverse: avant les ordinateurs numériques, les ingénieurs étudiaient les vibrations d'une structure en câblant le circuit électrique équivalent, plus facile à construire et à mesurer qu'une maquette mécanique. C'est le principe des «calculateurs analogiques».

Puissance en régime sinusoïdal

Puissance instantanée et puissance active

La puissance électrique reçue par un dipôle en convention récepteur est, à chaque instant, $p (t) = u (t) i (t)$ (chapitre 6). En régime sinusoïdal, elle varie au cours de la période; c'est sa moyenne qui intéresse le distributeur, le compteur et le radiateur.

Démonstration. La formule de trigonométrie $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ avec $a = ω t + φ_{u}$ et donne

p (t) = \frac{U _{m} I _{m}}{2} [cos (φ_{u} - φ_{i}) + cos (2 ω t + φ_{u} + φ_{i})],

et $U_{m} I_{m} /2 = (U_{m} / 2) (I_{m} / 2) = U_{eff} I_{eff}$ d'après le théorème 10.1: c'est (10.15). Le premier terme est constant. Le second oscille à la pulsation et sa moyenne sur une période , qui contient deux de ses périodes, est nulle, exactement comme dans la démonstration du théorème 10.1. Il reste .

Pour la seconde forme, $U_{eff} = ∣ \underline{Z} ∣ I_{eff}$ et $cos φ = R_{e} /∣ \underline{Z} ∣$ (partie réelle d'un complexe divisée par son module), d'où .

Appliqué aux dipôles élémentaires, le théorème donne trois résultats qui résument la physique de l'énergie en courant alternatif. Une résistance ( $φ = 0$ ) reçoit $P = U_{eff} I_{eff} = R I_{eff}^{2}$ : c'est la loi de Joule en valeurs efficaces, que l'exemple 10.1 illustrait. Une bobine idéale ou un condensateur () reçoivent une puissance active : leur puissance instantanée est purement oscillante. Pendant un quart de période, la bobine emmagasine l'énergie dans son champ magnétique (chapitre 9); pendant le quart suivant, elle la restitue. Le condensateur fait de même avec l'énergie de son champ électrique (chapitre 5). Dans le circuit RLC série à la résonance, les deux échanges sont exactement en opposition: l'énergie passe de la bobine au condensateur et retour, et la source ne fournit que ce que la résistance dissipe.

Le circuit témoin à 50 Hz. Avec $U_{eff} = 10, 0$ V, $I_{eff} = 0, 9991$ A et $cos φ = cos (- 2, 377°) = 0, 9991$ , la formule (10.16) donne W. La seconde forme donne le même résultat par un autre chemin: W. À la résonance, W, la valeur maximale.

Puissances réactive et apparente

Le produit des valeurs efficaces et le «reste» de la puissance instantanée ont eux aussi un nom et une unité, parce qu'ils dimensionnent les installations.

L'identité (10.19) se vérifie en une ligne: $\frac{1}{2} \underline{U} \underline{I}^{*} = \frac{1}{2} U_{m} I_{m} e^{j (φ_{u} - φ_{i})} = U_{eff} I_{eff} (cos φ + j sin φ)$ . Les électrotechniciens notent la puissance réactive ; nous lui ajoutons l'indice r pour ne pas la confondre avec le facteur de qualité. De même, la lettre de la puissance apparente, scalaire, ne doit pas être confondue avec le vecteur de Poynting du chapitre 11 «Équations de Maxwell», qui est une densité de flux d'énergie. La puissance réactive est positive pour un dipôle inductif, qui «consomme» du réactif, et négative pour un dipôle capacitif, qui en «fournit»; elle mesure l'amplitude de l'énergie échangée à chaque demi-période entre la source et les éléments qui stockent l'énergie, sans consommation nette. Pour le circuit témoin à Hz: VA et var (capacitif). On vérifie VA, et la puissance complexe calculée directement donne les mêmes valeurs.

