Ondes électromagnétiques

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• établir, à partir des équations de Maxwell dans le vide appliquées à des rectangles minces, l'équation d'onde vérifiée par les champs $E_y(x,t)$ et $B_z(x,t)$ d'une onde plane, et en déduire la vitesse $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$;
• démontrer qu'une onde plane progressive dans le vide est transversale, que $E=cB$ à chaque instant et que $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ pointe dans le sens de propagation, puis décrire une onde harmonique par $\lambda$, $f$, $k$ et $\omega$;
• montrer que l'énergie d'une onde plane se partage également entre champ électrique et champ magnétique, calculer le vecteur de Poynting et l'intensité $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_m^2$, et appliquer la décroissance en $1/r^2$ d'une source ponctuelle;
• relier l'intensité à la pression de radiation $I/c$ (absorption) ou $2I/c$ (réflexion) et estimer la poussée d'une voile solaire;
• énoncer et démontrer la loi de Malus, expliquer le fonctionnement d'un polariseur et de lunettes polarisantes;
• situer une onde dans le spectre électromagnétique en calculant $f=c/\lambda$, et expliquer qualitativement comment des charges accélérées engendrent les ondes que Hertz a détectées en 1887.

Des équations de Maxwell à l'équation d'onde

Ce que prédisent quatre équations

Le chapitre 11 «Équations de Maxwell» a réuni l'électromagnétisme en quatre équations. Il en a surtout complété une: au théorème d'Ampère, Maxwell a ajouté le courant de déplacement ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\Phi }_E/\mathrm{d}t$. Ce terme, introduit pour rendre la théorie cohérente sur un condensateur en charge, a une conséquence que personne n'attendait: un champ électrique variable engendre un champ magnétique, exactement comme un champ magnétique variable engendre un champ électrique (loi de Faraday, chapitre 9 «Induction électromagnétique»). Les deux champs peuvent donc s'entretenir mutuellement, loin de toute charge et de tout courant, et la perturbation se déplace. C'est une onde électromagnétique, et ce chapitre en tire toutes les propriétés.

Dans le vide, loin des sources, il n'y a ni charge ($Q_{\text{int}}=0$) ni courant de conduction à travers les surfaces considérées. Les quatre équations sous forme intégrale se réduisent à

pour toute surface fermée $\mathcal{S}$ orientée vers l'extérieur, et

pour tout contour fermé $\mathcal{C}$, où les flux ${\Phi }_B$ et ${\Phi }_E$ sont calculés à travers une surface qui s'appuie sur $\mathcal{C}$, orientée par la règle de la main droite: les doigts suivent le sens de parcours du contour, le pouce donne la normale. Nous n'utiliserons rien d'autre: ni divergence ni rotationnel, seulement des flux et des circulations calculés sur des surfaces et des contours bien choisis. La symétrie des deux dernières équations est frappante; seul le signe diffère, et c'est lui qui va rendre la propagation possible.

L'onde plane: des champs qui ne dépendent que de $x$ et de $t$

Cherchons la solution la plus simple qui ne soit pas statique. Une onde plane se propageant selon l'axe $x$ est un champ électromagnétique qui, à chaque instant, a la même valeur en tout point d'un plan perpendiculaire à $x$:

Ces plans sont les plans d'onde. Une onde plane est une idéalisation, puisqu'elle remplit tout l'espace, mais c'est une excellente approximation d'une onde réelle loin de sa source, sur une région petite devant la distance à la source: la lumière du Soleil sur un toit, l'onde d'un émetteur radio sur une antenne de réception.

Montrons d'abord qu'une telle onde n'a pas de composante selon $x$.

Démonstration. Appliquons le théorème de Gauss à une boîte parallélépipédique comprise entre les abscisses $x$ et $x+\Delta x$, de faces latérales d'aire $A$. Sur les deux faces perpendiculaires à ${\mathbf{e}}_y$, le champ a la même valeur (il ne dépend pas de $y$) mais les normales extérieures sont opposées: leurs flux s'annulent. Il en va de même des deux faces perpendiculaires à ${\mathbf{e}}_z$. Il reste les deux faces perpendiculaires à , de normales en et en :

Ceci vaut pour tout $\Delta x$: $E_x$ ne dépend pas de $x$. Le même raisonnement avec la loi de Gauss magnétique montre que $B_x$ ne dépend pas de $x$.

