Dérivation · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir le nombre dérivé comme limite d'un taux d'accroissement et l'interpréter géométriquement (pente de la tangente) et physiquement (vitesse, débit, courant);
reconnaître une fonction non dérivable en un point (point anguleux, tangente verticale, oscillation) et démontrer que toute fonction dérivable est continue;
calculer la dérivée des fonctions usuelles à partir de la définition et appliquer les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée, réciproque);
écrire l'approximation affine $f (x_{0} + h) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h$ et l'utiliser pour linéariser une loi physique et propager une incertitude de mesure;
calculer des dérivées d'ordre supérieur, en particulier avec la formule de Leibniz, et interpréter la dérivée seconde;
résoudre des problèmes de taux liés et énoncer la condition nécessaire d'extremum (théorème de Fermat).

Pourquoi dériver?

Un capteur GPS enregistre la position $s (t)$ d'un véhicule toutes les secondes. Sa vitesse moyenne entre les instants $t_{0}$ et $t_{0} + h$ est le quotient $(s (t_{0} + h) - s (t_{0})) / h$ . Mais que vaut sa vitesse à l'instant $t_{0}$ ? La question a l'air innocente; elle a occupé les mathématiciens du XVII^e siècle, jusqu'à ce qu'Isaac Newton (1665) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1675) proposent, indépendamment, la même réponse: faire tendre $h$ vers $0$ dans le quotient. La vitesse instantanée est la limite des vitesses moyennes sur des intervalles de plus en plus courts. Le chapitre 5 nous a donné la notion de limite qui manquait à leurs prédécesseurs pour rendre cette idée rigoureuse.

Le même quotient apparaît partout en ingénierie sous le nom de taux de variation:

en électricité, le courant est le débit de charge, $i = \frac{d q}{d t}$ , et la tension aux bornes d'une bobine est $u = L \frac{d i}{d t}$ ;
en hydraulique, le débit est la variation du volume écoulé, $Q = \frac{d V}{d t}$ ;
en mécanique des structures, la pente de la courbe contrainte–déformation d'un acier, $E = \frac{d σ}{d ε}$ , est son module d'élasticité;
en géométrie, la pente de la tangente à une courbe en un point est la limite des pentes des cordes.

Trois notations coexistent et vous les rencontrerez toutes. La notation $f^{'} (x)$ est due à Lagrange; la notation $\frac{d f}{d x}$ de Leibniz rappelle qu'une dérivée est un quotient de petites variations et se prête bien aux changements de variable; la notation pointée $\overset{y}{˙}$ de Newton est réservée en physique aux dérivées par rapport au temps.

Le nombre dérivé

Définition et interprétation géométrique

Dans tout le chapitre, $I$ désigne un intervalle ouvert de $R$ (ou plus généralement un intervalle non réduit à un point) et $f : I \to R$ une fonction.

Géométriquement, le taux d'accroissement $τ_{x_{0}} (h)$ est la pente de la sécante passant par les points $(x_{0}, f (x_{0}))$ et $(x_{0} + h, f (x_{0} + h))$ du graphe. Lorsque $h \to 0$ , le second point glisse vers le premier et la sécante pivote vers une position limite: la tangente au graphe en $x_{0}$ (figure 7.1).

Figure 7.1. Parabole f(x) = x²/2 et sécantes passant par le point d'abscisse x₀ = 1 pour h = 1,5, 1 et 0,5. Les pentes 1,75, 1,5 et 1,25 se rapprochent de la pente f′(1) = 1 de la tangente.

Explorateur de la tangente

Déplacez le point x₀ et réduisez l'accroissement h: la sécante pivote autour de (x₀, f(x₀)) et sa pente se rapproche de f′(x₀) = x₀² − 1. Ici f(x) = x³/3 − x.

Pente de la sécante (f(x₀+h) − f(x₀))/h

−0,917

Pente de la tangente f′(x₀)

−0,750

Écart sécante − tangente

−0,167

Abscisse x₀−0,50

Accroissement h1,00

Exercice

À l'aide de la définition (7.1), calculez le nombre dérivé de $f (x) = x^{3}$ en $x_{0} = 2$ .

Approximation affine et différentiabilité

Réécrivons la définition (7.1) sans quotient. Posons $ε (h) = τ_{x_{0}} (h) - f^{'} (x_{0})$ pour $h \neq = 0$ et $ε (0) = 0$ ; dire que $f$ est dérivable en $x_{0}$ revient exactement à dire que $ε (h) \to 0$ quand $h \to 0$ , c'est-à-dire que

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h + h ε (h), h \to 0 lim ε (h) = 0. (7.3)

Démonstration. Si $f$ est dérivable, la fonction $ε$ définie ci-dessus convient avec $a = f^{'} (x_{0})$ . Réciproquement, si l'égalité est vérifiée, alors pour $h \neq = 0$ on a $τ_{x_{0}} (h) = a + ε (h) \to a$ , donc $f$ est dérivable en $x_{0}$ et $f^{'} (x_{0}) = a$ . $□$

La formule (7.3) dit que, près de $x_{0}$ , la fonction est «presque affine»: l'erreur commise en remplaçant $f (x_{0} + h)$ par la valeur $f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h$ lue sur la tangente est $h ε (h)$ , négligeable devant $h$ . Avec la notation de Landau vue au chapitre 5, on écrit $f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h + o (h)$ . Ce point de vue est celui qui se généralise aux fonctions de plusieurs variables (Analyse II) et c'est aussi celui de l'ingénieur: linéariser, c'est remplacer $f$ par sa tangente.

f (x_{0} + h) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h (h petit) . (7.4)

Dérivable implique continue

Démonstration. D'après (7.3), $f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = h (f^{'} (x_{0}) + ε (h))$ . Le facteur $h$ tend vers $0$ et le facteur entre parenthèses tend vers $f^{'} (x_{0})$ , donc le produit tend vers $0$ : $lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) = f (x_{0})$ , ce qui est la continuité en $x_{0}$ . $□$

Figure 7.2. Trois fonctions continues en 0 mais non dérivables en 0: |x| (dérivées à gauche et à droite différentes), ∛x (taux d'accroissement 1/∛h² → +∞, tangente verticale) et x sin(1/x) (le taux d'accroissement sin(1/h) oscille sans limite).

Exercice

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{2}$ si $x \leq 1$ et $f (x) = 2 x - 1$ si $x > 1$ . Que peut-on dire de $f$ en $x_{0} = 1$ ?

