Séries numériques · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir une série numérique, ses sommes partielles, sa somme et son reste, et distinguer la nature d'une série de sa somme;
reconnaître et sommer une série géométrique ou télescopique, et appliquer la condition nécessaire $u_{n} \to 0$ ;
étudier une série à termes positifs à l'aide des critères de comparaison, des séries de Riemann, de d'Alembert et de Cauchy;
démontrer qu'une série absolument convergente converge et appliquer le critère de Leibniz aux séries alternées, avec une majoration du reste;
calculer des sommes explicites (géométriques dérivées, télescopiques, développements décimaux périodiques);
majorer l'erreur commise en tronquant une série, et en déduire par exemple l'irrationalité de $e$ .

Sommes infinies: définitions

Peut-on additionner une infinité de nombres? Zénon d'Élée s'en inquiétait déjà: pour traverser un stade, Achille doit d'abord en parcourir la moitié, puis la moitié du reste, puis encore la moitié, et ainsi de suite; il effectue donc une infinité d'étapes. Pourtant il arrive. La résolution moderne de ce paradoxe tient en une phrase: la somme $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ vaut exactement $1$ , au sens précis que nous allons donner. Le sujet a une longue histoire suisse: Jacques Bernoulli, à Bâle, a consacré cinq mémoires aux séries à la fin du XVII^e siècle et a démontré la divergence de la série harmonique; son élève Leonhard Euler a calculé en 1735 la somme $\sum 1/ n^{2} = π^{2} /6$ , résolvant le «problème de Bâle» que Bernoulli avait laissé ouvert.

Pour un ingénieur, les séries sont partout: le comportement d'un filtre numérique est une somme infinie de réponses retardées, la valeur d'une rente perpétuelle est une somme infinie d'annuités actualisées, et toute fonction usuelle ( $exp$ , $sin$ , $ln$ ) se calcule en machine par une série tronquée dont il faut contrôler l'erreur (chapitre 9).

Deux remarques d'usage. D'abord, la nature d'une série (convergente ou divergente) est une question qualitative, souvent facile; le calcul de sa somme est une question quantitative, souvent difficile, voire impossible en termes de fonctions usuelles. Ce chapitre est d'abord consacré à la première question. Ensuite, la nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes: modifier ou supprimer un nombre fini de termes change la somme, pas la nature. On écrira donc souvent $\sum u_{n}$ sans préciser l'indice de départ lorsque seule la nature est en jeu.

La condition nécessaire

Si la série converge, ses termes doivent devenir négligeables: c'est intuitif, et la démonstration tient en une ligne.

Démonstration. Pour $n \geq 1$ , on a $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ . Si la série converge vers $S$ , alors $S_{n} \to S$ et $S_{n - 1} \to S$ (chapitre 3), donc $u_{n} \to S - S = 0$ . $□$

La série géométrique

Démonstration. Si $x = 1$ , $S_{N} = N + 1 \to + \infty$ . Si $x \neq = 1$ , l'identité $(1 - x) (1 + x + \dots + x^{N}) = 1 - x^{N + 1}$ (qui se vérifie en développant: tous les termes se télescopent) donne

S_{N} = \frac{1 - x ^{N + 1}}{1 - x} .

Si $∣ x ∣ < 1$ , $x^{N + 1} \to 0$ (chapitre 3) et $S_{N} \to \frac{1}{1 - x}$ ; le reste vaut $S - S_{N} = \frac{x ^{N + 1}}{1 - x}$ . Si $∣ x ∣ \geq 1$ et $x \neq = 1$ , $x^{N + 1}$ ne tend pas vers $0$ , donc $(S_{N})$ n'a pas de limite finie; d'ailleurs $u_{n} = x^{n} \neq \to 0$ et la série diverge grossièrement. $□$

Figure 4.1. Le carré unité découpé en moitiés successives: les aires 1/2, 1/4, 1/8, … remplissent le carré sans jamais le recouvrir tout à fait. Il reste toujours un coin d'aire 1/2^N, qui est précisément le reste R_N de la série géométrique de raison 1/2.

Le cas $x = \frac{1}{2}$ est celui d'Achille: $\sum_{n \geq 1} 2^{- n} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ . La figure 4.1 en donne la preuve «sans mots»: on découpe le carré unité en deux, puis l'une des moitiés en deux, et ainsi de suite; après $N$ étapes, il manque un rectangle d'aire $2^{- N}$ , qui tend vers $0$ .

Exemple 4.1 · Trois séries géométriques d'ingénieur

Rente perpétuelle. Une caisse de pension verse $A = 1000$ CHF à la fin de chaque année, indéfiniment, avec un taux d'actualisation $i = 3 %$ . La valeur actuelle de cette rente est la somme des versements actualisés:

V = n = 1 \sum \infty \frac{A}{( 1 + i ) ^{n}} = A \cdot \frac{1/ ( 1 + i )}{1 - 1/ ( 1 + i )} = \frac{A}{i} = \frac{1000}{0 , 03} = 33333, 33 CHF .

C'est le capital qu'il faut immobiliser aujourd'hui pour servir la rente à perpétuité: une somme infinie de versements a une valeur finie, parce que l'actualisation est géométrique.

Rebonds d'une balle. Une balle lâchée d'une hauteur $h_{0} = 2$ m rebondit à chaque fois à une hauteur égale à $k = 0, 8$ fois la hauteur précédente. La distance totale parcourue est

D = h_{0} + 2 h_{0} k + 2 h_{0} k^{2} + \dots = h_{0} + 2 h_{0} \frac{k}{1 - k} = 2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{0 , 8}{0 , 2} = 18 m .

La balle rebondit une infinité de fois, mais parcourt une distance finie, et cela en un temps fini (exercice 4.4).

Filtre numérique du premier ordre. Un filtre passe-bas discret est défini par la récurrence $y_{n} = a y_{n - 1} + x_{n}$ avec $0 < a < 1$ ; sa réponse impulsionnelle (réponse à $x_{0} = 1$ , $x_{n} = 0$ sinon) est $h_{n} = a^{n}$ . Le gain statique du filtre, c'est-à-dire la réponse à un signal constant égal à $1$ , vaut $\sum_{n \geq 0} a^{n} = \frac{1}{1 - a}$ : pour $a = 0, 9$ , le gain est $10$ . La condition $∣ a ∣ < 1$ est exactement la condition de stabilité du filtre.

Séries télescopiques

Démonstration. La somme partielle se simplifie en cascade: $S_{N} = (a_{1} - a_{0}) + (a_{2} - a_{1}) + \dots + (a_{N + 1} - a_{N}) = a_{N + 1} - a_{0}$ . Elle converge si et seulement si $(a_{N + 1})$ converge. $□$

L'exemple type est $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ( n + 1 )}$ : la décomposition $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ donne $S_{N} = 1 - \frac{1}{N + 1} \to 1$ . Remarquez que la même proposition montre que $\sum (n + 1 - n)$ diverge bien que son terme général, égal à $\frac{1}{n + 1 + n}$ , tende vers $0$ : encore un contre-exemple à la réciproque du théorème 4.1.

Enfin, les séries se combinent linéairement: si $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ convergent, alors $\sum (λ u_{n} + μ v_{n})$ converge et sa somme vaut $λ \sum u_{n} + μ \sum v_{n}$ (c'est la linéarité des limites appliquée aux sommes partielles). En revanche, la somme d'une série convergente et d'une série divergente diverge, et la somme de deux séries divergentes peut converger ( $\sum 1/ n$ et $\sum (- 1/ n)$ ).

Exercice

Parmi les séries suivantes, laquelle diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$ )?

Séries à termes positifs

Lorsque tous les termes sont positifs ou nuls, la suite des sommes partielles est croissante, et tout devient plus simple: il n'y a que deux comportements possibles.

Démonstration. $S_{N + 1} - S_{N} = u_{N + 1} \geq 0$ , donc $(S_{N})$ est croissante. Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée (théorème de la limite monotone, chapitre 3, conséquence de l'axiome de la borne supérieure du chapitre 1); sinon elle tend vers $+ \infty$ . $□$

Comparaison

Démonstration. Quitte à supprimer un nombre fini de termes, on suppose $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ pour tout $n$ . Notons $S_{N}$ et $T_{N}$ les sommes partielles. Alors $S_{N} \leq T_{N}$ pour tout $N$ . Si $\sum v_{n}$ converge, $(T_{N})$ est majorée par sa somme $T$ , donc $(S_{N})$ est majorée par $T$ et converge d'après le théorème 4.4; on a de plus $\sum u_{n} \leq \sum v_{n}$ . L'assertion 2 est la contraposée de l'assertion 1.

Pour les équivalents: si $u_{n} / v_{n} \to 1$ , il existe un rang à partir duquel $\frac{1}{2} \leq u_{n} / v_{n} \leq 2$ , soit $\frac{1}{2} v_{n} \leq u_{n} \leq 2 v_{n}$ . La convergence de $\sum v_{n}$ entraîne celle de $\sum 2 v_{n}$ donc de $\sum u_{n}$ ; celle de $\sum u_{n}$ entraîne celle de $\sum \frac{1}{2} v_{n}$ donc de $\sum v_{n}$ . $□$

Pour appliquer ce critère, il faut disposer d'une réserve de séries de référence. La série géométrique en est une; les séries de Riemann en sont la seconde, et la plus importante.

Figure 4.2. Sommes partielles de la série harmonique Σ 1/n et de la série Σ 1/n² jusqu'à n = 50. La première croît sans borne, mais si lentement (comme ln n) qu'il faut 12 367 termes pour dépasser 10; la seconde s'accumule sous sa somme π²/6, calculée par Euler.

Séries de Riemann

Démonstration. Si $p \leq 0$ , le terme général ne tend pas vers $0$ : divergence grossière. Supposons $0 < p \leq 1$ ; alors $1/ n^{p} \geq 1/ n$ , et par comparaison il suffit de prouver la divergence de la série harmonique. Suivons l'idée de Nicole Oresme (XIV^e siècle), reprise par Jacques Bernoulli: on regroupe les termes par paquets de longueur $1, 1, 2, 4, 8, \dots$

H_{2^{k}} = 1 + \frac{1}{2} + \geq 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + \geq 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}) + \dots + \geq 2^{k - 1} \cdot \frac{1}{2 ^{k}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 ^{k - 1} + 1} + \dots + \frac{1}{2 ^{k}}) .

Chaque paquet contient $2^{j - 1}$ termes tous supérieurs ou égaux au dernier, $1/ 2^{j}$ ; il vaut donc au moins $\frac{1}{2}$ . Ainsi $H_{2^{k}} \geq 1 + \frac{k}{2}$ , et la suite croissante $(H_{N})$ n'est pas majorée: elle tend vers $+ \infty$ .

Supposons maintenant $p > 1$ et regroupons de la même façon, mais en majorant chaque paquet par son premier terme:

S_{2^{k} - 1} = 1 + \leq 2 \cdot 2^{- p} (\frac{1}{2 ^{p}} + \frac{1}{3 ^{p}}) + \leq 4 \cdot 4^{- p} (\frac{1}{4 ^{p}} + \dots + \frac{1}{7 ^{p}}) + \dots \leq j = 0 \sum k - 1 2^{j} \cdot 2^{- j p} = j = 0 \sum k - 1 (2^{1 - p})^{j} .

Comme $p > 1$ , la raison $q = 2^{1 - p}$ vérifie $0 < q < 1$ , et la somme géométrique est majorée par $\frac{1}{1 - q}$ . Les sommes partielles $S_{2^{k} - 1}$ sont donc majorées, et comme $(S_{N})$ est croissante, toutes les sommes partielles le sont ( $S_{N} \leq S_{2^{k} - 1}$ dès que $N \leq 2^{k} - 1$ ). La série converge par le théorème 4.4. $□$

La figure 4.2 illustre le contraste: $\sum 1/ n$ s'échappe vers l'infini, mais si lentement que $H_{50} \approx 4, 50$ seulement, tandis que $\sum 1/ n^{2}$ s'accumule sous $π^{2} /6 \approx 1, 645$ . Le même contraste s'observe géométriquement en comparant la série avec une intégrale (figure 4.3): les rectangles de hauteur $1/ n$ dominent l'aire sous $1/ x$ , qui est infinie; ceux de hauteur $1/ n^{2}$ sont dominés par l'aire sous $1/ x^{2}$ , qui est finie.

Figure 4.3. Comparaison série–intégrale. À gauche (p = 1), les rectangles de hauteur 1/n sur [n, n+1] contiennent l'aire sous la courbe 1/x, donc H_N ≥ ln(N+1) → +∞. À droite (p = 2), les rectangles de hauteur 1/(n+1)² sont sous la courbe 1/x², donc S_N ≤ 1 + ∫₁^N dx/x² ≤ 2.

Ce théorème sera démontré au chapitre 11, une fois définies l'intégrale et les intégrales impropres; la figure 4.3 en contient toute l'idée: comme $f$ est décroissante, $f (n + 1) \leq \int_{n}^{n + 1} f (x) d x \leq f (n)$ . Pour $f (x) = 1/ x^{p}$ avec $p > 1$ , l'encadrement (4.2) donne une estimation très pratique du reste des séries de Riemann:

\frac{1}{( p - 1 ) ( N + 1 ) ^{p - 1}} \leq R_{N} \leq \frac{1}{( p - 1 ) N ^{p - 1}} . (4.3)

Par exemple, pour $p = 2$ et $N = 10$ , on obtient $0, 0909 \leq R_{10} \leq 0, 1$ , alors que la valeur exacte est $π^{2} /6 - S_{10} \approx 0, 0952$ . L'explorateur ci-dessous permet de visualiser ces sommes partielles et de constater à quel point la convergence est lente lorsque $p$ est proche de $1$ .

Explorateur des sommes partielles de Σ 1/nᵖ

Faites varier l'exposant p et le nombre de termes N: pour p > 1 les sommes partielles s'accumulent sous la limite ζ(p); pour p ≤ 1 elles grimpent sans borne, de plus en plus lentement.

S_N

1,6251

Somme ζ(p)

1,6449

Reste R_N = ζ(p) − S_N

0,0198

Encadrement intégral de R_N

0,0196 … 0,0200

Exposant p2.0

Nombre de termes N50

Exercice

On approche $ζ (3) = \sum_{n \geq 1} 1/ n^{3}$ par sa somme partielle $S_{10}$ . Donnez la majoration du reste $R_{10}$ fournie par l'encadrement (4.3).

Critères de d'Alembert et de Cauchy

Lorsque le terme général contient des factorielles ou des puissances $n$ -ièmes, la comparaison avec une série géométrique se fait automatiquement grâce à deux critères.

Démonstration. 1. Choisissons $q$ tel que $ℓ < q < 1$ . Par définition de la limite, il existe un rang $n_{0}$ à partir duquel $u_{n + 1} / u_{n} \leq q$ . Alors, pour $n \geq n_{0}$ , $u_{n} \leq q u_{n - 1} \leq q^{2} u_{n - 2} \leq \dots \leq q^{n - n_{0}} u_{n_{0}} = C q^{n}$ avec $C = u_{n_{0}} q^{- n_{0}}$ . La série géométrique $\sum C q^{n}$ converge, donc $\sum u_{n}$ converge par comparaison.

Si $ℓ > 1$ , il existe un rang à partir duquel $u_{n + 1} / u_{n} \geq 1$ , donc $(u_{n})$ est croissante et strictement positive: elle ne tend pas vers $0$ , et la série diverge grossièrement.
Pour $u_{n} = 1/ n$ et $u_{n} = 1/ n^{2}$ , le quotient tend vers $1$ dans les deux cas; or la première série diverge et la seconde converge. $□$

Démonstration. Même schéma: si $ℓ < 1$ , on choisit $ℓ < q < 1$ ; à partir d'un certain rang $n u_{n} \leq q$ , c'est-à-dire $u_{n} \leq q^{n}$ , et l'on conclut par comparaison avec la série géométrique. Si $ℓ > 1$ , $u_{n} \geq 1$ à partir d'un certain rang, d'où la divergence grossière. Les mêmes exemples $1/ n$ et $1/ n^{2}$ montrent que $ℓ = 1$ ne permet pas de conclure. $□$

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de l'étude de la série $\sum_{n \geq 1} \frac{n !}{n ^{n}}$ par le critère de d'Alembert.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Simplifier:

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = (\frac{n}{n + 1})^{n} = (1 + \frac{1}{n})^{- n}

Former le quotient

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \cdot \frac{n ^{n}}{n !}

Vérifier que

u_{n} = n! / n^{n}

est strictement positif pour tout

n \geq 1

Conclure:

ℓ = 1/ e < 1

, la série converge

Calculer la limite:

(1 + \frac{1}{n})^{- n} \to e^{- 1} \approx 0, 368

Séries à termes quelconques

Lorsque les termes changent de signe, la suite des sommes partielles n'est plus monotone et le théorème 4.4 ne s'applique plus. Deux idées permettent néanmoins de conclure: se ramener à une série à termes positifs (convergence absolue), ou exploiter l'alternance des signes (critère de Leibniz).

Convergence absolue

Démonstration. On utilise le critère de Cauchy pour les suites (chapitre 3): une suite réelle converge si et seulement si elle est de Cauchy. Notons $S_{N}$ et $T_{N}$ les sommes partielles de $\sum u_{n}$ et $\sum ∣ u_{n} ∣$ . Pour $M > N$ , l'inégalité triangulaire donne

∣ S_{M} - S_{N} ∣ = n = N + 1 \sum M u_{n} \leq n = N + 1 \sum M ∣ u_{n} ∣ = T_{M} - T_{N} .

Comme $(T_{N})$ converge, elle est de Cauchy: pour tout $ε > 0$ il existe $N_{0}$ tel que $T_{M} - T_{N} < ε$ pour $M > N \geq N_{0}$ . L'inégalité ci-dessus montre que $(S_{N})$ est alors de Cauchy, donc convergente. L'inégalité sur les sommes s'obtient en passant à la limite dans $∣ S_{N} ∣ \leq T_{N}$ . $□$

Ce théorème transforme toute la théorie des séries à termes positifs en un outil pour les séries quelconques: si $∣ u_{n} ∣ \leq v_{n}$ avec $\sum v_{n}$ convergente, alors $\sum u_{n}$ converge. Par exemple $\sum \frac{sin n}{n ^{2}}$ converge, puisque $\frac{sin n}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}$ . De même, les critères de d'Alembert et de Cauchy s'appliquent à $∣ u_{n} ∣$ : $\sum \frac{( - 2 ) ^{n}}{n !}$ converge absolument.

Séries alternées

Démonstration. Considérons les sommes partielles de rang pair et de rang impair. On a

S_{2 k + 2} - S_{2 k} = a_{2 k + 2} - a_{2 k + 1} \leq 0, S_{2 k + 3} - S_{2 k + 1} = - a_{2 k + 3} + a_{2 k + 2} \geq 0,

car $(a_{n})$ est décroissante: la suite $(S_{2 k})$ est décroissante et la suite $(S_{2 k + 1})$ est croissante. De plus $S_{2 k} - S_{2 k + 1} = a_{2 k + 1} \to 0$ . Les suites $(S_{2 k + 1})$ et $(S_{2 k})$ sont donc adjacentes (chapitre 3): elles convergent vers une même limite $S$ , et par conséquent $(S_{N})$ converge vers $S$ . Comme $(S_{2 k + 1})$ croît vers $S$ et $(S_{2 k})$ décroît vers $S$ , on a pour tout $k$ : $S_{2 k + 1} \leq S \leq S_{2 k}$ . La somme est donc toujours comprise entre $S_{N}$ et $S_{N + 1}$ , d'où $∣ S - S_{N} ∣ \leq ∣ S_{N + 1} - S_{N} ∣ = a_{N + 1}$ . $□$

Exercice

Que peut-on dire de la série $n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ ?

Calculs de sommes

Savoir qu'une série converge est une chose, calculer sa somme en est une autre. Voici les trois techniques élémentaires qui s'ajoutent à la formule géométrique (4.1).

Séries géométriques dérivées

Démonstration. La convergence absolue résulte du critère de d'Alembert: $\frac{( n + 1 ) ∣ x ∣ ^{n + 1}}{n ∣ x ∣ ^{n}} \to ∣ x ∣ < 1$ . Pour la somme, écrivons $n x^{n} = x^{n} + x^{n} + \dots + x^{n}$ ( $n$ fois) et regroupons autrement, ce qui est légitime pour une série absolument convergente (Callout ci-dessus):

n = 1 \sum \infty n x^{n} = k = 1 \sum \infty n = k \sum \infty x^{n} = k = 1 \sum \infty \frac{x ^{k}}{1 - x} = \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{x}{1 - x} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}} .

On retrouvera (4.5) au chapitre 9 en dérivant terme à terme la série $\sum x^{n} = 1/ (1 - x)$ . $□$

Pour $x = \frac{1}{2}$ : $\sum_{n \geq 1} \frac{n}{2 ^{n}} = \frac{1/2}{1/4} = 2$ . En itérant l'argument, on obtient $\sum n^{2} x^{n} = \frac{x ( 1 + x )}{( 1 - x ) ^{3}}$ , d'où la somme $6$ annoncée à l'exemple 4.2 b).

Séries télescopiques et décomposition en éléments simples

Lorsque le terme général est une fraction rationnelle, on le décompose en éléments simples (chapitre 11) et l'on cherche un télescopage. Ainsi

\frac{1}{4 n ^{2} - 1} = \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}), n = 1 \sum N \frac{1}{4 n ^{2} - 1} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 N + 1}) \to \frac{1}{2} .

Le télescopage peut aussi se faire «à deux pas»: $\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ , et dans la somme partielle seuls les deux premiers termes positifs survivent: $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ .

Développements décimaux périodiques

Un nombre décimal illimité périodique n'est rien d'autre qu'une série géométrique déguisée. Par exemple

0, 272727 \dots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10 0 ^{2}} + \frac{27}{10 0 ^{3}} + \dots = \frac{27}{100} \cdot \frac{1}{1 - 1/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} .

Cette remarque démontre qu'un développement décimal périodique représente toujours un nombre rationnel (la réciproque, vue au chapitre 1, résulte de l'algorithme de division). Elle règle aussi une question qui trouble beaucoup d'étudiants:

0, 999 \dots = n = 1 \sum \infty \frac{9}{1 0 ^{n}} = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{1 - 1/10} = 1.

Il ne s'agit pas d'une approximation: $0, 999 \dots$ est le nombre $1$ , écrit autrement, exactement comme $\frac{1}{2}$ et $0, 5$ sont le même nombre. Les sommes partielles $0, 9$ ; $0, 99$ ; $0, 999$ … en sont des valeurs approchées, mais la somme de la série, c'est-à-dire leur limite, vaut $1$ .

Exercice

Calculez la somme $n = 0 \sum \infty (\frac{2}{5})^{n}$ .

Exercice

Écrivez le nombre $0, 363636 \dots$ sous forme de fraction irréductible $a / b$ et donnez la valeur de $a + b$ .

Application: séries et représentation des nombres

Le nombre e comme somme d'une série

Au chapitre 3, le nombre $e$ a été défini comme limite de la suite $(1 + 1/ n)^{n}$ . Les séries en donnent une représentation bien plus efficace pour le calcul.

Démonstration. La convergence résulte de d'Alembert ( $u_{n + 1} / u_{n} = 1/ (n + 1) \to 0$ ). L'identification de la somme avec la limite de $(1 + 1/ n)^{n}$ est admise ici; elle se déduit de la formule du binôme et sera reprise au chapitre 9 avec la formule de Taylor. Démontrons la majoration du reste, qui est l'énoncé vraiment utile. Pour $k \geq 1$ , on a $(N + k)! = N! (N + 1) (N + 2) \dots (N + k) \geq N! (N + 1)^{k}$ , donc

R_{N} = k = 1 \sum \infty \frac{1}{( N + k )!} \leq \frac{1}{N !} k = 1 \sum \infty \frac{1}{( N + 1 ) ^{k}} = \frac{1}{N !} \cdot \frac{1/ ( N + 1 )}{1 - 1/ ( N + 1 )} = \frac{1}{N ! N} .

