Logique, ensembles et méthodes de démonstration · Analyse I

L'analyse est la première branche des mathématiques où l'intuition ne suffit plus. Une suite «qui s'approche de plus en plus» d'une valeur, une fonction «sans saut», une aire «limite» de rectangles de plus en plus fins: ces images sont utiles, mais elles ne permettent ni de trancher les cas litigieux (la suite $(- 1)^{n} / n$ converge-t-elle? la fonction $x \mapsto sin (1/ x)$ a-t-elle une limite en $0$ ?) ni de démontrer quoi que ce soit. Depuis Cauchy et Weierstrass, l'analyse s'est dotée d'un langage précis, fait de quantificateurs et d'implications, dans lequel chaque énoncé a un sens unique et chaque démonstration peut être vérifiée pas à pas. Cette annexe rassemble ce langage: la logique élémentaire, le vocabulaire des ensembles et des fonctions, les méthodes de démonstration utilisées dans tout le cours, et enfin les notations et l'alphabet grec.

Pour lire un énoncé mathématique, prenez l'habitude de vous poser trois questions: quels sont les objets (un réel, une suite, une fonction, un intervalle)? quelles hypothèses portent sur eux? et quelle est la conclusion, avec quels quantificateurs? Un théorème mal lu est un théorème mal appliqué: le théorème des valeurs intermédiaires, par exemple, exige une fonction continue sur un intervalle fermé borné, et chacun de ces mots est indispensable.

Logique élémentaire

Propositions et connecteurs

À partir de deux propositions $P$ et $Q$ , on en fabrique de nouvelles avec les connecteurs logiques: la négation $\neg P$ («non $P$ »), la conjonction $P \land Q$ (« $P$ et $Q$ »), la disjonction $P \lor Q$ (« $P$ ou $Q$ », au sens inclusif: l'un, l'autre ou les deux), l'implication $P ⟹ Q$ («si $P$ alors $Q$ ») et l'équivalence $P ⟺ Q$ (« $P$ si et seulement si $Q$ »). Leur sens est entièrement fixé par la table de vérité suivante.

$P$	$Q$	$\neg P$	$P \land Q$	$P \lor Q$	$P ⟹ Q$	$P ⟺ Q$
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

Deux lignes méritent un commentaire. D'abord, l'implication $P ⟹ Q$ n'est fausse que dans un seul cas: $P$ vraie et $Q$ fausse. En particulier, une implication dont l'hypothèse est fausse est toujours vraie: «si $1 = 2$ alors $π$ est rationnel» est une implication vraie. Cette convention n'est pas un caprice: elle garantit que «pour tout $x \in R$ , $x > 2 ⟹ x^{2} > 4$ » reste vrai même pour $x = 0$ , où l'hypothèse n'est pas satisfaite. Ensuite, $P ⟺ Q$ est vraie exactement lorsque $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité; elle équivaut à $(P ⟹ Q) \land (Q ⟹ P)$ , ce qui explique la méthode de démonstration par double implication vue plus loin.

Deux propositions composées sont dites logiquement équivalentes lorsqu'elles ont la même table de vérité. Les équivalences suivantes servent constamment:

\neg (\neg P) ⟺ P, \neg (P \land Q) ⟺ (\neg P) \lor (\neg Q), \neg (P \lor Q) ⟺ (\neg P) \land (\neg Q),

(P ⟹ Q) ⟺ (\neg P \lor Q), \neg (P ⟹ Q) ⟺ (P \land \neg Q) .

Les deux premières négations sont les lois de De Morgan: la négation transforme «et» en «ou» et réciproquement. La dernière ligne dit comment réfuter une implication: il faut exhiber une situation où $P$ est vraie et $Q$ fausse.

Implication, réciproque, contraposée

Étant donné une implication $P ⟹ Q$ , on appelle:

réciproque l'implication $Q ⟹ P$ ;
contraposée l'implication $\neg Q ⟹ \neg P$ ;
négation la proposition $P \land \neg Q$ .

