Suites numériques · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître une suite explicite, une suite récurrente, une suite arithmétique ou géométrique, et calculer la somme de leurs premiers termes;
énoncer la définition ε–N de la limite d'une suite, la lire en français et l'appliquer pour prouver une convergence simple;
calculer des limites à l'aide des opérations sur les limites, du théorème des gendarmes et des croissances comparées;
utiliser le théorème de la limite monotone et les suites adjacentes pour établir la convergence d'une suite sans connaître sa limite;
énoncer le théorème de Bolzano–Weierstrass et le critère de Cauchy, et expliquer leur lien avec la complétude de $R$ ;
mener l'étude complète d'une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ : points fixes, monotonie, intervalle stable, convergence.

Suites: définitions et premiers exemples

Une suite est la façon la plus simple de décrire un phénomène qui évolue par étapes: le solde d'un compte d'année en année, la position d'un robot à chaque tic d'horloge, la valeur d'un signal échantillonné toutes les millisecondes, ou l'approximation successive d'une racine calculée par un ordinateur. L'analyse commence par les suites parce que tout le reste (séries, limites de fonctions, intégrales) se ramène à des limites de suites.

Il ne faut pas confondre la suite $(u_{n})$ , qui est une fonction, avec l'ensemble de ses valeurs ${u_{n} : n \in N}$ : la suite $u_{n} = (- 1)^{n}$ n'a que deux valeurs, mais une infinité de termes.

Suites explicites et suites récurrentes

Une suite peut être donnée de deux manières.

De façon explicite, par une formule en $n$ : $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ , $u_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ , $u_{n} = sin (nω T)$ .
De façon récurrente, par son premier terme et une relation qui donne chaque terme à partir des précédents: $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}^{2} + 2}{2 u _{n}}$ . Le calcul de $u_{100}$ exige alors, en principe, le calcul de tous les termes intermédiaires. C'est exactement ce que fait un programme avec une boucle.

Exemple 3.1 · Trois suites issues de l'ingénierie

Intérêts composés. Un capital $C_{0} = 10000$ CHF placé à 2 % par an vaut, après $n$ années, $C_{n} = C_{0} (1, 02)^{n}$ : c'est une suite géométrique de raison $1, 02$ . Après 10 ans, $C_{10} = 10000 \times 1, 0 2^{10} \approx 12190$ CHF. Le capital double lorsque $1, 0 2^{n} = 2$ , soit $n = ln 2/ ln 1, 02 \approx 35$ ans.

Itération de Newton. Pour calculer $2$ , on part de $u_{0} = 2$ et l'on pose $u_{n + 1} = \frac{u _{n}^{2} + 2}{2 u _{n}}$ . On obtient $u_{1} = 1, 5$ , $u_{2} = 17/12 \approx 1, 41667$ , $u_{3} \approx 1, 414216$ : trois itérations donnent déjà six décimales exactes de $2 \approx 1, 414214$ . Nous étudierons cette suite, dite de Héron, à la section 8.

Échantillonnage d'un signal. Un convertisseur analogique-numérique lit la tension $v (t) = sin (2 π f t)$ toutes les $T$ secondes. Les valeurs mesurées forment la suite $v_{n} = sin (2 π f n T)$ . Si $f T = 1/4$ , on lit $0, 1, 0, - 1, 0, 1, \dots$ : une suite périodique, qui n'a pas de limite. Si $f T = 1$ , on lit $0, 0, 0, \dots$ et le signal semble constant, ce qui est le phénomène de repliement (aliasing).

Suites arithmétiques et géométriques

Ces deux familles sont connues du gymnase; on rappelle les formules qui serviront tout au long du cours.

La formule (3.2) se démontre en une ligne: si $S = 1 + q + \dots + q^{n}$ , alors $S - q S = 1 - q^{n + 1}$ . Elle est à la base des séries géométriques (chapitre 4) et des calculs d'annuités. Par exemple $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{10}} = \frac{1 - 2 ^{- 11}}{1 - 1/2} = 2 - 2^{- 10} \approx 1, 9990$ .

Suites bornées, suites monotones

Pour étudier la monotonie, on examine le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ ou, si les termes sont strictement positifs, la position du quotient $u_{n + 1} / u_{n}$ par rapport à 1. Ainsi $u_{n} = n^{2} / 2^{n}$ vérifie $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( n + 1 ) ^{2}}{2 n ^{2}} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n})^{2}$ , quotient inférieur à 1 dès que $n \geq 3$ : la suite décroît à partir du rang 3, bien que $u_{1} = 0, 5$ , $u_{2} = 1$ et $u_{3} = 1, 125$ soient croissants.

Exercice

Parmi les suites suivantes, laquelle est bornée?

Limite d'une suite

La définition ε–N

Dire que $u_{n}$ «tend vers» $ℓ$ , c'est dire que $u_{n}$ est aussi proche de $ℓ$ qu'on le veut pourvu que $n$ soit assez grand. La définition suivante, due à Cauchy et Weierstrass, traduit cette phrase en quantificateurs.

Lisons (3.3) en français: «quelle que soit la tolérance $ε$ , aussi petite soit-elle, il existe un rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite sont à distance moins de $ε$ de $ℓ$ ». Le rang $N$ dépend de $ε$ (on le note parfois $N (ε)$ ou $N_{ε}$ ): plus la tolérance est petite, plus il faut attendre. Géométriquement, tous les points $(n, u_{n})$ finissent dans la bande horizontale $] ℓ - ε, ℓ + ε [$ , et seul un nombre fini de termes reste à l'extérieur (figure 3.1).

Figure 3.1. Termes de la suite u_n = (−1)^n/n. Pour ε = 0,15, tous les termes à partir du rang N = 7 sont dans la bande ]−ε, ε[: les six premiers termes, et eux seuls, peuvent en sortir.

Exemple 3.2 · Trois convergences prouvées avec la définition

La suite $u_{n} = 1/ n$ tend vers 0. Soit $ε > 0$ . On veut $∣ 1/ n - 0 ∣ = 1/ n < ε$ , c'est-à-dire $n > 1/ ε$ . D'après la propriété d'Archimède (chapitre 1), il existe un entier $N > 1/ ε$ ; pour tout $n \geq N$ , on a alors $1/ n \leq 1/ N < ε$ . Donc $1/ n \to 0$ .

La suite $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ tend vers 2. On calcule l'écart à la limite pressentie:

\frac{2 n + 1}{n + 3} - 2 = \frac{2 n + 1 - 2 n - 6}{n + 3} = \frac{5}{n + 3} .

Soit $ε > 0$ . On a $\frac{5}{n + 3} < ε$ dès que $n > \frac{5}{ε} - 3$ . Il suffit donc de prendre $N$ entier supérieur à $5/ ε - 3$ . Pour $ε = 0, 01$ , on trouve $N = 498$ : les termes $u_{498}, u_{499}, \dots$ sont tous dans $] 1, 99, 2, 01 [$ .

La suite géométrique $q^{n}$ , pour $0 < q < 1$ , tend vers 0. Posons $q = \frac{1}{1 + h}$ avec $h > 0$ . L'inégalité de Bernoulli (chapitre 1) donne $(1 + h)^{n} \geq 1 + nh > nh$ , donc $0 < q^{n} < \frac{1}{nh}$ . Soit $ε > 0$ ; pour $n \geq N > \frac{1}{h ε}$ , on a $q^{n} < ε$ . Donc $q^{n} \to 0$ . Pour $q = 0, 9$ et $ε = 1 0^{- 3}$ , la majoration donne $N > 1/ (0, 111 \times 1 0^{- 3}) \approx 9000$ , alors que le vrai rang est 66 ( $0, 9^{66} \approx 0, 000955$ ): la définition ne demande pas le meilleur rang, seulement un rang qui convient.

Explorateur de la définition ε–N

La suite u_n = 2 + (−1)^n·a/n converge vers 2. Choisissez la tolérance ε et l'amplitude a: le rang N(ε) à partir duquel tous les termes restent dans la bande ]2 − ε, 2 + ε[ se recalcule.

N(ε) = ⌊a/ε⌋ + 1

u_N

2.1875

|u_N − 2|

0.1875

Termes dans la bande (n ≤ 40)

Tolérance ε0.20

Amplitude a1.50

Exercice

Pour la suite $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ , déterminez le plus petit entier $N$ tel que $∣ u_{n} - 2 ∣ < 0, 01$ pour tout $n \geq N$ .

Premières propriétés

Démonstration. Supposons que $u_{n} \to ℓ$ et $u_{n} \to ℓ^{'}$ avec $ℓ \neq = ℓ^{'}$ , et posons $ε = ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ /2 > 0$ . Il existe $N_{1}$ tel que $∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε$ pour $n \geq N_{1}$ , et $N_{2}$ tel que $∣ u_{n} - ℓ^{'} ∣ < ε$ pour $n \geq N_{2}$ . Pour $n \geq max (N_{1}, N_{2})$ , l'inégalité triangulaire donne

∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ \leq ∣ ℓ - u_{n} ∣ + ∣ u_{n} - ℓ^{'} ∣ < 2 ε = ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣,

ce qui est absurde. Donc $ℓ = ℓ^{'}$ . $□$

Cette démonstration est le prototype de nombreux raisonnements du chapitre: on choisit $ε$ en fonction de la conclusion voulue, on prend le maximum des rangs, et l'inégalité triangulaire fait le reste.

Démonstration. Soit $u_{n} \to ℓ$ . Appliquons la définition avec $ε = 1$ : il existe $N$ tel que $∣ u_{n} - ℓ ∣ < 1$ , donc $∣ u_{n} ∣ < ∣ ℓ ∣ + 1$ , pour tout $n \geq N$ . Les termes d'indice inférieur à $N$ sont en nombre fini; posons $K = max (∣ u_{0} ∣, \dots, ∣ u_{N - 1} ∣, ∣ ℓ ∣ + 1)$ . Alors $∣ u_{n} ∣ \leq K$ pour tout $n$ . $□$

La réciproque est fausse: $u_{n} = (- 1)^{n}$ est bornée mais ne converge pas. En effet, si elle convergeait vers $ℓ$ , on aurait pour $ε = 1$ et $n$ assez grand $∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣ \leq ∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ + ∣ ℓ - u_{n} ∣ < 2$ , alors que $∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣ = 2$ pour tout $n$ . La suite $(- 1)^{n}$ est l'exemple type de suite sans limite: elle ne tend ni vers un réel ni vers l'infini.

Suites divergentes vers l'infini

Par exemple $n^{2} \to + \infty$ (prendre $N > ∣ A ∣$ ), et $q^{n} \to + \infty$ pour $q > 1$ (par l'inégalité de Bernoulli, $q^{n} \geq 1 + n (q - 1)$ ). Une suite qui tend vers l'infini n'est pas bornée; une suite non bornée ne tend pas forcément vers l'infini, comme le montre $u_{n} = (- 1)^{n} n$ .

Opérations sur les limites

Somme, produit, quotient

Démonstration (somme et produit). Soit $ε > 0$ . Il existe $N_{1}$ tel que $∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε /2$ pour $n \geq N_{1}$ et $N_{2}$ tel que $∣ v_{n} - ℓ^{'} ∣ < ε /2$ pour $n \geq N_{2}$ . Pour $n \geq N = max (N_{1}, N_{2})$ ,

∣(u_{n} + v_{n}) - (ℓ + ℓ^{'})∣ \leq ∣ u_{n} - ℓ ∣ + ∣ v_{n} - ℓ^{'} ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .

Pour le produit, on écrit $u_{n} v_{n} - ℓ ℓ^{'} = u_{n} (v_{n} - ℓ^{'}) + ℓ^{'} (u_{n} - ℓ)$ . La suite $(u_{n})$ est convergente, donc bornée (théorème 3.2): $∣ u_{n} ∣ \leq K$ pour tout $n$ . Alors

∣ u_{n} v_{n} - ℓ ℓ^{'} ∣ \leq K ∣ v_{n} - ℓ^{'} ∣ + ∣ ℓ^{'} ∣ ∣ u_{n} - ℓ ∣ .

Soit $ε > 0$ . À partir d'un certain rang, $∣ v_{n} - ℓ^{'} ∣ < \frac{ε}{2 K}$ et $∣ u_{n} - ℓ ∣ < \frac{ε}{2 (∣ ℓ ^{'} ∣ + 1 )}$ , donc $∣ u_{n} v_{n} - ℓ ℓ^{'} ∣ < ε$ . Le point 3 se démontre de même en écrivant $\frac{1}{v _{n}} - \frac{1}{ℓ ^{'}} = \frac{ℓ ^{'} - v _{n}}{v _{n} ℓ ^{'}}$ et en minorant $∣ v_{n} ∣$ par $∣ ℓ^{'} ∣ /2$ à partir d'un certain rang; le point 4 découle de $∣ u_{n} ∣ - ∣ ℓ ∣ \leq ∣ u_{n} - ℓ ∣$ . $□$

Ces règles s'étendent partiellement aux limites infinies: $u_{n} \to + \infty$ et $(v_{n})$ minorée impliquent $u_{n} + v_{n} \to + \infty$ ; $u_{n} \to + \infty$ et $v_{n} \to ℓ > 0$ impliquent $u_{n} v_{n} \to + \infty$ ; $u_{n} \to \pm \infty$ implique $1/ u_{n} \to 0$ . En revanche, certaines combinaisons ne permettent aucune conclusion.

Passage à la limite dans les inégalités et théorème des gendarmes

Démonstration. Si l'on avait $ℓ > ℓ^{'}$ , on poserait $ε = (ℓ - ℓ^{'}) /2$ ; pour $n$ assez grand, $u_{n} > ℓ - ε = ℓ^{'} + ε > v_{n}$ , contradiction. $□$

Attention: les inégalités strictes ne passent pas à la limite. On a $1/ n > 0$ pour tout $n$ , mais $lim 1/ n = 0$ , pas $> 0$ . Le passage à la limite transforme toujours une inégalité stricte en inégalité large.

Démonstration. Soit $ε > 0$ . Il existe $N$ tel que, pour $n \geq N$ , on ait simultanément $u_{n} \leq w_{n} \leq v_{n}$ , $ℓ - ε < u_{n}$ et $v_{n} < ℓ + ε$ . Alors $ℓ - ε < u_{n} \leq w_{n} \leq v_{n} < ℓ + ε$ , c'est-à-dire $∣ w_{n} - ℓ ∣ < ε$ . $□$

Le cas particulier le plus utile est le suivant: si $∣ w_{n} - ℓ ∣ \leq v_{n}$ avec $v_{n} \to 0$ , alors $w_{n} \to ℓ$ . Par exemple $\frac{sin n}{n} \to 0$ car $\frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$ , et $\frac{n !}{n ^{n}} \to 0$ car

0 < \frac{n !}{n ^{n}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \dots \frac{n}{n} \leq \frac{1}{n} .

Limites usuelles et croissances comparées

Démonstration (partielle). Le point 1 a été vu dans l'exemple 3.2 (cas $0 < q < 1$ , le cas $- 1 < q < 0$ s'en déduit par $∣ q^{n} ∣ = ∣ q ∣^{n}$ ) et à la section précédente. Pour le point 3, posons $h_{n} = n^{1/ n} - 1 \geq 0$ ; la formule du binôme donne $n = (1 + h_{n})^{n} \geq (2 n) h_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} h_{n}^{2}$ , donc $0 \leq h_{n} \leq 2/ (n - 1) \to 0$ et $n^{1/ n} \to 1$ par les gendarmes. Pour $\frac{n ^{a}}{q ^{n}}$ , on écrit $q = 1 + h$ et, pour $n$ assez grand, $(1 + h)^{n} \geq (k n) h^{k} \geq \frac{( n /2 ) ^{k} h ^{k}}{k !}$ avec un entier $k > a$ , d'où $\frac{n ^{a}}{q ^{n}} \leq \frac{k ! 2 ^{k}}{h ^{k}} n^{a - k} \to 0$ . Le point 4 est admis ici: il sera démontré au chapitre 6 avec les propriétés du logarithme; on peut aussi le voir comme conséquence des suites adjacentes de l'exemple 3.4. $□$

La règle mnémotechnique de (3.4): à l'infini, le logarithme est écrasé par les puissances, les puissances par les exponentielles, les exponentielles par la factorielle, et la factorielle par $n^{n}$ . Numériquement, $\frac{1 0 ^{10}}{2 ^{100}} \approx 8 \times 1 0^{- 21}$ , mais $\frac{n ^{2}}{2 ^{n}}$ vaut encore $0, 78$ pour $n = 5$ : la croissance comparée ne dit rien sur les premiers termes.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration du théorème des gendarmes.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Écrire, pour

n \geq N

, la chaîne

ℓ - ε < u_{n} \leq w_{n} \leq v_{n} < ℓ + ε

Choisir un rang

N

à partir duquel

∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε

∣ v_{n} - ℓ ∣ < ε

u_{n} \leq w_{n} \leq v_{n}

Fixer un réel

ε > 0

quelconque

Conclure que

(w_{n})

converge vers

ℓ

par la définition

En déduire

∣ w_{n} - ℓ ∣ < ε

pour tout

n \geq N

Suites monotones

Le théorème de la limite monotone

Les résultats précédents supposent la limite connue, ou au moins devinée. Le théorème suivant permet de prouver qu'une suite converge sans savoir vers quoi: c'est le premier résultat d'existence du cours, et il repose sur l'axiome de la borne supérieure du chapitre 1.

Démonstration. Soit $(u_{n})$ croissante et majorée. L'ensemble $E = {u_{n} : n \in N}$ est une partie non vide et majorée de $R$ ; par l'axiome de la borne supérieure, elle admet une borne supérieure $ℓ = sup E$ . Soit $ε > 0$ . Comme $ℓ - ε$ n'est pas un majorant de $E$ , il existe un indice $N$ tel que $u_{N} > ℓ - ε$ . Pour $n \geq N$ , la croissance donne $u_{n} \geq u_{N} > ℓ - ε$ , et par définition de $ℓ$ , $u_{n} \leq ℓ < ℓ + ε$ . Donc $∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε$ pour tout $n \geq N$ : $u_{n} \to ℓ$ . Le cas décroissant s'obtient en considérant $(- u_{n})$ . Enfin, si $(u_{n})$ est croissante et non majorée, pour tout $A$ il existe $N$ avec $u_{N} > A$ , et alors $u_{n} \geq u_{N} > A$ pour $n \geq N$ . $□$

Figure 3.2. La suite u_n = 1/0! + 1/1! + … + 1/n! est croissante et majorée par 3; elle converge vers sa borne supérieure, qui est le nombre e.

Suites adjacentes

Démonstration. La suite $(b_{n} - a_{n})$ est décroissante (différence d'une suite décroissante et d'une suite croissante) et tend vers 0, donc $b_{n} - a_{n} \geq 0$ pour tout $n$ (sinon, à partir d'un certain rang, elle resterait inférieure à un nombre strictement négatif). Ainsi $a_{n} \leq b_{n} \leq b_{0}$ : la suite $(a_{n})$ est croissante et majorée par $b_{0}$ , donc converge vers un réel $ℓ$ (théorème 3.7). De même $(b_{n})$ , décroissante et minorée par $a_{0}$ , converge vers $ℓ^{'}$ . Enfin $ℓ^{'} - ℓ = lim (b_{n} - a_{n}) = 0$ . L'encadrement $a_{n} \leq ℓ \leq b_{n}$ découle de $ℓ = sup a_{n} = in f b_{n}$ . $□$

L'intérêt pratique est l'encadrement: à chaque étape, on connaît une valeur par défaut et une valeur par excès de $ℓ$ , donc une borne d'erreur $b_{n} - a_{n}$ . Avec $a_{n} = \sum_{k \leq n} 1/ k!$ et $b_{n} = a_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}$ (exercice 3.3), on obtient $2, 7166 \leq e \leq 2, 7184$ dès $n = 5$ . C'est aussi le principe de la dichotomie, utilisée dans la démonstration du théorème de Bolzano–Weierstrass ci-dessous et dans celle du théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 5).

Exercice

La suite de Héron $u_{0} = 2$ , $u_{n + 1} = \frac{u _{n}^{2} + 2}{2 u _{n}}$ approche $2$ . Calculez $u_{2}$ (4 décimales).

Sous-suites et théorème de Bolzano–Weierstrass

Comme $φ$ est strictement croissante, on a $φ (n) \geq n$ pour tout $n$ (récurrence immédiate). Il en résulte que si $u_{n} \to ℓ$ , alors toute sous-suite tend aussi vers $ℓ$ : le rang $N$ qui convient pour $(u_{n})$ convient pour $(u_{φ (n)})$ . Réciproquement, si les sous-suites des termes pairs et des termes impairs tendent vers la même limite $ℓ$ , alors $u_{n} \to ℓ$ . Et si deux sous-suites ont des limites différentes, la suite diverge: c'est la façon la plus rapide de prouver que $(- 1)^{n}$ n'a pas de limite, puisque $u_{2 n} = 1$ et $u_{2 n + 1} = - 1$ .

Démonstration (par dichotomie). Soit $(u_{n})$ à valeurs dans $[a, b]$ . On construit par récurrence des intervalles emboîtés $I_{k} = [a_{k}, b_{k}]$ contenant chacun une infinité de termes de la suite. On pose $I_{0} = [a, b]$ . Si $I_{k}$ est construit, on le coupe en deux moitiés $[a_{k}, m_{k}]$ et $[m_{k}, b_{k}]$ avec $m_{k} = (a_{k} + b_{k}) /2$ ; l'une au moins contient $u_{n}$ pour une infinité d'indices $n$ , et on l'appelle $I_{k + 1}$ . Par construction, $(a_{k})$ est croissante, $(b_{k})$ est décroissante et $b_{k} - a_{k} = (b - a) / 2^{k} \to 0$ : les suites sont adjacentes et convergent vers un même réel $ℓ$ .

On extrait maintenant la sous-suite: on choisit $φ (0) = 0$ , puis, $I_{k + 1}$ contenant une infinité de termes, un indice $φ (k + 1) > φ (k)$ tel que $u_{φ (k + 1)} \in I_{k + 1}$ . Alors $a_{k} \leq u_{φ (k)} \leq b_{k}$ pour tout $k$ , et le théorème des gendarmes donne $u_{φ (k)} \to ℓ$ . $□$

Ce théorème, dû au mathématicien de Prague Bernard Bolzano (1817) et redécouvert par Karl Weierstrass, est le résultat de compacité fondamental de $R$ : il sera l'ingrédient clé du théorème de Weierstrass sur les fonctions continues (chapitre 5) et du critère de Cauchy ci-dessous.

Exercice

Quelles sont les valeurs d'adhérence de la suite $u_{n} = (- 1)^{n} + \frac{1}{n}$ ( $n \geq 1$ )?

Suites de Cauchy

La définition de la limite exige de connaître $ℓ$ . Cauchy a proposé un critère interne, qui ne fait intervenir que les termes de la suite: une suite converge si et seulement si ses termes finissent par être tous proches les uns des autres.

Démonstration. Sens direct. Soit $u_{n} \to ℓ$ et $ε > 0$ . Il existe $N$ tel que $∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε /2$ pour $n \geq N$ . Pour $m, n \geq N$ , l'inégalité triangulaire donne $∣ u_{m} - u_{n} ∣ \leq ∣ u_{m} - ℓ ∣ + ∣ ℓ - u_{n} ∣ < ε$ .

Sens réciproque. Soit $(u_{n})$ de Cauchy. Elle est bornée: avec $ε = 1$ , il existe $N$ tel que $∣ u_{n} - u_{N} ∣ < 1$ pour $n \geq N$ , et l'on conclut comme au théorème 3.2. Par Bolzano–Weierstrass, elle admet une sous-suite $(u_{φ (k)})$ convergeant vers un réel $ℓ$ . Montrons que toute la suite tend vers $ℓ$ . Soit $ε > 0$ ; il existe $N$ tel que $∣ u_{m} - u_{n} ∣ < ε /2$ pour $m, n \geq N$ , et $K$ tel que $∣ u_{φ (k)} - ℓ ∣ < ε /2$ pour $k \geq K$ . Pour $n \geq N$ , choisissons $k \geq K$ avec $φ (k) \geq N$ (possible car $φ (k) \geq k$ ); alors

∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ∣ u_{n} - u_{φ (k)} ∣ + ∣ u_{φ (k)} - ℓ ∣ < ε . □

Exercice

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie pour toute suite $(u_{n})$ de réels?

Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Les suites définies par une relation $u_{n + 1} = f (u_{n})$ sont omniprésentes: méthodes itératives (Newton, point fixe), modèles de population, filtres numériques, calcul du régime permanent d'un circuit échantillonné. Leur étude suit un plan en quatre points que nous illustrons sur l'exemple $f (x) = x + 2$ .

Points fixes et intervalle stable

Démonstration. L'appartenance $u_{n} \in I$ se montre par récurrence: $u_{0} \in I$ et, si $u_{n} \in I$ , alors $u_{n + 1} = f (u_{n}) \in f (I) \subset I$ . Si $u_{n} \to ℓ$ et $f$ est continue en $ℓ$ (notion précisée au chapitre 5; ici il suffit de savoir que $x_{n} \to ℓ$ implique $f (x_{n}) \to f (ℓ)$ ), alors $u_{n + 1} = f (u_{n}) \to f (ℓ)$ ; mais $(u_{n + 1})$ est une sous-suite de $(u_{n})$ , donc tend vers $ℓ$ . Par unicité de la limite, $f (ℓ) = ℓ$ . $□$

Ce résultat ne prouve pas la convergence: il dit seulement que, si la suite converge, sa limite est à chercher parmi les points fixes. La convergence elle-même vient en général du théorème de la limite monotone.

Monotonie: le signe de $f (x) - x$

Si $f$ est croissante sur l'intervalle stable $I$ , la suite est monotone, et son sens de variation est fixé par le premier pas: si $u_{1} \geq u_{0}$ , alors $u_{2} = f (u_{1}) \geq f (u_{0}) = u_{1}$ , et par récurrence $(u_{n})$ est croissante; si $u_{1} \leq u_{0}$ , elle est décroissante. Or $u_{1} - u_{0} = f (u_{0}) - u_{0}$ : le signe de $f (x) - x$ sur $I$ donne le sens de variation. La figure 3.3 montre cette dynamique: on reporte $u_{n}$ sur l'axe, on monte jusqu'au graphe de $f$ pour lire $u_{n + 1}$ , on revient sur la diagonale $y = x$ pour recommencer.

Figure 3.3. Itération graphique («toile d'araignée» ou escalier) de u_{n+1} = √(u_n + 2) à partir de u_0 = 0,1. Comme f est croissante et f(x) est supérieur à x sur [0, 2[, la suite monte en escalier vers le point fixe 2.

Exemple 3.5 · Étude complète de u_{n+1} = √(u_n + 2)

Soit $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ , c'est-à-dire $f (x) = x + 2$ sur $[- 2, + \infty [$ .

1. Points fixes. $f (ℓ) = ℓ$ avec $ℓ \geq 0$ équivaut à $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ , soit $(ℓ - 2) (ℓ + 1) = 0$ : le seul point fixe est $ℓ = 2$ (la racine $- 1$ est exclue car $\cdot \geq 0$ ).

2. Intervalle stable. Si $0 \leq x \leq 2$ , alors $2 \leq x + 2 \leq 4$ et $2 \leq f (x) \leq 2$ : l'intervalle $I = [0, 2]$ est stable, et $u_{n} \in [0, 2]$ pour tout $n$ . En particulier la suite est bornée.

3. Monotonie. Sur $[0, 2]$ , $f (x) - x = x + 2 - x \geq 0$ : en effet $x + 2 \geq x$ équivaut, pour $x \geq 0$ , à $x + 2 \geq x^{2}$ , soit $(2 - x) (1 + x) \geq 0$ , vrai sur $[0, 2]$ . Donc $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ : la suite est croissante.

4. Convergence. Croissante et majorée par 2, la suite converge (théorème 3.7) vers un réel $ℓ \in [0, 2]$ , qui est un point fixe de la fonction continue $f$ (théorème 3.11): $ℓ = 2$ .

Numériquement: $u_{1} = 1, 4142$ , $u_{2} = 1, 8478$ , $u_{3} = 1, 9616$ , $u_{4} = 1, 9904$ , $u_{8} = 1, 99996$ . On peut préciser la vitesse: $2 - u_{n + 1} = 2 - u_{n} + 2 = \frac{2 - u _{n}}{2 + u _{n} + 2} \leq \frac{2 - u _{n}}{2 + 2}$ , donc $0 \leq 2 - u_{n} \leq \frac{2}{( 2 + 2 ) ^{n}}$ : l'erreur est divisée par au moins $3, 4$ à chaque pas (convergence géométrique, dite linéaire).

La méthode de Héron

Le calcul de $a$ par la suite $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}})$ , connu de Héron d'Alexandrie et des Babyloniens, est l'exemple le plus ancien de méthode de Newton (chapitre 8): on remplace la courbe $y = x^{2} - a$ par sa tangente. Pour $u_{0} > 0$ , on trouve d'abord $u_{n} \geq a$ pour $n \geq 1$ , car

u_{n + 1} - a = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}}) - a = \frac{u _{n}^{2} - 2 a u _{n} + a}{2 u _{n}} = \frac{( u _{n} - a ) ^{2}}{2 u _{n}} \geq 0. (3.6)

Ensuite $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a - u _{n}^{2}}{2 u _{n}} \leq 0$ : la suite est décroissante à partir du rang 1 et minorée par $a$ , donc convergente, et sa limite $ℓ > 0$ vérifie $ℓ = \frac{1}{2} (ℓ + a / ℓ)$ , soit $ℓ = a$ . La formule (3.6) dit bien plus: comme $u_{n} \geq a$ ,

0 \leq u_{n + 1} - a \leq \frac{( u _{n} - a ) ^{2}}{2 a} .

L'erreur à l'étape $n + 1$ est de l'ordre du carré de l'erreur à l'étape $n$ : le nombre de décimales exactes double à chaque itération. Pour $a = 2$ et $u_{0} = 2$ , les erreurs successives valent $0, 59$ , $0, 086$ , $2, 5 \times 1 0^{- 3}$ , $2, 1 \times 1 0^{- 6}$ , $1, 6 \times 1 0^{- 12}$ : cinq itérations suffisent pour la précision d'un nombre flottant en double précision. C'est la convergence quadratique, incomparablement plus rapide que la convergence linéaire de l'exemple 3.5.

Synthèse

Une suite est une application $N \to R$ ; elle est définie explicitement ou par récurrence. Suites arithmétiques: $u_{n} = u_{0} + n r$ ; géométriques: $u_{n} = u_{0} q^{n}$ , somme $u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .
$u_{n} \to ℓ$ signifie: $\forall ε > 0$ , $\exists N$ , $\forall n \geq N$ , $∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε$ . La limite est unique et une suite convergente est bornée; la réciproque est fausse ( $(- 1)^{n}$ ).
Les limites se combinent par somme, produit, quotient; les inégalités larges passent à la limite; le théorème des gendarmes et les croissances comparées $ln n ≪ n^{a} ≪ q^{n} ≪ n! ≪ n^{n}$ lèvent les formes indéterminées.
Toute suite croissante majorée converge vers sa borne supérieure (conséquence de l'axiome de la borne supérieure); deux suites adjacentes convergent vers la même limite et l'encadrent.
Bolzano–Weierstrass: toute suite bornée a une sous-suite convergente. Critère de Cauchy: dans $R$ , convergente $⟺$ de Cauchy ( $R$ est complet, $Q$ ne l'est pas).
Suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ : points fixes, intervalle stable, signe de $f (x) - x$ , limite monotone. La méthode de Héron converge quadratiquement vers $a$ .

Série d'exercices du chapitre 3

Exercice 1 sur 5

Exercice

Que vaut $lim_{n \to \infty} \frac{3 n ^{2} - n}{n ^{2} + 1}$ ?

Problème guidé

Étude complète d'une suite récurrente

On considère la suite définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}^{2} + 2}{2 u _{n}}$ , c'est-à-dire $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec $f (x) = \frac{x ^{2} + 2}{2 x}$ sur $] 0, + \infty [$ . On veut établir sa convergence et identifier sa limite.

1
Premiers termes
Calculez numériquement les premiers termes pour deviner le comportement de la suite.
Exercice
Calculez $u_{1}$ .
Points fixes
Position par rapport au point fixe et monotonie
Conclusion

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 3.1 · Calculs de limites

Déterminer la limite (finie ou infinie), ou montrer l'absence de limite, de chacune des suites suivantes.

$u_{n} = \frac{3 n ^{2} - n}{n ^{2} + 1}$ ;
$u_{n} = n + 1 - n$ ;
$u_{n} = \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{3 ^{n} - 1}$ ;
$u_{n} = \frac{n ^{2} + ( - 1 ) ^{n} n}{n + 2}$ ;
$u_{n} = \frac{n cos ( n )}{n ^{2} + 1}$ ;
$u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} n}{n + 1}$ .

Pour la suite 2, prouver ensuite la convergence directement avec la définition ε–N en donnant explicitement un rang $N (ε)$ .

Solution

1. On factorise le terme dominant: $u_{n} = \frac{n ^{2} ( 3 - 1/ n )}{n ^{2} ( 1 + 1/ n ^{2} )} = \frac{3 - 1/ n}{1 + 1/ n ^{2}} \to 3$ .

2. Forme $\infty - \infty$ ; on multiplie par la quantité conjuguée:

u_{n} = \frac{( n + 1 ) - n}{n + 1 + n} = \frac{1}{n + 1 + n} \leq \frac{1}{2 n} \to 0.

Preuve par la définition. Soit $ε > 0$ . On a $0 < u_{n} \leq \frac{1}{2 n} < ε$ dès que $n > \frac{1}{2 ε}$ , c'est-à-dire $n > \frac{1}{4 ε ^{2}}$ . Le rang $N = ⌊ \frac{1}{4 ε ^{2}} ⌋ + 1$ convient: pour tout $n \geq N$ , $∣ u_{n} - 0 ∣ < ε$ . Pour $ε = 1 0^{- 2}$ , $N = 2501$ ; en réalité $u_{2500} = 2501 - 50 \approx 0, 009999$ , très proche de la borne.

3. On divise numérateur et dénominateur par $3^{n}$ : $u_{n} = \frac{( 2/3 ) ^{n} + 1}{1 - 3 ^{- n}} \to \frac{0 + 1}{1 - 0} = 1$ , car $(2/3)^{n} \to 0$ et $3^{- n} \to 0$ (suites géométriques de raison dans $] 0, 1 [$ ).

4. Comme $(- 1)^{n} n \geq - n$ , on a $u_{n} \geq \frac{n ^{2} - n}{n + 2} = \frac{n ( n - 1 )}{n + 2}$ . Or $\frac{n ( n - 1 )}{n + 2} = \frac{n ^{2} ( 1 - 1/ n )}{n ( 1 + 2/ n )} = n \frac{1 - 1/ n}{1 + 2/ n} \geq \frac{n}{4}$ pour $n \geq 2$ , qui tend vers $+ \infty$ . Par comparaison, $u_{n} \to + \infty$ : le terme oscillant $(- 1)^{n} n$ est négligeable devant $n^{2}$ .

5. $∣ u_{n} ∣ = \frac{n ∣ cos n ∣}{n ^{2} + 1} \leq \frac{n}{n ^{2} + 1} \leq \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n} \to 0$ . Par le théorème des gendarmes, $u_{n} \to 0$ .

6. La sous-suite des termes pairs vérifie $u_{2 n} = \frac{2 n}{2 n + 1} \to 1$ , celle des termes impairs $u_{2 n + 1} = - \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \to - 1$ . Deux sous-suites ayant des limites différentes, la suite n'a pas de limite. Elle est bornée ( $∣ u_{n} ∣ < 1$ ) et possède exactement deux valeurs d'adhérence, $- 1$ et $1$ ; on a $lim sup u_{n} = 1$ et $lim inf u_{n} = - 1$ .

Exercice 3.2 · Accumulation d'un médicament (suite arithmético-géométrique)

Un patient reçoit chaque matin une dose de 3 mg d'un médicament; en 24 heures, l'organisme en élimine 20 %. On note $u_{n}$ la quantité (en mg) présente dans l'organisme juste après la $n$ -ième prise, avec $u_{0} = 3$ .

Justifier que $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 3$ et calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ .
Déterminer le réel $ℓ$ tel que $ℓ = 0, 8 ℓ + 3$ , puis montrer que la suite $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est géométrique.
En déduire l'expression explicite de $u_{n}$ , sa monotonie et sa limite. Interpréter.
À partir de quelle prise la quantité dépasse-t-elle 14 mg?

Solution

1. Entre deux prises, l'organisme élimine 20 % de la quantité présente: il en reste $0, 8 u_{n}$ juste avant la prise suivante, à laquelle s'ajoutent 3 mg. Donc $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 3$ . Avec $u_{0} = 3$ : $u_{1} = 2, 4 + 3 = 5, 4$ , $u_{2} = 4, 32 + 3 = 7, 32$ , $u_{3} = 5, 856 + 3 = 8, 856$ mg.

2. $ℓ = 0, 8 ℓ + 3 ⟺ 0, 2 ℓ = 3 ⟺ ℓ = 15$ . En soustrayant $ℓ = 0, 8 ℓ + 3$ de la relation de récurrence, on obtient $u_{n + 1} - ℓ = 0, 8 (u_{n} - ℓ)$ , c'est-à-dire $v_{n + 1} = 0, 8 v_{n}$ : la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 8$ et de premier terme $v_{0} = u_{0} - 15 = - 12$ .

3. $v_{n} = - 12 \times 0, 8^{n}$ , donc

u_{n} = 15 - 12 \times 0, 8^{n} .

On vérifie: $u_{3} = 15 - 12 \times 0, 512 = 8, 856$ . La suite est croissante puisque $u_{n + 1} - u_{n} = 12 \times 0, 8^{n} \times (1 - 0, 8) = 2, 4 \times 0, 8^{n} > 0$ , majorée par 15, et $u_{n} \to 15$ car $0, 8^{n} \to 0$ . Interprétation: la quantité de médicament tend vers un régime permanent de 15 mg, niveau pour lequel l'élimination journalière ( $20 %$ de 15 mg $= 3$ mg) compense exactement la dose. Ce niveau ne dépend pas de $u_{0}$ : seule la vitesse d'approche en dépend.

4. $u_{n} > 14 ⟺ 12 \times 0, 8^{n} < 1 ⟺ 0, 8^{n} < \frac{1}{12} ⟺ n ln 0, 8 < - ln 12 ⟺ n > \frac{ln 12}{ln 1 , 25} \approx 11, 14$ . Donc $n \geq 12$ : à partir de la douzième prise après la première (la treizième au total), la quantité dépasse 14 mg. Vérification: $u_{11} \approx 13, 97$ mg et $u_{12} \approx 14, 18$ mg.

Exercice 3.3 · Suites adjacentes et nombre e

Pour $n \geq 1$ , on pose $a_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !}$ et $b_{n} = a_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}$ .

Montrer que $(a_{n})$ est croissante et que $(b_{n})$ est décroissante (pour la seconde, calculer $b_{n + 1} - b_{n}$ et réduire au même dénominateur).
Montrer que $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont adjacentes; on note $e$ leur limite commune.
Déterminer le plus petit $n$ tel que $b_{n} - a_{n} < 1 0^{- 3}$ et donner l'encadrement de $e$ correspondant.
(Plus difficile.) En supposant $e = p / q$ avec $p, q \in N^{*}$ , utiliser l'encadrement strict $a_{q} < e < b_{q}$ multiplié par $q \cdot q!$ pour aboutir à une contradiction. Conclure que $e$ est irrationnel.