Fonction dérivée et dérivées des fonctions usuelles

Calculons, à partir de la seule définition, les dérivées des fonctions élémentaires du chapitre 6. Chaque calcul repose sur une limite déjà établie.

Théorème 7.3 · Dérivées des fonctions usuelles

Les fonctions suivantes sont dérivables sur leur domaine et:

$f (x)$	$f^{'} (x)$	domaine
$c$ (constante)	$0$	$R$
$x$	$1$	$R$
$x^{n}$ , $n \in N^{*}$	$n x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$] 0, + \infty [$
$sin x$	$cos x$	$R$
$cos x$	$- sin x$	$R$
$e^{x}$	$e^{x}$	$R$

Démonstration. Constante et identité. Le taux d'accroissement vaut respectivement $0$ et $1$ pour tout $h \neq = 0$ .

Puissances. Par la formule du binôme (chapitre 1), $(x + h)^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + (2 n) x^{n - 2} h^{2} + \dots + h^{n}$ , donc

\frac{( x + h ) ^{n} - x ^{n}}{h} = n x^{n - 1} + h ((2 n) x^{n - 2} + \dots + h^{n - 2}) h \to 0 n x^{n - 1} .

Inverse. Pour $x \neq = 0$ et $h$ assez petit pour que $x + h \neq = 0$ : $\frac{1}{h} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}) = \frac{- h}{h x ( x + h )} = \frac{- 1}{x ( x + h )} \to - \frac{1}{x ^{2}}$ .

Racine carrée. Pour $x > 0$ , on multiplie par la quantité conjuguée: $\frac{x + h - x}{h} = \frac{( x + h ) - x}{h ( x + h + x )} = \frac{1}{x + h + x} \to \frac{1}{2 x}$ par continuité de la racine. En $x = 0$ , le quotient $1/ h$ tend vers $+ \infty$ : tangente verticale.

Sinus et cosinus. Les formules d'addition donnent $sin (x + h) - sin x = sin x (cos h - 1) + cos x sin h$ . Or $\frac{sin h}{h} \to 1$ (chapitre 5) et $\frac{cos h - 1}{h} = \frac{- 2 sin ^{2} ( h /2 )}{h} = - sin \frac{h}{2} \cdot \frac{sin ( h /2 )}{h /2} \to 0 \cdot 1 = 0$ . Donc $\frac{sin ( x + h ) - sin x}{h} \to cos x$ . Le calcul pour $cos (x + h) = cos x cos h - sin x sin h$ est identique et donne $- sin x$ .

Exponentielle. Par la relation fonctionnelle $e^{x + h} = e^{x} e^{h}$ , on a $\frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h} = e^{x} \frac{e ^{h} - 1}{h}$ . Il reste à montrer que $\frac{e ^{h} - 1}{h} \to 1$ . D'après la définition de l'exponentielle par sa série (chapitre 6), pour $h \neq = 0$ ,

\frac{e ^{h} - 1}{h} = \frac{1}{h} k \geq 1 \sum \frac{h ^{k}}{k !} = 1 + k \geq 2 \sum \frac{h ^{k - 1}}{k !} .

Pour $∣ h ∣ \leq 1$ , le reste se majore en valeur absolue par $∣ h ∣ \sum_{k \geq 2} \frac{1}{k !} = ∣ h ∣ (e - 2) \leq ∣ h ∣$ , qui tend vers $0$ . Donc $(e^{x})^{'} = e^{x}$ : l'exponentielle est sa propre dérivée, ce qui explique son omniprésence dans les phénomènes dont la vitesse de variation est proportionnelle à la valeur (décharge d'un condensateur, décroissance radioactive, intérêts composés). $□$

Numériquement, $(e^{h} - 1) / h$ vaut $1, 0517$ pour $h = 0, 1$ , $1, 0050$ pour $h = 0, 01$ et $1, 0005$ pour $h = 0, 001$ : l'écart à $1$ est bien de l'ordre de $h /2$ , conformément au premier terme du reste.

Règles de calcul

Les règles qui suivent permettent de dériver n'importe quelle combinaison des fonctions usuelles sans revenir à la définition. Dans toute cette section, $u$ et $v$ sont des fonctions définies sur $I$ et dérivables en $x_{0}$ .

Démonstration. Linéarité. Le taux d'accroissement de $λ u + μv$ est $λ τ_{u} (h) + μ τ_{v} (h)$ , où $τ_{u}$ et $τ_{v}$ désignent les taux d'accroissement de $u$ et $v$ en $x_{0}$ ; on conclut par les opérations sur les limites.

Produit. L'astuce consiste à ajouter et retrancher $u (x_{0} + h) v (x_{0})$ au numérateur:

\frac{u ( x _{0} + h ) v ( x _{0} + h ) - u ( x _{0} ) v ( x _{0} )}{h} = u (x_{0} + h) \frac{v ( x _{0} + h ) - v ( x _{0} )}{h} + v (x_{0}) \frac{u ( x _{0} + h ) - u ( x _{0} )}{h} .

Quand $h \to 0$ , le premier facteur tend vers $u (x_{0})$ car $u$ est continue en $x_{0}$ (théorème 7.2), les taux d'accroissement tendent vers $v^{'} (x_{0})$ et $u^{'} (x_{0})$ : on obtient (7.5).

Quotient. Commençons par $1/ v$ . Comme $v$ est continue en $x_{0}$ et $v (x_{0}) \neq = 0$ , $v (x_{0} + h) \neq = 0$ pour $h$ assez petit et

\frac{1}{h} (\frac{1}{v ( x _{0} + h )} - \frac{1}{v ( x _{0} )}) = - \frac{1}{v ( x _{0} + h ) v ( x _{0} )} \cdot \frac{v ( x _{0} + h ) - v ( x _{0} )}{h} h \to 0 - \frac{v ^{'} ( x _{0} )}{v ( x _{0} ) ^{2}} .

On applique ensuite la règle du produit à $u \cdot (1/ v)$ : $(u / v)^{'} = u^{'} \cdot \frac{1}{v} + u \cdot (- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}) = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . $□$

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration de la règle du produit $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Passer à la limite

h \to 0

dans chaque facteur et conclure

Ajouter et retrancher

u (x_{0} + h) v (x_{0})

au numérateur

Utiliser la continuité de

u

x_{0}

(conséquence de sa dérivabilité) pour obtenir

u (x_{0} + h) \to u (x_{0})

Factoriser pour obtenir

u (x_{0} + h) τ_{v} (h) + v (x_{0}) τ_{u} (h)

Écrire le taux d'accroissement

\frac{u ( x _{0} + h ) v ( x _{0} + h ) - u ( x _{0} ) v ( x _{0} )}{h}

Dérivée d'une fonction composée

Démonstration. On ne peut pas simplement écrire le taux d'accroissement de $g \circ u$ comme un produit de deux quotients, car l'accroissement $k = u (x_{0} + h) - u (x_{0})$ peut s'annuler pour des $h \neq = 0$ . La formulation (7.3) évite ce piège. Par dérivabilité de $g$ en $y_{0}$ , il existe $ε_{g}$ de limite nulle en $0$ telle que, pour tout $k$ assez petit,

g (y_{0} + k) = g (y_{0}) + g^{'} (y_{0}) k + k ε_{g} (k) .