Prenons maintenant un rectangle $\mathcal{C}$ situé dans un plan d'onde (à $x$ fixé), de normale ${\mathbf{e}}_x$. Le champ $\mathbf{B}$ a la même valeur sur deux côtés opposés du rectangle, parcourus en sens contraires: la circulation de $\mathbf{B}$ est nulle. La loi de Maxwell–Ampère donne alors $\mathrm{d}{\Phi }_E/\mathrm{d}t=A\partial E_x/\partial t=0$. Avec la loi de Faraday sur le même rectangle, . Les composantes et sont donc indépendantes de et de : ce sont des champs statiques uniformes, qu'on peut toujours superposer à une solution, mais qui ne se propagent pas. Nous les prenons nuls.

Il reste quatre composantes: $E_y$, $E_z$, $B_y$, $B_z$. Nous allons voir que n'est couplée qu'à , et qu'à . Étudions la première famille, avec :

Une telle onde, dont le champ électrique garde toujours la même direction, est dite polarisée rectilignement selon $y$. La seconde famille se traite de même en tournant les axes d'un quart de tour autour de $x$, et, les équations étant linéaires, toute onde plane est la superposition des deux.

Deux rectangles minces, deux équations couplées

Les deux équations de circulation vont relier les variations des deux champs. Chacune s'applique à un rectangle mince, de largeur $\Delta x$ et de hauteur $h$, que l'on fera tendre vers une bande infiniment étroite (figure 12.1).

Loi de Faraday dans le plan $xy$. Le rectangle a ses côtés verticaux aux abscisses $x$ et $x+\Delta x$, sa normale est ${\mathbf{e}}_z$, et il est donc parcouru dans le sens antihoraire vu depuis $+z$: vers la droite en bas, vers le haut en $x+\Delta x$, vers la gauche en haut, vers le bas en $x$. Le champ est perpendiculaire aux côtés horizontaux, qui ne contribuent pas. Le côté en , parcouru selon , apporte ; le côté en , parcouru selon , apporte . Le flux magnétique à travers le rectangle vaut (au premier ordre en ). La loi de Faraday s'écrit

En divisant par $h\Delta x$ et en faisant tendre $\Delta x$ vers $0$, le membre de gauche devient une dérivée partielle:

Loi de Maxwell–Ampère dans le plan $xz$. Le rectangle a maintenant ses côtés parallèles à $z$ aux abscisses $x$ et $x+\Delta x$, et sa normale est ${\mathbf{e}}_y$. Vu depuis $+y$, avec $x$ vers la droite, l'axe $z$ pointe vers le bas de l'écran (c'est ce qui rend le trièdre direct: ). Le parcours antihoraire à l'écran monte donc, c'est-à-dire va selon , sur le côté en , et descend, selon , sur le côté en . La circulation de vaut

et le flux électrique est ${\Phi }_E=E_{y}h\Delta x$. La loi de Maxwell–Ampère donne, après division par $h\Delta x$ et passage à la limite,

Le signe «$-$» de (12.2) ne vient pas de l'équation de Maxwell–Ampère, qui n'en a pas: il vient de l'orientation du rectangle. C'est pourquoi nous l'avons écrite avant de calculer. Les deux relations (12.1) et (12.2) disent la même chose dans les deux sens: une variation dans l'espace de l'un des champs est liée à une variation dans le temps de l'autre.

L'équation d'onde

Démonstration. Dérivons (12.1) par rapport à $x$, et (12.2) par rapport à $t$:

Pour des champs deux fois continûment dérivables, les dérivées croisées sont égales (théorème de Schwarz, Analyse II, chapitre 5 «Dérivées d'ordre supérieur, Taylor et hessienne»): ${\partial }^2{B}_z/\partial x\partial t={\partial }^2{B}_z/\partial t\partial x$. En reportant la seconde relation dans la première, , ce qui est la première équation (12.3). On obtient celle de en dérivant (12.1) par rapport à et (12.2) par rapport à , puis en éliminant de la même façon.

C'est exactement l'équation de la corde vibrante de Physique générale I, chapitre 12 «Ondes mécaniques et son», ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{\partial }^{2}y/\partial x^2$, avec $v^2=1/({\epsilon }_0{\mu }_0)$ au lieu de . Le calcul fait là-bas s'applique mot pour mot: pour avec , la règle de dérivation des fonctions composées donne et , et l'équation est vérifiée pour tout profil si et seulement si . De même pour .

La comparaison avec la corde mérite qu'on s'y arrête. Sur la corde, la vitesse $\sqrt{T/\mu }$ est le rapport d'une raideur (la tension) à une inertie (la masse linéique); il faut un milieu matériel. Ici, rien de matériel n'oscille: les deux «ressorts» sont les deux lois d'induction, Faraday et Maxwell–Ampère, et la vitesse ne dépend que de deux constantes qui décrivent le vide lui-même. Comme sur la corde, toute forme d'onde se propage sans se déformer, dans un sens ou dans l'autre, et le principe de superposition s'applique, puisque les équations sont linéaires. Deux faisceaux lumineux qui se croisent se traversent sans interagir.

La vitesse de la lumière

Le calcul

Avec les valeurs du cours, ${\epsilon }_0=8,8541878188\cdot 10^{-12}$ F/m et ${\mu }_0=1,25663706127\cdot 10^{-6}$ N/A², le produit vaut (vérifiez l'unité: ), et

Le calcul donne $299792457,9998$ m/s: l'écart relatif avec la valeur exacte de $c$ est de $6\cdot 10^{-13}$, dû au dernier chiffre de ${\epsilon }_0$ et de ${\mu }_0$. Avec l'ancienne valeur N/A², on obtiendrait m/s: les deux valeurs s'accordent sur dix chiffres significatifs et l'écart relatif, , n'apparaît qu'au onzième, comme le signale le chapitre 8 «Sources du champ magnétique». Avec des valeurs arrondies à quatre chiffres, et , on trouve m/s: les quatre chiffres que l'on peut espérer. On retiendra

Le moment où la lumière est devenue électromagnétique

Ce nombre a une histoire, et elle est plus intéressante que le calcul. Au milieu du XIXᵉ siècle, ${\epsilon }_0$ et ${\mu }_0$ n'étaient pas des «constantes du vide», mais des coefficients tirés de mesures d'électricité sur table: forces entre charges, forces entre courants. En 1856, Weber et Kohlrausch avaient comparé les deux, en mesurant une même charge par ses effets électrostatiques puis par ses effets magnétiques (quand elle s'écoule en courant), et trouvé un rapport ayant la dimension d'une vitesse, voisin de $3,1\cdot 10^8$ m/s. De son côté, Fizeau avait mesuré en 1849 la vitesse de la lumière sur une base de quelques kilomètres près de Paris, avec une roue dentée, et trouvé un peu plus de m/s.

Dans ses articles des années 1860, et sous sa forme achevée en 1865, Maxwell montra que ses équations prévoyaient des ondes électromagnétiques transversales se propageant à la vitesse $1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$, c'est-à-dire précisément ce rapport électrique. La coïncidence avec la vitesse de la lumière était trop exacte pour être fortuite: il en conclut que la lumière est une onde électromagnétique. L'optique, science de la lumière depuis l'Antiquité, devenait un chapitre de l'électromagnétisme. Aucune expérience d'optique n'avait mesuré ${\epsilon }_0$, aucune expérience d'électricité n'avait vu la lumière: c'est la théorie qui a fait le lien, vingt ans avant que Hertz ne produise ces ondes au laboratoire.

Structure de l'onde plane

E et B: même forme, même phase, directions imposées

L'équation d'onde dit comment chaque champ se propage; les équations du premier ordre (12.1) et (12.2) disent comment les deux champs sont liés.

Démonstration. Posons $u=x-ct$ et $D(x,t)=B_z(x,t)-f(u)/c$. Nous montrons que $D$ est constant. D'après (12.1), ; or . Donc . D'après (12.2), , puisque ; or . Donc . La différence ne dépend ni de ni de : c'est un champ magnétique uniforme et statique, qui ne fait pas partie de l'onde (théorème 12.1). En le prenant nul, , ce qui est (12.5).

Les trois propriétés en découlent. (1) $|E_y|=c|B_z|$, et les deux champs, proportionnels à la même fonction $f(u)$, s'annulent et culminent aux mêmes $(x,t)$. (2) $\mathbf{E}\parallel {\mathbf{e}}_y$ et sont perpendiculaires entre eux et à (théorème 12.1). (3) , dont la composante selon est positive ou nulle. Pour l'onde régressive, le même calcul avec donne et : c'est cette fois qui est constant, d'où et .

Le résultat se retient avec la règle de la main droite: les doigts vont de $\mathbf{E}$ vers $\mathbf{B}$, le pouce indique le sens de propagation (figure 12.2). Connaissant deux des trois directions, on trouve la troisième.

