Techniques d'intégration et intégrales impropres · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

calculer une intégrale par parties, en choisissant judicieusement le facteur à dériver et le facteur à intégrer;
effectuer un changement de variable dans une intégrale, dans les deux sens, et reconnaître les substitutions trigonométriques et hyperboliques classiques;
décomposer une fraction rationnelle en éléments simples et en déterminer une primitive;
définir une intégrale impropre, étudier sa convergence par comparaison et par équivalents, et connaître les intégrales de référence;
utiliser l'intégrale pour calculer des aires, des volumes de révolution, des longueurs d'arc, des centres de gravité et des travaux;
démontrer les formules du chapitre (intégration par parties, changement de variable, critère de comparaison, $Γ (n + 1) = n!$ ).

Intégration par parties

Le chapitre 10 a montré que calculer une intégrale, c'est trouver une primitive. Or les règles de dérivation ne s'inversent pas toutes de façon évidente: la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées, et l'on ne dispose d'aucune «formule du produit» pour les primitives. L'intégration par parties est le remède partiel: elle transforme l'intégrale d'un produit en une autre intégrale, que l'on espère plus simple. C'est l'outil qui permet par exemple de calculer la réponse d'un circuit RC à une rampe de tension, ou l'énergie d'un signal amorti $t e^{- t / τ}$ .

Démonstration. Par la règle de dérivation d'un produit (chapitre 7), $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , et cette fonction est continue sur $[a, b]$ . Le théorème fondamental du calcul intégral (chapitre 10) donne

[uv]_{a}^{b} = \int_{a}^{b} (uv)^{'} (x) d x = \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x + \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x,

et il suffit d'isoler la dernière intégrale. $□$

Tout l'art consiste à choisir, dans le produit à intégrer, quel facteur jouera le rôle de $u$ (celui que l'on dérive) et quel facteur jouera le rôle de $v^{'}$ (celui dont on cherche une primitive). Le choix est bon si $u^{'} v$ est plus simple que $u v^{'}$ .

Exemple 11.1 · Les quatre situations classiques

a) Polynôme fois exponentielle. Pour $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ , on pose $u = x$ , $v^{'} = e^{x}$ , donc $u^{'} = 1$ , $v = e^{x}$ :

\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1.

b) Un facteur invisible. Pour $\int ln x d x$ , on écrit $ln x = 1 \cdot ln x$ et l'on pose $u = ln x$ , $v^{'} = 1$ , d'où $u^{'} = 1/ x$ , $v = x$ :

\int ln x d x = x ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x ln x - x + C .

Le même artifice donne $\int arctan x d x = x arctan x - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C$ (la dernière intégrale sera justifiée par changement de variable dans l'exemple 11.3).

c) Deux intégrations successives. Pour $\int_{0}^{π} x^{2} sin x d x$ , chaque intégration par parties abaisse le degré du polynôme d'une unité. Avec $u = x^{2}$ , $v^{'} = sin x$ :

\int_{0}^{π} x^{2} sin x d x = [- x^{2} cos x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} x cos x d x = π^{2} + 2 \int_{0}^{π} x cos x d x .

Puis, avec $u = x$ , $v^{'} = cos x$ : $\int_{0}^{π} x cos x d x = [x sin x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} sin x d x = 0 - 2 = - 2$ . Finalement $\int_{0}^{π} x^{2} sin x d x = π^{2} - 4 \approx 5, 870$ .

d) La méthode du retour. Pour $I = \int e^{x} cos x d x$ , aucun facteur ne se simplifie. Intégrons deux fois par parties en dérivant chaque fois le cosinus:

I = e^{x} cos x + \int e^{x} sin x d x = e^{x} cos x + e^{x} sin x - \int e^{x} cos x d x = e^{x} (cos x + sin x) - I .

L'intégrale de départ réapparaît avec un signe moins: on résout $2 I = e^{x} (cos x + sin x)$ , d'où $I = \frac{e ^{x} ( cos x + sin x )}{2} + C$ . En électrotechnique, c'est exactement le calcul qui donne le régime permanent d'un circuit RL alimenté en sinusoïdal.

Exercice

Pour calculer $\int x^{3} ln x d x$ par parties, quel choix de $u$ et $v^{'}$ conduit au calcul le plus simple?

Les intégrales de Wallis

L'intégration par parties est aussi un moteur de relations de récurrence. L'exemple le plus célèbre est dû à John Wallis (1656), bien avant Newton et Leibniz.

Démonstration. Les valeurs de $W_{0}$ et $W_{1}$ sont immédiates. Pour $n \geq 2$ , écrivons $sin^{n} x = sin^{n - 1} x \cdot sin x$ et intégrons par parties avec $u = sin^{n - 1} x$ , $v^{'} = sin x$ , donc $u^{'} = (n - 1) sin^{n - 2} x cos x$ et $v = - cos x$ :

W_{n} = [- sin^{n - 1} x cos x]_{0}^{π /2} + (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n - 2} x cos^{2} x d x = (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n - 2} x (1 - sin^{2} x) d x,

car le crochet est nul aux deux bornes ( $cos (π /2) = 0$ et $sin 0 = 0$ ). Ainsi $W_{n} = (n - 1) (W_{n - 2} - W_{n})$ , soit $n W_{n} = (n - 1) W_{n - 2}$ . Les formules closes s'obtiennent en itérant (11.2) jusqu'à $W_{0}$ ou $W_{1}$ : par exemple $W_{2 p} = \frac{2 p - 1}{2 p} \cdot \frac{2 p - 3}{2 p - 2} \dots \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ , et l'on complète numérateur et dénominateur par les facteurs pairs pour faire apparaître $(2 p)!$ . $□$

Les premières valeurs sont $W_{2} = π /4$ , $W_{3} = 2/3$ , $W_{4} = 3 π /16 \approx 0, 589$ , $W_{5} = 8/15$ . L'exercice 11.5 montre que $W_{n}$ décroît vers 0 et que $n W_{n} W_{n - 1} = π /2$ ; on en déduit la formule de Wallis $π = lim 2^{4 p} (p!)^{4} / (p ((2 p)!)^{2})$ , l'une des premières expressions de $π$ comme limite d'une suite de rationnels.

La formule de Taylor avec reste intégral

Au chapitre 9, le reste de la formule de Taylor était donné sous la forme de Lagrange, avec un point intermédiaire inconnu. L'intégration par parties fournit une expression exacte de ce reste, très utile pour les estimations numériques.

Démonstration. Par récurrence sur $n$ . Pour $n = 0$ , la formule s'écrit $f (x) = f (a) + \int_{a}^{x} f^{'} (t) d t$ : c'est le théorème fondamental. Supposons (11.3) vraie au rang $n$ pour toute fonction de classe $C^{n + 1}$ , et soit $f$ de classe $C^{n + 2}$ . Intégrons le reste par parties en posant $u = f^{(n + 1)} (t)$ et $v^{'} = \frac{( x - t ) ^{n}}{n !}$ , donc $v = - \frac{( x - t ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ (la variable est $t$ , et $x$ est fixé):

\int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t = [- \frac{( x - t ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} f^{(n + 1)} (t)]_{a}^{x} + \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} f^{(n + 2)} (t) d t .

Le crochet vaut $\frac{f ^{(n + 1)} ( a )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}$ , qui est exactement le terme manquant du polynôme de Taylor au rang $n + 1$ ; l'intégrale restante est le reste au rang $n + 1$ . $□$

Si $∣ f^{(n + 1)} ∣ \leq M$ sur $I$ , la majoration $\int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ redonne l'inégalité de Taylor–Lagrange du chapitre 9.

Exercice

Calculez $\int_{0}^{π} x^{2} cos x d x$ (deux intégrations par parties).

Changement de variable

La deuxième règle de dérivation qui s'inverse est la règle de la chaîne. Elle donne la technique la plus puissante du calcul intégral: remplacer la variable d'intégration par une fonction d'une nouvelle variable, en n'oubliant pas de transformer l'élément différentiel $d x$ et les bornes.

Démonstration. Soit $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle considéré (elle existe car $f$ est continue, chapitre 10). Par la règle de la chaîne, la fonction $t \mapsto F (φ (t))$ est de classe $C^{1}$ sur $[α, β]$ , de dérivée $F^{'} (φ (t)) φ^{'} (t) = f (φ (t)) φ^{'} (t)$ . Le théorème fondamental appliqué à cette fonction donne

\int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = F (φ (β)) - F (φ (α)) = \int_{φ (α)}^{φ (β)} f (x) d x . □

Notez que $φ$ n'a pas besoin d'être monotone ni bijective: la formule reste vraie si $φ$ «fait des allers-retours», les contributions se compensant. Dans la pratique, on utilise la formule dans deux sens.

De droite à gauche (on reconnaît une dérivée composée): l'intégrande est de la forme $f (φ (t)) φ^{'} (t)$ ; on pose $x = φ (t)$ , $d x = φ^{'} (t) d t$ , et l'on intègre $f$ entre $φ (α)$ et $φ (β)$ . Exemple type: $\int \frac{φ ^{'} ( t )}{φ ( t )} d t = ln ∣ φ (t)∣ + C$ .
De gauche à droite (on impose une paramétrisation): on remplace $x$ par $φ (t)$ avec $φ$ bijective, on calcule $d x = φ^{'} (t) d t$ , on transforme les bornes en résolvant $φ (t) = a$ et $φ (t) = b$ . C'est le sens des substitutions trigonométriques.

Figure 11.1. Le changement de variable u = x² dans ∫ 2x cos(x²) dx. Une bande verticale de largeur Δx en abscisse x est envoyée sur une bande de largeur ≈ 2x·Δx, mais sa hauteur est divisée par le même facteur 2x: l'aire de chaque bande, donc l'aire totale, est conservée.

Substitutions classiques

Les substitutions suivantes éliminent les racines carrées des expressions quadratiques grâce aux identités $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ et $cosh^{2} t - sinh^{2} t = 1$ (chapitre 6).

Expression	Substitution	Simplification	Domaine de $t$
$a^{2} - x^{2}$	$x = a sin t$	$a cos t$	$[- π /2, π /2]$
$a^{2} + x^{2}$	$x = a sinh t$ (ou $a tan t$ )	$a cosh t$	$R$
$x^{2} - a^{2}$ , $x \geq a$	$x = a cosh t$	$a sinh t$	$[0, + \infty [$
$\frac{1}{a ^{2} + x ^{2}}$	$x = a tan t$	$\frac{cos ^{2} t}{a ^{2}}$	$] - π /2, π /2 [$

Pour les intégrales d'une fraction rationnelle en $sin x$ et $cos x$ , la substitution universelle $t = tan (x /2)$ ramène toujours à une fraction rationnelle en $t$ grâce aux formules

sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, d x = \frac{2 d t}{1 + t ^{2}} . (11.5)

Elle se démontre à partir des formules de duplication: $sin x = 2 sin (x /2) cos (x /2) = 2 tan (x /2) cos^{2} (x /2)$ et $cos^{2} (x /2) = 1/ (1 + tan^{2} (x /2))$ . Elle est efficace mais souvent lourde: avant de l'employer, on essaie $u = sin x$ (si l'intégrande est impair en $cos x$ ), $u = cos x$ (impair en $sin x$ ) ou $u = tan x$ (invariant par $x \mapsto x + π$ ).

Parité et périodicité

Démonstration. Pour 1 et 2, on coupe en $\int_{- a}^{0} + \int_{0}^{a}$ et l'on pose $x = - t$ dans la première: $\int_{- a}^{0} f (x) d x = \int_{a}^{0} f (- t) (- 1) d t = \int_{0}^{a} f (- t) d t$ , qui vaut $\int_{0}^{a} f$ si $f$ est paire et $- \int_{0}^{a} f$ si $f$ est impaire. Pour 3, posons $G (c) = \int_{c}^{c + T} f (x) d x$ . Par le théorème fondamental, $G$ est dérivable et $G^{'} (c) = f (c + T) - f (c) = 0$ : $G$ est constante. $□$

Ces propriétés sont précieuses en traitement du signal: la valeur moyenne d'un signal périodique se calcule sur n'importe quelle période, et les coefficients de Fourier d'un signal pair ou impair se simplifient de moitié.

Exercice

Calculez $\int_{0}^{l n 2} \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}} d x$ (4 décimales).

Intégration des fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est un quotient $P / Q$ de deux polynômes. Ces fonctions apparaissent dans les fonctions de transfert des systèmes linéaires (filtres, suspensions, régulateurs), et le passage du domaine de Laplace au domaine temporel exige précisément de savoir les intégrer. La bonne nouvelle: toute fraction rationnelle possède une primitive exprimable avec des fractions rationnelles, des logarithmes et des arctangentes.

Décomposition en éléments simples

Ce théorème est admis: sa démonstration repose sur la factorisation des polynômes réels (théorème de d'Alembert–Gauss, chapitre 2) et sur un argument d'algèbre linéaire qui sort du cadre de ce cours. Ce qui compte ici, c'est de savoir déterminer les coefficients. Trois techniques se complètent.

Primitives des éléments simples

Les éléments de première espèce s'intègrent immédiatement:

\int \frac{d x}{x - a} = ln ∣ x - a ∣ + C, \int \frac{d x}{( x - a ) ^{n}} = \frac{- 1}{( n - 1 ) ( x - a ) ^{n - 1}} + C (n \geq 2) .

Pour les éléments de seconde espèce avec $n = 1$ , on met le trinôme sous forme canonique $x^{2} + p x + q = (x + p /2)^{2} + ω^{2}$ avec $ω = q - p^{2} /4 > 0$ , puis on sépare le numérateur en une partie proportionnelle à la dérivée $2 x + p$ du dénominateur et une constante:

\int \frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q} d x = \frac{B}{2} ln (x^{2} + p x + q) + \frac{C - B p /2}{ω} arctan \frac{x + p /2}{ω} + K . (11.6)

Le premier terme vient de $\int φ^{'} / φ = ln ∣ φ ∣$ , le second du changement de variable $x + p /2 = ω u$ dans $\int \frac{d x}{( x + p /2 ) ^{2} + ω ^{2}}$ . Pour $n \geq 2$ , la partie en $(2 x + p)$ s'intègre en puissance, et la partie constante se traite par une récurrence obtenue par parties; nous ne la détaillerons pas, mais le principe est le même.

Exemple 11.4 · Trois décompositions

a) Pôles simples. $\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{x ^{2} - x - 2} d x$ . Le dénominateur vaut $(x - 2) (x + 1)$ et le degré du numérateur est inférieur. Cherchons $\frac{2 x + 3}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$ . Cache: $A = \frac{2 \cdot 2 + 3}{2 + 1} = \frac{7}{3}$ , $B = \frac{2 \cdot ( - 1 ) + 3}{- 1 - 2} = - \frac{1}{3}$ . Vérification en $x = 0$ : $\frac{3}{- 2} = - \frac{7}{6} - \frac{1}{3}$ , correct. Donc

\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{x ^{2} - x - 2} d x = [\frac{7}{3} ln ∣ x - 2 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣]_{0}^{1} = - \frac{7}{3} ln 2 - \frac{1}{3} ln 2 = - \frac{8}{3} ln 2 \approx - 1, 848.

Le signe négatif est cohérent: sur $[0, 1]$ , le numérateur est positif et le dénominateur négatif.

b) Un pôle réel et un trinôme. $\int \frac{d x}{x ( x ^{2} + 1 )}$ . On cherche $\frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 1}$ . Cache en $x = 0$ : $A = 1$ . Limite à l'infini après multiplication par $x$ : $0 = A + B$ , donc $B = - 1$ . Valeur $x = 1$ : $\frac{1}{2} = 1 + \frac{- 1 + C}{2}$ , d'où $C = 0$ . Ainsi

\int \frac{d x}{x ( x ^{2} + 1 )} = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + K, \int_{1}^{2} \frac{d x}{x ( x ^{2} + 1 )} = \frac{3}{2} ln 2 - \frac{1}{2} ln 5 \approx 0, 2350.

c) Division euclidienne d'abord. $\int_{0}^{1} \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} d x$ . Le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur: $x^{3} = x (x^{2} + 1) - x$ , donc $\frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} = x - \frac{x}{x ^{2} + 1}$ et

\int_{0}^{1} \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} d x = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1)]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ln 2 \approx 0, 1534.

Intégrales se ramenant à une fraction rationnelle

Deux familles d'intégrales se ramènent au cas rationnel par une substitution bien choisie.

Fractions rationnelles en $e^{x}$ : on pose $u = e^{x}$ , $d x = d u / u$ . Par exemple $\int \frac{d x}{1 + e ^{x}} = \int \frac{d u}{u ( 1 + u )} = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u}) d u = x - ln (1 + e^{x}) + C$ . Les fonctions hyperboliques, qui sont des fractions rationnelles en $e^{x}$ , relèvent du même traitement.
Fractions rationnelles en $sin x$ et $cos x$ : substitution $t = tan (x /2)$ et formules (11.5), ou l'une des substitutions $u = sin x$ , $u = cos x$ , $u = tan x$ lorsque la parité s'y prête. Par exemple $\int_{0}^{π /2} \frac{d x}{1 + sin x} = \int_{0}^{1} \frac{2 d t}{( 1 + t ) ^{2}} = [\frac{- 2}{1 + t}]_{0}^{1} = 1$ .

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes du calcul de $\int \frac{x ^{4} + 1}{x ^{3} - x} d x$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Comparer les degrés: le numérateur est de degré 4, le dénominateur de degré 3

Effectuer la division euclidienne:

x^{4} + 1 = x (x^{3} - x) + (x^{2} + 1)

Factoriser le dénominateur:

x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)

Intégrer terme à terme:

\frac{x ^{2}}{2} - ln ∣ x ∣ + ln ∣ x - 1 ∣ + ln ∣ x + 1 ∣ + K

Décomposer

\frac{x ^{2} + 1}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}

et déterminer

A = - 1

B = 1

C = 1

par la méthode du cache

Vérifier en dérivant le résultat

Intégrales impropres

L'intégrale de Riemann du chapitre 10 est définie pour une fonction bornée sur un intervalle borné $[a, b]$ . Or l'ingénieur rencontre sans cesse des intégrales sur $[0, + \infty [$ (énergie totale d'un signal amorti, transformée de Laplace, loi de probabilité) ou des intégrandes qui explosent en une borne ( $1/ x$ en 0, apparaissant dans les problèmes de diffusion). On étend la définition par un passage à la limite.

Les intégrales de référence

Démonstration. 1. Pour $p \neq = 1$ et $A > 1$ , $\int_{1}^{A} x^{- p} d x = [\frac{x ^{1 - p}}{1 - p}]_{1}^{A} = \frac{A ^{1 - p} - 1}{1 - p}$ . Si $p > 1$ , l'exposant $1 - p$ est négatif, $A^{1 - p} \to 0$ et l'intégrale tend vers $\frac{- 1}{1 - p} = \frac{1}{p - 1}$ . Si $p < 1$ , $A^{1 - p} \to + \infty$ et l'intégrale diverge. Pour $p = 1$ , $\int_{1}^{A} \frac{d x}{x} = ln A \to + \infty$ : divergence.

Pour $p \neq = 1$ et $0 < c < 1$ , $\int_{c}^{1} x^{- p} d x = \frac{1 - c ^{1 - p}}{1 - p}$ . Si $p < 1$ , $c^{1 - p} \to 0$ quand $c \to 0^{+}$ et la limite vaut $\frac{1}{1 - p}$ ; si $p > 1$ , $c^{1 - p} \to + \infty$ . Pour $p = 1$ , $\int_{c}^{1} \frac{d x}{x} = - ln c \to + \infty$ . $□$

Retenez la règle: à l'infini, il faut décroître plus vite que $1/ x$ ; en 0, il faut exploser moins vite que $1/ x$ . La fonction $1/ x$ est exactement à la frontière des deux côtés, ce qui explique le rôle central du logarithme. Notez la parenté avec les séries de Riemann $\sum 1/ n^{p}$ du chapitre 4, qui convergent aussi si et seulement si $p > 1$ : ce n'est pas un hasard, comme nous le verrons plus bas.

Figure 11.2. Les intégrales de référence. À gauche, sur [1, +∞[, seule l'aire sous 1/x² (trait plein) est finie: 1/√x et 1/x décroissent trop lentement. À droite, sur ]0, 1], seule l'aire sous 1/√x est finie: 1/x et 1/x² explosent trop vite en 0.

Exercice

Parmi les intégrales suivantes, lesquelles convergent?

Plusieurs réponses possibles

Critères de convergence pour les fonctions positives

Le plus souvent, on ne sait pas calculer une primitive: il faut décider de la convergence sans calculer la valeur. Pour une fonction positive, la situation est simple, parce que $A \mapsto \int_{a}^{A} f$ est alors croissante: elle converge si et seulement si elle est majorée (théorème de la limite monotone, chapitre 3, transposé aux fonctions).

Démonstration. Posons $F (A) = \int_{a}^{A} f$ et $G (A) = \int_{a}^{A} g$ . Comme $f \geq 0$ , $F$ est croissante (si $A < A^{'}$ , $F (A^{'}) - F (A) = \int_{A}^{A^{'}} f \geq 0$ ). Par positivité de l'intégrale, $F (A) \leq G (A)$ pour tout $A$ . Si $\int_{a}^{\infty} g$ converge, $G$ est croissante et tend vers une limite finie $L$ , donc $G (A) \leq L$ et $F (A) \leq L$ pour tout $A$ : la fonction croissante $F$ est majorée, elle admet une limite finie, inférieure ou égale à $L$ . Le point 2 est la contraposée du point 1. Enfin, modifier les fonctions sur un intervalle borné $[a, a^{'}]$ ne change les intégrales que d'une constante finie, ce qui justifie la remarque sur le voisinage. $□$

Démonstration. Puisque $f / g \to 1$ , il existe un voisinage de $ω$ sur lequel $\frac{1}{2} g \leq f \leq 2 g$ . Le critère de comparaison appliqué à chacune de ces deux inégalités donne le résultat. $□$

Concrètement, pour étudier $\int_{a}^{+ \infty} f$ , on cherche un équivalent simple de $∣ f (x)∣$ en $+ \infty$ , souvent de la forme $C / x^{p}$ ou $C e^{- α x}$ , et l'on applique le théorème 11.7 ou l'exemple 11.5 a).

Explorateur des intégrales de Riemann impropres

Faites varier l'exposant p et la borne supérieure A: l'aire sous 1/xᵖ entre 1 et A se recalcule. Elle reste bornée lorsque A grandit si et seulement si p est strictement supérieur à 1.

∫₁^A x^−p dx

2,3026

Limite quand A → +∞

+∞ (divergente)

Reste ∫_A^∞ x^−p dx

+∞

Exposant p1,0

Borne supérieure A10

La fonction Gamma

Démonstration. Intégrons par parties sur $[c, A]$ avec $0 < c < A$ , en posant $u = t^{x}$ et $v^{'} = e^{- t}$ :

\int_{c}^{A} t^{x} e^{- t} d t = [- t^{x} e^{- t}]_{c}^{A} + x \int_{c}^{A} t^{x - 1} e^{- t} d t .

Quand $A \to + \infty$ , $A^{x} e^{- A} \to 0$ (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance); quand $c \to 0^{+}$ , $c^{x} e^{- c} \to 0$ car $x > 0$ . Le crochet tend donc vers 0 et il reste $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ . Enfin $Γ (1) = \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t = 1 = 0!$ , et par récurrence $Γ (n + 1) = n Γ (n) = n (n - 1)! = n!$ . $□$

La fonction Gamma prolonge donc la factorielle aux réels positifs, ce qu'Euler cherchait précisément en 1729. Le changement de variable $t = s^{2}$ dans (11.7) donne $Γ (1/2) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- s^{2}} d s = π$ d'après l'exemple 11.6, d'où le résultat surprenant $(1/2)! = Γ (3/2) = π /2$ .

Exercice

Calculez $\int_{0}^{+ \infty} t^{2} e^{- t} d t$ .

Applications géométriques et physiques

L'intégrale est née de problèmes de mesure: aires, volumes, longueurs. Le principe est toujours le même, hérité des sommes de Riemann du chapitre 10: on découpe l'objet en tranches infinitésimales dont la mesure est facile à écrire, et l'on somme, c'est-à-dire l'on intègre.

Aire entre deux courbes

Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a, b]$ avec $g \leq f$ , l'aire de la région comprise entre les deux graphes vaut $A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ . Par exemple, la parabole $y = x^{2}$ et la droite $y = x + 2$ se coupent en $x = - 1$ et $x = 2$ ; l'aire comprise entre elles est $\int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{2} = \frac{9}{2}$ . Si les courbes se croisent, on découpe l'intervalle aux points d'intersection et l'on intègre $∣ f - g ∣$ .

Volume d'un solide de révolution

Idée de la démonstration. La tranche du solide comprise entre les abscisses $x$ et $x + d x$ est un disque de rayon $f (x)$ et d'épaisseur $d x$ , de volume $π f (x)^{2} d x$ (figure 11.3). Une somme de Riemann de ces disques approche le volume; le passage à la limite donne (11.8). La justification complète, qui demande une définition rigoureuse du volume, relève de l'intégrale multiple (Analyse II). $□$

Figure 11.3. Solide engendré par la rotation de y = √x autour de l'axe des x sur [0, 4]. La tranche située à l'abscisse x est un disque de rayon f(x) = √x et d'épaisseur dx.

Longueur d'un arc de courbe

L'origine de la formule est le théorème de Pythagore appliqué à un élément de courbe: $d s^{2} = d x^{2} + d y^{2} = (1 + f^{'} (x)^{2}) d x^{2}$ . On peut la démontrer rigoureusement en approchant la courbe par des lignes brisées et en appliquant le théorème des accroissements finis (chapitre 8) à chaque segment.

Exemple 11.8 · Longueur d'une chaînette

Un câble homogène suspendu entre deux pylônes prend la forme d'une chaînette $y = a cosh (x / a)$ , où $a$ dépend de la tension horizontale et du poids linéique (Jacques Bernoulli, Leibniz et Huygens l'ont établi en 1691). Pour une ligne électrique avec $a = 10$ m entre deux pylônes situés en $x = \pm 20$ m, la longueur du câble est, avec $f^{'} (x) = sinh (x / a)$ et $1 + sinh^{2} = cosh^{2}$ ,

L = \int_{- 20}^{20} 1 + sinh^{2} (x / a) d x = 2 \int_{0}^{20} cosh \frac{x}{a} d x = 2 a sinh \frac{20}{a} = 20 sinh 2 \approx 72, 5 m .

À titre de comparaison, la parabole $y = x^{2}$ sur $[0, 1]$ a une longueur $\int_{0}^{1} 1 + 4 x^{2} d x$ , qui se calcule avec $2 x = sinh t$ : $L = \frac{5}{2} + \frac{1}{4} arsinh 2 \approx 1, 479$ . La chaînette est la courbe dont la longueur se calcule le plus simplement, alors que la parabole, pourtant plus élémentaire, oblige à une substitution hyperbolique.

Centre de gravité d'une plaque plane

Pour une plaque homogène occupant la région $a \leq x \leq b$ , $g (x) \leq y \leq f (x)$ , d'aire $A$ , les coordonnées du centre de gravité sont

x_{G} = \frac{1}{A} \int_{a}^{b} x (f (x) - g (x)) d x, y_{G} = \frac{1}{2 A} \int_{a}^{b} (f (x)^{2} - g (x)^{2}) d x . (11.10)

La première formule vient du moment statique des bandes verticales $x \cdot (f - g) d x$ ; la seconde, de ce que le centre de gravité d'une bande verticale est à mi-hauteur $(f + g) /2$ , ce qui donne le moment $\frac{f + g}{2} (f - g) d x$ . Pour le demi-disque $0 \leq y \leq R^{2} - x^{2}$ sur $[- R, R]$ , la symétrie donne $x_{G} = 0$ et

y_{G} = \frac{1}{2 \cdot π R ^{2} /2} \int_{- R}^{R} (R^{2} - x^{2}) d x = \frac{1}{π R ^{2}} \cdot \frac{4 R ^{3}}{3} = \frac{4 R}{3 π} \approx 0, 4244 R,

un résultat que l'ingénieur civil retrouve dans les tables de sections (et que Jakob Steiner utiliserait pour transporter les moments d'inertie).

Travail et énergie

Lorsqu'une force $F (x)$ agit le long d'un déplacement rectiligne de $a$ à $b$ , le travail est $W = \int_{a}^{b} F (x) d x$ . Pour un ressort de raideur $k$ étiré de $0$ à $x_{1}$ , $F (x) = k x$ et $W = \frac{1}{2} k x_{1}^{2}$ : avec $k = 800$ N/m et $x_{1} = 5$ cm, $W = 1, 0$ J, énergie stockée dans le ressort. Pour vidanger un réservoir, le principe est le même, mais c'est le déplacement qui varie d'une tranche à l'autre: la tranche d'eau située à la hauteur $z$ , de volume $S (z) d z$ , doit être élevée jusqu'à la hauteur $H$ de sortie, ce qui coûte $ρ g S (z) (H - z) d z$ . Le problème guidé de fin de chapitre détaille ce calcul.

La transformée de Laplace

L'intégrale impropre $L {f} (s) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t$ est la transformée de Laplace de $f$ ; elle transforme les équations différentielles linéaires en équations algébriques et joue un rôle central en automatique et en électronique. D'après l'exemple 11.5 a), $L {1} (s) = 1/ s$ pour $s > 0$ et $L {e^{- a t}} (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- (s + a) t} d t = \frac{1}{s + a}$ pour $s > - a$ . Vous la retrouverez dans les cours de systèmes et de signaux; notez simplement que les fractions rationnelles en $s$ qui en résultent se ramènent au domaine temporel par la décomposition en éléments simples de ce chapitre.

Exercice

Le graphe de $y = 2$ sur $[0, 3]$ tourne autour de l'axe des $x$ . Quel est le volume du solide engendré?

Synthèse

Intégration par parties: $\int u v^{'} = uv - \int u^{'} v$ ; on dérive de préférence arc, logarithme, polynôme (règle ALPES). Elle fournit les récurrences de Wallis et le reste intégral de Taylor.
Changement de variable: $\int_{φ (α)}^{φ (β)} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t$ ; transformer $d x$ et les bornes. Substitutions $x = a sin t$ , $a sinh t$ , $a cosh t$ pour les racines de trinômes, $t = tan (x /2)$ pour les fractions en $sin$ et $cos$ .
Fractions rationnelles: division euclidienne, factorisation du dénominateur, décomposition en éléments simples (cache, limite à l'infini, identification), puis primitives en $ln$ , puissances et $arctan$ .
Intégrales impropres: limites en chaque borne impropre, indépendamment. Références: $\int_{1}^{\infty} x^{- p}$ converge ssi $p > 1$ , $\int_{0}^{1} x^{- p}$ converge ssi $p < 1$ , $\int_{0}^{\infty} e^{- a x} = 1/ a$ , $\int_{0}^{1} ln x = - 1$ .
Pour les fonctions positives: comparaison et équivalents; convergence absolue pour les autres. $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ , $Γ (n + 1) = n!$ , $\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} = π /2$ .
Applications: aire $\int (f - g)$ , volume de révolution $π \int f^{2}$ , longueur $\int 1 + f^{'2}$ , centre de gravité, travail $\int F d x$ , transformée de Laplace.

Série d'exercices du chapitre 11

Exercice 1 sur 5

Exercice

Quelle est une primitive de $x \mapsto ln x$ sur $] 0, + \infty [$ ?

Problème guidé

Vidange d'un réservoir parabolique

Un réservoir a la forme du solide engendré par la rotation de la courbe $y = x$ , $0 \leq x \leq 4$ (en mètres), autour de l'axe des $x$ ; il est posé verticalement, la pointe $x = 0$ en bas et l'ouverture $x = 4$ m en haut. Il est plein d'eau ( $ρ = 1000$ kg/m³, $g = 9, 81$ m/s²). On veut le vider entièrement en pompant l'eau par le haut.

1
Rayon d'une tranche
À la hauteur $x$ (mesurée depuis la pointe), la section horizontale du réservoir est un disque.
Exercice
Quelle est l'aire $S (x)$ de la section à la hauteur $x$ ?
Volume d'eau
Travail de pompage
Durée de la vidange

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 11.1 · Intégration par parties

Calculer les intégrales suivantes.

a) $\int x^{2} e^{- x} d x$ , puis en déduire $\int_{0}^{+ \infty} x^{2} e^{- x} d x$ .

b) $\int_{0}^{1} x arctan x d x$ .

c) $\int_{0}^{π} e^{x} cos x d x$ (méthode du retour).

Solution

a) L'intégrande est un polynôme fois une exponentielle: d'après la règle ALPES, on dérive le polynôme. Posons $u = x^{2}$ , $v^{'} = e^{- x}$ , donc $u^{'} = 2 x$ , $v = - e^{- x}$ . La formule (11.1) donne

\int x^{2} e^{- x} d x = - x^{2} e^{- x} + 2 \int x e^{- x} d x .

On recommence avec $u = x$ , $v^{'} = e^{- x}$ , soit $u^{'} = 1$ , $v = - e^{- x}$ :

\int x e^{- x} d x = - x e^{- x} + \int e^{- x} d x = - x e^{- x} - e^{- x} + C .

En regroupant,

\int x^{2} e^{- x} d x = - (x^{2} + 2 x + 2) e^{- x} + C .

Vérification: la dérivée de $- (x^{2} + 2 x + 2) e^{- x}$ vaut $- (2 x + 2) e^{- x} + (x^{2} + 2 x + 2) e^{- x} = x^{2} e^{- x}$ .

L'intégrale sur $[0, + \infty [$ est impropre en $+ \infty$ . Pour $A > 0$ ,

\int_{0}^{A} x^{2} e^{- x} d x = [- (x^{2} + 2 x + 2) e^{- x}]_{0}^{A} = 2 - (A^{2} + 2 A + 2) e^{- A} .

Par croissance comparée (chapitre 6), $A^{k} e^{- A} \to 0$ pour tout $k$ , donc la limite existe: l'intégrale converge et

\int_{0}^{+ \infty} x^{2} e^{- x} d x = 2 .

On retrouve $Γ (3) = 2! = 2$ (théorème 11.10).

b) On dérive la fonction «arc» et l'on intègre le polynôme: $u = arctan x$ , $v^{'} = x$ , d'où $u^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , $v = \frac{x ^{2}}{2}$ . Alors

\int_{0}^{1} x arctan x d x = [\frac{x ^{2}}{2} arctan x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x .

La dernière intégrande est une fraction rationnelle dont les degrés sont égaux: on écrit $\frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , donc

\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x = [x - arctan x]_{0}^{1} = 1 - \frac{π}{4} .

Finalement

\int_{0}^{1} x arctan x d x = \frac{π}{8} - \frac{1}{2} (1 - \frac{π}{4}) = \frac{π}{8} + \frac{π}{8} - \frac{1}{2} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \approx 0, 2854.

c) Aucun des deux facteurs ne se simplifie par dérivation: on applique la méthode du retour de l'exemple 11.1 d). Notons $I = \int_{0}^{π} e^{x} cos x d x$ et intégrons deux fois par parties en dérivant chaque fois la fonction trigonométrique. Première étape, $u = cos x$ , $v^{'} = e^{x}$ ( $u^{'} = - sin x$ , $v = e^{x}$ ):

I = [e^{x} cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} e^{x} sin x d x = - e^{π} - 1 + J, J = \int_{0}^{π} e^{x} sin x d x .

Deuxième étape, $u = sin x$ , $v^{'} = e^{x}$ ( $u^{'} = cos x$ , $v = e^{x}$ ):

J = [e^{x} sin x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} e^{x} cos x d x = 0 - I .

L'intégrale de départ réapparaît: $I = - e^{π} - 1 - I$ , soit $2 I = - (e^{π} + 1)$ et

\int_{0}^{π} e^{x} cos x d x = - \frac{e ^{π} + 1}{2} \approx - 12, 07.

C'est aussi ce que donne la primitive $\frac{e ^{x} ( cos x + sin x )}{2}$ de l'exemple 11.1 d), évaluée entre 0 et $π$ : $\frac{- e ^{π}}{2} - \frac{1}{2}$ . Le signe négatif est cohérent: sur $[0, π]$ , $cos x$ est négatif là où $e^{x}$ est le plus grand.

Exercice 11.2 · Changements de variable

Calculer, en précisant le changement de variable utilisé et les nouvelles bornes:

a) $\int_{0}^{1} x 1 + x^{2} d x$ ;

b) $\int_{0}^{l n 2} \frac{d x}{e ^{x} + e ^{- x}}$ ;

c) $\int_{0}^{π /2} \frac{d x}{1 + sin x}$ avec $t = tan (x /2)$ ;

d) $\int_{0}^{a} a^{2} + x^{2} d x$ ( $a > 0$ ) avec $x = a sinh t$ .

