Courant électrique et circuits en courant continu

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir l'intensité et la densité de courant, démontrer la relation $I = n q A v_{d}$ et estimer la vitesse de dérive des électrons dans un fil de cuivre;
établir la loi d'Ohm à partir d'un modèle de conduction, en dire les hypothèses et les limites, et calculer la résistance d'un conducteur à partir de sa résistivité et de sa température;
démontrer que la puissance reçue par un dipôle vaut $P = U I$ , en déduire l'effet Joule, et expliquer pourquoi l'électricité est transportée sous haute tension;
modéliser une source réelle par sa force électromotrice et sa résistance interne, et appliquer les conventions récepteur et générateur sans erreur de signe;
démontrer les deux lois de Kirchhoff et les utiliser pour résoudre un réseau à plusieurs sources, avec un bilan de puissance qui se referme exactement;
résoudre l'équation différentielle de la charge et de la décharge d'un condensateur, interpréter la constante de temps $τ = R C$ et montrer que la moitié de l'énergie fournie est dissipée, quelle que soit la résistance.

Le courant électrique

De l'électrostatique aux charges en mouvement

Les cinq premiers chapitres ont étudié des charges au repos. Dans un conducteur en équilibre, le champ électrique est nul à l'intérieur (chapitre 3) et le conducteur tout entier est un volume équipotentiel (chapitre 4). Relions maintenant les deux bornes d'une pile par un fil métallique: le fil n'est plus en équilibre. Ses deux extrémités sont maintenues à des potentiels différents, un champ électrique règne dans le métal et les charges libres qui s'y trouvent se mettent en mouvement. Ce mouvement d'ensemble de charges est un courant électrique.

Ce chapitre traite le régime continu (ou stationnaire): les courants et les tensions ne dépendent pas du temps, sauf pendant les brefs régimes transitoires du circuit RC étudié à la fin. Il fournit les outils (loi d'Ohm, puissance, lois de Kirchhoff) qui serviront ensuite pour les circuits en courant alternatif du chapitre 10 et pour le circuit RL du chapitre 9.

Intensité du courant

L'ampère depuis 2019. Le Système international révisé en 2019 fixe la valeur de la charge élémentaire, $e = 1, 602176634 \cdot 1 0^{- 19}$ C exactement, et définit l'ampère à partir d'elle et de la seconde: un courant de $1$ A est le passage de $1/ e = 6, 2415 \cdot 1 0^{18}$ charges élémentaires par seconde. L'ancienne définition, par la force entre deux fils parallèles distants de m, devient une conséquence de la valeur de ; le chapitre 8 y reviendra.

Sens conventionnel. Par convention, le sens du courant est celui du déplacement des charges positives. Dans un métal, les porteurs mobiles sont des électrons, de charge $- e$ : ils se déplacent en sens inverse du courant conventionnel. Un flux d'électrons vers la gauche et un flux de charges positives vers la droite transportent la charge dans le même sens et donnent le même $I$ ; tous les effets macroscopiques étudiés ici (échauffement, champ magnétique, charge d'un condensateur) sont identiques dans les deux cas. Dans un électrolyte ou un gaz ionisé, des porteurs des deux signes se déplacent en sens contraires et leurs contributions s'additionnent.

Densité de courant

L'intensité est un bilan global à travers une surface. Pour décrire où et dans quelle direction passent les charges, il faut une grandeur locale, vectorielle.

La notation $J$ en capitale est celle de tout le cours: la minuscule $j$ désignera au chapitre 10 l'unité imaginaire. La relation (6.2) est l'analogue exact du débit d'un fluide: $J$ joue le rôle du champ $ρ_{m} v$ de la mécanique des fluides ( $ρ_{m}$ masse volumique), et $I$ celui du débit massique à travers une section. Pour un fil homogène de section $A$ parcouru par un courant uniformément réparti et perpendiculaire à la section, (6.2) se réduit à .

Vitesse de dérive

Les électrons libres d'un métal ne sont jamais au repos: ils s'agitent en tous sens à très grande vitesse, mais leur vitesse moyenne est nulle en l'absence de champ, si bien qu'aucune charge nette ne traverse une section. Un champ appliqué superpose à cette agitation un lent mouvement d'ensemble, de vitesse moyenne $v_{d}$ : la vitesse de dérive.

Démonstration. Considérons une section droite $S$ du conducteur, d'aire $A$ , et un intervalle de temps $d t$ . Pendant $d t$ , chaque porteur avance en moyenne de $v_{d} d t$ . Les porteurs qui traversent $S$ pendant $d t$ sont exactement ceux qui se trouvaient, au début de l'intervalle, à une distance de $S$ inférieure à en amont (du côté d'où ils viennent): ils occupent un cylindre de base et de hauteur , de volume . Ce cylindre contient porteurs, qui transportent la charge à travers . Pour des électrons (), la charge négative va dans un sens, ce qui équivaut à une charge positive dans l'autre: le courant conventionnel est opposé à , et sa valeur absolue est la même. En divisant par , , et .

L'argument ne suppose rien sur les vitesses individuelles, seulement que leur moyenne vaut $v_{d}$ : les écarts à la moyenne, dirigés au hasard, font traverser $S$ autant de porteurs dans un sens que dans l'autre et n'apportent rien au bilan.

Ce résultat surprend toujours. Si les électrons avancent si lentement, pourquoi la lampe s'allume-t-elle dès qu'on actionne l'interrupteur? Parce que ce ne sont pas les électrons qui voyagent de l'interrupteur à la lampe, c'est le signal: la modification du champ électrique qui les met en mouvement. Le fil est déjà rempli d'électrons de conduction sur toute sa longueur; dès que le champ s'établit, ils se mettent à dériver presque simultanément partout, comme l'eau d'un tuyau déjà plein sort à l'autre bout dès qu'on ouvre la vanne, bien avant que l'eau entrée au robinet n'y parvienne. Le champ se propage le long du câble à une vitesse de l'ordre de celle de la lumière (une fraction appréciable de $c$ , selon l'isolant qui entoure les conducteurs); $c$ elle-même vaut $6, 1 \cdot 1 0^{11}$ fois la vitesse de dérive de l'exemple.

Deux autres vitesses mettent $v_{d}$ en perspective. Le modèle classique de l'agitation thermique, $\frac{1}{2} m_{e} \overline{v^{2}} = \frac{3}{2} k_{B} T$ , donne à une vitesse quadratique moyenne m/s. La physique quantique corrige ce chiffre: les électrons de conduction d'un métal obéissent au principe de Pauli et les plus rapides, ceux qui participent à la conduction, ont la vitesse de Fermi, qui vaut pour le cuivre m/s. Dans les deux cas, la dérive est une infime asymétrie superposée à une agitation énorme: dans l'exemple.

Question 6.1

Dans un fil de cuivre horizontal, le courant conventionnel $I$ circule de gauche à droite. Que font les électrons de conduction?

Question 6.2

Une batterie externe porte l'indication $5000$ mAh. Quelle charge, en coulombs, peut-elle débiter?

La loi d'Ohm

Un modèle de conduction

Pourquoi la vitesse de dérive est-elle constante? Un électron soumis au seul champ $E$ subirait la force $- e E$ et serait uniformément accéléré, comme la charge dans un champ uniforme du chapitre 2; le courant croîtrait sans limite. Il n'en est rien parce que l'électron heurte sans cesse le réseau d'ions du métal (plus exactement ses vibrations et ses défauts). Le modèle le plus simple de ce mécanisme est dû à Paul Drude (1900); c'est un modèle, c'est-à-dire une construction simplifiée dont on jugera les conséquences sur l'expérience, pas une loi fondamentale. Ses hypothèses sont les suivantes:

les électrons de conduction se déplacent librement entre deux collisions, soumis à la seule force $q E$ ;
chaque collision fait «oublier» à l'électron sa vitesse: juste après, sa vitesse est dirigée au hasard et sa moyenne est nulle;
le temps moyen écoulé depuis la dernière collision est une constante $τ_{c}$ du matériau, indépendante du champ.

La lettre $τ_{c}$ , avec son indice, désigne ce temps de collision; $τ$ sans indice sera la constante de temps du circuit RC.

Démonstration. Considérons un électron à un instant $t$ , et soit $t_{0}$ l'instant de sa dernière collision. Entre $t_{0}$ et $t$ , il est soumis à la seule force constante $q E$ (hypothèse 1), donc

v (t) = v_{0} + \frac{q E}{m} (t - t_{0}),

où $v_{0}$ est sa vitesse juste après la collision. Moyennons sur tous les électrons à l'instant $t$ . La moyenne de $v_{0}$ est nulle (hypothèse 2) et la moyenne de $t - t_{0}$ est $τ_{c}$ (hypothèse 3). Il reste . Enfin . Pour des électrons, : est opposée à , mais et a bien le sens de .

Le modèle traduit un fait d'expérience: dans un métal à température fixée, $J$ est proportionnelle à $E$ sur un domaine de champs immense. Mais il faut dire ce qu'il n'explique pas. Il ne prédit pas $τ_{c}$ : on la déduit de la conductivité mesurée. Pour le cuivre, $σ = 1/ (1, 68 \cdot 1 0^{- 8} Ω \cdot m) = 5, 952 \cdot 1 0^{7}$ S/m et donnent s. Avec la vitesse thermique classique, le libre parcours moyen serait de nm; avec la vitesse de Fermi, il vaut nm, environ distances interatomiques: les électrons traversent un réseau cristallin parfait sans le heurter, et ne sont diffusés que par ses vibrations et ses défauts. Cette réponse relève de la physique quantique du solide. Le modèle classique donne la bonne forme de la loi et le bon ordre de grandeur de , pas son origine.

Résistivité, conductivité

Réutilisation déclarée des lettres. Dans ce chapitre, $ρ$ désigne la résistivité et $σ$ la conductivité; ailleurs dans le cours, les mêmes lettres désignent les densités volumique et surfacique de charge. C'est l'usage universel des deux domaines, que nous gardons plutôt que d'inventer des symboles; le contexte lève toujours l'ambiguïté, et la masse volumique du cuivre de l'exemple 6.2 était notée $ρ_{m}$ pour cette raison.

Le tableau suivant rassemble des valeurs usuelles des tables (arrondies, à $20 ° C$ ); pour un métal réel, elles varient de quelques pour cent selon la pureté et l'état métallurgique.

Matériau	$ρ$ à $20 ° C$ ( $Ω \cdot m$ )	$α$ ( $K^{- 1}$ )
Argent	$1, 59 \cdot 1 0^{- 8}$

La plage couverte, plus de vingt ordres de grandeur entre l'argent et le verre, est sans équivalent parmi les propriétés physiques usuelles. Elle sépare les conducteurs (métaux), les semi-conducteurs (silicium, dont la conductivité dépend énormément des impuretés qu'on y introduit, ce qui fonde l'électronique) et les isolants. Les alliages constantan et nichrome sont choisis pour d'autres raisons: le premier parce que sa résistivité ne varie presque pas avec la température (résistances de précision), le second parce qu'il est très résistif et résiste à l'oxydation au rouge (fils chauffants de grille-pain et de sèche-cheveux).

Résistance d'un fil et loi d'Ohm

Démonstration. Orientons l'axe $x$ le long du fil, dans le sens du courant, de l'extrémité $a$ ( $x = 0$ ) à l'extrémité $b$ ( $x = L$ ). Le courant étant uniformément réparti, $J = (I / A) e_{x}$ , et d'après (6.5) , uniforme. En régime stationnaire, ce champ est électrostatique: il dérive d'un potentiel (chapitre 4), et

U = V_{a} - V_{b} = \int_{a}^{b} E \cdot d l = \int_{0}^{L} \frac{ρ I}{A} d x = \frac{ρ L}{A} I . □

La loi d'Ohm $U = R I$ est donc la forme intégrée de la loi locale $J = σ E$ ; elle hérite de ses limites. La résistance augmente avec la longueur (les tensions des tronçons successifs s'ajoutent) et diminue avec la section (les tubes de courant parallèles se partagent l'intensité). Pour une géométrie qui n'est pas un cylindre (une plaque de forme quelconque, le sol autour d'une prise de terre), il faut intégrer, mais la proportionnalité $U \propto I$ subsiste pour tout conducteur ohmique.

Influence de la température

Quand la température monte, les vibrations du réseau s'amplifient, les collisions deviennent plus fréquentes, $τ_{c}$ diminue et la résistivité d'un métal augmente. Sur un intervalle de quelques dizaines de kelvins autour d'une température de référence $T_{0}$ , l'expérience montre une variation linéaire,

ρ (T) = ρ_{0} [1 + α (T - T_{0})], (6.7)

où $α$ est le coefficient de température du tableau précédent. La formule (6.7) est une approximation au premier ordre, valable sur un domaine limité; sur plusieurs centaines de kelvins (filament de lampe), elle sous-estime l'effet et il faut une loi mesurée. C'est le principe des sondes à résistance de platine qui mesurent la température dans l'industrie. Les semi-conducteurs font l'inverse: leur résistivité diminue quand la température monte, parce que l'agitation thermique libère davantage de porteurs.

