Théorèmes du calcul différentiel · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

déterminer les extrema locaux et globaux d'une fonction dérivable sur un intervalle, et résoudre un problème d'optimisation issu de l'ingénierie;
énoncer et démontrer les théorèmes de Rolle et des accroissements finis, et en expliquer le sens géométrique et cinématique;
utiliser le signe de la dérivée pour établir la monotonie d'une fonction et démontrer des inégalités;
calculer des limites de formes indéterminées avec la règle de l'Hospital, en connaissant ses hypothèses et ses pièges;
caractériser la convexité par la dérivée seconde, situer les points d'inflexion et appliquer la méthode de Newton;
mener l'étude complète d'une fonction: domaine, limites, asymptotes, tableau de variation, convexité et graphe.

Extrema d'une fonction

Le chapitre 7 a introduit la dérivée comme pente de la tangente. Ce chapitre en tire les conséquences globales: si l'on connaît la dérivée en chaque point, que peut-on dire de la fonction sur tout un intervalle? Les réponses (Rolle, accroissements finis, monotonie, convexité) forment l'ossature du calcul différentiel et alimentent des outils quotidiens de l'ingénieur: optimiser une forme, borner une erreur, résoudre une équation par la méthode de Newton, tracer une courbe.

Extrema locaux et globaux

Un extremum global est en particulier local, mais la réciproque est fausse: la fonction $x \mapsto x^{3} - 3 x$ possède un maximum local en $- 1$ et un minimum local en $1$ , mais n'est bornée ni supérieurement ni inférieurement sur $R$ . Rappelons le résultat clé du chapitre 7, qui relie extremum et dérivée.

Démonstration. Supposons que $f$ admet un maximum local en $x_{0}$ . Pour $h > 0$ assez petit, $x_{0} + h \in I$ et $f (x_{0} + h) - f (x_{0}) \leq 0$ , donc le taux d'accroissement $\frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ est négatif ou nul; sa limite à droite $f^{'} (x_{0})$ vérifie $f^{'} (x_{0}) \leq 0$ . Pour $h < 0$ , le numérateur est encore négatif ou nul mais le dénominateur est négatif: le taux est positif ou nul, d'où $f^{'} (x_{0}) \geq 0$ par passage à la limite à gauche. Comme $f$ est dérivable en $x_{0}$ , les deux limites coïncident et $f^{'} (x_{0}) = 0$ . Le cas du minimum se traite en remplaçant $f$ par $- f$ . $□$

Recherche des extrema sur un segment

Le théorème de Weierstrass (chapitre 5) affirme qu'une fonction continue sur un segment $[a, b]$ y atteint un maximum et un minimum. Combiné au théorème de Fermat, il fournit une méthode systématique.

Exemple 8.2 · Poutre de résistance maximale taillée dans un rondin

On taille dans un tronc cylindrique de diamètre $d$ une poutre de section rectangulaire, de largeur $b$ et de hauteur $h$ . En résistance des matériaux, le moment fléchissant admissible d'une telle poutre est proportionnel à $b h^{2}$ . Quelles dimensions maximisent la résistance?

La section est inscrite dans le cercle de diamètre $d$ : $b^{2} + h^{2} = d^{2}$ . On exprime la quantité à maximiser en fonction de $b$ seul: $R (b) = b (d^{2} - b^{2}) = d^{2} b - b^{3}$ pour $b \in [0, d]$ , avec $R (0) = R (d) = 0$ . Alors $R^{'} (b) = d^{2} - 3 b^{2}$ s'annule en $b = d / 3$ , et $R^{''} = - 6 b < 0$ : c'est le maximum. On obtient

b = \frac{d}{3} \approx 0, 577 d, h = d^{2} - b^{2} = d \frac{2}{3} \approx 0, 816 d, \frac{h}{b} = 2 .

Pour un rondin de 30 cm, la poutre optimale mesure $17, 3 \times 24, 5$ cm. Une section carrée ( $b = h = d / 2$ ) donnerait $b h^{2} = d^{3} / (22) \approx 0, 354 d^{3}$ contre $0, 385 d^{3}$ pour l'optimum, soit 8 % de résistance en moins. Ce rapport $h / b = 2$ est connu depuis Parent (1708) et se retrouve dans les traités de charpente.

Exemple 8.3 · Réservoir cylindrique de coût minimal

Un réservoir cylindrique fermé doit contenir $V = 10 m^{3}$ . La tôle coûte le même prix au mètre carré pour le fond, le couvercle et la paroi. Quelles dimensions minimisent le coût?

Notons $r$ le rayon et $h$ la hauteur. La contrainte $π r^{2} h = V$ donne $h = V / (π r^{2})$ et la surface totale vaut

S (r) = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r^{2} + \frac{2 V}{r}, r \in] 0, + \infty [.

L'intervalle n'est pas un segment: on ne peut pas invoquer Weierstrass. On étudie le signe de $S^{'} (r) = 4 π r - 2 V / r^{2} = \frac{2 ( 2 π r ^{3} - V )}{r ^{2}}$ , négatif puis positif de part et d'autre de $r^{*} = (\frac{V}{2 π})^{1/3}$ : $S$ décroît puis croît, et $r^{*}$ est bien le minimum global. On vérifie $S (r) \to + \infty$ en $0^{+}$ et en $+ \infty$ , ce qui confirme le tableau. La hauteur optimale est $h^{*} = V / (π r^{* 2}) = 2 r^{*}$ : la hauteur égale le diamètre. Pour $V = 10 m^{3}$ , $r^{*} \approx 1, 168$ m, $h^{*} \approx 2, 335$ m et $S \approx 25, 7 m^{2}$ . Les cuves industrielles s'écartent souvent de cette proportion parce que le fond et le couvercle sont plus chers que la paroi; le problème guidé en fin de chapitre reprend ce calcul pour une boîte de conserve.

Exercice

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x$ sur le segment $[- 2, 3]$ . Où $f$ atteint-elle son maximum global?

Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Le théorème de Rolle

Démonstration. Par le théorème de Weierstrass, $f$ atteint sur $[a, b]$ un minimum $m$ et un maximum $M$ . Si $m = M$ , la fonction est constante et $f^{'}$ est nulle partout sur $] a, b [$ : n'importe quel $c$ convient. Sinon $m < M$ , et l'une au moins des deux valeurs diffère de la valeur commune $f (a) = f (b)$ ; elle est donc atteinte en un point $c$ qui n'est ni $a$ ni $b$ , c'est-à-dire en un point intérieur. En ce point, $f$ est dérivable et possède un extremum local: le théorème de Fermat donne $f^{'} (c) = 0$ . $□$

Figure 8.1. Théorème de Rolle: la fonction prend la même valeur aux extrémités a et b du segment; quelque part entre les deux, la tangente est horizontale.

Michel Rolle (1652–1719) a énoncé ce résultat pour les polynômes; la forme générale que nous utilisons date du XIXᵉ siècle. Chacune des trois hypothèses est indispensable: la fonction $x \mapsto ∣ x ∣$ sur $[- 1, 1]$ vérifie $f (- 1) = f (1)$ et est continue, mais sa dérivée ne s'annule nulle part, faute de dérivabilité en $0$ ; la fonction valant $x$ sur $[0, 1 [$ et $0$ en $1$ vérifie $f (0) = f (1)$ et est dérivable sur $] 0, 1 [$ , mais elle n'est pas continue en $1$ et $f^{'} = 1$ partout.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration du théorème de Rolle (cas où $f$ n'est pas constante).

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

c

, la fonction est dérivable et admet un extremum local

Par Weierstrass,

f

continue sur

[a, b]

atteint son minimum

m

et son maximum

M

Comme

f

n'est pas constante,

m < M

, donc l'une des deux valeurs diffère de

f (a) = f (b)

Par le théorème de Fermat,

f^{'} (c) = 0

Cette valeur extrême est atteinte en un point

c

distinct de

a

et de

b

, donc intérieur

Le théorème des accroissements finis

Le théorème de Rolle traite d'une corde horizontale. En «redressant» le graphe, on obtient l'énoncé général: entre $a$ et $b$ , il existe un point où la tangente est parallèle à la corde.

Démonstration. Considérons la fonction auxiliaire $g (x) = f (x) - f (a) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} (x - a)$ , différence entre $f$ et la fonction affine dont le graphe est la corde. Elle est continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ , et $g (a) = 0 = g (b)$ par construction. Le théorème de Rolle fournit $c \in] a, b [$ tel que $g^{'} (c) = 0$ , c'est-à-dire $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ . $□$

Figure 8.2. Théorème des accroissements finis: la corde joignant (a, f(a)) à (b, f(b)) a pour pente le taux d'accroissement moyen; il existe au moins un point c où la tangente lui est parallèle. Ici il y en a deux, ce qui rappelle que c n'est pas unique.

Le théorème se lit en cinématique. Si $x (t)$ est la position d'un train entre Lausanne et Genève, le quotient $\frac{x ( b ) - x ( a )}{b - a}$ est sa vitesse moyenne sur le trajet, et $x^{'} (c)$ sa vitesse instantanée à l'instant $c$ : à un instant au moins, la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne. Un radar tronçon exploite exactement cet argument: si la vitesse moyenne mesurée entre deux portiques dépasse la limite, le conducteur l'a nécessairement dépassée à un instant donné.

Exercice

Pour $f (x) = x^{3}$ sur $[0, 2]$ , déterminez la valeur $c \in] 0, 2 [$ donnée par le théorème des accroissements finis.

Inégalité des accroissements finis

En pratique, on connaît rarement le point $c$ ; ce qui importe, c'est qu'il existe et que $f^{'} (c)$ soit contrôlée par une borne de $f^{'}$ .

Démonstration. D'après (8.1), $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ avec $c \in] a, b [$ , et $∣ f^{'} (c)∣ \leq M$ ; on multiplie par $b - a > 0$ . L'encadrement s'obtient de même à partir de $m \leq f^{'} (c) \leq M$ . $□$

Cette inégalité est l'outil de base pour majorer une erreur: si une mesure $x$ est connue à $ε$ près, la grandeur $f (x)$ est connue à $M ε$ près, où $M$ borne $∣ f^{'} ∣$ sur l'intervalle d'incertitude. Elle intervient aussi dans l'étude des suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$ du chapitre 3: si $∣ f^{'} ∣ \leq k < 1$ , alors $∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ \leq k ∣ u_{n} - ℓ ∣$ et la suite converge géométriquement vers le point fixe $ℓ$ .

Applications: fonctions constantes, monotonie, inégalités

Démonstration. Soient $x_{1} < x_{2}$ dans $I$ . Le théorème des accroissements finis appliqué sur $[x_{1}, x_{2}]$ donne $c \in] x_{1}, x_{2} [$ (donc intérieur à $I$ ) avec $f (x_{2}) - f (x_{1}) = f^{'} (c) (x_{2} - x_{1})$ . Si $f^{'} = 0$ , la différence est nulle: $f (x_{1}) = f (x_{2})$ pour tout couple, et $f$ est constante (point 1). Si $f^{'} \geq 0$ , la différence est positive ou nulle: $f$ est croissante; si $f^{'} > 0$ , elle est strictement positive: $f$ est strictement croissante (points 2 et 3, sens direct). Réciproquement, si $f$ est croissante et $x_{0}$ intérieur, les taux d'accroissement $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ sont tous positifs ou nuls, donc leur limite $f^{'} (x_{0})$ aussi. $□$

Le point 1 a une conséquence fondamentale: deux fonctions de même dérivée sur un intervalle diffèrent d'une constante. C'est ce qui rend les primitives du chapitre 10 uniques à une constante près. Le point 2 justifie le tableau de variation de la section 6. Enfin, la monotonie est la méthode la plus courante pour établir des inégalités.

Exemple 8.4 · Trois inégalités classiques

(a) $sin x \leq x$ pour $x \geq 0$ . Posons $g (x) = x - sin x$ . Alors $g (0) = 0$ et $g^{'} (x) = 1 - cos x \geq 0$ : $g$ est croissante sur $[0, + \infty [$ , donc $g (x) \geq g (0) = 0$ . On a même $∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣$ pour tout réel $x$ par imparité.

