Champ électrique

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir le champ électrique à l'aide d'une charge d'essai, expliquer pourquoi celle-ci doit être petite, et calculer le champ d'une charge ponctuelle et d'un ensemble de charges par superposition, composante par composante;
décrire une distribution continue par sa densité linéique $λ$ , surfacique $σ$ ou volumique $ρ$ , et calculer par intégration le champ d'un segment, d'un anneau sur son axe, d'un disque, d'un plan infini et d'un fil infini, en exploitant les symétries;
tracer et lire une carte de lignes de champ, en connaître les règles et les limites, et localiser un point neutre;
définir le moment dipolaire $p$ , établir la décroissance en $1/ r^{3}$ du champ d'un dipôle et calculer le couple $p \times E$ et l'énergie $- p \cdot E$ d'un dipôle dans un champ uniforme;
résoudre le mouvement d'une particule chargée dans un champ uniforme par analogie avec le projectile, et dimensionner la déviation d'un faisceau entre deux plaques;
vérifier un résultat par ses cas limites: loin d'une distribution, on doit retrouver le champ d'une charge ponctuelle.

Du champ de force au champ électrique

Une force à distance, une grandeur locale

La loi de Coulomb du chapitre 1 donne la force qu'une charge exerce sur une autre à distance, sans rien dire de ce qui se passe entre elles. Elle a la même forme que la loi de la gravitation, et elle soulève la même gêne que Newton lui-même ressentait: comment une charge «sait-elle» qu'une autre charge se trouve à quelques centimètres? La physique a répondu en deux temps. D'abord, par commodité: plutôt que de recalculer une force pour chaque charge que l'on place quelque part, on décrit une fois pour toutes l'effet que les charges sources produiraient en chaque point de l'espace. Ensuite, par nécessité: au XIXe siècle, Faraday puis Maxwell ont montré que cet objet mathématique a une existence propre. Il transporte de l'énergie (chapitre 5), il se propage à la vitesse de la lumière lorsqu'on déplace les sources, et il peut exister loin de toute charge sous forme d'onde (chapitre 12). Cet objet est le champ électrique.

Vous avez déjà rencontré cette idée en Physique générale I, chapitre 6 «Gravitation et mouvement des planètes»: le champ gravitationnel $g$ est la force de gravitation par unité de masse, $g = F / m$ , et une masse placée en un point y subit $m g$ quelle que soit la façon dont le champ a été produit. Le champ électrique joue exactement le même rôle, la charge remplaçant la masse. La différence est que la charge a un signe: une charge négative subit une force opposée au champ.

Pourquoi la charge d'essai doit être petite

La limite dans (2.1) n'est pas une coquetterie mathématique. La charge d'essai exerce elle aussi des forces sur les charges sources, et si celles-ci peuvent bouger, elles se déplacent. L'exemple typique est celui d'un conducteur: sur une sphère métallique chargée, les charges sont libres de se répartir. Approchez-en une charge d'essai positive importante, et elle repousse les charges positives de la sphère vers la face opposée: le champ que vous mesurez est alors celui de la distribution déformée, plus faible que celui que vous vouliez connaître. En faisant tendre $q_{0}$ vers zéro, on rend cette perturbation négligeable, et le rapport $F / q_{0}$ tend vers le champ des sources telles qu'elles étaient avant la mesure.

Physiquement, on ne peut pas descendre au-dessous de la charge élémentaire $e$ : la limite est une idéalisation, justifiée tant que la charge d'essai reste très petite devant les charges sources. Quand les sources sont fixes (charges collées sur un isolant), la force est exactement proportionnelle à $q_{0}$ et la limite est superflue: le rapport $F / q_{0}$ ne dépend pas de $q_{0}$ . C'est cette proportionnalité, vérifiée expérimentalement, qui fait du champ une propriété et non de la charge qui le sonde.

Question 2.1

On mesure le champ au voisinage d'une sphère métallique chargée positivement en y plaçant une charge d'essai positive $q_{0}$ assez grande, puis en calculant $F / q_{0}$ . Par rapport au champ qui régnait avant la mesure, le résultat est:

Champ d'une charge ponctuelle

Démonstration. D'après la loi de Coulomb (chapitre 1), la force exercée par $q$ sur une charge d'essai $q_{0}$ placée en $r$ vaut $F = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q q _{0}}{r ^{2}} e_{r}$ . Elle est proportionnelle à , donc le rapport ne dépend pas de et la limite (2.1) est immédiate.

Le théorème 2.1 ne contient donc rien de plus que la loi de Coulomb, qui reste le postulat expérimental. Si la charge source est placée en $r^{'}$ plutôt qu'à l'origine, il suffit de remplacer $r$ par le vecteur $r - r^{'}$ qui va de la source au point de calcul:

E (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q ( r - r ^{'} )}{∣ r - r ^{'} ∣ ^{3}} .