Le facteur de puissance et le distributeur

Pourquoi un distributeur d'électricité se soucie-t-il du déphasage chez ses clients, alors que son compteur mesure l'énergie active? Considérons une installation qui doit recevoir une puissance active $P$ sous une tension efficace $U$ fixée par le réseau. Le courant qu'elle tire vaut

I_{eff} = \frac{P}{U _{eff} cos φ},

d'autant plus grand que le facteur de puissance est faible. Or ce courant parcourt les lignes, les câbles et les transformateurs du distributeur, dont la résistance $R_{ℓ}$ dissipe $R_{ℓ} I_{eff}^{2} \propto 1/ cos^{2} φ$ . À puissance active égale, une installation de facteur de puissance provoque des pertes en ligne fois plus élevées que si elle était purement résistive, et elle occupe deux fois plus de la capacité thermique des équipements. Ces pertes et ce surdimensionnement, le distributeur les paie sans les facturer au compteur d'énergie active. C'est pourquoi les tarifs appliqués aux clients industriels comprennent en général une facturation de l'énergie réactive au-delà d'un seuil, souvent exprimé par un facteur de puissance minimal de l'ordre de ; le détail varie d'un distributeur à l'autre.

La plupart des charges industrielles, moteurs asynchrones et ballasts en tête, sont inductives. Le remède est donc d'ajouter en parallèle des condensateurs de compensation, dont la puissance réactive négative compense celle des moteurs: la puissance active est inchangée, mais le courant tiré sur le réseau diminue. Le problème guidé de ce chapitre dimensionne une telle batterie.

Question 10.4

Une machine alimentée sous $230$ V efficaces tire un courant efficace de $5, 00$ A avec un facteur de puissance $cos φ = 0, 80$ . Quelle est sa puissance active?

Le transformateur

Le transformateur idéal

Un transformateur est formé de deux enroulements, le primaire de $N_{1}$ spires et le secondaire de $N_{2}$ spires, bobinés sur un même noyau de fer feuilleté qui canalise les lignes de champ magnétique. Le primaire est relié à la source, le secondaire à la charge. Aucun contact électrique ne les relie: toute l'énergie passe par le champ magnétique du noyau, par induction mutuelle. Le chapitre 9 a introduit l'inductance mutuelle $M$ de deux circuits couplés, qui est une réutilisation déclarée de la lettre $M$ (moment d'une force en Physique générale I); le transformateur idéal en est la limite d'un couplage parfait.

Démonstration. Tensions. D'après la loi de Faraday (chapitre 9), l'enroulement primaire, dont les $N_{1}$ spires embrassent chacune le flux $Φ_{B}$ , est le siège de la f.é.m. $- N_{1} d Φ_{B} / d t$ . Sa résistance étant nulle, la tension appliquée compense exactement cette f.é.m.: en convention récepteur, . Le secondaire, dont les spires embrassent le flux par l'hypothèse (i), délivre en convention générateur, avec l'orientation choisie, . Le rapport des deux donne à chaque instant, quelle que soit la forme du flux.

Courants. Appliquons le théorème d'Ampère (chapitre 8 «Sources du champ magnétique») à un contour qui suit le noyau. Le primaire le traverse $N_{1}$ fois avec le courant $i_{1}$ , le secondaire $N_{2}$ fois avec le courant $i_{2}$ , orienté en sens inverse par la convention générateur; dans un matériau de perméabilité relative , la circulation de le long du contour vaut donc . Par l'hypothèse (iv), à fini, et le membre de gauche tend vers zéro: , soit .

Puissance et impédance. En multipliant les deux rapports, $u_{2} i_{2} = u_{1} i_{1}$ : la puissance reçue par le primaire est intégralement transmise au secondaire, ce qui est cohérent avec les hypothèses (ii) et (iii). Enfin, si la charge impose $\underline{U}_{2} = \underline{Z}_{2} \underline{I}_{2}$ , alors .