Appliquons-la avec $k = k (h) = u (x_{0} + h) - u (x_{0}) = h (u^{'} (x_{0}) + ε_{u} (h))$ , qui tend vers $0$ quand $h \to 0$ (continuité de $u$ ):

g (u (x_{0} + h)) - g (u (x_{0})) = g^{'} (y_{0}) k (h) + k (h) ε_{g} (k (h)) = h (u^{'} (x_{0}) + ε_{u} (h)) (g^{'} (y_{0}) + ε_{g} (k (h))) .

En divisant par $h$ : le premier facteur tend vers $u^{'} (x_{0})$ ; le second tend vers $g^{'} (y_{0})$ car $k (h) \to 0$ et $ε_{g} (k) \to 0$ quand $k \to 0$ (composition de limites, chapitre 5). D'où (7.7). $□$

Dérivée d'une fonction réciproque

Le chapitre 6 a introduit $ln$ , $arcsin$ , $arccos$ , $arctan$ et $argsinh$ comme réciproques de fonctions strictement monotones. Le théorème suivant en donne les dérivées d'un coup.

Démonstration. D'après le chapitre 5, la réciproque $f^{- 1} : J \to I$ est continue. Soit $y = y_{0} + k \in J$ , $k \neq = 0$ , et posons $x = f^{- 1} (y)$ ; comme $f^{- 1}$ est injective, $x \neq = x_{0}$ , et comme elle est continue, $x \to x_{0}$ lorsque $k \to 0$ . Alors

\frac{f ^{- 1} ( y _{0} + k ) - f ^{- 1} ( y _{0} )}{k} = \frac{x - x _{0}}{f ( x ) - f ( x _{0} )} = \frac{1}{\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}} .

Quand $k \to 0$ , $x \to x_{0}$ et le dénominateur tend vers $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ (composition de limites), donc le quotient tend vers $1/ f^{'} (x_{0})$ . Si $f^{'} (x_{0}) = 0$ , le dénominateur tend vers $0$ en gardant un signe constant (monotonie), et le quotient tend vers $\pm \infty$ . $□$

Géométriquement, les graphes de $f$ et $f^{- 1}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice $y = x$ ; cette symétrie échange les deux axes et transforme donc une pente $m$ en pente $1/ m$ (figure 7.3).

Figure 7.3. Les graphes de exp et ln sont symétriques par rapport à la droite y = x. La tangente à exp au point (a, eᵃ) a pour pente eᵃ; la tangente à ln au point symétrique (eᵃ, a) a pour pente 1/eᵃ. Ici a = 0,5.

Démonstration. Logarithme. $exp$ est une bijection dérivable de $R$ sur $] 0, + \infty [$ dont la dérivée $e^{x}$ ne s'annule jamais; par (7.8), $(ln y)^{'} = \frac{1}{e ^{l n y}} = \frac{1}{y}$ .

Arc sinus. $sin$ est une bijection de $[- π /2, π /2]$ sur $[- 1, 1]$ , de dérivée $cos x > 0$ sur l'intervalle ouvert. Pour $∣ y ∣ < 1$ , avec $x = arcsin y$ : $(arcsin y)^{'} = \frac{1}{cos x} = \frac{1}{1 - sin ^{2} x} = \frac{1}{1 - y ^{2}}$ , le cosinus étant positif sur $] - π /2, π /2 [$ . Aux bornes $y = \pm 1$ , $cos x = 0$ : tangente verticale. Le calcul pour $arccos$ est le même avec $(cos x)^{'} = - sin x$ , $sin x > 0$ sur $] 0, π [$ .

Arc tangente. $(tan x)^{'} = 1 + tan^{2} x > 0$ ; donc $(arctan y)^{'} = \frac{1}{1 + tan ^{2} ( arctan y )} = \frac{1}{1 + y ^{2}}$ .

Argument sinus hyperbolique. $(sinh x)^{'} = cosh x \geq 1$ et $cosh^{2} x - sinh^{2} x = 1$ avec $cosh > 0$ , donc $(argsinh y)^{'} = \frac{1}{cosh ( argsinh y )} = \frac{1}{1 + y ^{2}}$ . $□$

Exercice

Soit $f (x) = x^{3} + x$ , bijection strictement croissante de $R$ sur $R$ . Calculez $(f^{- 1})^{'} (2)$ .

Dérivée logarithmique, puissances et exposants variables

Si $u$ est dérivable et strictement positive, la règle de la chaîne appliquée à $ln \circ u$ donne

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u} . (7.9)

Le quotient $u^{'} / u$ s'appelle la dérivée logarithmique de $u$ : c'est le taux de variation relatif de $u$ , celui qui intéresse l'ingénieur quand il parle d'une croissance de «2 % par an» ou d'une atténuation en décibels. La dérivée logarithmique transforme les produits en sommes: $\frac{( uv ) ^{'}}{uv} = \frac{u ^{'}}{u} + \frac{v ^{'}}{v}$ , ce qui est une autre façon d'écrire la règle du produit.

Elle donne aussi la dérivée des puissances d'exposant réel. Pour $x > 0$ et $α \in R$ , $x^{α} = e^{α l n x}$ par définition (chapitre 6), donc par la règle de la chaîne

(x^{α})^{'} = e^{α l n x} \cdot \frac{α}{x} = α x^{α - 1} . (7.10)

La formule des puissances entières s'étend ainsi à tous les exposants: $(x)^{'} = \frac{1}{2} x^{- 1/2}$ , $(3 x)^{'} = \frac{1}{3} x^{- 2/3}$ , $(x^{2})^{'} = 2 x^{2 - 1}$ . Enfin, pour une expression de la forme $u (x)^{v (x)}$ avec $u > 0$ , on écrit $u^{v} = e^{v l n u}$ et l'on dérive:

(u^{v})^{'} = u^{v} (v^{'} ln u + v \frac{u ^{'}}{u}) . (7.11)

Tableau récapitulatif

Dans ce tableau, $u$ désigne une fonction dérivable et les formules de la colonne de droite s'obtiennent de celles de gauche par la règle de la chaîne.

Fonction	Dérivée	Forme composée	Dérivée
$x^{α}$ ( $α \in R$ )	$α x^{α - 1}$	$u^{α}$	$α u^{α - 1} u^{'}$
$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{u}$	$u^{'} e^{u}$
$a^{x}$ ( $a > 0$ )	$a^{x} ln a$	$a^{u}$	$u^{'} a^{u} ln a$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$ln u$	$\frac{u ^{'}}{u}$
$sin x$	$cos x$	$sin u$	$u^{'} cos u$
$cos x$	$- sin x$	$cos u$	$- u^{'} sin u$
$tan x$	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$	$tan u$	$\frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$
$arcsin x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$arcsin u$	$\frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}}$
$arccos x$	$- \frac{1}{1 - x ^{2}}$	$arccos u$	$- \frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}}$
$arctan x$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$arctan u$	$\frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$
$sinh x$	$cosh x$	$sinh u$	$u^{'} cosh u$
$cosh x$	$sinh x$	$cosh u$	$u^{'} sinh u$
$tanh x$	$1 - tanh^{2} x$	$tanh u$	$u^{'} (1 - tanh^{2} u)$
$argsinh x$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$argsinh u$	$\frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$

Exercice

Calculez $f^{'} (1)$ pour $f (x) = x e^{x}$ .

Dérivées d'ordre supérieur

Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f^{'}$ est elle-même dérivable, on note $f^{''} = (f^{'})^{'}$ la dérivée seconde, puis $f^{'''} = f^{(3)}$ , et par récurrence $f^{(n)} = (f^{(n - 1)})^{'}$ la dérivée $n$ -ième, avec la convention $f^{(0)} = f$ . En notation de Leibniz, $f^{(n)} = \frac{d ^{n} f}{d x ^{n}}$ .

Les polynômes, $exp$ , $sin$ , $cos$ , $sinh$ , $cosh$ sont de classe $C^{\infty}$ sur $R$ ; $ln$ et $x^{α}$ le sont sur $] 0, + \infty [$ . Les inclusions sont strictes: $x \mapsto x ∣ x ∣$ est de classe $C^{1}$ sur $R$ (sa dérivée $2 ∣ x ∣$ est continue) mais pas de classe $C^{2}$ (cette dérivée présente un point anguleux en $0$ ). Plus surprenant, une fonction peut être dérivable partout sans être de classe $C^{1}$ : c'est le cas de $x^{2} sin (1/ x)$ prolongée par $0$ (exercice 7.1).

Les dérivées successives des fonctions usuelles obéissent à des formules simples: $(x^{n})^{(k)} = \frac{n !}{( n - k )!} x^{n - k}$ pour $k \leq n$ et $0$ pour $k > n$ ; $(e^{a x})^{(n)} = a^{n} e^{a x}$ ; $sin^{(n)} (x) = sin (x + n \frac{π}{2})$ , car chaque dérivation décale la phase d'un quart de période; $(ln x)^{(n)} = (- 1)^{n - 1} \frac{( n - 1 )!}{x ^{n}}$ .

Exercice

Que vaut la dérivée quatrième de $f (x) = cos (2 x)$ ?

Dérivée et extremum: un premier aperçu

Le chapitre 8 étudiera en détail le lien entre le signe de $f^{'}$ et le sens de variation de $f$ . Un résultat n'a pourtant besoin que de la définition du nombre dérivé: en un extremum intérieur, la tangente est horizontale.

Démonstration. Supposons que $x_{0}$ soit un maximum local (le cas du minimum se traite en remplaçant $f$ par $- f$ ). Comme $x_{0}$ est intérieur, $x_{0} + h \in I$ pour $∣ h ∣$ assez petit, et $f (x_{0} + h) - f (x_{0}) \leq 0$ pour ces $h$ . Le taux d'accroissement $τ (h) = \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ est donc négatif ou nul pour $h > 0$ et positif ou nul pour $h < 0$ . Par passage à la limite dans les inégalités, $f_{d}^{'} (x_{0}) = lim_{h \to 0^{+}} τ (h) \leq 0$ et $f_{g}^{'} (x_{0}) = lim_{h \to 0^{-}} τ (h) \geq 0$ . Comme $f$ est dérivable, ces deux limites sont égales à $f^{'} (x_{0})$ , qui est donc à la fois $\leq 0$ et $\geq 0$ : $f^{'} (x_{0}) = 0$ . $□$

Exercice

Parmi les affirmations suivantes concernant une fonction $f$ dérivable sur $] a, b [$ , lesquelles sont vraies?

Plusieurs réponses possibles

Applications à l'ingénierie

Linéarisation et propagation des incertitudes

Une grandeur $y = f (x)$ est calculée à partir d'une mesure $x$ entachée d'une incertitude $Δ x$ . Par (7.4), l'incertitude sur $y$ est approximativement

Δ y \approx ∣ f^{'} (x)∣ Δ x, \frac{Δ y}{∣ y ∣} \approx \frac{x f ^{'} ( x )}{f ( x )} \frac{Δ x}{∣ x ∣} . (7.13)

Pour une loi de puissance $y = k x^{α}$ , la dérivée logarithmique vaut $y^{'} / y = α / x$ , et la seconde formule devient simplement

\frac{Δ y}{y} \approx ∣ α ∣ \frac{Δ x}{x} :

l'erreur relative est multipliée par l'exposant. Une incertitude de 1 % sur le rayon d'une sphère donne 3 % sur son volume $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ ; une incertitude de 2 % sur la vitesse donne 4 % sur l'énergie cinétique $\frac{1}{2} m v^{2}$ . Pour un produit ou un quotient, les erreurs relatives s'ajoutent (au pire des cas), en vertu de (7.9): pour $P = U^{2} / R$ , une tension connue à 2 % et une résistance à 1 % donnent une puissance connue à $2 \cdot 2 + 1 = 5$ % près.

Cinématique

Si $s (t)$ est l'abscisse d'un mobile sur un axe, $v (t) = \overset{s}{˙} (t)$ est sa vitesse et $a (t) = \overset{s}{¨} (t)$ son accélération. Une voiture qui freine avec une décélération constante de $4 m/s^{2}$ à partir de $20$ m/s a pour position $s (t) = 20 t - 2 t^{2}$ : sa vitesse $v (t) = 20 - 4 t$ s'annule à $t = 5$ s, après une distance $s (5) = 50$ m. La vitesse est une fonction décroissante, tandis que la position croît jusqu'à l'arrêt: le signe de $v = \overset{s}{˙}$ dit si $s$ croît ou décroît, ce que le chapitre 8 établira en général.