Cette écriture, avec le cube au dénominateur, est celle que l'on programme: elle contient à la fois l'intensité $1/ ∣ r - r^{'} ∣^{2}$ et la direction, sans avoir à calculer d'angle.

Pour fixer les ordres de grandeur, il est utile de disposer de quelques repères. Par beau temps, l'atmosphère au voisinage du sol est le siège d'un champ de l'ordre de 100 V/m, dirigé vers le sol. L'air sec cesse d'être isolant, et une étincelle éclate, lorsque le champ atteint de l'ordre de $3 \cdot 1 0^{6}$ V/m (rigidité diélectrique de l'air, qui dépend de la pression, de l'humidité et de la forme des électrodes). Entre les armatures du condensateur plan étudié au chapitre 5, on trouvera $12, 0$ kV/m. Et à l'échelle de l'atome, le champ est gigantesque, comme le montre l'exemple suivant.

Superposition et systèmes de charges

Le principe de superposition pour le champ

Le chapitre 1 a posé, comme fait expérimental, que la force exercée par plusieurs charges sur une charge donnée est la somme vectorielle des forces que chacune exercerait seule. Divisons cette somme par la charge d'essai: le champ hérite de la même propriété.

Démonstration. Sur une charge d'essai $q_{0}$ placée en $r$ , la force totale est $F = \sum_{i} F_{i}$ par le principe de superposition des forces (chapitre 1), et chaque $F_{i}$ vaut d'après le théorème 2.1. Donc , indépendamment de .

La superposition est une propriété linéaire: doubler toutes les charges double le champ, et le champ de deux distributions réunies est la somme de leurs champs. C'est ce qui rend l'électrostatique calculable. On insiste sur un point de méthode: la somme (2.3) est une somme de vecteurs. On ne peut additionner les intensités que si tous les champs ont la même direction, ce qui est l'exception. La démarche sûre consiste à choisir des axes, à écrire les composantes de chaque $E_{i}$ , à sommer composante par composante, et seulement à la fin à calculer l'intensité et la direction.

Question 2.2

Avec les mêmes charges $q_{1} = + 2$ nC en $(0, 0)$ et $q_{2} = - 3$ nC en $(4 cm, 0)$ , calculez l'intensité du champ au milieu du segment qui les joint, en $(2 cm, 0)$ . Donnez-la en kV/m.

Distributions continues de charge

Densités de charge et élément de charge

À l'échelle macroscopique, une tige frottée, une plaque de condensateur ou un nuage d'orage portent des milliards de milliards de charges élémentaires. Il serait absurde de les sommer une à une: on décrit la charge comme répartie continûment et l'on remplace la somme (2.3) par une intégrale. Selon la géométrie, on utilise:

la densité linéique $λ$ (C/m) pour une charge portée par un fil ou une tige fine: l'élément de longueur $d ℓ$ porte $d q = λ d ℓ$ ;
la densité surfacique $σ$ (C/m²) pour une charge portée par une surface: $d q = σ d A$ ;
la densité volumique $ρ$ (C/m³) pour une charge répartie dans un volume: $d q = ρ d τ$ .

Ces densités sont des moyennes sur des éléments petits à l'échelle de l'objet mais grands à l'échelle atomique; c'est la même idéalisation que la masse volumique d'un fluide en mécanique. Chaque élément $d q$ est traité comme une charge ponctuelle, et l'on somme:

E (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \int \frac{( r - r ^{'} ) d q}{∣ r - r ^{'} ∣ ^{3}} . (2.4)

L'intégrale porte sur la position $r^{'}$ de l'élément source, le point de calcul $r$ restant fixe. C'est une intégrale vectorielle: on intègre chaque composante séparément. Les lettres $ρ$ et $σ$ serviront aussi au chapitre 6, pour la résistivité et la conductivité: c'est une réutilisation déclarée, chaque fois signalée.

Un segment chargé

Considérons une tige rectiligne de longueur $L$ , portant la charge $Q$ répartie uniformément, $λ = Q / L$ . Cherchons le champ en un point $P$ situé sur sa médiatrice, à la distance $r$ de la tige. Plaçons l'axe $z$ le long de la tige, l'origine en son milieu, et l'axe $x$ vers $P$ .

L'élément $d z$ situé à la cote $z$ porte $d q = λ d z$ et se trouve à la distance $r^{2} + z^{2}$ de . Son champ a une composante selon et une composante selon . Mais l'élément symétrique, à la cote , produit la même composante et une composante opposée: . Elle vaut , où , d'où

E_{x} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \int_{- L /2}^{L /2} \frac{λ r d z}{( r ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{λ}{4 π ε _{0} r} [\frac{z}{r ^{2} + z ^{2}}]_{- L /2}^{L /2} = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} \frac{L /2}{r ^{2} + L ^{2} /4} . (2.5)

La primitive se vérifie en dérivant: $\frac{d}{d z} \frac{z}{r ^{2} + z ^{2}} = \frac{r ^{2}}{( r ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$ . Deux cas limites contrôlent le résultat. , , la racine tend vers et : la tige se comporte comme une charge ponctuelle, comme il se doit. , , la fraction tend vers 1: c'est le fil infini, que nous traitons maintenant.