Le transformateur élève la tension ( $m > 1$ ) en abaissant le courant dans le même rapport, ou l'inverse; il ne crée pas d'énergie. Il ne fonctionne qu'en régime variable: une tension continue au primaire produirait un flux constant, donc aucune tension au secondaire, et, faute de réactance pour le limiter, un courant que seule la résistance réelle du fil bornerait. Les transformateurs réels s'approchent remarquablement du modèle idéal: les gros transformateurs des sous-stations ont des rendements supérieurs à $99 %$ . Leurs pertes, faibles en proportion, représentent néanmoins pour les plus puissants une chaleur qu'il faut évacuer, d'où leur refroidissement par circulation d'huile.

Question 10.5

Le primaire d'un transformateur idéal compte $2000$ spires et reçoit $230$ V efficaces. Combien de spires faut-il au secondaire pour obtenir $11, 5$ V efficaces?

Le transport de l'énergie sous haute tension

Une centrale produit une puissance $P$ qu'il faut acheminer jusqu'aux consommateurs par des lignes de résistance $R_{ℓ}$ . Supposons, pour simplifier, une charge résistive ( $cos φ = 1$ ) et une ligne monophasée. Sous la tension $U$ , le courant en ligne vaut $I = P / U$ et les pertes Joule

P_{pertes} = R_{ℓ} I^{2} = \frac{R _{ℓ} P ^{2}}{U ^{2}} . (10.21)

À puissance transportée fixée, les pertes sont inversement proportionnelles au carré de la tension. Multiplier la tension par dix divise les pertes par cent. C'est l'argument décisif du courant alternatif: le transformateur permet d'élever la tension à la sortie de la centrale, de transporter sous plusieurs centaines de kilovolts, puis de redescendre par étapes jusqu'aux $230$ V domestiques, là où la sécurité l'exige. Le réseau suisse de transport fonctionne ainsi à $380$ kV et $220$ kV, les réseaux régionaux à quelques dizaines de kilovolts.

Le réseau des CFF à 16,7 Hz

Les chemins de fer suisses, comme ceux d'Allemagne, d'Autriche, de Suède et de Norvège, alimentent leurs locomotives sous $15$ kV efficaces à la fréquence de $16, 7$ Hz, et non à $50$ Hz. L'amplitude de cette tension vaut $2 \cdot 15$ kV $= 21, 2$ kV. Ce choix historique tient aux moteurs de traction du début du XXe siècle, des moteurs à collecteur alimentés en courant alternatif monophasé, qui fonctionnaient mal à fréquence élevée; il a été conservé parce que tout le réseau ferroviaire, lignes de contact, sous-stations et locomotives, a été construit pour lui. Les CFF exploitent donc un réseau électrique distinct, alimenté par leurs propres centrales et par des convertisseurs de fréquence reliés au réseau à Hz.

La basse fréquence a une conséquence que le théorème 10.6 permet de chiffrer. La tension d'un enroulement vaut $u = N d Φ_{B} / d t$ ; pour un flux sinusoïdal $Φ_{B} = B_{m} A cos ω t$ à travers un noyau de section , son amplitude vaut . Le champ maximal est limité par la saturation du fer. À tension égale, le produit doit donc être inversement proportionnel à la fréquence: un transformateur à Hz demande, à tension et champ égaux, environ trois fois plus de spires ou de section de fer () qu'à Hz. C'est pourquoi le transformateur embarqué d'une locomotive, qui abaisse les kV de la ligne de contact, compte parmi ses composants les plus lourds.

Synthèse

Grandeurs sinusoïdales: $u (t) = U_{m} cos (ω t + φ_{u})$ , période $T = 2 π / ω$ ; le déphasage $φ = φ_{u} - φ_{i}$ indique l'avance de la tension sur le courant. La valeur efficace est la racine de la moyenne du carré; pour une sinusoïde, . La prise suisse: V efficaces, V d'amplitude, Hz.

Série d'exercices du chapitre 10Exercice 1 sur 5

Question 10.6

Aux très hautes fréquences, comment se comportent une bobine idéale et un condensateur idéal?