Question 6.3

Quelle est la résistance, en ohms, d'un fil de cuivre de $100$ m de longueur et de $2, 5 mm^{2}$ de section, à $20 ° C$ ( $ρ = 1, 68 \cdot 1 0^{- 8} Ω \cdot m$ )?

Énergie et puissance électriques

La puissance reçue par un dipôle

Un dipôle est un composant à deux bornes: une résistance, une pile, un condensateur, une lampe. On le caractérise par l'intensité $I$ qui le traverse et par la tension $U$ entre ses bornes, et il faut dire comment les deux sont orientées.

Démonstration. En régime stationnaire, pendant l'intervalle $d t$ , la charge $d q = I d t$ entre dans le dipôle par la borne $A$ et une charge égale en sort par la borne $B$ ; rien ne s'accumule à l'intérieur. Le bilan revient à transporter la charge $d q$ du potentiel $V_{A}$ au potentiel $V_{B}$ . D'après le chapitre 4, l'énergie potentielle électrique de cette charge diminue de , et cette énergie est cédée au dipôle. En divisant par , . Pour une résistance, donne . Où va cette énergie? Les électrons dérivent à vitesse moyenne constante: leur énergie cinétique moyenne ne change pas. Le travail que le champ fournit entre deux collisions est donc intégralement cédé au réseau lors des collisions, sous forme d'agitation thermique.

La loi (6.9) a une forme locale qui se lit sur la démonstration: la puissance cédée par unité de volume vaut $p = J \cdot E = σ E^{2}$ . Dans le fil de l'exemple 6.2, $p = 7, 467 \cdot 1 0^{5} W/m^{3}$ ; multiplié par la section, cela donne W par mètre de fil, exactement pour un mètre (). L'effet Joule est utile dans un radiateur, une bouilloire ou un fusible, nuisible partout ailleurs, et c'est lui qui fixe le courant admissible d'un câble: au-delà, l'isolant chauffe et se dégrade.

L'unité usuelle d'énergie électrique, le kilowattheure, est l'énergie consommée pendant une heure à la puissance de $1$ kW: $1 kWh = 3, 6 \cdot 1 0^{6}$ J.

Question 6.4

Sur une ligne de prises protégée par un fusible de $10$ A sous $230$ V, on branche une bouilloire de $2200$ W, puis un grille-pain de $1000$ W. Que se passe-t-il?

Pourquoi transporter l'électricité sous haute tension

Sources et force électromotrice

Force électromotrice

Dans une résistance, le courant va du potentiel le plus élevé vers le plus bas, et les charges perdent de l'énergie potentielle. Pour qu'un courant circule en boucle fermée en régime permanent, il faut qu'en un endroit du circuit les charges remontent le potentiel, poussées par une force qui n'est pas électrostatique. Le champ électrostatique, conservatif (chapitre 4), ne peut à lui seul entretenir une circulation: son travail sur un tour complet est nul, alors que l'effet Joule consomme de l'énergie à chaque tour. Ce rôle est tenu par une source: réactions chimiques dans une pile ou un accumulateur, force magnétique dans un générateur (chapitre 9), effet photovoltaïque dans une cellule solaire.

Une source idéale maintient entre ses bornes une tension égale à $E$ quel que soit le courant débité. Une source réelle dissipe de l'énergie à l'intérieur même de la source, dans l'électrolyte ou les électrodes: on la modélise par une source idéale en série avec une résistance interne $r$ .

Caractéristique d'une source réelle

Orientons le courant $I$ en convention générateur: il sort par la borne $+$ . À l'intérieur de la source, une charge positive $q$ subit la force électrostatique $q E$ et la force non électrostatique $f$ ; le modèle de Drude s'applique avec la force totale, $J = σ (E + f / q)$ . Intégrons le long de la source, de la borne $-$ à la borne $+$ , en suivant le courant. Le terme vaut par le même calcul qu'en (6.6), le terme vaut par définition, et le terme vaut . Il reste , c'est-à-dire la de la source:

U = E - r I (convention g \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} rateur) . (6.10)

La tension aux bornes décroît linéairement avec le courant débité. À vide ( $I = 0$ ), $U = E$ : c'est ainsi qu'on mesure une f.é.m., avec un voltmètre qui ne débite pratiquement rien. En court-circuit ( $U = 0$ ), le courant atteint $I_{cc} = E / r$ , limité seulement par la résistance interne; pour une batterie de voiture, dont vaut quelques milliohms, il dépasse plusieurs centaines d'ampères et peut faire fondre une clé posée en travers des bornes.