L'inégalité est stricte puisque $(N + k)! > N! (N + 1)^{k}$ dès que $k \geq 2$ , et $R_{N} > 0$ car tous les termes sont strictement positifs. $□$

Cette majoration est remarquablement fine: pour $N = 5$ , $S_{5} = 2, 716667$ , l'erreur réelle est $0, 001615$ et la borne (4.6) vaut $1/600 = 0, 001667$ . Pour $N = 10$ , l'erreur est inférieure à $1/ (10! \cdot 10) \approx 2, 8 \cdot 1 0^{- 8}$ : onze termes suffisent pour sept décimales, là où la suite $(1 + 1/ n)^{n}$ en demanderait des dizaines de millions. C'est l'une des raisons pour lesquelles les bibliothèques numériques calculent les fonctions usuelles par des séries (et non par leur définition comme limite).

L'irrationalité de e

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons $e = \frac{a}{b}$ avec $a, b \in N^{*}$ . Comme $2 < e < 3$ , on a $b \geq 2$ . Appliquons (4.6) avec $N = b$ et multiplions par $b!$ :

0 < b! e - b! n = 0 \sum b \frac{1}{n !} < \frac{b !}{b ! b} = \frac{1}{b} \leq \frac{1}{2} .

Or $b! e = b! a / b = a (b - 1)!$ est un entier, et $b! / n!$ est un entier pour tout $n \leq b$ : la quantité du milieu est donc un entier strictement compris entre $0$ et $\frac{1}{2}$ . C'est absurde. Donc $e \in / Q$ . $□$

L'argument est typique de la façon dont une bonne majoration du reste renseigne sur la nature arithmétique d'un nombre: la série de $e$ converge «trop vite» pour que $e$ soit rationnel. La même idée, considérablement raffinée, conduit aux preuves d'irrationalité de $π$ et de $ζ (3)$ .

Erreur d'un développement tronqué

Exemple 4.4 · Tronquer une série en pratique

Flèche d'une poutre par série de Fourier. La flèche au milieu d'une poutre simplement appuyée de portée $L$ , de rigidité $E I$ , sous charge uniforme $q$ , s'écrit comme la somme de la série alternée (chapitre 11)

w (\frac{L}{2}) = \frac{4 q L ^{4}}{π ^{5} E I} k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{( 2 k + 1 ) ^{5}} = \frac{4 q L ^{4}}{π ^{5} E I} (1 - \frac{1}{3 ^{5}} + \frac{1}{5 ^{5}} - \dots) .

Les hypothèses du critère de Leibniz sont satisfaites, et la majoration (4.4) donne l'erreur relative commise en ne gardant que le premier terme: au plus $1/ 3^{5} = 1/243 \approx 0, 41 %$ . La valeur exacte est $\frac{5 q L ^{4}}{384 E I}$ , et $\frac{4}{π ^{5}} = 0, 013071$ contre $\frac{5}{384} = 0, 013021$ : erreur réelle $0, 39 %$ , conforme à la borne, et bien en deçà de la précision des données d'un projet. Le premier terme de la série suffit.

Troncature d'une réponse impulsionnelle. Pour implanter le filtre de l'exemple 4.1 ( $h_{n} = a^{n}$ , $a = 0, 9$ ) sous forme de convolution finie, on ne conserve que les $K$ premiers coefficients. L'énergie négligée, rapportée au gain total, vaut

\frac{\sum _{n \geq K} a ^{n}}{\sum _{n \geq 0} a ^{n}} = \frac{a ^{K} / ( 1 - a )}{1/ ( 1 - a )} = a^{K} .

Pour que cette erreur relative soit inférieure à $1 %$ , il faut $a^{K} < 0, 01$ , soit $K > \frac{ln 0 , 01}{ln 0 , 9} = 43, 7$ : il faut donc conserver $K = 44$ coefficients. Le reste de la série géométrique (4.1) donne directement la réponse.

Exercice

Pour calculer $e$ avec une erreur inférieure à $1 0^{- 6}$ au moyen de la série $\sum 1/ n!$ , quel est le plus petit nombre $N$ pour lequel la borne (4.6) garantit cette précision?

Synthèse

Une série $\sum u_{n}$ est la suite de ses sommes partielles $S_{N}$ ; elle converge si $(S_{N})$ converge, et sa somme est la limite. Si elle converge, $u_{n} \to 0$ ; la réciproque est fausse (série harmonique).
Séries de référence: $\sum x^{n}$ converge si et seulement si $∣ x ∣ < 1$ , de somme $1/ (1 - x)$ ; $\sum 1/ n^{p}$ converge si et seulement si $p > 1$ .
Pour une série à termes positifs, la convergence équivaut à la majoration des sommes partielles; on conclut par comparaison (inégalité ou équivalent), par d'Alembert ( $u_{n + 1} / u_{n} \to ℓ$ ), par Cauchy ( $n u_{n} \to ℓ$ ) ou par comparaison avec une intégrale.
La convergence absolue entraîne la convergence (critère de Cauchy); une série alternée dont le terme décroît vers $0$ converge (Leibniz), avec $∣ R_{N} ∣ \leq a_{N + 1}$ .
Sommes explicites: géométriques et dérivées ( $\sum n x^{n} = x / (1 - x)^{2}$ ), télescopiques, développements décimaux périodiques ( $0, 999 \dots = 1$ ).
La majoration du reste $0 < e - S_{N} < 1/ (N! N)$ rend le calcul de $e$ efficace et démontre son irrationalité.

Série d'exercices du chapitre 4

Exercice 1 sur 5

Exercice

La série $n \geq 1 \sum \frac{n}{n ^{2} + 1}$ …

Problème guidé

Nature et somme de Σ (n+1)/3ⁿ

On considère la série $n \geq 0 \sum u_{n}$ avec $u_{n} = \frac{n + 1}{3 ^{n}}$ . On veut établir sa convergence, puis calculer sa somme exacte en la décomposant en deux séries connues.