Taux liés

Lorsque deux grandeurs $x (t)$ et $y (t)$ dépendant du temps sont reliées par une équation $F (x, y) = 0$ , dériver cette relation par rapport à $t$ (règle de la chaîne) relie leurs vitesses de variation $\overset{x}{˙}$ et $\overset{y}{˙}$ . C'est le problème des taux liés.

Exemple 7.7 · Ballon et échelle

Ballon. Un ballon sphérique est gonflé au débit constant $\dot{V} = 2$ L/s $= 0, 002 m^{3} / s$ . À quelle vitesse son rayon augmente-t-il lorsque $r = 0, 30$ m?

De $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ on tire, en dérivant par rapport à $t$ avec la règle de la chaîne, $\dot{V} = 4 π r^{2} \overset{r}{˙}$ , donc

\overset{r}{˙} = \frac{V ˙}{4 π r ^{2}} = \frac{0 , 002}{4 π \times 0 , 09} = 1, 77 \cdot 1 0^{- 3} m/s \approx 1, 8 mm/s .

Le rayon croît d'autant plus lentement que le ballon est gros: le même volume s'étale sur une surface $4 π r^{2}$ plus grande.

Échelle. Une échelle de $5$ m est appuyée contre un mur; son pied glisse sur le sol à $0, 5$ m/s. À quelle vitesse le sommet descend-il quand le pied est à $3$ m du mur?

Notons $x$ la distance du pied au mur et $y$ la hauteur du sommet: $x^{2} + y^{2} = 25$ . En dérivant, $2 x \overset{x}{˙} + 2 y \overset{y}{˙} = 0$ , d'où $\overset{y}{˙} = - \frac{x}{y} \overset{x}{˙}$ . Quand $x = 3$ , $y = 4$ et

\overset{y}{˙} = - \frac{3}{4} \times 0, 5 = - 0, 375 m/s .

Le signe négatif confirme que le sommet descend; la vitesse de descente $∣ \overset{y}{˙} ∣ = x \overset{x}{˙} / y$ tend vers l'infini quand $y \to 0$ , ce qui rappelle que le modèle (échelle rigide restant en contact avec le mur) cesse d'être valable dans les derniers instants.

Synthèse

Le nombre dérivé $f^{'} (x_{0})$ est la limite du taux d'accroissement $(f (x_{0} + h) - f (x_{0})) / h$ ; c'est la pente de la tangente et le taux de variation instantané. De manière équivalente, $f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h + h ε (h)$ avec $ε (h) \to 0$ .
Dérivable implique continue; la réciproque est fausse (point anguleux, tangente verticale, oscillation).
Règles: $(λ u + μv)^{'} = λ u^{'} + μ v^{'}$ , $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $(u / v)^{'} = (u^{'} v - u v^{'}) / v^{2}$ , $(g \circ u)^{'} = (g^{'} \circ u) u^{'}$ , $(f^{- 1})^{'} = 1/ (f^{'} \circ f^{- 1})$ .
Les dérivées usuelles: $(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$ , $(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(ln x)^{'} = 1/ x$ , $(sin)^{'} = cos$ , $(cos)^{'} = - sin$ , $(arctan x)^{'} = 1/ (1 + x^{2})$ , $(arcsin x)^{'} = 1/ 1 - x^{2}$ .
Dérivées d'ordre supérieur, classes $C^{n}$ et $C^{\infty}$ , formule de Leibniz $(uv)^{(n)} = \sum (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}$ ; la dérivée seconde est une accélération ou une courbure.
Théorème de Fermat: en un extremum local intérieur d'une fonction dérivable, $f^{'} = 0$ . Applications: linéarisation $Δ y \approx f^{'} (x) Δ x$ , erreur relative d'une puissance multipliée par l'exposant, taux liés.

Série d'exercices du chapitre 7

Exercice 1 sur 5

Exercice

Quelle est la dérivée de $f (x) = ln (cos x)$ sur $] - π /2, π /2 [$ ?

Problème guidé

Linéarisation de la période d'un pendule

La période des petites oscillations d'un pendule simple de longueur $L$ est $T (L) = 2 π L / g$ , avec $g = 9, 81 m/s^{2}$ . Un pendule d'horloge a une longueur nominale $L = 1, 000$ m, connue à $Δ L = 1$ cm près. On veut estimer l'effet de cette incertitude sur la période.

1
Période nominale
Évaluez la période pour la longueur nominale.
Exercice
Calculez $T (1, 000)$ en secondes.
s
Dérivée de la période
Incertitude sur la période
Erreur relative

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 7.1 · Retour à la définition

En utilisant uniquement la définition (7.1), calculer $f^{'} (x_{0})$ pour $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ en $x_{0} = 1$ , puis pour $g (x) = 2 x + 1$ en $x_{0} = 4$ .
Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{2} sin (1/ x)$ pour $x \neq = 0$ et $f (0) = 0$ . Montrer que $f$ est dérivable sur $R$ , calculer $f^{'}$ et montrer que $f^{'}$ n'est pas continue en $0$ . Que peut-on conclure sur la classe de régularité de $f$ ?

Solution

1. Fonction $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ en $x_{0} = 1$ . Pour $h \neq = 0$ , $h \neq = - 2$ ,

\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{h} \cdot \frac{2 - ( 2 + h )}{2 ( 2 + h )} = \frac{- 1}{2 ( 2 + h )} h \to 0 - \frac{1}{4} .

Donc $f^{'} (1) = - \frac{1}{4}$ , en accord avec la formule générale $f^{'} (x) = - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

Fonction $g (x) = 2 x + 1$ en $x_{0} = 4$ . On a $g (4) = 3$ et, en multipliant par la quantité conjuguée,

\frac{9 + 2 h - 3}{h} = \frac{( 9 + 2 h ) - 9}{h ( 9 + 2 h + 3 )} = \frac{2}{9 + 2 h + 3} h \to 0 \frac{2}{6} = \frac{1}{3},

par continuité de la racine carrée. Donc $g^{'} (4) = \frac{1}{3}$ ; la règle de la chaîne donnerait $g^{'} (x) = \frac{2}{2 2 x + 1} = \frac{1}{2 x + 1}$ , soit $\frac{1}{3}$ en $x = 4$ .