Multipliée par $I$ , la caractéristique donne un bilan de puissance: $U I = E I - r I^{2}$ . La source convertit la puissance $E I$ (chimique, mécanique…) en puissance électrique, en dissipe $r I^{2}$ à l'intérieur et livre $U I$ au circuit. Avec V, et une charge : A, V, la source convertit W, en perd W et en livre W, soit un rendement .

Si un courant est imposé en sens inverse, de la borne $+$ vers la borne $-$ à travers la source (ce que fait un chargeur), $I < 0$ en convention générateur et (6.10) donne $U = E + r ∣ I ∣ > E$ : il faut appliquer plus que la f.é.m. pour recharger un accumulateur. La puissance $E I$ est alors négative: la source reçoit de l'énergie et la stocke sous forme chimique. Nous retrouverons cette situation dans le circuit à deux sources.

Associations de résistances

Démonstration. En série, les résistances sont traversées successivement par le même courant $I$ , puisqu'aucune charge ne s'accumule aux points de jonction en régime stationnaire. La tension totale est la somme des tensions, parce que les différences de potentiel s'additionnent: $V_{0} - V_{N} = (V_{0} - V_{1}) + (V_{1} - V_{2}) + \dots$ . Donc . , toutes les résistances sont soumises à la même tension (leurs bornes sont reliées aux deux mêmes nœuds) et les courants s'ajoutent, par conservation de la charge au nœud d'entrée: .

Ces deux arguments sont des cas particuliers des lois de Kirchhoff démontrées plus bas. En série, la résistance équivalente dépasse la plus grande des résistances; en parallèle, elle est inférieure à la plus petite. Deux résistances en parallèle donnent $R_{\overset{e}{ˊ} q} = R_{1} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ , et résistances identiques . Par exemple, en série avec l'ensemble parallèle de et : , et au total . Les appareils d'une installation domestique sont branchés : chacun reçoit la tension du réseau indépendamment des autres, et le courant de la ligne est la somme de leurs courants, ce qui a fait fondre le fusible de l'exercice précédent.

La conductance $G = 1/ R$ (en siemens) rend l'association parallèle aussi simple que la série: les conductances en parallèle s'additionnent. C'est la même dualité qu'entre la résistivité et la conductivité.

Les lois de Kirchhoff

Nœuds, branches, mailles

Un réseau électrique est un ensemble de dipôles reliés par des fils de résistance négligeable. Un nœud est un point où se rejoignent au moins trois conducteurs; une branche est une portion de réseau entre deux nœuds consécutifs, parcourue par un même courant; une maille est un parcours fermé le long de branches, qui ne passe qu'une fois par chaque nœud. Les associations série et parallèle ne suffisent pas à réduire tous les réseaux, en particulier dès qu'il y a plusieurs sources dans des branches différentes. Il faut alors écrire les deux lois de Kirchhoff.

Démonstration. Loi des nœuds. Entourons le nœud d'une surface fermée $Σ$ , orientée vers l'extérieur, qui coupe chacun des conducteurs qui y aboutissent. La charge est conservée: la charge $Q_{int}$ contenue dans $Σ$ ne varie que par le flux de charge à travers $Σ$ ,

\frac{d Q _{int}}{d t} = - \oint_{Σ} J \cdot d A .

En régime stationnaire, $Q_{int}$ est constante, donc le flux sortant de $J$ est nul. Ce flux n'est non nul que là où $Σ$ coupe un conducteur, et à travers la section du conducteur $k$ il vaut $+ I_{k}$ si le courant de référence sort et $- I_{k}$ s'il entre. La somme des courants sortants moins la somme des courants entrants est donc nulle.

Loi des mailles. En régime stationnaire, les charges du circuit (celles, très faibles, qui se répartissent à la surface des conducteurs et créent le champ qui guide le courant) ont une distribution indépendante du temps. Le champ électrique qu'elles créent est donc un champ électrostatique, et il est conservatif (chapitre 4): il existe un potentiel $V$ défini en tout point du circuit, y compris à l'intérieur des sources, où agissent en plus des forces non électrostatiques qui ne modifient pas cette propriété du champ. Parcourons une maille en passant par les nœuds $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ et revenons en $A_{1}$ . La tension aux bornes de chaque dipôle, flèche dans le sens de parcours, est une différence de potentiel ou son opposée, et la somme est télescopique:

(V_{A_{2}} - V_{A_{1}}) + (V_{A_{3}} - V_{A_{2}}) + \dots + (V_{A_{1}} - V_{A_{m}}) = 0.

Chaque terme, compté avec son signe $ε_{k}$ , est l'une des tensions $U_{k}$ , d'où la loi des mailles. $□$

Les deux hypothèses sont visibles dans la démonstration, et chacune a sa limite. La loi des nœuds exige qu'aucune charge ne s'accumule: elle reste vraie en régime variable pour un nœud réduit à un point de fil, mais pas pour une surface qui enfermerait une seule armature d'un condensateur; le chapitre 11 en tirera le courant de déplacement. La loi des mailles exige un champ conservatif: en présence d'un flux magnétique variable à travers la maille, la circulation de $E$ n'est plus nulle (loi de Faraday, chapitre 9), et l'on y remédie en comptant la f.é.m. induite comme une source.

Le circuit à deux sources

La conclusion dépend des valeurs: la source 2 ne serait ni chargée ni déchargée si $I_{2} = 0$ , c'est-à-dire si $U = E_{2} = 6$ V, ce qui exige $I_{1} = (12 - 6) /2 = 3$ A , donc . Une charge plus gourmande () ferait baisser la tension des nœuds sous V et la source 2 contribuerait à l'alimenter; avec , ce n'est pas le cas. Brancher en parallèle deux sources de f.é.m. différentes est donc une mauvaise idée: la plus forte débite dans la plus faible, même sans charge.

Question 6.5

Remettez dans l'ordre les étapes de la résolution d'un réseau par les lois de Kirchhoff.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Écrire la loi des mailles sur

b - n + 1

mailles indépendantes

Vérifier que la puissance fournie par les sources égale la puissance reçue par les autres dipôles

Écrire la loi des nœuds en

n - 1

nœuds

Dessiner les flèches de tension, en convention récepteur pour les résistances et générateur pour les sources

Choisir et dessiner un sens de référence pour le courant de chaque branche

Résoudre le système et interpréter le signe de chaque courant

Instruments de mesure

Un ampèremètre mesure le courant qui le traverse: on l'insère en série dans la branche, en ouvrant le circuit. Pour ne pas modifier le courant qu'il mesure, sa résistance interne $R_{A}$ doit être très petite devant les résistances du circuit; l'ampèremètre idéal a $R_{A} = 0$ . Un voltmètre mesure la tension entre ses bornes: on le branche en parallèle sur le dipôle, sans toucher au circuit. Pour ne pas détourner de courant, sa résistance interne $R_{V}$ doit être très grande; le voltmètre idéal a infinie. Un multimètre numérique courant a une résistance d'entrée de l'ordre de en voltmètre.

Brancher un ampèremètre en parallèle sur une source revient à la court-circuiter par une très faible résistance: c'est la manière la plus sûre de griller le fusible de protection de l'appareil. Brancher un voltmètre en série, au contraire, est sans danger mais inutile: sa grande résistance annule presque le courant.

Le circuit RC

Mise en équation

Un condensateur de capacité $C$ (chapitre 5) est relié à une source idéale de f.é.m. $U_{0}$ à travers une résistance $R$ (figure 6.2). À l'instant $t = 0$ , on bascule l'interrupteur $K$ en position 1. Le courant ne peut pas traverser l'isolant entre les armatures: il apporte des charges sur l'armature reliée à la résistance et en retire autant de l'autre. Soit $q (t)$ la charge de l'armature supérieure et $u_{C} (t) = q / C$ la tension du condensateur. Avec le sens de référence de dirigé vers cette armature (convention récepteur pour le condensateur),

i = \frac{d q}{d t} = C \frac{d u _{C}}{d t} .