Le fil infini

Démonstration. Reprenons le calcul de la médiatrice avec des bornes infinies. Pour un fil infini, tout point est sur une médiatrice, donc le résultat vaut partout. La composante parallèle au fil s'annule par symétrie, élément à élément, entre $z$ et $- z$ . La composante radiale vaut

E = \frac{λ r}{4 π ε _{0}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d z}{( r ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} .

Posons $z = r tan α$ , avec $α$ l'angle sous lequel on voit l'élément depuis $P$ , compté à partir de la perpendiculaire au fil: $d z = r d α / cos^{2} α$ et $r^{2} + z^{2} = r^{2} / cos^{2} α$ . L'intégrande devient , et parcourt :

E = \frac{λ r}{4 π ε _{0}} \cdot \frac{1}{r ^{2}} \int_{- π /2}^{π /2} cos α d α = \frac{λ}{4 π ε _{0} r} \cdot 2 = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} .

On retrouve aussi ce résultat comme limite de (2.5) quand $L \to \infty$ . $□$

Le champ du fil décroît comme $1/ r$ , plus lentement que celui d'une charge ponctuelle: en s'éloignant, on «voit» une longueur de fil de plus en plus grande, ce qui compense en partie l'éloignement. Le chapitre 3 retrouvera (2.6) en quelques lignes grâce au théorème de Gauss et à la symétrie cylindrique; le calcul direct que nous venons de faire en est un contrôle indépendant, et il montre ce que le théorème de Gauss épargne.

Pour un fil portant $λ = 2, 00$ nC/m, on trouve à $r = 5, 00$ cm le champ $E = 719, 0$ V/m. Un segment de $50$ cm de même densité donne, sur sa médiatrice à la même distance, $705, 0$ V/m d'après (2.5), soit $98, 06 %$ de la valeur du fil infini; un segment d'un mètre en donne $99, 50 %$ . La sommation numérique de 200 000 éléments ponctuels redonne ces valeurs aux arrondis près. L'idéalisation du fil infini est donc excellente dès que la distance au fil reste petite devant sa longueur que l'on n'est pas près de ses extrémités.

L'anneau chargé sur son axe

Démonstration. Plaçons l'anneau dans le plan $x y$ , centré à l'origine, et le point $P$ en $(0, 0, z)$ . Tous les points de l'anneau sont à la même distance $r = z^{2} + R^{2}$ de . Un élément crée en un champ d'intensité , dirigé de l'élément vers (figure 2.1).

Symétrie. L'élément diamétralement opposé $d q^{'}$ , de même charge, crée un champ de même intensité dont la composante perpendiculaire à l'axe est exactement opposée. En groupant les éléments par paires, toutes les composantes perpendiculaires s'annulent: le champ total est porté par l'axe.

Intégration. La composante axiale de $d E$ vaut $d E cos α$ , où $α$ est l'angle entre $d E$ et l'axe, $cos α = z / z^{2} + R^{2}$ . Ce cosinus est le même pour tous les éléments, de sorte que

E_{z} = \int \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{d q}{z ^{2} + R ^{2}} \frac{z}{z ^{2} + R ^{2}} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{z}{( z ^{2} + R ^{2} ) ^{3/2}} \int d q = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q z}{( z ^{2} + R ^{2} ) ^{3/2}} .

Il n'y a en réalité rien à intégrer: le facteur géométrique est constant sur l'anneau, et $\int d q = Q$ . Le résultat ne suppose même pas que la charge soit uniforme, pourvu que l'on ne s'intéresse qu'à la composante axiale; l'uniformité sert à annuler les composantes perpendiculaires.

Maximum. Posons $f (z) = z (z^{2} + R^{2})^{- 3/2}$ . Alors $f^{'} (z) = (z^{2} + R^{2})^{- 5/2} [(z^{2} + R^{2}) - 3 z^{2}] = (z^{2} + R^{2})^{- 5/2} (R^{2} - 2 z^{2})$ , qui s'annule pour , positive avant et négative après: c'est un maximum. En ce point, et , d'où .

Limite. Pour $z ≫ R$ , $(z^{2} + R^{2})^{3/2} \approx z^{3}$ et $E_{z} \approx \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{z ^{2}}$ .

Le comportement au centre mérite un mot. En $z = 0$ , chaque élément est compensé par l'élément opposé dans toutes les directions: le champ est nul. En s'écartant du plan, les composantes axiales ne se compensent plus et le champ croît, d'abord linéairement ( $E_{z} \approx \frac{Q z}{4 π ε _{0} R ^{3}}$ pour ), puis décroît quand l'éloignement l'emporte. Pour , (2.7) donne : le champ pointe toujours en s'éloignant de l'anneau chargé positivement, ce que la formule contient par le facteur impair.