Deux remarques pour les chapitres précédents. D'abord, le champ magnétique d'une onde n'a pas de source au sens du chapitre 8: aucun courant ne l'engendre à l'endroit où il se trouve; il est entretenu par la variation de $\mathbf{E}$, c'est-à-dire par le courant de déplacement. Ensuite, les ondes électromagnétiques ne demandent aucun milieu: elles traversent le vide interplanétaire, alors que le son de Physique générale I, chapitre 12 s'y éteint.

L'onde plane harmonique

Comme pour les ondes mécaniques, le profil le plus utile est la sinusoïde: une antenne alimentée par un courant alternatif émet une onde de même fréquence, et l'analyse de Fourier décompose tout profil en sinusoïdes. L'onde plane harmonique polarisée selon $y$ s'écrit

avec l'amplitude $E_m$ (notée comme les amplitudes du chapitre 10 «Circuits en courant alternatif»), le nombre d'onde $k=2\pi /\lambda$, la pulsation $\omega =2\pi f=2\pi /T$, la longueur d'onde $\lambda$ et la fréquence $f$. Comme , le profil est de la forme à condition que

Dans ce chapitre, $k$ désigne le nombre d'onde et non la constante de Coulomb, qui n'interviendra pas: c'est une réutilisation de lettre, conforme à l'usage. La relation $c=\lambda f$ est celle de Physique générale I, avec une différence de taille: la vitesse est la même pour toutes les fréquences. Dans le vide, il n'y a pas de dispersion; les ondes radio, la lumière et les rayons X y vont tous à $c$.

Énergie et vecteur de Poynting

Un partage égal de l'énergie

Les chapitres 5 et 9 ont établi que le champ électrique et le champ magnétique portent de l'énergie, avec les densités volumiques $w_{\text{eˊl}}=\frac{{\epsilon }_0}{2}{E}^2$ (chapitre 5 «Condensateurs et diélectriques») et (chapitre 9). Ces expressions ont été obtenues sur un condensateur et sur un solénoïde; on les admet valables pour tout champ, ce que confirme le théorème de Poynting du chapitre 11.

Démonstration. D'après le théorème 12.3, $B=E/c$, et $c^2=1/({\epsilon }_0{\mu }_0)$ par (12.4). Donc

La somme vaut ${\epsilon }_0{E}^2$, ou, en remplaçant $E$ par $cB$, ${\epsilon }_0{c}^2{B}^2=B^2/{\mu }_0$.

L'égalité n'est pas une coïncidence de valeurs numériques: c'est la même relation ${\epsilon }_0{\mu }_0{c}^2=1$ qui fixe la vitesse et qui égalise les énergies. Le champ électrique n'est pas «plus fort» que le champ magnétique, malgré le facteur $3\cdot 10^8$ entre leurs valeurs numériques; ils se partagent l'énergie à parts égales.

Le vecteur de Poynting

L'énergie de l'onde ne reste pas en place: elle voyage avec elle. Rappelons le vecteur de Poynting, défini au chapitre 11 «Équations de Maxwell» avec le théorème de Poynting, qui y exprime la conservation de l'énergie électromagnétique:

en W/m². Sa direction est celle dans laquelle circule l'énergie, et sa norme la puissance qui traverse, par unité d'aire, une surface perpendiculaire à cette direction. Voyons ce que cela donne pour une onde plane.

Vérifions sur l'onde plane que cette interprétation est exacte. D'après le théorème 12.3, $\mathbf{S}=\frac{E_y{B}_z}{{\mu }_0}{\mathbf{e}}_x=\frac{E_y^2}{{\mu }_{0}c}{\mathbf{e}}_x={\epsilon }_{0}c{E}_y^2{\mathbf{e}}_x$, c'est-à-dire

Or l'énergie qui traverse une surface d'aire $A$ perpendiculaire à $x$ pendant une durée $\mathrm{d}t$ est celle que contenait le cylindre de base $A$ et de longueur $c\mathrm{d}t$ situé juste avant, puisque toute l'onde avance de $c\mathrm{d}t$: $\mathrm{d}W=wAc\mathrm{d}t$ (dans ce chapitre, $W$ désigne une énergie, comme le travail de Physique générale I; la lettre reste réservée à la tension). La puissance par unité d'aire est , exactement la norme de . C'est la même image que sur la corde de Physique générale I: une densité d'énergie qui défile à la vitesse de l'onde.

L'intensité

À $100$ MHz, $S$ oscille cent millions de fois par seconde (deux cents millions, même, puisque $E^2$ a une période moitié); à la fréquence de la lumière, aucun détecteur ne suit ces variations. Ce qu'on mesure est la moyenne.