1
Critère de d'Alembert
Les termes sont strictement positifs; formez le quotient $u_{n + 1} / u_{n}$ et calculez sa limite.
Exercice
Quelle est la limite $ℓ$ de $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ ?
Partie géométrique
Partie géométrique dérivée
Conclusion

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 4.1 · Nature de séries

Déterminer la nature de chacune des séries suivantes, en précisant le critère utilisé.

a) n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{2} + 1} b) n \geq 1 \sum \frac{n}{n ^{2} - n + 1} c) n \geq 1 \sum \frac{n ^{3}}{3 ^{n}} d) n \geq 1 \sum (\frac{2 n + 1}{3 n + 2})^{n} e) n \geq 1 \sum \frac{n !}{2 ^{n}} f) n \geq 1 \sum \frac{1}{n ( n + 1 )}

Solution

a) $0 < \frac{1}{n ^{2} + 1} < \frac{1}{n ^{2}}$ et $\sum 1/ n^{2}$ converge (Riemann, $p = 2$ ): la série converge par comparaison.

b) $\frac{n}{n ^{2} - n + 1} \sim \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n ^{3/2}}$ , terme général d'une série de Riemann convergente ( $p = 3/2 > 1$ ). Les termes sont positifs: la série converge par comparaison des équivalents.

c) Termes strictement positifs; d'Alembert: $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( n + 1 ) ^{3}}{3 ^{n + 1}} \cdot \frac{3 ^{n}}{n ^{3}} = \frac{1}{3} (1 + \frac{1}{n})^{3} \to \frac{1}{3} < 1$ . La série converge.

d) Cauchy: $n u_{n} = \frac{2 n + 1}{3 n + 2} \to \frac{2}{3} < 1$ . La série converge.

e) d'Alembert: $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{2 ^{n + 1}} \cdot \frac{2 ^{n}}{n !} = \frac{n + 1}{2} \to + \infty$ . La série diverge; en fait $u_{n} \to + \infty$ , la divergence est grossière.

f) $\frac{1}{n ( n + 1 )} \sim \frac{1}{n}$ (car $n (n + 1) / n = 1 + 1/ n \to 1$ ), et la série harmonique diverge. Termes positifs: la série diverge par comparaison des équivalents.

Exercice 4.2 · Calculs de sommes

Calculer les sommes suivantes après avoir justifié leur convergence.

a) n = 1 \sum \infty \frac{1}{4 n ^{2} - 1} b) n = 0 \sum \infty \frac{n + 2}{2 ^{n}} c) n = 2 \sum \infty ln (1 - \frac{1}{n ^{2}}) d) 0, 1 \overline{6} = 0, 1666 \dots (sous forme de fraction)

Solution

a) Le terme général est équivalent à $\frac{1}{4 n ^{2}}$ : convergence. Décomposition en éléments simples:

\frac{1}{4 n ^{2} - 1} = \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}) .

Télescopage: $S_{N} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2 N - 1} - \frac{1}{2 N + 1}) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 N + 1}) \to \frac{1}{2}$ . Donc $n = 1 \sum \infty \frac{1}{4 n ^{2} - 1} = \frac{1}{2}$ .

b) Convergence par d'Alembert (quotient $\to 1/2$ ). Par linéarité, avec la formule (4.5) et la série géométrique:

n = 0 \sum \infty \frac{n + 2}{2 ^{n}} = n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}} + 2 n = 0 \sum \infty \frac{1}{2 ^{n}} = \frac{1/2}{( 1/2 ) ^{2}} + 2 \cdot 2 = 2 + 4 = 6.

c) Pour $n \geq 2$ , $1 - \frac{1}{n ^{2}} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 )}{n ^{2}}$ , donc

ln (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = ln (n - 1) + ln (n + 1) - 2 ln n = [ln (n + 1) - ln n] - [ln n - ln (n - 1)] .

Posons $b_{n} = ln n - ln (n - 1)$ ; le terme général vaut $b_{n + 1} - b_{n}$ et la série télescope: $S_{N} = b_{N + 1} - b_{2} = ln \frac{N + 1}{N} - ln 2 \to - ln 2$ . La série converge (proposition 4.3, car $b_{n} \to 0$ ) et $n = 2 \sum \infty ln (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = - ln 2 \approx - 0, 6931$ . On peut aussi noter que $ln (1 - 1/ n^{2}) \sim - 1/ n^{2}$ pour justifier la convergence directement.

d) $0, 1666 \dots = \frac{1}{10} + \frac{6}{100} + \frac{6}{1000} + \dots = \frac{1}{10} + \frac{6}{100} \cdot \frac{1}{1 - 1/10} = \frac{1}{10} + \frac{6}{90} = \frac{9 + 6}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ .

Exercice 4.3 · Séries alternées

a) Montrer que la série $n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ converge. Est-elle absolument convergente? Combien de termes faut-il sommer pour que la majoration (4.4) garantisse une erreur inférieure à $1 0^{- 2}$ ?

b) La série $n \geq 1 \sum (- 1)^{n} \frac{n}{n + 1}$ est-elle convergente?

c) Montrer que la série $n \geq 2 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + ( - 1 ) ^{n}}$ est alternée, que son terme général tend vers $0$ , mais qu'elle diverge. Pourquoi le critère de Leibniz ne s'applique-t-il pas? (Indication: multiplier numérateur et dénominateur par $n - (- 1)^{n}$ et séparer en deux séries.)

Solution

a) La suite $a_{n} = 1/ n$ est décroissante, positive, de limite nulle: par le critère de Leibniz, $\sum (- 1)^{n} / n$ converge. Elle n'est pas absolument convergente, car $\sum 1/ n$ est une série de Riemann avec $p = 1/2 \leq 1$ : la série est semi-convergente.

D'après (4.4), $∣ R_{N} ∣ \leq a_{N + 1} = \frac{1}{N + 1}$ . Pour garantir $∣ R_{N} ∣ \leq 1 0^{- 2}$ , il suffit que $N + 1 \geq 100$ , c'est-à-dire $N + 1 \geq 1 0^{4}$ , soit $N = 9999$ : il faut sommer $9999$ termes. C'est le prix de la semi-convergence: la convergence est extrêmement lente.

b) Le terme général $(- 1)^{n} \frac{n}{n + 1}$ ne tend pas vers $0$ (sa valeur absolue tend vers $1$ ): la série diverge grossièrement, quelle que soit l'alternance des signes. Le critère de Leibniz exige $a_{n} \to 0$ .

c) Pour $n \geq 2$ , $n + (- 1)^{n} \geq 2 - 1 > 0$ : le terme général a le signe de $(- 1)^{n}$ , la série est bien alternée, et $∣ u_{n} ∣ = \frac{1}{n + ( - 1 ) ^{n}} \to 0$ . Multiplions numérateur et dénominateur par $n - (- 1)^{n}$ :

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} ( n - ( - 1 ) ^{n} )}{n - 1} = \frac{( - 1 ) ^{n} n}{n - 1} - \frac{1}{n - 1} .

La série $\sum (- 1)^{n} \frac{n}{n - 1}$ converge par le critère de Leibniz: la fonction $f (x) = x / (x - 1)$ a pour dérivée $f^{'} (x) = \frac{- ( x + 1 )}{2 x ( x - 1 ) ^{2}} < 0$ sur $] 1, + \infty [$ , donc $n / (n - 1)$ décroît, et elle tend vers $0$ . La série $\sum \frac{1}{n - 1}$ est la série harmonique (décalée): elle diverge. Une série convergente plus une série divergente est divergente: $\sum u_{n}$ diverge.

Le critère de Leibniz ne s'applique pas parce que la suite $a_{n} = ∣ u_{n} ∣ = \frac{1}{n + ( - 1 ) ^{n}}$ n'est pas décroissante: $a_{2} = \frac{1}{2 + 1} \approx 0, 41$ , $a_{3} = \frac{1}{3 - 1} \approx 1, 37$ , $a_{4} = \frac{1}{3} \approx 0, 33$ , $a_{5} = \frac{1}{5 - 1} \approx 0, 81$ , etc. L'hypothèse de décroissance est donc essentielle, et non un simple confort technique.

Exercice 4.4 · Balle rebondissante et emprunt

a) Une balle est lâchée d'une hauteur $h_{0} = 2$ m; à chaque rebond, elle remonte à une hauteur égale à $k = 0, 8$ fois la hauteur précédente. On rappelle que la durée d'une chute libre de hauteur $h$ vaut $2 h / g$ avec $g = 9, 81$ m/s². Calculer la distance totale parcourue et la durée totale du mouvement jusqu'à l'immobilisation. Commenter: la balle rebondit une infinité de fois en un temps fini.

b) Un emprunt de $C$ francs au taux annuel $i = 3 %$ est remboursé par $N$ annuités constantes $A$ versées en fin d'année. Exprimer $C$ comme somme finie géométrique, en déduire $A$ en fonction de $C$ , $i$ , $N$ , et montrer qu'à la limite $N \to \infty$ on retrouve la rente perpétuelle $C = A / i$ de l'exemple 4.1. Application: $C = 20000$ CHF, $N = 20$ ans.

Solution

a) Distance. La balle tombe de $h_{0}$ , puis pour chaque rebond $n \geq 1$ elle monte et redescend de $h_{n} = k^{n} h_{0}$ :

D = h_{0} + 2 n = 1 \sum \infty k^{n} h_{0} = h_{0} + 2 h_{0} \frac{k}{1 - k} = h_{0} \frac{1 + k}{1 - k} = 2 \cdot \frac{1 , 8}{0 , 2} = 18 m .

Durée. La durée d'une chute de hauteur $h$ est $t (h) = 2 h / g$ , et la remontée dure autant. Avec $t_{0} = 2 h_{0} / g = 4/9, 81 = 0, 6386$ s et $t (k^{n} h_{0}) = t_{0} (k)^{n}$ :

T = t_{0} + 2 n = 1 \sum \infty t_{0} (k)^{n} = t_{0} (1 + \frac{2 k}{1 - k}) = t_{0} \frac{1 + k}{1 - k} .

Avec $0, 8 = 0, 8944$ : $T = 0, 6386 \times \frac{1 , 8944}{0 , 1056} = 11, 46$ s.

Commentaire. La balle effectue une infinité de rebonds, mais leurs durées forment une série géométrique de raison $k < 1$ : la somme est finie. C'est exactement la situation du paradoxe de Zénon; en pratique, le modèle cesse d'être valable bien avant, lorsque la hauteur de rebond devient comparable aux déformations de la balle.

b) Emprunt. L'équivalence financière entre le capital reçu aujourd'hui et les $N$ annuités actualisées s'écrit

C = n = 1 \sum N \frac{A}{( 1 + i ) ^{n}} = A \cdot \frac{1}{1 + i} \cdot \frac{1 - ( 1 + i ) ^{- N}}{1 - ( 1 + i ) ^{- 1}} = A \frac{1 - ( 1 + i ) ^{- N}}{i},

d'où l'annuité $A = \frac{C i}{1 - ( 1 + i ) ^{- N}}$ . Lorsque $N \to \infty$ , $(1 + i)^{- N} \to 0$ car $0 < 1/ (1 + i) < 1$ , et l'on obtient $C = A / i$ : la somme partielle de rang $N$ de la série géométrique de l'exemple 4.1 tend vers sa somme, la rente perpétuelle.

Application. $C = 20000$ CHF, $i = 0, 03$ , $N = 20$ : $(1, 03)^{- 20} = 0, 5537$ , donc

A = \frac{20 000 \times 0 , 03}{1 - 0 , 5537} = \frac{600}{0 , 4463} = 1344, 31 CHF par an .

Le total remboursé est $20 \times 1344, 31 = 26886$ CHF, soit $6886$ CHF d'intérêts.

Exercice 4.5 · Deux résultats à démontrer

a) Soit $(u_{n})$ une suite à termes positifs telle que $\sum u_{n}$ converge. Montrer que $\sum u_{n}^{2}$ converge, puis que $\sum \frac{u _{n}}{n}$ converge (indication: $2 ab \leq a^{2} + b^{2}$ ). Ces résultats subsistent-ils si l'on supprime l'hypothèse $u_{n} \geq 0$ ? (Considérer $u_{n} = (- 1)^{n} / n$ .)

b) Condensation de Cauchy. Soit $(u_{n})_{n \geq 1}$ une suite positive et décroissante. Montrer que les séries $\sum_{n \geq 1} u_{n}$ et $\sum_{k \geq 0} 2^{k} u_{2^{k}}$ sont de même nature. En déduire la nature de $\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n ln n}$ et de $\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n ( ln n ) ^{2}}$ .

