Nombres réels

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• situer un nombre dans la hiérarchie $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ et expliquer pourquoi les rationnels ne suffisent pas à décrire une longueur aussi simple que la diagonale d'un carré;
• énoncer l'axiome de la borne supérieure, déterminer la borne supérieure et la borne inférieure d'un ensemble et prouver votre réponse par la caractérisation en $\epsilon$;
• manipuler la valeur absolue comme une distance, démontrer l'inégalité triangulaire et résoudre des inéquations avec valeurs absolues;
• utiliser les inégalités de Bernoulli, arithmético-géométrique et de Cauchy–Schwarz;
• rédiger une démonstration par récurrence et calculer avec les sommes, les produits et la formule du binôme;
• encadrer un réel par dichotomie et quantifier une erreur absolue ou relative, en lien avec la précision des calculs numériques.

Les ensembles de nombres

L'analyse est l'étude des limites, des dérivées et des intégrales; toutes ces notions reposent sur une idée simple mais profonde: on peut s'approcher aussi près que l'on veut d'un nombre. Pour donner un sens à cette phrase, il faut d'abord savoir de quels nombres on parle. Ce premier chapitre fixe le cadre: l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels, ses propriétés fondamentales et les outils élémentaires (inégalités, valeur absolue, récurrence) que nous utiliserons dans tous les chapitres suivants.

De ℕ à ℚ

On note $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$ l'ensemble des entiers naturels et ${\mathbb{N}}^{\ast }=\{1,2,3,\dots \}$ l'ensemble des entiers strictement positifs. Dans $\mathbb{N}$ on peut additionner et multiplier, mais l'équation $x+3=1$ n'a pas de solution: on l'agrandit en l'ensemble $\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$ des entiers relatifs. Dans $\mathbb{Z}$, l'équation $3x=1$ n'a toujours pas de solution: on construit alors l'ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels, quotients $p/q$ avec $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Un rationnel admet une infinité d'écritures ($\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{-3}{-6}$) mais une seule forme irréductible, dans laquelle $p$ et $q$ n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

L'ensemble $\mathbb{Q}$ est déjà remarquablement riche: entre deux rationnels distincts, aussi proches soient-ils, il en existe toujours un troisième (par exemple leur moyenne). Il semble donc suffire à tous les besoins de la mesure: un ingénieur qui lit «$12,375$ m» sur un instrument lit un rationnel. Et pourtant, dès l'Antiquité, les pythagoriciens ont découvert que $\mathbb{Q}$ est troué.

Pourquoi ℚ ne suffit pas

Considérez un carré de côté 1 m. Par le théorème de Pythagore, sa diagonale mesure $d$ avec $d^2=2$. Ce nombre, que l'on note $\sqrt{2}$, ne peut pas s'écrire comme une fraction.

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $r\in \mathbb{Q}$ tel que $r^2=2$. Quitte à changer le signe, on peut supposer $r>0$ et l'écrire sous forme irréductible $r=p/q$ avec $p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sans diviseur commun. L'égalité $r^2=2$ donne

Le nombre $p^2$ est donc pair. Or le carré d'un entier impair est impair (si $p=2k+1$, alors $p^2=4k^2+4k+1$); par conséquent $p$ lui-même est pair, et l'on peut écrire $p=2k$ avec $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. En reportant, $4k^2=2q^2$, soit $q^2=2k^2$: le même argument montre que $q$ est pair. Ainsi $p$ et $q$ sont tous deux divisibles par 2, ce qui contredit l'hypothèse que la fraction $p/q$ est irréductible. L'hypothèse de départ est donc fausse. $\square$

Il existe donc des «longueurs» qui ne sont pas rationnelles: $\sqrt{2}$, mais aussi $\pi$ (rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, irrationnel comme l'a montré Lambert en 1761), le nombre $\mathrm{e}$ d'Euler, $\sqrt[3]{2}$, etc. L'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels est construit pour boucher tous ces trous: on peut se le représenter comme la droite réelle, où chaque point correspond à exactement un nombre. Les réels qui ne sont pas rationnels sont dits irrationnels; ils forment l'ensemble $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$.

La structure de ℝ

Nous ne construirons pas $\mathbb{R}$ à partir de $\mathbb{Q}$ (cela peut se faire, par les «coupures» de Dedekind ou les suites de Cauchy, mais c'est long). Nous adoptons le point de vue axiomatique: $\mathbb{R}$ est un ensemble muni de deux opérations et d'un ordre qui satisfont une liste de propriétés, et tout ce que nous démontrerons découlera de ces propriétés.