(b) $ln (1 + x) \leq x$ pour $x > - 1$ . Posons $g (x) = x - ln (1 + x)$ . Alors $g (0) = 0$ et $g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x}$ , négative sur $] - 1, 0 [$ et positive sur $] 0, + \infty [$ : $g$ décroît puis croît, et son minimum global vaut $g (0) = 0$ . D'où $g \geq 0$ , avec égalité seulement en $0$ .

(c) $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout $x \in R$ . Posons $g (x) = e^{x} - 1 - x$ ; $g^{'} (x) = e^{x} - 1$ est négative pour $x < 0$ et positive pour $x > 0$ : le minimum de $g$ est $g (0) = 0$ . Cette inégalité exprime que la courbe exponentielle est au-dessus de sa tangente en $0$ , ce que la convexité (section 5) expliquera de façon générale.

Ces inégalités sont les premières briques des estimations d'erreur en physique: pour un pendule, $sin θ \approx θ$ avec une erreur contrôlée; pour un taux d'intérêt $r$ petit, $ln (1 + r) \approx r$ .

Le théorème des accroissements finis généralisé

Démonstration. Si l'on avait $g (a) = g (b)$ , le théorème de Rolle donnerait un zéro de $g^{'}$ , exclu par hypothèse. Posons $φ (x) = f (x) [g (b) - g (a)] - g (x) [f (b) - f (a)]$ . Cette fonction est continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ , et un calcul direct montre $φ (a) = f (a) g (b) - g (a) f (b) = φ (b)$ . Rolle fournit $c$ avec $φ^{'} (c) = 0$ , soit $f^{'} (c) [g (b) - g (a)] = g^{'} (c) [f (b) - f (a)]$ ; on divise par $g^{'} (c) [g (b) - g (a)] \neq = 0$ . $□$

Pour $g (x) = x$ on retrouve (8.1). Géométriquement, si $t \mapsto (g (t), f (t))$ décrit une courbe paramétrée du plan, la formule affirme qu'en un point de la courbe la tangente est parallèle à la corde joignant les extrémités. Ce théorème est l'ingrédient de la règle de l'Hospital.

La règle de l'Hospital

Énoncé

Démonstration (cas $0/0$ , $a$ fini, limite à droite). Prolongeons $f$ et $g$ en $a$ par $f (a) = g (a) = 0$ : elles deviennent continues sur $[a, x]$ pour tout $x > a$ dans $I$ . Le théorème de Cauchy (8.3) sur $[a, x]$ fournit $c_{x} \in] a, x [$ tel que

\frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{f ( x ) - f ( a )}{g ( x ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( c _{x} )}{g ^{'} ( c _{x} )} .

Lorsque $x \to a^{+}$ , on a $a < c_{x} < x$ , donc $c_{x} \to a^{+}$ par le théorème des gendarmes, et le quotient $f^{'} (c_{x}) / g^{'} (c_{x})$ tend vers $L$ par hypothèse. Le cas $x \to a^{-}$ est symétrique, le cas $a = \pm \infty$ se ramène au cas fini par le changement de variable $x = 1/ t$ , et le cas $\infty/\infty$ demande un argument plus technique que nous admettons. $□$

Exemples

Les pièges de la règle de l'Hospital

Vérifiez la forme indéterminée. Appliquer la règle à $x \to 0 lim \frac{x + 1}{x + 2}$ donnerait $1$ , alors que la limite vaut $\frac{1}{2}$ : le quotient n'est pas de la forme $0/0$ .
La réciproque est fausse. Si $f^{'} / g^{'}$ n'a pas de limite, on ne peut rien conclure. Ainsi $x \to + \infty lim \frac{x + sin x}{x} = 1$ (diviser par $x$ ), mais $\frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = 1 + cos x$ n'a pas de limite.
Boucles infinies. Pour $x \to + \infty lim \frac{x}{x ^{2} + 1}$ , la règle donne $\frac{1}{x / x ^{2} + 1} = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ , puis à nouveau le quotient initial: on tourne en rond. Ici, factoriser $x$ au dénominateur donne immédiatement $1$ .
La dérivée du quotient n'a rien à voir. On dérive le numérateur et le dénominateur séparément; il ne s'agit pas de la dérivée de $f / g$ .
Ce n'est pas toujours la meilleure méthode. Les développements limités (chapitre 9) donnent les mêmes limites plus vite et renseignent en plus sur la vitesse de convergence; réservez l'Hospital aux quotients simples.

Exercice

Calculez $x \to 0 lim \frac{e ^{2 x} - 1}{sin 3 x}$ .

Convexité

Définition et caractérisations

Lorsque $t$ parcourt $[0, 1]$ , le point $(1 - t) a + t b$ parcourt $[a, b]$ et le membre de droite de (8.5) est l'ordonnée de la corde: la définition dit exactement que l'arc de courbe est sous le segment. Les fonctions $x^{2}$ , $e^{x}$ , $∣ x ∣$ sont convexes sur $R$ ; $ln$ et $\cdot$ sont concaves sur $] 0, + \infty [$ . Pour les fonctions dérivables, la convexité se lit sur la dérivée.

Démonstration de $f^{''} \geq 0 ⟹$ convexe. Supposons $f^{''} \geq 0$ ; alors $f^{'}$ est croissante (théorème 8.5). Soient $a < b$ dans $I$ , $t \in] 0, 1 [$ et $x = (1 - t) a + t b \in] a, b [$ . Le théorème des accroissements finis sur $[a, x]$ et sur $[x, b]$ fournit $c_{1} \in] a, x [$ et $c_{2} \in] x, b [$ tels que

f (x) - f (a) = f^{'} (c_{1}) (x - a), f (b) - f (x) = f^{'} (c_{2}) (b - x) .

Comme $c_{1} < c_{2}$ et $f^{'}$ croît, $f^{'} (c_{1}) \leq f^{'} (c_{2})$ . Or $x - a = t (b - a)$ et $b - x = (1 - t) (b - a)$ , donc

\frac{f ( x ) - f ( a )}{t} = f^{'} (c_{1}) (b - a) \leq f^{'} (c_{2}) (b - a) = \frac{f ( b ) - f ( x )}{1 - t} .

En multipliant par $t (1 - t) > 0$ et en réordonnant: $(1 - t) f (x) + t f (x) \leq (1 - t) f (a) + t f (b)$ , c'est-à-dire (8.5). $□$

Figure 8.3. À gauche: une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes et en dessous de chacune de ses cordes; la zone grisée entre corde et arc illustre l'inégalité de Jensen. À droite: en un point d'inflexion, la dérivée seconde change de signe et la tangente traverse la courbe.

Comme pour le théorème de Fermat, la condition $f^{''} (x_{0}) = 0$ n'est pas suffisante: $x \mapsto x^{4}$ vérifie $f^{''} (0) = 0$ mais reste convexe, sans inflexion. On vérifie toujours le changement de signe.

Exercice

Soit $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ . Laquelle des affirmations suivantes est correcte?

Inégalité de Jensen et inégalités de moyennes

Démonstration. Le cas à deux points est la définition (8.5) avec $t = 1/2$ . Le cas général se démontre par récurrence sur $n$ en regroupant les $n - 1$ premiers termes: nous l'admettons, le principe étant identique. $□$

Démonstration. La fonction $ln$ est strictement concave sur $] 0, + \infty [$ puisque $(ln)^{''} (x) = - 1/ x^{2} < 0$ . Jensen (renversée) donne $ln \frac{a + b}{2} \geq \frac{ln a + ln b}{2} = ln ab$ , et l'on conclut par croissance de l'exponentielle. L'égalité dans une inégalité de Jensen stricte n'a lieu que si $a = b$ . Le cas à $n$ points s'obtient avec les poids $λ_{k} = 1/ n$ . $□$

L'inégalité arithmético-géométrique donne une seconde solution de l'exemple 8.3: $S = 2 π r^{2} + \frac{V}{r} + \frac{V}{r} \geq 3 3 2 π r^{2} \cdot \frac{V}{r} \cdot \frac{V}{r} = 3 3 2 π V^{2}$ , avec égalité lorsque les trois termes sont égaux, soit $2 π r^{3} = V$ : on retrouve $r^{*}$ sans dériver. Signalons aussi l'inégalité de Young: pour $p, q > 1$ avec $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ et $u, v \geq 0$ , on a $uv \leq \frac{u ^{p}}{p} + \frac{v ^{q}}{q}$ ; elle résulte de la concavité de $ln$ appliquée à $u^{p}$ et $v^{q}$ avec les poids $1/ p$ et $1/ q$ , et elle est à la base des inégalités de Hölder utilisées en traitement du signal.

La méthode de Newton

Résoudre $f (x) = 0$ exactement est rarement possible; la méthode de Newton (ou de Newton–Raphson) remplace la courbe par sa tangente. Partant d'une approximation $x_{n}$ , on calcule l'abscisse $x_{n + 1}$ où la tangente en $(x_{n}, f (x_{n}))$ coupe l'axe des $x$ : de $f (x_{n}) + f^{'} (x_{n}) (x_{n + 1} - x_{n}) = 0$ on tire

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} . (8.6)

Nous admettons ce théorème; l'unicité du zéro vient de la stricte monotonie, la monotonie de la suite de la position de la tangente par rapport à une courbe convexe (figure 8.3), et l'estimation quadratique de la formule de Taylor du chapitre 9, avec $K = max ∣ f^{''} ∣ / (2 min ∣ f^{'} ∣)$ . Concrètement, le nombre de décimales exactes double à chaque itération.

Exemple 8.6 · Calcul de √2 par la méthode de Newton

Pour $f (x) = x^{2} - 2$ , la formule (8.6) devient $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{2} - 2}{2 x _{n}} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{2}{x _{n}})$ . C'est exactement l'algorithme de Héron étudié au chapitre 3 comme suite récurrente: la méthode de Newton en donne l'origine géométrique. Sur $[1, 2]$ , $f^{'} = 2 x > 0$ et $f^{''} = 2 > 0$ ; on part de $x_{0} = 2$ (ou de $x_{0} = 1$ : après une itération on est en $1, 5$ , où $f > 0$ ).

$n$	$x_{n}$	$x_{n} - 2$
0	1	$- 4, 1 \times 1 0^{- 1}$
1	1,5	$8, 6 \times 1 0^{- 2}$
2	1,416 666 67	$2, 5 \times 1 0^{- 3}$
3	1,414 215 69	$2, 1 \times 1 0^{- 6}$
4	1,414 213 562 375	$1, 6 \times 1 0^{- 12}$

Le nombre de chiffres exacts passe de 1 à 2, 5 puis 11: la convergence quadratique est visible. Ici $K = \frac{2}{2 \cdot 2 2} \approx 0, 35$ , et l'on vérifie que $2, 1 \times 1 0^{- 6} \approx 0, 35 \times (2, 5 \times 1 0^{- 3})^{2}$ . Cinq itérations suffisent pour la précision d'un ordinateur en double précision; c'est ainsi que les processeurs calculent racines carrées et divisions.

Étude de fonctions

Tous les outils de ce chapitre convergent vers un même savoir-faire: décrire complètement le comportement d'une fonction et en tracer le graphe.

Exemple 8.7 · Étude de f(x) = (x² + 1)/(x − 1)

Domaine. $D = R ∖ {1}$ . La fonction n'est ni paire ni impaire.

Division euclidienne. $x^{2} + 1 = (x - 1) (x + 1) + 2$ , donc

f (x) = x + 1 + \frac{2}{x - 1} .

Limites et asymptotes. En $1^{-}$ , $\frac{2}{x - 1} \to - \infty$ donc $f \to - \infty$ ; en $1^{+}$ , $f \to + \infty$ : la droite $x = 1$ est asymptote verticale. En $\pm \infty$ , $f (x) - (x + 1) = \frac{2}{x - 1} \to 0$ : la droite $y = x + 1$ est asymptote oblique, la courbe est au-dessus pour $x > 1$ et en dessous pour $x < 1$ . (Avec la méthode générale: $a = lim f (x) / x = 1$ et $b = lim (f (x) - x) = 1$ .)

Variation. $f^{'} (x) = 1 - \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ^{2} - 2}{( x - 1 ) ^{2}}$ , nulle pour $x = 1 \pm 2$ , positive à l'extérieur de ces racines et négative entre elles (sauf en $1$ ). Les valeurs sont $f (1 - 2) = 2 - 22 \approx - 0, 83$ (maximum local) et $f (1 + 2) = 2 + 22 \approx 4, 83$ (minimum local).

$x$	$- \infty$		$1 - 2$		$1$		$1 + 2$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	∥	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	↗	$2 - 22$	↘	$- \infty$ ∥ $+ \infty$	↘	$2 + 22$	↗	$+ \infty$

Notez que le maximum local ( $\approx - 0, 83$ ) est inférieur au minimum local ( $\approx 4, 83$ ): rien ne l'interdit, les deux branches étant séparées par l'asymptote.

Convexité. $f^{''} (x) = \frac{4}{( x - 1 ) ^{3}}$ : négative pour $x < 1$ (concave), positive pour $x > 1$ (convexe). Il n'y a pas de point d'inflexion, puisque $1 \in / D$ .

Points remarquables. $f (0) = - 1$ ; la courbe ne coupe pas l'axe des $x$ car $x^{2} + 1 > 0$ .

Le graphe se compose de deux branches: l'une, concave, sous l'asymptote $y = x + 1$ pour $x < 1$ , culminant en $(1 - 2, 2 - 22)$ ; l'autre, convexe, au-dessus de l'asymptote pour $x > 1$ , avec un creux en $(1 + 2, 2 + 22)$ .

Exemple 8.8 · Étude de f(x) = x ln x

Domaine. $D =] 0, + \infty [$ .

Limites. En $0^{+}$ , $x ln x \to 0$ (exemple 8.5 c): la courbe part de l'origine, que l'on peut ajouter par prolongement continu. En $+ \infty$ , $f \to + \infty$ , et $f (x) / x = ln x \to + \infty$ : pas d'asymptote, la courbe a une branche parabolique de direction l'axe des $y$ .

Variation. $f^{'} (x) = ln x + 1$ , nulle en $x = 1/ e$ , négative avant et positive après. Le minimum global vaut $f (1/ e) = - 1/ e \approx - 0, 368$ . En $0^{+}$ , $f^{'} (x) \to - \infty$ : la courbe arrive à l'origine avec une tangente verticale.

Convexité. $f^{''} (x) = 1/ x > 0$ : $f$ est strictement convexe sur tout son domaine.

Points remarquables. $f (1) = 0$ avec $f^{'} (1) = 1$ : la courbe coupe l'axe des $x$ en $1$ avec une tangente de pente $1$ .

Cette fonction apparaît en thermodynamique et en théorie de l'information: l'entropie d'une source est $- \sum p_{k} ln p_{k}$ , et la convexité de $x ln x$ implique par Jensen que l'entropie est maximale lorsque tous les symboles sont équiprobables.

La famille de fonctions polynomiales de degré 3 rassemble en un seul objet la plupart des phénomènes rencontrés: selon les coefficients, la dérivée a deux racines (un maximum et un minimum), une racine double (point critique sans extremum) ou aucune (fonction strictement croissante), et il y a toujours un unique point d'inflexion, centre de symétrie du graphe.

Explorateur de la famille f(x) = x³ + ax² + bx

Faites varier a et b: les points critiques (racines de f′), leur nature et le point d’inflexion (racine de f″) se déplacent. Lorsque le discriminant de f′ devient négatif, la fonction est strictement croissante.

Discriminant de f′: 4a² − 12b

36,00

Points critiques

−1,00 (max) ; 1,00 (min)

Point d’inflexion x = −a/3

0,00 ; f = 0,00

Coefficient a0,0

Coefficient b−3,0

Synthèse

Sur un segment, une fonction continue atteint ses extrema aux bords, aux points critiques ( $f^{'} = 0$ ) ou aux points de non-dérivabilité; on compare les valeurs de $f$ en ces candidats.
Rolle: $f (a) = f (b)$ entraîne l'existence de $c$ avec $f^{'} (c) = 0$ . Accroissements finis: $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ ; en cinématique, la vitesse moyenne est atteinte à un instant. Inégalité: $∣ f (b) - f (a)∣ \leq M (b - a)$ si $∣ f^{'} ∣ \leq M$ .
Le signe de $f^{'}$ donne la monotonie; $f^{'} = 0$ sur un intervalle donne une constante; la monotonie démontre les inégalités du type $sin x \leq x$ , $ln (1 + x) \leq x$ , $e^{x} \geq 1 + x$ .
Règle de l'Hospital: pour une forme $0/0$ ou $\infty/\infty$ , $lim f / g = lim f^{'} / g^{'}$ si cette dernière existe. Vérifier la forme, ne pas boucler, préférer les développements limités quand ils sont disponibles.
Convexité $⟺$ $f^{'}$ croissante $⟺$ $f^{''} \geq 0$ : cordes au-dessus, tangentes en dessous; point d'inflexion là où $f^{''}$ change de signe; Jensen donne l'inégalité arithmético-géométrique. Méthode de Newton: $x_{n + 1} = x_{n} - f (x_{n}) / f^{'} (x_{n})$ , convergence quadratique.
Étude de fonction: domaine, limites, asymptotes (oblique: $a = lim f / x$ , $b = lim (f - a x)$ ), tableau de variation, convexité, graphe.

Série d'exercices du chapitre 8

Exercice 1 sur 5

Exercice

Pour laquelle de ces limites la règle de l'Hospital est-elle applicable directement (hypothèses vérifiées et limite du quotient des dérivées existante)?

Problème guidé

Boîte de conserve de surface minimale

Une boîte de conserve cylindrique fermée doit contenir $0, 5$ L $= 500 cm^{3}$ . On cherche le rayon $r$ et la hauteur $h$ qui minimisent la quantité de fer-blanc, c'est-à-dire la surface totale $S$ (fond, couvercle et paroi latérale).

1
Exprimer la surface en fonction du rayon
Utilisez la contrainte de volume $π r^{2} h = 500$ pour éliminer $h$ .
Exercice
Quelle est l'expression de $S (r)$ en cm²?
Point critique
Hauteur optimale
Nature du point critique et surface minimale

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 8.1 · Câble sous-marin de coût minimal

Une station électrique $A$ est située sur une côte rectiligne. Une île $I$ se trouve à 3 km au large, en face d'un point $B$ de la côte situé à 8 km de $A$ . On veut relier $A$ à $I$ par un câble posé d'abord le long de la côte de $A$ jusqu'à un point $P$ , puis en ligne droite sous l'eau de $P$ à $I$ . Le câble coûte 3 kCHF par kilomètre à terre et 5 kCHF par kilomètre sous l'eau. On note $x = P B$ la distance de $P$ à $B$ (en km).

Exprimer le coût total $C (x)$ pour $x \in [0, 8]$ .
Déterminer la position de $P$ qui minimise le coût, et le coût minimal.
Comparer avec les solutions «tout à terre puis perpendiculaire» ( $x = 0$ ) et «tout sous l'eau» ( $x = 8$ ).

Solution

1. Coût total. Le tronçon terrestre mesure $A P = 8 - x$ km et le tronçon sous-marin $P I = P B^{2} + B I^{2} = x^{2} + 9$ km (Pythagore). Le coût, en kCHF, vaut donc

C (x) = 3 (8 - x) + 5 x^{2} + 9, x \in [0, 8] .

2. Minimum. La fonction $C$ est continue sur le segment $[0, 8]$ et dérivable sur $] 0, 8 [$ :

C^{'} (x) = - 3 + \frac{5 x}{x ^{2} + 9} .

Le point critique vérifie $5 x = 3 x^{2} + 9$ , soit (les deux membres étant positifs) $25 x^{2} = 9 x^{2} + 81$ , d'où $16 x^{2} = 81$ et $x^{*} = \frac{9}{4} = 2, 25$ km. Le signe de $C^{'}$ est celui de $5 x - 3 x^{2} + 9$ : négatif en $0$ (où $C^{'} (0) = - 3$ ) et croissant, puisque $x \mapsto \frac{5 x}{x ^{2} + 9}$ est croissante; $C$ décroît sur $[0, 9/4]$ puis croît sur $[9/4, 8]$ , et $x^{*}$ est le minimum global. On peut aussi vérifier que $C^{''} (x) = \frac{45}{( x ^{2} + 9 ) ^{3/2}} > 0$ : $C$ est convexe.

Le coût minimal vaut, avec $(9/4)^{2} + 9 = 225/16 = \frac{15}{4}$ :

C (\frac{9}{4}) = 3 \cdot \frac{23}{4} + 5 \cdot \frac{15}{4} = \frac{69 + 75}{4} = 36 kCHF .

Le point $P$ se situe donc à $8 - 2, 25 = 5, 75$ km de $A$ .

3. Comparaison. Pour $x = 0$ (câble le long de la côte jusqu'à $B$ puis perpendiculairement): $C (0) = 24 + 15 = 39$ kCHF. Pour $x = 8$ (tout sous l'eau, en ligne droite de $A$ à $I$ ): $C (8) = 573 \approx 42, 7$ kCHF. La solution optimale économise 3 kCHF (8 %) par rapport à la première et 6,7 kCHF par rapport à la seconde. Remarquons que $sin B I P = \frac{x ^{*}}{x ^{* 2} + 9} = \frac{3}{5}$ : l'angle optimal ne dépend que du rapport des coûts, exactement comme la loi de la réfraction de Snell–Descartes en optique (principe de Fermat).

Exercice 8.2 · Limites par la règle de l'Hospital

Calculer les limites suivantes, en précisant à chaque étape la forme indéterminée.

$x \to 0 lim \frac{tan x - x}{x - sin x}$
$x \to + \infty lim x^{2} e^{- x}$
$x \to 1 lim \frac{ln x}{x ^{2} - 1}$
$x \to 0^{+} lim x^{x}$ (indication: passer au logarithme).

Solution

1. Forme $0/0$ . Le quotient des dérivées est

\frac{\frac{1}{c o s ^{2} x} - 1}{1 - cos x} = \frac{tan ^{2} x}{1 - cos x} = \frac{sin ^{2} x}{cos ^{2} x ( 1 - cos x )} = \frac{( 1 - cos x ) ( 1 + cos x )}{cos ^{2} x ( 1 - cos x )} = \frac{1 + cos x}{cos ^{2} x} x \to 0 2.

Donc $x \to 0 lim \frac{tan x - x}{x - sin x} = 2$ . (Sans la simplification trigonométrique, il aurait fallu appliquer la règle deux fois de plus.) Les développements limités du chapitre 9 confirment: $tan x - x \sim x^{3} /3$ et $x - sin x \sim x^{3} /6$ .

2. On écrit $x^{2} e^{- x} = \frac{x ^{2}}{e ^{x}}$ , forme $\infty/\infty$ . Deux applications successives donnent $\frac{2 x}{e ^{x}}$ (encore $\infty/\infty$ ) puis $\frac{2}{e ^{x}} \to 0$ . Donc $x \to + \infty lim x^{2} e^{- x} = 0$ : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ .

3. Forme $0/0$ en $x = 1$ . Le quotient des dérivées $\frac{1/ x}{2 x} = \frac{1}{2 x ^{2}}$ tend vers $\frac{1}{2}$ . Donc $x \to 1 lim \frac{ln x}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2}$ . Autre méthode: $\frac{ln x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ , où le premier facteur est le taux d'accroissement de $ln$ en $1$ , de limite $ln^{'} (1) = 1$ .

4. Pour $x > 0$ , $x^{x} = e^{x l n x}$ . Or $x ln x = \frac{ln x}{1/ x}$ est une forme $\infty/\infty$ dont le quotient des dérivées $\frac{1/ x}{- 1/ x ^{2}} = - x$ tend vers $0$ ; donc $x ln x \to 0$ et, par continuité de l'exponentielle, $x \to 0^{+} lim x^{x} = e^{0} = 1$ .

Exercice 8.3 · Étude complète de f(x) = x·e^(1/x)

Étudier la fonction $f (x) = x e^{1/ x}$ : domaine, limites aux bornes, asymptotes (on montrera que la droite $y = x + 1$ est asymptote en $\pm \infty$ et l'on précisera la position de la courbe par rapport à elle), tableau de variation, convexité, puis tracer le graphe. On pourra utiliser la limite $lim_{t \to 0} \frac{e ^{t} - 1 - t}{t} = 0$ .

Solution

Domaine. $D = R^{*} =] - \infty, 0 [\cup] 0, + \infty [$ . Pas de parité: $f (- x) = - x e^{- 1/ x}$ n'est ni $f (x)$ ni $- f (x)$ .

Limites en $0$ . Posons $t = 1/ x$ . Lorsque $x \to 0^{+}$ , $t \to + \infty$ et $f (x) = \frac{e ^{t}}{t} \to + \infty$ (croissance comparée, exercice 8.2.2): la droite $x = 0$ est asymptote verticale à droite. Lorsque $x \to 0^{-}$ , $t \to - \infty$ et $f (x) = \frac{e ^{t}}{t} \to 0$ car $e^{t} \to 0$ et $1/ t \to 0$ ; $f$ est négative sur $] - \infty, 0 [$ , donc $f (x) \to 0^{-}$ . On peut prolonger $f$ par continuité à gauche en posant $f (0) = 0$ ; de plus $f^{'} (x) = e^{1/ x} (1 - 1/ x) = e^{t} (1 - t) \to 0$ quand $t \to - \infty$ : la courbe arrive en $0$ avec une demi-tangente horizontale.

Limites en $\pm \infty$ et asymptote oblique. $e^{1/ x} \to 1$ , donc $f (x) \to \pm \infty$ quand $x \to \pm \infty$ . Ensuite $\frac{f ( x )}{x} = e^{1/ x} \to 1 = a$ , et

f (x) - x = x (e^{1/ x} - 1) = \frac{e ^{t} - 1}{t} t \to 0 1 = b

(taux d'accroissement de l'exponentielle en $0$ ). La droite $y = x + 1$ est asymptote en $+ \infty$ et en $- \infty$ . Position: avec l'indication,

f (x) - (x + 1) = x (e^{1/ x} - 1 - \frac{1}{x}) = \frac{e ^{t} - 1 - t}{t} .

Le numérateur $e^{t} - 1 - t$ est positif ou nul pour tout $t$ (exemple 8.4 c), donc le signe est celui de $t$ , c'est-à-dire de $x$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote pour $x > 0$ et en dessous pour $x < 0$ .

Dérivée et variation. Pour $x \neq = 0$ ,

f^{'} (x) = e^{1/ x} + x \cdot (- \frac{1}{x ^{2}}) e^{1/ x} = e^{1/ x} (1 - \frac{1}{x}) = \frac{x - 1}{x} e^{1/ x} .

Le signe est celui de $\frac{x - 1}{x}$ : positif pour $x < 0$ , négatif sur $] 0, 1 [$ , positif pour $x > 1$ . Unique point critique $x = 1$ , avec $f (1) = e \approx 2, 718$ : minimum local (et minimum de $f$ sur $] 0, + \infty [$ ).

$x$	$- \infty$		$0$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	∥	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	↗	$0^{-}$ ∥ $+ \infty$	↘	$e$	↗	$+ \infty$

Convexité. En dérivant $f^{'} (x) = e^{1/ x} (1 - 1/ x)$ :

f^{''} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} e^{1/ x} (1 - \frac{1}{x}) + e^{1/ x} \cdot \frac{1}{x ^{2}} = \frac{e ^{1/ x}}{x ^{2}} (- 1 + \frac{1}{x} + 1) = \frac{e ^{1/ x}}{x ^{3}} .

$f$ est concave sur $] - \infty, 0 [$ et convexe sur $] 0, + \infty [$ ; il n'y a pas de point d'inflexion puisque $0 \in / D$ .

Graphe. La branche gauche, concave, monte de $- \infty$ en restant sous la droite $y = x + 1$ et vient mourir à l'origine avec une tangente horizontale. La branche droite, convexe, descend de $+ \infty$ (asymptote verticale $x = 0$ ) jusqu'au minimum $(1, e)$ , puis remonte en se rapprochant de l'asymptote $y = x + 1$ par le dessus. Vérification numérique: $f (10) - 11 \approx 0, 052$ et $f (- 10) + 9 \approx - 0, 048$ .

Exercice 8.4 · Inégalités par les accroissements finis

Montrer que pour tout $x > 0$ : $\frac{x}{1 + x} < ln (1 + x) < x$ .
Montrer que pour tous réels $a, b$ : $∣ sin a - sin b ∣ \leq ∣ a - b ∣$ .
En déduire de 1. que pour tout entier $n \geq 1$ : $\frac{1}{n + 1} < ln (n + 1) - ln n < \frac{1}{n}$ , puis que $ln (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \leq 1 + ln n$ . Que retrouve-t-on sur la série harmonique (chapitre 4)?

Solution

1. Soit $x > 0$ . La fonction $ln$ est continue sur $[1, 1 + x]$ et dérivable sur $] 1, 1 + x [$ ; le théorème des accroissements finis donne $c \in] 1, 1 + x [$ tel que

ln (1 + x) - ln 1 = \frac{1}{c} (1 + x - 1) = \frac{x}{c} .

Comme $1 < c < 1 + x$ , on a $\frac{1}{1 + x} < \frac{1}{c} < 1$ , et en multipliant par $x > 0$ : $\frac{x}{1 + x} < ln (1 + x) < x$ . Les inégalités sont strictes parce que $c$ est strictement entre les bornes.

2. Si $a = b$ l'inégalité est triviale. Sinon, par le théorème des accroissements finis appliqué à $sin$ entre $a$ et $b$ , il existe $c$ entre $a$ et $b$ tel que $sin a - sin b = cos (c) (a - b)$ , d'où $∣ sin a - sin b ∣ = ∣ cos c ∣ ∣ a - b ∣ \leq ∣ a - b ∣$ . C'est l'inégalité (8.2) avec $M = 1$ : la fonction $sin$ est lipschitzienne de rapport $1$ .

3. Prenons $x = \frac{1}{n}$ dans 1.: $\frac{1/ n}{1 + 1/ n} = \frac{1}{n + 1}$ et $ln (1 + \frac{1}{n}) = ln (n + 1) - ln n$ , d'où

\frac{1}{n + 1} < ln (n + 1) - ln n < \frac{1}{n} .

