Équations de Maxwell

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

montrer, sur un condensateur qui se charge, que le théorème d'Ampère du chapitre 8 est contradictoire hors du régime permanent, et expliquer comment le courant de déplacement $ε_{0} d Φ_{E} / d t$ lève la contradiction;
calculer le champ magnétique entre les armatures d'un condensateur circulaire en charge, à l'intérieur ( $B \propto r$ ) comme à l'extérieur ( $B \propto 1/ r$ );
énoncer les quatre équations de Maxwell sous forme intégrale, avec leurs conventions d'orientation, et dire de quel chapitre chacune provient;
passer de la forme intégrale à la forme locale à l'aide de la divergence, du rotationnel et des théorèmes de la divergence et de Stokes;
déduire la conservation de la charge (équation de continuité) des équations de Maxwell;
écrire la densité d'énergie électromagnétique et le théorème de Poynting, et vérifier sur un fil résistif que l'énergie dissipée $R I^{2}$ entre par sa surface latérale.

Ce que nous savons déjà

Dix chapitres ont établi, loi après loi, comment les charges et les courants créent des champs et comment ces champs agissent sur les charges. Avant d'aller plus loin, rassemblons les lois de champ que nous avons rencontrées. Elles sont au nombre de quatre, et chacune porte sur une intégrale de champ sur un bord: le flux à travers une surface fermée, ou la circulation le long d'une courbe fermée.

La loi de Gauss (chapitre 3). Le flux du champ électrique sortant d'une surface fermée $S$ est la charge intérieure divisée par $ε_{0}$ :

\iint_{S} E \cdot n d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}} .

Le chapitre 3 l'a démontrée pour une charge ponctuelle par l'argument de l'angle solide, puis étendue par superposition; elle a donné en quelques lignes le champ de la sphère chargée témoin, $E = 4494$ V/m à sa surface.

L'absence de charge magnétique (chapitre 8). Les lignes de champ magnétique n'ont ni origine ni fin: aucun «pôle» isolé n'a jamais été observé, et le flux de $B$ sortant de toute surface fermée est nul,

\iint_{S} B \cdot n d S = 0.

La loi de Faraday (chapitre 9). Un flux magnétique qui varie crée une force électromotrice le long de toute courbe fermée $C$ qui l'enlace:

E = \oint_{C} E \cdot d r = - \frac{d Φ _{B}}{d t} .

Le signe moins est celui de Lenz: la f.é.m. s'oppose à la variation du flux. C'est cette loi qui fait tourner l'économie électrique, du générateur de $E_{m} = 125, 7$ V du chapitre 9 aux transformateurs des sous-stations.

Le théorème d'Ampère (chapitre 8). En régime permanent, la circulation de $B$ le long d'une courbe fermée est $μ_{0}$ fois le courant qui la traverse:

\oint_{C} B \cdot d r = μ_{0} I_{enl} . (11.1)

Il a donné le champ du fil témoin — $40, 0 μ$ T à $5, 00$ cm d'un fil parcouru par $10, 0$ A — et celui du solénoïde, $5, 027$ mT.

Dans ces lois, $\oint_{C} F \cdot d r$ désigne la circulation de $F$ le long de $C$ et $\iint_{Σ} F \cdot n d S$ son à travers la surface , avec les notations qu'utilise l'Analyse III. Ni l'un ni l'autre n'a de sens sans une , et c'est de là que vient la plupart des erreurs de signe de l'électromagnétisme. Fixons-les une fois pour toutes pour ce chapitre:

une surface fermée est orientée par sa normale sortante $n$ , qui pointe vers l'extérieur du volume qu'elle enferme;
une surface ouverte $Σ$ bordée par une courbe $C$ reçoit une normale $n$ choisie librement, et $C$ est alors parcourue selon la règle de la main droite: pouce selon $n$ , les doigts s'enroulent dans le sens de parcours. Les flux $Φ_{B}$ et $Φ_{E}$ de Faraday et d'Ampère se calculent à travers une telle surface, et le courant est compté positivement s'il traverse dans le sens de .

Une dernière remarque, qui va compter. La loi de Faraday et le théorème d'Ampère parlent d'une courbe $C$ , mais leur membre de droite est une intégrale sur une surface bordée par $C$ . Or une courbe fermée borde une infinité de surfaces: un disque plat, une calotte, un sac aussi profond qu'on veut. Le membre de gauche, lui, ne dépend que de la courbe. Une telle loi n'a donc de sens que si son membre de droite a la même valeur pour toutes les surfaces bordées par la même courbe. Pour la loi de Faraday, c'est garanti par l'absence de charge magnétique: deux surfaces de même bord forment ensemble une surface fermée, dont le flux de $B$ est nul, donc elles ont le même flux (l'exercice 11.5, parmi les exercices corrigés de fin de chapitre, fait ce raisonnement en détail). Pour le théorème d'Ampère, nous allons voir que ce n'est pas garanti.

Une contradiction: le condensateur qui se charge

Une boucle, deux surfaces

Considérons un condensateur plan qu'un courant $I$ est en train de charger: un fil amène les charges positives sur l'armature de gauche, un autre emporte les charges positives de l'armature de droite, qui se charge donc négativement. L'armature de gauche porte la charge $+ Q (t)$ , celle de droite $- Q (t)$ , et par conservation de la charge

\frac{d Q}{d t} = I .