Un corps ordonné

Les opérations $+$ et $\times$ sur $\mathbb{R}$ vérifient les règles de calcul habituelles: associativité, commutativité, existence de $0$ et de $1$, existence d'un opposé $-x$ pour tout $x$ et d'un inverse $1/x$ pour tout $x\ne 0$, distributivité. On résume ces propriétés en disant que $(\mathbb{R},+,\times )$ est un corps; $\mathbb{Q}$ en est un aussi, mais pas $\mathbb{Z}$ (l'inverse de 2 n'y existe pas).

De plus, $\mathbb{R}$ est muni d'une relation d'ordre $\le$ totale (deux réels sont toujours comparables) et compatible avec les opérations:

Toutes les règles de manipulation des inégalités s'en déduisent. Retenons les plus utiles:

• on peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens: $a\le b$ et $c\le d$ donnent $a+c\le b+d$;
• multiplier par un nombre négatif renverse le sens: $a\le b$ et $c\le 0$ donnent $ac\ge bc$;
• passer à l'inverse renverse le sens entre nombres de même signe: $0<a\le b⟹\frac{1}{a}\ge \frac{1}{b}$;
• pour des nombres positifs, on peut multiplier membre à membre: $0\le a\le b$ et $0\le c\le d$ donnent $ac\le bd$;
• un carré est toujours positif: $x^2\ge 0$, avec égalité si et seulement si $x=0$.

Majorants, minorants, bornes

La différence essentielle entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ ne se voit pas sur les opérations mais sur l'ordre. Pour l'exprimer, nous avons besoin d'un vocabulaire précis.

Prenez le temps de distinguer maximum et borne supérieure. L'intervalle $A=]0,1]$ a pour majorants tous les réels $M\ge 1$; le plus petit est $1$, qui appartient à $A$: ici $\sup A=\max A=1$. En revanche $B=]0,1[$ a exactement les mêmes majorants, donc $\sup B=1$ également, mais $1\notin B$: $B$ n'a pas de maximum. En effet, si $b\in B$ était le plus grand élément, le nombre $(b+1)/2$ serait encore dans $B$ et strictement plus grand. Lorsqu'un maximum existe, il coïncide avec la borne supérieure; la borne supérieure est donc une généralisation du maximum, qui a l'avantage d'exister beaucoup plus souvent.

Beaucoup plus souvent, mais toujours? C'est exactement le contenu de l'axiome qui distingue $\mathbb{R}$.

Il s'agit d'un axiome: nous l'admettons comme propriété définissant $\mathbb{R}$ (la seconde phrase se déduit de la première en considérant l'ensemble $-A=\{-a:a\in A\}$, voir l'exercice 1.5). Pour mesurer sa force, observez qu'il est faux dans $\mathbb{Q}$: l'ensemble $\{r\in \mathbb{Q}:r^2<2\}$ est non vide et majoré (par 2), mais il n'a pas de plus petit majorant rationnel, car ce majorant devrait être $\sqrt{2}$, qui n'est pas rationnel. L'axiome de la borne supérieure est la façon rigoureuse de dire que la droite réelle est «sans trou»: on l'appelle aussi propriété de complétude de $\mathbb{R}$. Tous les grands théorèmes de ce cours (convergence des suites monotones au chapitre 3, théorème des valeurs intermédiaires au chapitre 5, existence des extrema au chapitre 8) en descendent directement.

Pour utiliser la borne supérieure dans les démonstrations, on se sert presque toujours de la caractérisation suivante.

Démonstration. Supposons $s=\sup A$. La condition 1 est vraie par définition. Pour la condition 2, soit $\epsilon >0$: le nombre $s-\epsilon$ est strictement plus petit que $s$, donc ce n'est pas un majorant de $A$ (puisque $s$ est le plus petit); il existe donc $a\in A$ avec $a>s-\epsilon$. Réciproquement, supposons les deux conditions vérifiées. Par 1, $s$ est un majorant. Soit $M$ un majorant quelconque de $A$ et supposons $M<s$; posons $\epsilon =s-M>0$. Par 2, il existe $a\in A$ avec $a>s-\epsilon =M$, ce qui contredit le fait que $M$ majore $A$. Donc $M\ge s$ pour tout majorant $M$, et $s$ est le plus petit des majorants. $\square$

La condition 2 dit que l'on peut trouver des éléments de $A$ aussi près que l'on veut de $s$ (par en dessous): c'est la première apparition du «$\epsilon$» qui sera notre compagnon tout au long du cours. La caractérisation de la borne inférieure est symétrique: $m=\inf A$ si et seulement si $m$ minore $A$ et, pour tout $\epsilon >0$, il existe $a\in A$ avec $a<m+\epsilon$.

