Formulaire · Analyse I

Ce formulaire rassemble, chapitre par chapitre, les définitions, formules et théorèmes essentiels du cours, avec la notation des chapitres correspondants (les numéros d'équations et de théorèmes y renvoient). Chaque formule est suivie de la signification des symboles et de ses conditions de validité; les démonstrations, les exemples et les pièges classiques se trouvent dans les chapitres. Conventions: $N = {0, 1, 2, \dots}$ , $N^{*} = N ∖ {0}$ , $e$ et $i$ en romain, $ln$ pour le logarithme népérien, intervalles ouverts $] a, b [$ , virgule décimale ( $e \approx 2, 718$ ).

Chapitre 1 – Nombres réels

s = sup A ⟺ (\forall a \in A, a \leq s) et (\forall ε > 0, \exists a \in A, a > s - ε)

Caractérisation de la borne supérieure d'une partie $A \subset R$ non vide et majorée (théorème 1.3); toute partie non vide et majorée de $R$ possède une borne supérieure (axiome de la borne supérieure). De façon symétrique, $m = in f A$ si $m$ minore $A$ et si pour tout $ε > 0$ il existe $a \in A$ avec $a < m + ε$ .

\forall x \in R, \exists n \in N : n > x, ⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1

Propriété d'Archimède et partie entière; entre deux réels distincts il existe toujours un rationnel et un irrationnel (densité).

∣ x ∣ = x^{2}, ∣ x y ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣, ∣ x ∣ < r ⟺ - r < x < r, ∣ x ∣ - ∣ y ∣ \leq ∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

Valeur absolue et inégalité triangulaire (1.2, théorème 1.6); $∣ x - a ∣ < r$ signifie $x \in] a - r, a + r [$ .

(1 + x)^{n} \geq 1 + n x (x \geq - 1, n \in N), ab \leq \frac{a + b}{2} (a, b \geq 0), (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2})

Inégalités de Bernoulli (1.3), arithmético-géométrique (1.4, égalité si et seulement si $a = b$ ) et de Cauchy–Schwarz (1.5).

k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}, k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}, k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} (q \neq = 1)

Sommes usuelles, toutes démontrables par récurrence; la dernière est la somme géométrique (1.6).

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}, (k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1), (a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k}

Coefficients binomiaux, relation de Pascal (1.7) et formule du binôme de Newton (1.8), valable pour tous réels $a, b$ et tout $n \in N$ , avec $0! = 1$ .

Chapitre 2 – Nombres complexes

z = a + i b, i^{2} = - 1, \overset{z}{ˉ} = a - i b, ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} = z \overset{z}{ˉ}, \frac{1}{z} = \frac{z ˉ}{∣ z ∣ ^{2}}

Forme algébrique, conjugué, module et inverse (2.3, 2.4); $Re z = (z + \overset{z}{ˉ}) /2$ , $Im z = (z - \overset{z}{ˉ}) / (2 i)$ , $\overline{z w} = \overset{z}{ˉ} \overset{w}{ˉ}$ , $∣ z w ∣ = ∣ z ∣ ∣ w ∣$ et $∣ z + w ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ w ∣$ .

z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}, e^{i θ} = cos θ + i sin θ, z w = r s e^{i (θ + φ)}, \frac{z}{w} = \frac{r}{s} e^{i (θ - φ)}

Forme trigonométrique et exponentielle (2.5, 2.6, 2.8): $r = ∣ z ∣$ , $θ = ar g z$ défini modulo $2 π$ , $w = s e^{i φ} \neq = 0$ . Les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.

cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}, sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}, (cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)

Formules d'Euler (2.7) et formule de Moivre (2.9), $n \in Z$ ; elles servent à linéariser $cos^{n} θ$ , $sin^{n} θ$ et à exprimer $cos (n θ)$ en fonction de $cos θ$ .

z^{n} = w = ρ e^{i α} ⟺ z_{k} = n ρ e^{i (α + 2 k π) / n}, k = 0, 1, \dots, n - 1; ω_{k} = e^{2 i k π / n}

Racines $n$ -ièmes d'un complexe non nul (2.11) et racines $n$ -ièmes de l'unité (2.10): $n$ points régulièrement espacés sur le cercle de rayon $n ρ$ ; on a $\sum_{k = 0}^{n - 1} ω_{k} = 0$ pour $n \geq 2$ .

a z^{2} + b z + c = 0 ⟺ z_{1, 2} = \frac{- b \pm δ}{2 a}, δ^{2} = Δ = b^{2} - 4 a c, z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}, z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}

Équation du second degré dans $C$ (2.13), $a \neq = 0$ , $δ$ l'une des deux racines carrées complexes de $Δ$ ; la racine carrée $x + i y$ de $a + i b$ se trouve par $x^{2} - y^{2} = a$ , $2 x y = b$ , $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ (2.12). Tout polynôme de degré $n \geq 1$ possède $n$ racines complexes comptées avec multiplicité (d'Alembert–Gauss); les racines non réelles d'un polynôme réel vont par paires conjuguées.

Chapitre 3 – Suites numériques

u_{n} \to ℓ ⟺ \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N : ∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε

Définition $ε$ – $N$ de la convergence (3.3); la limite est unique, toute suite convergente est bornée; $u_{n} \to + \infty$ si pour tout $A$ on a $u_{n} > A$ à partir d'un rang.

u_{n} = u_{0} + n r, k = 0 \sum n u_{k} = (n + 1) \frac{u _{0} + u _{n}}{2}; u_{n} = u_{0} q^{n}, k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} (q \neq = 1)

Suites arithmétiques de raison $r$ et géométriques de raison $q$ (3.1, 3.2); $q^{n} \to 0$ si $∣ q ∣ < 1$ , $q^{n} \to + \infty$ si $q > 1$ , pas de limite si $q \leq - 1$ .

n n \to 1, n a \to 1 (a > 0), (1 + \frac{1}{n})^{n} \to e, \frac{ln n}{n ^{a}} \to 0, \frac{n ^{a}}{q ^{n}} \to 0, \frac{q ^{n}}{n !} \to 0, \frac{n !}{n ^{n}} \to 0

Limites de référence et croissances comparées (théorème 3.6, (3.4)), pour $a > 0$ et $q > 1$ : le logarithme est dominé par les puissances, les puissances par les exponentielles, celles-ci par la factorielle, elle-même par $n^{n}$ .

v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n} et v_{n} \to ℓ, w_{n} \to ℓ ⟹ u_{n} \to ℓ

Théorème des gendarmes (3.5); en particulier $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq w_{n} \to 0$ entraîne $u_{n} \to ℓ$ . Le passage à la limite conserve les inégalités larges ( $u_{n} \leq v_{n} ⟹ ℓ \leq ℓ^{'}$ ), jamais les strictes.

(u_{n}) croissante et major \overset{e}{ˊ} e ⟹ u_{n} \to n sup u_{n}; (u_{n}) ↗, (v_{n}) ↘, v_{n} - u_{n} \to 0 ⟹ lim u_{n} = lim v_{n}

Théorème de la limite monotone (3.7) et suites adjacentes (3.8): une suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ ; la limite commune $ℓ$ de deux suites adjacentes vérifie $u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$ pour tout $n$ .

Bolzano-Weierstrass: toute suite born \overset{e}{ˊ} e poss \overset{e}{ˋ} de une sous-suite convergente.

Théorème 3.9; une suite converge vers $ℓ$ si et seulement si toutes ses sous-suites convergent vers $ℓ$ , ce qui permet de prouver une divergence en exhibant deux sous-suites de limites différentes.

(u_{n}) de Cauchy ⟺ \forall ε > 0, \exists N, \forall m, n \geq N : ∣ u_{m} - u_{n} ∣ < ε ⟺ (u_{n}) converge

Critère de Cauchy (3.5, théorème 3.10), valable dans $R$ (complétude) mais pas dans $Q$ .

u_{n + 1} = f (u_{n}), f (I) \subset I, u_{0} \in I, u_{n} \to ℓ, f continue en ℓ ⟹ f (ℓ) = ℓ; u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}}) \to a

Suites récurrentes (proposition 3.11): la limite éventuelle est un point fixe; la monotonie se lit sur le signe de $f (x) - x$ et la convergence vient de la limite monotone. Méthode de Héron (3.6): pour $u_{0} > 0$ , $u_{n} \geq a$ dès $n \geq 1$ et la suite décroît vers $a$ de façon quadratique.

Chapitre 4 – Séries numériques

S_{N} = n = 0 \sum N u_{n}, n \geq 0 \sum u_{n} converge ⟺ (S_{N}) converge; \sum u_{n} converge ⟹ u_{n} \to 0

Sommes partielles et condition nécessaire (4.1): si $u_{n} \neq \to 0$ , la série diverge grossièrement; la réciproque est fausse (série harmonique).

n = 0 \sum \infty x^{n} = \frac{1}{1 - x}, R_{N} = \frac{x ^{N + 1}}{1 - x} (∣ x ∣ < 1); n = 1 \sum \infty n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}

Série géométrique et son reste (4.1), série géométrique dérivée (4.5); divergence si $∣ x ∣ \geq 1$ .

n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{p}} converge ⟺ p > 1, \frac{1}{( p - 1 ) ( N + 1 ) ^{p - 1}} \leq R_{N} \leq \frac{1}{( p - 1 ) N ^{p - 1}}

Séries de Riemann (théorème 4.6) et encadrement du reste par comparaison série–intégrale (4.2, 4.3) pour $f$ continue, positive, décroissante: $\int_{N + 1}^{+ \infty} f \leq R_{N} \leq \int_{N}^{+ \infty} f$ . Valeurs remarquables: $\sum 1/ n^{2} = π^{2} /6$ .

0 \leq u_{n} \leq v_{n} : \sum v_{n} converge ⟹ \sum u_{n} converge; u_{n} \sim v_{n} \geq 0 ⟹ \sum u_{n} et \sum v_{n} de m \overset{e}{ˆ} me nature

Critères de comparaison et des équivalents (4.5) pour les séries à termes positifs; une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées.

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \to ℓ ou n u_{n} \to ℓ : ℓ < 1 ⟹ convergence, ℓ > 1 ⟹ divergence grossi \overset{e}{ˋ} re, ℓ = 1 : ind \overset{e}{ˊ} termin \overset{e}{ˊ}

Critères de d'Alembert (quotient, 4.8) et de Cauchy (racine, 4.9), $u_{n} > 0$ ; typiques pour les termes contenant $n!$ , $a^{n}$ ou $n^{n}$ .

(a_{n}) ↘ 0 ⟹ n \geq 0 \sum (- 1)^{n} a_{n} converge, ∣ R_{N} ∣ = ∣ S - S_{N} ∣ \leq a_{N + 1}

Critère de Leibniz (4.11) et majoration du reste (4.4): la somme est comprise entre deux sommes partielles consécutives.

\sum ∣ u_{n} ∣ converge ⟹ \sum u_{n} converge, \sum u_{n} \leq \sum ∣ u_{n} ∣

Convergence absolue (4.10); une série convergente mais non absolument convergente est semi-convergente (exemple: $\sum (- 1)^{n + 1} / n = ln 2$ ).

e = n = 0 \sum \infty \frac{1}{n !}, 0 < e - n = 0 \sum N \frac{1}{n !} < \frac{1}{N ! N}

Série de $e$ et majoration du reste (4.6, $N \geq 1$ ); cet encadrement démontre l'irrationalité de $e$ (Euler, 1737).

Chapitre 5 – Limites et continuité

x \to x_{0} lim f (x) = ℓ ⟺ \forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x \in D, ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - ℓ ∣ < ε

Définition $ε$ – $δ$ (5.1), $x_{0}$ adhérent à $D$ ; caractérisation séquentielle (5.1): $f (x_{n}) \to ℓ$ pour toute suite $x_{n} \to x_{0}$ . Les limites latérales $f (x_{0}^{-})$ , $f (x_{0}^{+})$ et les limites en $\pm \infty$ se définissent de même. Les opérations sur les limites et le théorème des gendarmes (5.4) sont ceux des suites.

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}, x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1

Limites usuelles (5.2), qui sont les dérivées en $0$ de $sin$ , $exp$ , $ln (1 + x)$ et $tan$ .

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{α}} = 0, x \to + \infty lim \frac{x ^{β}}{e ^{x}} = 0, x \to 0^{+} lim x^{α} ln x = 0, x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0

Croissances comparées (5.3, 6.3), $α, β > 0$ , $n \in N$ . Formes indéterminées à lever par ces limites, par un équivalent ou par un développement limité: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ , $1^{\infty}$ , $0^{0}$ et $\infty^{0}$ (les trois dernières se traitent en passant au logarithme).

f continue en x_{0} ⟺ x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}) ⟺ (x_{n} \to x_{0} ⟹ f (x_{n}) \to f (x_{0}))

Continuité (5.4) et sa caractérisation séquentielle (5.6); sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues; $f$ se prolonge par continuité en $x_{0} \in / D$ si $lim_{x \to x_{0}} f$ existe et est finie.

f \in C ([a, b]), f (a) \leq y \leq f (b) (ou f (b) \leq y \leq f (a)) ⟹ \exists c \in [a, b] : f (c) = y; f (a) f (b) < 0 ⟹ \exists c \in] a, b [: f (c) = 0

Théorème des valeurs intermédiaires (5.8) et corollaire de Bolzano (5.9); la dichotomie localise le zéro avec une erreur au plus $(b - a) / 2^{n + 1}$ après $n$ étapes, soit $n \geq lo g_{2} ((b - a) / ε)$ (5.5). L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

f \in C ([a, b]) ⟹ f born \overset{e}{ˊ} e et \exists x_{m}, x_{M} \in [a, b] : f (x_{m}) = [a, b] min f, f (x_{M}) = [a, b] max f

Théorème de Weierstrass (5.10): sur un segment (fermé borné), une fonction continue atteint ses bornes.

f : I \to R continue et strictement monotone ⟹ f : I \to f (I) bijective, f^{- 1} continue et de m \overset{e}{ˆ} me monotonie

Théorème de la bijection (5.12); $f (I)$ est un intervalle dont les bornes sont les limites de $f$ aux bornes de $I$ .

\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x, y \in D : ∣ x - y ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - f (y)∣ < ε; ∣ f (x) - f (y)∣ \leq L ∣ x - y ∣

Continuité uniforme (5.6) et fonction $L$ -lipschitzienne (5.7). Théorème de Heine (5.13): continue sur un segment $⟹$ uniformément continue; lipschitzienne $⟹$ uniformément continue $⟹$ continue (5.14), les réciproques étant fausses en général ( $x$ sur $[0, 1]$ , $x^{2}$ sur $R$ ).

Chapitre 6 – Fonctions élémentaires

exp (x) = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !}, e^{x + y} = e^{x} e^{y}, e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}, (e^{x})^{n} = e^{n x}, e^{x} \geq 1 + x

Exponentielle (6.1, 6.2): continue, strictement croissante, bijective de $R$ sur $] 0, + \infty [$ , $e^{0} = 1$ , $lim_{- \infty} = 0$ , $lim_{+ \infty} = + \infty$ .

ln (ab) = ln a + ln b, ln \frac{a}{b} = ln a - ln b, ln (a^{α}) = α ln a, ln x \leq x - 1, lo g_{b} x = \frac{ln x}{ln b}

Logarithme népérien (6.4), réciproque de $exp$ , $a, b > 0$ : strictement croissant, $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$ , $lim_{0^{+}} ln = - \infty$ , $lim_{+ \infty} ln = + \infty$ ; logarithme en base $b > 0$ , $b \neq = 1$ (décimal: $lo g_{10}$ ).

x^{α} = e^{α l n x} (x > 0), x^{α} x^{β} = x^{α + β}, (x^{α})^{β} = x^{α β}, (x y)^{α} = x^{α} y^{α}, a^{x} = e^{x l n a}

Puissances d'exposant réel (6.6) et exponentielle de base $a > 0$ . Hiérarchie des croissances en $+ \infty$ (6.7): $ln x ≪ x^{α} ≪ e^{x}$ pour tout $α > 0$ .

cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1, 1 + tan^{2} θ = \frac{1}{cos ^{2} θ}, cos (- θ) = cos θ, sin (- θ) = - sin θ, cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ

Relation fondamentale (6.8), parité et symétries du cercle; $cos$ et $sin$ sont $2 π$ -périodiques, $tan$ est $π$ -périodique et définie pour $θ \neq = π /2 + k π$ .

cos (a \pm b) tan (a \pm b) sin 2 a = cos a cos b \mp sin a sin b, = \frac{tan a \pm tan b}{1 \mp tan a tan b}, = 2 sin a cos a, sin (a \pm b) cos 2 a cos^{2} a = sin a cos b \pm cos a sin b, = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a, = \frac{1 + cos 2 a}{2}, sin^{2} a = \frac{1 - cos 2 a}{2}

Formules d'addition (6.9), de duplication (6.10) et de linéarisation (6.11). Produits en sommes: $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ , $sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]$ , $sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)]$ .

cos x = cos a ⟺ x = \pm a + 2 k π, sin x = sin a ⟺ x = a + 2 k π ou x = π - a + 2 k π, tan x = tan a ⟺ x = a + k π

Résolution des équations trigonométriques élémentaires (6.10), $k \in Z$ . Signal sinusoïdal: $A cos (ω t + φ)$ d'amplitude $A$ , pulsation $ω = 2 π f = 2 π / T$ , phase $φ$ ; $a cos ω t + b sin ω t = a^{2} + b^{2} cos (ω t - φ)$ avec $tan φ = b / a$ (6.12).

arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], arccos : [- 1, 1] \to [0, π], arctan : R \to] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

Fonctions trigonométriques réciproques: $y = arcsin x$ signifie $sin y = x$ et $y \in [- π /2, π /2]$ . Attention: $arcsin (sin x) = x$ seulement pour $x \in [- π /2, π /2]$ .

arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}, arctan x + arctan \frac{1}{x} = \pm \frac{π}{2} (x ≷ 0), cos (arcsin x) = sin (arccos x) = 1 - x^{2}

Identités entre réciproques (6.11), $x \in [- 1, 1]$ pour la première et la troisième; $arcsin$ et $arctan$ sont impaires, $arccos (- x) = π - arccos x$ , $lim_{x \to \pm \infty} arctan x = \pm π /2$ .

sinh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}, cosh x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}, tanh x = \frac{sinh x}{cosh x}, cosh^{2} x - sinh^{2} x = 1, 1 - tanh^{2} x = \frac{1}{cosh ^{2} x}

Fonctions hyperboliques et identité fondamentale (6.13); $cosh$ est paire et $\geq 1$ , $sinh$ et $tanh$ sont impaires et croissantes, $∣ tanh x ∣ < 1$ , $cosh x + sinh x = e^{x}$ .

cosh (x \pm y) = cosh x cosh y \pm sinh x sinh y, sinh (x \pm y) = sinh x cosh y \pm cosh x sinh y, cosh 2 x = 2 cosh^{2} x - 1, sinh 2 x = 2 sinh x cosh x

Formules d'addition et de duplication hyperboliques (6.14): celles de la trigonométrie avec un signe $+$ devant le produit des sinus.

argsinh x = ln (x + x^{2} + 1), argcosh x = ln (x + x^{2} - 1) (x \geq 1), argtanh x = \frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 - x} (∣ x ∣ < 1)

Expressions logarithmiques des réciproques hyperboliques (6.15); $argcosh$ est la réciproque de $cosh$ restreint à $[0, + \infty [$ .

Chapitre 7 – Dérivation

f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}, y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

Nombre dérivé (7.1) et équation de la tangente (7.2); dérivable en $x_{0}$ si et seulement si $f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h + h ε (h)$ avec $ε (h) \to 0$ (7.3, 7.4). Dérivable $⟹$ continue (7.2); réciproque fausse ( $∣ x ∣$ en $0$ ). Linéarisation: $f (x_{0} + h) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h$ , d'où la propagation des incertitudes $Δ f \approx ∣ f^{'} (x_{0})∣ Δ x$ (7.13).

(λ u + μv)^{'} = λ u^{'} + μ v^{'}, (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}, (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}, (g \circ u)^{'} = (g^{'} \circ u) u^{'}, (f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ) )}

Linéarité, produit, quotient ( $v \neq = 0$ ) (7.5, 7.6), règle de la chaîne (7.7; en notation de Leibniz $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$ ) et dérivée de la réciproque (7.8), valable là où $f^{'} \neq = 0$ .

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}, (x^{α})^{'} = α x^{α - 1}, (u^{v})^{'} = u^{v} (v^{'} ln u + v \frac{u ^{'}}{u})

Dérivée logarithmique (7.9), puissance d'exposant réel (7.10), exposant variable (7.11), $u > 0$ .

Fonction	Dérivée	Fonction	Dérivée
$x^{α}$ ( $α \in R$ )	$α x^{α - 1}$	$tan x$	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$arcsin x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$arccos x$	$- \frac{1}{1 - x ^{2}}$
$e^{x}$	$e^{x}$	$arctan x$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$
$a^{x}$ ( $a > 0$ )	$a^{x} ln a$	$sinh x$	$cosh x$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$cosh x$	$sinh x$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$	$tanh x$	$1 - tanh^{2} x = \frac{1}{cosh ^{2} x}$
$sin x$	$cos x$	$argsinh x$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$
$cos x$	$- sin x$	$argcosh x$	$\frac{1}{x ^{2} - 1}$ ( $x > 1$ )
$∣ x ∣$	$sgn x$ ( $x \neq = 0$ )	$argtanh x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$ ( $∣ x ∣ < 1$ )

Dérivées usuelles (théorèmes 7.3 et 7.7, tableau récapitulatif du chapitre 7); $arcsin$ et $arccos$ sont dérivables sur $] - 1, 1 [$ seulement, $ln$ et $\cdot$ sur $] 0, + \infty [$ . Forme composée: remplacer $x$ par $u$ et multiplier par $u^{'}$ , par exemple $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , $(arctan u)^{'} = u^{'} / (1 + u^{2})$ .

(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}, (x^{n})^{(k)} = \frac{n !}{( n - k )!} x^{n - k}, (sin x)^{(n)} = sin (x + \frac{nπ}{2}), (e^{a x})^{(n)} = a^{n} e^{a x}

Formule de Leibniz (7.12) et dérivées $n$ -ièmes usuelles; $f$ est de classe $C^{n}$ si $f^{(n)}$ existe et est continue. Théorème de Fermat (7.9): un extremum local en un point intérieur où $f$ est dérivable impose $f^{'} (x_{0}) = 0$ ; la condition est nécessaire, non suffisante ( $x^{3}$ en $0$ ). Cinématique: si $x (t)$ est la position, la vitesse est $v = \overset{x}{˙} = \frac{d x}{d t}$ et l'accélération $a = \overset{x}{¨} = \overset{v}{˙}$ ; pour des grandeurs liées par une relation $F (x, y) = 0$ , on dérive par rapport au temps avec la règle de la chaîne (taux liés).

Chapitre 8 – Théorèmes du calcul différentiel

f \in C ([a, b]), d \overset{e}{ˊ} rivable sur] a, b [, f (a) = f (b) ⟹ \exists c \in] a, b [: f^{'} (c) = 0

Théorème de Rolle (8.2); les extrema d'une fonction continue sur $[a, b]$ sont à chercher parmi les points critiques ( $f^{'} = 0$ ), les points de non-dérivabilité et les bornes $a$ , $b$ .

f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a) (c \in] a, b [), ∣ f^{'} ∣ \leq M sur] a, b [⟹ ∣ f (b) - f (a)∣ \leq M (b - a)

Théorème des accroissements finis de Lagrange (8.1) et inégalité des accroissements finis (8.2), $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $] a, b [$ ; si $m \leq f^{'} \leq M$ , alors $m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$ . Conséquences (8.5): $f^{'} = 0$ sur un intervalle $⟹$ $f$ constante; $f^{'} \geq 0$ $⟺$ $f$ croissante; $f^{'} > 0$ (sauf en des points isolés) $⟹$ $f$ strictement croissante; $∣ f^{'} ∣ \leq M$ $⟹$ $f$ est $M$ -lipschitzienne.