Entre les armatures règne le champ du chapitre 5, dirigé de $+ Q$ vers $- Q$ , qui croît à mesure que la charge s'accumule. Aucune charge ne franchit l'espace entre les armatures: il n'y a là que du vide (ou de l'air), et un champ.

Entourons le fil d'alimentation d'une boucle circulaire $C$ , orientée selon la règle de la main droite autour de la normale $n$ dirigée dans le sens du courant (figure 11.1). Deux surfaces bordées par $C$ s'offrent naturellement:

la surface plane $Σ_{1}$ , le disque tendu sur la boucle; le fil la traverse, dans le sens de $n$ ;
la surface $Σ_{2}$ en forme de sac, qui part de la même boucle, contourne l'armature de gauche et passe entre les armatures; aucun fil ne la traverse, puisque le courant s'arrête sur l'armature. Sa normale, choisie en accord avec l'orientation de $C$ , pointe elle aussi vers la droite dans l'intervalle entre les armatures.

Démonstration. Le membre de gauche de (11.1) est la circulation, à l'instant $t$ , du champ magnétique qui existe à cet instant le long de la courbe $C$ : c'est un nombre, qui ne dépend que de la courbe. Appliquons (11.1) avec la surface $Σ_{1}$ : le fil la traverse dans le sens de $n$ , donc $I_{enl} (Σ_{1}) = I$ et

\oint_{C} B \cdot d r = μ_{0} I .

Appliquons-le avec $Σ_{2}$ : aucune charge ne la traverse, donc $I_{enl} (Σ_{2}) = 0$ et

\oint_{C} B \cdot d r = 0.

Les deux membres de gauche sont le même nombre; donc $μ_{0} I = 0$ , soit $I = 0$ . $□$

Or le courant de charge n'est pas nul: on le mesure avec un ampèremètre. Le théorème d'Ampère, sous la forme du chapitre 8, ne peut donc pas valoir hors du régime permanent. Ce n'est pas une surprise complète: le chapitre 8 l'a établi pour des courants constants, et c'est précisément là que la charge ne s'accumule nulle part.

Le diagnostic se précise si l'on regarde les deux surfaces ensemble. Réunies, $Σ_{1}$ et $Σ_{2}$ forment une surface fermée $S$ qui enferme l'armature de gauche. Sur $Σ_{2}$ , dans l'intervalle, la normale $n$ pointe hors du volume enfermé: c'est la normale sortante de $S$ . Sur , elle pointe vers l'armature, donc le volume: la normale sortante y est . Le courant qui sort de vaut donc : du courant entre dans et n'en ressort pas, parce que la charge intérieure augmente. Le théorème d'Ampère exige, lui, que le courant net sortant de toute surface fermée soit nul — il interdit à la charge de s'accumuler où que ce soit. Il est incompatible avec la conservation de la charge dès que la charge intérieure d'une région change.

Le courant de déplacement

La loi de Gauss, elle, voit la charge qui s'accumule. Appliquons-la à la surface fermée $S = Σ_{1} \cup Σ_{2}$ , en exprimant les flux avec la normale $n$ qu'induit l'orientation de $C$ et en tenant compte du retournement sur $Σ_{1}$ :

\iint_{S} E \cdot n_{sort} d S = Φ_{E} (Σ_{2}) - Φ_{E} (Σ_{1}) = \frac{Q ( t )}{ε _{0}} .

Dérivons par rapport au temps, les surfaces étant fixes:

\frac{d Φ _{E} ( Σ _{2} )}{d t} - \frac{d Φ _{E} ( Σ _{1} )}{d t} = \frac{1}{ε _{0}} \frac{d Q}{d t} = \frac{I}{ε _{0}} .

Multiplions par $ε_{0}$ et regroupons chaque surface d'un côté, en rappelant que $I_{enl} (Σ_{1}) = I$ et $I_{enl} (Σ_{2}) = 0$ :

I_{enl} (Σ_{1}) + ε_{0} \frac{d Φ _{E} ( Σ _{1} )}{d t} = I_{enl} (Σ_{2}) + ε_{0} \frac{d Φ _{E} ( Σ _{2} )}{d t} . (11.2)

Voilà la grandeur qui ne dépend pas de la surface: non pas le courant enlacé seul, mais le courant enlacé augmenté de $ε_{0}$ fois la dérivée du flux électrique. Sur $Σ_{1}$ , c'est le courant du fil qui compte (le flux électrique à travers le disque, loin des armatures, est faible); sur $Σ_{2}$ , c'est la variation du flux électrique entre les armatures. Les deux termes se relaient exactement. C'est l'observation de James Clerk Maxwell, et elle conduit à la définition suivante.

Maxwell a fait de (11.2) une loi générale: on ajoute le courant de déplacement au courant de conduction dans le théorème d'Ampère, pour toute courbe et à tout instant.

Cette loi n'est pas démontrée: elle est postulée, comme la loi de Biot–Savart ou celle de Faraday. Le raisonnement qui précède montre qu'elle est la correction la plus simple qui rende le théorème d'Ampère compatible avec la loi de Gauss et la conservation de la charge; il ne montre pas qu'elle est vraie. En régime permanent, le champ électrique ne varie pas, le terme ajouté est nul et l'on retrouve exactement le théorème du chapitre 8, qui garde toutes ses applications.