Solution

1. $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{( n + 1 )!} > 0$ : $(a_{n})$ est strictement croissante. Pour $(b_{n})$ ,

b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{( n + 1 )!} + \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 1 )!} - \frac{1}{n n !} .

Comme $(n + 1)! = (n + 1) n!$ , on a $\frac{1}{n n !} = \frac{n + 1}{n ( n + 1 )!}$ . Le dénominateur commun est $n (n + 1) (n + 1)!$ et le numérateur vaut

n (n + 1) + n - (n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n - n^{2} - 2 n - 1 = - 1,

donc $b_{n + 1} - b_{n} = - \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 1 )!} < 0$ : $(b_{n})$ est strictement décroissante.

2. $b_{n} - a_{n} = \frac{1}{n n !} \to 0$ puisque $n n! \geq n \to + \infty$ . Les deux suites sont adjacentes (théorème 3.8), donc convergent vers une même limite, notée $e$ , et $a_{n} < e < b_{n}$ pour tout $n \geq 1$ (inégalités strictes car les suites sont strictement monotones).

3. $b_{n} - a_{n} = \frac{1}{n n !}$ : pour $n = 5$ , $\frac{1}{5 \times 120} = \frac{1}{600} \approx 1, 67 \times 1 0^{- 3}$ ; pour $n = 6$ , $\frac{1}{6 \times 720} = \frac{1}{4320} \approx 2, 31 \times 1 0^{- 4} < 1 0^{- 3}$ . Le plus petit rang est $n = 6$ , avec

a_{6} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} = \frac{1957}{720} \approx 2, 71806, b_{6} = a_{6} + \frac{1}{4320} \approx 2, 71829,

d'où $2, 7180 < e < 2, 7183$ . (Valeur exacte: $e = 2, 7182818 \dots$ )

4. Supposons $e = p / q$ avec $p, q$ entiers strictement positifs. D'après la question 2, $a_{q} < e < b_{q}$ . Multiplions par $q q!$ :

q q! a_{q} < q q! e < q q! a_{q} + 1.

Or $q! a_{q} = \sum_{k = 0}^{q} \frac{q !}{k !}$ est un entier (chaque quotient $q! / k!$ est entier pour $k \leq q$ ), donc $A = q q! a_{q}$ est un entier; et $q q! e = q! p$ est aussi un entier. On aurait donc un entier strictement compris entre les entiers consécutifs $A$ et $A + 1$ , ce qui est impossible. Par conséquent $e$ est irrationnel. (Cette preuve est due à Fourier; Euler avait déjà établi l'irrationalité de $e$ en 1737 par les fractions continues.)

Exercice 3.4 · Division sans diviseur

Les processeurs calculent souvent l'inverse $1/ a$ d'un nombre $a > 0$ sans effectuer de division, par la suite $u_{n + 1} = u_{n} (2 - a u_{n})$ (méthode de Newton appliquée à $g (x) = 1/ x - a$ ).

Déterminer les points fixes de $f (x) = x (2 - a x)$ .
Montrer que $1 - a u_{n + 1} = (1 - a u_{n})^{2}$ pour tout $n$ , et en déduire l'expression explicite de $1 - a u_{n}$ en fonction de $1 - a u_{0}$ et de $n$ .
Montrer que si $0 < u_{0} < 2/ a$ , alors $u_{n} \to 1/ a$ . Que se passe-t-il si $u_{0} > 2/ a$ ?
Pour $a = 3$ et $u_{0} = 0, 5$ , calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ et le nombre de chiffres exacts à chaque étape. Quel type de convergence observe-t-on?

Solution

1. $f (x) = x ⟺ x (2 - a x) = x ⟺ x (1 - a x) = 0$ : les points fixes sont $0$ et $\frac{1}{a}$ .

2. $1 - a u_{n + 1} = 1 - a u_{n} (2 - a u_{n}) = 1 - 2 a u_{n} + a^{2} u_{n}^{2} = (1 - a u_{n})^{2}$ . En posant $e_{n} = 1 - a u_{n}$ , on a $e_{n + 1} = e_{n}^{2}$ , d'où par récurrence immédiate

e_{n} = e_{0}^{2^{n}}, c’est- \overset{a}{ˋ} -dire 1 - a u_{n} = (1 - a u_{0})^{2^{n}} .

3. Si $0 < u_{0} < 2/ a$ , alors $0 < a u_{0} < 2$ et $- 1 < e_{0} < 1$ , donc $∣ e_{0} ∣ < 1$ et $e_{n} = e_{0}^{2^{n}} \to 0$ (sous-suite de la suite géométrique $∣ e_{0} ∣^{m} \to 0$ ). Ainsi $a u_{n} \to 1$ , soit $u_{n} \to \frac{1}{a}$ . Si $u_{0} > 2/ a$ , alors $e_{0} < - 1$ , $∣ e_{0} ∣ > 1$ et $e_{n} = ∣ e_{0} ∣^{2^{n}} \to + \infty$ (l'exposant $2^{n}$ est pair dès $n \geq 1$ ): $u_{n} = (1 - e_{n}) / a \to - \infty$ . La méthode diverge; il faut donc choisir $u_{0}$ dans $] 0, 2/ a [$ , ce que les processeurs font à l'aide d'une petite table d'initialisation.

4. Pour $a = 3$ et $u_{0} = 0, 5$ : $e_{0} = 1 - 1, 5 = - 0, 5$ .

$n$	$u_{n}$	$e_{n} = 1 - 3 u_{n}$	Chiffres exacts de $1/3$
0	0,5	$- 0, 5$	0
1	0,25	$0, 25$	0
2	0,3125	$0, 0625$	1
3	$0, 33203125$	$3, 9 \times 1 0^{- 3}$	2
4	$0, 333328247$	$1, 5 \times 1 0^{- 5}$	4
5	$0, 33333333326$	$2, 3 \times 1 0^{- 10}$	9

L'erreur est élevée au carré à chaque itération: le nombre de chiffres exacts double approximativement d'une étape à l'autre. C'est la convergence quadratique de la méthode de Newton, la même que celle de la méthode de Héron (section 8 du chapitre). Aucune division n'est nécessaire: seulement deux multiplications et une soustraction par itération.

Exercice 3.5 · Lemme de Cesàro

Soit $(u_{n})_{n \geq 1}$ une suite convergeant vers $ℓ$ . On pose $m_{n} = \frac{u _{1} + u _{2} + \dots + u _{n}}{n}$ (moyenne arithmétique des $n$ premiers termes).