Dans ce chapitre, la lettre $I$ désigne donc une intensité d'onde et non un courant: c'est une réutilisation déclarée, conforme à l'usage de l'optique et de l'acoustique (Physique générale I l'emploie de même pour le son). Aucun courant n'apparaîtra sous cette lettre jusqu'à la fin du chapitre.

Démonstration. En un point fixé, $S(t)={\epsilon }_{0}c{E}_y^2={\epsilon }_{0}c{E}_m^2{\cos }^2(kx-\omega t)$. La moyenne de sur une période vaut : en écrivant , l'intégrale du cosinus sur une période entière est nulle et il reste . Donc . Les deux autres expressions viennent de et de . Enfin , et .

On peut aussi écrire $I=c{\epsilon }_0{E}_{\text{eff}}^2$ avec la valeur efficace $E_{\text{eff}}=E_m/\sqrt{2}$, définie comme au chapitre 10: le facteur est celui de la puissance moyenne en courant alternatif, et pour la même raison.

Source ponctuelle: la décroissance en $1/r^2$

Loin d'une source de petite taille (une antenne vue de loin, une lampe, une étoile), l'onde est sphérique: ses fronts d'onde sont des sphères centrées sur la source, et, sur une petite portion, elle se confond avec une onde plane. Si la source émet la puissance moyenne $P$ de manière isotrope (également dans toutes les directions) et que le milieu n'absorbe rien, la conservation de l'énergie impose que la même puissance traverse chaque sphère de rayon $r$:

C'est la loi de l'intensité du son en Physique générale I, et, pour la même raison, la loi en $1/r^2$ du chapitre 6 de ce cours-là pour la gravitation: un flux conservé qui se répartit sur des sphères de plus en plus grandes. Comme $I\propto E_m^2$, l'amplitude du champ décroît en $1/r$: plus lentement que le champ statique d'une charge, en $1/r^2$. C'est ce qui permet aux ondes de porter loin. La relation et (12.10) donnent l'expression pratique , où , d'où la règle des ingénieurs radio (en V/m, en W, en m).

Quantité de mouvement et pression de radiation

La lumière pousse

Une onde transporte de l'énergie; elle transporte aussi de la quantité de mouvement, et exerce donc une force sur ce qui l'absorbe ou la réfléchit. Dans ce paragraphe, $p$ sans indice désigne la quantité de mouvement, comme au chapitre 5 «Quantité de mouvement, collisions et centre de masse» de Physique générale I, et $p_{\text{rad}}$ une pression: le moment dipolaire $\mathbf{p}$ du chapitre 2 n'intervient pas ici.

Démonstration (esquisse). Considérons une charge $q$ du matériau absorbant, de vitesse $\mathbf{v}$, soumise à l'onde $\mathbf{E}=E_y{\mathbf{e}}_y$, $\mathbf{B}=B_z{\mathbf{e}}_z$ avec . La force magnétique ne travaille pas (chapitre 7 «Champ magnétique et force de Lorentz»), donc la puissance que l'onde cède à la charge est celle de la force électrique: . La composante selon de la force de Lorentz vient, elle, de la seule force magnétique: , d'où

À chaque instant, la force de poussée sur la charge est la puissance qu'elle absorbe, divisée par $c$. Le champ électrique met les charges en mouvement le long de $\mathbf{E}$; le champ magnétique courbe ce mouvement vers l'avant. En sommant sur toutes les charges d'une surface $A$ qui absorbe toute l'onde, la puissance absorbée totale est $IA$ en moyenne, et la force moyenne $F=IA/c$: la pression est $I/c$. En intégrant dans le temps, l'énergie absorbée $W$ s'accompagne d'une quantité de mouvement transmise $W/c$; c'est donc la quantité de mouvement que portait l'onde.

Pour une surface parfaitement réfléchissante, l'onde réfléchie repart avec la même intensité et une quantité de mouvement opposée: la variation de quantité de mouvement de l'onde est double, et la surface reçoit $2IA/c$, comme une balle qui rebondit transmet deux fois plus d'impulsion qu'une balle qui s'arrête (Physique générale I, chapitre 5). $\square$

Pour la lumière du Soleil à la distance de la Terre, les deux pressions valent

C'est environ $2\cdot 10^{10}$ fois moins que la pression atmosphérique: sur Terre, la pression de radiation est imperceptible. On note au passage qu'une pression est une énergie volumique ($1$ Pa $=1$ J/m³): la pression de radiation d'une onde absorbée est égale à sa densité moyenne d'énergie, $4,540\cdot 10^{-6}$ J/m³ dans l'exemple 12.2. Dans l'espace, en revanche, rien ne s'y oppose, et elle agit sans relâche: elle écarte du Soleil les fines poussières des comètes, ce qui contribue à leur queue de poussière, et les navigateurs de sondes interplanétaires doivent la prendre en compte dans le calcul des trajectoires.