Sur quoi repose la loi de Maxwell–Ampère

Maxwell n'a pas mesuré le courant de déplacement: il l'a introduit parce que la théorie l'exigeait. Sa mesure directe est difficile, parce que le champ magnétique qu'il produit dans un condensateur de laboratoire est de l'ordre du microtesla ou moins (exemple 11.1), cinquante fois plus faible que le champ terrestre. La confirmation décisive est venue d'ailleurs: le terme ajouté prédit que des champs électrique et magnétique variables s'entretiennent l'un l'autre et se propagent dans le vide, à une vitesse calculable à partir de $ε_{0}$ et $μ_{0}$ . Heinrich Hertz a produit et détecté ces ondes à Karlsruhe à la fin des années 1880, et toutes les télécommunications depuis en sont la vérification quotidienne. C'est l'objet du chapitre 12.

Le courant de déplacement n'est pas un courant de charges

Le nom est historique et trompeur. Entre les armatures d'un condensateur à vide, aucune charge ne se déplace: il n'y a qu'un champ électrique qui varie. Le «courant de déplacement» est un terme de la loi de Maxwell–Ampère qui a la dimension d'un courant et qui, dans le calcul de la circulation de $B$ , joue le même rôle que le courant de conduction. Il ne transporte pas de charge, un ampèremètre inséré entre les armatures ne mesurerait rien, et il n'y dissipe aucune chaleur par effet Joule. (Maxwell l'imaginait comme un déplacement de charges dans un «éther» élastique; l'image a disparu avec l'éther, le terme est resté.) Dans un diélectrique, une petite partie de ce terme correspond bien à un léger déplacement des charges liées (la polarisation du chapitre 5), mais la partie $ε_{0} \partial E / \partial t$ existe aussi dans le vide parfait, où il n'y a rien à déplacer.

Question 11.1

Un condensateur plan à vide est chargé par un courant constant $I$ . Laquelle de ces affirmations est correcte?

Le condensateur à armatures circulaires

La loi de Maxwell–Ampère s'utilise exactement comme le théorème d'Ampère: on choisit une courbe sur laquelle la symétrie rend $B$ tangent et de norme constante, et la circulation se réduit à un produit. La seule nouveauté est qu'il faut compter, en plus du courant de conduction, le flux électrique qui varie.

Prenons un condensateur dont les armatures sont deux disques de rayon $a$ , distants de $d ≪ a$ , reliés à des fils rectilignes sur leur axe commun. On néglige les effets de bord: entre les armatures, le champ électrique est uniforme, perpendiculaire aux armatures, de norme

E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{Q}{ε _{0} π a ^{2}},

et il est nul à l'extérieur (chapitre 5). Pendant la charge, $d Q / d t = I$ , donc

\frac{\partial E}{\partial t} = \frac{I}{ε _{0} π a ^{2}}, J_{D} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} = \frac{I}{π a ^{2}} :

la densité de courant de déplacement est uniforme sur la section des armatures, et son intégrale sur toute la section vaut exactement $I$ . Le courant «se poursuit» entre les armatures sous forme de courant de déplacement, avec la même intensité.

La symétrie. La situation est invariante par rotation autour de l'axe. Comme autour d'un fil (chapitre 8), $B$ est donc tangent aux cercles centrés sur l'axe, $B = B (r) e_{θ}$ , où $r$ est la distance à l'axe et $e_{θ}$ le vecteur unitaire orthoradial, orienté par la règle de la main droite autour du sens du courant. Prenons pour courbe $C$ le cercle de rayon situé dans le plan médian, parcouru selon , et pour surface le disque plat qu'il borde, de normale dans le sens du courant. Aucun fil ne traverse ce disque; seul le flux électrique y varie. La circulation vaut .

À l'intérieur ( $r \leq a$ ), le disque ne reçoit le champ électrique que sur son aire $π r^{2}$ : $Φ_{E} = E π r^{2}$ , et (11.4) donne

2 π r B (r) = μ_{0} ε_{0} π r^{2} \frac{\partial E}{\partial t} = μ_{0} I \frac{r ^{2}}{a ^{2}} ⟹ B (r) = \frac{μ _{0} I r}{2 π a ^{2}} . (11.5)

À l'extérieur ( $r \geq a$ ), le disque reçoit tout le flux, $Φ_{E} = E π a^{2} = Q / ε_{0}$ , et

2 π r B (r) = μ_{0} ε_{0} \frac{d}{d t} (\frac{Q}{ε _{0}}) = μ_{0} I ⟹ B (r) = \frac{μ _{0} I}{2 π r} . (11.6)

C'est exactement le champ d'un fil infini parcouru par $I$ . Loin du condensateur, rien ne distingue le courant de déplacement d'un courant de conduction; il n'y a pas de «trou» dans le champ magnétique au niveau du condensateur. Au bord, $r = a$ , les deux formules donnent $μ_{0} I / (2 π a)$ : le champ est continu, et c'est son maximum. Le profil est celui du fil épais uniformément parcouru, avec la section des armatures dans le rôle de la section du fil.

L'explorateur ci-dessous reprend cet exemple. Déplacez la boucle de l'axe vers l'extérieur et observez le point parcourir la droite, puis l'hyperbole; changez ensuite le rayon des armatures. Le champ à l'extérieur ne bouge pas: il ne dépend que du courant qui charge le condensateur, comme celui d'un fil ne dépend pas de l'épaisseur du fil.