Solution

a) Le facteur $x$ est, à un facteur 2 près, la dérivée de $1 + x^{2}$ : on lit (11.4) de droite à gauche. Posons $u = 1 + x^{2}$ , $d u = 2 x d x$ ; les bornes $x = 0$ et $x = 1$ deviennent $u = 1$ et $u = 2$ :

\int_{0}^{1} x 1 + x^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u d u = \frac{1}{2} [\frac{2}{3} u^{3/2}]_{1}^{2} = \frac{1}{3} (2^{3/2} - 1) = \frac{2 2 - 1}{3} \approx 0, 6095.

b) L'intégrande est une fraction rationnelle en $e^{x}$ . On multiplie numérateur et dénominateur par $e^{x}$ : $\frac{1}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 1}$ , ce qui fait apparaître la dérivée de $e^{x}$ au numérateur. Posons $u = e^{x}$ , $d u = e^{x} d x$ ; quand $x$ va de 0 à $ln 2$ , $u$ va de 1 à 2:

\int_{0}^{l n 2} \frac{d x}{e ^{x} + e ^{- x}} = \int_{1}^{2} \frac{d u}{u ^{2} + 1} = [arctan u]_{1}^{2} = arctan 2 - \frac{π}{4} \approx 0, 3218.

On remarque que $\frac{1}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{1}{2 cosh x}$ : l'intégrale vaut donc aussi $\frac{1}{2} [arctan (sinh x)]_{0}^{l n 2}$ , avec $sinh (ln 2) = \frac{2 - 1/2}{2} = \frac{3}{4}$ ; on vérifie que $arctan \frac{3}{4} = 2 arctan 2 - \frac{π}{2}$ grâce à la formule $tan (2 θ) = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}$ , ce qui redonne le même résultat.

c) Substitution universelle $t = tan (x /2)$ , formules (11.5): $sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ et $d x = \frac{2 d t}{1 + t ^{2}}$ . Les bornes $x = 0$ et $x = π /2$ deviennent $t = tan 0 = 0$ et $t = tan (π /4) = 1$ . Le dénominateur se simplifie:

1 + sin x = \frac{1 + t ^{2} + 2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{( 1 + t ) ^{2}}{1 + t ^{2}} .

Ainsi

\int_{0}^{π /2} \frac{d x}{1 + sin x} = \int_{0}^{1} \frac{1 + t ^{2}}{( 1 + t ) ^{2}} \cdot \frac{2 d t}{1 + t ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{2 d t}{( 1 + t ) ^{2}} = [\frac{- 2}{1 + t}]_{0}^{1} = - 1 + 2 = 1 .

Contrôle: sur $[0, π /2]$ , l'intégrande est comprise entre $1/2$ et 1, donc l'intégrale est comprise entre $π /4 \approx 0, 785$ et $π /2 \approx 1, 571$ .

d) Posons $x = a sinh t$ (bijection croissante de $R$ sur $R$ ), $d x = a cosh t d t$ . Comme $cosh^{2} t - sinh^{2} t = 1$ et $cosh t > 0$ , on a $a^{2} + x^{2} = a 1 + sinh^{2} t = a cosh t$ . La borne $x = 0$ correspond à $t = 0$ et la borne $x = a$ à $sinh t = 1$ , soit $t_{1} = arsinh 1 = ln (1 + 2)$ (chapitre 6). Donc

\int_{0}^{a} a^{2} + x^{2} d x = a^{2} \int_{0}^{t_{1}} cosh^{2} t d t = a^{2} \int_{0}^{t_{1}} \frac{1 + cosh 2 t}{2} d t = a^{2} [\frac{t}{2} + \frac{sinh 2 t}{4}]_{0}^{t_{1}} = a^{2} (\frac{t _{1}}{2} + \frac{sinh t _{1} cosh t _{1}}{2}),

en utilisant $cosh^{2} t = \frac{1 + cosh 2 t}{2}$ et $sinh 2 t = 2 sinh t cosh t$ . En $t_{1}$ , $sinh t_{1} = 1$ et $cosh t_{1} = 1 + 1 = 2$ , d'où

\int_{0}^{a} a^{2} + x^{2} d x = \frac{a ^{2}}{2} (2 + ln (1 + 2)) \approx 1, 148 a^{2} .

Contrôle: sur $[0, a]$ , l'intégrande est comprise entre $a$ et $a 2$ , donc l'intégrale est comprise entre $a^{2}$ et $2 a^{2} \approx 1, 414 a^{2}$ .

Exercice 11.3 · Fractions rationnelles

a) Décomposer en éléments simples $\frac{x ^{2} + 2 x + 3}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 )}$ et calculer $\int_{2}^{3} \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 )} d x$ .

b) Calculer $\int_{0}^{1} \frac{x ^{3} + 1}{x ^{2} + 1} d x$ .

c) Déterminer une primitive de $\frac{1}{x ^{2} ( x ^{2} + 1 )}$ sur $] 0, + \infty [$ .

Solution

a) Le degré du numérateur (2) est strictement inférieur à celui du dénominateur (3), et $x^{2} + 1$ est irréductible sur $R$ . D'après le théorème 11.6, on cherche

\frac{x ^{2} + 2 x + 3}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 1} .

Cache en $x = 1$ : $A = \frac{1 + 2 + 3}{1 + 1} = 3$ .
Limite à l'infini: en multipliant par $x$ et en faisant $x \to \infty$ , le membre de gauche tend vers 1 et le membre de droite vers $A + B$ ; donc $B = 1 - 3 = - 2$ .
Valeur particulière $x = 0$ : $\frac{3}{( - 1 ) ( 1 )} = - 3 = - A + C$ , d'où $C = 0$ .

Vérification en $x = 2$ (non utilisée): $\frac{4 + 4 + 3}{1 \cdot 5} = \frac{11}{5}$ et $\frac{3}{1} - \frac{4}{5} = \frac{11}{5}$ . Donc

\frac{x ^{2} + 2 x + 3}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 )} = \frac{3}{x - 1} - \frac{2 x}{x ^{2} + 1} .

Sur $[2, 3]$ , $x - 1 > 0$ et le second terme est de la forme $φ^{'} / φ$ avec $φ = x^{2} + 1$ :

\int_{2}^{3} \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 )} d x = [3 ln (x - 1) - ln (x^{2} + 1)]_{2}^{3} = (3 ln 2 - ln 10) - (0 - ln 5) = 3 ln 2 - ln 2 = 2 ln 2 \approx 1, 386.

b) Les degrés sont 3 et 2: division euclidienne d'abord. $x^{3} + 1 = x (x^{2} + 1) - x + 1$ , donc

\frac{x ^{3} + 1}{x ^{2} + 1} = x + \frac{1 - x}{x ^{2} + 1} = x - \frac{x}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1} .

Le reste $\frac{1 - x}{x ^{2} + 1}$ est déjà un élément simple de seconde espèce; on le sépare comme dans (11.6) en la partie proportionnelle à la dérivée $2 x$ du dénominateur et une constante. Chaque terme s'intègre:

\int_{0}^{1} \frac{x ^{3} + 1}{x ^{2} + 1} d x = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + arctan x]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{ln 2}{2} + \frac{π}{4} \approx 0, 9388.

On retrouve l'exemple 11.4 c) ( $\int_{0}^{1} x^{3} / (x^{2} + 1) = 1/2 - (ln 2) /2$ ) auquel s'ajoute $\int_{0}^{1} d x / (x^{2} + 1) = π /4$ .

c) Le pôle 0 est double et $x^{2} + 1$ est irréductible: la forme générale est

\frac{1}{x ^{2} ( x ^{2} + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2}} + \frac{C x + D}{x ^{2} + 1} .