Voiles solaires

Polarisation

Polarisation rectiligne et lumière naturelle

La direction de polarisation d'une onde est, par convention, la direction de son champ électrique. L'onde (12.6) est polarisée rectilignement selon $y$: son champ électrique oscille toujours le long de la même droite. Une antenne dipolaire émet une onde polarisée parallèlement à l'antenne, car ce sont les charges qui y oscillent le long du fil qui produisent $\mathbf{E}$: une antenne de réception doit être orientée comme l'antenne d'émission pour capter le signal au mieux.

La lumière d'une lampe à incandescence ou du Soleil est au contraire non polarisée (on dit aussi naturelle). Elle est émise par un nombre immense d'atomes indépendants, chacun pendant un temps très court; la direction de $\mathbf{E}$ change au hasard des milliards de fois par seconde et toutes les directions perpendiculaires à la propagation sont également représentées en moyenne.

Polariseurs et loi de Malus

Un polariseur idéal est une lame qui laisse passer intégralement la composante du champ électrique parallèle à une direction, son axe de transmission, et absorbe entièrement la composante perpendiculaire. Les polariseurs en feuille contiennent de longues molécules alignées, rendues conductrices; les électrons peuvent se déplacer le long de ces chaînes, et la composante de $\mathbf{E}$ parallèle aux chaînes y met des courants en mouvement et est absorbée. L'axe de transmission est donc perpendiculaire aux chaînes. Pour les micro-ondes, une grille de fils métalliques parallèles joue le même rôle, à l'échelle de quelques millimètres. Un polariseur réel transmet un peu moins que le modèle idéal ne le prévoit; ce modèle est celui des énoncés qui suivent.

Démonstration. Décomposons le champ incident, d'amplitude $E_0$, dans la base formée par l'axe de transmission et la direction perpendiculaire: ses composantes ont les amplitudes $E_0\cos \theta$ et $E_0\sin \theta$. Le polariseur idéal transmet la première et absorbe la seconde: l'onde transmise est polarisée selon l'axe et a l'amplitude . D'après (12.10), l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude, donc .

Pour la lumière non polarisée, la direction de polarisation, donc l'angle $\theta$, prend toutes les valeurs de $[0,2\pi [$ avec la même probabilité au cours du temps. L'intensité transmise est la moyenne de $I_0{\cos }^2\theta$ sur ces angles, soit $I_0⟨{\cos }^2\theta ⟩=I_0/2$, par le même calcul que dans la démonstration du théorème 12.5. (Une moyenne numérique de sur angles régulièrement répartis donne bien .)

Deux polariseurs à $90°$ l'un de l'autre, dits croisés, ne laissent rien passer: le premier polarise, le second éteint (${\cos }^{2}90°=0$). Insérez un troisième polariseur entre eux, à $45°$: la lumière réapparaît. Le premier transmet $I_0/2$, le deuxième $I_0/2\times {\cos }^{2}45°=I_0/4$, et le troisième, à du deuxième, . Un polariseur augmente la lumière transmise: c'est que chaque polariseur ne se contente pas de filtrer, il la polarisation selon son axe.

Lunettes polarisantes

La lumière réfléchie par une surface horizontale non métallique (un lac, une route mouillée, la neige, un pare-brise) est partiellement polarisée, avec un champ électrique préférentiellement horizontal, parallèle à la surface. Pour un angle d'incidence particulier, l'angle de Brewster ${\theta }_B$, qui vérifie $\tan {\theta }_B=n$ ($n$ étant l'indice de réfraction du milieu réfléchissant), la lumière réfléchie est même entièrement polarisée horizontalement; pour l'eau, $n\approx 1,333$ et par rapport à la verticale. Nous admettons ce résultat, qui relève de l'optique. Des lunettes polarisantes ont un axe de transmission : elles éteignent en grande partie l'éblouissement dû aux reflets, tout en transmettant la moitié environ de la lumière non polarisée du paysage. Le pêcheur voit alors sous la surface de l'eau, et l'automobiliste distingue la route mouillée.