Démontrer que $m_{n} \to ℓ$ . Indication: fixer $ε > 0$ , choisir $N$ tel que $∣ u_{k} - ℓ ∣ < ε /2$ pour $k > N$ , puis découper la somme $\sum_{k = 1}^{n} (u_{k} - ℓ)$ en les indices $k \leq N$ et $k > N$ .
Montrer par un exemple que la réciproque est fausse: trouver une suite divergente dont la moyenne de Cesàro converge.
Application: en déduire que si $v_{n + 1} - v_{n} \to ℓ$ , alors $\frac{v _{n}}{n} \to ℓ$ .
Soit $(v_{n})$ définie par $v_{0} = 1$ et $v_{n + 1} = v_{n} + \frac{1}{v _{n}}$ . Montrer que $(v_{n})$ est croissante et tend vers $+ \infty$ , puis que $v_{n + 1}^{2} - v_{n}^{2} \to 2$ . En déduire $\frac{v _{n}^{2}}{n} \to 2$ , c'est-à-dire $v_{n} \approx 2 n$ pour $n$ grand.

Solution

1. Soit $ε > 0$ . Comme $u_{n} \to ℓ$ , il existe $N$ tel que $∣ u_{k} - ℓ ∣ < ε /2$ pour tout $k > N$ . Pour $n > N$ , écrivons

m_{n} - ℓ = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (u_{k} - ℓ) = A_{n} \frac{1}{n} k = 1 \sum N (u_{k} - ℓ) + B_{n} \frac{1}{n} k = N + 1 \sum n (u_{k} - ℓ) .

Le second morceau est petit: $∣ B_{n} ∣ \leq \frac{1}{n} \sum_{k = N + 1}^{n} ∣ u_{k} - ℓ ∣ < \frac{n - N}{n} \cdot \frac{ε}{2} \leq \frac{ε}{2}$ . Le premier morceau a un numérateur fixe: posons $C = \sum_{k = 1}^{N} ∣ u_{k} - ℓ ∣$ (constante indépendante de $n$ ); alors $∣ A_{n} ∣ \leq C / n$ , qui tend vers 0, donc il existe $N^{'}$ tel que $C / n < ε /2$ pour $n \geq N^{'}$ . Pour $n \geq max (N + 1, N^{'})$ , on obtient $∣ m_{n} - ℓ ∣ \leq ∣ A_{n} ∣ + ∣ B_{n} ∣ < ε$ . Ainsi $m_{n} \to ℓ$ . $□$

2. Prenons $u_{n} = (- 1)^{n}$ , qui diverge. La somme $u_{1} + \dots + u_{n}$ vaut $- 1$ si $n$ est impair et $0$ si $n$ est pair, donc $∣ m_{n} ∣ \leq \frac{1}{n} \to 0$ : la moyenne de Cesàro converge vers 0. La réciproque du lemme est donc fausse; la moyenne «lisse» les oscillations.

3. Posons $u_{k} = v_{k + 1} - v_{k}$ pour $k \geq 1$ ; par hypothèse $u_{k} \to ℓ$ . La somme est télescopique: $u_{1} + \dots + u_{n} = v_{n + 1} - v_{1}$ , donc par la question 1

\frac{v _{n + 1} - v _{1}}{n} \to ℓ, d’o \overset{u}{ˋ} \frac{v _{n + 1}}{n} = \frac{v _{n + 1} - v _{1}}{n} + \frac{v _{1}}{n} \to ℓ .

Enfin $\frac{v _{n}}{n} = \frac{v _{n}}{n - 1} \cdot \frac{n - 1}{n}$ avec $\frac{v _{n}}{n - 1} \to ℓ$ (c'est la suite précédente décalée) et $\frac{n - 1}{n} \to 1$ , donc $\frac{v _{n}}{n} \to ℓ$ .

4. Croissance et divergence. Par récurrence, $v_{n} > 0$ pour tout $n$ (si $v_{n} > 0$ , alors $v_{n + 1} = v_{n} + 1/ v_{n} > 0$ ). Donc $v_{n + 1} - v_{n} = 1/ v_{n} > 0$ : la suite est strictement croissante. Si elle était majorée, elle convergerait vers un réel $L \geq v_{0} = 1 > 0$ vérifiant, par passage à la limite dans la relation de récurrence, $L = L + 1/ L$ , c'est-à-dire $1/ L = 0$ : absurde. Donc $(v_{n})$ est croissante non majorée et $v_{n} \to + \infty$ (théorème 3.7).

Différence des carrés. En élevant au carré, $v_{n + 1}^{2} = v_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{v _{n}^{2}}$ , donc $v_{n + 1}^{2} - v_{n}^{2} = 2 + \frac{1}{v _{n}^{2}} \to 2$ puisque $v_{n} \to + \infty$ .

Conclusion. La question 3 appliquée à la suite $(v_{n}^{2})$ , dont les accroissements tendent vers $ℓ = 2$ , donne $\frac{v _{n}^{2}}{n} \to 2$ . Autrement dit $\frac{v _{n}}{2 n} \to 1$ : pour $n$ grand, $v_{n} \approx 2 n$ . Numériquement, $v_{5} \approx 3, 553$ et $10 \approx 3, 162$ ; l'écart relatif diminue lentement, car $v_{n}^{2} - 2 n$ croît encore, de l'ordre de $ln n$ (le quotient $v_{n}^{2} / n$ vaut $2, 52$ pour $n = 5$ , $2, 040$ pour $n = 100$ et $2, 005$ pour $n = 1000$ ).

Références

Douchet, J., Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Liret, F., Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Ramis, E., Deschamps, C., Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, tome 3: Topologie et éléments d'analyse, Masson, Paris.
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, New York (chapitre 3, Numerical Sequences and Series).
Spivak, M., Calculus, Cambridge University Press (chapitre 22, Infinite Sequences).
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, volume 1, De Boeck, Bruxelles.

Objectifs du chapitre

Suites: définitions et premiers exemples

Suites explicites et suites récurrentes

Suites arithmétiques et géométriques

Suites bornées, suites monotones

Limite d'une suite

La définition ε–N

Explorateur de la définition ε–N

Premières propriétés

Suites divergentes vers l'infini

Opérations sur les limites

Somme, produit, quotient

Passage à la limite dans les inégalités et théorème des gendarmes

Limites usuelles et croissances comparées

Suites monotones

Le théorème de la limite monotone

Suites adjacentes

Sous-suites et théorème de Bolzano–Weierstrass

Suites de Cauchy

Suites récurrentes un+1​=f(un​)

Points fixes et intervalle stable

Monotonie: le signe de f(x)−x

La méthode de Héron

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 3

Étude complète d'une suite récurrente

Premiers termes

Points fixes

Position par rapport au point fixe et monotonie

Conclusion

Exercices

Références

Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Monotonie: le signe de $f (x) - x$