Le disque et le plan infini

Un disque de rayon $R$ portant la densité surfacique uniforme $σ$ se découpe en anneaux concentriques: l'anneau de rayon $a$ et de largeur $d a$ a pour aire $2 π a d a$ et porte $d q = σ 2 π a d a$ . Tous ses points sont équivalents pour un point de l'axe, et le théorème 2.4 donne sa contribution, dirigée selon l'axe. Le calcul d'une surface se ramène ainsi à une intégrale simple sur des anneaux, que nous savons déjà traiter: c'est tout l'intérêt de découper selon la symétrie.

Démonstration. L'anneau de rayon $a$ contribue, d'après (2.7), pour

d E_{z} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{z σ 2 π a d a}{( z ^{2} + a ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{σ z}{4 ε _{0}} \frac{2 a d a}{( z ^{2} + a ^{2} ) ^{3/2}} .

Avec $u = z^{2} + a^{2}$ , $d u = 2 a d a$ et $\int u^{- 3/2} d u = - 2 u^{- 1/2}$ :

E_{z} = \frac{σ z}{4 ε _{0}} [- \frac{2}{z ^{2} + a ^{2}}]_{0}^{R} = \frac{σ z}{2 ε _{0}} (\frac{1}{z} - \frac{1}{z ^{2} + R ^{2}}),

qui est (2.8). Quand $R \to \infty$ à $z$ fixé, le second terme de la parenthèse tend vers zéro et il reste (2.9). Pour le plan infini, tout point est sur un «axe», donc (2.9) vaut en tout point, de part et d'autre du plan. $□$

Le plan infini est l'idéalisation qui sert au condensateur plan du chapitre 5: deux plans parallèles portant $+ σ$ et $- σ$ ont des champs qui s'ajoutent entre eux ( $σ / ε_{0}$ ) et se compensent à l'extérieur. Le chapitre 3 redémontrera (2.9) par le théorème de Gauss. Pour fixer les idées, une densité de $1, 00 μ C/m^{2}$ donne $σ / (2 ε_{0}) = 5, 647 \cdot 1 0^{4}$ V/m. Pour un disque de rayon cm portant cette densité, (2.8) donne V/m à cm, V/m à cm et V/m à cm. Une sommation numérique sur 20 000 anneaux, faite avec (2.7) seul, reproduit ces trois valeurs à mieux que près en valeur relative: c'est le contrôle indépendant de l'intégration.

Question 2.3

Un disque de rayon $R = 10, 0$ cm porte la densité uniforme $σ = 1, 00 μ C/m^{2}$ . Calculez l'intensité du champ sur son axe à $z = 1, 00$ cm du centre, en kV/m, puis comparez-la à celle du plan infini.

Lignes de champ

Représenter un champ de vecteurs

Un champ de vecteurs se représente mal: on peut dessiner des flèches en quelques points d'une grille, mais la figure devient vite illisible. Faraday a proposé une autre image, qui s'est imposée: les lignes de champ. Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au champ $E$ , orientée dans le sens du champ. Mathématiquement, c'est une solution de l'équation différentielle

\frac{d r}{d s} = \frac{E ( r )}{∣ E ( r )∣},

où $s$ est l'abscisse curviligne le long de la ligne: partant d'un point, on avance d'un petit pas dans la direction du champ local, on recalcule le champ, et ainsi de suite. C'est exactement ce que fait l'ordinateur pour tracer les figures de ce chapitre, avec une méthode de Runge–Kutta d'ordre 4 plutôt qu'avec de simples pas d'Euler.

Les règles

Les lignes de champ d'un champ électrostatique obéissent à quelques règles, qui toutes découlent des propriétés du champ:

Elles partent des charges positives et aboutissent aux charges négatives, ou vont à l'infini (ou en viennent). Près d'une charge ponctuelle, le champ est dominé par cette charge et il est radial: les lignes y sont des rayons.
Elles ne se croisent jamais. En un point où le champ n'est pas nul, il a une direction unique, donc une seule ligne y passe. Là où deux lignes semblent se rejoindre, le champ est nul: c'est un point neutre, comme N sur la figure 2.2b.
Leur densité est proportionnelle à l'intensité du champ. Précisément, dans l'espace à trois dimensions, le nombre de lignes traversant une petite surface perpendiculaire au champ, divisé par son aire, est proportionnel à $E$ . Pour que cette règle soit cohérente, on fait partir d'une charge un nombre de lignes proportionnel à sa charge: c'est pourquoi la figure 2.2 en fait partir douze de chaque charge égale en valeur absolue.
Loin d'un système de charge totale non nulle, les lignes redeviennent radiales, comme pour une charge ponctuelle égale à la charge totale. Si la charge totale est nulle, comme pour le dipôle, toutes les lignes issues des charges positives finissent sur les charges négatives.