2. Fonction $f (x) = x^{2} sin (1/ x)$ , $f (0) = 0$ .

Dérivabilité pour $x \neq = 0$ . Sur $R^{*}$ , $f$ est un produit et une composée de fonctions dérivables: par la règle du produit et la règle de la chaîne,

f^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x} + x^{2} cos \frac{1}{x} \cdot (- \frac{1}{x ^{2}}) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x} .

Dérivabilité en $0$ . Le taux d'accroissement est $\frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} = h sin \frac{1}{h}$ . Comme $h sin (1/ h) \leq ∣ h ∣ \to 0$ , il tend vers $0$ : $f$ est dérivable en $0$ et $f^{'} (0) = 0$ . Ainsi $f$ est dérivable sur $R$ .

Discontinuité de $f^{'}$ en $0$ . Le terme $2 x sin (1/ x)$ tend vers $0$ quand $x \to 0$ , mais $cos (1/ x)$ n'a pas de limite en $0$ : la suite $x_{n} = \frac{1}{2 nπ}$ tend vers $0$ avec $cos (1/ x_{n}) = 1$ , tandis que $y_{n} = \frac{1}{( 2 n + 1 ) π}$ tend vers $0$ avec $cos (1/ y_{n}) = - 1$ . Donc $f^{'} (x_{n}) \to - 1$ et $f^{'} (y_{n}) \to 1$ : $f^{'}$ n'a pas de limite en $0$ et n'est pas continue en $0$ .

Conclusion. La fonction $f$ est dérivable sur $R$ mais n'est pas de classe $C^{1}$ : l'inclusion $C^{1} \subset {fonctions d \overset{e}{ˊ} rivables}$ est stricte.

Exercice 7.2 · Calcul de dérivées

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes en précisant le domaine de dérivabilité:

$f_{1} (x) = x^{2} ln x$ ;
$f_{2} (x) = e^{- x^{2} /2}$ ;
$f_{3} (x) = \frac{sin x}{1 + cos x}$ ;
$f_{4} (x) = arctan x$ ;
$f_{5} (x) = ln (x + x^{2} + 1)$ ; que reconnaît-on?
$f_{6} (x) = (1 + x^{2})^{x}$ .

Solution

1. Sur $] 0, + \infty [$ , règle du produit: $f_{1}^{'} (x) = 2 x ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = x (2 ln x + 1)$ .

2. Sur $R$ , règle de la chaîne avec $u = - x^{2} /2$ , $u^{'} = - x$ : $f_{2}^{'} (x) = - x e^{- x^{2} /2}$ . C'est, à un facteur près, la densité de la loi normale: sa dérivée s'annule en $0$ , sommet de la «courbe en cloche».

3. $f_{3}$ est définie et dérivable là où $cos x \neq = - 1$ , c'est-à-dire pour $x \neq = π + 2 k π$ . Règle du quotient:

f_{3}^{'} (x) = \frac{cos x ( 1 + cos x ) - sin x ( - sin x )}{( 1 + cos x ) ^{2}} = \frac{cos x + cos ^{2} x + sin ^{2} x}{( 1 + cos x ) ^{2}} = \frac{1 + cos x}{( 1 + cos x ) ^{2}} = \frac{1}{1 + cos x} .

On peut le vérifier autrement: $f_{3} (x) = tan (x /2)$ (formules de l'angle moitié), dont la dérivée est $\frac{1}{2 cos ^{2} ( x /2 )} = \frac{1}{1 + cos x}$ .

4. $f_{4}$ est définie sur $[0, + \infty [$ et dérivable sur $] 0, + \infty [$ (la racine n'est pas dérivable en $0$ ). Avec $u = x$ , $u^{'} = \frac{1}{2 x}$ :

f_{4}^{'} (x) = \frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}} = \frac{1}{2 x ( 1 + x )} .

En $0$ , le taux d'accroissement $arctan (h) / h \sim h / h = 1/ h \to + \infty$ : tangente verticale.

5. Pour tout $x \in R$ , $x + x^{2} + 1 > 0$ (car $x^{2} + 1 > ∣ x ∣$ ), donc $f_{5}$ est définie et dérivable sur $R$ . Avec $u = x + x^{2} + 1$ ,

u^{'} = 1 + \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x ^{2} + 1 + x}{x ^{2} + 1} = \frac{u}{x ^{2} + 1}, f_{5}^{'} (x) = \frac{u ^{'}}{u} = \frac{1}{x ^{2} + 1} .

On reconnaît la dérivée de $argsinh$ (théorème 7.7): en effet $argsinh x = ln (x + x^{2} + 1)$ (chapitre 6).

6. $1 + x^{2} > 0$ , donc $f_{6} (x) = e^{x l n (1 + x^{2})}$ est définie et dérivable sur $R$ . Par (7.11) avec $u = 1 + x^{2}$ , $v = x$ :

f_{6}^{'} (x) = (1 + x^{2})^{x} (ln (1 + x^{2}) + x \cdot \frac{2 x}{1 + x ^{2}}) = (1 + x^{2})^{x} (ln (1 + x^{2}) + \frac{2 x ^{2}}{1 + x ^{2}}) .

Exercice 7.3 · Déformée d'une poutre sur deux appuis

Une poutre de longueur $L$ sur deux appuis simples, soumise à une charge uniformément répartie $q$ (en kN/m), a pour déformée

y (x) = \frac{q}{24 E I} (x^{4} - 2 L x^{3} + L^{3} x), 0 \leq x \leq L,

où $E I$ est la rigidité de flexion (en kN·m²) et $y$ est compté positivement vers le bas.

Calculer $y^{'} (x)$ (rotation de la section) et $y^{''} (x)$ . Vérifier que $y (0) = y (L) = 0$ et $y^{''} (0) = y^{''} (L) = 0$ ; interpréter.
Le moment fléchissant est $M (x) = - E I y^{''} (x)$ . Montrer que $M (x) = \frac{q}{2} x (L - x)$ et déterminer, à l'aide du théorème de Fermat, où il est maximal et sa valeur.
Montrer que la flèche maximale est $y_{m a x} = \frac{5 q L ^{4}}{384 E I}$ .
Application numérique: $q = 10$ kN/m, $L = 6$ m, $E I = 2 \cdot 1 0^{4}$ kN·m². Calculer $y_{m a x}$ (en mm), la rotation $y^{'} (0)$ aux appuis (en rad) et $M_{m a x}$ (en kN·m).

Solution

Posons $k = \frac{q}{24 E I}$ , de sorte que $y (x) = k (x^{4} - 2 L x^{3} + L^{3} x)$ .