Démonstration. On compare les tables de vérité: $P ⟹ Q$ est fausse uniquement si $P$ est vraie et $Q$ fausse; $\neg Q ⟹ \neg P$ est fausse uniquement si $\neg Q$ est vraie et $\neg P$ fausse, c'est-à-dire si $Q$ est fausse et $P$ vraie. Les deux propositions sont fausses dans le même cas et vraies dans tous les autres. $□$

Condition nécessaire, condition suffisante

Lorsque $P ⟹ Q$ est vraie, on dit que $P$ est une condition suffisante pour $Q$ (il suffit que $P$ soit vraie pour que $Q$ le soit) et que $Q$ est une condition nécessaire pour $P$ (si $P$ est vraie, alors nécessairement $Q$ l'est). Ainsi, « $u_{n} \to 0$ » est une condition nécessaire à la convergence de la série $\sum u_{n}$ , mais pas suffisante (série harmonique, chapitre 4); « $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge» est une condition suffisante, mais pas nécessaire (série harmonique alternée). Une condition est nécessaire et suffisante exactement lorsque l'on a l'équivalence $P ⟺ Q$ .

Exercice

On admet le théorème: «si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ ». Lequel des énoncés suivants en découle logiquement?

Quantificateurs

Pour transformer un prédicat en proposition, on peut fixer la variable, ou bien la quantifier. Le quantificateur universel $\forall$ se lit «pour tout» (ou «quel que soit»), le quantificateur existentiel $\exists$ se lit «il existe (au moins un)», et $\exists!$ se lit «il existe un unique». Par exemple:

\forall x \in R, x^{2} \geq 0; \exists x \in R, x^{2} = 2; \exists! x \in R_{+}, x^{2} = 2.

Un énoncé du type $\forall x \in E, P (x)$ est vrai si $P (x)$ est vraie pour chaque élément de $E$ ; il est vrai «par défaut» si $E$ est vide. Un énoncé $\exists x \in E, P (x)$ est vrai dès qu'un seul élément convient. La variable quantifiée est muette: $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ et $\forall t \in R, t^{2} \geq 0$ sont le même énoncé.

L'ordre des quantificateurs

Lorsqu'un énoncé contient plusieurs quantificateurs, deux quantificateurs de même nature peuvent être échangés ( $\forall x \forall y$ est la même chose que $\forall y \forall x$ ), mais l'ordre entre $\forall$ et $\exists$ est essentiel. Comparez:

\forall x \in R, \exists y \in R, y > x et \exists y \in R, \forall x \in R, y > x .

Le premier énoncé est vrai (prendre $y = x + 1$ : le $y$ dépend de $x$ ); le second est faux (il affirme l'existence d'un réel plus grand que tous les réels, lui-même compris). Dans $\forall x \exists y$ , l'objet $y$ peut dépendre de $x$ ; dans $\exists y \forall x$ , le même $y$ doit convenir pour tous les $x$ : c'est un énoncé bien plus fort.

Exemple A.1 · Continuité et continuité uniforme

Soit $f : I \to R$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . La continuité de $f$ sur $I$ s'écrit (chapitre 5):

\forall x \in I, \forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall y \in I, (∣ y - x ∣ < δ ⟹ ∣ f (y) - f (x)∣ < ε) .

La continuité uniforme s'obtient en déplaçant un seul quantificateur:

\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x \in I, \forall y \in I, (∣ y - x ∣ < δ ⟹ ∣ f (y) - f (x)∣ < ε) .

Dans la première définition, $δ$ peut dépendre de $ε$ et de $x$ ; dans la seconde, $δ$ ne dépend que de $ε$ et doit convenir pour tous les points à la fois. La fonction $x \mapsto 1/ x$ sur $] 0, 1]$ est continue mais pas uniformément continue: près de $0$ , la pente devient si raide qu'il faut prendre un $δ$ de plus en plus petit. Sur un intervalle fermé borné, le théorème de Heine (chapitre 5) affirme que les deux notions coïncident.

Exercice

Parmi les énoncés suivants portant sur des réels, lesquels sont vrais?

Plusieurs réponses possibles

Négation d'un énoncé quantifié

Pour nier un énoncé quantifié, on applique mécaniquement les règles suivantes:

\neg (\forall x \in E, P (x)) ⟺ \exists x \in E, \neg P (x), \neg (\exists x \in E, P (x)) ⟺ \forall x \in E, \neg P (x) .

Autrement dit, la négation échange $\forall$ et $\exists$ en conservant leur ordre, puis nie la propriété finale. Combinée avec $\neg (P ⟹ Q) ⟺ (P \land \neg Q)$ et avec la négation des inégalités ( $\neg (a < b) ⟺ a \geq b$ ), cette règle permet de nier n'importe quelle définition de l'analyse.