Solution

a) Convergence de $\sum u_{n}^{2}$ . Comme $\sum u_{n}$ converge, $u_{n} \to 0$ (théorème 4.1); il existe donc un rang $n_{0}$ à partir duquel $0 \leq u_{n} \leq 1$ . Pour $n \geq n_{0}$ , on a alors $0 \leq u_{n}^{2} \leq u_{n}$ . Par le critère de comparaison (théorème 4.5), $\sum u_{n}^{2}$ converge.

Convergence de $\sum u_{n} / n$ . L'inégalité $2 ab \leq a^{2} + b^{2}$ (qui équivaut à $(a - b)^{2} \geq 0$ ) appliquée à $a = u_{n}$ et $b = 1/ n$ donne

0 \leq \frac{u _{n}}{n} \leq \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{1}{n ^{2}}) .

Le membre de droite est le terme général d'une série convergente (somme de $\sum u_{n}$ et de la série de Riemann $\sum 1/ n^{2}$ , à un facteur près). Par comparaison, $\sum u_{n} / n$ converge.

Sans l'hypothèse de signe. Prenons $u_{n} = (- 1)^{n} / n$ ( $n \geq 1$ ). La série $\sum u_{n}$ converge par le critère de Leibniz (exercice 4.3 a), mais $u_{n}^{2} = 1/ n$ : la série $\sum u_{n}^{2}$ est la série harmonique, divergente. Le résultat tombe donc en défaut pour les séries semi-convergentes; l'hypothèse $u_{n} \geq 0$ (ou, plus généralement, la convergence absolue de $\sum u_{n}$ , qui donne encore $∣ u_{n} ∣ \leq 1$ puis $u_{n}^{2} \leq ∣ u_{n} ∣$ ) est indispensable. Quant à $u_{n}$ , elle n'est même pas définie lorsque $u_{n} < 0$ .

b) Condensation de Cauchy. Notons $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} u_{n}$ et $T_{K} = \sum_{k = 0}^{K} 2^{k} u_{2^{k}}$ . Les deux séries sont à termes positifs; il suffit donc de montrer que $(S_{N})$ est majorée si et seulement si $(T_{K})$ l'est (théorème 4.4).

Si $(T_{K})$ est majorée. Regroupons les termes de $S_{N}$ par paquets d'indices $[2^{k}, 2^{k + 1} - 1]$ , qui contiennent $2^{k}$ termes, tous majorés par le premier, $u_{2^{k}}$ , puisque $(u_{n})$ décroît. Pour $N \leq 2^{K + 1} - 1$ :

S_{N} \leq k = 0 \sum K (u_{2^{k}} + u_{2^{k} + 1} + \dots + u_{2^{k + 1} - 1}) \leq k = 0 \sum K 2^{k} u_{2^{k}} = T_{K} .

Donc $(S_{N})$ est majorée par $sup_{K} T_{K}$ et $\sum u_{n}$ converge.

Si $(S_{N})$ est majorée. Regroupons cette fois par paquets d'indices $[2^{k - 1} + 1, 2^{k}]$ ( $k \geq 1$ ), qui contiennent $2^{k - 1}$ termes, tous minorés par le dernier, $u_{2^{k}}$ :

S_{2^{K}} = u_{1} + k = 1 \sum K (u_{2^{k - 1} + 1} + \dots + u_{2^{k}}) \geq u_{1} + k = 1 \sum K 2^{k - 1} u_{2^{k}} = u_{1} + \frac{1}{2} (T_{K} - u_{1}) = \frac{1}{2} T_{K} + \frac{1}{2} u_{1} .

Ainsi $T_{K} \leq 2 S_{2^{K}} - u_{1} \leq 2 sup_{N} S_{N}$ : la suite $(T_{K})$ est majorée et $\sum 2^{k} u_{2^{k}}$ converge. Les deux séries sont donc de même nature. (Ce sont exactement les deux regroupements utilisés dans la démonstration du théorème 4.6.)

Applications. Pour $u_{n} = \frac{1}{n ln n}$ ( $n \geq 2$ ), suite positive décroissante: $2^{k} u_{2^{k}} = \frac{2 ^{k}}{2 ^{k} ln ( 2 ^{k} )} = \frac{1}{k ln 2}$ , terme général d'une série harmonique (à un facteur près), divergente. Donc $n \geq 2 \sum \frac{1}{n ln n}$ diverge, bien que son terme général soit négligeable devant $1/ n$ : la comparaison avec les séries de Riemann ne permettait pas de conclure.

Pour $u_{n} = \frac{1}{n ( ln n ) ^{2}}$ : $2^{k} u_{2^{k}} = \frac{1}{k ^{2} ( ln 2 ) ^{2}}$ , terme général d'une série de Riemann convergente ( $p = 2$ ). Donc $n \geq 2 \sum \frac{1}{n ( ln n ) ^{2}}$ converge. Plus généralement, $\sum \frac{1}{n ( ln n ) ^{q}}$ converge si et seulement si $q > 1$ (séries de Bertrand).

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (chapitres sur les séries numériques).
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles (chapitre «Suites et séries»).
Spivak, M., Calculus, 4^e éd., Publish or Perish (chapitre 23, Infinite Series).
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3^e éd., McGraw-Hill (chapitre 3).
Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, tome 3, Masson, Paris.

Objectifs du chapitre

Sommes infinies: définitions

La condition nécessaire

La série géométrique

Séries télescopiques

Séries à termes positifs

Comparaison

Séries de Riemann

Explorateur des sommes partielles de Σ 1/nᵖ

Critères de d'Alembert et de Cauchy

Séries à termes quelconques

Convergence absolue

Séries alternées

Calculs de sommes

Séries géométriques dérivées

Séries télescopiques et décomposition en éléments simples

Développements décimaux périodiques

Application: séries et représentation des nombres

Le nombre e comme somme d'une série

L'irrationalité de e

Erreur d'un développement tronqué

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 4

Nature et somme de Σ (n+1)/3ⁿ

Critère de d'Alembert

Partie géométrique

Partie géométrique dérivée

Conclusion

Exercices

Références