1. Les dérivées d'un polynôme:

y^{'} (x) = k (4 x^{3} - 6 L x^{2} + L^{3}), y^{''} (x) = k (12 x^{2} - 12 Lx) = 12 k x (x - L) .

On vérifie $y (0) = 0$ et $y (L) = k (L^{4} - 2 L^{4} + L^{4}) = 0$ : la poutre ne se déplace pas aux appuis. De plus $y^{''} (0) = y^{''} (L) = 0$ : le moment fléchissant est nul aux appuis simples, qui ne transmettent pas de moment. Ce sont les quatre conditions aux limites du problème.

2. $M (x) = - E I y^{''} (x) = - E I \cdot \frac{q}{24 E I} \cdot 12 x (x - L) = - \frac{q}{2} x (x - L) = \frac{q}{2} x (L - x)$ .

La fonction $M$ est dérivable sur $[0, L]$ avec $M^{'} (x) = \frac{q}{2} (L - 2 x)$ , qui s'annule uniquement en $x = L /2$ . Sur le segment $[0, L]$ , le maximum de la fonction continue $M$ existe (théorème de Weierstrass, chapitre 5); il est atteint soit aux bornes, où $M = 0$ , soit en un point intérieur où, d'après le théorème de Fermat, $M^{'} = 0$ , donc en $x = L /2$ . Comme $M (L /2) = \frac{q}{2} \cdot \frac{L}{2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{q L ^{2}}{8} > 0$ , c'est bien le maximum:

M_{m a x} = \frac{q L ^{2}}{8} \overset{a}{ˋ} mi-port \overset{e}{ˊ} e.

3. Même raisonnement pour $y$ : $y^{'} (x) = k (4 x^{3} - 6 L x^{2} + L^{3})$ . On vérifie que $x = L /2$ annule $y^{'}$ : $4 \cdot \frac{L ^{3}}{8} - 6 L \cdot \frac{L ^{2}}{4} + L^{3} = \frac{L ^{3}}{2} - \frac{3 L ^{3}}{2} + L^{3} = 0$ . En factorisant, $4 x^{3} - 6 L x^{2} + L^{3} = (2 x - L) (2 x^{2} - 2 Lx - L^{2})$ , et le second facteur a pour racines $x = \frac{L ( 1 \pm 3 )}{2}$ , toutes deux hors de $[0, L]$ . Le seul point critique intérieur est donc $x = L /2$ ; comme $y = 0$ aux bornes et $y (L /2) > 0$ , la flèche maximale est atteinte à mi-portée et vaut

y_{m a x} = k (\frac{L ^{4}}{16} - \frac{2 L ^{4}}{8} + \frac{L ^{4}}{2}) = k L^{4} \cdot \frac{1 - 4 + 8}{16} = \frac{5 k L ^{4}}{16} = \frac{5 q L ^{4}}{384 E I} .

4. Avec $q = 10$ kN/m, $L = 6$ m, $E I = 2 \cdot 1 0^{4}$ kN·m²:

$y_{m a x} = \frac{5 \times 10 \times 6 ^{4}}{384 \times 2 \cdot 1 0 ^{4}} = \frac{64 800}{7 680 000} = 8, 44 \cdot 1 0^{- 3}$ m $= 8, 4$ mm, soit $L /711$ : la limite usuelle $L /300$ à $L /500$ est respectée;
$y^{'} (0) = k L^{3} = \frac{q L ^{3}}{24 E I} = \frac{10 \times 216}{24 \times 2 \cdot 1 0 ^{4}} = 4, 5 \cdot 1 0^{- 3}$ rad $\approx 0, 2 6^{\circ}$ (et $y^{'} (L) = - 4, 5 \cdot 1 0^{- 3}$ rad par symétrie);
$M_{m a x} = \frac{q L ^{2}}{8} = \frac{10 \times 36}{8} = 45$ kN·m.

Exercice 7.4 · Taux liés et linéarisation

Un réservoir a la forme d'un cône de révolution renversé (pointe en bas) dont le rayon vaut la moitié de la hauteur. Il se vide au débit constant de $0, 5$ L/s. À quelle vitesse (en mm/s) le niveau d'eau baisse-t-il lorsque la hauteur d'eau est de $1$ m? Et lorsqu'elle est de $0, 5$ m?
Sans calculatrice, estimer par linéarisation $\frac{1}{1 , 02}$ et $sin 3 1^{\circ}$ ; comparer ensuite aux valeurs exactes.
La puissance dissipée dans une résistance est $P = R I^{2}$ . Le courant est connu à 1 % près et la résistance à 0,5 % près. Estimer l'incertitude relative sur $P$ .

Solution

1. Notons $h (t)$ la hauteur d'eau et $r (t) = h /2$ le rayon de la surface libre. Le volume d'eau est celui d'un cône: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{π h ^{3}}{12}$ . En dérivant par rapport à $t$ (règle de la chaîne),

\dot{V} = \frac{π h ^{2}}{4} \dot{h}, \dot{h} = \frac{4 V ˙}{π h ^{2}} .

Avec $\dot{V} = - 0, 5$ L/s $= - 5 \cdot 1 0^{- 4} m^{3} / s$ :

pour $h = 1$ m: $\dot{h} = \frac{4 \times ( - 5 \cdot 1 0 ^{- 4} )}{π} = - 6, 37 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s $= - 0, 64$ mm/s;
pour $h = 0, 5$ m: $\dot{h} = \frac{4 \times ( - 5 \cdot 1 0 ^{- 4} )}{π \times 0 , 25} = - 2, 55 \cdot 1 0^{- 3}$ m/s $= - 2, 55$ mm/s.

Le niveau baisse quatre fois plus vite quand la hauteur est divisée par deux, car la surface libre est quatre fois plus petite.

2. Inverse. $f (x) = 1/ x$ , $f^{'} (x) = - 1/ x^{2}$ , $x_{0} = 1$ , $h = 0, 02$ : $\frac{1}{1 , 02} \approx 1 - 0, 02 = 0, 98$ . Valeur exacte: $0, 98039 \dots$ ; erreur $4 \cdot 1 0^{- 4}$ .

Sinus. Il faut travailler en radians: $3 1^{\circ} = \frac{π}{6} + \frac{π}{180}$ . Avec $f = sin$ , $f^{'} = cos$ , $x_{0} = π /6$ , $h = π /180 \approx 0, 01745$ :

sin 3 1^{\circ} \approx sin \frac{π}{6} + cos \frac{π}{6} \cdot \frac{π}{180} = 0, 5 + 0, 8660 \times 0, 01745 = 0, 5151.