Exemple A.2 · Négation de la convergence et du caractère borné

Convergence. La suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ signifie:

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε .

Sa négation, « $(u_{n})$ ne converge pas vers $ℓ$ », s'obtient en échangeant les quantificateurs et en niant l'inégalité finale:

\exists ε > 0, \forall N \in N, \exists n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \geq ε .

En mots: il existe une marge $ε$ telle que, aussi loin que l'on aille, on trouve encore des termes à distance au moins $ε$ de $ℓ$ . C'est exactement ce que fait $u_{n} = (- 1)^{n}$ avec $ℓ = 1$ et $ε = 1$ : les termes de rang impair valent $- 1$ .

Fonction bornée. « $f$ est bornée sur $I$ » s'écrit $\exists M > 0, \forall x \in I, ∣ f (x)∣ \leq M$ . Sa négation est

\forall M > 0, \exists x \in I, ∣ f (x)∣ > M :

quelle que soit la borne proposée, la fonction la dépasse quelque part. Pour $f (x) = 1/ x$ sur $] 0, 1]$ , il suffit de prendre $x = 1/ (M + 1)$ .

Exercice

Quelle est la négation correcte de « $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ »?

Ensembles

Appartenance, inclusion, égalité

Un ensemble est une collection d'objets, ses éléments; on écrit $x \in E$ (« $x$ appartient à $E$ ») et $x \in / E$ sinon. Un ensemble est déterminé par ses éléments, sans ordre ni répétition: ${1, 2, 3} = {3, 1, 2} = {1, 1, 2, 3}$ . L'ensemble vide $\emptyset$ n'a aucun élément.

Ne confondez pas $\in$ et $\subset$ : $1 \in {1, 2}$ , ${1} \subset {1, 2}$ , mais $1 \neq \subset {1, 2}$ et ${1} \in / {1, 2}$ . L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble (l'implication $x \in \emptyset ⟹ x \in B$ est vraie par défaut, car son hypothèse est toujours fausse).

Opérations sur les ensembles

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$ . On définit la réunion $A \cup B = {x \in E : x \in A \lor x \in B}$ , l'intersection $A \cap B = {x \in E : x \in A \land x \in B}$ , la différence $A ∖ B = {x \in E : x \in A \land x \in / B}$ et le complémentaire $\overline{A} = E ∖ A$ (noté aussi $A^{c}$ ou $∁_{E} A$ ). Deux ensembles d'intersection vide sont dits disjoints. Les connecteurs logiques et les opérations ensemblistes se correspondent terme à terme ( $\lor$ et $\cup$ , $\land$ et $\cap$ , $\neg$ et complémentaire), si bien que les lois de De Morgan se transposent:

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} . (A.1)

On a de plus la distributivité $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ et $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .

Produit cartésien, intervalles, ensembles de nombres

Le produit cartésien $A \times B$ est l'ensemble des couples $(a, b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$ ; ici l'ordre compte: $(1, 2) \neq = (2, 1)$ . Le plan est $R^{2} = R \times R$ , et le graphe d'une fonction $f : I \to R$ est la partie ${(x, f (x)) : x \in I}$ de $R^{2}$ .

Les ensembles de nombres du cours sont emboîtés:

N = {0, 1, 2, \dots} \subset Z \subset Q \subset R \subset C,

avec $N^{*} = N ∖ {0}$ , $R^{*} = R ∖ {0}$ , $R_{+} = [0, + \infty [$ et $R_{+}^{*} =] 0, + \infty [$ . Les intervalles de $R$ sont notés à la française, le crochet tourné vers l'extérieur indiquant une borne exclue: $[a, b] = {x \in R : a \leq x \leq b}$ , $] a, b [= {x : a < x < b}$ , $[a, b [$ , $] a, b]$ , $[a, + \infty [$ , $] - \infty, b [$ , et $R =] - \infty, + \infty [$ . Un intervalle est caractérisé par sa convexité: si $x, y \in I$ et $x \leq z \leq y$ , alors $z \in I$ ; c'est cette propriété qu'utilise le théorème des valeurs intermédiaires.

La notation en compréhension ${x \in E : P (x)}$ (on rencontre aussi une barre verticale à la place des deux-points) désigne l'ensemble des éléments de $E$ vérifiant $P$ : par exemple ${n \in N : n pair}$ , ou ${x \in R : x^{2} < 2} =] - 2, 2 [$ . Cette notation est la traduction ensembliste d'un prédicat.