La loi d'Ohm donne $u_{R} = R i$ , et la loi des mailles $U_{0} = u_{R} + u_{C}$ . Ce circuit n'est pas en régime stationnaire, mais les lois de Kirchhoff s'y appliquent encore: les variations sont assez lentes devant le temps de propagation du signal le long du circuit pour qu'en chaque instant le courant soit le même tout le long d'une branche (approximation des régimes quasi stationnaires), et la loi des nœuds ne s'applique qu'à des points de fil, jamais à une armature isolée. En éliminant :

R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = U_{0} . (6.13)

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, dont Analyse II, chapitre 1 «Équations différentielles ordinaires» donne la théorie. Le produit $τ = R C$ a la dimension d'un temps: $Ω \cdot F = (V/A) (C/V) = C/A = s$ . On l'appelle la constante de temps du circuit.

Charge et décharge

Démonstration. Condition initiale. La tension $u_{C} = q / C$ est continue: une discontinuité de $q$ exigerait un courant infini, impossible à travers $R$ . Donc $u_{C} (0^{+}) = u_{C} (0^{-})$ .

Charge. L'équation homogène $τ u^{'} + u = 0$ a pour solutions $u = K e^{- t / τ}$ , $K$ constante. La constante $u = U_{0}$ est une solution particulière de (6.13). La solution générale est la somme, , et impose . On obtient (6.14), et . On peut aussi séparer les variables: avec , (6.13) devient , d'où et .

Décharge. La source est retirée de la maille; la loi des mailles devient $u_{R} + u_{C} = 0$ , soit $τ u_{C}^{'} + u_{C} = 0$ , avec . D'où et .

La constante de temps se lit de deux façons sur la figure 6.3. C'est l'instant où l'écart à l'état final est divisé par $e$ : $u_{C} (τ) = 0, 632 U_{0}$ en charge, $0, 368 U_{0}$ en décharge. C'est aussi l'abscisse où la tangente à l'origine rencontre l'asymptote, puisque la pente initiale vaut . Au bout de , et , la charge atteint , et de . Mathématiquement, elle n'est jamais complète; en pratique, on la considère comme terminée après . Elle atteint à .

Explorateur 6.1 · Explorateur de la charge d'un condensateur

Un condensateur initialement déchargé est relié à l'instant $t = 0$ à une source idéale $U_{0} = 12$ V à travers une résistance $R$ . Faites varier $R$ et $C$ : la constante de temps $τ = R C$ fixe l'allure des deux courbes, le point marqué à $t = τ$ est toujours à 63,2 % de la tension finale, et l'énergie dissipée dans la résistance reste égale à l'énergie stockée, quelle que soit $R$ .

Résistance R10,0kΩ

Capacité C100µF

Constante de temps

τ = R C

1,00 s

Courant initial

U_{0} / R

1,20mA

u_{C} (τ)

7,585 V (63,2 %)

Énergie fournie par la source

C U_{0}^{2}

14,40mJ

Énergie stockée

\frac{1}{2} C U_{0}^{2}

7,20mJ

Énergie dissipée dans

R

7,20 (50 %)mJ

Question 6.6

Un condensateur de $47 μ F$ , initialement déchargé, est chargé à travers une résistance de $22 k Ω$ . Au bout de combien de secondes sa tension atteint-elle $95 %$ de la tension finale?

Bilan d'énergie: la moitié est perdue

Démonstration. Énergie fournie. La source, en convention générateur, fournit la puissance $U_{0} i$ . Sur toute la charge, elle fournit $\int_{0}^{\infty} U_{0} i d t = U_{0} \int_{0}^{\infty} d q = U_{0} Q$ , où est la charge finale. D'où , sans avoir besoin de la forme de .

Énergie stockée. D'après le chapitre 5, le condensateur chargé sous $U_{0}$ stocke $W_{\overset{e}{ˊ} l} = \frac{1}{2} C U_{0}^{2}$ .

Énergie dissipée, calculée directement. Avec (6.14),

\int_{0}^{\infty} R i^{2} d t = R \frac{U _{0}^{2}}{R ^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t / τ} d t = \frac{U _{0}^{2}}{R} \cdot \frac{τ}{2} = \frac{U _{0}^{2}}{R} \cdot \frac{R C}{2} = \frac{1}{2} C U_{0}^{2} .

