Formule de Taylor et développements limités · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

écrire le polynôme de Taylor d'une fonction en un point et énoncer les formules de Taylor–Lagrange et de Taylor–Young en distinguant leurs hypothèses;
majorer l'erreur d'une approximation polynomiale grâce au reste de Lagrange et choisir l'ordre nécessaire pour une précision donnée;
manipuler la notation $o (x^{n})$ de Landau et connaître par cœur les développements limités des fonctions usuelles en 0;
calculer un développement limité par somme, produit, quotient, composition, primitivation;
utiliser les développements limités pour lever des formes indéterminées, trouver des équivalents, situer une courbe par rapport à sa tangente et déterminer ses asymptotes;
estimer l'erreur commise par une approximation d'ingénieur (petites oscillations, dérivée numérique).

Approcher une fonction par un polynôme

Comment votre calculatrice évalue-t-elle $sin (0, 3)$ ou $e^{1, 7}$ ? Elle ne dispose que des quatre opérations: elle ne peut donc calculer que des polynômes. Toute la question est de savoir par quel polynôme remplacer la fonction, et quelle erreur on commet ce faisant.

Vous avez déjà rencontré la première réponse au chapitre 7: près de $x_{0}$ , une fonction dérivable se confond avec sa tangente,

f (x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .

C'est la linéarisation, que la mécanique utilise sans cesse: pour un pendule de faible amplitude on remplace $sin θ$ par $θ$ , ce qui transforme une équation non linéaire en un oscillateur harmonique. Mais la tangente s'écarte vite de la courbe; si l'on veut une meilleure approximation, ou une approximation valable plus loin de $x_{0}$ , il faut «pousser» la linéarisation à l'ordre 2, 3, …, $n$ : c'est l'objet de la formule de Taylor.

L'idée est due à Brook Taylor (1715), mais c'est Colin Maclaurin (1742) qui en popularisa le cas $x_{0} = 0$ , et Joseph-Louis Lagrange qui donna en 1797 l'expression du reste qui porte son nom, transformant une identité formelle en un véritable outil de majoration d'erreur. Le mathématicien bâlois Johann Bernoulli avait d'ailleurs obtenu une formule équivalente dès 1694, sous forme de «série intégrale».

Formules de Taylor

Polynôme de Taylor

Le choix des coefficients n'a rien d'arbitraire: $T_{n}$ est l'unique polynôme de degré au plus $n$ qui a les mêmes dérivées que $f$ en $x_{0}$ jusqu'à l'ordre $n$ . En effet, en dérivant $k$ fois $(x - x_{0})^{j}$ puis en évaluant en $x_{0}$ , on obtient $0$ si $j \neq = k$ et $k!$ si $j = k$ , d'où $T_{n}^{(k)} (x_{0}) = f^{(k)} (x_{0})$ pour $0 \leq k \leq n$ . Pour $n = 1$ , on retrouve la tangente; pour $n = 2$ , la «parabole osculatrice».

Figure 9.1. La fonction sinus et ses polynômes de Taylor d'ordre 1, 3 et 5 en 0. Chaque polynôme prolonge le précédent d'un terme; la zone où l'approximation est bonne s'élargit avec l'ordre.

Formule de Taylor–Lagrange

Le polynôme de Taylor approche $f$ , mais de combien? La réponse généralise le théorème des accroissements finis du chapitre 8.

Démonstration. Fixons $x \neq = x_{0}$ et définissons le nombre $A$ par l'égalité $f (x) = T_{n} (x) + A \frac{( x - x _{0} ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ ; il s'agit de montrer que $A = f^{(n + 1)} (c)$ pour un certain $c$ . Considérons la fonction auxiliaire de la variable $t$ , définie entre $x_{0}$ et $x$ :

g (t) = f (x) - k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( t )}{k !} (x - t)^{k} - A \frac{( x - t ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} .

Elle est continue sur le segment fermé et dérivable à l'intérieur (par hypothèse sur $f^{(n)}$ ). On a $g (x) = f (x) - f (x) - 0 = 0$ et $g (x_{0}) = f (x) - T_{n} (x) - A \frac{( x - x _{0} ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} = 0$ par définition de $A$ . Le théorème de Rolle fournit donc $c$ strictement entre $x_{0}$ et $x$ tel que $g^{'} (c) = 0$ . Or, en dérivant la somme, les termes se «télescopent»:

\frac{d}{d t} [\frac{f ^{(k)} ( t )}{k !} (x - t)^{k}] = \frac{f ^{(k + 1)} ( t )}{k !} (x - t)^{k} - \frac{f ^{(k)} ( t )}{( k - 1 )!} (x - t)^{k - 1} (k \geq 1),

de sorte qu'il ne subsiste, après sommation de $k = 0$ à $n$ , que le terme $\frac{f ^{(n + 1)} ( t )}{n !} (x - t)^{n}$ . Ainsi

g^{'} (t) = - \frac{f ^{(n + 1)} ( t )}{n !} (x - t)^{n} + A \frac{( x - t ) ^{n}}{n !},

et $g^{'} (c) = 0$ donne, puisque $(x - c)^{n} \neq = 0$ , $A = f^{(n + 1)} (c)$ . $□$

Pour $n = 0$ , la formule (9.2) est exactement le théorème des accroissements finis: $f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (c) (x - x_{0})$ . Son intérêt pratique est immédiat: si l'on sait majorer $∣ f^{(n + 1)} ∣$ par une constante $M$ sur l'intervalle, on contrôle l'erreur:

∣ f (x) - T_{n} (x)∣ \leq \frac{M}{( n + 1 )!} ∣ x - x_{0} ∣^{n + 1} . (9.3)

Exemple 9.2 · Combien de termes pour calculer e?

Appliquons (9.2) à $f (x) = e^{x}$ en $x_{0} = 0$ , $x = 1$ : toutes les dérivées valent $e^{x}$ , et $e^{c} \leq e < 3$ pour $c \in] 0, 1 [$ . Donc

e - k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \leq \frac{3}{( n + 1 )!} .

Pour garantir une erreur inférieure à $1 0^{- 6}$ , il suffit que $3/ (n + 1)! < 1 0^{- 6}$ , soit $(n + 1)! > 3 \cdot 1 0^{6}$ : comme $9! = 362880$ et $10! = 3628800$ , on prend $n = 9$ , c'est-à-dire dix termes. On trouve $T_{9} (1) = 2, 7182815$ , tandis que $e = 2, 71828183$ : l'erreur réelle, $3, 0 \cdot 1 0^{- 7}$ , est bien inférieure à la borne $8, 3 \cdot 1 0^{- 7}$ .

$n$	Majoration $3/ (n + 1)!$	Erreur réelle $∣ e - T_{n} (1)∣$
5	$4, 2 \cdot 1 0^{- 3}$	$1, 6 \cdot 1 0^{- 3}$
7	$7, 4 \cdot 1 0^{- 5}$	$2, 8 \cdot 1 0^{- 5}$
9	$8, 3 \cdot 1 0^{- 7}$	$3, 0 \cdot 1 0^{- 7}$
11	$6, 3 \cdot 1 0^{- 9}$	$2, 3 \cdot 1 0^{- 9}$

Pour $sin (0, 1)$ à $1 0^{- 8}$ près, le même raisonnement avec $M = 1$ donne $∣ sin x - T_{n} (x)∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ . Avec $T_{3} (x) = x - x^{3} /6$ (qui coïncide avec $T_{4}$ ), la borne vaut $0, 1^{5} /5! = 8, 3 \cdot 1 0^{- 8}$ : insuffisant. Avec $T_{5}$ (qui coïncide avec $T_{6}$ ), elle tombe à $0, 1^{7} /7! = 2, 0 \cdot 1 0^{- 11}$ . Trois termes suffisent donc largement: la petitesse de $x$ fait chuter l'erreur bien plus vite que l'augmentation de $n$ .

Exercice

On approche $sin (0, 5)$ par $T_{3} (0, 5) = 0, 5 - 0, 5^{3} /6$ . Quelle majoration de l'erreur fournit le reste de Lagrange (avec $∣ sin^{(5)} ∣ \leq 1$ )? Donnez la valeur numérique de la borne.

Polynômes de Taylor de sin x

Faites varier l'ordre n et le point x₀ du développement. Le polynôme T_n (tirets) épouse la courbe près de x₀, puis s'en écarte; le rayon de validité grandit avec n. La lecture de l'erreur en x₀ + 1 est comparée à la majoration de Lagrange 1/(n + 1)!.

Coefficients non nuls

2 / 4

T_n(x₀ + 1)

0,83333

Erreur |sin(x₀ + 1) − T_n(x₀ + 1)|

8,14 × 10^-3

Majoration 1/(n + 1)!

4,17 × 10^-2

Ordre n3

Point x₀0,0

Formule de Taylor–Young

La formule de Taylor–Lagrange exige que $f$ soit $n + 1$ fois dérivable sur tout un intervalle. Pour étudier le comportement local de $f$ en $x_{0}$ (limites, tangente, extrema), une hypothèse bien plus faible suffit, au prix d'une information moins précise sur le reste.

Idée de la démonstration

On raisonne par récurrence sur $n$ . Pour $n = 1$ , (9.4) n'est autre que la définition de la dérivée: $f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + (x - x_{0}) ε (x)$ . Supposons le résultat vrai à l'ordre $n - 1$ pour toute fonction, et appliquons-le à $f^{'}$ , qui vérifie les hypothèses à l'ordre $n - 1$ : $f^{'} (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{f ^{(k + 1)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k} + o ((x - x_{0})^{n - 1})$ . Posons $g = f - T_{n}$ ; alors $g (x_{0}) = 0$ et $g^{'} (x) = o ((x - x_{0})^{n - 1})$ . Soit $ε > 0$ ; pour $x$ assez proche de $x_{0}$ , on a $∣ g^{'} (t)∣ \leq ε ∣ t - x_{0} ∣^{n - 1}$ pour tout $t$ entre $x_{0}$ et $x$ , et le théorème des accroissements finis donne $∣ g (x)∣ = ∣ g (x) - g (x_{0})∣ = ∣ g^{'} (c)∣ ∣ x - x_{0} ∣ \leq ε ∣ x - x_{0} ∣^{n}$ , ce qui est exactement $g (x) = o ((x - x_{0})^{n})$ . (On peut aussi conclure en appliquant $n$ fois la règle de l'Hospital au quotient $g (x) / (x - x_{0})^{n}$ .)

Retenez la différence entre les deux formules: Taylor–Lagrange est une formule globale (valable sur tout un intervalle, avec un reste explicite, donc majorable), Taylor–Young une formule locale (valable au voisinage de $x_{0}$ , avec un reste qualitatif). La seconde est celle qui sert au calcul des développements limités.

La notation o de Landau

Par exemple, quand $x \to 0$ : $x^{3} = o (x^{2})$ , $x^{2} = o (x)$ , $x ln x = o (1)$ ; quand $x \to + \infty$ : $x^{2} = o (e^{x})$ , $ln x = o (x)$ . Écrire $o (x^{n})$ signifie donc «un terme qui tend vers 0 plus vite que $x^{n}$ ». Les règles de calcul suivantes, toutes immédiates à partir de la définition, sont utilisées sans cesse (au voisinage de $0$ , avec $m \leq n$ ):

o (x^{n}) + o (x^{n}) = o (x^{n}), o (x^{n}) + o (x^{m}) = o (x^{m}), λ o (x^{n}) = o (x^{n}), x^{m} o (x^{n}) = o (x^{n + m}), o (x^{m}) o (x^{n}) = o (x^{n + m}) . (9.5)

Exercice

Au voisinage de $0$ , laquelle de ces égalités est fausse?

Développements limités

Définition et premières propriétés

La formule de Taylor–Young affirme précisément qu'une fonction $n$ fois dérivable en $0$ admet un $DL_{n} (0)$ , dont la partie régulière est le polynôme de Taylor. La réciproque est fausse dès l'ordre 2: la fonction $f (x) = x^{3} sin (1/ x)$ vérifie $f (x) = 0 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + o (x^{2})$ , donc admet un $DL_{2} (0)$ , mais elle n'est pas deux fois dérivable en $0$ . La notion de développement limité est donc plus souple que celle de polynôme de Taylor: elle ne fait intervenir que le comportement de $f$ au voisinage du point, et se calcule le plus souvent sans dériver.

Démonstration. Supposons $f (x) = P (x) + o (x^{n}) = Q (x) + o (x^{n})$ avec $P$ et $Q$ de degré au plus $n$ . Alors $D = P - Q$ est un polynôme de degré au plus $n$ qui vérifie $D (x) = o (x^{n})$ . Si $D$ n'est pas nul, notons $k \leq n$ l'indice de son premier coefficient non nul: $D (x) = d_{k} x^{k} + \dots + d_{n} x^{n}$ avec $d_{k} \neq = 0$ . Alors $D (x) / x^{k} \to d_{k} \neq = 0$ quand $x \to 0$ , alors que $D (x) / x^{k} = x^{n - k} o (x^{n}) / x^{n} \to 0$ . Contradiction; donc $D = 0$ et $P = Q$ . $□$

Trois conséquences pratiques découlent de l'unicité.

Troncature. Si $f$ admet un $DL_{n} (0)$ de partie régulière $P$ , elle admet pour tout $m \leq n$ un $DL_{m} (0)$ , dont la partie régulière s'obtient en supprimant dans $P$ les termes de degré supérieur à $m$ (ils sont tous $o (x^{m})$ ).
Parité. Si $f$ est paire, seuls les coefficients d'indice pair sont non nuls; si $f$ est impaire, seuls ceux d'indice impair. En effet, $f (- x) = f (x)$ fournit un second $DL_{n} (0)$ de partie régulière $P (- x)$ , et l'unicité impose $P (- x) = P (x)$ .
Lien avec la dérivée. Si $f$ admet un $DL_{1} (0)$ , $f (x) = a_{0} + a_{1} x + o (x)$ , alors $f$ est prolongeable par continuité en $0$ par $a_{0}$ et ce prolongement est dérivable en $0$ , de dérivée $a_{1}$ .

Développements limités des fonctions usuelles

Les développements ci-dessous, obtenus par la formule de Taylor–Young, sont à connaître par cœur; ils forment la «table de multiplication» du chapitre. Tous sont pris en $0$ ; on note $α \in R$ .

Fonction	Développement limité en $0$
$e^{x}$	$1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + o (x^{n})$
$sin x$	$x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p + 1}}{( 2 p + 1 )!} + o (x^{2 p + 2})$
$cos x$	$1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p}}{( 2 p )!} + o (x^{2 p + 1})$
$sinh x$	$x + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} + \dots + \frac{x ^{2 p + 1}}{( 2 p + 1 )!} + o (x^{2 p + 2})$
$cosh x$	$1 + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots + \frac{x ^{2 p}}{( 2 p )!} + o (x^{2 p + 1})$
$ln (1 + x)$	$x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n + 1} \frac{x ^{n}}{n} + o (x^{n})$
$(1 + x)^{α}$	$1 + α x + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n} + o (x^{n})$
$\frac{1}{1 - x}$	$1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + o (x^{n})$
$\frac{1}{1 + x}$	$1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots + (- 1)^{n} x^{n} + o (x^{n})$
$1 + x$	$1 + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + \frac{x ^{3}}{16} + o (x^{3})$
$arctan x$	$x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p + 1}}{2 p + 1} + o (x^{2 p + 2})$
$tan x$	$x + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 x ^{5}}{15} + o (x^{6})$

Justifications. Pour $e^{x}$ , toutes les dérivées valent $1$ en $0$ . Pour $sin$ et $cos$ , on a vu à l'exemple 9.1 que les dérivées en $0$ valent cycliquement $0, 1, 0, - 1$ (resp. $1, 0, - 1, 0$ ); les fonctions hyperboliques s'obtiennent de même sans alternance de signe. Pour $ln (1 + x)$ , la dérivée $k$ -ième est $(- 1)^{k - 1} (k - 1)! / (1 + x)^{k}$ , qui vaut $(- 1)^{k - 1} (k - 1)!$ en $0$ ; divisée par $k!$ , elle donne $(- 1)^{k - 1} / k$ . Pour $(1 + x)^{α}$ , la dérivée $k$ -ième est $α (α - 1) \dots (α - k + 1) (1 + x)^{α - k}$ ; le cas $α = 1/2$ donne $1 + x$ et $α = - 1$ redonne $1/ (1 + x)$ . Le développement de $1/ (1 - x)$ est même exact à un reste explicite près: $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \dots + x^{n} + \frac{x ^{n + 1}}{1 - x}$ (somme géométrique), et $\frac{x ^{n + 1}}{1 - x} = o (x^{n})$ . Celui de $arctan$ s'obtient en primitivant celui de $\frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - \dots$ (théorème 9.4 ci-dessous), et celui de $tan$ par division de $sin$ par $cos$ (exemple 9.5).

Remarquez que l'ordre du reste tient compte de la parité: comme le coefficient de $x^{2 p + 2}$ dans $sin x$ est nul, écrire $o (x^{2 p + 2})$ plutôt que $o (x^{2 p + 1})$ est gratuit et parfois décisif.

Figure 9.2. ln(1 + x) et ses polynômes de Taylor d'ordre 1, 2, 3 et 6. À l'intérieur de ]−1, 1] les polynômes convergent vers la fonction; au-delà de x = 1, ils s'en écartent d'autant plus violemment que l'ordre est élevé. Un développement limité est une information locale.

Exercice

Quel est le développement limité d'ordre 2 en $0$ de $f (x) = 3 1 + x = (1 + x)^{1/3}$ ?

Développement en un point quelconque

Pour développer $f$ au voisinage de $x_{0} \neq = 0$ , on pose $x = x_{0} + h$ et l'on développe la fonction $h \mapsto f (x_{0} + h)$ en $h = 0$ ; le résultat s'écrit en puissances de $h = x - x_{0}$ . Par exemple, pour $ln x$ en $x_{0} = 1$ :

ln x = ln (1 + h) = h - \frac{h ^{2}}{2} + \frac{h ^{3}}{3} + o (h^{3}) = (x - 1) - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2} + \frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} + o ((x - 1)^{3}) .

De même $sin x$ en $x_{0} = π /4$ : $sin (π /4 + h) = sin \frac{π}{4} cos h + cos \frac{π}{4} sin h = \frac{2}{2} (1 + h - \frac{h ^{2}}{2} - \frac{h ^{3}}{6}) + o (h^{3})$ . On ne développe jamais un $DL$ en $x_{0}$ selon les puissances de $x$ : la variable naturelle est $x - x_{0}$ .

Opérations sur les développements limités

La force des développements limités est qu'ils se calculent algébriquement, à partir de la table, presque sans dériver. Dans tout ce qui suit, $f$ et $g$ admettent des $DL_{n} (0)$ de parties régulières $P$ et $Q$ .

Théorème 9.4 · Règles de calcul

Somme. $f + g$ admet un $DL_{n} (0)$ de partie régulière $P + Q$ .
Produit. $f g$ admet un $DL_{n} (0)$ de partie régulière obtenue en tronquant $P Q$ au degré $n$ .
Quotient. Si $g (0) \neq = 0$ , $f / g$ admet un $DL_{n} (0)$ , calculable en écrivant $\frac{1}{g} = \frac{1}{g ( 0 )} \cdot \frac{1}{1 + u}$ avec $u \to 0$ , ou par division de $P$ par $Q$ suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre $n$ .
Composition. Si $g (0) = 0$ , alors $f \circ g$ admet un $DL_{n} (0)$ , de partie régulière obtenue en substituant $Q (x)$ à $x$ dans $P$ et en tronquant au degré $n$ .
Primitivation. Si $f$ est continue au voisinage de $0$ et $F$ est une primitive de $f$ , alors $F$ admet un $DL_{n + 1} (0)$ : $F (x) = F (0) + a_{0} x + a_{1} \frac{x ^{2}}{2} + \dots + a_{n} \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + o (x^{n + 1})$ .
Dérivation. Si $f$ est dérivable au voisinage de $0$ et si $f^{'}$ admet un $DL_{n - 1} (0)$ , celui-ci s'obtient en dérivant terme à terme la partie régulière de $f$ .

Démonstration (des points 1, 2 et 4). La somme est immédiate par (9.5). Pour le produit, $f g = (P + o (x^{n})) (Q + o (x^{n})) = P Q + P o (x^{n}) + Q o (x^{n}) + o (x^{2 n})$ ; comme $P$ et $Q$ sont bornées près de $0$ , les trois derniers termes sont $o (x^{n})$ , et les monômes de $P Q$ de degré supérieur à $n$ le sont aussi. Pour la composition, $g (x) \to 0$ , donc $f (g (x)) = P (g (x)) + o (g (x)^{n})$ ; or $g (x) = a_{1} x + \dots$ donne $g (x)^{n} = O (x^{n})$ , si bien que $o (g (x)^{n}) = o (x^{n})$ ; enfin $P (g (x)) = P (Q (x) + o (x^{n}))$ se développe par le point 2 et se tronque au degré $n$ . La primitivation est une conséquence du théorème des accroissements finis appliqué à $F - (polyn \overset{o}{ˆ} me)$ ; nous l'admettons, ainsi que le point 6. Le quotient se ramène au produit par $1/ g$ , lui-même une composition avec $u \mapsto 1/ (1 + u)$ . $□$

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes du calcul du développement limité d'ordre 4 de $ln (cos x)$ en $0$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Écrire

ln (1 + u) = u - u^{2} /2 + o (u^{2})

Contrôler la parité du résultat et l'ordre du reste

o (x^{4})

Constater que

u = O (x^{2})

, donc qu'un développement de

ln (1 + u)

à l'ordre 2 en

u

suffit

Écrire

cos x = 1 + u

avec

u = - x^{2} /2 + x^{4} /24 + o (x^{4})

et vérifier que

u \to 0

Calculer

u^{2} = x^{4} /4 + o (x^{4})

en tronquant au degré 4

Substituer et regrouper:

- x^{2} /2 + x^{4} /24 - x^{4} /8 = - x^{2} /2 - x^{4} /12

Exemple 9.5 · Quotient: tan x à l'ordre 5

On veut $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ à l'ordre $5$ . Comme $tan$ est impaire, on peut travailler avec des restes $o (x^{6})$ . Première méthode, via $1/ (1 + u)$ : $cos x = 1 + u$ avec $u = - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{5})$ et

\frac{1}{cos x} = 1 - u + u^{2} + o (u^{2}) = 1 + \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{4}}{24} + \frac{x ^{4}}{4} + o (x^{5}) = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{5 x ^{4}}{24} + o (x^{5}) .

Puis, en multipliant par $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} + o (x^{6})$ et en tronquant au degré $5$ :

tan x = x + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) x^{3} + (\frac{5}{24} - \frac{1}{12} + \frac{1}{120}) x^{5} + o (x^{6}) = x + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 x ^{5}}{15} + o (x^{6}) .

Seconde méthode, la division suivant les puissances croissantes de $x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120}$ par $1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24}$ : on cherche le quotient terme par terme en commençant par les bas degrés. Le premier terme est $x$ ; on soustrait $x (1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24})$ , il reste $\frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{5}}{30}$ ; le terme suivant est $\frac{x ^{3}}{3}$ ; on soustrait $\frac{x ^{3}}{3} (1 - \frac{x ^{2}}{2})$ , il reste $\frac{x ^{5}}{6} - \frac{x ^{5}}{30} = \frac{2 x ^{5}}{15}$ , dernier terme du quotient. On retrouve $x + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 x ^{5}}{15}$ .

Exercice

Calculez le coefficient de $x^{4}$ dans le développement limité en $0$ de $f (x) = \frac{1}{cos x}$ (valeur décimale).

Applications

Calcul de limites

Un développement limité remplace, au voisinage d'un point, une expression compliquée par un polynôme: c'est l'outil le plus efficace pour lever les formes indéterminées, souvent plus rapide et plus sûr que la règle de l'Hospital, qui exige de dériver un quotient autant de fois que nécessaire.

Équivalents

Un développement limité fournit immédiatement un équivalent: le premier terme non nul de la partie régulière. Ainsi, en $0$ :

sin x \sim x, 1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}, e^{x} - 1 \sim x, ln (1 + x) \sim x, (1 + x)^{α} - 1 \sim α x, tan x - x \sim \frac{x ^{3}}{3}, x - sin x \sim \frac{x ^{3}}{6} .

Les équivalents se multiplient, se divisent et s'élèvent à une puissance fixe: si $f \sim g$ et $u \sim v$ , alors $f u \sim g v$ et $f / u \sim g / v$ . Ils se substituent dans une limite (si $f \sim g$ et $g \to ℓ$ , alors $f \to ℓ$ ). En revanche:

Exercice

Quel est un équivalent en $0$ de $f (x) = tan x - sin x$ ?

Position d'une courbe par rapport à sa tangente

Supposons que $f$ admette en $x_{0}$ un développement limité

f (x_{0} + h) = a_{0} + a_{1} h + a_{p} h^{p} + o (h^{p}), a_{p} \neq = 0, p \geq 2,

où $a_{p} h^{p}$ est le premier terme non nul après le terme linéaire. La droite $y = a_{0} + a_{1} h$ est la tangente en $x_{0}$ , et la différence $f (x_{0} + h) - (a_{0} + a_{1} h) = a_{p} h^{p} + o (h^{p})$ a, pour $h$ petit, le signe de $a_{p} h^{p}$ . Deux cas se présentent (figure 9.3).

Si $p$ est pair, $h^{p} > 0$ des deux côtés: la courbe est localement au-dessus de sa tangente si $a_{p} > 0$ , en dessous si $a_{p} < 0$ . Lorsque de plus $a_{1} = 0$ (tangente horizontale), $x_{0}$ est un extremum local: minimum si $a_{p} > 0$ , maximum si $a_{p} < 0$ . C'est la généralisation du critère $f^{''} (x_{0}) > 0$ du chapitre 8, qui traite les cas où $f^{''} (x_{0}) = 0$ .
Si $p$ est impair, $h^{p}$ change de signe: la courbe traverse sa tangente, $x_{0}$ est un point d'inflexion. Si $a_{1} = 0$ , il n'y a pas d'extremum.

Figure 9.3. Le premier terme non nul du développement après la tangente décide de la position locale de la courbe. À gauche, e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²): terme d'ordre pair positif, courbe au-dessus de la tangente. À droite, sin x = x − x³/6 + o(x³): terme d'ordre impair, la courbe traverse sa tangente en un point d'inflexion.

Asymptotes et développements asymptotiques

Les développements limités en $0$ renseignent aussi sur le comportement en $\pm \infty$ , grâce au changement de variable $u = 1/ x$ , qui tend vers $0$ . Si l'on obtient

f (x) = a x + b + \frac{c}{x} + o (\frac{1}{x}) (x \to + \infty),

alors la droite $y = a x + b$ est asymptote à la courbe en $+ \infty$ (car $f (x) - a x - b \to 0$ ), et le signe de $c / x$ donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote. Un tel développement, en puissances de $1/ x$ , s'appelle un développement asymptotique.

Exemple 9.9 · Deux branches infinies

(a) $f (x) = x^{2} + x + 1$ en $+ \infty$ . Pour $x > 0$ , $f (x) = x 1 + u + u^{2}$ avec $u = 1/ x \to 0$ . Posons $v = u + u^{2}$ : $1 + v = 1 + \frac{v}{2} - \frac{v ^{2}}{8} + o (v^{2})$ , avec $v^{2} = u^{2} + o (u^{2})$ , d'où $1 + u + u^{2} = 1 + \frac{u}{2} + \frac{u ^{2}}{2} - \frac{u ^{2}}{8} + o (u^{2}) = 1 + \frac{u}{2} + \frac{3 u ^{2}}{8} + o (u^{2})$ et

f (x) = x + \frac{1}{2} + \frac{3}{8 x} + o (\frac{1}{x}) .

La droite $y = x + \frac{1}{2}$ est asymptote en $+ \infty$ et la courbe est au-dessus. En $- \infty$ , $x^{2} = - x$ et l'on trouve l'asymptote $y = - x - \frac{1}{2}$ , courbe encore au-dessus ( $f (x) + x + \frac{1}{2} = - \frac{3}{8 x} + \dots > 0$ ). Pour $x = 1000$ , $f (x) - x = 0, 500375$ , en accord avec $\frac{1}{2} + \frac{3}{8000}$ .

(b) $g (x) = x^{2} ln (1 + \frac{1}{x})$ en $+ \infty$ . Avec $u = 1/ x$ : $g (x) = \frac{1}{u ^{2}} (u - \frac{u ^{2}}{2} + \frac{u ^{3}}{3} + o (u^{3})) = \frac{1}{u} - \frac{1}{2} + \frac{u}{3} + o (u)$ , soit

g (x) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3 x} + o (\frac{1}{x}) :

asymptote $y = x - \frac{1}{2}$ , courbe au-dessus. Remarquez qu'il a fallu développer le logarithme à l'ordre $3$ en $u$ pour obtenir le terme en $1/ x$ à cause du facteur $1/ u^{2}$ .

Approximations en ingénierie

Un ingénieur remplace constamment une fonction par les premiers termes de son développement; la formule de Taylor lui dit jusqu'où cette simplification est légitime.

Exemple 9.10 · Période d'un pendule: au-delà des petites oscillations

Un pendule simple de longueur $L$ lâché sans vitesse avec l'amplitude $θ_{0}$ oscille avec la période exacte

T = 4 \frac{L}{g} \int_{0}^{π /2} \frac{d φ}{1 - k ^{2} sin ^{2} φ}, k = sin \frac{θ _{0}}{2},

une intégrale elliptique qui n'a pas d'expression élémentaire. En développant $(1 - k^{2} sin^{2} φ)^{- 1/2} = 1 + \frac{1}{2} k^{2} sin^{2} φ + \frac{3}{8} k^{4} sin^{4} φ + \dots$ (table, $α = - 1/2$ ), puis en intégrant terme à terme et en développant $k^{2} = sin^{2} (θ_{0} /2) \approx θ_{0}^{2} /4$ , on obtient le développement

T = 2 π \frac{L}{g} (1 + \frac{θ _{0}^{2}}{16} + \frac{11 θ _{0}^{4}}{3072} + o (θ_{0}^{4})) .

Le terme $T_{0} = 2 π L / g$ est la période des petites oscillations, obtenue en linéarisant $sin θ \approx θ$ ; le facteur $1 + θ_{0}^{2} /16$ mesure l'erreur de cette linéarisation. Pour $θ_{0} = 30° = 0, 524$ rad, $θ_{0}^{2} /16 = 0, 0171$ : la période réelle dépasse $T_{0}$ de $1, 7 %$ (valeur exacte par intégration numérique: $1, 74 %$ ; avec le terme en $θ_{0}^{4}$ on trouve $1, 740 %$ ). Pour que l'approximation des petites oscillations soit exacte à $1 %$ , il faut $θ_{0}^{2} /16 < 0, 01$ , soit $θ_{0} < 0, 4$ rad $\approx 23°$ .

$θ_{0}$	$10°$	$20°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$θ_{0}^{2} /16$	$0, 19 %$	$0, 76 %$	$1, 71 %$	$3, 86 %$	$6, 85 %$	$15, 4 %$
$T / T_{0} - 1$ exact	$0, 19 %$	$0, 77 %$	$1, 74 %$	$4, 00 %$	$7, 32 %$	$18, 0 %$

Au-delà de $45°$ , le terme d'ordre 2 lui-même n'est plus suffisant: un développement n'est fiable que dans la zone où les termes négligés sont petits.

Exercice

Un pendule est lâché avec une amplitude $θ_{0} = 20°$ . De quel pourcentage la période réelle dépasse-t-elle $T_{0} = 2 π L / g$ , selon l'approximation $T \approx T_{0} (1 + θ_{0}^{2} /16)$ ? Répondez en %.

Synthèse

Le polynôme de Taylor $T_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k}$ est l'unique polynôme de degré $\leq n$ ayant les mêmes dérivées que $f$ en $x_{0}$ jusqu'à l'ordre $n$ .
Taylor–Lagrange (globale, $f$ de classe $C^{n + 1}$ ): $f (x) = T_{n} (x) + \frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}$ , d'où la majoration $∣ f - T_{n} ∣ \leq \frac{M}{( n + 1 )!} ∣ x - x_{0} ∣^{n + 1}$ , qui permet de choisir l'ordre pour une précision donnée.
Taylor–Young (locale, $f$ $n$ fois dérivable en $x_{0}$ ): $f (x) = T_{n} (x) + o ((x - x_{0})^{n})$ ; c'est la source des développements limités, dont la partie régulière est unique.
Les développements usuels ( $e^{x}$ , $sin$ , $cos$ , $ln (1 + x)$ , $(1 + x)^{α}$ , $1/ (1 - x)$ , $arctan$ , $tan$ ) se combinent par somme, produit (tronquer), quotient (division suivant les puissances croissantes ou $1/ (1 + u)$ ), composition (variable auxiliaire $u \to 0$ ), primitivation.
Applications: limites (développer jusqu'au premier terme non nul), équivalents (premier terme non nul; jamais de somme d'équivalents), position par rapport à la tangente et extrema (parité et signe du premier terme non nul après le terme linéaire), asymptotes ( $u = 1/ x$ ).
En ingénierie, une approximation polynomiale n'a de sens qu'accompagnée d'une estimation de l'erreur: c'est ce que fournit le reste de Lagrange.

Série d'exercices du chapitre 9

Exercice 1 sur 5

Exercice

Quel est le développement limité d'ordre 4 en $0$ de $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ ?

Problème guidé

Développement limité de ln(1 + x)/(1 + x) et ses conséquences

On considère la fonction $f (x) = \frac{ln ( 1 + x )}{1 + x}$ , définie pour $x > - 1$ . On veut son développement limité d'ordre 3 en $0$ , puis en tirer une limite et la position de la courbe par rapport à sa tangente à l'origine.

1
Le terme d'ordre 2
Écrivez $f$ comme le produit $ln (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}$ ; comme $ln (1 + x) = x + \dots$ commence à l'ordre 1, il suffit de développer $\frac{1}{1 + x}$ à l'ordre 2.
Exercice
Quel est le coefficient $a_{2}$ de $x^{2}$ dans le développement de $f$ ?
Le terme d'ordre 3
Une limite
Position par rapport à la tangente

Exercices

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Exercice 9.1 · Développements limités en 0

Calculer les développements limités suivants en $0$ .

$\frac{e ^{x}}{1 - x}$ à l'ordre 3.
$\frac{ln ( 1 + x )}{sin x}$ à l'ordre 2.
$arctan x$ à l'ordre 5 (par primitivation).
$cos x$ à l'ordre 4.

Solution

1. On multiplie les développements $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ et $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + o (x^{3})$ (théorème 9.4, point 2) en tronquant au degré $3$ :

\frac{e ^{x}}{1 - x} = 1 + (1 + 1) x + (1 + 1 + \frac{1}{2}) x^{2} + (1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}) x^{3} + o (x^{3}),

soit $\frac{e ^{x}}{1 - x} = 1 + 2 x + \frac{5}{2} x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + o (x^{3})$ . Remarquez que le coefficient de $x^{k}$ est la somme partielle $\sum_{j = 0}^{k} 1/ j!$ de la série de $e$ .

2. Numérateur et dénominateur s'annulent en $0$ ; on factorise $x$ en haut et en bas (théorème 9.4, point 3, après simplification). Pour obtenir l'ordre $2$ du quotient, il faut $\frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{3} + o (x^{2})$ et $\frac{x}{sin x}$ à l'ordre $2$ . Or $\frac{sin x}{x} = 1 - \frac{x ^{2}}{6} + o (x^{3})$ , donc, avec $u = - \frac{x ^{2}}{6} + o (x^{3})$ et $\frac{1}{1 + u} = 1 - u + o (u)$ ,

\frac{x}{sin x} = 1 + \frac{x ^{2}}{6} + o (x^{2}) .

Le produit, tronqué au degré $2$ , donne

\frac{ln ( 1 + x )}{sin x} = (1 - \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{3}) (1 + \frac{x ^{2}}{6}) + o (x^{2}) = 1 - \frac{x}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) x^{2} + o (x^{2}),

soit $\frac{ln ( 1 + x )}{sin x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ . (Vérification: la division suivant les puissances croissantes de $x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3}$ par $x - \frac{x ^{3}}{6}$ donne le même quotient.)

3. La dérivée de $arctan$ est $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ . En composant $\frac{1}{1 + u} = 1 - u + u^{2} + o (u^{2})$ avec $u = x^{2}$ (théorème 9.4, point 4), on obtient

\frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} + o (x^{4}) = 1 - x^{2} + x^{4} + o (x^{5}),

le reste pouvant être écrit $o (x^{5})$ puisque la fonction est paire (le coefficient de $x^{5}$ est nul). Comme $arctan$ est la primitive de cette fonction qui s'annule en $0$ , le point 5 du théorème 9.4 donne, en intégrant terme à terme,

arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} + o (x^{5})

(et même $o (x^{6})$ , par primitivation du reste $o (x^{5})$ ).

4. On écrit $cos x = 1 + u$ avec $u = - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4})$ , qui tend vers $0$ . Comme $u = O (x^{2})$ , il suffit de développer $1 + u = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u ^{2}}{8} + o (u^{2})$ à l'ordre $2$ en $u$ pour obtenir l'ordre $4$ en $x$ . Avec $u^{2} = \frac{x ^{4}}{4} + o (x^{4})$ :

cos x = 1 + \frac{1}{2} (- \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24}) - \frac{1}{8} \cdot \frac{x ^{4}}{4} + o (x^{4}) = 1 - \frac{x ^{2}}{4} + (\frac{1}{48} - \frac{1}{32}) x^{4} + o (x^{4}) .

Comme $\frac{1}{48} - \frac{1}{32} = \frac{2 - 3}{96} = - \frac{1}{96}$ , on conclut que

cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{4} - \frac{x ^{4}}{96} + o (x^{4}) .

Contrôle numérique: pour $x = 0, 5$ , le polynôme vaut $0, 936849$ et $cos 0, 5 = 0, 936794$ , écart de $5, 5 \cdot 1 0^{- 5}$ , compatible avec un reste en $x^{6}$ .

Exercice 9.2 · Calcul de limites

Déterminer les limites suivantes à l'aide de développements limités.

$x \to 0 lim \frac{tan x - sin x}{x ^{3}}$
$x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{1/ x} - e}{x}$
$x \to + \infty lim (x - x^{2} ln (1 + \frac{1}{x}))$
$x \to 0 lim \frac{e ^{s i n x} - e ^{x}}{x ^{3}}$

Solution

1. On développe à l'ordre $3$ : $tan x = x + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})$ (exemple 9.5) et $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ . Les termes linéaires se compensent:

tan x - sin x = (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) x^{3} + o (x^{3}) = \frac{x ^{3}}{2} + o (x^{3}),

donc $\frac{tan x - sin x}{x ^{3}} = \frac{1}{2} + o (1)$ et $x \to 0 lim \frac{tan x - sin x}{x ^{3}} = \frac{1}{2}$ . On peut le vérifier sans développer $tan$ : $tan x - sin x = tan x (1 - cos x) \sim x \cdot \frac{x ^{2}}{2}$ .

2. Pour $x > - 1$ , $x \neq = 0$ , on écrit $(1 + x)^{1/ x} = exp (\frac{ln ( 1 + x )}{x})$ . Or

\frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{3} + o (x^{2}),

donc $(1 + x)^{1/ x} = e \cdot e^{v}$ avec $v = - \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{3} + o (x^{2}) \to 0$ . Comme il suffit de l'ordre $1$ au numérateur, $e^{v} = 1 + v + o (v) = 1 - \frac{x}{2} + o (x)$ et

(1 + x)^{1/ x} - e = - \frac{e}{2} x + o (x), d’o \overset{u}{ˋ} x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{1/ x} - e}{x} = - \frac{e}{2} .

(À l'ordre suivant, $e^{v} = 1 + v + \frac{v ^{2}}{2} + o (x^{2})$ donne $(1 + x)^{1/ x} = e (1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24} x^{2} + o (x^{2}))$ .) Interprétation: la suite $(1 + 1/ n)^{n}$ converge vers $e$ avec une erreur $\approx - e / (2 n)$ , ce qui explique sa lenteur.

3. Forme $\infty - \infty$ . On pose $u = 1/ x \to 0^{+}$ et l'on développe le logarithme à l'ordre $3$ (le facteur $1/ u^{2}$ fait perdre deux ordres, comme à l'exemple 9.9):

x - x^{2} ln (1 + \frac{1}{x}) = \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}} (u - \frac{u ^{2}}{2} + \frac{u ^{3}}{3} + o (u^{3})) = \frac{1}{u} - \frac{1}{u} + \frac{1}{2} - \frac{u}{3} + o (u) = \frac{1}{2} - \frac{u}{3} + o (u) .

Ainsi $x \to + \infty lim (x - x^{2} ln (1 + \frac{1}{x})) = \frac{1}{2}$ , et l'expression tend vers sa limite par valeurs inférieures, comme $\frac{1}{2} - \frac{1}{3 x}$ .

4. Il faut l'ordre $3$ . Composons $e^{v} = 1 + v + \frac{v ^{2}}{2} + \frac{v ^{3}}{6} + o (v^{3})$ avec $v = sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ : on a $v^{2} = x^{2} + o (x^{3})$ et $v^{3} = x^{3} + o (x^{3})$ , donc

e^{s i n x} = 1 + (x - \frac{x ^{3}}{6}) + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}) = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + 0 \cdot x^{3} + o (x^{3}) .

Par ailleurs $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ . Par différence, $e^{s i n x} - e^{x} = - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ et

x \to 0 lim \frac{e ^{s i n x} - e ^{x}}{x ^{3}} = - \frac{1}{6} .

Autre chemin: $e^{s i n x} - e^{x} = e^{x} (e^{s i n x - x} - 1)$ avec $sin x - x \sim - \frac{x ^{3}}{6}$ , donc $e^{s i n x - x} - 1 \sim - \frac{x ^{3}}{6}$ et $e^{x} \to 1$ ; les équivalents se multiplient, ce qui redonne $- 1/6$ .

Exercice 9.3 · Asymptotes et position par rapport à la tangente

Soit $f (x) = (x + 1) e^{1/ x}$ pour $x \neq = 0$ . Déterminer un développement asymptotique de $f$ en $\pm \infty$ à la précision $o (1/ x)$ , en déduire l'asymptote oblique et la position de la courbe par rapport à elle en $+ \infty$ et en $- \infty$ .
Soit $g (x) = x cos x - sin x$ . Écrire le développement limité de $g$ à l'ordre 5 en $0$ , donner la tangente en $0$ et la position de la courbe par rapport à elle. Le point $0$ est-il un extremum de $g$ ?
Soit $h (x) = cosh x - \frac{x ^{2}}{2}$ . Montrer que $0$ est un minimum local strict de $h$ bien que $h^{''} (0) = 0$ .

Solution

1. Posons $u = 1/ x$ , qui tend vers $0$ quand $x \to \pm \infty$ . Alors $f (x) = (\frac{1}{u} + 1) e^{u}$ . À cause du facteur $1/ u$ , il faut développer l'exponentielle à l'ordre $2$ pour atteindre la précision $o (u)$ :

f (x) = (\frac{1}{u} + 1) (1 + u + \frac{u ^{2}}{2} + o (u^{2})) = \frac{1}{u} + 1 + \frac{u}{2} + o (u) + 1 + u + o (u) = \frac{1}{u} + 2 + \frac{3 u}{2} + o (u) .

En revenant à $x$ :

f (x) = x + 2 + \frac{3}{2 x} + o (\frac{1}{x}) (x \to \pm \infty) .

Comme $f (x) - (x + 2) \to 0$ , la droite $y = x + 2$ est asymptote en $+ \infty$ et en $- \infty$ . La différence $f (x) - (x + 2) = \frac{3}{2 x} + o (1/ x)$ a le signe de $\frac{3}{2 x}$ pour $∣ x ∣$ grand: la courbe est au-dessus de l'asymptote en $+ \infty$ et en dessous en $- \infty$ . (Contrôle: $f (100) - 102 = 0, 0151$ et $f (- 100) + 98 = - 0, 0149$ , proches de $\pm 0, 015$ .)

2. Avec $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4})$ (il suffit de l'ordre $4$ à cause du facteur $x$ ) et $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} + o (x^{5})$ :

g (x) = x - \frac{x ^{3}}{2} + \frac{x ^{5}}{24} - x + \frac{x ^{3}}{6} - \frac{x ^{5}}{120} + o (x^{5}) = - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{30} + o (x^{5}),

car $- \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = - \frac{1}{3}$ et $\frac{1}{24} - \frac{1}{120} = \frac{5 - 1}{120} = \frac{1}{30}$ . Ainsi $g (x) = - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{30} + o (x^{5})$ (la fonction est impaire, on peut même écrire $o (x^{6})$ ). Le développement n'a ni terme constant ni terme linéaire: $g (0) = 0$ , $g^{'} (0) = 0$ et la tangente en $0$ est l'axe $y = 0$ . Le premier terme non nul, $- \frac{x ^{3}}{3}$ , est d'ordre $3$ , impair: la courbe traverse sa tangente en $0$ , qui est un point d'inflexion; elle est en dessous pour $x > 0$ et au-dessus pour $x < 0$ . Par conséquent $0$ n'est pas un extremum de $g$ , bien que $g^{'} (0) = 0$ . (On retrouve ce résultat avec $g^{'} (x) = - x sin x$ , qui est négatif de part et d'autre de $0$ : $g$ est décroissante.)

3. On a $h^{'} (x) = sinh x - x$ et $h^{''} (x) = cosh x - 1$ , donc $h^{'} (0) = 0$ et $h^{''} (0) = 0$ : le critère de la dérivée seconde du chapitre 8 ne conclut pas. Le développement de $cosh$ donne

h (x) = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4}) - \frac{x ^{2}}{2} = 1 + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4}) .

Le premier terme non nul après le terme constant est $\frac{x ^{4}}{24}$ , d'ordre pair et de coefficient positif: d'après le critère de la section «Position d'une courbe par rapport à sa tangente», $h (x) - h (0) = \frac{x ^{4}}{24} (1 + o (1)) > 0$ pour $x \neq = 0$ assez petit. Le point $0$ est donc un minimum local strict de $h$ , et la courbe est au-dessus de sa tangente horizontale $y = 1$ . (En fait le minimum est global: $h^{'} (x) = sinh x - x$ a le signe de $x$ , puisque $sinh x \geq x$ pour $x \geq 0$ et l'inverse pour $x \leq 0$ .)