Explorateur 11.1 · Champ magnétique entre les armatures d'un condensateur qui se charge

Déplacez la boucle de rayon $r$ depuis l'axe jusqu'au-delà du bord des armatures: tant que $r < a$ , elle n'enlace qu'une fraction $r^{2} / a^{2}$ du courant de déplacement et $B$ croît linéairement; au-delà, elle l'enlace en entier et $B$ décroît en $1/ r$ . Changez ensuite le rayon $a$ des armatures: à l'extérieur, $B$ ne bouge pas — il ne dépend que du courant $I$ qui charge le condensateur.

Rayon de la boucle r5,0cm

Rayon des armatures a10,0cm

Courant de charge I1,0A

Courant de déplacement enlacé ε₀ dΦ_E/dt

0,250A

Part du courant de déplacement enlacée

25,0 %

B(r)

1,000µT

B au bord des armatures (maximum)

2,000µT

Position de la boucle

entre les armatures: B croît comme r

Question 11.2

Le condensateur de l'exemple 11.1 (armatures de rayon $a = 10, 0$ cm) est maintenant chargé par un courant $I = 0, 500$ A. Quel est le champ magnétique dans le plan médian, à $r = 8, 00$ cm de l'axe, en microteslas?

Quand le courant de déplacement compte-t-il?

Dans l'intervalle d'un condensateur, le courant de déplacement est tout: il n'y a pas de courant de conduction. Dans un fil de cuivre, c'est l'inverse, et il est utile de savoir de combien.

Les quatre équations sous forme intégrale

Avec la correction de Maxwell, les quatre lois de champ forment un système complet. On les appelle les équations de Maxwell, bien que trois d'entre elles soient antérieures à Maxwell: sa contribution est le terme de déplacement, et la vision d'ensemble.

Leur provenance dans ce cours, et ce que chacune dit en mots:

Équation	Chapitre	Ce qu'elle dit
Gauss	3	les charges sont les sources de $E$
Flux magnétique nul	8	$B$ n'a pas de sources: pas de monopôle
Faraday	9	un $B$ variable fait circuler $E$
Maxwell–Ampère	8 et 11	un courant ou un $E$ variable fait circuler $B$

Trois remarques sur ce système.

Il est presque symétrique. Dans le vide, loin de toute charge et de tout courant ( $Q_{int} = 0$ , $I_{enl} = 0$ ), les équations deviennent

\oint_{C} E \cdot d r = - \frac{d Φ _{B}}{d t}, \oint_{C} B \cdot d r = μ_{0} ε_{0} \frac{d Φ _{E}}{d t},

avec deux flux fermés nuls. Un champ magnétique variable crée un champ électrique, un champ électrique variable crée un champ magnétique. Les deux différences sont le signe moins, qui fera tourner les champs dans des sens opposés (figure 11.2, c et d), et le facteur $μ_{0} ε_{0}$ , dont nous verrons à la dernière section qu'il fixe une vitesse.

Il ne dit pas tout. Les équations de Maxwell disent comment les charges et les courants créent les champs; elles ne disent pas comment les champs agissent sur les charges. C'est la force de Lorentz du chapitre 7, $F = q (E + v \times B)$ , qui complète le système. Les quatre équations et cette force résument toute l'électrodynamique classique; tout ce que ce cours a établi en découle.

Il porte sur des bords. Chaque équation relie une intégrale sur un bord — une surface fermée ou une courbe fermée — à ce qui se passe à l'intérieur. C'est la forme la plus proche de l'expérience (on mesure un flux avec une bobine, une f.é.m. avec un voltmètre), mais elle se prête mal au calcul en un point. La section suivante la traduit en équations locales, valables en chaque point de l'espace.

Question 11.3

Si l'on découvrait des charges magnétiques isolées (des monopôles), lesquelles des équations de Maxwell sous forme intégrale faudrait-il modifier?

La forme locale

Divergence et rotationnel, opérationnellement

Pour passer d'une loi sur les bords à une loi en un point, on fait tendre le bord vers un point. Deux opérations en résultent: la divergence, définie au chapitre 3 (définition 3.4), et le rotationnel, défini au chapitre 8 (définition 8.2). Ces chapitres les notent $\nabla \cdot F$ et $\nabla \times F$ ; nous écrivons ici $div F$ et $rot F$ , comme l'Analyse III — ce sont exactement les mêmes objets. Rappelons-les par ce qu'ils mesurent.

La formule cartésienne se lit sur un petit pavé de côtés $d x$ , $d y$ , $d z$ . Les deux faces perpendiculaires à $e_{x}$ , d'aire $d y d z$ , ont pour normales sortantes $- e_{x}$ (en ) et (en ); leur contribution au flux sortant est

[F_{x} (x + d x) - F_{x} (x)] d y d z \approx \frac{\partial F _{x}}{\partial x} d x d y d z .

Les deux autres paires de faces donnent les termes en $y$ et en $z$ ; divisé par le volume $d x d y d z$ , le total est la somme des trois dérivées. Là où $div F > 0$ , il sort plus de flux qu'il n'en entre: le point est une source du champ.