La propriété d'Archimède et la partie entière

Dans l'exemple 1.1, nous avons utilisé le fait qu'il existe un entier $n$ tel que $1/n$ soit plus petit qu'un $\epsilon$ donné. Cela paraît évident, mais c'est une conséquence de l'axiome de la borne supérieure, et il est instructif de le démontrer.

Démonstration. Supposons par l'absurde que $\mathbb{N}$ soit majoré. Comme $\mathbb{N}$ est non vide, il possède une borne supérieure $s=\sup \mathbb{N}$ par l'axiome 1.2. Appliquons la caractérisation 1.3 avec $\epsilon =1$: il existe un entier $n$ tel que $n>s-1$, c'est-à-dire $n+1>s$. Mais $n+1$ est un entier naturel, donc $n+1\le s$: contradiction. Ainsi $\mathbb{N}$ n'est pas majoré. Pour la seconde affirmation, on applique la première à $x=1/\epsilon$: il existe $n>1/\epsilon$, d'où $1/n<\epsilon$. $\square$

L'existence de $\lfloor x\rfloor$ découle de la propriété d'Archimède: l'ensemble des entiers $n$ tels que $n\le x$ est non vide (il contient $-m$ pour un entier $m>-x$) et majoré par $x$; il a donc un plus grand élément, qui est $\lfloor x\rfloor$. La partie entière apparaît partout en informatique et en traitement du signal: le nombre d'échantillons prélevés en $T$ secondes à la cadence $f_e$ est $\lfloor f_{e}T\rfloor +1$, et la conversion analogique-numérique d'une tension revient à calculer une partie entière.

Densité de ℚ et de ℝ ∖ ℚ

Nous pouvons maintenant énoncer précisément le fait que les rationnels, bien que «troués», sont partout sur la droite réelle.

Démonstration. Par la propriété d'Archimède, il existe $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $1/q<b-a$, c'est-à-dire $qb-qa>1$. L'intervalle $]qa,qb[$ est de longueur strictement supérieure à 1: il contient donc un entier, par exemple $p=\lfloor qa\rfloor +1$ (on a $p>qa$ par définition de la partie entière, et $p\le qa+1<qb$). Le rationnel $r=p/q$ vérifie alors $a<r<b$. Pour l'irrationnel, on applique ce qui précède aux réels $a/\sqrt{2}$ et $b/\sqrt{2}$: il existe un rationnel $r^{\prime }\ne 0$ entre eux (si le premier rationnel trouvé est nul, on recommence dans l'intervalle $]0,b/\sqrt{2}[$), et $t=r^{\prime }\sqrt{2}$ est irrationnel (sinon $\sqrt{2}=t/r^{\prime }$ serait rationnel) et compris entre $a$ et $b$. $\square$

Ce théorème a une conséquence pratique fondamentale: tout réel peut être approché par des rationnels, en particulier par des nombres décimaux, avec une précision arbitraire. C'est ce qui justifie que les calculs d'ingénieur, menés en pratique sur des décimaux, décrivent correctement des grandeurs réelles. Nous y reviendrons à la fin du chapitre.

Valeur absolue et distance

Définition et propriétés

Les propriétés suivantes découlent immédiatement de la définition (vérifiez-les en distinguant les signes): pour tous réels $x,y$ et tout $r>0$,

La propriété la plus importante est l'inégalité triangulaire, dont le nom vient de sa version dans le plan (un côté d'un triangle est plus court que la somme des deux autres).

