Fonctions élémentaires · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir la fonction exponentielle par sa série, démontrer ses propriétés fondamentales (équation fonctionnelle, positivité, monotonie, limites) et les utiliser dans des modèles de croissance et de décroissance;
manipuler le logarithme népérien, le logarithme en base $a$ et les échelles logarithmiques (décibels, pH, magnitudes);
définir les fonctions puissances $x^{α}$ et comparer les croissances de $ln x$ , $x^{α}$ et $e^{x}$ à l'infini;
utiliser les formules d'addition, de duplication et de linéarisation des fonctions trigonométriques et résoudre les équations $sin x = a$ , $cos x = a$ , $tan x = a$ ;
interpréter un signal $A sin (ω t + φ)$ en termes d'amplitude, de pulsation, de fréquence et de phase;
définir les fonctions réciproques $arcsin$ , $arccos$ , $arctan$ et les fonctions hyperboliques $sinh$ , $cosh$ , $tanh$ ainsi que leurs réciproques, et démontrer leurs identités principales.

Pourquoi des fonctions «élémentaires»?

Les chapitres précédents ont construit les outils généraux de l'analyse: nombres réels, suites, séries, limites et continuité. Il est temps de les appliquer à un petit catalogue de fonctions qui reviennent sans cesse en ingénierie: l'exponentielle décrit la charge d'un condensateur, la décroissance d'un isotope ou le refroidissement d'une pièce; le logarithme comprime les échelles (décibels, pH, magnitude des séismes); les fonctions trigonométriques modélisent tout ce qui vibre ou tourne; les fonctions hyperboliques dessinent la forme d'un câble suspendu. Ces fonctions sont dites élémentaires parce que toutes les autres fonctions usuelles s'obtiennent à partir d'elles par les opérations algébriques et la composition.

Un point de méthode: les dérivées n'apparaissent qu'au chapitre 7. Nous définissons donc ici les fonctions élémentaires et démontrons leurs propriétés avec les seuls outils disponibles, à savoir les séries (chapitre 4), les limites et le théorème de la bijection (chapitre 5), et des équations fonctionnelles. Lorsqu'une propriété se démontre plus naturellement avec la dérivée, nous l'annonçons par «on verra au chapitre 7 que …».

La fonction exponentielle

Définition par une série

Au chapitre 4, nous avons montré que la série $\sum_{n \geq 0} \frac{x ^{n}}{n !}$ converge pour tout réel $x$ . Rappelons l'argument, car il est le point de départ de tout le chapitre.

Démonstration. Pour $x = 0$ il n'y a rien à montrer. Pour $x \neq = 0$ , posons $u_{n} = \frac{∣ x ∣ ^{n}}{n !} > 0$ . Alors

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \cdot \frac{n !}{∣ x ∣ ^{n}} = \frac{∣ x ∣}{n + 1} n \to \infty 0 < 1.

Le critère de d'Alembert (chapitre 4) garantit la convergence de $\sum u_{n}$ , c'est-à-dire la convergence absolue de la série (6.1). $□$

Le nombre $e = \sum_{n \geq 0} 1/ n!$ se calcule très vite: les sommes partielles valent $1$ ; $2$ ; $2, 5$ ; $2, 6667$ ; $2, 7083$ ; $2, 7167$ ; $2, 7181$ ; $2, 7183$ , et l'on montre (exercice 6.5) que l'erreur commise en s'arrêtant au rang $n$ est inférieure à $\frac{1}{n \cdot n !}$ , soit moins de $3 \cdot 1 0^{- 8}$ pour $n = 10$ . On retient

e \approx 2, 718281 828.

L'équation fonctionnelle

La propriété qui fait de l'exponentielle un objet unique est qu'elle transforme les sommes en produits.

De (6.2) découlent immédiatement plusieurs conséquences.

Démonstration. 1. $exp (0) = 1$ se lit sur la série. Avec $y = - x$ dans (6.2), $exp (x) exp (- x) = exp (0) = 1$ .

Si $x \geq 0$ , tous les termes de la série sont positifs et $exp (x) \geq 1 > 0$ . Si $x < 0$ , $exp (x) = 1/ exp (- x) > 0$ d'après le point 1.
Soient $x < y$ . Alors $y - x > 0$ , donc $exp (y - x) \geq 1 + (y - x) > 1$ (tous les termes de la série sont positifs), et $exp (y) = exp (x) exp (y - x) > exp (x)$ puisque $exp (x) > 0$ .
Pour $x \geq 0$ , $exp (x) = 1 + x + \sum_{n \geq 2} x^{n} / n! \geq 1 + x$ . Comme $1 + x \to + \infty$ , on a $exp (x) \to + \infty$ quand $x \to + \infty$ ; et $exp (x) = 1/ exp (- x) \to 0$ quand $x \to - \infty$ .
Pour $∣ h ∣ \leq 1$ ,

∣ exp (h) - 1 ∣ = n \geq 1 \sum \frac{h ^{n}}{n !} \leq ∣ h ∣ n \geq 1 \sum \frac{∣ h ∣ ^{n - 1}}{n !} \leq ∣ h ∣ n \geq 1 \sum \frac{1}{n !} = (e - 1) ∣ h ∣,

donc $exp (h) \to 1$ quand $h \to 0$ . Pour $x$ quelconque, $exp (x + h) - exp (x) = exp (x) (exp (h) - 1) \to 0$ : $exp$ est continue en $x$ . $□$

Croissance comparée

L'exponentielle finit par dépasser n'importe quelle puissance de $x$ , et de très loin.

Démonstration. Pour $x > 0$ , ne gardons dans la série (6.1) que le terme de rang $n + 1$ , tous les autres étant positifs: $e^{x} \geq \frac{x ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ . Donc $\frac{e ^{x}}{x ^{n}} \geq \frac{x}{( n + 1 )!} \to + \infty$ . Pour la seconde limite, posons $x = - y$ avec $y \to + \infty$ : $∣ x^{n} e^{x} ∣ = y^{n} / e^{y} \to 0$ d'après la première. $□$

Exemple 6.1 · Décroissance radioactive

Le nombre de noyaux d'un isotope radioactif présents à l'instant $t$ suit la loi $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ , où $λ > 0$ est la constante de désintégration. La demi-vie $T$ est le temps au bout duquel la moitié des noyaux s'est désintégrée: $e^{- λ T} = 1/2$ , soit $λ T = ln 2$ (nous reviendrons sur $ln$ dans la section suivante), d'où $λ = ln 2/ T$ et

N (t) = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T} .

L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie $T = 8, 02$ jours. La fraction restante après 30 jours vaut

\frac{N ( 30 )}{N _{0}} = e^{- l n 2 \cdot 30/8, 02} = 2^{- 3, 741} \approx 0, 0748,

soit environ 7,5 %. Le même modèle régit la charge d'un condensateur à travers une résistance, $u (t) = U_{0} (1 - e^{- t / R C})$ , et la loi de refroidissement de Newton, $T (t) = T_{amb} + (T_{0} - T_{amb}) e^{- t / τ}$ : dans les trois cas, une constante de temps ( $1/ λ$ , $R C$ ou $τ$ ) fixe l'échelle temporelle, et l'écart à la valeur finale est divisé par $e \approx 2, 72$ à chaque constante de temps. Après $τ ln 100 \approx 4, 6 τ$ , il reste 1 % de l'écart initial: c'est le critère usuel pour dire qu'un régime transitoire est «terminé».

Exercice

Parmi les affirmations suivantes concernant la fonction exponentielle, laquelle est vraie?

Exercice

Le technétium 99m, utilisé en imagerie médicale, a une demi-vie de 6,01 h. Quel pourcentage de l'activité initiale subsiste 24 h après l'injection?

Le logarithme népérien

Définition et propriétés

La fonction $exp$ est continue et strictement croissante sur $R$ , de limites $0$ en $- \infty$ et $+ \infty$ en $+ \infty$ . Le théorème de la bijection (chapitre 5) affirme alors que $exp$ réalise une bijection de $R$ sur $] 0, + \infty [$ et que sa réciproque est continue et strictement croissante.

Figure 6.1. Les graphes de exp (accent) et de ln (bleu) sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la première bissectrice y = x, comme ceux de toute fonction et de sa réciproque. Notez les points (0, 1) et (1, e) sur l'exponentielle, qui deviennent (1, 0) et (e, 1) sur le logarithme.

Démonstration. Posons $u = ln a$ et $v = ln b$ , de sorte que $a = e^{u}$ et $b = e^{v}$ . D'après (6.2), $ab = e^{u} e^{v} = e^{u + v}$ , donc $ln (ab) = u + v$ . La deuxième formule s'obtient en appliquant la première à $b \cdot (a / b) = a$ , et la troisième par récurrence sur $n \geq 0$ , puis avec $a^{- n} = 1/ a^{n}$ . La continuité et la stricte croissance viennent du théorème de la bijection; les limites traduisent le fait que $exp$ prend des valeurs arbitrairement proches de 0 (pour $x \to - \infty$ ) et arbitrairement grandes. $□$

Croissance comparée du logarithme

Démonstration. Posons $x = e^{y}$ ; quand $x \to + \infty$ , $y = ln x \to + \infty$ et $\frac{ln x}{x} = \frac{y}{e ^{y}} \to 0$ d'après (6.3) avec $n = 1$ . Pour la seconde limite, posons $x = 1/ t$ avec $t \to + \infty$ : $x ln x = - \frac{ln t}{t} \to 0$ . $□$

Logarithme décimal, logarithme en base a

Le logarithme décimal compte les ordres de grandeur: $lo g 1000 = 3$ , $lo g 1 0^{- 7} = - 7$ . C'est pourquoi les grandeurs physiques qui s'étendent sur de nombreuses décades sont exprimées sur une échelle logarithmique:

Décibels: un rapport de puissances $P / P_{0}$ s'exprime par $L = 10 lo g (P / P_{0})$ dB; pour un rapport d'amplitudes (tension, pression acoustique) on écrit $L = 20 lo g (A / A_{0})$ dB, puisque la puissance est proportionnelle au carré de l'amplitude. Doubler l'amplitude ajoute $20 lo g 2 \approx 6, 02$ dB; multiplier la puissance par 1000 ajoute 30 dB.
pH: $pH = - lo g [H^{+}]$ , où la concentration est en mol/L. Une solution à $[H^{+}] = 2, 5 \cdot 1 0^{- 4}$ mol/L a un pH de $- lo g (2, 5 \cdot 1 0^{- 4}) \approx 3, 60$ .
Magnitude des séismes: la magnitude de moment $M_{w}$ est proportionnelle au logarithme de l'énergie libérée; un degré de magnitude correspond à un facteur $1 0^{1, 5} \approx 31, 6$ en énergie.

Exercice

Un amplificateur multiplie la tension d'un signal par 40. Quel est son gain en décibels (gain en amplitude)?

Fonctions puissances et racines

Définition générale

Pour un exposant entier, $x^{n}$ est un produit; pour un exposant rationnel $p / q$ , on peut définir $x^{p / q} = q x^{p}$ . Mais que signifie $2^{2}$ ou $x^{π}$ ? L'exponentielle et le logarithme donnent une définition unifiée.

Cette définition coïncide avec la définition algébrique quand $α$ est rationnel (grâce à (6.4)) et donne, par exemple, $2^{2} = e^{2 l n 2} \approx 2, 665$ .

Démonstration. Chaque règle se ramène à (6.2) ou (6.4). Par exemple $(x^{α})^{β} = e^{β l n (x^{α})} = e^{β l n (e^{α l n x})} = e^{α β l n x} = x^{α β}$ . La continuité résulte de celle de $ln$ , de $u \mapsto α u$ et de $exp$ , composées entre elles (chapitre 5); la monotonie de celles de $ln$ et $exp$ , en tenant compte du signe de $α$ . $□$

Pour $α = 1/ n$ , on retrouve la racine $n$ -ième $n x = x^{1/ n}$ , réciproque de $x \mapsto x^{n}$ sur $[0, + \infty [$ . Pour $n$ impair, on peut prolonger $n x$ aux $x$ négatifs par $n - x = - n x$ , car $x \mapsto x^{n}$ est alors une bijection de $R$ sur $R$ . Mais attention: $x^{α}$ pour $x < 0$ et $α$ non entier n'est pas défini en général, puisque $ln x$ n'existe pas.

Hiérarchie des croissances

Démonstration. Pour la première, posons $t = x^{α}$ , de sorte que $ln x = \frac{1}{α} ln t$ et $\frac{ln x}{x ^{α}} = \frac{1}{α} \cdot \frac{ln t}{t} \to 0$ par (6.5). Pour la seconde, choisissons un entier $n \geq β$ : pour $x \geq 1$ , $0 < x^{β} / e^{x} \leq x^{n} / e^{x} \to 0$ par (6.3). $□$

Exercice

Classez les fonctions suivantes de la plus lente à la plus rapide lorsque $x \to + \infty$ (c'est-à-dire de sorte que chaque fonction soit négligeable devant la suivante).

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

x!

(pour

x

entier)

1, 5^{x}

x

ln x

e^{x}

x^{2}

Fonctions trigonométriques

Le cercle trigonométrique

Au chapitre 2, nous avons introduit l'exponentielle complexe $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ et la représentation du point $M = (cos θ, sin θ)$ sur le cercle unité. Rappelons la définition géométrique.

Figure 6.2. Cercle trigonométrique pour θ = 50°. Le cosinus est l'abscisse de M, le sinus son ordonnée, et la tangente est l'ordonnée du point T où la droite OM coupe la tangente au cercle en (1, 0): c'est de là que vient son nom.

Cette définition entraîne aussitôt les propriétés suivantes, que la figure 6.2 rend évidentes: le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $O$ , $(cos θ, 0)$ , $M$ donne

cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1; (6.8)

la périodicité $cos (θ + 2 π) = cos θ$ et $sin (θ + 2 π) = sin θ$ (un tour de plus ramène au même point), tandis que $tan$ est $π$ -périodique; la parité: $cos$ est paire et $sin$ , $tan$ sont impaires (la symétrie par rapport à l'axe des abscisses change $θ$ en $- θ$ ); enfin $∣ cos θ ∣ \leq 1$ et $∣ sin θ ∣ \leq 1$ . Les symétries du cercle donnent aussi $sin (π - θ) = sin θ$ , $cos (π - θ) = - cos θ$ , $cos (π /2 - θ) = sin θ$ et $sin (π /2 - θ) = cos θ$ .

Les valeurs remarquables se lisent dans les triangles rectangles isocèle (angle $π /4$ ) et demi-équilatéral (angles $π /6$ et $π /3$ ):

$θ$	$0$	$π /6$	$π /4$	$π /3$	$π /2$	$π$
$sin θ$	$0$	$1/2$	$2 /2$	$3 /2$	$1$	$0$
$cos θ$	$1$	$3 /2$	$2 /2$	$1/2$	$0$	$- 1$
$tan θ$	$0$	$1/ 3$	$1$	$3$	—	$0$

La continuité de $sin$ et $cos$ est ici admise: elle est intuitive (le point $M$ se déplace continûment sur le cercle) et se démontre rigoureusement à partir de l'inégalité $∣ sin h ∣ \leq ∣ h ∣$ (la corde est plus courte que l'arc), combinée aux formules d'addition ci-dessous, exactement comme au point 5 du théorème 6.3. On verra au chapitre 7 que $lim_{h \to 0} \frac{sin h}{h} = 1$ , résultat clé pour la dérivation.

Formules d'addition et leurs conséquences

Démonstration. Au chapitre 2, on a établi $e^{i (a + b)} = e^{i a} e^{i b}$ . Développons le membre de droite:

(cos a + i sin a) (cos b + i sin b) = (cos a cos b - sin a sin b) + i (sin a cos b + cos a sin b) .

Le membre de gauche vaut $cos (a + b) + i sin (a + b)$ . En identifiant parties réelles et imaginaires, on obtient les deux premières formules; la troisième s'en déduit en divisant $sin (a + b)$ par $cos (a + b)$ , puis numérateur et dénominateur par $cos a cos b$ . $□$

Avec $b = - a$ on retrouve (6.8); avec $b = a$ on obtient les formules de duplication

cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a, sin 2 a = 2 sin a cos a, (6.10)

d'où les formules de linéarisation, indispensables au chapitre 11 pour intégrer des puissances de sinus et cosinus:

cos^{2} a = \frac{1 + cos 2 a}{2}, sin^{2} a = \frac{1 - cos 2 a}{2}, sin a cos a = \frac{sin 2 a}{2} . (6.11)

En additionnant ou soustrayant les formules (6.9) écrites pour $a + b$ et $a - b$ , on obtient enfin les formules de transformation de produit en somme, par exemple $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ et $sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]$ .

Équations trigonométriques

Parce que les fonctions trigonométriques sont périodiques, une équation comme $sin x = a$ possède soit aucune solution, soit une infinité. On les décrit toutes à partir d'une solution particulière.

Démonstration. Sur le cercle unité, l'ordonnée $a$ est atteinte en exactement deux points (un seul si $a = \pm 1$ ), symétriques par rapport à l'axe vertical: si l'un correspond à l'angle $α$ , l'autre correspond à $π - α$ . Tous les angles menant à ces points diffèrent de multiples de $2 π$ . Le cas du cosinus est identique avec la symétrie par rapport à l'axe horizontal ( $α$ et $- α$ ). Pour la tangente, la droite $O M$ de pente $a$ coupe le cercle en deux points diamétralement opposés, d'angles $α$ et $α + π$ . $□$

Exercice

Quelles sont toutes les solutions de $sin x = - \frac{2}{2}$ dans l'intervalle $[0, 2 π [$ ?

Signaux sinusoïdaux

Un signal électrique, une vibration mécanique ou une onde acoustique se décrivent par une fonction du temps de la forme

s (t) = A sin (ω t + φ), (6.12)

où $A > 0$ est l'amplitude, $ω > 0$ la pulsation (en rad/s) et $φ \in] - π, π]$ la phase à l'origine (en rad). Le signal est périodique de période $T = 2 π / ω$ et de fréquence $f = 1/ T = ω /2 π$ (en Hz). La phase se traduit par un décalage temporel: $A sin (ω t + φ) = A sin (ω (t - Δ t))$ avec $Δ t = - φ / ω$ ; une phase positive avance le signal, une phase négative le retarde. Le réseau électrique suisse fournit une tension $u (t) = 325 sin (100 π t)$ V: pulsation $ω = 100 π \approx 314$ rad/s, fréquence $50$ Hz, amplitude $325$ V (la valeur efficace $230$ V est $A / 2$ ).

Explorateur de sinusoïde

Faites varier l'amplitude, la fréquence et la phase du signal A·sin(2πft + φ) (trait plein) et comparez-le au signal de référence sin(2πt) (pointillé).

Période T = 1/f

1.000s

Pulsation ω = 2πf

6.28rad/s

Phase φ

0.000rad

Décalage Δt = −φ/ω

0.0ms

Amplitude A1.00

Fréquence f1.00Hz

Phase φ0°

Fonctions trigonométriques réciproques

Les fonctions $sin$ , $cos$ et $tan$ ne sont pas injectives sur $R$ (elles sont périodiques), donc pas inversibles. On les restreint à un intervalle sur lequel elles sont strictement monotones et prennent toutes leurs valeurs, puis on applique le théorème de la bijection.

Les trois fonctions sont continues et strictement monotones (théorème de la bijection). Quelques valeurs: $arcsin (1/2) = π /6$ , $arccos (1/2) = π /3$ , $arccos (- 1/2) = 2 π /3$ , $arctan 1 = π /4$ , $arctan 3 = π /3$ ; de plus $lim_{x \to \pm \infty} arctan x = \pm π /2$ , et $arcsin$ , $arctan$ sont impaires alors que $arccos (- x) = π - arccos x$ .

Démonstration. 1. Posons $θ = arcsin x \in [- π /2, π /2]$ . Alors $π /2 - θ \in [0, π]$ et $cos (π /2 - θ) = sin θ = x$ . Par définition de l'arccosinus (l'unique angle de $[0, π]$ dont le cosinus vaut $x$ ), $arccos x = π /2 - θ$ , d'où l'identité.

Soit $x > 0$ et $θ = arctan x$ . Comme $x > 0$ , $θ \in] 0, π /2 [$ , donc $π /2 - θ \in] 0, π /2 [$ et $tan (π /2 - θ) = \frac{sin ( π /2 - θ )}{cos ( π /2 - θ )} = \frac{cos θ}{sin θ} = \frac{1}{x}$ . Donc $arctan (1/ x) = π /2 - θ$ . Pour $x < 0$ on applique le résultat à $- x$ et l'imparité de $arctan$ .
Avec $θ = arcsin x$ , (6.8) donne $cos^{2} θ = 1 - x^{2}$ ; comme $θ \in [- π /2, π /2]$ , $cos θ \geq 0$ et l'on peut prendre la racine positive. Même raisonnement pour $arccos$ , le sinus étant positif sur $[0, π]$ . $□$

Exemple 6.4 · Angle d'une pente et déphasage

Pente. Une route dont la pente est de 8 % s'élève de 8 m pour 100 m parcourus horizontalement. Son angle avec l'horizontale est $θ = arctan (0, 08) \approx 0, 0798$ rad $\approx 4, 57°$ . Pour de petites pentes, $arctan x \approx x$ (on verra au chapitre 9 que $arctan x = x - x^{3} /3 + \dots$ ): l'angle en radians est pratiquement égal à la pente, ici $0, 08$ rad $= 4, 58°$ .

Déphasage. Un circuit RC alimenté en régime sinusoïdal produit un courant déphasé par rapport à la tension d'un angle $φ = arctan (1/ R C ω)$ . Avec $R = 1$ kΩ, $C = 1$ µF et $f = 50$ Hz: $R C ω = 1 0^{3} \cdot 1 0^{- 6} \cdot 100 π = 0, 314$ , donc $φ = arctan (3, 18) \approx 1, 266$ rad $\approx 72, 6°$ . Le déphasage tend vers $π /2$ lorsque la fréquence tend vers 0 (le condensateur bloque le courant continu) et vers 0 en haute fréquence: c'est le comportement d'un filtre passe-haut.

Exercice

Un pont en arc a une inclinaison de 3,5 % à la culée. Calculez l'angle correspondant, en degrés, en utilisant l'arctangente.

Fonctions hyperboliques

Définitions et identités

Les fonctions hyperboliques sont les «cousines réelles» des fonctions trigonométriques: là où $cos θ = (e^{i θ} + e^{- i θ}) /2$ (chapitre 2), on remplace $i θ$ par $x$ .

Ces fonctions sont continues (combinaisons d'exponentielles); $cosh$ est paire et $cosh x \geq 1$ (car $cosh 0 = 1$ et $e^{x} + e^{- x} \geq 2$ par l'inégalité $u + 1/ u \geq 2$ pour $u > 0$ ); $sinh$ et $tanh$ sont impaires, strictement croissantes, et $lim_{x \to \pm \infty} tanh x = \pm 1$ (divisez numérateur et dénominateur par $e^{x}$ ). Pour $x \to + \infty$ , $sinh x$ et $cosh x$ sont tous deux équivalents à $e^{x} /2$ (figure 6.3).

Figure 6.3. Les fonctions hyperboliques. cosh (accent) est paire et vaut 1 en 0; sinh (bleu) est impaire; toutes deux se rapprochent de e^x/2 pour x grand (pointillés). tanh (tan) est impaire, croissante et bornée par ±1. La courbe de cosh est la forme que prend un câble suspendu entre deux points: la chaînette.

Démonstration. Pour (6.13), développons: $cosh^{2} x - sinh^{2} x = \frac{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2} - ( e ^{x} - e ^{- x} ) ^{2}}{4} = \frac{4 e ^{x} e ^{- x}}{4} = 1$ , en utilisant $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ et $e^{x} e^{- x} = 1$ . Pour (6.14), calculons le membre de droite de la première formule:

\frac{( e ^{x} + e ^{- x} ) ( e ^{y} + e ^{- y} ) + ( e ^{x} - e ^{- x} ) ( e ^{y} - e ^{- y} )}{4} = \frac{2 e ^{x + y} + 2 e ^{- x - y}}{4} = cosh (x + y),

les termes croisés $e^{x - y}$ et $e^{- x + y}$ s'éliminant. La formule pour $sinh (x + y)$ se vérifie de même, et les formules de duplication sont le cas $y = x$ . $□$

L'identité (6.13) explique le nom: le point $(cosh t, sinh t)$ parcourt la branche droite de l'hyperbole $X^{2} - Y^{2} = 1$ , comme $(cos t, sin t)$ parcourt le cercle $X^{2} + Y^{2} = 1$ . Notez le changement de signe par rapport à (6.8) et (6.9): c'est la seule différence entre les formulaires trigonométrique et hyperbolique, résumée par la «règle d'Osborn»: un produit de deux sinus change de signe.

Exercice

On sait que $sinh x = \frac{3}{4}$ . Que vaut $cosh x$ ?

Fonctions hyperboliques réciproques

$sinh$ est continue, strictement croissante, de limites $\mp \infty$ en $\mp \infty$ : c'est une bijection de $R$ sur $R$ . $cosh$ restreinte à $[0, + \infty [$ est une bijection sur $[1, + \infty [$ , et $tanh$ une bijection de $R$ sur $] - 1, 1 [$ . Leurs réciproques, notées $argsinh$ , $argcosh$ et $argtanh$ («argument sinus hyperbolique», etc.), ont l'avantage inattendu de s'exprimer avec le logarithme.

Démonstration. Démontrons la première formule. Soit $x \in R$ et $y = argsinh x$ , c'est-à-dire $sinh y = x$ . Posons $u = e^{y} > 0$ : l'équation $\frac{u - 1/ u}{2} = x$ s'écrit $u^{2} - 2 xu - 1 = 0$ , équation du second degré en $u$ de discriminant $4 x^{2} + 4 > 0$ , dont les racines sont $u = x \pm x^{2} + 1$ . Comme $x^{2} + 1 > ∣ x ∣$ , la racine $x - x^{2} + 1$ est strictement négative: elle ne convient pas puisque $u > 0$ . Donc $e^{y} = x + x^{2} + 1$ et $y = ln (x + x^{2} + 1)$ .

Pour $argcosh$ , la même méthode donne $u^{2} - 2 xu + 1 = 0$ , de racines $x \pm x^{2} - 1$ (réelles pour $x \geq 1$ ), toutes deux positives et inverses l'une de l'autre; la condition $y \geq 0$ , c'est-à-dire $u \geq 1$ , sélectionne $x + x^{2} - 1$ . Pour $argtanh$ , l'équation $tanh y = x$ s'écrit $\frac{u ^{2} - 1}{u ^{2} + 1} = x$ , soit $u^{2} = \frac{1 + x}{1 - x}$ , d'où $y = \frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 - x}$ . $□$

Par exemple $argsinh 1 = ln (1 + 2) \approx 0, 8814$ et $argcosh 2 = ln (2 + 3) \approx 1, 317$ .

La chaînette

Exemple 6.5 · Câble suspendu

Un câble homogène, souple et inextensible, suspendu entre deux points et soumis à son seul poids, prend la forme d'une chaînette d'équation

y = a cosh \frac{x}{a},

où le paramètre $a = H / (ρ g)$ est le rapport entre la tension horizontale $H$ dans le câble et son poids linéique $ρ g$ (on établira cette équation au chapitre 12, à partir de l'équilibre d'un élément de câble; Jacob Bernoulli, Leibniz et Huygens l'ont trouvée en 1691, corrigeant Galilée qui pensait à une parabole). Le point le plus bas est en $x = 0$ , à la hauteur $y = a$ .

Pour une ligne électrique dont les pylônes sont distants de $2 L = 100$ m et dont le paramètre vaut $a = 200$ m, la flèche (différence de hauteur entre les points d'attache et le point le plus bas) vaut

f = a cosh \frac{L}{a} - a = 200 (cosh 0, 25 - 1) = 200 \times 0, 03141 \approx 6, 28 m,

et la longueur du câble, que l'on calculera au chapitre 11, est $2 a sinh (L / a) = 400 sinh 0, 25 \approx 101, 04$ m: à peine un mètre de plus que la portée. Lorsque $L / a$ est petit, le développement $cosh u = 1 + u^{2} /2 + u^{4} /24 + \dots$ (chapitre 4, série de l'exponentielle) donne $f \approx L^{2} / (2 a)$ : la chaînette tendue est presque une parabole, ce qui est la simplification couramment adoptée pour les câbles de ponts suspendus, dont la charge est répartie uniformément le long de l'horizontale plutôt que le long du câble.

Synthèse

L'exponentielle $exp (x) = \sum_{n \geq 0} x^{n} / n!$ vérifie $exp (x + y) = exp (x) exp (y)$ , est strictement positive, strictement croissante, continue, et domine toute puissance: $e^{x} / x^{n} \to + \infty$ .
Le logarithme népérien est sa réciproque: $ln (ab) = ln a + ln b$ , $ln (a^{α}) = α ln a$ , $ln x / x \to 0$ ; $lo g_{a} x = ln x / ln a$ , et les échelles logarithmiques (dB, pH, magnitude) comptent les ordres de grandeur.
Les puissances sont définies par $x^{α} = e^{α l n x}$ pour $x > 0$ ; hiérarchie des croissances: $ln x ≪ x^{α} ≪ e^{x}$ .
Les fonctions trigonométriques sont définies sur le cercle unité; formules d'addition (6.9), duplication (6.10), linéarisation (6.11); $sin x = sin α ⟺ x = α + 2 k π$ ou $π - α + 2 k π$ ; un signal $A sin (ω t + φ)$ a pour période $2 π / ω$ et pour décalage temporel $- φ / ω$ .
$arcsin$ , $arccos$ , $arctan$ sont les réciproques des restrictions de $sin$ , $cos$ , $tan$ à $[- π /2, π /2]$ , $[0, π]$ , $] - π /2, π /2 [$ ; $arcsin x + arccos x = π /2$ , $arctan x + arctan (1/ x) = \pm π /2$ .
$cosh^{2} x - sinh^{2} x = 1$ ; les réciproques hyperboliques s'expriment par des logarithmes, $argsinh x = ln (x + x^{2} + 1)$ ; la chaînette $y = a cosh (x / a)$ est la forme d'un câble suspendu.

Série d'exercices du chapitre 6

Exercice 1 sur 5

Exercice

Que vaut $ln (e^{3} e)$ ?

Problème guidé

Refroidissement d'une pièce moulée

Une pièce en aluminium sort d'un moule à $T_{0} = 80$ °C et refroidit dans un atelier à $T_{amb} = 20$ °C selon la loi de Newton $T (t) = T_{amb} + (T_{0} - T_{amb}) e^{- t / τ}$ . Après 5 minutes, on mesure $T = 60$ °C. On cherche la constante de temps $τ$ , puis le temps nécessaire pour que le régime transitoire soit terminé (écart à la température ambiante réduit à 1 % de l'écart initial).

1
Écart réduit
La loi de Newton porte sur l'écart $T - T_{amb}$ , pas sur la température elle-même. Formez le rapport entre l'écart mesuré à 5 min et l'écart initial.
Exercice
Calculez le rapport $\frac{T ( 5 ) - T _{amb}}{T _{0} - T _{amb}}$ .
Constante de temps
Prévision
Fin du régime transitoire

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 6.1 · Équations exponentielles et logarithmiques

Résoudre dans $R$ les équations suivantes, en précisant à chaque fois le domaine de validité.

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ ;
$ln x + ln (x - 3) = ln 4$ ;
$3^{x + 1} = 5^{x}$ ;
$ln (x^{2}) = 2$ (attention: combien de solutions?).

Solution

1. L'équation est définie pour tout $x \in R$ . Posons $u = e^{x} > 0$ : $u^{2} - 3 u + 2 = (u - 1) (u - 2) = 0$ , d'où $u = 1$ ou $u = 2$ , c'est-à-dire $e^{x} = 1$ ou $e^{x} = 2$ . Les solutions sont $x = 0$ et $x = ln 2 \approx 0, 693$ .

2. Domaine: il faut $x > 0$ et $x - 3 > 0$ , donc $x > 3$ . Sur ce domaine, $ln x + ln (x - 3) = ln (x (x - 3))$ et, $ln$ étant injective, l'équation équivaut à $x (x - 3) = 4$ , soit $x^{2} - 3 x - 4 = (x - 4) (x + 1) = 0$ . La racine $x = - 1$ est hors du domaine: l'unique solution est $x = 4$ . Vérification: $ln 4 + ln 1 = ln 4$ .

3. Les deux membres sont strictement positifs; prenons le logarithme: $(x + 1) ln 3 = x ln 5$ , soit $x (ln 5 - ln 3) = ln 3$ et

x = \frac{ln 3}{ln 5 - ln 3} = \frac{ln 3}{ln ( 5/3 )} = \frac{1 , 0986}{0 , 5108} \approx 2, 151.

4. Domaine: $x^{2} > 0$ , donc $x \neq = 0$ . Alors $ln (x^{2}) = 2 ⟺ x^{2} = e^{2} ⟺ x = \pm e$ . Il y a deux solutions, $x = e$ et $x = - e$ . L'erreur classique consiste à écrire $ln (x^{2}) = 2 ln x$ , ce qui suppose $x > 0$ et fait perdre la solution négative; la formule correcte est $ln (x^{2}) = 2 ln ∣ x ∣$ .

Exercice 6.2 · Décibels

Le niveau sonore d'une source d'intensité acoustique $I$ (en W/m²) est $L = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ dB, avec $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m². Lorsque plusieurs sources indépendantes agissent, leurs intensités s'additionnent.

Une perceuse produit 75 dB et une conversation 60 dB. Quel est le rapport des intensités?
Quel niveau sonore produisent deux perceuses identiques de 75 dB fonctionnant simultanément?
Combien de conversations à 60 dB faut-il pour atteindre le niveau d'une perceuse?
Un panneau antibruit abaisse le niveau de 15 dB. De quel facteur l'intensité est-elle divisée?

Solution

Notons $I_{1}$ l'intensité de la perceuse et $I_{2}$ celle de la conversation.

1. $L_{1} - L_{2} = 10 lo g_{10} (I_{1} / I_{2}) = 15$ dB, donc $I_{1} / I_{2} = 1 0^{1, 5} \approx 31, 6$ : la perceuse est environ 32 fois plus intense.

2. Deux perceuses: $I = 2 I_{1}$ , donc $L = 10 lo g_{10} (2 I_{1} / I_{0}) = L_{1} + 10 lo g_{10} 2 = 75 + 3, 01 \approx 78, 0$ dB. Doubler l'intensité n'ajoute que 3 dB: l'échelle des décibels est conçue pour suivre la perception, qui est logarithmique.

3. Il faut $n$ conversations telles que $n I_{2} = I_{1}$ , soit $n = I_{1} / I_{2} = 1 0^{1, 5} \approx 31, 6$ : une trentaine de conversations simultanées (32 pour dépasser 75 dB).

4. Une atténuation de 15 dB correspond à $10 lo g_{10} (I_{avant} / I_{apr \overset{e}{ˋ} s}) = 15$ , donc l'intensité est divisée par $1 0^{1, 5} \approx 31, 6$ .

Exercice 6.3 · Trigonométrie

Résoudre dans $[0, 2 π [$ l'équation $2 cos^{2} x - 3 cos x + 1 = 0$ .
Écrire $s (t) = 3 sin t - cos t$ sous la forme $A sin (t + φ)$ avec $A > 0$ et $φ \in] - π, π]$ .
En déduire toutes les solutions de $3 sin t - cos t = 1$ dans $[0, 2 π [$ .
Linéariser $sin^{4} x$ (exprimer $sin^{4} x$ comme combinaison de $1$ , $cos 2 x$ et $cos 4 x$ ).

Solution

1. Posons $c = cos x$ : $2 c^{2} - 3 c + 1 = (2 c - 1) (c - 1) = 0$ , donc $cos x = 1$ ou $cos x = 1/2$ . Dans $[0, 2 π [$ : $cos x = 1$ donne $x = 0$ ; $cos x = 1/2 = cos (π /3)$ donne $x = π /3$ ou $x = 2 π - π /3 = 5 π /3$ . Solutions: ${0, π /3, 5 π /3}$ .

2. On cherche $A$ et $φ$ tels que $A sin (t + φ) = A cos φ sin t + A sin φ cos t = 3 sin t - cos t$ pour tout $t$ . Il faut donc $A cos φ = 3$ et $A sin φ = - 1$ . En élevant au carré et en additionnant, $A^{2} = 3 + 1 = 4$ , donc $A = 2$ ; puis $cos φ = 3 /2$ et $sin φ = - 1/2$ , d'où $φ = - π /6$ . Ainsi

3 sin t - cos t = 2 sin (t - \frac{π}{6}) .

Vérification en $t = 0$ : $- 1 = 2 sin (- π /6) = - 1$ .

3. L'équation devient $2 sin (t - π /6) = 1$ , soit $sin (t - π /6) = 1/2 = sin (π /6)$ . D'après le théorème 6.10, $t - π /6 = π /6 + 2 k π$ ou $t - π /6 = π - π /6 + 2 k π$ , c'est-à-dire $t = π /3 + 2 k π$ ou $t = π + 2 k π$ . Dans $[0, 2 π [$ : $t = π /3$ et $t = π$ . Vérification: $3 \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$ et $3 \cdot 0 - (- 1) = 1$ .

4. D'après (6.11), $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ . Donc

sin^{4} x = \frac{( 1 - cos 2 x ) ^{2}}{4} = \frac{1 - 2 cos 2 x + cos ^{2} 2 x}{4} .

On linéarise à nouveau $cos^{2} 2 x = \frac{1 + cos 4 x}{2}$ :

sin^{4} x = \frac{1}{4} (1 - 2 cos 2 x + \frac{1}{2} + \frac{cos 4 x}{2}) = \frac{3 - 4 cos 2 x + cos 4 x}{8} .

Contrôle en $x = π /2$ : $sin^{4} (π /2) = 1$ et $(3 + 4 + 1) /8 = 1$ .

Exercice 6.4 · Chaînette d'une ligne électrique

Une ligne à haute tension est suspendue entre deux pylônes de même hauteur, distants de $2 L = 200$ m. Le câble suit la chaînette $y = a cosh (x / a)$ avec $a = 500$ m, l'origine étant placée à la verticale du point le plus bas.

Calculer la flèche $f = a (cosh (L / a) - 1)$ du câble.
On admet que la longueur du câble vaut $ℓ = 2 a sinh (L / a)$ . Calculer $ℓ$ et l'allongement relatif $(ℓ - 2 L) /2 L$ .
En utilisant la série de l'exponentielle, montrer que $cosh u = 1 + \frac{u ^{2}}{2} + \frac{u ^{4}}{24} + \dots$ et en déduire que $f \approx \frac{L ^{2}}{2 a}$ avec une erreur relative voisine de $\frac{L ^{2}}{12 a ^{2}}$ . Comparer à la valeur exacte.
Vérifier que $ℓ^{2} - (2 f + 2 a)^{2} = - 4 a^{2}$ , quelle que soit la portée. (Indication: utiliser (6.13).)

Solution

Ici $L / a = 100/500 = 0, 2$ .

1. $cosh 0, 2 = \frac{e ^{0, 2} + e ^{- 0, 2}}{2} = \frac{1 , 22140 + 0 , 81873}{2} = 1, 020067$ , donc

f = 500 \times 0, 020067 \approx 10, 03 m .

2. $sinh 0, 2 = \frac{1 , 22140 - 0 , 81873}{2} = 0, 201336$ , donc $ℓ = 1000 \times 0, 201336 \approx 201, 34$ m. L'allongement relatif vaut $(201, 34 - 200) /200 \approx 0, 67 %$ : la ligne est très tendue et presque rectiligne, bien que la flèche atteigne 10 m.

3. En remplaçant $x$ par $u$ puis par $- u$ dans la série (6.1) et en additionnant, les termes de degré impair s'éliminent:

cosh u = \frac{1}{2} n \geq 0 \sum \frac{u ^{n} + ( - u ) ^{n}}{n !} = k \geq 0 \sum \frac{u ^{2 k}}{( 2 k )!} = 1 + \frac{u ^{2}}{2} + \frac{u ^{4}}{24} + \dots

Ainsi $f = a (cosh (L / a) - 1) = a (\frac{L ^{2}}{2 a ^{2}} + \frac{L ^{4}}{24 a ^{4}} + \dots) = \frac{L ^{2}}{2 a} (1 + \frac{L ^{2}}{12 a ^{2}} + \dots)$ . L'approximation parabolique $f \approx L^{2} / (2 a)$ néglige le facteur entre parenthèses, d'où une erreur relative voisine de $L^{2} / (12 a^{2})$ . Numériquement: $L^{2} / (2 a) = 1 0^{4} /1000 = 10, 00$ m, et $L^{2} / (12 a^{2}) = 0, 04/12 \approx 0, 33 %$ ; la valeur exacte $10, 03$ m est bien supérieure de $0, 33 %$ à l'approximation.

4. On a $ℓ = 2 a sinh (L / a)$ et $2 f + 2 a = 2 a cosh (L / a)$ . D'après (6.13),

ℓ^{2} - (2 f + 2 a)^{2} = 4 a^{2} (sinh^{2} (L / a) - cosh^{2} (L / a)) = - 4 a^{2} .

Cette relation, indépendante de $L$ , permet de déterminer $a$ (donc la tension du câble) à partir de deux mesures purement géométriques: la longueur du câble et sa flèche.

Exercice 6.5 · Inégalités fondamentales de l'exponentielle et du logarithme

Montrer, à partir de la série (6.1), que $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout $x \geq - 1$ . (Indication: pour $- 1 \leq x < 0$ , regrouper les termes de la série deux par deux: $\frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!} + \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!}$ .) En déduire que $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout réel $x$ .
En déduire que $ln (1 + x) \leq x$ pour tout $x > - 1$ , puis que $ln y \leq y - 1$ pour tout $y > 0$ .
Montrer que, pour $x < 1$ , $e^{x} \leq \frac{1}{1 - x}$ . En déduire l'encadrement $1 + x \leq e^{x} \leq \frac{1}{1 - x}$ pour $x < 1$ et la limite

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1.

Montrer que l'erreur commise en approchant $e$ par la somme partielle $s_{n} = \sum_{k = 0}^{n} 1/ k!$ vérifie $0 < e - s_{n} < \frac{1}{n \cdot n !}$ . (Indication: majorer $\frac{1}{( n + k )!}$ par $\frac{1}{n ! ( n + 1 ) ^{k}}$ et sommer une série géométrique.)

Solution

1. Cas $x \geq 0$ . Tous les termes de la série sont positifs, donc $e^{x} = 1 + x + \sum_{n \geq 2} x^{n} / n! \geq 1 + x$ .

Cas $- 1 \leq x < 0$ . Écrivons $e^{x} - (1 + x) = \sum_{n \geq 2} \frac{x ^{n}}{n !}$ et regroupons les termes deux par deux (la série étant absolument convergente, ce regroupement est licite):

n \geq 2 \sum \frac{x ^{n}}{n !} = k \geq 1 \sum (\frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!} + \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!}) = k \geq 1 \sum \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!} (1 + \frac{x}{2 k + 1}) .

Or $x^{2 k} \geq 0$ et, puisque $x \geq - 1$ et $2 k + 1 \geq 3$ , on a $\frac{x}{2 k + 1} \geq - \frac{1}{3}$ , donc $1 + \frac{x}{2 k + 1} \geq \frac{2}{3} > 0$ . Chaque terme regroupé est positif, et $e^{x} - (1 + x) \geq 0$ .

Cas $x < - 1$ . Alors $1 + x < 0 < e^{x}$ (théorème 6.3). L'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ est donc vraie pour tout réel $x$ , avec égalité seulement en $x = 0$ .

2. Pour $x > - 1$ , on a $1 + x > 0$ et $e^{x} \geq 1 + x$ . Le logarithme étant strictement croissant, $ln (e^{x}) \geq ln (1 + x)$ , c'est-à-dire $x \geq ln (1 + x)$ . En posant $y = 1 + x > 0$ , on obtient $ln y \leq y - 1$ pour tout $y > 0$ : la courbe du logarithme est partout sous sa tangente en $(1, 0)$ , ce que le chapitre 8 interprétera comme la concavité de $ln$ .

3. Appliquons le point 1 à $- x$ : $e^{- x} \geq 1 - x$ . Pour $x < 1$ , le membre de droite est strictement positif; en inversant (fonction $u \mapsto 1/ u$ décroissante sur $] 0, + \infty [$ ), $e^{x} = \frac{1}{e ^{- x}} \leq \frac{1}{1 - x}$ . D'où l'encadrement, valable pour $x < 1$ :

1 + x \leq e^{x} \leq \frac{1}{1 - x} .

Retranchons 1: $x \leq e^{x} - 1 \leq \frac{1}{1 - x} - 1 = \frac{x}{1 - x}$ . Divisons par $x$ , en distinguant le signe:

si $0 < x < 1$ : $1 \leq \frac{e ^{x} - 1}{x} \leq \frac{1}{1 - x}$ ;
si $x < 0$ : la division par $x < 0$ renverse les inégalités, $\frac{1}{1 - x} \leq \frac{e ^{x} - 1}{x} \leq 1$ .

Dans les deux cas, $\frac{e ^{x} - 1}{x}$ est encadré par $1$ et $\frac{1}{1 - x}$ , qui tendent tous deux vers $1$ quand $x \to 0$ . Par le théorème des gendarmes (chapitre 5),

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1.

Cette limite signifie que la pente de la corde entre $(0, 1)$ et $(x, e^{x})$ tend vers 1: au chapitre 7, on dira que $exp$ est dérivable en 0, de dérivée 1, et l'on en déduira $exp^{'} = exp$ grâce à l'équation fonctionnelle.

4. Par définition, $e - s_{n} = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{( n + k )!}$ , somme de termes strictement positifs: $e - s_{n} > 0$ . Pour la majoration, écrivons $(n + k)! = n! (n + 1) (n + 2) \dots (n + k)$ , produit de $k$ facteurs tous supérieurs ou égaux à $n + 1$ ; donc $(n + k)! \geq n! (n + 1)^{k}$ , avec inégalité stricte dès que $k \geq 2$ . Il vient

e - s_{n} < \frac{1}{n !} k \geq 1 \sum \frac{1}{( n + 1 ) ^{k}} = \frac{1}{n !} \cdot \frac{1/ ( n + 1 )}{1 - 1/ ( n + 1 )} = \frac{1}{n !} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n \cdot n !},

où l'on a sommé la série géométrique de raison $1/ (n + 1) < 1$ (chapitre 4). Pour $n = 5$ , la borne vaut $1/600 \approx 1, 7 \cdot 1 0^{- 3}$ (erreur réelle: $1, 6 \cdot 1 0^{- 3}$ ); pour $n = 10$ , elle vaut $1/ (10 \cdot 10!) \approx 2, 8 \cdot 1 0^{- 8}$ : dix termes suffisent pour sept décimales exactes de $e$ . Cette majoration est aussi la clé de la démonstration classique de l'irrationalité de $e$ : si $e = p / q$ , on multiplie $e - s_{q}$ par $q!$ et l'on obtient un entier strictement compris entre 0 et $1/ q \leq 1$ , ce qui est absurde.

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
Spivak, M., Calculus, 4e éd., Publish or Perish, Houston, 2008 (chapitres 15 et 18 pour une construction rigoureuse de exp, ln et des fonctions trigonométriques).
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3e éd., McGraw-Hill, New York, 1976 (chapitre 8, «Some special functions»).
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Euler, L., Introductio in analysin infinitorum, Lausanne, 1748 (édité par Marc-Michel Bousquet; le livre où $e$ , $π$ et la série exponentielle reçoivent leur forme moderne).

Objectifs du chapitre

Pourquoi des fonctions «élémentaires»?

La fonction exponentielle

Définition par une série

L'équation fonctionnelle

Croissance comparée

Le logarithme népérien

Définition et propriétés

Croissance comparée du logarithme

Logarithme décimal, logarithme en base a

Fonctions puissances et racines

Définition générale

Hiérarchie des croissances

Fonctions trigonométriques

Le cercle trigonométrique

Formules d'addition et leurs conséquences

Équations trigonométriques

Signaux sinusoïdaux

Explorateur de sinusoïde

Fonctions trigonométriques réciproques

Fonctions hyperboliques

Définitions et identités

Fonctions hyperboliques réciproques

La chaînette

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 6

Refroidissement d'une pièce moulée

Écart réduit

Constante de temps

Prévision

Fin du régime transitoire

Exercices

Références