Vous pouvez le vérifier vous-même: en regardant un reflet sur l'eau avec de telles lunettes, inclinez la tête de $90°$, et le reflet réapparaît. De même, les écrans à cristaux liquides émettent une lumière polarisée, et ils s'assombrissent fortement lorsqu'on les regarde, avec des lunettes polarisantes, en tournant la tête d'un quart de tour.

L'explorateur ci-dessous réunit les deux parties de ce chapitre: l'onde plane elle-même, dont vous pouvez faire défiler le temps et changer la longueur d'onde, et un polariseur placé en travers du faisceau.

Quelques observations à faire. En avançant le temps d'une période, les crêtes avancent d'une longueur d'onde; les valeurs de $E_y$ et $B_z$ au point P changent, mais leur rapport reste $c$ tant qu'elles ne sont pas nulles, et l'intensité ne bouge pas, puisqu'elle est une moyenne sur une période. La valeur instantanée $S$ oscille entre $0$ et deux fois l'intensité. En changeant $\lambda$, la fréquence change comme $1/\lambda$, mais ni l'amplitude ni l'intensité ne dépendent de : dans le vide, rien ne distingue une onde courte d'une onde longue, sinon sa fréquence. Enfin, l'intensité transmise par le polariseur suit la courbe de Malus, et s'annule à .

Le spectre électromagnétique

Rien, dans la démonstration de l'équation d'onde, ne fixe la fréquence. Toutes les ondes électromagnétiques obéissent aux mêmes équations et vont à la même vitesse dans le vide; ce qui les distingue est leur fréquence, ou leur longueur d'onde $\lambda =c/f$. On les a pourtant découvertes séparément, avec des instruments différents, et elles portent des noms différents. Le tableau ci-dessous donne les frontières conventionnelles des domaines et les fréquences correspondantes, calculées par $f=c/\lambda$.

Quelques remarques sur ce tableau.

• La fenêtre du visible est étroite: une octave à peine, de $428$ à $750$ THz, sur les dix-sept décades de la figure 12.3, qui ne montre pas tout le spectre. Elle correspond au maximum de l'émission solaire et à la transparence de l'atmosphère et de l'eau; nos yeux se sont adaptés à la lumière dont nous disposions.
• Les frontières sont des conventions. Rien ne change dans la physique des équations de Maxwell à $1$ mm ou à $700$ nm. Ce qui change, c'est la manière de produire et de détecter l'onde: circuits et antennes pour la radio et les micro-ondes, corps chauds pour l'infrarouge, transitions atomiques pour le visible et l'ultraviolet, électrons freinés pour les rayons X, noyaux pour les $\gamma$.
• L'interaction avec la matière dépend fortement de la fréquence. L'eau absorbe les micro-ondes (c'est le principe du four: l'énergie de l'onde met en rotation les molécules d'eau des aliments, et la chaleur en résulte), le verre laisse passer le visible et arrête une grande partie de l'ultraviolet, les tissus mous sont presque transparents aux rayons X, les os beaucoup moins. Aux plus hautes fréquences, l'aspect corpusculaire de la lumière (les photons, hors du programme de ce cours) devient essentiel: un seul photon ultraviolet, X ou $\gamma$ peut rompre une liaison chimique ou ioniser un atome, ce qu'aucune onde radio ne fait, quelle que soit son intensité.

Comment naissent les ondes: charges accélérées et expérience de Hertz

Seule une charge accélérée rayonne

D'où viennent ces ondes? Des charges, puisque ce sont elles qui créent les champs; mais pas de n'importe quelles charges.

• Une charge immobile crée le champ de Coulomb du chapitre 1, statique, qui décroît en $1/r^2$: pas d'onde.
• Une charge en mouvement rectiligne uniforme emporte son champ avec elle; on le voit en se plaçant dans le référentiel où elle est immobile, où le champ est de nouveau coulombien. Là encore, pas d'onde: aucune énergie n'est rayonnée vers l'infini.
• Une charge accélérée rayonne. Imaginez une charge au repos qui, à l'instant $t=0$, est brusquement mise en mouvement. À l'instant $t$, les points situés au-delà de la distance $ct$ ne savent pas encore que la charge a bougé: ils voient toujours le champ de Coulomb centré sur l'ancienne position. Les points plus proches voient le champ de la charge en mouvement. Les lignes de champ, qui doivent rester continues, présentent donc un «pli» sur la sphère de rayon $ct$, qui s'éloigne à la vitesse de la lumière. Dans ce pli, le champ électrique est transverse et son amplitude ne décroît qu'en $1/r$: c'est l'onde rayonnée.