Image et image réciproque

Attention: la notation $f^{- 1} (B)$ ne suppose pas que $f$ soit bijective; c'est un ensemble, défini pour toute fonction. Par exemple, pour $f (x) = x^{2}$ sur $R$ , $f ([- 1, 2]) = [0, 4]$ , $f^{- 1} ([1, 4]) = [- 2, - 1] \cup [1, 2]$ et $f^{- 1} (] - \infty, 0 [) = \emptyset$ . Les images réciproques se comportent parfaitement vis-à-vis des opérations ( $f^{- 1} (B_{1} \cap B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cap f^{- 1} (B_{2})$ , de même pour $\cup$ et le complémentaire); les images directes sont moins dociles: on a seulement $f (A_{1} \cap A_{2}) \subset f (A_{1}) \cap f (A_{2})$ , avec inégalité stricte possible ( $f (x) = x^{2}$ , $A_{1} = {- 1}$ , $A_{2} = {1}$ ).

Injections, surjections, bijections

Ces propriétés dépendent autant des ensembles de départ et d'arrivée que de la formule:

$x \mapsto x^{2}$ , de $R$ dans $R$ , n'est ni injective ( $f (- 1) = f (1)$ ) ni surjective ( $- 1$ n'est pas atteint); de $R_{+}$ dans $R_{+}$ , elle est bijective, de réciproque $\cdot$ ;
$x \mapsto e^{x}$ , de $R$ dans $R$ , est injective (strictement croissante) mais pas surjective (elle ne prend que des valeurs strictement positives); de $R$ dans $R_{+}^{*}$ , elle est bijective, de réciproque $ln$ ;
$x \mapsto x^{3}$ , de $R$ dans $R$ , est bijective: strictement croissante, donc injective, et de limites $- \infty$ et $+ \infty$ , donc surjective par le théorème des valeurs intermédiaires.

Graphiquement, $f$ est injective si toute droite horizontale coupe son graphe au plus une fois, surjective si toute horizontale $y = c$ avec $c \in F$ le coupe au moins une fois. Le chapitre 6 utilise ces notions pour définir $ln$ , $arcsin$ , $arctan$ et les fonctions hyperboliques réciproques.

Exercice

Parmi les fonctions suivantes, de $R$ dans $R$ , lesquelles sont bijectives?

Plusieurs réponses possibles

Méthodes de démonstration

Une démonstration est une suite d'énoncés dont chacun est un axiome, une hypothèse, un résultat déjà établi, ou découle des précédents par une règle de logique. En pratique, on dispose d'un petit nombre de schémas de raisonnement, que nous passons en revue avec, pour chacun, un exemple emprunté à l'analyse.

Démonstration directe

Pour prouver $P ⟹ Q$ , on suppose $P$ et l'on déduit $Q$ par une chaîne d'implications. C'est la méthode par défaut.

Démonstration par contraposée

Pour prouver $P ⟹ Q$ , on prouve $\neg Q ⟹ \neg P$ , ce qui est équivalent d'après le théorème A.1. On y recourt lorsque la négation des énoncés est plus maniable que les énoncés eux-mêmes.

Démonstration par l'absurde

Pour prouver $P$ , on suppose $\neg P$ et l'on aboutit à une contradiction (un énoncé de la forme $R \land \neg R$ ); $\neg P$ est donc fausse et $P$ vraie. La démonstration de l'irrationalité de $2$ , au chapitre 1, en est l'exemple canonique: on suppose $2 = p / q$ avec $p / q$ irréductible et l'on montre que $p$ et $q$ sont tous deux pairs. En voici un autre, plus proche de la topologie de $R$ .

Contraposée et absurde sont proches, mais ne se confondent pas: la contraposée prouve une implication en partant de $\neg Q$ pour atteindre précisément $\neg P$ ; l'absurde prouve un énoncé quelconque en partant de sa négation pour atteindre une contradiction quelconque.

Démonstration par disjonction de cas

Si l'on sait que $P_{1} \lor P_{2} \lor \dots \lor P_{k}$ est vraie, et que chaque $P_{i}$ implique $Q$ , alors $Q$ est vraie. Il faut que les cas recouvrent toutes les situations possibles.

Démonstration par récurrence

Le raisonnement par récurrence sert à établir qu'une propriété $P (n)$ est vraie pour tout entier $n$ à partir d'un certain rang. Il repose sur le fait que $N$ est engendré par $0$ et le passage au successeur.