Valeur exacte: $0, 51504 \dots$ ; erreur $8 \cdot 1 0^{- 5}$ , de l'ordre de $h^{2} /2 \cdot sin (π /6) = 7, 6 \cdot 1 0^{- 5}$ .

3. La dérivée logarithmique de $P = R I^{2}$ donne $\frac{d P}{P} = \frac{d R}{R} + 2 \frac{d I}{I}$ . Dans le cas le plus défavorable, les erreurs s'ajoutent en valeur absolue:

\frac{Δ P}{P} \approx \frac{Δ R}{R} + 2 \frac{Δ I}{I} = 0, 5 % + 2 \times 1 % = 2, 5 %.

Le courant, qui intervient au carré, pèse quatre fois plus que la résistance dans l'incertitude finale.

Exercice 7.5 · Démonstrations par récurrence

En utilisant uniquement la règle du produit et $(x)^{'} = 1$ , démontrer par récurrence sur $n \in N^{*}$ que $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ .
Soit $f : R \to R$ dérivable. Montrer que si $f$ est paire, alors $f^{'}$ est impaire, et que si $f$ est impaire, alors $f^{'}$ est paire. Que vaut $f^{'} (0)$ pour une fonction paire dérivable en $0$ ?
Rédiger complètement la démonstration par récurrence de la formule de Leibniz (7.12).

Solution

1. Notons $P (n)$ la propriété «la fonction $x \mapsto x^{n}$ est dérivable sur $R$ et $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ».

Initialisation. $P (1)$ est l'hypothèse $(x)^{'} = 1 = 1 \cdot x^{0}$ .

Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie pour un $n \geq 1$ . Alors $x^{n + 1} = x^{n} \cdot x$ est le produit de deux fonctions dérivables, donc dérivable, et par la règle du produit

(x^{n + 1})^{'} = (x^{n})^{'} \cdot x + x^{n} \cdot (x)^{'} = n x^{n - 1} \cdot x + x^{n} = n x^{n} + x^{n} = (n + 1) x^{n},

ce qui est $P (n + 1)$ . Par le principe de récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \in N^{*}$ . $□$

2. Supposons $f$ paire: $f (- x) = f (x)$ pour tout $x$ . La fonction $x \mapsto f (- x)$ est la composée de $f$ et de $x \mapsto - x$ ; par la règle de la chaîne, sa dérivée est $- f^{'} (- x)$ . En dérivant les deux membres de l'identité $f (- x) = f (x)$ , on obtient $- f^{'} (- x) = f^{'} (x)$ , c'est-à-dire $f^{'} (- x) = - f^{'} (x)$ : $f^{'}$ est impaire. De même, si $f$ est impaire, $f (- x) = - f (x)$ donne $- f^{'} (- x) = - f^{'} (x)$ , soit $f^{'} (- x) = f^{'} (x)$ : $f^{'}$ est paire.

Pour une fonction paire dérivable en $0$ , $f^{'}$ est impaire, donc $f^{'} (0) = - f^{'} (0)$ , d'où $f^{'} (0) = 0$ : la tangente en $0$ au graphe d'une fonction paire est horizontale (pensez à $cos$ , $cosh$ , $x^{2}$ ). On peut aussi le voir directement: le taux d'accroissement $τ (h) = \frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h}$ vérifie $τ (- h) = - τ (h)$ , donc $f_{g}^{'} (0) = - f_{d}^{'} (0)$ , et la dérivabilité impose $f^{'} (0) = 0$ .

3. Notons $Q (n)$ la propriété «pour toutes fonctions $u$ , $v$ qui sont $n$ fois dérivables sur $I$ , $uv$ est $n$ fois dérivable et $(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}$ ».

Initialisation. Pour $n = 1$ , la somme vaut $(0 1) u v^{'} + (1 1) u^{'} v = u v^{'} + u^{'} v$ : c'est la règle du produit (7.5). (On peut aussi partir de $n = 0$ , où la formule se réduit à $uv = uv$ .)

Hérédité. Supposons $Q (n)$ vraie et soient $u$ , $v$ deux fonctions $(n + 1)$ fois dérivables. Elles sont en particulier $n$ fois dérivables, donc

(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n - k)} .

Chaque terme est un produit de fonctions dérivables (car $k \leq n$ et $n - k \leq n$ , et $u$ , $v$ sont $n + 1$ fois dérivables); donc $(uv)^{(n)}$ est dérivable, c'est-à-dire $uv$ est $(n + 1)$ fois dérivable, et par linéarité et règle du produit

(uv)^{(n + 1)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(k + 1)} v^{(n - k)} + k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n + 1 - k)} .

Dans la première somme, on pose $j = k + 1$ (donc $j$ va de $1$ à $n + 1$ ): elle s'écrit $\sum_{j = 1}^{n + 1} (j - 1 n) u^{(j)} v^{(n + 1 - j)}$ . En renommant $j$ en $k$ et en regroupant avec la seconde somme,

(uv)^{(n + 1)} = (n n) u^{(n + 1)} v + k = 1 \sum n [(k - 1 n) + (k n)] u^{(k)} v^{(n + 1 - k)} + (0 n) u v^{(n + 1)} .

Par la relation de Pascal, $(k - 1 n) + (k n) = (k n + 1)$ ; et $(n n) = 1 = (n + 1 n + 1)$ , $(0 n) = 1 = (0 n + 1)$ . Donc

(uv)^{(n + 1)} = k = 0 \sum n + 1 (k n + 1) u^{(k)} v^{(n + 1 - k)},

ce qui est $Q (n + 1)$ . Par récurrence, la formule de Leibniz est vraie pour tout $n \geq 1$ . $□$

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
Spivak, M., Calculus, 4^e éd., Publish or Perish, Houston, 2008.
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3^e éd., McGraw-Hill, New York, 1976.
Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, t. 3, Masson, Paris.

Objectifs du chapitre

Pourquoi dériver?

Le nombre dérivé

Définition et interprétation géométrique

Explorateur de la tangente

Approximation affine et différentiabilité

Dérivable implique continue

Fonction dérivée et dérivées des fonctions usuelles

Règles de calcul

Dérivée d'une fonction composée

Dérivée d'une fonction réciproque

Dérivée logarithmique, puissances et exposants variables

Tableau récapitulatif

Dérivées d'ordre supérieur

Dérivée et extremum: un premier aperçu

Applications à l'ingénierie

Linéarisation et propagation des incertitudes

Cinématique

Taux liés

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 7

Linéarisation de la période d'un pendule

Période nominale

Dérivée de la période

Incertitude sur la période

Erreur relative

Exercices

Références