\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( c )}{g ^{'} ( c )}, x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = L ⟹ x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = L

Accroissements finis généralisés de Cauchy (8.3, $g^{'} \neq = 0$ ) et règle de l'Hospital (8.4) pour les formes $0/0$ et $\infty/\infty$ , $a$ fini ou infini, $L$ réel ou infini; on peut l'itérer, mais l'existence de la limite de $f^{'} / g^{'}$ est une hypothèse, non une conclusion.

f ((1 - t) a + t b) \leq (1 - t) f (a) + t f (b) (t \in [0, 1]) ⟺ f^{'} croissante ⟺ f (x) \geq f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) ⟺ f^{''} \geq 0

Convexité (8.5, théorème 8.8) pour $f$ dérivable, resp. deux fois dérivable, sur un intervalle: cordes au-dessus du graphe, graphe au-dessus des tangentes. Concave: inégalités inversées, $f^{''} \leq 0$ . Point d'inflexion: $f^{''}$ change de signe. Inégalité de Jensen (8.9) et inégalités de moyennes: $n a_{1} \dots a_{n} \leq \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n}$ (8.10).

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}, ∣ x_{n + 1} - ℓ ∣ \leq K ∣ x_{n} - ℓ ∣^{2}

Méthode de Newton (8.6): sous les hypothèses du théorème 8.11 ( $f (a) f (b) < 0$ , $f^{'} \neq = 0$ , $f^{''}$ de signe constant, départ avec $f (x_{0}) f^{''} (x_{0}) > 0$ ), la suite est monotone et converge quadratiquement vers l'unique zéro $ℓ$ (le nombre de décimales exactes double environ à chaque pas).

a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} \in R^{*}, b = x \to \pm \infty lim (f (x) - a x) \in R ⟹ y = a x + b asymptote oblique

Asymptotes: verticale $x = x_{0}$ si $f \to \pm \infty$ en $x_{0}$ , horizontale $y = L$ si $f \to L$ ; le signe de $f (x) - (a x + b)$ indique la position de la courbe. Plan d'étude d'une fonction: domaine et symétries, limites et asymptotes, dérivée et tableau de variation, convexité, graphe.

Chapitre 9 – Formule de Taylor et développements limités

T_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k}, f (x) = T_{n} (x) + \frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}, ∣ f (x) - T_{n} (x)∣ \leq \frac{M}{( n + 1 )!} ∣ x - x_{0} ∣^{n + 1}

Polynôme de Taylor (9.1) et formule de Taylor–Lagrange (9.2, 9.3): $f$ de classe $C^{n}$ sur $[a, b]$ , $f^{(n)}$ dérivable sur $] a, b [$ , $c$ strictement entre $x_{0}$ et $x$ , $M$ majorant de $∣ f^{(n + 1)} ∣$ . Pour $n = 0$ on retrouve les accroissements finis.

f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k} + o ((x - x_{0})^{n}), f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t

Formule de Taylor–Young (9.4), $f$ $n$ fois dérivable en $x_{0}$ , et formule de Taylor avec reste intégral (11.3), $f$ de classe $C^{n + 1}$ . Notation de Landau: $g = o (x^{n})$ si $g (x) / x^{n} \to 0$ ; règles (9.5): $o (x^{n}) + o (x^{m}) = o (x^{m i n (m, n)})$ , $x^{m} o (x^{n}) = o (x^{n + m})$ , $o (x^{m}) o (x^{n}) = o (x^{m + n})$ .

Fonction	Développement limité en $0$
$e^{x}$	$1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + o (x^{n})$
$sin x$	$x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p + 1}}{( 2 p + 1 )!} + o (x^{2 p + 2})$
$cos x$	$1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p}}{( 2 p )!} + o (x^{2 p + 1})$
$sinh x$	$x + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} + \dots + \frac{x ^{2 p + 1}}{( 2 p + 1 )!} + o (x^{2 p + 2})$
$cosh x$	$1 + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots + \frac{x ^{2 p}}{( 2 p )!} + o (x^{2 p + 1})$
$ln (1 + x)$	$x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n + 1} \frac{x ^{n}}{n} + o (x^{n})$
$(1 + x)^{α}$	$1 + α x + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n} + o (x^{n})$
$\frac{1}{1 - x}$	$1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + o (x^{n})$
$\frac{1}{1 + x}$	$1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots + (- 1)^{n} x^{n} + o (x^{n})$
$1 + x$	$1 + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + \frac{x ^{3}}{16} + o (x^{3})$
$\frac{1}{1 + x}$	$1 - \frac{x}{2} + \frac{3 x ^{2}}{8} - \frac{5 x ^{3}}{16} + o (x^{3})$
$arctan x$	$x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p + 1}}{2 p + 1} + o (x^{2 p + 2})$
$arcsin x$	$x + \frac{x ^{3}}{6} + \frac{3 x ^{5}}{40} + o (x^{6})$
$tan x$	$x + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 x ^{5}}{15} + o (x^{6})$
$tanh x$	$x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 x ^{5}}{15} + o (x^{6})$

Développements limités usuels en $0$ (chapitre 9), $α \in R$ ; l'ordre du reste tient compte de la parité. En un point $x_{0} \neq = 0$ , on pose $x = x_{0} + h$ et l'on développe en puissances de $h$ .

sin x \sim x, 1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}, e^{x} - 1 \sim x, ln (1 + x) \sim x, (1 + x)^{α} - 1 \sim α x, tan x - x \sim \frac{x ^{3}}{3}, x - sin x \sim \frac{x ^{3}}{6}

Équivalents usuels en $0$ ( $f \sim g$ si $f / g \to 1$ ): le premier terme non nul du développement limité. Les équivalents se multiplient, se divisent et passent à la limite, mais ne s'additionnent pas et ne se composent pas (ni par $exp$ , ni par $ln$ ).

DL (f + g) = P + Q, DL (f g) = tronc_{n} (P Q), DL (f \circ g) = tronc_{n} (P (Q)) (g (0) = 0), DL_{n + 1} (F) = F (0) + \int_{0}^{x} P

Règles de calcul (9.4): somme, produit (tronquer au degré $n$ ), quotient par $1/ (1 + u)$ ou division suivant les puissances croissantes, composition, primitivation terme à terme. Position de la courbe par rapport à sa tangente: signe du premier terme non nul après l'ordre 1. Développement asymptotique en $\pm \infty$ avec $u = 1/ x$ : $f (x) = a x + b + c / x + o (1/ x)$ donne l'asymptote $y = a x + b$ et la position par le signe de $c / x$ .

Chapitre 10 – Intégrale de Riemann

R (f, σ, ξ) = k = 1 \sum n f (ξ_{k}) (x_{k} - x_{k - 1}), n \to \infty lim \frac{b - a}{n} k = 1 \sum n f (a + k \frac{b - a}{n}) = \int_{a}^{b} f (x) d x

Sommes de Riemann (10.4, 10.5) pour $f$ intégrable, $σ = (x_{0}, \dots, x_{n})$ subdivision de $[a, b]$ , $ξ_{k} \in [x_{k - 1}, x_{k}]$ ; $f$ est intégrable si et seulement si ses sommes de Darboux vérifient $S (f, σ) - s (f, σ) < ε$ pour une subdivision (10.3). Les fonctions continues, continues par morceaux et monotones sont intégrables (10.4, 10.5). Limite de suite: $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (k / n) \to \int_{0}^{1} f$ (10.12).

\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g, \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f, f \leq g ⟹ \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g, \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣

Linéarité, relation de Chasles (avec $\int_{b}^{a} = - \int_{a}^{b}$ ), croissance et valeur absolue (10.6). L'intégrale est une aire signée: les parties du graphe situées sous l'axe comptent négativement; l'aire géométrique est $\int_{a}^{b} ∣ f ∣$ , calculée en découpant $[a, b]$ aux zéros de $f$ . L'aire entre deux courbes $g \leq f$ sur $[a, b]$ vaut $\int_{a}^{b} (f - g)$ .

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a), \overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) pour un c \in [a, b]

Inégalité de la moyenne (10.6) pour $m \leq f \leq M$ , valeur moyenne (10.7) et théorème de la moyenne (10.8) pour $f$ continue. Une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle (10.9).

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t ⟹ F^{'} = f, \int_{a}^{b} f (x) d x = [G (x)]_{a}^{b} = G (b) - G (a), \frac{d}{d x} \int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)

Théorème fondamental de l'analyse (10.11), $f$ continue: $F$ est la primitive de $f$ nulle en $a$ ; formule de Newton–Leibniz (10.8) avec $G$ une primitive quelconque (deux primitives diffèrent d'une constante); dérivée d'une intégrale à bornes variables (10.9).

Fonction $f (x)$	Primitive $F (x)$	Fonction $f (x)$	Primitive $F (x)$
$x^{α}$ ( $α \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{α + 1}}{α + 1}$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$arctan x$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$arcsin x$
$e^{x}$	$e^{x}$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$argsinh x = ln (x + x^{2} + 1)$
$a^{x}$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ )	$\frac{a ^{x}}{ln a}$	$\frac{1}{x ^{2} - 1}$ ( $x > 1$ )	$ln (x + x^{2} - 1)$
$ln x$	$x ln x - x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$ ( $∣ x ∣ < 1$ )	$\frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 - x}$
$sin x$	$- cos x$	$sinh x$	$cosh x$
$cos x$	$sin x$	$cosh x$	$sinh x$
$\frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$	$tan x$	$\frac{1}{cosh ^{2} x}$	$tanh x$
$\frac{1}{sin ^{2} x}$	$- \frac{1}{tan x}$	$tan x$	$- ln ∣ cos x ∣$

Primitives usuelles (chapitre 10), chacune à une constante près sur tout intervalle où $f$ est continue. Formes composées (10.10): $\int u^{'} u^{n} = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ ( $n \neq = - 1$ ), $\int \frac{u ^{'}}{u} = ln ∣ u ∣$ , $\int u^{'} e^{u} = e^{u}$ , $\int u^{'} cos u = sin u$ ; le facteur $u^{'}$ doit être présent.

V_{eff} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v (t)^{2} d t, v (t) = V_{m a x} sin (ω t) ⟹ V_{eff} = \frac{V _{m a x}}{2}

Valeur efficace (RMS) d'un signal $T$ -périodique (10.11): pour le réseau $230$ V, $V_{m a x} = 2302 \approx 325$ V.

T_{n} = h (\frac{y _{0}}{2} + y_{1} + \dots + y_{n - 1} + \frac{y _{n}}{2}), S_{n} = \frac{h}{3} (y_{0} + 4 y_{1} + 2 y_{2} + 4 y_{3} + \dots + 4 y_{n - 1} + y_{n})

Méthodes des trapèzes (10.13) et de Simpson (10.14, $n$ pair) sur la subdivision régulière $h = (b - a) / n$ , $y_{k} = f (a + k h)$ ; erreurs majorées par $\frac{( b - a ) M _{2}}{12} h^{2}$ (10.13) et $\frac{( b - a ) M _{4}}{180} h^{4}$ , où $M_{k}$ majore $∣ f^{(k)} ∣$ . Rectangles: $R_{g} = h \sum_{k = 0}^{n - 1} y_{k}$ , point milieu $R_{m} = h \sum f (x_{k} + h /2)$ (erreur en $h^{2}$ ).