Dans l'étape d'hérédité, on fixe un entier $n \geq n_{0}$ et l'on suppose $P (n)$ (c'est l'hypothèse de récurrence), puis on démontre $P (n + 1)$ . On ne suppose pas « $P (n)$ pour tout $n$ », ce qui serait supposer le résultat. La récurrence forte autorise à utiliser tous les rangs précédents, ce qui est indispensable lorsque $P (n + 1)$ se ramène à un rang plus petit que $n$ , et non pas seulement à $n$ .

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration par récurrence de « $2^{n} \geq n^{2}$ pour tout $n \geq 4$ ».

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Énoncer la propriété

P (n)

: «

2^{n} \geq n^{2}

», et préciser qu'on la démontre pour tout

n \geq 4

Initialisation: vérifier

P (4)

, soit

2^{4} = 16 \geq 16 = 4^{2}

Écrire

2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n} \geq 2 n^{2}

grâce à l'hypothèse de récurrence.

Vérifier que

2 n^{2} \geq (n + 1)^{2}

, c'est-à-dire

(n - 1)^{2} \geq 2

, vrai pour

n \geq 3

Hérédité: fixer un entier

n \geq 4

et supposer que

P (n)

est vraie.

Conclure que

P (n + 1)

est vraie, puis, par le principe de récurrence, que

P (n)

est vraie pour tout

n \geq 4

Démonstration d'une équivalence

Pour prouver $P ⟺ Q$ , on prouve séparément $P ⟹ Q$ et $Q ⟹ P$ (double implication), en annonçant clairement chaque sens. On peut aussi enchaîner des équivalences, mais chaque étape doit alors être réellement réversible: « $x = 2 ⟹ x^{2} = 4$ » est vrai, « $x^{2} = 4 ⟹ x = 2$ » ne l'est pas. Pour démontrer que plusieurs propriétés $P_{1}, \dots, P_{k}$ sont équivalentes, il suffit de prouver un cycle d'implications $P_{1} ⟹ P_{2} ⟹ \dots ⟹ P_{k} ⟹ P_{1}$ .

Démonstration d'une égalité d'ensembles

Pour prouver $A = B$ , on prouve $A \subset B$ puis $B \subset A$ (double inclusion). Chaque inclusion se démontre en prenant un élément quelconque du premier ensemble et en montrant qu'il appartient au second.

Existence et unicité

Prouver un énoncé $\exists x, P (x)$ peut se faire de deux manières. Une démonstration constructive exhibe explicitement un objet: pour montrer qu'il existe un réel $x$ tel que $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , on présente $x = 1$ . Une démonstration non constructive prouve l'existence sans fournir l'objet: pour montrer que l'équation $x^{5} + x - 1 = 0$ a une solution dans $] 0, 1 [$ , on remarque que $g (x) = x^{5} + x - 1$ est continue, que $g (0) = - 1 < 0$ et $g (1) = 1 > 0$ , et le théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 5) garantit l'existence d'un zéro, sans dire lequel. En analyse, les théorèmes d'existence (TVI, Bolzano–Weierstrass, théorème de Rolle, existence d'un maximum sur un fermé borné) sont presque tous de ce type; c'est ensuite le rôle de l'analyse numérique de construire des approximations.

Prouver l'unicité se fait selon un schéma unique: on suppose que deux objets $x$ et $x^{'}$ vérifient la propriété, et l'on montre que $x = x^{'}$ .

Contre-exemples

Pour réfuter un énoncé universel $\forall x \in E, P (x)$ , il suffit, d'après les règles de négation, d'exhiber un seul $x \in E$ tel que $P (x)$ soit fausse: c'est un contre-exemple. Ainsi:

«toute fonction continue est dérivable» est réfutée par $x \mapsto ∣ x ∣$ en $0$ ;
«toute suite convergente est monotone à partir d'un certain rang» est réfutée par $u_{n} = (- 1)^{n} / n$ ;
«si $u_{n} \to 0$ , alors $\sum u_{n}$ converge» est réfutée par la série harmonique $\sum 1/ n$ ;
« $f (A \cap B) = f (A) \cap f (B)$ » est réfutée par $f (x) = x^{2}$ , $A = {- 1}$ , $B = {1}$ .