La composante $z$ se lit sur un petit rectangle $d x \times d y$ du plan horizontal, parcouru dans le sens trigonométrique vu d'en haut ( $u = e_{z}$ ). Les côtés parallèles à $e_{y}$ , en $x$ (parcouru vers ) et en (vers ), donnent ; les côtés parallèles à donnent de même . Divisée par l'aire, la circulation vaut . Là où le rotationnel est non nul, le champ «tourne»: une petite roue à aubes plongée dans un écoulement de vitesse se mettrait à tourner.

Les théorèmes de la divergence et de Stokes

Ces deux définitions sont locales. Deux théorèmes d'analyse vectorielle font le chemin inverse et reconstituent une intégrale sur un bord à partir de l'intégrale d'une dérivée. Nous les énonçons sans démonstration; ils sont démontrés en Analyse III, chapitre 5 (Théorèmes de la divergence et de Stokes), que vous suivrez plus tard. Pour ce cours, les définitions ci-dessus suffisent à les rendre plausibles: un volume se découpe en petits pavés, les flux à travers les faces internes s'annulent deux à deux (ce qui sort d'un pavé entre dans son voisin), et il ne reste que le flux à travers le bord extérieur. Le même argument, avec de petits rectangles, donne le second théorème.

Les conventions d'orientation sont exactement celles que nous avons fixées au début du chapitre: normale sortante pour une surface fermée, main droite entre une surface et son bord. Ce n'est pas un hasard: les équations de Maxwell ont été écrites pour que ces théorèmes s'y appliquent.

Les équations locales

Démonstration (à partir de la forme intégrale, pour des champs continûment dérivables). Gauss. Pour un volume $V$ quelconque, la charge intérieure est $∭_{V} ρ d V$ , et le théorème de la divergence transforme le membre de gauche. La loi de Gauss devient

∭_{V} (div E - \frac{ρ}{ε _{0}}) d V = 0 pour tout volume V .

Si la fonction continue entre parenthèses était strictement positive en un point, elle le serait sur une petite boule autour de ce point, et son intégrale sur cette boule serait strictement positive — contradiction; de même si elle était strictement négative. Elle est donc nulle partout: $div E = ρ / ε_{0}$ . Flux magnétique. Le même argument, sans charge, donne $div B = 0$ .

Faraday. Pour une surface $Σ$ fixe, $d Φ_{B} / d t = \iint_{Σ} (\partial B / \partial t) \cdot n d S$ , et le théorème de Stokes transforme la circulation. La loi de Faraday devient

\iint_{Σ} (rot E + \frac{\partial B}{\partial t}) \cdot n d S = 0 pour toute surface Σ.

Si le vecteur continu entre parenthèses avait une composante non nulle selon un vecteur $u$ en un point, un petit disque centré en ce point, de normale $u$ , donnerait une intégrale non nulle: il est donc nul partout. Maxwell–Ampère. De même, avec $I_{enl} = \iint_{Σ} J \cdot n d S$ et $d Φ_{E} / d t = \iint_{Σ} (\partial E / \partial t) \cdot n d S$ , on obtient .

Le chemin se parcourt aussi dans l'autre sens: en intégrant les équations locales sur un volume ou une surface et en appliquant les deux théorèmes, on retrouve la forme intégrale. Les deux formes sont équivalentes; la forme intégrale s'impose pour les calculs de symétrie et pour les points où les champs sont discontinus (à la surface d'une armature chargée, par exemple), la forme locale pour tout le reste — et en particulier pour montrer que les champs se propagent.

Lues en mots, les équations locales disent: les charges sont les sources du champ électrique, le champ magnétique n'a pas de sources, le champ électrique tourbillonne autour des champs magnétiques variables, le champ magnétique tourbillonne autour des courants et des champs électriques variables.

Question 11.4

Remettez dans l'ordre les étapes qui mènent de la loi de Faraday sous forme intégrale à sa forme locale $rot E = - \partial B / \partial t$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Écrire la loi de Faraday pour une surface fixe

Σ

quelconque, de bord

C

orienté par la règle de la main droite

Écrire la dérivée du flux comme le flux de la dérivée:

d Φ_{B} / d t = \iint_{Σ} (\partial B / \partial t) \cdot n d S

Regrouper: le flux de

rot E + \partial B / \partial t

est nul à travers toute surface

Transformer la circulation de

E

en flux de

rot E

par le théorème de Stokes

Choisir un petit disque autour d'un point, de normale quelconque, pour conclure que ce vecteur est nul en chaque point

La conservation de la charge

L'argument qui a fait naître le courant de déplacement était la conservation de la charge. Retournons-le: les équations de Maxwell contiennent cette conservation.

Démonstration (forme locale). Prenons la divergence des deux membres de l'équation de Maxwell–Ampère locale. La divergence d'un rotationnel est toujours nulle — on le vérifie avec les formules cartésiennes: dans $div (rot B)$ , chaque dérivée seconde croisée, comme $\partial_{x} \partial_{y} B_{z}$ , apparaît deux fois avec des signes opposés et s'élimine. Donc

0 = div (rot B) = μ_{0} div J + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial}{\partial t} div E,

où l'on a échangé la dérivée en temps et les dérivées en espace. Par la loi de Gauss locale, $ε_{0} div E = ρ$ ; en divisant par $μ_{0}$ , il reste $div J + \partial ρ / \partial t = 0$ .