La règle 3 est plus profonde qu'il n'y paraît. Autour d'une charge ponctuelle, les $N$ lignes qui en partent traversent une sphère de rayon $r$ et d'aire $4 π r^{2}$ : leur densité est $N / (4 π r^{2})$ , en $1/ r^{2}$ , comme le champ. Cette coïncidence n'est possible que parce que le champ décroît exactement en : c'est le contenu du théorème de Gauss, que le chapitre 3 formule en termes de flux.

Les limites de l'image

Les lignes de champ sont un outil de lecture, pas une réalité physique, et il faut connaître leurs limites.

Une figure plane ment sur la densité. Nos figures sont des coupes d'un champ tridimensionnel. Dans le plan du dessin, les douze lignes d'une charge isolée traversent un cercle de périmètre $2 π r$ : leur densité sur le papier décroît en $1/ r$ , pas en $1/ r^{2}$ . La règle 3 ne se lit donc que qualitativement sur une coupe: plus dense signifie plus intense, mais le rapport des densités n'est pas le rapport des champs.
Les lignes sont en nombre fini par choix. Entre deux lignes dessinées, le champ existe; le choix de douze lignes par charge est une convention d'échelle, que la légende doit indiquer.
Une ligne de champ n'est pas une trajectoire. Une particule chargée subit une force tangente à la ligne, donc une accélération tangente à la ligne; mais sa vitesse, elle, n'a aucune raison de l'être. Une particule lâchée sans vitesse suit approximativement la ligne tant qu'elle reste lente, puis son inertie l'en écarte dès que la ligne s'incurve. La dernière section de ce chapitre montre un électron dont la trajectoire est une parabole alors que les lignes de champ sont des droites parallèles.

Explorateur 2.1 · Explorateur des lignes de champ de deux charges

La charge $q_{1}$ est positive et fixe; réglez le rapport $q_{2} / q_{1}$ et la distance $d$ entre les deux charges. Les lignes sont recalculées à chaque réglage, douze par unité de charge, et le point neutre de l'axe, où le champ s'annule, est marqué d'un petit cercle lorsqu'il existe. Observez qu'il se trouve entre les charges quand elles ont le même signe, à l'extérieur, du côté de la plus faible, quand elles sont de signes opposés, et qu'il disparaît pour un dipôle parfait.

Rapport q₂/q₁−1,0

Distance d2,00cm

Point neutre sur l'axe

aucun à distance finie

Lignes issues de q₁ / de q₂

12 / 12

Charge totale (en unités de q₁)

0,0

Question 2.4

Laquelle de ces affirmations sur les lignes de champ électrostatique est fausse?

Le dipôle électrique

Moment dipolaire

Deux charges égales et opposées, $+ q$ et $- q$ , séparées par une petite distance $d$ , forment un dipôle électrique. L'objet est omniprésent: une molécule d'eau, une molécule d'acide chlorhydrique, un atome dont le nuage électronique a été déplacé par un champ extérieur, une antenne dont les deux brins portent à chaque instant des charges opposées. Sa charge totale est nulle, et pourtant il crée un champ et subit des actions mécaniques. Tout ce qui le caractérise, vu de loin, tient en un seul vecteur.

La lettre $p$ est celle que la littérature utilise partout; elle désignait la quantité de mouvement en Physique générale I. C'est une réutilisation déclarée: dans ce cours, $p$ est le moment dipolaire électrique. Pour la molécule d'eau, dont les deux liaisons O–H forment un angle et dont l'oxygène attire les électrons, on mesure $p = 1, 85$ D $= 6, 17 \cdot 1 0^{- 30}$ C·m, dirigé de l'oxygène vers le milieu des deux hydrogènes. Ce moment est la clé de beaucoup de propriétés de l'eau: son pouvoir de dissoudre les sels, sa permittivité élevée (chapitre 5) et son échauffement dans un four à micro-ondes.

Champ du dipôle sur son axe

Démonstration. Plaçons $- q$ en $z = - d /2$ et $+ q$ en $z = + d /2$ , de sorte que $p = q d e_{z}$ . En un point de l'axe de cote , la charge est à la distance et crée un champ selon ; la charge est à la distance et crée un champ selon . Par superposition,

E_{z} = \frac{q}{4 π ε _{0}} [\frac{1}{( z - d /2 ) ^{2}} - \frac{1}{( z + d /2 ) ^{2}}] = \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{( z + d /2 ) ^{2} - ( z - d /2 ) ^{2}}{( z ^{2} - d ^{2} /4 ) ^{2}} = \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{2 z d}{( z ^{2} - d ^{2} /4 ) ^{2}} .