Exercice 9.4 · Approximations d'ingénieur et leur erreur

Pendule. On admet $T = T_{0} (1 + \frac{θ _{0}^{2}}{16} + \frac{11 θ _{0}^{4}}{3072} + o (θ_{0}^{4}))$ avec $T_{0} = 2 π L / g$ . Une horloge à pendule est réglée pour une amplitude de $4°$ et fonctionne ensuite avec une amplitude de $8°$ . De combien de secondes par jour avance-t-elle ou retarde-t-elle?
Énergie cinétique relativiste. L'énergie cinétique d'une particule de masse $m$ et de vitesse $v$ est $E = m c^{2} (\frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} - 1)$ . Développer $E$ à l'ordre 2 en la variable $β^{2} = v^{2} / c^{2}$ et montrer que $E = \frac{1}{2} m v^{2} (1 + \frac{3}{4} β^{2} + o (β^{2}))$ . Quelle est l'erreur relative de la formule classique $\frac{1}{2} m v^{2}$ pour un satellite à $7, 7$ km/s? Pour un électron à $0, 1 c$ ?
Flèche d'un câble. La longueur d'un câble suspendu de portée $ℓ$ et de flèche $s$ vaut $L = ℓ (1 + \frac{8 s ^{2}}{3 ℓ ^{2}} - \frac{32 s ^{4}}{5 ℓ ^{4}} + \dots)$ . Pour $ℓ = 100$ m et $s = 5$ m, calculer $L$ avec un puis deux termes correctifs et estimer l'erreur commise en ne gardant que le premier.

Solution

1. Pendule. Convertissons en radians: $θ_{1} = 4° = 0, 06981$ rad et $θ_{2} = 8° = 0, 13963$ rad, d'où $θ_{1}^{2} = 0, 004874$ et $θ_{2}^{2} = 0, 019496$ . Le facteur correctif $c (θ_{0}) = 1 + \frac{θ _{0}^{2}}{16} + \frac{11 θ _{0}^{4}}{3072}$ vaut

c (θ_{1}) = 1 + 3, 046 \cdot 1 0^{- 4} + 0, 001 \cdot 1 0^{- 4} = 1, 000305, c (θ_{2}) = 1 + 12, 185 \cdot 1 0^{- 4} + 0, 014 \cdot 1 0^{- 4} = 1, 001 220.

L'horloge est réglée à $4°$ : sa période $T (θ_{1})$ correspond exactement à la seconde d'horloge. À $8°$ , chaque oscillation dure plus longtemps, dans le rapport

\frac{T ( θ _{2} )}{T ( θ _{1} )} = \frac{c ( θ _{2} )}{c ( θ _{1} )} = 1 + 9, 15 \cdot 1 0^{- 4} .

Au premier ordre, ce rapport vaut $1 + \frac{θ _{2}^{2} - θ _{1}^{2}}{16} = 1 + 9, 14 \cdot 1 0^{- 4}$ ; le terme en $θ_{0}^{4}$ ne modifie que la troisième décimale ( $1, 3 \cdot 1 0^{- 6}$ ), preuve que le développement à l'ordre $2$ suffit ici. Sur un jour de $86400$ s, l'horloge compte $86 400/ (1 + 9, 15 \cdot 1 0^{- 4}) \approx 86321$ s: elle retarde d'environ $79$ s par jour (soit $1$ min $19$ s). C'est pourquoi les horloges à pendule sont conçues pour de très petites amplitudes et un maintien d'amplitude constant.

2. Énergie cinétique relativiste. Posons $β^{2} = v^{2} / c^{2} \in [0, 1 [$ . La table donne $(1 + u)^{- 1/2} = 1 - \frac{u}{2} + \frac{3}{8} u^{2} + o (u^{2})$ ; avec $u = - β^{2}$ ,

\frac{1}{1 - β ^{2}} = 1 + \frac{β ^{2}}{2} + \frac{3}{8} β^{4} + o (β^{4}),

donc

E = m c^{2} (\frac{β ^{2}}{2} + \frac{3}{8} β^{4} + o (β^{4})) = \frac{1}{2} m c^{2} β^{2} (1 + \frac{3}{4} β^{2} + o (β^{2})) = \frac{1}{2} m v^{2} (1 + \frac{3}{4} β^{2} + o (β^{2})),

puisque $m c^{2} β^{2} = m v^{2}$ . La formule classique $E_{cl} = \frac{1}{2} m v^{2}$ est le premier terme; son erreur relative est

\frac{E _{cl} - E}{E} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4} β ^{2} + o ( β ^{2} )} - 1 = - \frac{3}{4} β^{2} + o (β^{2}) :

la formule classique sous-estime l'énergie d'environ $\frac{3}{4} β^{2}$ en valeur relative.

Satellite à $v = 7, 7$ km/s: $β^{2} = (7, 7 \cdot 1 0^{3} /2, 998 \cdot 1 0^{8})^{2} = 6, 60 \cdot 1 0^{- 10}$ , donc erreur relative $\approx 4, 9 \cdot 1 0^{- 10}$ , totalement négligeable.
Électron à $v = 0, 1 c$ : $β^{2} = 0, 01$ , donc erreur relative $\approx \frac{3}{4} \cdot 0, 01 = 0, 75 %$ (valeur exacte $0, 751 %$ ). À $0, 5 c$ la formule classique serait déjà fausse de $19 %$ et le développement lui-même perdrait son sens.

3. Flèche d'un câble. Avec $ℓ = 100$ m et $s = 5$ m, $\frac{s}{ℓ} = 0, 05$ , $\frac{s ^{2}}{ℓ ^{2}} = 2, 5 \cdot 1 0^{- 3}$ et $\frac{s ^{4}}{ℓ ^{4}} = 6, 25 \cdot 1 0^{- 6}$ . Les deux termes correctifs valent

\frac{8 s ^{2}}{3 ℓ ^{2}} = \frac{8 \cdot 2 , 5 \cdot 1 0 ^{- 3}}{3} = 6, 667 \cdot 1 0^{- 3}, \frac{32 s ^{4}}{5 ℓ ^{4}} = \frac{32 \cdot 6 , 25 \cdot 1 0 ^{- 6}}{5} = 4, 0 \cdot 1 0^{- 5} .

Un terme correctif: $L_{1} = 100 (1 + 6, 667 \cdot 1 0^{- 3}) = 100, 667$ m.
Deux termes correctifs: $L_{2} = 100 (1 + 6, 667 \cdot 1 0^{- 3} - 4, 0 \cdot 1 0^{- 5}) = 100, 663$ m.

Le développement est alterné à termes décroissants: l'erreur commise en s'arrêtant au premier terme correctif est de l'ordre du terme suivant, $ℓ \cdot \frac{32 s ^{4}}{5 ℓ ^{4}} = 0, 004$ m, soit environ $4$ mm sur $100$ m ( $4 \cdot 1 0^{- 5}$ en relatif), ce qui dépasse à peine la précision de pose d'un câble. Contrôle: la longueur exacte de la parabole de portée $100$ m et de flèche $5$ m, $L = \frac{ℓ}{2} 1 + k^{2} + \frac{ℓ ^{2}}{8 s} arsinh k$ avec $k = 4 s / ℓ = 0, 2$ , vaut $100, 6627$ m; l'erreur de $L_{1}$ est bien de $3, 9$ mm et celle de $L_{2}$ de $0, 06$ mm.

Exercice 9.5 · Erreur d'une dérivée numérique (démonstration)

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ , avec $∣ f^{''} (t)∣ \leq M$ pour tout $t \in I$ , et $x_{0} \in I$ .

En appliquant le théorème de Rolle à la fonction $g (t) = f (x_{0} + h) - f (t) - (x_{0} + h - t) f^{'} (t) - A \frac{( x _{0} + h - t ) ^{2}}{2}$ , où $A$ est choisi pour que $g (x_{0}) = 0$ , démontrer que pour tout $h$ tel que $x_{0} + h \in I$ , $∣ f (x_{0} + h) - f (x_{0}) - h f^{'} (x_{0})∣ \leq \frac{M h ^{2}}{2} .$
En déduire que la différence finie progressive $D_{h} = \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ approche $f^{'} (x_{0})$ avec une erreur au plus $M h /2$ .
On suppose de plus $f$ trois fois dérivable avec $∣ f^{'''} ∣ \leq M_{3}$ sur $I$ . En admettant la formule de Taylor–Lagrange à l'ordre 2, montrer que la différence finie centrée $C_{h} = \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} - h )}{2 h}$ approche $f^{'} (x_{0})$ avec une erreur au plus $M_{3} h^{2} /6$ .
Application numérique: $f = sin$ , $x_{0} = 1$ , $h = 0, 1$ . Calculer $D_{h}$ , $C_{h}$ , leurs erreurs réelles par rapport à $cos 1$ , et comparer aux bornes obtenues (avec $M = M_{3} = 1$ ).

Solution

1. Si $h = 0$ , l'inégalité est triviale ( $0 \leq 0$ ); supposons $h \neq = 0$ et notons $x_{1} = x_{0} + h \in I$ . La fonction $g$ est définie sur le segment $J$ d'extrémités $x_{0}$ et $x_{1}$ par

g (t) = f (x_{1}) - f (t) - (x_{1} - t) f^{'} (t) - A \frac{( x _{1} - t ) ^{2}}{2},

où la constante $A$ est choisie de sorte que $g (x_{0}) = 0$ , c'est-à-dire

A = \frac{2}{h ^{2}} (f (x_{1}) - f (x_{0}) - h f^{'} (x_{0})) .

Hypothèses de Rolle. Comme $f$ est deux fois dérivable sur $I$ , la fonction $f^{'}$ est dérivable, donc continue, sur $I$ ; ainsi $g$ est continue sur $J$ et dérivable sur son intérieur. De plus $g (x_{1}) = f (x_{1}) - f (x_{1}) - 0 - 0 = 0$ et $g (x_{0}) = 0$ par le choix de $A$ . Le théorème de Rolle fournit donc un point $c$ strictement compris entre $x_{0}$ et $x_{1}$ tel que $g^{'} (c) = 0$ .

Calcul de $g^{'}$ . Pour $t \in J$ , par les règles de dérivation d'un produit,

g^{'} (t) = - f^{'} (t) + f^{'} (t) - (x_{1} - t) f^{''} (t) + A (x_{1} - t) = (x_{1} - t) (A - f^{''} (t)) .

Les termes en $f^{'} (t)$ se sont télescopés, exactement comme dans la démonstration du théorème 9.1. Puisque $c \neq = x_{1}$ , l'égalité $g^{'} (c) = 0$ impose $A = f^{''} (c)$ . En reportant dans la définition de $A$ :

f (x_{0} + h) - f (x_{0}) - h f^{'} (x_{0}) = \frac{h ^{2}}{2} f^{''} (c),

ce qui est la formule de Taylor–Lagrange (9.2) à l'ordre $1$ . Comme $∣ f^{''} (c)∣ \leq M$ , on conclut:

∣ f (x_{0} + h) - f (x_{0}) - h f^{'} (x_{0})∣ \leq \frac{M h ^{2}}{2} .

2. Pour $h \neq = 0$ , en divisant l'expression du point 1 par $h$ ,

D_{h} - f^{'} (x_{0}) = \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} - f^{'} (x_{0}) = \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} ) - h f ^{'} ( x _{0} )}{h},

d'où, par le point 1, $∣ D_{h} - f^{'} (x_{0})∣ \leq \frac{M ∣ h ∣}{2}$ . La différence finie progressive est donc d'ordre $1$ : diviser $h$ par $10$ divise la borne d'erreur par $10$ .

3. Supposons $x_{0} \pm h \in I$ . La formule de Taylor–Lagrange à l'ordre $2$ (théorème 9.1 avec $n = 2$ ), appliquée en $x_{0} + h$ puis en $x_{0} - h$ , donne deux points $c_{+}$ entre $x_{0}$ et $x_{0} + h$ et $c_{-}$ entre $x_{0} - h$ et $x_{0}$ tels que

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + h f^{'} (x_{0}) + \frac{h ^{2}}{2} f^{''} (x_{0}) + \frac{h ^{3}}{6} f^{'''} (c_{+}), f (x_{0} - h) = f (x_{0}) - h f^{'} (x_{0}) + \frac{h ^{2}}{2} f^{''} (x_{0}) - \frac{h ^{3}}{6} f^{'''} (c_{-}) .

Par soustraction, les termes en $f (x_{0})$ et, surtout, en $f^{''} (x_{0})$ disparaissent:

f (x_{0} + h) - f (x_{0} - h) = 2 h f^{'} (x_{0}) + \frac{h ^{3}}{6} (f^{'''} (c_{+}) + f^{'''} (c_{-})),

donc

C_{h} - f^{'} (x_{0}) = \frac{h ^{2}}{12} (f^{'''} (c_{+}) + f^{'''} (c_{-})) et ∣ C_{h} - f^{'} (x_{0})∣ \leq \frac{h ^{2}}{12} \cdot 2 M_{3} = \frac{M _{3} h ^{2}}{6} .

La différence centrée est d'ordre $2$ : la symétrie élimine le terme en $f^{''} (x_{0})$ , et diviser $h$ par $10$ divise la borne par $100$ .

4. Pour $f = sin$ , $f^{''} = - sin$ et $f^{'''} = - cos$ sont bornées par $1$ , d'où $M = M_{3} = 1$ . Avec $x_{0} = 1$ , $h = 0, 1$ et les valeurs $sin 1, 1 = 0, 891207$ , $sin 1 = 0, 841471$ , $sin 0, 9 = 0, 783327$ , $cos 1 = 0, 540302$ :

D_{h} = \frac{0 , 891 207 - 0 , 841 471}{0 , 1} = 0, 49736, C_{h} = \frac{0 , 891 207 - 0 , 783 327}{0 , 2} = 0, 539 40.

Approximation	Valeur	Erreur réelle $∣ \cdot - cos 1 ∣$	Borne théorique
$D_{h}$ (progressive)	$0, 49736$	$0, 0429$	$M h /2 = 0, 05$
$C_{h}$ (centrée)	$0, 53940$	$0, 00090$	$M_{3} h^{2} /6 = 0, 00167$

Les erreurs réelles respectent les bornes, et la différence centrée est près de $50$ fois plus précise pour le même $h$ . Les bornes sont d'ailleurs assez fines: d'après le point 1, l'erreur de $D_{h}$ vaut $\frac{h}{2} f^{''} (c) \approx - \frac{h}{2} sin 1 = - 0, 0421$ , et celle de $C_{h}$ vaut $\approx \frac{h ^{2}}{6} f^{'''} (1) = - \frac{h ^{2}}{6} cos 1 = - 0, 00090$ , en excellent accord avec les valeurs mesurées ( $- 0, 0429$ et $- 0, 00090$ ). Le signe négatif est le même dans les deux cas: les deux approximations sous-estiment $cos 1$ .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
Spivak, M., Calculus, 4e éd., Publish or Perish, Houston, chap. 20 («Approximation by polynomial functions»).
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Topologie et éléments d'analyse, Masson, Paris.
Apostol, T. M., Calculus, vol. 1, 2e éd., Wiley, New York, chap. 7 («Polynomial approximations to functions»).

Objectifs du chapitre

Approcher une fonction par un polynôme

Formules de Taylor

Polynôme de Taylor

Formule de Taylor–Lagrange

Polynômes de Taylor de sin x

Formule de Taylor–Young

La notation o de Landau

Développements limités

Définition et premières propriétés

Développements limités des fonctions usuelles

Développement en un point quelconque

Opérations sur les développements limités

Applications

Calcul de limites

Équivalents

Position d'une courbe par rapport à sa tangente

Asymptotes et développements asymptotiques

Approximations en ingénierie

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 9

Développement limité de ln(1 + x)/(1 + x) et ses conséquences

Le terme d'ordre 2

Le terme d'ordre 3

Une limite

Position par rapport à la tangente

Exercices

Références