La somme de l'énergie stockée et de l'énergie dissipée redonne l'énergie fournie. $R$ s'élimine dans le dernier calcul: une grande résistance fait passer un faible courant pendant longtemps, une petite un fort courant pendant peu de temps, et le produit $\int R i^{2} d t$ est le même. $□$

Ce résultat classique déroute: même avec des fils supraconducteurs, on ne pourrait pas charger un condensateur à partir d'une source de tension constante sans perdre la moitié de l'énergie? La limite $R \to 0$ fait sortir du modèle. Le courant initial $U_{0} / R$ deviendrait infini; en réalité, l'inductance du circuit (chapitre 9) limite sa croissance, le circuit oscille, et l'énergie est perdue par rayonnement et dans l'étincelle de fermeture. Le bilan (6.16) tient toujours, seule la forme de la dissipation change. Ce qui permet d'éviter la perte, c'est de ne jamais imposer au condensateur une tension très différente de la sienne: en chargeant par paliers, la perte diminue (exercice 6.5). Les chargeurs des appareils électroniques exploitent cette idée en variant la tension au cours de la charge.

Pour le circuit témoin, la source a fourni $C U_{0}^{2} = 14, 40$ mJ, dont $7, 20$ mJ restent dans le condensateur et $7, 20$ mJ ont chauffé la résistance. Une intégration numérique de $R i^{2}$ sur $40 τ$ (méthode de Simpson) redonne mJ pour , et : l'explorateur ci-dessus affiche cette invariance, le pourcentage dissipé ne bouge pas quand varie.

Synthèse

Le courant est un débit de charge, $I = d q / d t$ , flux de la densité de courant $J = n q v_{d}$ . Dans un métal, $I = n e A v_{d}$ avec une vitesse de dérive de l'ordre du millimètre par seconde ou moins; le signal, lui, se propage à une vitesse de l'ordre de . Depuis 2019, l'ampère est défini par la valeur exacte de .

Série d'exercices du chapitre 6Exercice 1 sur 5

Question 6.7

On double la tension de transport d'une ligne en gardant la même puissance livrée et le même câble. Les pertes Joule dans la ligne sont:

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 6.1 · Cuivre ou aluminium?

On veut réaliser un conducteur de $1, 00$ km de longueur et de résistance $0, 100 Ω$ à $20 ° C$ . On compare le cuivre ( $ρ = 1, 68 \cdot 1 0^{- 8} Ω \cdot m$ , masse volumique ) et l'aluminium (, ).

Exercice 6.2 · Caractéristique d'une source et transfert de puissance

On mesure la tension aux bornes d'une source réelle pour deux résistances de charge: $U = 11, 4$ V quand elle débite $1, 2$ A, et $U = 10, 2$ V quand elle débite $3, 6$ A.

Déterminer la f.é.m. $E$ et la résistance interne $r$ de la source.

Exercice 6.3 · Mesurer une résistance: où placer le voltmètre?

On mesure une résistance $R$ par la méthode voltampèremétrique ( $R_{mes} = U_{lu} / I_{lu}$ ), avec un ampèremètre de résistance et un voltmètre de résistance . Deux montages sont possibles: , le voltmètre directement aux bornes de et l'ampèremètre en amont de l'ensemble; , le voltmètre aux bornes de l'ensemble formé de l'ampèremètre et de .

Exercice 6.4 · Le défibrillateur

Dans un défibrillateur, un condensateur chargé sous haute tension est déchargé à travers le thorax du patient. On reprend l'appareil du chapitre 5 (valeurs d'ordre de grandeur réaliste, mais choisies): $C = 100 μ F$ , tension de charge $U_{0} = 2, 00$ kV, résistance du thorax $R = 50 Ω$ , supposée constante. On modélise la décharge par un circuit RC.

Exercice 6.5 · Charger par paliers

Un condensateur de capacité $C$ , initialement déchargé, doit être chargé sous la tension $U_{0}$ à travers une résistance $R$ . Au lieu d'appliquer directement $U_{0}$ , on applique successivement les tensions $U_{0} / N, 2 U_{0} / N, \dots, U_{0}$ , en attendant à chaque palier que la charge soit complète.

Références

Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière Éducation, chap. 26–27.
Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, Pearson, chap. 25–26.
Purcell, E. M. et Morin, D. J., Electricity and Magnetism, 3ᵉ éd., Cambridge University Press, chap. 4.
Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme, vol. 1, Dunod.
Benson, H., Physique 2 – Électricité et magnétisme, De Boeck, chap. 6–7.
Pérez, J.-P., Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod.

Tension de transport	Courant	Pertes Joule	Pertes / puissance transportée
$20$ kV	$5000$ A	$220, 8$ MW	$221 %$ (impossible)
$220$ kV	$454, 5$ A	$1, 825$ MW	$1, 8 %$
$380$ kV	$263, 2$ A	$0, 612$ MW	$0, 61 %$