Cache pour le pôle double: on multiplie par $x^{2}$ et l'on fait $x = 0$ : $B = \frac{1}{0 + 1} = 1$ .
Parité: la fraction est paire; par unicité de la décomposition, les termes impairs $\frac{A}{x}$ et $\frac{C x}{x ^{2} + 1}$ doivent disparaître, donc $A = C = 0$ . (On peut aussi le vérifier: la limite à l'infini après multiplication par $x$ donne $A + C = 0$ , et la valeur $x = 1$ jointe à $x = - 1$ donne $A = C$ .)
Valeur particulière $x = 1$ : $\frac{1}{2} = 1 + \frac{D}{2}$ , d'où $D = - 1$ .

Ainsi $\frac{1}{x ^{2} ( x ^{2} + 1 )} = \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x ^{2} + 1}$ , ce que l'on vérifie directement: $\frac{( x ^{2} + 1 ) - x ^{2}}{x ^{2} ( x ^{2} + 1 )} = \frac{1}{x ^{2} ( x ^{2} + 1 )}$ . Sur $] 0, + \infty [$ , une primitive est

\int \frac{d x}{x ^{2} ( x ^{2} + 1 )} = - \frac{1}{x} - arctan x + K .

Contrôle: la dérivée de $- 1/ x - arctan x$ vaut $\frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{x ^{2} ( x ^{2} + 1 )}$ .

Exercice 11.4 · Étude d'intégrales impropres

Étudier la nature (convergence ou divergence) des intégrales suivantes et calculer celles qui convergent.

a) $\int_{1}^{+ \infty} \frac{ln x}{x ^{2}} d x$ ;

b) $\int_{0}^{1} \frac{ln x}{x} d x$ ;

c) $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( 1 + x )}$ ;

d) $\int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{1 + x ^{3}} d x$ (nature seulement).

Solution

a) La fonction $x \mapsto \frac{ln x}{x ^{2}}$ est continue et positive sur $[1, + \infty [$ ; l'intégrale n'est impropre qu'en $+ \infty$ . On calcule directement $\int_{1}^{A}$ par parties avec $u = ln x$ , $v^{'} = \frac{1}{x ^{2}}$ , soit $u^{'} = \frac{1}{x}$ , $v = - \frac{1}{x}$ :

\int_{1}^{A} \frac{ln x}{x ^{2}} d x = [- \frac{ln x}{x}]_{1}^{A} + \int_{1}^{A} \frac{d x}{x ^{2}} = - \frac{ln A}{A} + [- \frac{1}{x}]_{1}^{A} = - \frac{ln A}{A} + 1 - \frac{1}{A} .

Par croissance comparée, $\frac{ln A}{A} \to 0$ quand $A \to + \infty$ , et $\frac{1}{A} \to 0$ . La limite existe et est finie: l'intégrale converge et vaut

\int_{1}^{+ \infty} \frac{ln x}{x ^{2}} d x = 1 .

(On aurait pu prévoir la convergence par comparaison: pour $x \geq 1$ , $ln x \leq x$ , donc $0 \leq \frac{ln x}{x ^{2}} \leq x^{- 3/2}$ , intégrable à l'infini d'après le théorème 11.7 avec $p = 3/2$ .)

b) La fonction $x \mapsto \frac{ln x}{x}$ est continue et négative sur $] 0, 1]$ , non bornée au voisinage de 0: l'intégrale est impropre en 0. Pour $0 < c < 1$ , on intègre par parties sur $[c, 1]$ avec $u = ln x$ , $v^{'} = x^{- 1/2}$ , soit $u^{'} = \frac{1}{x}$ , $v = 2 x$ :

\int_{c}^{1} \frac{ln x}{x} d x = [2 x ln x]_{c}^{1} - \int_{c}^{1} \frac{2 x}{x} d x = - 2 c ln c - 2 \int_{c}^{1} x^{- 1/2} d x = - 2 c ln c - 4 (1 - c) .

Quand $c \to 0^{+}$ , $c ln c = 2 c ln c \to 0$ (limite $t ln t \to 0$ du chapitre 6, avec $t = c$ ) et $c \to 0$ . L'intégrale converge et vaut

\int_{0}^{1} \frac{ln x}{x} d x = - 4 .

(Convergence prévisible aussi par comparaison: $∣ ln x ∣ \leq x^{- 1/4}$ au voisinage de 0, car $x^{1/4} ∣ ln x ∣ \to 0$ , donc $\frac{ln x}{x} \leq x^{- 3/4}$ avec $3/4 < 1$ : convergence absolue.)

c) La fonction $f (x) = \frac{1}{x ( 1 + x )}$ est continue et positive sur $] 0, + \infty [$ ; l'intégrale est impropre aux deux bornes et l'on doit examiner séparément $\int_{0}^{1} f$ et $\int_{1}^{+ \infty} f$ .

En 0: $f (x) \sim \frac{1}{x}$ (car $1 + x \to 1$ ), et $\int_{0}^{1} x^{- 1/2} d x$ converge ( $p = 1/2 < 1$ ). Par le critère des équivalents (théorème 11.9), $\int_{0}^{1} f$ converge.
En $+ \infty$ : $f (x) \sim \frac{1}{x \cdot x} = \frac{1}{x}$ (car $1 + x \sim x$ ), et $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x}$ diverge ( $p = 1$ ). Par le critère des équivalents, $\int_{1}^{+ \infty} f$ diverge.

L'intégrale diverge. On peut le voir aussi par calcul direct: avec $u = x$ , $x = u^{2}$ , $d x = 2 u d u$ ,

\int_{c}^{A} \frac{d x}{x ( 1 + x )} = \int_{c}^{A} \frac{2 u d u}{u ( 1 + u )} = 2 [ln (1 + u)]_{c}^{A} = 2 ln (1 + A) - 2 ln (1 + c),

qui a une limite finie quand $c \to 0^{+}$ (à savoir $2 ln (1 + A)$ ) mais tend vers $+ \infty$ quand $A \to + \infty$ .

d) La fonction $g (x) = \frac{x}{1 + x ^{3}}$ est continue et positive sur $[0, + \infty [$ (le dénominateur ne s'annule pas pour $x \geq 0$ ): l'intégrale n'est impropre qu'en $+ \infty$ . Quand $x \to + \infty$ , $1 + x^{3} \sim x^{3}$ , donc

g (x) \sim \frac{x}{x ^{3}} = \frac{1}{x ^{2}} .

Comme $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}}$ converge ( $p = 2 > 1$ , théorème 11.7), le critère des équivalents (théorème 11.9), applicable car les fonctions sont positives, montre que $\int_{1}^{+ \infty} g$ converge; sur $[0, 1]$ , il s'agit d'une intégrale ordinaire. L'intégrale converge. (Sa valeur, $\frac{2 π}{3 3} \approx 1, 209$ , s'obtient par décomposition en éléments simples de $\frac{x}{( 1 + x ) ( x ^{2} - x + 1 )}$ ; elle n'était pas demandée.)

Exercice 11.5 · Intégrales de Wallis

On note $W_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x$ pour $n \in N$ .

a) Montrer, par un changement de variable, que $\int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x = \int_{0}^{π /2} cos^{n} x d x$ .

b) Établir la relation de récurrence $n W_{n} = (n - 1) W_{n - 2}$ pour $n \geq 2$ (on refera la démonstration du théorème 11.2 sans la lire).

c) Montrer que la suite $(W_{n})$ est décroissante et strictement positive, puis que $n W_{n} W_{n - 1} = \frac{π}{2}$ pour tout $n \geq 1$ .

d) En déduire que $\frac{W _{n}}{W _{n - 1}} \to 1$ et que $W_{n} \sim \frac{π}{2 n}$ quand $n \to \infty$ .

Solution

a) Posons $x = \frac{π}{2} - t$ , c'est-à-dire $φ (t) = \frac{π}{2} - t$ , $φ^{'} (t) = - 1$ . Quand $x$ va de 0 à $π /2$ , $t$ va de $π /2$ à 0, et $sin x = sin (\frac{π}{2} - t) = cos t$ . La formule (11.4) donne

\int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x = \int_{π /2}^{0} cos^{n} t (- 1) d t = \int_{0}^{π /2} cos^{n} t d t .

Géométriquement, le graphe de $cos^{n}$ sur $[0, π /2]$ est le symétrique de celui de $sin^{n}$ par rapport à la droite $x = π /4$ .

b) Soit $n \geq 2$ . Écrivons $sin^{n} x = sin^{n - 1} x \cdot sin x$ et intégrons par parties avec $u = sin^{n - 1} x$ et $v^{'} = sin x$ , donc $u^{'} = (n - 1) sin^{n - 2} x cos x$ et $v = - cos x$ (toutes ces fonctions sont de classe $C^{1}$ sur $[0, π /2]$ ):

W_{n} = [- sin^{n - 1} x cos x]_{0}^{π /2} + (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n - 2} x cos^{2} x d x .

Le crochet est nul: en $π /2$ , $cos (π /2) = 0$ ; en 0, $sin^{n - 1} 0 = 0$ puisque $n - 1 \geq 1$ . On remplace $cos^{2} x$ par $1 - sin^{2} x$ :

W_{n} = (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n - 2} x d x - (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x = (n - 1) W_{n - 2} - (n - 1) W_{n} .

En regroupant les termes en $W_{n}$ : $n W_{n} = (n - 1) W_{n - 2}$ , ce qui est la relation (11.2). $□$

c) Positivité stricte. Sur $] 0, π /2 [$ , $0 < sin x < 1$ , donc $sin^{n} x > 0$ ; la fonction $sin^{n}$ est continue, positive et non identiquement nulle sur $[0, π /2]$ , si bien que son intégrale est strictement positive (chapitre 10, positivité stricte de l'intégrale d'une fonction continue positive non nulle): $W_{n} > 0$ pour tout $n$ .

Décroissance. Pour $x \in [0, π /2]$ , $0 \leq sin x \leq 1$ , donc $sin^{n + 1} x = sin^{n} x \cdot sin x \leq sin^{n} x$ . Par croissance de l'intégrale, $W_{n + 1} \leq W_{n}$ : la suite $(W_{n})$ est décroissante. (Elle est même strictement décroissante, la différence $sin^{n} x (1 - sin x)$ étant continue, positive et non nulle.)

La constante $n W_{n} W_{n - 1}$ . Posons $u_{n} = n W_{n} W_{n - 1}$ pour $n \geq 1$ . Pour $n \geq 2$ , la relation du b) donne $n W_{n} = (n - 1) W_{n - 2}$ , donc

u_{n} = n W_{n} W_{n - 1} = (n - 1) W_{n - 2} W_{n - 1} = (n - 1) W_{n - 1} W_{n - 2} = u_{n - 1} .

La suite $(u_{n})_{n \geq 1}$ est donc constante, égale à $u_{1} = 1 \cdot W_{1} \cdot W_{0} = 1 \cdot \frac{π}{2}$ . Ainsi

n W_{n} W_{n - 1} = \frac{π}{2} pour tout n \geq 1.

Contrôle avec les valeurs du cours: $2 W_{2} W_{1} = 2 \cdot \frac{π}{4} \cdot 1 = \frac{π}{2}$ et $3 W_{3} W_{2} = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ .

d) Le quotient tend vers 1. Pour $n \geq 2$ , la décroissance donne $W_{n} \leq W_{n - 1} \leq W_{n - 2}$ , et comme tous les termes sont strictement positifs on peut diviser par $W_{n - 1}$ puis utiliser $W_{n - 2} = \frac{n}{n - 1} W_{n}$ :

\frac{n - 1}{n} = \frac{W _{n}}{W _{n - 2}} \leq \frac{W _{n}}{W _{n - 1}} \leq 1.

(La première égalité est le b); l'inégalité $\frac{W _{n}}{W _{n - 2}} \leq \frac{W _{n}}{W _{n - 1}}$ vient de $W_{n - 1} \leq W_{n - 2}$ .) Comme $\frac{n - 1}{n} \to 1$ , le théorème des gendarmes donne

n \to \infty lim \frac{W _{n}}{W _{n - 1}} = 1, c’est- \overset{a}{ˋ} -dire W_{n - 1} \sim W_{n} .

Équivalent de $W_{n}$ . D'après le c), $n W_{n}^{2} = n W_{n} W_{n - 1} \cdot \frac{W _{n}}{W _{n - 1}} = \frac{π}{2} \cdot \frac{W _{n}}{W _{n - 1}} \to \frac{π}{2}$ . Donc $n W_{n}^{2} \sim \frac{π}{2}$ , et en prenant la racine carrée (les deux membres sont positifs),

W_{n} \sim \frac{π}{2n} (n \to \infty) .

En particulier $W_{n} \to 0$ , ce qui n'était pas évident a priori: la fonction $sin^{n}$ tend vers 0 en tout point de $[0, π /2 [$ mais vaut 1 en $π /2$ . Contrôle numérique: $W_{10} = \frac{63}{256} \cdot \frac{π}{2} \approx 0, 3866$ tandis que $π /20 \approx 0, 3963$ , l'écart relatif étant d'environ $2, 5 %$ , de l'ordre de $1/ (4 n)$ .

Enfin, en écrivant $2 p W_{2 p}^{2} \sim π /2$ avec la formule close $W_{2 p} = \frac{( 2 p )!}{2 ^{2 p} ( p ! ) ^{2}} \cdot \frac{π}{2}$ du théorème 11.2, on obtient $\frac{2 ^{4 p} ( p ! ) ^{4}}{p ( ( 2 p )! ) ^{2}} \to π$ : c'est la formule de Wallis annoncée dans le cours.

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (chapitres sur les méthodes d'intégration et les intégrales généralisées).
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck (techniques d'intégration, applications de l'intégrale).
Spivak, M., Calculus, Publish or Perish (chapitre «Integration in elementary terms»).
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod.
Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, tome 3, Masson (décomposition en éléments simples, intégrales impropres).
Apostol, T., Calculus, vol. 1, Wiley (fonction Gamma, formule de Wallis).

Objectifs du chapitre

Intégration par parties

Les intégrales de Wallis

La formule de Taylor avec reste intégral

Changement de variable

Substitutions classiques

Parité et périodicité

Intégration des fractions rationnelles

Décomposition en éléments simples

Primitives des éléments simples

Intégrales se ramenant à une fraction rationnelle

Intégrales impropres

Les intégrales de référence

Critères de convergence pour les fonctions positives

Explorateur des intégrales de Riemann impropres

La fonction Gamma

Applications géométriques et physiques

Aire entre deux courbes

Volume d'un solide de révolution

Longueur d'un arc de courbe

Centre de gravité d'une plaque plane

Travail et énergie

La transformée de Laplace

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 11

Vidange d'un réservoir parabolique

Rayon d'une tranche

Volume d'eau

Travail de pompage

Durée de la vidange

Exercices

Références