Problème guidé 10.1 · Relever le facteur de puissance d'un atelier

Un moteur d'atelier est alimenté par le réseau monophasé à $230$ V efficaces et $50$ Hz. Il absorbe une puissance active $P = 2, 00$ kW avec un facteur de puissance $cos φ = 0, 800$ , inductif. On veut brancher en parallèle sur le moteur un condensateur qui ramène le facteur de puissance de l'ensemble à $1$ .

Courant avant compensation

Question

Quel est le courant efficace tiré sur le réseau par le moteur seul?

Puissance réactive du moteur

Capacité de compensation

Courant après compensation

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 10.1 · Somme de deux tensions déphasées

Deux générateurs de même fréquence sont branchés en série. Leurs tensions valent $u_{1} (t) = 12, 0 cos (ω t + 30°)$ V et $u_{2} (t) = 8, 00 cos (ω t - 45°)$ V. Déterminez l'amplitude, la phase à l'origine et la valeur efficace de la tension totale , d'abord par les amplitudes complexes, puis par la géométrie du diagramme de Fresnel.

Exercice 10.2 · Mesurer l'inductance d'une bobine réelle

Une bobine réelle se modélise par une inductance $L$ en série avec la résistance $R$ de son fil. Sous une tension continue de $12, 0$ V, elle est parcourue par $0, 400$ A. Sous une tension sinusoïdale de $12, 0$ V efficaces à $50, 0$ Hz, le courant efficace n'est plus que de $0, 240$ A. Déterminez $R$ , , le déphasage et la puissance active absorbée en alternatif.

Exercice 10.3 · Transformateur pour lampe halogène

Un transformateur, supposé idéal, alimente sous $12, 0$ V efficaces une lampe halogène de $50, 0$ W, assimilée à une résistance pure, à partir du réseau à $230$ V. Son primaire compte $1150$ spires. Déterminez le nombre de spires du secondaire, les courants efficaces au secondaire et au primaire, et la résistance de la lampe vue du primaire. Vérifiez ce dernier résultat par un bilan de puissance.

Solution

Spires. $N_{2} = N_{1} U_{2} / U_{1} = 1150 \cdot 12, 0/230 = 60$ spires, soit .

Exercice 10.4 · Accorder un récepteur radio

Le circuit d'accord d'un récepteur de radio en ondes moyennes est un circuit RLC série formé d'une bobine de $250$ µH, de résistance $5, 00 Ω$ , et d'un condensateur variable. (a) Quelle capacité faut-il pour accorder le circuit sur une station émettant à $1, 00$ MHz? (b) Calculez le facteur de qualité et la bande passante. (c) Une station voisine émet à $1, 01$ MHz avec la même tension induite dans l'antenne. Par quel facteur son courant est-il réduit par rapport à celui de la station accordée, et par quel facteur sa puissance?

Solution

(a) $C = \frac{1}{( 2 π f _{0} ) ^{2} L} = \frac{1}{( 2 π \cdot 1 0 ^{6} ) ^{2} \cdot 250 \cdot 1 0 ^{- 6}} = 101, 3$ pF.

Exercice 10.5 · Maximum de la tension aux bornes du condensateur

Dans le circuit RLC série alimenté sous $U_{eff}$ fixée, la tension efficace $U_{C}$ aux bornes du condensateur n'est pas maximale à $ω_{0}$ . (a) Montrez que, si , elle est maximale pour

Références

Halliday, Resnick & Walker, Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière (chapitre sur les oscillations électromagnétiques et le courant alternatif).
Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, Pearson (chapitres «Inductance» et «Alternating Current»).
Purcell & Morin, Electricity and Magnetism, 3ᵉ éd., Cambridge University Press (chapitre 8, circuits en courant alternatif).
Feynman, Leighton & Sands, Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme, vol. 1, Dunod (chapitres sur les circuits en courant alternatif et l'induction).
Benson, Physique 2 – Électricité et magnétisme, De Boeck.
Pérez, Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod.