Limites et continuité · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

énoncer la définition ε–δ de la limite d'une fonction en un point et l'utiliser pour prouver ou réfuter l'existence d'une limite;
calculer des limites à l'aide des opérations, du théorème des gendarmes, des limites usuelles et des techniques de levée d'indétermination;
définir la continuité en un point et sur un intervalle, reconnaître les types de discontinuité et prolonger une fonction par continuité;
appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Weierstrass, et localiser une racine par dichotomie avec une précision garantie;
démontrer et utiliser le théorème de la bijection pour définir des fonctions réciproques continues;
distinguer continuité, continuité uniforme et caractère lipschitzien, et énoncer le théorème de Heine.

Fonctions réelles: rappels et vocabulaire

Les chapitres 3 et 4 étudiaient des suites, c'est-à-dire des fonctions définies sur $N$ . L'ingénieur rencontre bien plus souvent des grandeurs qui dépendent d'une variable continue: la tension $u (t)$ aux bornes d'un condensateur, la flèche $w (x)$ d'une poutre le long de son axe, la tension de sortie $s (p)$ d'un capteur de pression. Ce chapitre installe les outils qui permettent de parler rigoureusement du comportement de telles fonctions «au voisinage» d'un point ou de l'infini.

Lorsqu'une fonction est donnée par une formule, son domaine est, sauf mention contraire, le plus grand sous-ensemble de $R$ sur lequel la formule a un sens: $x \mapsto x - 1$ est définie sur $[1, + \infty [$ et $x \mapsto ln (1 - x^{2})$ sur $] - 1, 1 [$ .

Quelques propriétés géométriques simplifient l'étude d'une fonction.

Le signal sinusoïdal $t \mapsto A sin (ω t)$ est impair, borné par $A$ et périodique de période $T = 2 π / ω$ ; la réponse d'un circuit RC à un échelon, $t \mapsto E (1 - e^{- t / τ})$ , est croissante et bornée par $E$ sur $[0, + \infty [$ . Ces deux exemples reviendront tout au long du chapitre.

Une fonction strictement monotone est injective, donc bijective sur son image: c'est ainsi que l'on définit $\cdot$ comme réciproque de $x \mapsto x^{2}$ sur $[0, + \infty [$ , et que le chapitre 6 construira $ln$ comme réciproque de $exp$ . Le théorème de la bijection, plus loin dans ce chapitre, garantit que ces réciproques sont continues.

Exercice

La fonction $f (x) = x sin x$ , définie sur $R$ , est:

Limite d'une fonction

La définition ε–δ

Au chapitre 3, « $u_{n} \to ℓ$ » signifiait: pour toute tolérance $ε$ , les termes $u_{n}$ sont à distance inférieure à $ε$ de $ℓ$ dès que $n$ est assez grand. Pour une fonction, « $n$ assez grand» devient « $x$ assez proche de $x_{0}$ », et le rang $N (ε)$ devient un rayon $δ (ε)$ .

Géométriquement: quelle que soit la bande horizontale $] ℓ - ε, ℓ + ε [$ choisie, on peut trouver une bande verticale $] x_{0} - δ, x_{0} + δ [$ dont la portion de graphe correspondante est entièrement contenue dans la bande horizontale. L'explorateur ci-dessous vous permet de jouer ce jeu avec la fonction $x \mapsto x^{2}$ : pour chaque $ε$ imposé, il s'agit de trouver un $δ$ qui convient, et l'ordre des quantificateurs est essentiel: $δ$ dépend de $ε$ (et de $x_{0}$ ), jamais l'inverse.

Explorateur ε–δ

Pour f(x) = x², choisissez le point x₀, la tolérance ε sur les images et le rayon δ autour de x₀. La bande verticale devient grise dès que l'image de ]x₀ − δ, x₀ + δ[ déborde de la bande horizontale [f(x₀) − ε, f(x₀) + ε].

f(x₀) = x₀²

1.440

Image de ]x₀ − δ, x₀ + δ[

]0.640, 2.560[

Verdict

δ trop grand

δ_max pour ce ε

0.193

Point x₀1.20

Tolérance ε0.50

Rayon δ0.40

Limites à gauche, à droite, en l'infini, limites infinies

Figure 5.1. Quatre comportements au voisinage d'un point: a) limite finie ℓ en x₀; b) limite infinie (asymptote verticale); c) limites à gauche et à droite distinctes; d) la fonction sin(1/x) oscille indéfiniment près de 0 et n'a pas de limite.

Ainsi $lim_{x \to 0^{+}} 1/ x = + \infty$ , $lim_{x \to 0^{-}} 1/ x = - \infty$ , $lim_{x \to + \infty} e^{- t / τ} = 0$ (le condensateur est chargé «au bout d'un temps infini»), et la fonction signe $x \mapsto x / ∣ x ∣$ a pour limites latérales $- 1$ et $1$ en $0$ , donc pas de limite en $0$ .

Caractérisation séquentielle

Le lien avec le chapitre 3 est fourni par le théorème suivant, qui permet de recycler tout ce que l'on sait sur les suites.

Démonstration. ( $\Rightarrow$ ) Supposons $lim_{x \to x_{0}} f (x) = ℓ$ et soit $(x_{n})$ une suite de $D$ telle que $x_{n} \to x_{0}$ . Fixons $ε > 0$ . Par (5.1), il existe $δ > 0$ tel que $∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - ℓ ∣ < ε$ . Comme $x_{n} \to x_{0}$ , il existe $N$ tel que $∣ x_{n} - x_{0} ∣ < δ$ pour $n \geq N$ ; pour ces $n$ , $∣ f (x_{n}) - ℓ ∣ < ε$ . Donc $f (x_{n}) \to ℓ$ .

( $\Leftarrow$ ) Raisonnons par contraposée: supposons que $f$ ne tend pas vers $ℓ$ en $x_{0}$ . En niant (5.1), il existe $ε_{0} > 0$ tel que, pour tout $δ > 0$ , on puisse trouver $x \in D$ avec $∣ x - x_{0} ∣ < δ$ et $∣ f (x) - ℓ ∣ \geq ε_{0}$ . Prenons successivement $δ = 1/ (n + 1)$ , $n \in N$ : on obtient une suite $(x_{n})$ de $D$ telle que $∣ x_{n} - x_{0} ∣ < 1/ (n + 1)$ , donc $x_{n} \to x_{0}$ , et $∣ f (x_{n}) - ℓ ∣ \geq ε_{0}$ pour tout $n$ , donc $(f (x_{n}))$ ne converge pas vers $ℓ$ . La condition séquentielle est donc violée. $□$

Le sens ( $\Leftarrow$ ) est l'outil idéal pour montrer qu'une limite n'existe pas: il suffit d'exhiber deux suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ tendant vers $x_{0}$ telles que $(f (x_{n}))$ et $(f (y_{n}))$ aient des limites différentes.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration que $x \mapsto cos (1/ x)$ n'a pas de limite en $0$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Calculer

cos (1/ y_{n}) = cos ((2 n + 1) π) = - 1

, donc

f (y_{n}) \to - 1

Calculer

cos (1/ x_{n}) = cos (2 nπ) = 1

, donc

f (x_{n}) \to 1

Choisir la suite

x_{n} = 1/ (2 nπ)

, qui tend vers

0

Conclure par la caractérisation séquentielle: deux suites tendant vers

0

ont des images de limites différentes, donc la limite n'existe pas

Choisir la suite

y_{n} = 1/ ((2 n + 1) π)

, qui tend aussi vers

0

Unicité et opérations

Démonstration. Si $ℓ$ et $ℓ^{'}$ sont deux limites de $f$ en $x_{0}$ , choisissons une suite $(x_{n})$ de $D$ tendant vers $x_{0}$ (elle existe car $x_{0}$ est adhérent à $D$ ). Par le théorème 5.1, $f (x_{n}) \to ℓ$ et $f (x_{n}) \to ℓ^{'}$ ; l'unicité de la limite d'une suite (chapitre 3) donne $ℓ = ℓ^{'}$ . $□$

Démonstration. Chaque affirmation se ramène, par le théorème 5.1, à la propriété correspondante des suites démontrée au chapitre 3. Par exemple, pour le produit: si $(x_{n})$ est une suite de $D$ tendant vers $x_{0}$ , alors $f (x_{n}) \to ℓ$ et $g (x_{n}) \to ℓ^{'}$ , donc $f (x_{n}) g (x_{n}) \to ℓ ℓ^{'}$ par le théorème sur le produit de suites convergentes; comme cela vaut pour toute suite, $f g \to ℓ ℓ^{'}$ . Pour la composée: $x_{n} \to x_{0}$ donne $f (x_{n}) \to ℓ$ , puis $h (f (x_{n})) \to L$ . $□$

Théorème des gendarmes et limites usuelles

Démonstration. Pour toute suite $(x_{n})$ de $D$ tendant vers $x_{0}$ , on a $g (x_{n}) \leq f (x_{n}) \leq h (x_{n})$ à partir d'un certain rang et $g (x_{n}), h (x_{n}) \to ℓ$ ; le théorème des gendarmes pour les suites (chapitre 3) donne $f (x_{n}) \to ℓ$ , et l'on conclut par le théorème 5.1. $□$

Démonstration (de la première limite). Pour $0 < x < π /2$ , considérons sur le cercle trigonométrique les points $O = (0, 0)$ , $A = (1, 0)$ , $B = (cos x, sin x)$ et $T = (1, tan x)$ (figure 5.2). Le triangle $O A B$ est contenu dans le secteur circulaire $O A B$ , lui-même contenu dans le triangle rectangle $O A T$ . En comparant les aires,

\frac{sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{tan x}{2}, soit sin x \leq x \leq \frac{sin x}{cos x} .

En divisant par $sin x > 0$ : $1 \leq \frac{x}{sin x} \leq \frac{1}{cos x}$ , puis en inversant, $cos x \leq \frac{sin x}{x} \leq 1$ . Comme $cos x \to 1$ quand $x \to 0^{+}$ , le théorème des gendarmes donne $\frac{sin x}{x} \to 1$ à droite; la fonction $x \mapsto \frac{sin x}{x}$ étant paire, la limite à gauche est la même. $□$

Figure 5.2. Démonstration géométrique de sin x / x → 1: le triangle OAB (aire ½ sin x) est contenu dans le secteur OAB (aire ½ x), lui-même contenu dans le triangle OAT (aire ½ tan x).

La deuxième limite en découle: $1 - cos x = 2 sin^{2} (x /2)$ , donc $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{sin ( x /2 )}{x /2})^{2} \to \frac{1}{2}$ . Les limites faisant intervenir $e^{x}$ et $ln$ ainsi que les croissances comparées (5.3) sont admises ici: elles reposent sur la définition rigoureuse de l'exponentielle et du logarithme, objet du chapitre 6, et seront redémontrées au chapitre 9 avec les développements limités. Retenez le principe: à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur tout logarithme.

Exercice

Calculez $lim_{x \to + \infty} (x^{2} + 2 x - x)$ .

Continuité

Définition et caractérisations

Intuitivement, une fonction continue sur un intervalle a un graphe «que l'on peut tracer sans lever le crayon». Cette image est utile mais trompeuse: la fonction $x \mapsto x sin (1/ x)$ , prolongée par $0$ en $0$ , est continue sur $R$ et oscille pourtant une infinité de fois près de l'origine.

Démonstration. C'est le théorème 5.1 avec $ℓ = f (x_{0})$ . $□$

Cette caractérisation a déjà servi au chapitre 3 pour les suites récurrentes $u_{n + 1} = g (u_{n})$ : si $u_{n} \to ℓ$ et $g$ est continue, alors $ℓ = g (ℓ)$ , ce qui identifie les limites possibles parmi les points fixes de $g$ .

Opérations et fonctions usuelles

Démonstration. Les opérations algébriques découlent du théorème 5.3 avec $ℓ = f (x_{0})$ et $ℓ^{'} = g (x_{0})$ . Démontrons la composée directement avec les $ε$ – $δ$ . Soit $ε > 0$ . Par continuité de $h$ en $y_{0} = f (x_{0})$ , il existe $η > 0$ tel que $∣ y - y_{0} ∣ < η ⟹ ∣ h (y) - h (y_{0})∣ < ε$ . Par continuité de $f$ en $x_{0}$ appliquée avec la tolérance $η$ , il existe $δ > 0$ tel que $∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - f (x_{0})∣ < η$ . En enchaînant, $∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - y_{0} ∣ < η ⟹ ∣ h (f (x)) - h (y_{0})∣ < ε$ , ce qui est la continuité de $h \circ f$ en $x_{0}$ . $□$

Les fonctions constantes et l'identité $x \mapsto x$ sont évidemment continues; par le théorème 5.7, tous les polynômes et toutes les fractions rationnelles sont continus sur leur domaine. Nous admettons (chapitre 6) que $exp$ , $ln$ , $x \mapsto x^{α}$ , $sin$ , $cos$ , $tan$ et leurs réciproques sont continues sur leur domaine; la continuité de $sin$ se déduit d'ailleurs de $∣ sin x - sin x_{0} ∣ \leq ∣ x - x_{0} ∣$ , conséquence de l'inégalité $∣ sin u ∣ \leq ∣ u ∣$ vue dans la démonstration du théorème 5.5. Par composition, une expression «raisonnable» comme $x \mapsto exp (- \frac{x ^{2}}{2}) cos (3 x)$ est continue sur $R$ sans qu'il soit besoin de le vérifier point par point.

Prolongement par continuité et discontinuités

Ainsi $x \mapsto \frac{sin x}{x}$ se prolonge en $0$ par la valeur $1$ (c'est le sinus cardinal, omniprésent en traitement du signal), et $x \mapsto \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ se prolonge en $1$ par la valeur $2$ .

Figure 5.3. Trois types de discontinuité: a) saut (limites latérales finies et distinctes); b) discontinuité éliminable, réparable par prolongement par continuité; c) asymptote verticale (limite infinie), qui ne peut pas être réparée.

Lorsque $f$ n'est pas continue en $x_{0}$ , on distingue trois situations (figure 5.3):

discontinuité éliminable: la limite $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ existe mais $x_{0} \in / D$ ou $f (x_{0}) \neq = ℓ$ ; on la répare en (re)définissant $f (x_{0}) = ℓ$ ;
discontinuité de première espèce ou saut: les limites latérales $f (x_{0}^{-})$ et $f (x_{0}^{+})$ existent, sont finies, mais diffèrent; la hauteur du saut est $f (x_{0}^{+}) - f (x_{0}^{-})$ . C'est le cas de la partie entière $⌊ x ⌋$ en tout entier, ou d'un signal de commande tout-ou-rien;
discontinuité de seconde espèce: au moins une limite latérale n'existe pas ou est infinie ( $1/ x$ en $0$ , $sin (1/ x)$ en $0$ ).

Exercice

Soit $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ pour $x \neq = 3$ . Quelle affirmation est vraie?

Les grands théorèmes sur un intervalle

Les résultats de cette section n'ont pas d'équivalent pour les fonctions définies sur un ensemble quelconque: c'est la structure d'intervalle, alliée à la complétude de $R$ (chapitre 1), qui les rend possibles.

Théorème des valeurs intermédiaires

Démonstration (par dichotomie). Quitte à remplacer $f$ par $- f$ et $k$ par $- k$ , on suppose $f (a) \leq k \leq f (b)$ . Si $k = f (a)$ ou $k = f (b)$ , c'est terminé; sinon posons $g (x) = f (x) - k$ , continue, avec $g (a) < 0 < g (b)$ . Construisons deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ par récurrence: $a_{0} = a$ , $b_{0} = b$ , et si $m_{n} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}$ , on pose

(a_{n + 1}, b_{n + 1}) = {(a_{n}, m_{n}) (m_{n}, b_{n}) si g (m_{n}) \geq 0, si g (m_{n}) < 0.

Par construction, $g (a_{n}) < 0 \leq g (b_{n})$ pour tout $n$ , $(a_{n})$ est croissante, $(b_{n})$ décroissante, et $b_{n} - a_{n} = \frac{b - a}{2 ^{n}} \to 0$ . Les suites sont donc adjacentes (chapitre 3) et convergent vers une limite commune $c \in [a, b]$ . Par continuité de $g$ (théorème 5.6), $g (a_{n}) \to g (c)$ et $g (b_{n}) \to g (c)$ . Le passage à la limite dans les inégalités $g (a_{n}) < 0$ et $g (b_{n}) \geq 0$ donne $g (c) \leq 0$ et $g (c) \geq 0$ , donc $g (c) = 0$ , soit $f (c) = k$ . $□$

Figure 5.4. Théorème des valeurs intermédiaires: toute droite horizontale y = k située entre f(a) et f(b) rencontre le graphe d'une fonction continue sur [a, b], en un point c au moins. Ici la droite est coupée trois fois: le TVI garantit l'existence, pas l'unicité.

La démonstration ci-dessus est constructive: elle fournit un algorithme, la méthode de dichotomie, qui est la première méthode numérique de résolution d'équations que vous rencontrez. Son corollaire le plus utilisé est le suivant.

Démonstration. $0$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , qui sont de signes opposés: le TVI donne $c$ avec $f (c) = 0$ , et $c \neq = a, b$ puisque $f (a), f (b) \neq = 0$ . Si $f$ est strictement monotone, elle est injective, donc ne peut s'annuler qu'une fois. $□$

Exemple 5.5 · Point de fonctionnement d'une diode

Une diode alimentée à travers une résistance $R = 1 k Ω$ par une source $E = 5 V$ obéit à la loi de Shockley $i = I_{s} (e^{v / V_{T}} - 1)$ avec $I_{s} = 1 0^{- 12} A$ et $V_{T} = 25 mV$ . La loi des mailles impose $i = (E - v) / R$ . La tension $v$ aux bornes de la diode vérifie donc

h (v) = I_{s} (e^{v / V_{T}} - 1) - \frac{E - v}{R} = 0.

Existence et unicité. $h$ est continue sur $[0, 1]$ comme somme d'une exponentielle et d'une fonction affine. $h (0) = - E / R = - 5 \cdot 1 0^{- 3} < 0$ et $h (1) = 1 0^{- 12} (e^{40} - 1) - 4 \cdot 1 0^{- 3} \approx 2, 35 \cdot 1 0^{5} > 0$ . Par le corollaire de Bolzano, $h$ s'annule dans $] 0, 1 [$ . Comme $v \mapsto e^{v / V_{T}}$ et $v \mapsto v / R$ sont strictement croissantes, $h$ est strictement croissante: la racine est unique. Il existe un et un seul point de fonctionnement, ce que l'ingénieur admet volontiers mais que seule l'analyse démontre.

Localisation. Quatre étapes de dichotomie: $h (0, 5) < 0$ , $h (0, 75) > 0$ , $h (0, 625) > 0$ , $h (0, 5625) > 0$ ; la racine est dans $[0, 5, 0, 5625]$ . Pour une précision de $1$ mV à partir de $[0, 1]$ , la relation (5.5) demande $n \geq lo g_{2} 1000 \approx 9, 97$ , soit $10$ étapes. La valeur exacte est $v \approx 0, 555 V$ , et $i = (5 - 0, 555) /1000 \approx 4, 44 mA$ : on retrouve la «tension de seuil» d'environ $0, 6$ V des diodes au silicium.

Exercice

On applique la dichotomie à une fonction continue changeant de signe sur $[0, 1]$ . Combien d'étapes faut-il au minimum pour que la longueur de l'intervalle d'encadrement soit inférieure ou égale à $1 0^{- 6}$ ?

Théorème de Weierstrass

Démonstration. Montrons d'abord que $f$ est majorée. Sinon, pour tout $n \in N$ il existe $x_{n} \in [a, b]$ avec $f (x_{n}) > n$ . La suite $(x_{n})$ est bornée; par le théorème de Bolzano–Weierstrass (chapitre 3), elle possède une sous-suite $(x_{φ (n)})$ convergeant vers un $c$ , qui appartient à $[a, b]$ car l'intervalle est fermé. Par continuité, $f (x_{φ (n)}) \to f (c)$ , ce qui contredit $f (x_{φ (n)}) > φ (n) \geq n \to + \infty$ . Donc $f$ est majorée; de même (avec $- f$ ), elle est minorée.

Soit $M = sup_{[a, b]} f$ , qui existe par l'axiome de la borne supérieure (chapitre 1). Par caractérisation de la borne supérieure, il existe pour tout $n$ un $y_{n} \in [a, b]$ tel que $M - \frac{1}{n + 1} < f (y_{n}) \leq M$ , donc $f (y_{n}) \to M$ . À nouveau par Bolzano–Weierstrass, une sous-suite $(y_{ψ (n)})$ converge vers un $x_{M} \in [a, b]$ , et par continuité $f (y_{ψ (n)}) \to f (x_{M})$ . Par unicité de la limite, $f (x_{M}) = M$ : la borne supérieure est atteinte. Le minimum s'obtient en appliquant ce résultat à $- f$ . $□$

Image d'un intervalle et théorème de la bijection

Démonstration. Un sous-ensemble $J$ de $R$ est un intervalle si et seulement si, pour tous $y_{1} < y_{2}$ de $J$ , tout $k \in [y_{1}, y_{2}]$ appartient à $J$ (chapitre 1). Soient $y_{1} = f (x_{1})$ et $y_{2} = f (x_{2})$ dans $f (I)$ et $k$ entre les deux; le TVI appliqué sur le segment d'extrémités $x_{1}, x_{2}$ fournit $c$ avec $f (c) = k$ , donc $k \in f (I)$ . Pour $[a, b]$ , Weierstrass donne que $min f$ et $max f$ sont atteints, et le TVI que toute valeur intermédiaire l'est aussi. $□$

Attention: l'image d'un intervalle ouvert n'est pas nécessairement ouverte ( $x \mapsto x^{2}$ envoie $] - 1, 1 [$ sur $[0, 1 [$ ), et l'image d'un intervalle non borné peut être bornée ( $arctan (R) =] - π /2, π /2 [$ ).

Idée de la démonstration

La stricte monotonie donne l'injectivité, donc la bijectivité de $I$ sur $f (I)$ , qui est un intervalle par le théorème 5.11. La réciproque hérite du sens de variation: si $f$ est croissante et $y_{1} < y_{2}$ , on ne peut avoir $f^{- 1} (y_{1}) \geq f^{- 1} (y_{2})$ , sinon en appliquant $f$ on obtiendrait $y_{1} \geq y_{2}$ . Reste la continuité de $f^{- 1}$ en un point $y_{0} = f (x_{0})$ intérieur à $J$ (les extrémités se traitent par les limites latérales). Soit $ε > 0$ assez petit pour que $[x_{0} - ε, x_{0} + ε] \subset I$ . Par stricte croissance, $f (x_{0} - ε) < y_{0} < f (x_{0} + ε)$ ; on choisit $η > 0$ tel que $] y_{0} - η, y_{0} + η [\subset] f (x_{0} - ε), f (x_{0} + ε) [$ . Alors pour $∣ y - y_{0} ∣ < η$ , la monotonie de $f^{- 1}$ place $f^{- 1} (y)$ dans $] x_{0} - ε, x_{0} + ε [$ , c'est-à-dire $∣ f^{- 1} (y) - x_{0} ∣ < ε$ . C'est exactement la continuité de $f^{- 1}$ en $y_{0}$ ; remarquez que la monotonie remplace ici tout calcul.

C'est ce théorème qui, au chapitre 6, justifie l'existence et la continuité de $ln = exp^{- 1}$ , de $arcsin$ , $arccos$ , $arctan$ et des racines $n$ -ièmes: $x \mapsto x^{n}$ est continue et strictement croissante sur $[0, + \infty [$ , d'image $[0, + \infty [$ , donc $y \mapsto n y$ est continue. L'existence de $2$ , obtenue laborieusement au chapitre 1 par la borne supérieure, devient ici une conséquence immédiate du TVI.

Exercice

Soit $f$ continue sur $[0, 2]$ avec $f (0) = - 1$ et $f (2) = 3$ . Laquelle des affirmations suivantes est garantie?

Continuité uniforme

Définition et comparaison avec la continuité

Relisons la définition (5.4): le rayon $δ$ y dépend de $ε$ et du point $x_{0}$ . Pour $f (x) = x^{2}$ , l'explorateur ε–δ le montre bien: à $ε$ fixé, le $δ_{m a x}$ admissible diminue lorsque $x_{0}$ augmente, car la courbe est de plus en plus raide. La continuité uniforme exige un $δ$ qui fonctionne partout à la fois.

La différence avec (5.4) tient à l'ordre des quantificateurs: dans la continuité, « $\forall x_{0}, \forall ε, \exists δ$ »; dans la continuité uniforme, « $\forall ε, \exists δ, \forall x, y$ ». Une fonction uniformément continue est évidemment continue; la réciproque est fausse.

Exemple 5.6 · Continue mais pas uniformément continue

a) $f (x) = x^{2}$ sur $R$ . Prenons $x_{n} = n$ et $y_{n} = n + \frac{1}{n}$ : on a $∣ x_{n} - y_{n} ∣ = \frac{1}{n} \to 0$ , mais $f (y_{n}) - f (x_{n}) = 2 + \frac{1}{n ^{2}} > 2$ . Pour $ε = 2$ , aucun $δ$ ne convient: dès que $1/ n < δ$ , les points $x_{n}, y_{n}$ sont à distance inférieure à $δ$ et leurs images diffèrent de plus de $ε$ . En revanche, sur $[0, 1]$ , $∣ x^{2} - y^{2} ∣ = ∣ x - y ∣ ∣ x + y ∣ \leq 2 ∣ x - y ∣$ , et $δ = ε /2$ convient: $x^{2}$ est uniformément continue sur $[0, 1]$ .

b) $g (x) = 1/ x$ sur $] 0, 1]$ . Avec $x_{n} = \frac{1}{n}$ et $y_{n} = \frac{1}{n + 1}$ , $∣ x_{n} - y_{n} ∣ = \frac{1}{n ( n + 1 )} \to 0$ alors que $g (y_{n}) - g (x_{n}) = 1$ . La fonction n'est pas uniformément continue sur $] 0, 1]$ : près de $0$ , la pente devient infinie.

Dans les deux cas, le défaut se produit là où le domaine n'est pas fermé et borné: à l'infini pour $x^{2}$ , près de $0$ pour $1/ x$ . Ce n'est pas un hasard.

Théorème de Heine et fonctions lipschitziennes

Démonstration (par l'absurde). Supposons $f$ continue mais non uniformément continue sur $[a, b]$ . La négation de (5.6) fournit $ε_{0} > 0$ tel que, pour tout $δ > 0$ , il existe $x, y \in [a, b]$ avec $∣ x - y ∣ < δ$ et $∣ f (x) - f (y)∣ \geq ε_{0}$ . En prenant $δ = \frac{1}{n + 1}$ , on construit deux suites $(x_{n})$ , $(y_{n})$ de $[a, b]$ telles que

∣ x_{n} - y_{n} ∣ < \frac{1}{n + 1} et ∣ f (x_{n}) - f (y_{n})∣ \geq ε_{0} .

La suite $(x_{n})$ est bornée: par Bolzano–Weierstrass, une sous-suite $(x_{φ (n)})$ converge vers $c \in [a, b]$ . Comme $∣ x_{φ (n)} - y_{φ (n)} ∣ \to 0$ , on a aussi $y_{φ (n)} \to c$ . Par continuité de $f$ en $c$ , $f (x_{φ (n)}) \to f (c)$ et $f (y_{φ (n)}) \to f (c)$ , donc $f (x_{φ (n)}) - f (y_{φ (n)}) \to 0$ , ce qui contredit $∣ f (x_{φ (n)}) - f (y_{φ (n)})∣ \geq ε_{0}$ . $□$

Le théorème de Heine est le résultat clé qui, au chapitre 10, permettra de démontrer que toute fonction continue sur $[a, b]$ est intégrable au sens de Riemann: l'uniformité du $δ$ garantit que les sommes de Riemann associées à une subdivision de pas inférieur à $δ$ encadrent l'intégrale à $ε (b - a)$ près, quel que soit le choix des points dans chaque sous-intervalle.

Démonstration. Si $L = 0$ , $f$ est constante. Sinon, pour $ε > 0$ , posons $δ = ε / L$ : si $∣ x - y ∣ < δ$ , alors $∣ f (x) - f (y)∣ \leq L ∣ x - y ∣ < L δ = ε$ . Le $δ$ ne dépend pas de $x, y$ . $□$

Les fonctions $sin$ , $cos$ ( $L = 1$ ), $∣ \cdot ∣$ ( $L = 1$ ) et toute fonction affine sont lipschitziennes sur $R$ ; le chapitre 8 montrera qu'une fonction dérivable à dérivée bornée par $L$ est $L$ -lipschitzienne (inégalité des accroissements finis). La réciproque du théorème 5.14 est fausse: $x \mapsto x$ est uniformément continue sur $[0, 1]$ (Heine), mais non lipschitzienne, puisque $\frac{x - 0}{x - 0} = \frac{1}{x}$ n'est pas borné près de $0$ (exercice 5.4). On a donc la chaîne d'implications strictes

lipschitzienne ⟹ uniform \overset{e}{ˊ} ment continue ⟹ continue,

et sur un intervalle fermé borné, les deux dernières notions coïncident.

Exercice

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont uniformément continues sur le domaine indiqué? (plusieurs réponses)

Plusieurs réponses possibles

Synthèse

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = ℓ$ signifie: pour tout $ε > 0$ , il existe $δ > 0$ tel que $∣ x - x_{0} ∣ < δ$ entraîne $∣ f (x) - ℓ ∣ < ε$ ; $δ$ dépend de $ε$ et de $x_{0}$ .
La caractérisation séquentielle ramène les limites de fonctions aux limites de suites: elle démontre les opérations sur les limites et les gendarmes, et deux suites bien choisies suffisent à réfuter l'existence d'une limite.
Limites usuelles: $\frac{sin x}{x} \to 1$ , $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}$ , $\frac{e ^{x} - 1}{x} \to 1$ en $0$ ; formes indéterminées levées par terme dominant, factorisation ou quantité conjuguée.
$f$ est continue en $x_{0}$ si $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ ; sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continus; une discontinuité éliminable se répare par prolongement par continuité.
Sur un intervalle: TVI (démontré par dichotomie, qui fournit un algorithme de précision $(b - a) / 2^{n}$ ), corollaire de Bolzano, Weierstrass (bornes atteintes sur $[a, b]$ ), image d'un intervalle, théorème de la bijection.
Lipschitzienne $⟹$ uniformément continue $⟹$ continue; sur $[a, b]$ , continue $⟺$ uniformément continue (Heine), ce qui fondera l'intégrale de Riemann.

Série d'exercices du chapitre 5

Exercice 1 sur 5

Exercice

Que vaut $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x ^{2}}$ ?

Problème guidé

Localiser une racine par dichotomie

On considère l'équation $x^{3} + x - 1 = 0$ . On veut montrer qu'elle possède une unique solution $α$ dans $[0, 1]$ , puis l'encadrer par trois étapes de dichotomie. On pose $f (x) = x^{3} + x - 1$ .

1
Existence d'une racine
Vérifiez les hypothèses du corollaire de Bolzano sur $[0, 1]$ .
Exercice
Calculez le produit $f (0) \cdot f (1)$ .
Unicité
Trois étapes de dichotomie
Erreur garantie

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 5.1 · Calcul de limites

Calculer les limites suivantes, en précisant la technique utilisée.

a) $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 3 x + 2}$ ; b) $x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{x ^{2} + 5}$ ; c) $x \to 0 lim \frac{sin 4 x}{sin 3 x}$ ; d) $x \to + \infty lim (x^{2} + 2 x - x)$ ; e) $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x sin x}$ .

Solution

a) Forme $0/0$ (le numérateur et le dénominateur s'annulent en $2$ ). Factorisation: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ et $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ . Pour $x \neq = 2$ ,

\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 3 x + 2} = \frac{x + 2}{x - 1} x \to 2 \frac{4}{1} = 4.

b) Forme $\infty/\infty$ . Terme dominant $x^{2}$ :

\frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{x ^{2} + 5} = \frac{2 - 3/ x + 1/ x ^{2}}{1 + 5/ x ^{2}} x \to + \infty 2.

La droite $y = 2$ est asymptote horizontale.

c) Forme $0/0$ . On fait apparaître la limite usuelle $\frac{sin u}{u} \to 1$ :

\frac{sin 4 x}{sin 3 x} = \frac{sin 4 x}{4 x} \cdot \frac{3 x}{sin 3 x} \cdot \frac{4}{3} x \to 0 1 \cdot 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3} .

d) Forme $\infty - \infty$ . Quantité conjuguée, puis factorisation de $x > 0$ sous la racine:

x^{2} + 2 x - x = \frac{( x ^{2} + 2 x ) - x ^{2}}{x ^{2} + 2 x + x} = \frac{2 x}{x ( 1 + 2/ x + 1 )} = \frac{2}{1 + 2/ x + 1} x \to + \infty \frac{2}{2} = 1.

e) Forme $0/0$ . On divise numérateur et dénominateur par $x^{2}$ :

\frac{1 - cos x}{x sin x} = \frac{\frac{1 - cos x}{x ^{2}}}{\frac{sin x}{x}} x \to 0 \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} .

Vérification numérique: pour $x = 1 0^{- 4}$ , les expressions c) et e) valent respectivement $1, 33333$ et $0, 50000$ .

Exercice 5.2 · Continuité et prolongement

a) Déterminer le réel $a$ pour lequel la fonction $f (x) = x^{2} + a$ si $x < 1$ , $f (x) = 3 x - 1$ si $x \geq 1$ est continue sur $R$ .

b) Les fonctions suivantes admettent-elles un prolongement par continuité en $0$ ? Si oui, le préciser: $g (x) = x sin \frac{1}{x}$ , $h (x) = \frac{1 + x - 1}{x}$ , $k (x) = \frac{x}{∣ x ∣}$ .

c) Montrer, à l'aide de la définition ε–δ, que $x \mapsto x$ est continue en tout $x_{0} > 0$ .

Solution

a) Sur $] - \infty, 1 [$ et sur $] 1, + \infty [$ , $f$ est polynomiale, donc continue. En $1$ : $f (1^{-}) = lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + a) = 1 + a$ et $f (1) = f (1^{+}) = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ . La continuité en $1$ équivaut à $1 + a = 2$ , soit $a = 1$ .

b) Fonction $g$ . Pour $x \neq = 0$ , $∣ g (x)∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ sin (1/ x)∣ \leq ∣ x ∣ \to 0$ . Par le théorème des gendarmes, $g (x) \to 0$ : $g$ se prolonge par continuité en $0$ en posant $\tilde{g} (0) = 0$ . (Remarquez que $sin (1/ x)$ seule n'a pas de limite en $0$ ; c'est le facteur $x$ qui écrase les oscillations.)

Fonction $h$ . Quantité conjuguée: pour $x \neq = 0$ , $x > - 1$ ,

h (x) = \frac{( 1 + x ) - 1}{x ( 1 + x + 1 )} = \frac{1}{1 + x + 1} x \to 0 \frac{1}{2} .

Prolongement par continuité: $\tilde{h} (0) = \frac{1}{2}$ .

Fonction $k$ . $k (x) = 1$ pour $x > 0$ et $k (x) = - 1$ pour $x < 0$ : $k (0^{+}) = 1 \neq = - 1 = k (0^{-})$ . Les limites latérales existent mais diffèrent: discontinuité de première espèce (saut de hauteur $2$ ), aucun prolongement par continuité n'est possible.

c) Soit $x_{0} > 0$ et $ε > 0$ . Pour $x \geq 0$ , la quantité conjuguée donne

∣ x - x_{0} ∣ = \frac{∣ x - x _{0} ∣}{x + x _{0}} \leq \frac{∣ x - x _{0} ∣}{x _{0}},

puisque $x \geq 0$ . Il suffit donc de prendre $δ = ε x_{0}$ (et, pour rester dans le domaine, $δ \leq x_{0}$ , soit $δ = min (x_{0}, ε x_{0})$ ): si $∣ x - x_{0} ∣ < δ$ , alors $∣ x - x_{0} ∣ < ε$ . On observe que $δ$ dépend de $x_{0}$ et tend vers $0$ lorsque $x_{0} \to 0^{+}$ ; c'est le signe que $\cdot$ n'est pas lipschitzienne près de $0$ (exercice 5.4), mais cela n'empêche pas la continuité uniforme.

Exercice 5.3 · L'équation cos x = x

a) Montrer que l'équation $cos x = x$ possède une unique solution $α$ dans $R$ , et qu'elle appartient à $[0, 1]$ .

b) Effectuer quatre étapes de dichotomie sur $[0, 1]$ et donner l'encadrement obtenu de $α$ ainsi que la majoration de l'erreur commise en prenant le milieu de l'intervalle.

c) Combien d'étapes faut-il pour encadrer $α$ dans un intervalle de longueur inférieure ou égale à $1 0^{- 3}$ ?

Solution

a) Posons $g (x) = cos x - x$ , continue sur $R$ . Localisation. Pour $x > 1$ , $g (x) \leq 1 - x < 0$ . Pour $x \leq - 1$ , $g (x) \geq - 1 - x \geq 0$ , avec égalité impossible car $cos x = - 1$ et $x = - 1$ ne peuvent avoir lieu simultanément; pour $- 1 < x < 0$ , $cos x > cos 1 > 0$ et $- x > 0$ , donc $g (x) > 0$ . Ainsi $g > 0$ sur $] - \infty, 0 [$ et $g < 0$ sur $] 1, + \infty [$ : toute solution est dans $[0, 1]$ .

Existence. $g (0) = 1 > 0$ et $g (1) = cos 1 - 1 \approx - 0, 460 < 0$ . Par le corollaire de Bolzano, $g$ s'annule dans $] 0, 1 [$ .

Unicité. Sur $[0, 1] \subset [0, π]$ , $cos$ est strictement décroissante et $x \mapsto - x$ l'est aussi: $g$ est strictement décroissante sur $[0, 1]$ , donc injective, et la racine $α$ est unique.

b) Dichotomie sur $[a_{0}, b_{0}] = [0, 1]$ , avec $g (a_{n}) > 0 > g (b_{n})$ :

Étape	Milieu $m$	$g (m)$	Nouvel intervalle
1	$0, 5$	$cos 0, 5 - 0, 5 \approx 0, 378 > 0$	$[0, 5, 1]$
2	$0, 75$	$cos 0, 75 - 0, 75 \approx - 0, 018 < 0$	$[0, 5, 0, 75]$
3	$0, 625$	$cos 0, 625 - 0, 625 \approx 0, 186 > 0$	$[0, 625, 0, 75]$
4	$0, 6875$	$cos 0, 6875 - 0, 6875 \approx 0, 085 > 0$	$[0, 6875, 0, 75]$

Donc $α \in [0, 6875, 0, 75]$ . En prenant le milieu $0, 71875$ , l'erreur est majorée par la demi-longueur de l'intervalle, $\frac{1}{2 ^{5}} = 0, 03125$ . (Valeur de référence: $α \approx 0, 7391$ , à $0, 020$ du milieu, ce qui respecte bien la majoration.)

c) La longueur après $n$ étapes est $1/ 2^{n}$ . On veut $2^{n} \geq 1 0^{3}$ , soit $n \geq lo g_{2} 1000 \approx 9, 97$ : $n = 10$ étapes suffisent ( $2^{10} = 1024$ ), et $9$ ne suffisent pas ( $2^{9} = 512$ ).

Exercice 5.4 · Continuité uniforme et fonctions lipschitziennes

a) Montrer que pour tous $x, y \geq 0$ , $∣ x - y ∣ \leq ∣ x - y ∣$ . En déduire que $x \mapsto x$ est uniformément continue sur $[0, + \infty [$ .

b) Montrer que $x \mapsto x$ n'est pas lipschitzienne sur $[0, 1]$ .

c) Montrer que $x \mapsto x$ est lipschitzienne sur $[1, + \infty [$ et préciser une constante.

d) Montrer que $x \mapsto sin (x^{2})$ n'est pas uniformément continue sur $R$ (on pourra considérer $x_{n} = nπ$ et $y_{n} = nπ + π /2$ ).

Solution

a) Par symétrie, on peut supposer $x \geq y \geq 0$ . Alors $x - y \geq 0$ et

(x - y)^{2} = x + y - 2 x y \leq x + y - 2 y = x - y,

car $x y \geq y \cdot y = y$ . En prenant la racine carrée (fonction croissante), $x - y \leq x - y$ , ce qui est l'inégalité demandée.

Continuité uniforme. Soit $ε > 0$ ; posons $δ = ε^{2}$ . Si $x, y \geq 0$ et $∣ x - y ∣ < δ$ , alors $∣ x - y ∣ \leq ∣ x - y ∣ < δ = ε$ . Le $δ$ ne dépend pas des points: $\cdot$ est uniformément continue sur $[0, + \infty [$ , bien que ce domaine ne soit pas borné (le théorème de Heine ne s'applique pas, mais l'inégalité fait le travail).

b) Supposons $∣ x - y ∣ \leq L ∣ x - y ∣$ pour tous $x, y \in [0, 1]$ . Avec $y = 0$ et $x \in] 0, 1]$ : $x \leq Lx$ , soit $L \geq \frac{1}{x}$ . En faisant $x \to 0^{+}$ , $\frac{1}{x} \to + \infty$ : aucune constante $L$ ne convient. Les cordes issues de l'origine ont une pente arbitrairement grande (tangente verticale en $0$ ).

c) Pour $x, y \geq 1$ , la quantité conjuguée donne

∣ x - y ∣ = \frac{∣ x - y ∣}{x + y} \leq \frac{∣ x - y ∣}{2},

puisque $x + y \geq 2$ . La fonction est donc $\frac{1}{2}$ -lipschitzienne sur $[1, + \infty [$ ; on retrouvera cette constante au chapitre 8 comme borne de la dérivée $\frac{1}{2 x}$ sur cet intervalle.

d) Posons $x_{n} = nπ$ et $y_{n} = nπ + π /2$ pour $n \in N^{*}$ . Alors

y_{n} - x_{n} = \frac{( nπ + π /2 ) - nπ}{nπ + π /2 + nπ} = \frac{π /2}{nπ + π /2 + nπ} n \to \infty 0,

alors que $sin (x_{n}^{2}) = sin (nπ) = 0$ et $sin (y_{n}^{2}) = sin (nπ + π /2) = (- 1)^{n}$ , donc $∣ sin (y_{n}^{2}) - sin (x_{n}^{2})∣ = 1$ pour tout $n$ . Prenons $ε = 1$ : pour tout $δ > 0$ , il existe $n$ tel que $∣ y_{n} - x_{n} ∣ < δ$ , et pourtant $∣ f (y_{n}) - f (x_{n})∣ = 1 \geq ε$ . La fonction $x \mapsto sin (x^{2})$ , bornée et continue, n'est pas uniformément continue sur $R$ : ses oscillations deviennent de plus en plus serrées lorsque $x \to \infty$ . Sur tout segment $[- A, A]$ , elle l'est en revanche par le théorème de Heine.

Exercice 5.5 · Point fixe et fonctions périodiques

a) Soit $f : [0, 1] \to [0, 1]$ une fonction continue. Montrer qu'il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f (c) = c$ (un point fixe de $f$ ). Le résultat subsiste-t-il si $[0, 1]$ est remplacé par $] 0, 1 [$ ? par $R$ ?

b) Soit $g : R \to R$ continue et périodique de période $T > 0$ . Montrer que $g$ est bornée, atteint ses bornes, et est uniformément continue sur $R$ .

Solution

a) Posons $φ (x) = f (x) - x$ sur $[0, 1]$ ; $φ$ est continue comme différence de fonctions continues. Comme $f$ est à valeurs dans $[0, 1]$ , on a $φ (0) = f (0) - 0 = f (0) \geq 0$ et $φ (1) = f (1) - 1 \leq 0$ . Si $φ (0) = 0$ ou $φ (1) = 0$ , le point fixe est $0$ ou $1$ . Sinon $φ (0) > 0 > φ (1)$ et le corollaire de Bolzano fournit $c \in] 0, 1 [$ tel que $φ (c) = 0$ , c'est-à-dire $f (c) = c$ . Géométriquement: le graphe de $f$ , qui entre dans le carré $[0, 1]^{2}$ par son côté gauche et en sort par son côté droit, doit traverser la diagonale.

Sur $] 0, 1 [$ : le résultat tombe. La fonction $f (x) = \frac{x}{2}$ envoie $] 0, 1 [$ dans $] 0, 1 [$ , est continue, et $f (x) = x$ impose $x = 0 \in /] 0, 1 [$ . La fermeture de l'intervalle est indispensable pour que la borne (ici $0$ ) soit «disponible».

Sur $R$ : le résultat tombe aussi. La fonction $f (x) = x + 1$ est continue de $R$ dans $R$ et $f (x) = x$ n'a pas de solution. Le caractère borné est indispensable: rien ne force le graphe à retraverser la diagonale.

b) Bornée et bornes atteintes. Sur le segment $[0, T]$ , $g$ est continue: par le théorème de Weierstrass, elle y est bornée et atteint son minimum $m = g (x_{m})$ et son maximum $M = g (x_{M})$ . Soit $x \in R$ quelconque; il existe un entier $k = ⌊ x / T ⌋$ tel que $x - k T \in [0, T [$ , et par périodicité (appliquée $∣ k ∣$ fois) $g (x) = g (x - k T) \in [m, M]$ . Donc $m \leq g (x) \leq M$ pour tout $x \in R$ , et les bornes sont atteintes en $x_{m}$ et $x_{M}$ .

Continuité uniforme. Sur le segment $[0, 2 T]$ , $g$ est uniformément continue par le théorème de Heine: pour $ε > 0$ , il existe $δ_{0} > 0$ tel que, pour $u, v \in [0, 2 T]$ , $∣ u - v ∣ < δ_{0} ⟹ ∣ g (u) - g (v)∣ < ε$ . Posons $δ = min (δ_{0}, T)$ . Soient $x, y \in R$ avec $∣ x - y ∣ < δ$ , et supposons $x \leq y$ . Soit $k = ⌊ x / T ⌋$ , de sorte que $u = x - k T \in [0, T [$ ; alors $v = y - k T$ vérifie $u \leq v < u + δ \leq u + T < 2 T$ , donc $u, v \in [0, 2 T]$ avec $∣ u - v ∣ = ∣ x - y ∣ < δ_{0}$ . Par périodicité, $g (x) = g (u)$ et $g (y) = g (v)$ , d'où $∣ g (x) - g (y)∣ = ∣ g (u) - g (v)∣ < ε$ . Le $δ$ obtenu ne dépend que de $ε$ : $g$ est uniformément continue sur $R$ . (Le passage par $[0, 2 T]$ plutôt que $[0, T]$ sert à ce que $x$ et $y$ , ramenés par la même translation $k T$ , tombent dans un même segment.)

Application: tout signal périodique continu, comme $t \mapsto sin (ω t) + 0, 3 sin (3 ω t)$ , est borné et uniformément continu, quelle que soit la largeur de la fenêtre d'observation.

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Spivak, M., Calculus, 4ᵉ éd., Publish or Perish, Houston, 2008 (chapitres 5 à 8: limites, continuité, trois théorèmes fondamentaux).
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3ᵉ éd., McGraw-Hill, New York, 1976 (chapitre 4).
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, tome 3, Masson, Paris.

Objectifs du chapitre

Fonctions réelles: rappels et vocabulaire

Limite d'une fonction

La définition ε–δ

Explorateur ε–δ

Limites à gauche, à droite, en l'infini, limites infinies

Caractérisation séquentielle

Unicité et opérations

Théorème des gendarmes et limites usuelles

Continuité

Définition et caractérisations

Opérations et fonctions usuelles

Prolongement par continuité et discontinuités

Les grands théorèmes sur un intervalle

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème de Weierstrass

Image d'un intervalle et théorème de la bijection

Continuité uniforme

Définition et comparaison avec la continuité

Théorème de Heine et fonctions lipschitziennes

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 5

Localiser une racine par dichotomie

Existence d'une racine

Unicité

Trois étapes de dichotomie

Erreur garantie

Exercices

Références