Pour $z ≫ d$ , le dénominateur vaut $z^{4} (1 - d^{2} / (4 z^{2}))^{2} \approx z^{4}$ , d'où , qui est (2.12).

La décroissance en $1/ z^{3}$ se comprend physiquement: vus de loin, les deux champs en $1/ z^{2}$ sont presque égaux et opposés, et il ne reste que leur différence, qui est de l'ordre de la dérivée du champ de l'une des charges multipliée par $d$ , soit $q d / z^{3}$ . Un dipôle est «presque neutre», et son champ disparaît donc plus vite que celui d'une charge. L'approximation (2.12) est d'autant meilleure qu'on est loin: le rapport entre la valeur exacte (2.11) et l'approximation vaut $1/ (1 - d^{2} / (4 z^{2}))^{2}$ , soit à , à et à .

Sur la médiatrice du dipôle, à la distance $r$ de son centre, les composantes parallèles à la médiatrice s'annulent et les composantes selon l'axe s'ajoutent, toutes deux dirigées de $+ q$ vers $- q$ . Chaque charge est à la distance $r^{2} + d^{2} /4$ et contribue selon l'axe pour , d'où

E = - \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{p}{( r ^{2} + d ^{2} /4 ) ^{3/2}} \approx - \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{p}{r ^{3}} .

Le champ y est opposé au moment dipolaire et, à même distance, deux fois plus faible que sur l'axe. En un point quelconque, le champ lointain d'un dipôle est la combinaison $\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{3 ( p \cdot e _{r} ) e _{r} - p}{r ^{3}}$ , qui redonne les deux cas précédents; on pourrait aussi l'obtenir à partir du potentiel, avec l'outil introduit au chapitre 4. La figure 2.2a montre la forme caractéristique de ces lignes, qui partent de et y reviennent par en larges boucles.

Dipôle dans un champ uniforme: couple et énergie

Plaçons maintenant un dipôle rigide dans un champ extérieur uniforme $E$ , et notons $θ$ l'angle entre $p$ et $E$ .

Démonstration. Force. La charge $+ q$ subit $q E$ , la charge $- q$ subit $- q E$ , avec le même $E$ puisque le champ est uniforme: la somme est nulle.

Couple. Calculons le moment des deux forces par rapport à un point $O$ quelconque, les charges étant en $r_{+}$ et $r_{-}$ :

M = r_{+} \times (q E) + r_{-} \times (- q E) = q (r_{+} - r_{-}) \times E = q d \times E = p \times E .

Le résultat ne dépend pas de $O$ , ce qui est normal pour un couple (forces de somme nulle), comme en Physique générale I, chapitre 9 «Dynamique de rotation et moment cinétique». Il tend à faire tourner $p$ vers $E$ .

Énergie, première voie: le travail du couple. Lorsque le dipôle tourne de $d θ$ , le couple de rappel $- pE sin θ$ (il tend à diminuer $θ$ ) fournit le travail $d W = - pE sin θ d θ$ . Une énergie potentielle est définie par $d E_{p} = - d W$ (Physique générale I, chapitre 4 «Travail, énergie et puissance»):

E_{p} (θ) - E_{p} (π /2) = \int_{π /2}^{θ} pE sin θ^{'} d θ^{'} = [- pE cos θ^{'}]_{π /2}^{θ} = - pE cos θ .

Avec la convention $E_{p} (π /2) = 0$ , on obtient (2.14).

Énergie, deuxième voie: le travail des deux forces. Faisons passer le dipôle de $θ = π /2$ à $θ$ en le faisant tourner autour de son centre. La charge $+ q$ se déplace de $\frac{d}{2} cos θ$ dans la direction de $E$ , et la force $q E$ , constante, travaille de . La charge se déplace de dans le sens à , et la force travaille aussi de . Le travail total est l'opposé de la variation d'énergie potentielle: , la même expression.

L'énergie est minimale, $- pE$ , pour $θ = 0$ : le dipôle aligné sur le champ est en équilibre stable. Elle est maximale, $+ pE$ , pour $θ = π$ : le dipôle antiparallèle est en équilibre instable, le couple étant nul mais la moindre perturbation l'éloignant de cette position. Faire passer un dipôle de l'équilibre stable à l'équilibre instable demande le travail $2 pE$ . Écarté légèrement de $θ = 0$ , un dipôle de moment d'inertie $I$ (ici, par exception, la lettre ne désigne pas un courant) oscille avec la pulsation puisque : c'est l'oscillateur harmonique de Physique générale I, chapitre 7 «Oscillations», avec dans le rôle de la raideur.

