Flux électrique et loi de Gauss

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface plane ou courbe, en énonçant l'orientation choisie, et reconnaître qu'une surface fermée est toujours orientée par sa normale sortante;
• définir l'angle solide et démontrer, par l'argument de l'angle solide puis par superposition, le théorème de Gauss $\oint \mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S=Q_{\text{int}}/{\epsilon }_0$;
• exploiter les symétries d'une distribution pour choisir une surface de Gauss et en déduire le champ d'une sphère chargée (intérieur et extérieur), d'un fil infini, d'un plan infini et de deux plans parallèles;
• distinguer les situations où le théorème de Gauss donne le champ de celles où il reste vrai mais ne suffit pas;
• établir qu'à l'équilibre le champ est nul dans un conducteur, que la charge excédentaire se place en surface et que le champ juste à l'extérieur vaut $\sigma /{\epsilon }_0$, et expliquer le principe de la cage de Faraday;
• transposer le théorème à la gravitation et énoncer sa forme locale $\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho /{\epsilon }_0$.

Le flux d'un champ électrique

Pourquoi une nouvelle grandeur?

Le chapitre 2 a calculé des champs électriques en additionnant, par une intégrale, les contributions de Coulomb de tous les éléments d'une distribution. La méthode est universelle, mais elle devient vite pénible: le fil infini demande déjà une intégrale soignée, une boule chargée en volume en demande une triple, et le moindre conducteur, dont on ignore d'avance où se placent les charges, la rend impossible. Ce chapitre propose un autre regard. Au lieu de demander «que vaut $\mathbf{E}$ en ce point?», on demande «combien de champ traverse cette surface?». La grandeur qui mesure cette traversée est le flux, et le théorème de Gauss affirme que le flux à travers une surface fermée ne dépend que de la charge qu'elle enferme. Lorsque la distribution est assez symétrique, cette seule information suffit à obtenir le champ en une ligne.

L'image qui guide tout le chapitre est celle d'un écoulement. Si $\mathbf{E}$ était la vitesse d'un fluide, le flux à travers une surface serait le débit volumique qui la franchit: nul si le fluide glisse le long de la surface, maximal s'il la frappe de face. Le champ électrique ne transporte rien, mais la géométrie est la même, et le vocabulaire des «sources» vient de là: les charges positives sont les sources du champ, les négatives ses puits.

Flux à travers une surface plane

Commençons par un champ uniforme $\mathbf{E}$ et une surface plane d'aire $A$. Pour parler de la manière dont le champ la traverse, il faut d'abord décider d'un sens de traversée, c'est-à-dire choisir l'une des deux normales unitaires à la surface. Ce choix est une orientation; il n'est pas imposé par la physique, mais il doit être énoncé, parce que le signe du résultat en dépend.

Trois cas sont à retenir. Si le champ est parallèle à la normale ($\theta =0$), le flux vaut $EA$: toute la surface est traversée de face. S'il est parallèle à la surface ($\theta =\pi /2$), le flux est nul: le champ «glisse» sans traverser, quelle que soit son intensité. S'il est opposé à la normale ($\theta =\pi$), le flux vaut $-EA$. Seule la composante normale $E_n=\mathbf{E}\cdot \mathbf{n}$ du champ compte; de manière équivalente, le flux est le produit de par l'aire de la surface sur un plan perpendiculaire au champ. Retourner la normale change le signe du flux, et rien d'autre.

Flux à travers une surface quelconque

Pour une surface courbe, ou un champ qui varie d'un point à l'autre, on découpe la surface en éléments $\mathrm{d}S$ assez petits pour être plans et pour que le champ y soit uniforme, on applique (3.1) à chacun et l'on somme. C'est la construction de l'intégrale de surface, que l'Analyse II (chapitre 9, «Intégrales doubles») permet de calculer dans les cas usuels et que l'Analyse III (chapitre 4, «Surfaces et intégrales de surface») traitera en général.

La convention de la normale sortante n'est pas un détail. Toutes les formules de ce chapitre la supposent, et l'erreur la plus fréquente en électromagnétisme est un signe venu d'une orientation que personne n'a écrite. Sur le fond inférieur d'un cylindre posé verticalement, la normale sortante pointe vers le bas; sur la face gauche d'un cube, vers la gauche.

L'angle solide

L'argument central de ce chapitre repose sur une notion géométrique: l'angle solide, qui est à l'espace ce que l'angle est au plan. Dans le plan, l'angle sous lequel on voit un arc depuis un point $O$ est la longueur de sa projection sur le cercle unité centré en $O$; le cercle entier est vu sous $2\pi$ radians. Dans l'espace, on remplace le cercle par la sphère unité et la longueur par une aire.

La formule se lit sur la figure 3.1a. Le cône de sommet $O$ qui s'appuie sur $\mathrm{d}S$ découpe, sur la sphère de rayon $r$, une calotte d'aire $\cos \alpha \mathrm{d}S$: c'est la projection de l'élément perpendiculairement à ${\mathbf{e}}_r$. Les aires découpées par un même cône sur des sphères concentriques croissent comme le carré du rayon, si bien que sur la sphère unité l'aire vaut $\cos \alpha \mathrm{d}S/r^2$. Un élément vu de biais ( proche de ) ou de loin ( grand) est vu sous un petit angle solide.

Deux propriétés de l'angle solide total d'une surface fermée $S$, orientée par la normale sortante, font tout le travail:

• si $O$ est à l'intérieur de $S$, chaque demi-droite issue de $O$ sort de $S$ une fois de plus qu'elle n'y entre (une seule fois si $S$ est convexe). Les contributions des entrées et sorties successives d'un même cône se compensent deux à deux, et il reste une sortie par direction: ${\oint }_S\mathrm{d}\Omega =4\pi$;
• si $O$ est de , chaque cône qui rencontre y entre autant de fois qu'il en sort (figure 3.1b), et les contributions s'annulent deux à deux: .

Un cas simple fixe les idées. Un disque de rayon $a$ vu depuis un point de son axe à la distance $h$ est vu sous l'angle solide $\Omega =2\pi \left(1-h/\sqrt{h^2+a^2}\right)$, l'aire d'une calotte de la sphère unité: sr lorsque le point touche le disque (), c'est-à-dire la moitié de l'espace, et lorsqu'il est très loin. L'exercice 3.1, dans les exercices corrigés en fin de chapitre, s'en servira.

Le théorème de Gauss

Une charge ponctuelle

Démonstration. Plaçons la charge en $O$. Le champ de Coulomb (chapitre 2) en un point $P$ de $S$ situé à la distance $r$ est $\mathbf{E}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{{\mathbf{e}}_r}{r^2}$, où est dirigé de vers . Le flux à travers l'élément de normale sortante vaut donc

par la définition (3.3) de l'angle solide. Le facteur $1/r^2$ du champ compense exactement la croissance en $r^2$ de l'aire interceptée par un cône: le flux à travers un élément ne dépend que de l'angle solide sous lequel on le voit, pas de sa distance ni de son inclinaison. En intégrant sur $S$,

et les deux propriétés de l'angle solide total donnent $\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\times 4\pi =\frac{q}{{\epsilon }_0}$ si est à l'intérieur, s'il est à l'extérieur.

Le cas le plus simple confirme le résultat sans angle solide: sur une sphère de rayon $r$ centrée sur la charge, $\mathbf{E}$ est partout parallèle à $\mathbf{n}={\mathbf{e}}_r$ et de norme constante, si bien que le flux vaut $\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\times 4\pi r^2=q/{\epsilon }_0$, indépendamment de . Pour une surface qui n'a rien de sphérique, une quadrature numérique fait la vérification: sur la surface d'un cube de côté (en unités arbitraires) avec la charge placée en , loin du centre, une somme de éléments donne ; avec la charge hors du cube, en , elle donne , c'est-à-dire zéro à la précision de la quadrature.

Toute distribution de charges

Démonstration. Pour un ensemble de charges ponctuelles $q_1,\dots ,q_N$, le champ total est la somme $\mathbf{E}={\sum }_i{\mathbf{E}}_i$ des champs de chacune (principe de superposition, chapitre 1). Le flux est linéaire en , puisque c'est une intégrale d'un produit scalaire:

Par le théorème 3.1, chaque terme vaut $q_i/{\epsilon }_0$ si $q_i$ est intérieure et $0$ sinon; la somme vaut donc $\frac{1}{{\epsilon }_0}{\sum }_{\text{int}}{q}_i=Q_{\text{int}}/{\epsilon }_0$. Pour une distribution continue de densité (ou , ou ), on découpe la distribution en éléments qui se comportent comme des charges ponctuelles, et la somme devient une intégrale: .

Trois remarques évitent les contresens les plus courants.

Le champ de (3.4) est le champ total. Les charges extérieures à $S$ ne contribuent pas au flux, mais elles contribuent bel et bien au champ en chaque point de $S$. Si l'on approche une charge de l'extérieur, le champ change partout sur la surface; seul son flux total reste le même.

La surface est imaginaire. Une surface de Gauss n'est pas un objet matériel; c'est un outil de calcul, que l'on choisit librement. Elle ne doit simplement pas passer par une charge ponctuelle, où le champ n'est pas défini.

Le théorème est équivalent à la loi en $1/r^2$. La démonstration a utilisé une seule propriété du champ de Coulomb: sa décroissance exacte en $1/r^2$, qui compense la croissance en $r^2$ des aires. Avec une loi en $1/r^{2+\delta }$, le flux à travers une sphère centrée varierait comme $r^{-\delta }$ et le théorème serait faux. Inversement, on peut retrouver la loi de Coulomb à partir du théorème de Gauss et de la symétrie sphérique; c'est pourquoi l'on dit que les deux sont deux formulations de la même loi physique. Le théorème de Gauss est la , que le chapitre 11 réunira; contrairement à la loi de Coulomb, il reste vrai pour des charges en mouvement.

Calculer un champ avec le théorème de Gauss

La méthode des symétries

Le théorème de Gauss est une égalité entre une intégrale et un nombre. Pour en extraire le champ, il faut pouvoir sortir $E$ de l'intégrale, ce qui exige une surface sur laquelle $\mathbf{E}$ est, par morceaux, soit normal à la surface et de norme constante, soit tangent (flux nul). Seules les distributions très symétriques offrent de telles surfaces, et c'est la symétrie qui dit lesquelles.

Deux principes suffisent. D'abord, les invariances de la distribution se retrouvent dans le champ: si la distribution est inchangée par toute rotation autour d'un point $O$, la norme du champ ne peut dépendre que de la distance $r$ à $O$; si elle est inchangée par translation le long d'un axe, le champ ne dépend pas de la coordonnée le long de cet axe. Ensuite, les plans de symétrie fixent la direction: en un point d'un plan de symétrie de la distribution, le champ électrique est contenu dans ce plan, puisque le symétrique de $\mathbf{E}$ par rapport au plan doit être $\mathbf{E}$ lui-même. Si un point appartient à deux plans de symétrie distincts, le champ est porté par leur droite d'intersection.

Pour une distribution à symétrie sphérique, tout plan contenant $O$ et le point $P$ est plan de symétrie; le champ en $P$ est donc porté par la droite $OP$: il est radial, $\mathbf{E}=E(r){\mathbf{e}}_r$. Pour un fil rectiligne infini uniformément chargé, le plan contenant le fil et $P$ et le plan perpendiculaire au fil passant par $P$ sont plans de symétrie; le champ est porté par leur intersection, la perpendiculaire au fil issue de : il est . Pour un plan infini uniformément chargé, tout plan perpendiculaire à la distribution et passant par est plan de symétrie; le champ est au plan chargé.

La figure 3.2 réunit les trois surfaces de Gauss que ces symétries imposent; les trois sous-sections suivantes les exploitent une à une.

La sphère chargée en volume

Considérons une boule de rayon $R$ portant la charge $Q$ répartie uniformément dans son volume, avec la densité $\rho =Q/\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)$. La symétrie sphérique donne $\mathbf{E}=E(r){\mathbf{e}}_r$. Prenons comme surface de Gauss une sphère de rayon concentrique (figure 3.2a). En chacun de ses points, , donc , constant sur la sphère, et le flux vaut .

Démonstration (extérieur, $r\ge R$). La sphère de Gauss enferme toute la charge: $Q_{\text{int}}=Q$. Le théorème de Gauss donne $E(r)4\pi r^2=Q/{\epsilon }_0$.

Démonstration (intérieur, $r<R$). La sphère de Gauss n'enferme que la charge contenue dans la boule de rayon $r$: $Q_{\text{int}}=\rho \frac{4}{3}\pi r^3=Q{r}^3/R^3$. Le théorème donne .

En résumé,

À l'extérieur, la boule crée le champ d'une charge ponctuelle placée en son centre: c'est l'énoncé électrique du théorème des couches sphériques de Newton. À l'intérieur, le champ croît linéairement depuis zéro au centre, où la symétrie l'annule. Les deux expressions se raccordent en $r=R$, où $E$ est maximal: le champ est continu, parce que la charge est répartie en volume et qu'une sphère de Gauss infiniment mince autour de $r=R$ n'enferme aucune charge supplémentaire.

La figure 3.3, plus bas, trace ce profil $E(r)$ à côté de celui de la sphère conductrice, que nous rencontrerons dans la section sur les conducteurs.

Le fil infini

Pour un fil rectiligne infini portant la densité linéique uniforme $\lambda$, les symétries établies plus haut donnent un champ radial (au sens cylindrique) dont la norme ne dépend que de la distance $r$ au fil. La surface de Gauss adaptée est un cylindre coaxial de rayon $r$ et de hauteur $h$, fermé par deux disques (figure 3.2b).

Démonstration. Sur la face latérale, $\mathbf{n}$ est radial comme $\mathbf{E}$, et $E(r)$ y est constant: le flux vaut $E(r)\cdot 2\pi rh$. Sur les deux disques, la normale sortante est parallèle au fil, donc perpendiculaire à $\mathbf{E}$: le flux y est nul. La charge intérieure est celle du morceau de fil de longueur $h$, $Q_{\text{int}}=\lambda h$. Le théorème de Gauss donne , d'où

La hauteur $h$ du cylindre, choisie arbitrairement, disparaît du résultat, comme il se doit. Le chapitre 2 avait obtenu la même expression par intégration directe de la loi de Coulomb le long du fil; comparez la longueur des deux calculs. Le champ du fil décroît en $1/r$, plus lentement que celui d'une charge ponctuelle: en s'éloignant d'un fil infini, on voit toujours une longueur de fil proportionnelle à la distance.

Le plan infini et deux plans parallèles

Un plan infini porte la densité surfacique uniforme $\sigma$. Le champ lui est perpendiculaire, sa norme ne dépend que de la distance au plan, et le plan étant son propre plan de symétrie, le champ en un point est le symétrique du champ au point symétrique: il s'éloigne du plan des deux côtés si $\sigma >0$. La surface de Gauss adaptée est un cylindre droit de section $A$, qui traverse le plan et dont les deux disques sont à la même distance de part et d'autre (figure 3.2c); on l'appelle souvent une «boîte à camembert».

Démonstration. Sur la face latérale, $\mathbf{E}$ est parallèle à la surface: flux nul. Sur chacun des deux disques, la normale sortante pointe en s'éloignant du plan, comme $\mathbf{E}$: chaque disque reçoit le flux $EA$. Le flux total vaut $2EA$. La charge intérieure est celle du disque d'aire $A$ découpé dans le plan: $Q_{\text{int}}=\sigma A$. Le théorème donne $2EA=\sigma A/{\epsilon }_0$, d'où

Le résultat est surprenant au premier abord: le champ d'un plan infini ne dépend pas de la distance. Le raisonnement du fil s'étend ici: en s'éloignant du plan, on voit une surface chargée de plus en plus grande sous un angle de plus en plus rasant, et les deux effets se compensent exactement. Pour $\sigma =5,00$ nC/m², $E=282,4$ V/m à $1$ mm comme à $1$ m du plan, tant que cette distance reste petite devant les dimensions du plan réel.

Deux plans parallèles. Plaçons face à face deux plans parallèles portant $+\sigma$ et $-\sigma$. Par superposition, chacun crée un champ $\sigma /(2{\epsilon }_0)$ perpendiculaire aux plans: celui du plan positif s'en éloigne, celui du plan négatif s'en approche. Entre les plans, les deux champs pointent dans le même sens, du plan positif vers le plan négatif, et s'ajoutent; à l'extérieur, ils sont opposés et se compensent:

C'est le condensateur plan, que le chapitre 5 étudie en détail. On y retrouvera, avec ses données, un champ de $12,0$ kV/m entre des armatures de $100$ cm² portant $\pm 1,063$ nC: $\sigma /{\epsilon }_0=(1,063\cdot 10^{-9}/0,0100)/(8,854\cdot 10^{-12})$ redonne bien kV/m. Des armatures réelles sont finies; le champ uniforme entre elles et nul à l'extérieur est une excellente approximation au centre, et le chapitre 5 dira ce qu'il advient des bords.

Conducteurs en équilibre électrostatique

Le champ est nul à l'intérieur

Un conducteur contient des charges libres de se déplacer — les électrons de conduction d'un métal (chapitre 1). On dit qu'il est en équilibre électrostatique lorsque ces charges n'ont plus de mouvement d'ensemble.

Démonstration. Si le champ n'était pas nul en un point de la matière conductrice, les charges libres qui s'y trouvent subiraient la force $q\mathbf{E}$ et se mettraient en mouvement: le conducteur ne serait pas en équilibre. Donc $\mathbf{E}=0$ partout dans la matière. Considérons maintenant une surface de Gauss fermée quelconque tracée entièrement dans la matière du conducteur. Le champ y est nul en tout point, donc son flux est nul, et le théorème de Gauss donne $Q_{\text{int}}=0$. Cela vaut pour une surface aussi petite que l'on veut autour de n'importe quel point intérieur: la densité de charge est nulle partout dans le volume. La charge excédentaire, qui existe bel et bien si le conducteur est chargé, ne peut donc se trouver que sur la surface. $\square$

L'argument est physique autant que mathématique: c'est la mobilité des charges qui fait le travail. Lorsqu'on apporte une charge sur un conducteur, ou qu'on l'approche d'un champ extérieur, les électrons se redistribuent jusqu'à ce que le champ qu'ils créent annule exactement le champ appliqué dans la matière. Dans un bon conducteur métallique, cette réorganisation est extraordinairement rapide, si bien que l'équilibre est atteint pour tous les usages pratiques de l'électrostatique.

Le champ au voisinage de la surface

Juste à l'extérieur d'un conducteur en équilibre, le champ n'est pas nul si la surface porte des charges. Sa direction est fixée par le même argument de mobilité: une composante tangente à la surface ferait glisser les charges de surface le long de celle-ci, ce qui est exclu à l'équilibre. Le champ est donc perpendiculaire à la surface. Reste à trouver sa norme.

Démonstration. Prenons une petite «boîte à camembert» de section $A$, assez petite pour que la surface y soit plane et $\sigma$ uniforme, dont un disque est juste à l'extérieur du conducteur et l'autre juste à l'intérieur, dans la matière. Le flux à travers le disque intérieur est nul, puisque $\mathbf{E}=0$ dans le conducteur. Le flux à travers la face latérale est nul aussi: dans la partie intérieure, le champ est nul, et dans la partie extérieure, infiniment courte, le champ est normal à la surface, donc tangent à la face latérale. Il reste le disque extérieur, dont la normale sortante est $\mathbf{n}$: flux $E_{n}A$. La charge intérieure est $\sigma A$. Le théorème de Gauss donne $E_{n}A=\sigma A/{\epsilon }_0$, et comme le champ est normal, .

Comparez avec le plan infini (3.7): $\sigma /(2{\epsilon }_0)$ là, $\sigma /{\epsilon }_0$ ici. Il n'y a pas de contradiction. Un petit morceau de surface chargée crée, à lui seul, un champ $\sigma /(2{\epsilon }_0)$ de chaque côté, pointant vers l'extérieur d'un côté et vers l'intérieur de l'autre. Toutes les autres charges du conducteur créent, près de ce morceau, un champ qui annule le sien à l'intérieur et le double à l'extérieur. Pour le plan isolé, il n'y a pas d'autres charges et pas de matière où le champ doive s'annuler.

La sphère témoin, conductrice. Portons la même charge $Q=+5,00$ nC sur une sphère conductrice de rayon $R=10,0$ cm. Par le théorème 3.3, toute la charge est en surface, et par symétrie elle s'y répartit uniformément: $\sigma =Q/(4\pi R^2)=3,979\cdot 10^{-8}$ C/m². Une sphère de Gauss intérieure n'enferme aucune charge: pour . Une sphère extérieure enferme : le champ est le même que celui de la sphère chargée en volume, . Juste à l'extérieur, les deux routes se rejoignent: V/m par le théorème 3.4, et V/m par le théorème de Gauss sur une sphère. Contrairement au cas volumique, le champ de à V/m à la traversée de la surface: c'est la signature d'une charge surfacique, et la hauteur du saut est .

L'explorateur rassemble ce que la section précédente et celle-ci ont établi. En mode «en volume», le point parcourt la droite puis l'hyperbole de la figure 3.3, et le flux croît comme $r^3$ jusqu'à $564,7$ V·m en $r=R$. Au-delà, le flux ne bouge plus: il vaut $Q/{\epsilon }_0=564,7$ V·m pour toute sphère extérieure, tandis que le champ décroît, parce que le même flux se répartit sur une aire $4\pi r^2$ qui grandit. En mode «conducteur», flux et champ sont nuls jusqu'à la surface; en exactement, la sphère de Gauss passe la couche de charge, la charge intérieure n'est pas définie et le champ saute. Le théorème de Gauss ne s'applique pas à une surface qui traverse une charge surfacique, et l'explorateur le signale au lieu d'inventer une valeur.

Cavité et cage de Faraday

Creusons une cavité vide dans un conducteur en équilibre. Une surface de Gauss tracée dans la matière et entourant la cavité reçoit un flux nul; la charge totale portée par la paroi de la cavité est donc nulle. Le théorème de Gauss ne suffit pas à exclure que la paroi porte des charges positives à un endroit et négatives à un autre; il faut une propriété de plus. Si c'était le cas, une ligne de champ irait, à travers la cavité, d'une charge positive à une charge négative de la paroi, et un chemin fermé formé de cette ligne et d'un retour dans le métal, où le champ est nul, donnerait un travail non nul du champ. Or le chapitre 4 établira que le champ électrostatique est conservatif: son travail sur tout chemin fermé est nul. Il n'y a donc ni charge sur la paroi, ni champ dans la cavité, quel que soit le champ extérieur et quelle que soit la charge du conducteur.

C'est le principe de la cage de Faraday: une enceinte conductrice fermée isole son intérieur des champs électrostatiques extérieurs. Les charges de la surface extérieure se réarrangent pour que l'intérieur ne «voie» rien. Une grille métallique suffit si ses mailles sont petites devant les distances qui comptent. Trois situations familières en relèvent.

• La voiture et la foudre. Une voiture à carrosserie métallique frappée par la foudre protège ses occupants parce que le courant s'écoule par la carrosserie, à l'extérieur de l'habitacle. Contrairement à une idée répandue, ce ne sont pas les pneus qui protègent: quelques centimètres de caoutchouc ne sont rien face à une décharge qui vient de traverser des centaines de mètres d'air. La foudre est un phénomène transitoire et intense, et l'argument électrostatique n'en donne que le principe, mais ce principe est le bon: rester à l'intérieur, sans toucher les parties métalliques.
• La cabine de téléphérique. Une cabine métallique suspendue à un câble d'acier est une cage de Faraday pour ses passagers, pour la même raison que la voiture: la charge et le courant d'une décharge restent sur l'enveloppe métallique.
• Le téléphone portable dans l'ascenseur. La réception chute souvent dans une cabine d'ascenseur métallique fermée. Il s'agit cette fois d'ondes électromagnétiques (chapitre 12) et non d'un champ statique, et l'écran n'est que partiel — portes jointives imparfaites, ouvertures, parois plus ou moins continues —, mais l'idée est la même: les charges du métal se déplacent pour s'opposer au champ qui voudrait entrer. Un four à micro-ondes fonctionne dans l'autre sens: sa grille métallique, percée de trous petits devant la longueur d'onde, garde les ondes à l'intérieur.

Une charge dans la cavité. Si la cavité contient une charge $q$, une surface de Gauss dans le métal autour de la cavité reçoit toujours un flux nul: la paroi de la cavité porte donc la charge induite $-q$. Si le conducteur est globalement neutre, la charge $+q$ correspondante apparaît sur sa surface extérieure. C'est l'expérience du «seau à glace» de Faraday: une charge introduite dans un récipient métallique fermé fait apparaître à l'extérieur une charge égale, quelle que soit sa position à l'intérieur, ce qui permet de la mesurer sans la toucher. L'extérieur est informé de la valeur de la charge intérieure, pas de sa position: sur une coque sphérique, la charge extérieure se répartit uniformément même si $q$ est excentrée.

L'effet de pointe

Sur une sphère conductrice isolée, la charge se répartit uniformément. Sur un conducteur de forme quelconque, elle ne le fait pas: la densité $\sigma$ est plus grande là où la surface est plus courbée, sur les pointes et les arêtes, et, par (3.8), le champ juste à l'extérieur y est plus intense. C'est l'effet de pointe. Nous l'énonçons ici de manière qualitative: la justification demande le potentiel électrique, et le chapitre 4 la donnera sur le modèle de deux sphères conductrices de rayons différents reliées par un fil, où l'on trouvera que $\sigma$ varie comme l'inverse du rayon.

L'effet de pointe a des conséquences pratiques importantes. Un champ assez intense ionise l'air: près d'une pointe chargée, l'air devient conducteur et la charge s'échappe par un courant de décharge, parfois visible comme une lueur (l'effet couronne des lignes à haute tension, ou les «feux de Saint-Elme» au sommet des mâts). Le paratonnerre exploite ce phénomène: une tige métallique pointue, reliée à la terre par un conducteur, concentre le champ, favorise l'amorçage de la décharge sur elle plutôt que sur le bâtiment, et conduit le courant de foudre vers le sol. À l'inverse, les équipements à haute tension sont arrondis et polis, pour éviter les décharges indésirables.

L'analogie avec la gravitation

La démonstration du théorème 3.1 n'a utilisé que deux propriétés du champ de Coulomb: il est radial et il décroît en $1/r^2$. Le champ gravitationnel de Newton, $\mathbf{g}=-\frac{GM}{r^2}{\mathbf{e}}_r$, les possède toutes deux (Physique générale I, chapitre 6, «Gravitation et mouvement des planètes»). La correspondance est

le signe traduisant le fait que les masses s'attirent là où les charges de même signe se repoussent. En remplaçant $1/{\epsilon }_0$ par $-4\pi G$ dans (3.4), on obtient le théorème de Gauss gravitationnel:

Le chapitre 6 de Physique générale I l'avait annoncé et utilisé pour établir le théorème des couches sphériques; il est maintenant démontré, par le même argument de l'angle solide. Appliqué à la Terre supposée homogène, de rayon $R_T$ et de masse volumique uniforme, il donne exactement le calcul de la sphère chargée en volume: à la distance $r\le R_T$ du centre, la sphère de Gauss enferme la masse $M_T(r/R_T{)}^3$ et

avec $g_0=G{M}_T/R_T^2=9,82$ m/s² pour $G{M}_T=3,986\cdot 10^{14}$ m³/s² et km. À mi-chemin du centre, la pesanteur ne serait plus que de m/s². C'est la loi linéaire du «tunnel à travers la Terre» de Physique générale I, et le profil de la figure 3.3 (courbe en trait plein) est aussi celui de , au changement d'échelle près. La Terre réelle, avec son noyau dense, s'en écarte, comme l'avait souligné ce chapitre.

L'analogie a une limite instructive. Il n'existe pas de cage de Faraday gravitationnelle: l'écrantage électrique repose sur l'existence de charges des deux signes, mobiles, qui se réarrangent pour annuler le champ. Il n'y a pas de masse négative, et rien ne peut annuler la pesanteur à l'intérieur d'une enceinte, si ce n'est la chute libre.

La forme locale de la loi de Gauss

Le théorème de Gauss relie le flux à travers une surface fermée à la charge contenue dans tout le volume qu'elle délimite. On peut le ramener à un énoncé ponctuel, qui relie le champ en un point à la densité de charge en ce point. L'outil est la divergence, que l'Analyse III étudiera en détail; nous l'introduisons ici de manière opérationnelle.

Le second énoncé se comprend sur les deux faces perpendiculaires à $x$ d'un petit cube: le flux sortant par la face de droite vaut environ $E_x(x+\ell /2){\ell }^2$, celui par la face de gauche, dont la normale sortante est $-{\mathbf{e}}_x$, environ $-E_x(x-\ell /2){\ell }^2$. Leur somme vaut ; les deux autres paires de faces fournissent les deux autres dérivées. En additionnant les flux de tous les petits cubes qui remplissent un volume, les flux à travers les faces communes à deux cubes voisins se compensent — ce qui sort de l'un entre dans l'autre — et il ne reste que le flux à travers la surface extérieure. Ce raisonnement, rendu rigoureux, est le théorème suivant.

Appliquons-le avec le théorème de Gauss à un volume $\mathcal{V}$ quelconque dans une région où la charge est répartie avec la densité $\rho$. Le flux sortant vaut, d'une part, ${\iiint }_{\mathcal{V}}\nabla \cdot \mathbf{E}\mathrm{d}\tau$ par (3.10), et d'autre part $Q_{\text{int}}/{\epsilon }_0=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\iiint }_{\mathcal{V}}\rho \mathrm{d}\tau$ par (3.4). Les deux intégrales sont égales pour volume , aussi petit soit-il; les intégrandes, supposés continus, sont donc égaux en chaque point:

C'est la forme locale (ou différentielle) du théorème de Gauss: les charges sont les sources du champ électrique. Là où il n'y a pas de charge, la divergence est nulle; le champ peut y être intense, mais tout ce qui entre dans un petit volume en ressort. La forme intégrale (3.4) et la forme locale (3.11) sont équivalentes; la première sert à calculer des champs symétriques, la seconde à écrire les équations de Maxwell, que le chapitre 11 présentera sous les deux formes.

Vérification sur la sphère témoin. À l'intérieur, (3.5) s'écrit en composantes $\mathbf{E}=\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}(x,y,z)$, dont la divergence vaut $\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}(1+1+1)=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=1,348\cdot 10^5$ V/m², constante dans toute la boule, comme la densité. À l'extérieur, a une divergence nulle: la dérivée de par rapport à vaut , et la somme des trois termes semblables donne . Deux contrôles numériques indépendants le confirment: des différences finies centrées au point cm donnent V/m², et le flux sortant d'un cube de cm de côté centré en ce point, divisé par son volume, redonne la même valeur; en cm, les différences finies donnent zéro à la précision du calcul.

Synthèse

• Le flux d'un champ à travers une surface orientée est ${\Phi }_E={\iint }_S\mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S$; il se réduit à $EA\cos \theta$ pour un champ uniforme et une surface plane. Son signe dépend de l'orientation, qu'il faut toujours énoncer; une surface fermée est orientée par la normale sortante.
• Le théorème de Gauss ${\oint }_S\mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S=Q_{\text{int}}/{\epsilon }_0$ se démontre pour une charge ponctuelle par l'angle solide ( si la charge est intérieure, sinon), puis pour toute distribution par superposition. Il repose sur la décroissance exacte en et vaut aussi pour la gravitation, avec .

Exercices

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Références

• Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 2 – Électricité et magnétisme, Chenelière Éducation, Montréal, chap. 23 (loi de Gauss).
• Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, 15e éd., Pearson, chap. 22.
• Purcell, E. M. et Morin, D. J., Electricity and Magnetism, 3e éd., Cambridge University Press, chap. 1 et 2.
• Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme 1, Dunod, Paris, chap. 4 et 5.
• Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, chap. 2.
• Pérez, J.-Ph., Électromagnétisme — fondements et applications, Dunod, Paris.