En sommant l'inégalité de droite pour $k = 1, \dots, n$ , la somme de gauche est télescopique: $ln (n + 1) - ln 1 < k = 1 \sum n \frac{1}{k} = H_{n}$ . En sommant l'inégalité de gauche pour $k = 1, \dots, n - 1$ (pour $n \geq 2$ ): $k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{k + 1} = H_{n} - 1 < ln n$ , donc $H_{n} < 1 + ln n$ ; pour $n = 1$ , $H_{1} = 1 = 1 + ln 1$ , d'où le $\leq$ de l'énoncé. Finalement

ln (n + 1) < H_{n} \leq 1 + ln n .

Comme $ln (n + 1) \to + \infty$ , la série harmonique $\sum 1/ n$ diverge, ce qui était établi au chapitre 4 par le regroupement en paquets; on obtient ici l'information plus précise $H_{n} \sim ln n$ : les sommes partielles croissent comme le logarithme. (Vérification: $H_{10} \approx 2, 929$ , $ln 11 \approx 2, 398$ et $1 + ln 10 \approx 3, 303$ .)

Exercice 8.5 · Deux démonstrations

Soit $f : I \to R$ dérivable sur un intervalle $I$ , avec $∣ f^{'} (x)∣ \leq M$ pour tout $x \in I$ . Montrer que $f$ est lipschitzienne de rapport $M$ , c'est-à-dire $∣ f (x) - f (y)∣ \leq M ∣ x - y ∣$ pour tous $x, y \in I$ , puis que $f$ est uniformément continue sur $I$ (chapitre 5). La fonction $x \mapsto x$ est-elle lipschitzienne sur $[0, 1]$ ? uniformément continue?
Soit $P$ un polynôme réel. Montrer qu'entre deux racines réelles distinctes de $P$ se trouve au moins une racine de $P^{'}$ . En déduire que si $P$ est de degré $n$ et possède $n$ racines réelles distinctes, alors $P^{'}$ possède $n - 1$ racines réelles distinctes, et que toutes les racines de $P^{'}$ sont réelles.

Solution

1. Dérivée bornée et caractère lipschitzien. Soient $x, y \in I$ avec $x \neq = y$ ; quitte à échanger, $x < y$ . Le théorème des accroissements finis sur $[x, y] \subset I$ fournit $c \in] x, y [$ avec $f (y) - f (x) = f^{'} (c) (y - x)$ , donc $∣ f (y) - f (x)∣ = ∣ f^{'} (c)∣ ∣ y - x ∣ \leq M ∣ y - x ∣$ . Le cas $x = y$ est trivial. Ainsi $f$ est lipschitzienne de rapport $M$ .

Uniforme continuité: soit $ε > 0$ . Si $M = 0$ , $f$ est constante et tout $δ$ convient. Sinon, posons $δ = ε / M$ ; pour tous $x, y \in I$ avec $∣ x - y ∣ < δ$ , on a $∣ f (x) - f (y)∣ \leq M ∣ x - y ∣ < M δ = ε$ . Le $δ$ ne dépend pas du point: c'est exactement la définition de l'uniforme continuité.

Contre-exemple: $g (x) = x$ sur $[0, 1]$ . Pour $y = 0$ et $x > 0$ : $\frac{∣ g ( x ) - g ( 0 )∣}{∣ x - 0 ∣} = \frac{x}{x} = \frac{1}{x} \to + \infty$ quand $x \to 0^{+}$ ; aucun rapport $M$ ne convient, $g$ n'est pas lipschitzienne (sa dérivée $\frac{1}{2 x}$ n'est pas bornée près de $0$ ). Elle est pourtant uniformément continue sur $[0, 1]$ : soit par le théorème de Heine (fonction continue sur un segment, chapitre 5), soit directement grâce à l'inégalité $∣ x - y ∣ \leq ∣ x - y ∣$ , qui permet de prendre $δ = ε^{2}$ . Une dérivée bornée est donc une condition suffisante, non nécessaire, d'uniforme continuité.

2. Racines d'un polynôme et de sa dérivée. Soient $α < β$ deux racines réelles de $P$ . Le polynôme $P$ est continu sur $[α, β]$ , dérivable sur $] α, β [$ et $P (α) = P (β) = 0$ : le théorème de Rolle fournit $c \in] α, β [$ avec $P^{'} (c) = 0$ .

Supposons $P$ de degré $n$ avec $n$ racines réelles distinctes $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n}$ . D'après ce qui précède, chacun des $n - 1$ intervalles ouverts $] x_{k}, x_{k + 1} [$ contient une racine $c_{k}$ de $P^{'}$ . Ces intervalles sont deux à deux disjoints, donc les $c_{k}$ sont deux à deux distincts: $P^{'}$ possède au moins $n - 1$ racines réelles distinctes. Or $P^{'}$ est de degré exactement $n - 1$ et ne peut avoir plus de $n - 1$ racines (chapitre 2): les $c_{k}$ sont toutes ses racines, elles sont simples et toutes réelles. En itérant, $P^{''}$ a $n - 2$ racines réelles distinctes, et ainsi de suite jusqu'à $P^{(n - 1)}$ , de degré $1$ . Ce résultat est à la base du théorème de Rolle «original» et des méthodes de séparation des racines (suites de Sturm).

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
Spivak, M., Calculus, 4ᵉ éd., Publish or Perish, Houston.
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3ᵉ éd., McGraw-Hill, New York.
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
L'Hospital, G. de, Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, Paris, 1696 (réédition ACL, 1988).

Objectifs du chapitre

Extrema d'une fonction

Extrema locaux et globaux

Recherche des extrema sur un segment

Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Le théorème de Rolle

Le théorème des accroissements finis

Inégalité des accroissements finis

Applications: fonctions constantes, monotonie, inégalités

Le théorème des accroissements finis généralisé

La règle de l'Hospital

Énoncé

Exemples

Convexité

Définition et caractérisations

Inégalité de Jensen et inégalités de moyennes

La méthode de Newton

Étude de fonctions

Explorateur de la famille f(x) = x³ + ax² + bx

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 8

Boîte de conserve de surface minimale

Exprimer la surface en fonction du rayon

Point critique

Hauteur optimale

Nature du point critique et surface minimale

Exercices

Références