Démonstration. On part de $-|a|\le a\le |a|$ et $-|b|\le b\le |b|$. En additionnant membre à membre, $-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$, ce qui, par (1.2), équivaut à $|a+b|\le |a|+|b|$. Pour la seconde inégalité, on écrit $a=(a-b)+b$ et l'on applique la première: $|a|\le |a-b|+|b|$, soit $|a|-|b|\le |a-b|$. En échangeant les rôles de $a$ et $b$, on obtient $|b|-|a|\le |b-a|=|a-b|$. Les deux nombres $|a|-|b|$ et son opposé sont donc majorés par $|a-b|$, ce qui est exactement $||a|-|b||\le |a-b|$. $\square$

Intervalles et voisinages

Les parties de $\mathbb{R}$ que l'on rencontre le plus souvent sont les intervalles. Pour $a<b$, on note $[a,b]=\{x:a\le x\le b\}$ l'intervalle fermé, $]a,b[=\{x:a<x<b\}$ l'intervalle ouvert, $[a,b[$ et $]a,b]$ les intervalles semi-ouverts, et $[a,+\infty [$, $]-\infty ,b[$, etc., les intervalles non bornés; $]-\infty ,+\infty [=\mathbb{R}$. Les symboles $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres réels: ils indiquent seulement que l'intervalle n'est pas borné de ce côté, et l'on écrit toujours un crochet ouvert à côté d'eux.

Résolution d'inéquations avec valeurs absolues

Deux méthodes s'offrent à vous. La première utilise directement (1.2) lorsque l'inéquation est de la forme $|\text{expression}|<r$ ou $>r$. La seconde, générale, consiste à découper $\mathbb{R}$ en intervalles sur lesquels chaque valeur absolue a un signe constant.

Quelques inégalités classiques

Une grande partie du travail de l'analyste consiste à majorer et minorer. Voici trois inégalités que vous utiliserez sans cesse, en analyse comme en physique.

L'inégalité de Bernoulli

Démonstration. Nous démontrons (1.3) par récurrence sur $n$ (le principe est détaillé dans la section suivante). Pour $n=0$, les deux membres valent $1$. Supposons l'inégalité vraie au rang $n$, c'est-à-dire $(1+x{)}^n\ge 1+nx$. Comme $1+x\ge 0$, on peut multiplier les deux membres par $1+x$ sans changer le sens:

la dernière inégalité provenant de $n{x}^2\ge 0$. L'inégalité est donc vraie au rang $n+1$, et par récurrence pour tout $n$. $\square$

L'inégalité de Bernoulli (Jacques Bernoulli, mathématicien bâlois, 1654–1705) est l'outil de base pour comparer les croissances géométrique et arithmétique. Un capital placé à 1 % par an vaut $(1,01{)}^n$ fois sa valeur initiale après $n$ ans; Bernoulli garantit qu'après 100 ans il a au moins doublé ($1+100\times 0,01=2$; la valeur exacte est $1,01^{100}\approx 2,705$). Au chapitre 3, elle servira à montrer que $q^n\to +\infty$ dès que $q>1$.

L'inégalité arithmético-géométrique

Démonstration. Comme un carré est positif, $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$, soit $a-2\sqrt{ab}+b\ge 0$, d'où (1.4). L'égalité a lieu si et seulement si $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$, c'est-à-dire $a=b$. $\square$

Le membre de gauche est la moyenne géométrique de $a$ et $b$, le membre de droite leur moyenne arithmétique. Pour $a=2$ et $b=8$, on obtient $4\le 5$. Application: parmi tous les rectangles de périmètre $2(a+b)$ donné, celui d'aire $ab$ maximale est le carré. Sous une autre forme, $ab\le \frac{1}{2}(a^2+b^2)$: c'est l'inégalité que l'on utilise pour majorer un «terme croisé» dans un calcul d'énergie.

L'inégalité de Cauchy–Schwarz dans ℝ²

Démonstration. On développe la différence des deux membres:

Si l'on note $\vec{u}=(a_1,a_2)$ et $\vec{v}=(b_1,b_2)$, (1.5) s'écrit $|\vec{u}\cdot \vec{v}|\le \Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert$: la valeur absolue du produit scalaire est majorée par le produit des normes, ce qui exprime simplement que $|\cos \theta |\le 1$. Cette inégalité, valable en toute dimension, est l'un des piliers de l'algèbre linéaire et du traitement du signal (elle borne la corrélation entre deux signaux).

Le raisonnement par récurrence

Le principe

Nous avons déjà utilisé la récurrence pour démontrer l'inégalité de Bernoulli. Formalisons-la. Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $n$; par exemple «$1+2+\cdots +n=n(n+1)/2$».