Chapitre 11 – Techniques d'intégration et intégrales impropres

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

Intégration par parties (11.1), $u, v$ de classe $C^{1}$ ; on dérive le facteur qui se simplifie (polynôme, $ln$ , $arctan$ ) et l'on intègre l'autre ( $e^{x}$ , $sin$ , $cos$ ). Exemples: $\int ln x d x = x ln x - x$ , $\int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x}$ , $\int e^{a x} cos b x d x = \frac{e ^{a x} ( a cos b x + b sin b x )}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

W_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x = \frac{n - 1}{n} W_{n - 2}, W_{2 p} = \frac{( 2 p )!}{2 ^{2 p} ( p ! ) ^{2}} \cdot \frac{π}{2}, W_{2 p + 1} = \frac{2 ^{2 p} ( p ! ) ^{2}}{( 2 p + 1 )!}

Intégrales de Wallis (11.2), $W_{0} = π /2$ , $W_{1} = 1$ ; la même valeur s'obtient avec $cos^{n}$ .

\int_{φ (α)}^{φ (β)} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t

Changement de variable (11.4), $φ$ de classe $C^{1}$ , $f$ continue: on remplace $x = φ (t)$ , $d x = φ^{'} (t) d t$ et les bornes. Fonction paire: $\int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f$ ; impaire: $\int_{- a}^{a} f = 0$ ; $T$ -périodique: $\int_{a}^{a + T} f$ ne dépend pas de $a$ (11.5).

Expression	Substitution	Simplification
$a^{2} - x^{2}$	$x = a sin t$ , $t \in [- π /2, π /2]$	$a cos t$
$a^{2} + x^{2}$	$x = a sinh t$ (ou $x = a tan t$ )	$a cosh t$
$x^{2} - a^{2}$ , $x \geq a$	$x = a cosh t$ , $t \geq 0$	$a sinh t$
$\frac{1}{a ^{2} + x ^{2}}$	$x = a tan t$	$\frac{cos ^{2} t}{a ^{2}}$
$R (sin x, cos x)$	$t = tan \frac{x}{2}$	$sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ , $cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ , $d x = \frac{2 d t}{1 + t ^{2}}$

Substitutions classiques du chapitre 11; pour une fraction rationnelle $R$ en $sin x$ , $cos x$ , essayer d'abord $u = sin x$ , $u = cos x$ ou $u = tan x$ selon la parité de l'intégrande avant la substitution universelle (11.5).

\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a}, \int \frac{d x}{a ^{2} - x ^{2}} = arcsin \frac{x}{a}, \int \frac{d x}{x ^{2} + a} = ln x + x^{2} + a, \int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} = \frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a}

Primitives de référence, $a > 0$ (la troisième vaut pour tout réel $a \neq = 0$ là où la racine est définie); constantes omises.

\frac{P ( x )}{Q ( x )} = E (x) + i \sum k = 1 \sum m_{i} \frac{A _{i, k}}{( x - a _{i} ) ^{k}} + j \sum k = 1 \sum n_{j} \frac{B _{j, k} x + C _{j, k}}{( x ^{2} + p _{j} x + q _{j} ) ^{k}}

Décomposition en éléments simples sur $R$ (11.6): $E$ partie entière (division euclidienne si $de g P \geq de g Q$ ), $a_{i}$ pôles réels de multiplicité $m_{i}$ , trinômes $x^{2} + p_{j} x + q_{j}$ sans racine réelle. Coefficients par la méthode du cache, la limite en l'infini ou l'identification.

\int \frac{d x}{( x - a ) ^{n}} = \frac{- 1}{( n - 1 ) ( x - a ) ^{n - 1}} (n \geq 2), \int \frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q} d x = \frac{B}{2} ln (x^{2} + p x + q) + \frac{C - B p /2}{ω} arctan \frac{x + p /2}{ω}

Primitives des éléments simples (11.6), avec $ω = q - p^{2} /4 > 0$ (forme canonique du trinôme); pour $n = 1$ , $\int \frac{d x}{x - a} = ln ∣ x - a ∣$ .

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = A \to + \infty lim \int_{a}^{A} f (x) d x, \int_{a}^{b} f (x) d x = c \to b^{-} lim \int_{a}^{c} f (x) d x (f non born \overset{e}{ˊ} e en b)

Intégrales impropres: convergentes si la limite existe et est finie; on coupe en deux une intégrale doublement impropre. Pour $f \geq 0$ : critères de comparaison ( $0 \leq f \leq g$ , 11.8) et des équivalents ( $f \sim g$ en la borne, 11.9); la convergence absolue entraîne la convergence.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}} converge ⟺ p > 1 (= \frac{1}{p - 1}), \int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}} converge ⟺ p < 1 (= \frac{1}{1 - p}), \int_{0}^{+ \infty} e^{- λ x} d x = \frac{1}{λ} (λ > 0)

Intégrales de Riemann impropres (11.7) et intégrale exponentielle de référence; de plus $\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = π$ , $\int_{0}^{1} ln x d x = - 1$ et $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x = π$ (admis).

Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t (x > 0), Γ (x + 1) = x Γ (x), Γ (n + 1) = n!, Γ (\frac{1}{2}) = π

Fonction Gamma d'Euler (11.7) et son équation fonctionnelle (11.10), $n \in N$ .

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x, V = π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x, L = \int_{a}^{b} 1 + f^{'} (x)^{2} d x

Aire entre deux courbes ( $g \leq f$ ), volume du solide de révolution autour de l'axe des $x$ (formule des disques, 11.8, $f \geq 0$ ) et longueur de l'arc $y = f (x)$ (11.9, $f$ de classe $C^{1}$ ).

x_{G} = \frac{1}{A} \int_{a}^{b} x (f (x) - g (x)) d x, y_{G} = \frac{1}{2 A} \int_{a}^{b} (f (x)^{2} - g (x)^{2}) d x, W = \int_{a}^{b} F (x) d x

Centre de gravité d'une plaque homogène $g \leq y \leq f$ (11.10) et travail d'une force $F$ le long de $[a, b]$ ; transformée de Laplace $L {f} (s) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t$ , par exemple $L {e^{a t}} = 1/ (s - a)$ pour $s > a$ .

Chapitre 12 – Équations différentielles ordinaires

y^{'} = f (x) g (y) ⟹ \int \frac{d y}{g ( y )} = \int f (x) d x + C

Équation à variables séparables: on sépare, on intègre chaque membre, puis on résout en $y$ si possible; les constantes $y_{0}$ telles que $g (y_{0}) = 0$ fournissent les solutions constantes. La condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ fixe $C$ (problème de Cauchy: existence et unicité locale si $f$ et $g$ sont de classe $C^{1}$ ).

y^{'} = k y ⟹ y = C e^{k x}; N^{'} = - λ N ⟹ N (t) = N_{0} e^{- λ t}, T_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}; y^{'} = k y (1 - \frac{y}{K}) ⟹ y = \frac{K}{1 + A e ^{- k t}}

Croissance ou décroissance exponentielle (désintégration radioactive de constante $λ$ , demi-vie $T_{1/2}$ ) et équation logistique de capacité $K$ .

y^{'} + a (x) y = b (x), y_{h} = C e^{- A (x)}, y = e^{- A (x)} (\int b (x) e^{A (x)} d x + C), A (x) = \int a (x) d x

Équation linéaire du premier ordre, $a$ , $b$ continues sur un intervalle: solution générale $=$ solution homogène $y_{h}$ $+$ une solution particulière $y_{p}$ . Variation de la constante: on cherche $y = C (x) e^{- A (x)}$ , d'où $C^{'} (x) = b (x) e^{A (x)}$ . Circuit RC alimenté par $E$ : $R C u^{'} + u = E$ , $u (t) = E + (u_{0} - E) e^{- t / τ}$ avec $τ = R C$ .

y^{''} + a y^{'} + b y = 0, r^{2} + a r + b = 0, Δ = a^{2} - 4 b

Équation linéaire homogène du second ordre à coefficients constants réels et son équation caractéristique; l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2, et le problème de Cauchy $y (x_{0}) = y_{0}$ , $y^{'} (x_{0}) = y_{1}$ a une solution unique.

Δ > 0 : Δ = 0 : Δ < 0 : y_{h} = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}, y_{h} = (C_{1} + C_{2} x) e^{r x}, y_{h} = e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x), r_{1, 2} r r_{1, 2} = \frac{- a \pm Δ}{2}, = - \frac{a}{2}, = α \pm i β, β = \frac{- Δ}{2}

Les trois cas selon le discriminant: racines réelles distinctes, racine double, racines complexes conjuguées ( $α = - a /2$ ); $C_{1}, C_{2} \in R$ . La forme $e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)$ s'écrit aussi $A e^{α x} cos (β x - φ)$ .

Second membre $f (x)$	Solution particulière à chercher	Facteur $x^{m}$
$P (x)$ polynôme de degré $d$	$Q (x)$ polynôme de degré $d$	$m = 0$ si $b \neq = 0$ ; $m = 1$ si $b = 0$ , $a \neq = 0$ ; $m = 2$ si $a = b = 0$
$P (x) e^{λ x}$	$x^{m} Q (x) e^{λ x}$ , $de g Q = de g P$	$m$ = multiplicité de $λ$ comme racine caractéristique ( $0$ , $1$ ou $2$ )
$e^{λ x} (P (x) cos ω x + R (x) sin ω x)$	$x^{m} e^{λ x} (S (x) cos ω x + T (x) sin ω x)$	$m = 1$ si $λ \pm i ω$ est racine caractéristique, sinon $m = 0$

Solution particulière de $y^{''} + a y^{'} + b y = f (x)$ par identification des coefficients; principe de superposition: si $f = f_{1} + f_{2}$ , alors $y_{p} = y_{p, 1} + y_{p, 2}$ . Solution générale $y = y_{h} + y_{p}$ ; on impose les conditions initiales après avoir ajouté $y_{p}$ .

m \overset{x}{¨} + c \overset{x}{˙} + k x = F (t) ⟺ \overset{x}{¨} + 2 ζ ω_{0} \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = \frac{F ( t )}{m}, ω_{0} = \frac{k}{m}, ζ = \frac{c}{2 k m}

Oscillateur amorti (masse $m$ , amortissement $c$ , raideur $k$ ): pulsation propre $ω_{0}$ , taux d'amortissement $ζ$ ; même équation pour le circuit RLC série avec $ω_{0} = 1/ L C$ et $ζ = \frac{R}{2} C / L$ .

ζ < 1 : x = e^{- ζ ω_{0} t} (C_{1} cos ω_{d} t + C_{2} sin ω_{d} t), ω_{d} = ω_{0} 1 - ζ^{2}; ζ = 1 : x = (C_{1} + C_{2} t) e^{- ω_{0} t}; ζ > 1 : x = C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t}

Régimes pseudo-périodique (sous-amorti, pseudo-pulsation $ω_{d}$ ), critique et apériodique (sur-amorti, $r_{1, 2} = - ζ ω_{0} \pm ω_{0} ζ^{2} - 1 < 0$ ); dans tous les cas le régime libre tend vers $0$ si $ζ > 0$ . Régime forcé par $F (t) = F_{0} cos ω t$ : $x_{p} = X cos (ω t - φ)$ avec

X = \frac{F _{0} / k}{( 1 - ( ω / ω _{0} ) ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ ω / ω _{0} ) ^{2}}, tan φ = \frac{2 ζ ω / ω _{0}}{1 - ( ω / ω _{0} ) ^{2}}

Amplitude et déphasage de la réponse stationnaire; résonance d'amplitude au voisinage de $ω = ω_{0}$ lorsque $ζ$ est petit (maximum en $ω = ω_{0} 1 - 2 ζ^{2}$ si $ζ < 1/ 2$ ), avec $X_{m a x} \approx \frac{F _{0} / k}{2 ζ}$ .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne: formulaire en fin d'ouvrage.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles: tables de dérivées, de primitives et de développements en série sur les pages de garde.
Bronstein, I. N. et Semendjajew, K. A., Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, Frankfurt: référence exhaustive pour les primitives et les équations différentielles.