À l'inverse, un million d'exemples ne prouvent pas un énoncé universel: la conjecture « $n^{2} + n + 41$ est premier pour tout $n \in N$ » (Euler) est vraie pour $n = 0, 1, \dots, 39$ et fausse pour $n = 40$ . Un bon réflexe, face à un énoncé nouveau, est de chercher simultanément une démonstration et un contre-exemple: l'échec de l'un éclaire souvent l'autre.

Comment rédiger une démonstration

Annoncez la méthode: «Montrons par récurrence que…», «Raisonnons par l'absurde et supposons que…», «Montrons la contraposée…», «Montrons les deux inclusions».
Introduisez les objets avant de les utiliser: «Soit $ε > 0$ », «Soit $x \in A$ », «Fixons $n \geq n_{0}$ ». Chaque lettre doit avoir été déclarée, avec son ensemble d'appartenance; un $δ$ qui dépend de $ε$ doit être choisi après $ε$ .
Justifiez chaque étape par une hypothèse, une définition ou un théorème nommé (avec ses hypothèses vérifiées): «par le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ étant continue sur $[a, b]$ …».
Concluez explicitement: «ce qui est la propriété $P (n + 1)$ », «donc $A = B$ », et signalez la fin ( $□$ ou «CQFD»).
Relisez en vérifiant que ce que vous avez montré est exactement l'énoncé demandé, avec les mêmes quantificateurs.

Erreurs classiques

Raisonner sur ce que l'on veut montrer. Partir de l'égalité à prouver, la transformer, tomber sur $0 = 0$ et conclure: ce n'est valable que si chaque étape est une équivalence, ce qu'il faut alors dire. Rédigez plutôt dans le sens direct, en partant d'un fait établi.
Confondre $⟹$ et $⟺$ , ou utiliser la réciproque d'un théorème comme si elle était vraie.
Diviser par une quantité qui peut être nulle, ou simplifier par $x$ sans avoir traité le cas $x = 0$ . De même, « $x^{2} = y^{2}$ donc $x = y$ » oublie $x = - y$ .
«Passer à la limite» sans convergence: écrire $lim (u_{n} + v_{n}) = lim u_{n} + lim v_{n}$ suppose que les deux limites existent; les inégalités strictes deviennent larges à la limite ( $u_{n} > 0$ pour tout $n$ n'empêche pas $lim u_{n} = 0$ ).
Choisir un objet avant celui dont il dépend: dans une preuve de limite, $N$ (ou $δ$ ) est choisi après $ε$ , jamais avant.
Oublier l'initialisation d'une récurrence, ou supposer $P (n)$ «pour tout $n$ » dans l'hérédité.
Vérifier sur des exemples au lieu de démontrer; réciproquement, réfuter un énoncé universel demande un seul contre-exemple, mais un contre-exemple précis et vérifié.

Exercice

On veut établir que l'énoncé «pour toute fonction $f : R \to R$ et toutes parties $A, B \subset R$ , on a $f (A \cap B) = f (A) \cap f (B)$ » est faux. Que suffit-il de faire?

Notations et alphabet grec

Les lettres grecques sont omniprésentes en analyse; voici celles que vous rencontrerez dans ce cours, avec leur prononciation usuelle en français et leurs emplois typiques.

Minuscule	Majuscule	Nom	Emploi typique dans le cours
$α$		alpha	angle, exposant réel ( $x^{α}$ ), coefficient
$β$		bêta	angle, second exposant ou coefficient
$γ$	$Γ$	gamma	constante d'Euler $γ$ , courbe; $Γ$ fonction gamma
$δ$	$Δ$	delta	petit réel positif (continuité), $δ_{ij}$ ; $Δ$ accroissement ( $Δ x$ ), discriminant
$ε$		epsilon	petit réel strictement positif (limites), erreur
$ζ$		zêta	fonction zêta de Riemann $ζ (s) = \sum n^{- s}$
$η$		êta	second petit réel positif, quand $ε$ et $δ$ sont pris
$θ$	$Θ$	thêta	angle, argument d'un nombre complexe
$κ$		kappa	courbure, constante
$λ$	$Λ$	lambda	scalaire, paramètre, racine d'une équation caractéristique
$μ$		mu	second scalaire, moyenne
$ν$		nu	fréquence, indice
$ξ$		xi (ksi)	point intermédiaire (accroissements finis, reste de Lagrange)
$π$	$Π$	pi	$π = 3, 14159 \dots$ ; $Π$ produit
$ρ$		rhô	module d'un complexe, rayon de convergence, masse volumique
$σ$	$Σ$	sigma	écart type, subdivision; $Σ$ somme
$τ$		tau	constante de temps ( $e^{- t / τ}$ ), variable de temps auxiliaire
$φ$	$Φ$	phi	fonction auxiliaire, déphasage, angle
$χ$		khi	fonction indicatrice $χ_{A}$
$ψ$	$Ψ$	psi	seconde fonction auxiliaire
$ω$	$Ω$	oméga	pulsation ( $sin (ω t)$ ), racine de l'unité; $Ω$ domaine, ensemble