Ce principe est une propriété fondamentale de $\mathbb{N}$, que nous admettons (il est équivalent au fait que toute partie non vide de $\mathbb{N}$ possède un plus petit élément). L'image classique est celle des dominos: si le premier tombe et si chaque domino qui tombe entraîne le suivant, alors tous tombent. Dans la rédaction, l'hypothèse «$P(n)$ vraie» est appelée hypothèse de récurrence; il est indispensable de l'énoncer explicitement et de repérer l'endroit précis où on l'utilise.

La récurrence forte

Il arrive que, pour démontrer $P(n+1)$, on ait besoin non seulement de $P(n)$ mais aussi de $P(n-1)$, voire de tous les rangs précédents. On utilise alors la récurrence forte: si $P(n_0)$ est vraie et si, pour tout $n\ge n_0$, «$P(n_0),P(n_0+1),\dots ,P(n)$ toutes vraies» implique $P(n+1)$, alors $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$. Elle se ramène au principe ordinaire en l'appliquant à la propriété $Q(n)$: «$P(k)$ est vraie pour tout $k$ compris entre $n_0$ et $n$». Exemple type: tout entier $n\ge 2$ est produit de nombres premiers. Si $n$ est premier, c'est fini; sinon $n=ab$ avec $2\le a,b<n$, et l'hypothèse de récurrence forte appliquée à $a$ et $b$ (et non à $n-1$!) donne le résultat.

Sommes, produits et formule du binôme

Nous avons utilisé la notation $\sum$. Rappelons-en les règles: pour des réels $u_m,\dots ,u_n$,

L'indice $k$ est muet: ${\sum }_{k=1}^n{u}_k={\sum }_{j=1}^n{u}_j$. Une somme est linéaire, $\sum (\alpha u_k+\beta v_k)=\alpha \sum u_k+\beta \sum v_k$, et l'on peut décaler l'indice, ${\sum }_{k=1}^n{u}_k={\sum }_{k=0}^{n-1}{u}_{k+1}$. La factorielle est le produit $n!={\prod }_{k=1}^{n}k=1\times 2\times \cdots \times n$, avec la convention $0!=1$. Deux sommes reviennent sans cesse: la somme arithmétique de l'exemple 1.4 et la somme géométrique

que l'on démontre en développant $(1-q)(1+q+\cdots +q^n)$: tous les termes se télescopent sauf $1$ et $-q^{n+1}$.

La relation (1.7) se vérifie par calcul direct: en réduisant au même dénominateur $(k+1)!(n-k)!$, le membre de gauche vaut $\frac{n![(k+1)+(n-k)]}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}$. Les premières lignes du triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui, sont:

Par exemple $(1+x{)}^6=1+6x+15x^2+20x^3+15x^4+6x^5+x^6$. En ne gardant que les deux premiers termes pour $x\ge 0$, on retrouve l'inégalité de Bernoulli, et en en gardant trois on obtient une meilleure minoration: $(1+x{)}^n\ge 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}{x}^2$. Ce sont les premiers exemples de développements d'une fonction en puissances de $x$, idée que le chapitre 9 généralisera à toutes les fonctions régulières.

Représentation décimale et approximation

Développement décimal

Tout réel positif $x$ s'écrit sous la forme $x=\lfloor x\rfloor +0,d_1{d}_2{d}_3\dots$ où les $d_i\in \{0,1,\dots ,9\}$ sont ses décimales: c'est le développement décimal de $x$. Les chiffres se déterminent de proche en proche, $d_1=\lfloor 10(x-\lfloor x\rfloor )\rfloor$, et ainsi de suite; la troncature à $n$ décimales est le nombre rationnel $x_n=\lfloor 10^{n}x\rfloor /10^n$, qui vérifie $x_n\le x<x_n+10^{-n}$. Un réel est un nombre décimal si son développement s'arrête (comme $12,375=12375/1000$); il est rationnel si et seulement si son développement est périodique à partir d'un certain rang. Ainsi $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}$ (période 6) et $0,\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$; à l'inverse, le développement de $\sqrt{2}=1,414213562\dots$ ou de $\pi =3,141592653\dots$ ne présente aucune période. Notez que l'écriture décimale n'est pas tout à fait unique: $0,999\dots =1$, comme le montre la formule (1.6) de la somme géométrique passée à la limite (chapitre 4).