La puissance rayonnée par une charge est proportionnelle au carré de son accélération (formule de Larmor, que nous ne démontrons pas), et elle est émise surtout perpendiculairement à l'accélération, pas du tout dans sa direction. Une antenne n'est rien d'autre qu'un conducteur dans lequel un générateur fait osciller des électrons: dans une antenne dipolaire alimentée à la fréquence $f$, les électrons vont et viennent le long du fil avec une accélération sinusoïdale, et l'antenne émet une onde de fréquence $f$, polarisée parallèlement au fil, nulle dans l'axe du fil et maximale dans le plan perpendiculaire. La même charge accélérée explique l'émission des rayons X lorsque des électrons rapides sont freinés brutalement dans une cible métallique, et le rayonnement de synchrotron des particules que leurs aimants maintiennent sur une trajectoire circulaire, comme au CERN: sur un cercle, même à vitesse constante, une charge est accélérée.

L'expérience de Hertz

Maxwell mourut en 1879 sans avoir vu les ondes qu'il avait prédites. C'est Heinrich Hertz, professeur à Karlsruhe, qui les produisit et les détecta, dans une série d'expériences menées de 1886 à 1888 et dont les premiers résultats furent publiés en 1887. Son émetteur était un dipôle interrompu par un éclateur: deux conducteurs séparés par un petit intervalle d'air, chargés par une bobine d'induction jusqu'à ce qu'une étincelle jaillisse. L'étincelle fermait le circuit et le système oscillait comme un circuit $LC$ très faiblement amorti, à une fréquence très élevée pour l'époque, correspondant à des longueurs d'onde de l'ordre du mètre. Son détecteur était une simple boucle de fil interrompue par un minuscule éclateur: lorsque l'onde arrivait, le champ induisait dans la boucle une f.é.m. suffisante pour faire jaillir une petite étincelle, visible dans l'obscurité, à plusieurs mètres de l'émetteur, sans aucun fil de liaison.

Hertz ne se contenta pas de détecter les ondes. En les réfléchissant sur une grande plaque métallique, il obtint des ondes stationnaires, dont il repéra les nœuds avec sa boucle: la distance entre deux nœuds valait $\lambda /2$, ce qui lui donna la longueur d'onde; connaissant la fréquence de son oscillateur par le calcul, il en déduisit une vitesse de l'ordre de celle de la lumière. Il montra aussi que ces ondes se réfléchissent, se réfractent et sont polarisées, exactement comme la lumière. La théorie de Maxwell devenait un fait expérimental, et, en moins de vingt ans, la télégraphie sans fil traversait l'Atlantique. L'unité de fréquence porte son nom.

Ainsi se referme ce cours. Les charges du chapitre 1, immobiles, créaient un champ statique; mises en mouvement uniforme, elles créaient des courants et des champs magnétiques; accélérées, elles rayonnent des ondes qui se détachent d'elles et transportent de l'énergie et de la quantité de mouvement à travers le vide, jusqu'à nous, depuis le Soleil et les galaxies les plus lointaines.

Synthèse

• Dans le vide, les lois de Faraday et de Maxwell–Ampère appliquées à deux rectangles minces donnent $\partial E_y/\partial x=-\partial B_z/\partial t$ et $\partial B_z/\partial x=-{\epsilon }_0{\mu }_0\partial E_y/\partial t$; en éliminant un champ, chacun vérifie l' de la corde vibrante, avec la vitesse m/s. Cet accord avec la vitesse de la lumière a fait de l'optique une branche de l'électromagnétisme.

Exercices

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Références

• Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière Éducation, Montréal, chap. sur les ondes électromagnétiques (vecteur de Poynting, pression de radiation, polarisation).
• Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, 15ᵉ éd., Pearson, chap. 32 «Electromagnetic Waves».
• Purcell, E. M. et Morin, D. J., Electricity and Magnetism, 3ᵉ éd., Cambridge University Press, chap. 9 (équations de Maxwell et ondes électromagnétiques; le champ rayonné par une charge accélérée).
• Feynman, R. P., Leighton, R. B. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme, vol. 2, Dunod, Paris (ondes planes, rayonnement, quantité de mouvement du champ).
• Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, chap. 9 (ondes électromagnétiques) et 11 (rayonnement).
• Pérez, J.-P., Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod, Paris (ondes dans le vide, polarisation, pression de radiation).