Démonstration (forme intégrale). Appliquons la loi de Maxwell–Ampère à une courbe $C$ tracée sur la surface fermée $S$ ; elle découpe $S$ en deux morceaux $Σ_{1}$ et $Σ_{2}$ , comme la boucle de la figure 11.1. L'équation (11.4), écrite pour chacun avec la normale qu'induit l'orientation de $C$ , donne deux fois la même circulation, donc

I_{enl} (Σ_{1}) + ε_{0} \frac{d Φ _{E} ( Σ _{1} )}{d t} = I_{enl} (Σ_{2}) + ε_{0} \frac{d Φ _{E} ( Σ _{2} )}{d t} .

Sur l'un des deux morceaux, disons $Σ_{2}$ , cette normale est la normale sortante de $S$ ; sur l'autre, c'en est l'opposée. La différence des deux membres est donc le courant sortant de $S$ plus $ε_{0}$ fois la dérivée du flux sortant de $E$ , et elle est nulle:

\iint_{S} J \cdot n d S + ε_{0} \frac{d}{d t} \iint_{S} E \cdot n d S = 0.

Par la loi de Gauss, le second flux vaut $Q_{int} / ε_{0}$ , ce qui donne la forme intégrale. $□$

Les deux démonstrations disent la même chose, et elles montrent pourquoi le théorème d'Ampère ne pouvait pas rester tel quel. Sans le terme de déplacement, le même calcul aurait donné $div J = 0$ partout et toujours: aucune charge ne pourrait s'accumuler nulle part, ni sur une armature de condensateur, ni sur un nuage d'orage. Le terme de Maxwell est exactement ce qu'il faut ajouter pour que l'accumulation soit permise tout en restant comptabilisée. Pour le condensateur, (11.8) intégrée sur un volume qui entoure une armature redonne $d Q / d t = I$ , la relation dont nous étions partis.

Une vérification analogue porte sur les deux autres équations. La divergence de la loi de Faraday locale donne $\partial (div B) / \partial t = 0$ : si $div B$ est nulle à un instant, elle le reste. Les quatre équations ne sont donc pas indépendantes au sens strict; les deux équations de divergence sont des conditions que les deux équations de rotationnel préservent au cours du temps, à condition que la charge se conserve.

L'énergie électromagnétique

La densité d'énergie

Le chapitre 5 a montré que l'énergie d'un condensateur chargé peut se calculer de deux façons: comme le travail $\frac{1}{2} C U^{2}$ qu'il a fallu fournir pour le charger, ou comme l'intégrale sur le volume du champ d'une densité d'énergie $w_{\overset{e}{ˊ} l} = \frac{ε _{0}}{2} E^{2}$ . Pour le condensateur plan témoin ( cm², mm, V), les deux calculs donnent nJ. Le chapitre 9 a fait de même pour le solénoïde: mJ, égal à multiplié par le volume intérieur. Ces deux résultats suggèrent que l'énergie est , répartie dans l'espace avec la densité

w = \frac{ε _{0}}{2} E^{2} + \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} . (11.9)

Tant que les champs sont statiques, c'est une façon de parler: on ne peut pas distinguer «l'énergie est dans le champ» de «l'énergie est dans la configuration des charges». La question devient physique dès que les champs varient: si l'énergie est dans le champ, elle doit pouvoir se déplacer d'une région à l'autre, et il doit exister un flux d'énergie, comme il existe un flux de charge $J$ . Les équations de Maxwell le fournissent.

Le théorème de Poynting

Le champ fait travailler les charges. Une charge $q$ de vitesse $v$ subit la force de Lorentz, dont seule la partie électrique travaille — la force magnétique est perpendiculaire à la vitesse (chapitre 7): la puissance reçue est $q E \cdot v$ . Pour une densité de courant $J$ , la puissance reçue par les charges par unité de volume est donc $J \cdot E$ (en W/m³). Dans un conducteur ohmique, c'est l'effet Joule local, $J \cdot E = σ E^{2} \geq 0$ (ici est la du chapitre 6, et non une densité surfacique de charge).

La forme intégrale (11.11) est un bilan: l'énergie électromagnétique perdue par le volume $V$ est égale à ce qui sort par son bord, plus ce qui est cédé aux charges à l'intérieur. Le vecteur de Poynting joue pour l'énergie le rôle que $J$ joue pour la charge, et (11.10) a la forme de l'équation de continuité (11.8), avec un terme de «perte» au second membre: l'énergie, contrairement à la charge, peut changer de forme.

Démonstration (esquisse). Partons de la puissance cédée aux charges et remplaçons $J$ par son expression tirée de l'équation de Maxwell–Ampère locale, $J = \frac{1}{μ _{0}} rot B - ε_{0} \partial E / \partial t$ :

J \cdot E = \frac{1}{μ _{0}} E \cdot rot B - ε_{0} E \cdot \frac{\partial E}{\partial t} .

Le second terme est $- \partial_{t} (\frac{ε _{0}}{2} E^{2})$ . Pour le premier, on utilise l'identité d'analyse vectorielle

div (E \times B) = B \cdot rot E - E \cdot rot B,

qui se vérifie en développant les deux membres en composantes cartésiennes (exercice corrigé 11.5, en fin de chapitre). Avec la loi de Faraday locale, $B \cdot rot E = - B \cdot \partial B / \partial t = - \partial_{t} (\frac{1}{2} B^{2})$ , d'où

\frac{1}{μ _{0}} E \cdot rot B = - \frac{\partial}{\partial t} (\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}) - div (\frac{1}{μ _{0}} E \times B) .

En additionnant, $J \cdot E = - \partial_{t} w - div S$ , ce qui est (11.10). On intègre sur $V$ et l'on applique le théorème de la divergence au terme $div S$ pour obtenir (11.11). $□$

Le théorème identifie $w$ et $S$ à une densité et à un flux d'énergie de façon cohérente, mais il faut dire honnêtement ce qu'il ne démontre pas: seul le flux de $S$ à travers une surface fermée est déterminé par le bilan, et l'on pourrait ajouter à $S$ n'importe quel champ de divergence nulle sans rien changer à (11.11). L'interprétation de $S$ comme la puissance qui traverse chaque élément de surface est une hypothèse, universellement adoptée parce qu'elle ne mène à aucune contradiction et qu'elle s'avère exacte pour le rayonnement (chapitre 12).

Le fil résistif: l'énergie entre par le côté

Le premier test est un fil ordinaire. Un courant constant $I$ parcourt un fil rectiligne de résistance $R$ ; le chapitre 6 dit qu'il y dissipe la puissance $R I^{2}$ , fournie par le générateur. Par où cette énergie arrive-t-elle dans le fil? La réponse du théorème de Poynting est surprenante: par la surface latérale, depuis l'espace qui entoure le fil.

Soit un fil de rayon $r_{0}$ et de longueur $ℓ$ , de section uniforme, où le courant se répartit uniformément. Le champ électrique dans le fil est uniforme, dirigé le long de l'axe, de norme $E = U / ℓ$ où $U = R I$ est la tension entre ses extrémités. À la surface, la composante de $E$ parallèle à la surface est continue (on le voit en appliquant la loi de Faraday à un petit rectangle à cheval sur la surface, en régime permanent), donc juste à l'extérieur, $E$ a la même composante axiale. Le champ magnétique à la surface est, par le théorème d'Ampère, , orthoradial. Le vecteur de Poynting est donc radial, dirigé vers l'axe, de norme

S = \frac{E B}{μ _{0}} = \frac{U}{ℓ} \frac{I}{2 π r _{0}},

et son flux entrant à travers la surface latérale, d'aire $2 π r_{0} ℓ$ , vaut

S \times 2 π r_{0} ℓ = \frac{U}{ℓ} \frac{I}{2 π r _{0}} 2 π r_{0} ℓ = U I = R I^{2} . (11.12)

Les extrémités du fil ne contribuent pas: $S$ y est parallèle à la section, radial. En régime permanent, $w$ ne varie pas, et (11.11) dit que tout ce qui entre par le côté est cédé aux charges, puis dissipé en chaleur. Le résultat ne dépend ni du rayon ni du matériau.

Cette image choque souvent la première fois. Elle devient naturelle pour un câble coaxial, où tout le champ est confiné entre l'âme et la gaine et où l'énergie ne peut passer que par l'isolant qui les sépare; et elle est inévitable pour une onde électromagnétique, qui transporte de l'énergie dans le vide sans aucun fil. C'est le chapitre 12 qui en tirera l'intensité d'une onde.

Question 11.5

Dans l'exemple 11.4 (fil de cuivre de rayon $0, 500$ mm parcouru par $10, 0$ A), quelle est la densité d'énergie magnétique juste à la surface du fil, en $J/m^{3}$ ?

De Maxwell aux ondes

Une note historique

James Clerk Maxwell (1831–1879) a introduit le courant de déplacement dans ses articles «On Physical Lines of Force» (1861–1862), où il s'appuyait encore sur un modèle mécanique de l'éther fait de tourbillons et de roues. En 1865, il publie dans les Philosophical Transactions of the Royal Society of London «A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field», où il abandonne le modèle mécanique et formule la théorie directement en termes de champs. Les équations n'y ont pas la forme que nous leur donnons: elles sont écrites composante par composante, avec des potentiels, et forment une vingtaine de relations. La forme compacte de quatre équations vectorielles est due, dans les années 1880, à Oliver Heaviside et à Heinrich Hertz; le théorème de Poynting date de 1884.

Dans l'article de 1865, Maxwell déduit de ses équations que des perturbations électromagnétiques se propagent dans le vide, à une vitesse qu'il calcule à partir de mesures purement électriques et magnétiques. Il constate qu'elle coïncide, aux incertitudes de mesure près, avec la vitesse de la lumière mesurée par des moyens optiques, et en conclut que la lumière est elle-même une perturbation électromagnétique. L'optique devenait une branche de l'électromagnétisme.

Les équations dans le vide prédisent des ondes

Dans le vide, sans charge ni courant, les équations locales (11.7) deviennent

div E = 0, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .

Sans le terme de Maxwell, la dernière équation dirait $rot B = 0$ : un champ magnétique variable créerait bien un champ électrique, mais celui-ci ne créerait rien en retour, et la perturbation resterait sur place. Avec lui, chaque champ variable engendre l'autre, et la perturbation peut se détacher de ses sources et voyager. Le coefficient $μ_{0} ε_{0}$ s'exprime en $s^{2} / m^{2}$ — l'inverse du carré d'une vitesse — et vaut ; avec les valeurs CODATA des constantes,

\frac{1}{μ _{0} ε _{0}} = 299792458 m/s

à neuf chiffres, soit la vitesse de la lumière $c$ . Le chapitre 12 déduira des équations de Maxwell l'équation d'onde pour le champ électrique, retrouvera cette vitesse, et montrera que $E$ et $B$ y sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation, avec un vecteur de Poynting dirigé dans le sens de la propagation.