Encadrer √2 par dichotomie

Le développement décimal est une façon d'approcher un réel; la dichotomie en est une autre, plus fondamentale, qui n'utilise que la comparaison. Pour encadrer $\sqrt{2}$, on part de $1^2<2<2^2$, donc $\sqrt{2}\in [1,2]$. On teste le milieu $1,5$: comme $1,5^2=2,25>2$, on garde $[1;1,5]$. Le milieu suivant est $1,25$, dont le carré $1,5625<2$: on garde $[1,25;1,5]$. Puis $1,375^2=1,890625<2$, donc $[1,375;1,5]$; puis $1,4375^2=2,066\dots >2$, donc $[1,375;1,4375]$; puis $1,40625^2=1,9775\dots <2$, donc $[1,40625;1,4375]$. Après $n$ étapes, on dispose d'un intervalle $[a_n,b_n]$ contenant $\sqrt{2}$ et de largeur $2^{-n}$: après 10 étapes, $b_{10}-a_{10}=2^{-10}\approx 0,00098$, et après 20 étapes environ $9,5\times 10^{-7}$. Chaque étape apporte un bit de précision, soit un chiffre décimal toutes les 3,3 étapes environ.

Cette méthode est lente comparée à celles que nous verrons plus tard (la méthode de Newton–Raphson, chapitre 8, double le nombre de chiffres exacts à chaque étape), mais elle est d'une robustesse totale: elle ne demande que de savoir si $m^2$ est plus grand ou plus petit que $c$. C'est aussi une première rencontre avec les intervalles emboîtés, dont l'intersection est réduite au point $\sqrt{c}$ grâce à l'axiome de la borne supérieure: $\sqrt{c}=\sup \{a_n:n\in \mathbb{N}\}$. Nous formaliserons cette idée avec les suites adjacentes au chapitre 3.

Erreur absolue et erreur relative

L'erreur relative est celle qui compte en ingénierie: une erreur absolue de 5 mm est négligeable sur la portée d'un pont de 120 m (erreur relative $4\times 10^{-5}$) et rédhibitoire sur un axe de 20 mm. Deux exemples historiques: l'approximation $22/7$ de $\pi$ a une erreur absolue de $1,26\times 10^{-3}$, soit une erreur relative de $4,0\times 10^{-4}$ (trois chiffres exacts), tandis que $355/113$ a une erreur relative de $8,5\times 10^{-8}$ (sept chiffres exacts). Pour l'approximation $1,414$ de $\sqrt{2}$, l'erreur absolue vaut $2,1\times 10^{-4}$ et l'erreur relative $1,5\times 10^{-4}$.

Synthèse

• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$; $\sqrt{2}$ est irrationnel (démonstration par l'absurde sur la parité), et pourtant $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ sont tous deux denses dans $\mathbb{R}$.
• $\mathbb{R}$ est un corps totalement ordonné qui vérifie l'axiome de la borne supérieure: toute partie non vide majorée admet un plus petit majorant. C'est ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ et ce qui fonde toute l'analyse.
• $s=\sup A$ si et seulement si $s$ majore $A$ et, pour tout $\epsilon >0$, un élément de $A$ dépasse $s-\epsilon$. La borne supérieure n'est pas toujours atteinte; quand elle l'est, c'est le maximum.
• La propriété d'Archimède ($\mathbb{N}$ n'est pas majoré) et la partie entière découlent de l'axiome de la borne supérieure.
• La valeur absolue est une distance: $|a+b|\le |a|+|b|$ et $||a|-|b||\le |a-b|$; l'inéquation $|x-a|<r$ décrit le voisinage $]a-r,a+r[$.
• Inégalités à connaître: Bernoulli $(1+x{)}^n\ge 1+nx$, arithmético-géométrique $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$, Cauchy–Schwarz; toutes se démontrent par récurrence ou par positivité d'un carré.
• Une démonstration par récurrence comporte une initialisation et une hérédité; la formule du binôme $(a+b{)}^n=\sum (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}$ s'obtient ainsi. Toute grandeur réelle est approchée par des décimaux; ce qui compte est l'erreur relative, limitée à environ $10^{-16}$ en double précision.

Exercices

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Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
• Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
• Spivak, M., Calculus, Cambridge University Press (chapitres 1, 2 et 8 pour les nombres réels et la borne supérieure).
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill (chapitre 1, construction de $\mathbb{R}$ par les coupures de Dedekind).
• Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, De Boeck, Bruxelles.
• Goldberg, D., «What every computer scientist should know about floating-point arithmetic», ACM Computing Surveys, 1991 (pour la représentation flottante).