La molécule d'eau et le four à micro-ondes

Combien vaut, pour une molécule d'eau, l'énergie d'orientation $pE$ comparée à l'énergie d'agitation thermique $k_{B} T$ ? À $20 ° C$ , $k_{B} T = 1, 381 \cdot 1 0^{- 23} \times 293, 15 = 4, 047 \cdot 1 0^{- 21}$ J. Dans un champ de V/m, J, soit fois . Même à la limite de claquage de l'air, V/m, le rapport ne dépasse pas . Un champ électrique ordinaire les molécules d'eau: il ne fait que biaiser très légèrement leurs orientations désordonnées. Cela suffit à expliquer la polarisation des diélectriques du chapitre 5, et cela montre au passage pourquoi la constante de Boltzmann, notée ici pour ne pas la confondre avec la constante de Coulomb , apparaît dans ces questions.

Un four à micro-ondes domestique produit un champ électrique qui oscille à $2, 45$ GHz. À chaque demi-période, le couple $p \times E$ tente de retourner les molécules d'eau de l'aliment; celles-ci, gênées par leurs voisines avec lesquelles elles forment des liaisons hydrogène, suivent avec retard, et le travail fourni par le champ se dissipe en agitation thermique. Il ne s'agit pas d'une résonance de la molécule isolée, contrairement à une idée répandue: les résonances de rotation de la vapeur d'eau se situent à des fréquences nettement plus élevées, et la fréquence de $2, 45$ GHz est une bande attribuée par convention internationale aux usages industriels et domestiques. Un choix de fréquence proche d'une résonance serait d'ailleurs contre-productif: l'onde serait absorbée dans les premiers millimètres de l'aliment au lieu de le chauffer en profondeur. La glace, dont les molécules sont bloquées dans un réseau cristallin, se réchauffe beaucoup plus mal que l'eau liquide, ce qui explique les programmes de décongélation par impulsions.

Question 2.5

Une molécule d'eau ( $p = 6, 17 \cdot 1 0^{- 30}$ C·m) est placée dans un champ uniforme de $1, 00 \cdot 1 0^{5}$ V/m, son moment dipolaire faisant un angle de $90°$ avec le champ. Quel couple subit-elle? Donnez la réponse en unités de $1 0^{- 25}$ N·m.

Mouvement d'une charge dans un champ uniforme

Le projectile électrique

Une particule de masse $m$ et de charge $q$ placée dans un champ électrique uniforme $E$ subit la force constante $q E$ . Si l'on peut négliger les autres forces, la deuxième loi de Newton donne une accélération constante:

a = \frac{q}{m} E . (2.15)

C'est exactement la situation du projectile de Physique générale I, chapitre 2 «Cinématique du point», où l'accélération constante était $g$ . Tous les résultats s'appliquent en remplaçant $g$ par $q E / m$ : le mouvement est uniforme perpendiculairement au champ, uniformément accéléré le long du champ, et la trajectoire est une parabole dès que la vitesse initiale a une composante perpendiculaire au champ. Deux différences sont à retenir. D'abord, l'accélération dépend du rapport $q / m$ , qui varie énormément d'une particule à l'autre: pour l'électron, $e / m_{e} = 1, 759 \cdot 1 0^{11}$ C/kg, et un champ modeste de kV/m lui communique une accélération de m/s², soit fois . Le poids est alors totalement négligeable, et nous le négligerons pour toutes les particules élémentaires. Ensuite, le signe de compte: un électron est accéléré du champ.

L'énergie se traite comme en mécanique. La force $q E$ étant constante, son travail sur un déplacement $Δ r$ vaut $q E \cdot Δ r$ , et le théorème de l'énergie cinétique (Physique générale I, chapitre 4) donne, pour une particule partant du repos et parcourant la distance $d$ le long du champ,

\frac{1}{2} m v^{2} = q E d, v = \frac{2 q E d}{m} .

Le produit $E d$ est la tension $U$ entre les deux points, que le chapitre 4 définira: une particule accélérée sous la tension $U$ acquiert l'énergie cinétique $q U$ . C'est l'origine de l'unité d'énergie des physiciens des particules, l'électronvolt: $1 eV = 1, 602 \cdot 1 0^{- 19}$ J, l'énergie d'un électron accéléré sous $1$ V.

Déviation d'un faisceau entre deux plaques

Un faisceau de particules de charge $q$ et de masse $m$ entre avec la vitesse $v_{0}$ , parallèle aux plaques, dans la région comprise entre deux plaques parallèles de longueur $L$ , où règne un champ uniforme $E$ perpendiculaire aux plaques. On néglige les effets de bord: le champ est supposé uniforme entre les plaques et nul à l'extérieur. Prenons l'axe $x$ selon $v_{0}$ et l'axe dans le sens de la force , d'intensité .