Synthèse

La contradiction. Pendant la charge d'un condensateur, le théorème d'Ampère donne $μ_{0} I$ pour une surface traversée par le fil et $0$ pour une surface qui passe entre les armatures: il est incompatible avec la conservation de la charge dès que la charge s'accumule.
Le courant de déplacement $I_{D} = ε_{0} d Φ_{E} / d t$ lève la contradiction; la loi de Maxwell–Ampère est postulée, confirmée par l'existence des ondes électromagnétiques. Ce n'est pas un courant de charges.

Série d'exercices du chapitre 11Exercice 1 sur 5

Question 11.6

Quelle est l'unité SI du courant de déplacement $ε_{0} d Φ_{E} / d t$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 11.1 · Le courant de déplacement du condensateur témoin

Le condensateur plan témoin du chapitre 5 a des armatures d'aire $A = 100$ cm², distantes de $d = 1, 00$ mm, dans l'air ( $C = 88, 54$ pF). Lors d'une commutation rapide, sa tension croît au rythme de $1, 00$ kV par microseconde.

Calculer la vitesse de croissance du champ électrique entre les armatures.
En déduire la densité de courant de déplacement et le courant de déplacement total.

Exercice 11.2 · Un condensateur sur le réseau

On branche le condensateur de l'exemple 11.1 (armatures circulaires de rayon $a = 10, 0$ cm, distantes de $d = 2, 00$ mm, $C = 139, 1$ pF) sur une tension sinusoïdale de $230$ V efficaces à $50$ Hz.

Calculer l'amplitude du courant qui le traverse.
Calculer l'amplitude du champ magnétique au bord des armatures, et la comparer au champ terrestre (de l'ordre de T).

Exercice 11.3 · L'énergie entre dans le condensateur par le bord

Reprenons le condensateur de l'exemple 11.1 ( $a = 10, 0$ cm, $d = 2, 00$ mm, $I = 1, 00$ A), à l'instant où sa tension vaut $U = 500$ V. On néglige les effets de bord.

Calculer le champ électrique entre les armatures, le champ magnétique au bord ( $r = a$ ) et le vecteur de Poynting sur la surface cylindrique de rayon et de hauteur qui ferme l'espace entre les armatures. Préciser sa direction.

Exercice 11.4 · Une charge ne reste pas à l'intérieur d'un conducteur

Dans un conducteur ohmique homogène de conductivité $σ$ (loi d'Ohm locale $J = σ E$ , chapitre 6; dans cet exercice $σ$ est la conductivité et non une densité surfacique de charge), on dépose à l'instant $t = 0$ une densité volumique de charge $ρ_{0}$ .

Exercice 11.5 · Deux calculs de fond: une identité et l'indépendance vis-à-vis de la surface

En développant les deux membres en coordonnées cartésiennes, démontrer l'identité utilisée pour le théorème de Poynting: $div (E \times B) = B \cdot rot E - E \cdot rot B$ .
Soient $Σ_{1}$ et deux surfaces bordées par la même courbe fermée , orientées par des normales liées au sens de parcours de par la règle de la main droite, et qui forment ensemble une surface fermée entourant un volume ; on suppose que la normale de est sortante pour , et celle de rentrante. Démontrer que — la loi de Faraday ne dépend donc pas de la surface choisie.

Références

Maxwell, J. C., «A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field», Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 155, 1865.
Purcell, E. M. et Morin, D. J., Electricity and Magnetism, 3ᵉ éd., Cambridge University Press, chap. 9 (équations de Maxwell et ondes).
Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme, vol. 1 et 2, Dunod (chapitres sur les équations de Maxwell et sur l'énergie du champ).
Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, chap. 7 (courant de déplacement, équations de Maxwell) et chap. 8 (théorème de Poynting).
Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière Éducation.
Pérez, J.-Ph., Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod.

$r$ (cm)	Maxwell–Ampère ( $μ$ T)	Biot–Savart numérique ( $μ$ T)	écart
3	0,6000	0,5938	−1,0 %
5	1,0000	0,9889	−1,1 %
9	1,8000	1,7686	−1,7 %
10	2,0000	1,9276	−3,6 %
11	1,8182	1,7886	−1,6 %
15	1,3333	1,3223	−0,8 %
20	1,0000	0,9944	−0,6 %

Objectifs du chapitre

Ce que nous savons déjà

Une contradiction: le condensateur qui se charge

Une boucle, deux surfaces

Le courant de déplacement

Le condensateur à armatures circulaires

Quand le courant de déplacement compte-t-il?

Les quatre équations sous forme intégrale

La forme locale

Divergence et rotationnel, opérationnellement

Les théorèmes de la divergence et de Stokes

Les équations locales

La conservation de la charge

L'énergie électromagnétique

La densité d'énergie

Le théorème de Poynting

Le fil résistif: l'énergie entre par le côté

De Maxwell aux ondes

Une note historique

Les équations dans le vide prédisent des ondes

Synthèse

Exercices

Références

Capacité et constante de temps

Courant initial

Champ au bord des armatures

Champ à mi-rayon, une constante de temps plus tard