Les symboles et notations qui suivent sont utilisés sans autre explication dans les chapitres.

Notation	Lecture	Signification
$:=$	«est défini par»	définition d'un nouvel objet: $f (x) := x^{2} + 1$
$⌊ x ⌋$ , $⌈ x ⌉$	partie entière, partie entière supérieure	plus grand entier $\leq x$ ; plus petit entier $\geq x$
$∣ x ∣$	valeur absolue (module pour un complexe)	distance de $x$ à $0$
$n!$	factorielle	$n! = 1 \cdot 2 \dots n$ , avec $0! = 1$
$(k n)$	coefficient binomial, « $k$ parmi $n$ »	$\frac{n !}{k ! ( n - k )!}$
$k = m \sum n a_{k}$	somme pour $k$ de $m$ à $n$	$a_{m} + a_{m + 1} + \dots + a_{n}$
$k = m \prod n a_{k}$	produit pour $k$ de $m$ à $n$	$a_{m} \cdot a_{m + 1} \dots a_{n}$
$f : E \to F$ , $x \mapsto f (x)$	« $f$ de $E$ dans $F$ », « $x$ est envoyé sur $f (x)$ »	déclaration d'une fonction; $\mapsto$ précise la formule
$g \circ f$	« $g$ rond $f$ »	composée: $(g \circ f) (x) = g (f (x))$
$f^{- 1}$	réciproque de $f$ (ou image réciproque)	à ne pas confondre avec $1/ f$
$f^{(n)}$	dérivée $n$ -ième	$f^{(0)} = f$ , $f^{(1)} = f^{'}$
$sup A$ , $in f A$	borne supérieure, borne inférieure	plus petit majorant, plus grand minorant (chapitre 1)
$max A$ , $min A$	maximum, minimum	plus grand et plus petit élément, quand ils existent
$\approx$	«approximativement égal à»	égalité numérique approchée: $2 \approx 1, 414$
$u_{n} \sim v_{n}$	«équivalent à»	$u_{n} / v_{n} \to 1$ (chapitres 3, 4 et 9)
$o (x^{n})$	«petit o de $x^{n}$ »	quantité négligeable devant $x^{n}$ (chapitre 9)
$O (x^{n})$	«grand O de $x^{n}$ »	quantité dominée par $x^{n}$ à constante près
$\infty$ , $+ \infty$ , $- \infty$	infini	limites infinies, bornes d'intervalles; $\infty$ n'est pas un réel
$□$	«fin de démonstration»	remplace «ce qu'il fallait démontrer» (CQFD)

Références

J. Douchet et B. Zwahlen, Calcul différentiel et intégral, vol. 1, Presses polytechniques et universitaires romandes (PPUR), Lausanne. Le chapitre introductif fixe les notations et les rudiments de logique utilisés dans tout le cours.
F. Liret et D. Martinais, Analyse 1re année. Cours et exercices avec solutions, Dunod, Paris. Chapitres de mise à niveau sur les ensembles, les fonctions et le raisonnement.
D. J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3e éd., Cambridge University Press. Le manuel de référence pour apprendre à construire et rédiger des démonstrations, avec quantificateurs et tables de vérité.
K. Houston, How to Think Like a Mathematician: A Companion to Undergraduate Mathematics, Cambridge University Press. Lecture d'énoncés, contre-exemples, pièges de rédaction.
R. Cori et D. Lascar, Logique mathématique, tome 1, Dunod, Paris. Pour aller plus loin: calcul propositionnel, calcul des prédicats, un peu de théorie des ensembles.
G. Pólya, Comment poser et résoudre un problème, Dunod (trad. de How to Solve It). Heuristiques de recherche d'une démonstration, par un mathématicien formé à l'ETH Zurich.