Entre les plaques, $x = v_{0} t$ et $y = \frac{∣ q ∣ E}{2 m} t^{2}$ . En éliminant $t$ , la trajectoire est la parabole . La particule sort des plaques au bout du temps , avec

y_{1} = \frac{∣ q ∣ E L ^{2}}{2 m v _{0}^{2}}, tan θ = \frac{v _{y}}{v _{0}} = \frac{∣ q ∣ E L}{m v _{0}^{2}} . (2.16)

Au-delà, plus aucune force n'agit: la particule poursuit en ligne droite sous l'angle $θ$ . Sur un écran placé à la distance $D$ au-delà de la sortie des plaques, le spot est dévié de

Y = y_{1} + D tan θ = tan θ (\frac{L}{2} + D) . (2.17)

La seconde forme a une lecture géométrique simple: prolongée vers l'arrière, la trajectoire rectiligne coupe l'axe initial au milieu des plaques. Tout se passe comme si la particule avait été brusquement déviée en $x = L /2$ . La déviation $Y$ est proportionnelle à $E$ , donc à la tension appliquée entre les plaques: c'est ce qui permettait aux oscilloscopes à tube cathodique de «dessiner» une tension électrique sur un écran fluorescent.

Les oscilloscopes actuels sont numériques et leurs écrans n'ont plus rien de cathodique, mais le principe de la déviation électrostatique reste employé dans de nombreux instruments: tubes d'analyse des spectromètres, déflecteurs des faisceaux de particules, microscopes électroniques. Les téléviseurs à tube, eux, déviaient le faisceau par un champ magnétique, dont le chapitre 7 donnera le principe.

Un autre exemple courant est l'imprimante à jet d'encre continu, utilisée dans l'industrie pour marquer une date de péremption sur un emballage. Un jet d'encre se fragmente en gouttelettes régulières; chacune reçoit, au moment où elle se détache, une charge électrique choisie par l'électronique, puis traverse un champ fixe entre deux plaques. La déviation, proportionnelle à la charge d'après (2.16), place la goutte à la hauteur voulue; les gouttes non chargées ne sont pas déviées et sont récupérées dans une gouttière pour être recyclées. Les imprimantes de bureau, elles, fonctionnent généralement «à la demande», en éjectant les gouttes une à une sans déviation électrique.

Synthèse

Le champ électrique est la force par unité de charge subie par une charge d'essai petite, $E = lim F / q_{0}$ , en V/m; la petitesse de $q_{0}$ garantit qu'elle ne déforme pas les sources. Une charge $q$ subit $q E$ , opposée au champ si $q < 0$ . Charge ponctuelle: .

Série d'exercices du chapitre 2Exercice 1 sur 5

Question 2.6

On triple la distance entre un point et une charge ponctuelle. L'intensité du champ en ce point est:

Exercices

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Exercice 2.1 · Deux charges positives

Une charge $q_{1} = + 4, 00$ nC est placée à l'origine et une charge $q_{2} = + 1, 00$ nC en $(6, 00 cm, 0)$ .

Exercice 2.2 · Champ sur l'axe d'une tige

Une tige mince de longueur $L = 20, 0$ cm porte la charge $Q = + 8, 00$ nC uniformément répartie. On cherche le champ en un point $P$ situé sur le prolongement de la tige, à la distance $a = 10, 0$ cm de son extrémité la plus proche.

Établir que $E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{a ( a + L )}$ et en donner la direction.

Exercice 2.3 · Haltère électrique dans un champ uniforme

Deux petites sphères de masse $m = 2, 00$ g chacune portent les charges $+ 5, 00$ nC et $- 5, 00$ nC. Elles sont fixées aux extrémités d'une tige isolante de masse négligeable et de longueur $d = 4, 00$ cm, qui peut tourner librement autour de son milieu. L'ensemble est placé dans un champ uniforme $E = 2, 00 \cdot 1 0^{4}$ V/m.

Exercice 2.4 · Imprimante à jet d'encre continu

Dans une imprimante industrielle à jet d'encre continu, une gouttelette de masse $m = 1, 3 \cdot 1 0^{- 10}$ kg porte la charge $q = - 1, 5 \cdot 1 0^{- 13}$ C. Elle entre avec la vitesse horizontale m/s entre deux plaques de déviation de longueur cm, où règne un champ vertical uniforme V/m dirigé vers le bas. Ces valeurs sont plausibles, mais choisies pour l'exercice.

Exercice 2.5 · Arc de cercle chargé (démonstration)

Un fil fin en forme d'arc de cercle de rayon $R$ et d'angle au centre $2 α$ porte la charge $Q$ répartie uniformément.

Montrer que le champ au centre $O$ du cercle est dirigé selon la bissectrice de l'arc, en s'éloignant de l'arc si $Q > 0$ , et qu'il vaut $E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{2 λ sin α}{R}$ avec .

Références

Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Fundamentals of Physics, Wiley (trad. française: Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière Éducation), chapitre sur le champ électrique.
Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, Pearson, chap. 21 «Electric Charge and Electric Field».
Purcell, E. M. et Morin, D. J., Electricity and Magnetism, 3e éd., Cambridge University Press, chap. 1.
Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme 1, Dunod.
Benson, H., Physique 2 – Électricité et magnétisme, De Boeck.
Pérez, J.-P., Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod.