Intégrale de Riemann · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir l'intégrale de Riemann d'une fonction bornée sur un segment à l'aide des sommes de Darboux et énoncer le critère d'intégrabilité;
calculer une intégrale simple comme limite de sommes de Riemann et reconnaître une somme de Riemann dans une limite de suite;
démontrer que les fonctions continues et les fonctions monotones sont intégrables;
utiliser les propriétés de l'intégrale: linéarité, relation de Chasles, croissance, inégalité et théorème de la moyenne;
énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'analyse et calculer des intégrales grâce aux primitives;
estimer numériquement une intégrale par les méthodes des rectangles, des trapèzes et de Simpson.

Pourquoi intégrer?

Le calcul différentiel des chapitres 7 à 9 répond à la question «à quelle vitesse une grandeur varie-t-elle?». Le calcul intégral répond à la question inverse: connaissant la vitesse de variation, comment retrouver la grandeur elle-même? Un ingénieur rencontre cette situation en permanence.

Distance et vitesse. Un tram qui roule à la vitesse constante $v$ pendant une durée $T$ parcourt $v T$ . Si la vitesse varie, on découpe le trajet en courts intervalles de durée $Δ t$ , pendant lesquels $v$ est presque constante: la distance vaut environ $\sum v (t_{k}) Δ t$ , et exactement $\int_{0}^{T} v (t) d t$ .
Travail d'une force. Une force $F (x)$ qui déplace un chariot de $a$ à $b$ fournit le travail $W = \int_{a}^{b} F (x) d x$ ; pour un ressort, $F (x) = k x$ et l'on retrouve $W = \frac{1}{2} k (b^{2} - a^{2})$ .
Charge et courant. Le courant $i (t)$ est le débit de charge: la charge qui traverse une section entre $0$ et $T$ vaut $Q = \int_{0}^{T} i (t) d t$ .
Valeur moyenne d'un signal. La tension du réseau vaut $v (t) = V_{m a x} sin (ω t)$ , de moyenne nulle; ce qui compte pour la puissance dissipée est la valeur efficace $V_{eff} = 230$ V, définie par une intégrale de $v^{2}$ .
Aire sous une courbe. Toutes ces situations reviennent à un seul problème géométrique: mesurer l'aire de la région comprise entre le graphe d'une fonction et l'axe des abscisses.

L'idée de calculer une aire en l'encadrant par des figures simples remonte à Archimède, qui obtient ainsi l'aire d'un segment de parabole. La définition rigoureuse, applicable à des fonctions générales, est due à Bernhard Riemann (1854); Gaston Darboux (1875) en donne la présentation par sommes inférieure et supérieure que nous suivons ici. Le lien avec la dérivation, le théorème fondamental, a été dégagé par Newton et Leibniz deux siècles plus tôt: c'est lui qui transforme le calcul d'aires en un calcul de primitives.

Construction de l'intégrale

Subdivisions et fonctions en escalier

Dans tout le chapitre, $a < b$ sont deux réels et $f : [a, b] \to R$ est une fonction bornée.

On vérifie sans peine que cette valeur ne dépend pas de la subdivision choisie (raffiner $σ$ découpe chaque rectangle en rectangles plus étroits de même hauteur) ni des valeurs de $φ$ aux points $x_{k}$ . L'intégrale des fonctions en escalier est linéaire et croissante: si $φ \leq ψ$ , alors $\int_{a}^{b} φ \leq \int_{a}^{b} ψ$ .

Sommes de Darboux

L'idée est d'encadrer $f$ par deux fonctions en escalier, l'une en dessous, l'autre au-dessus, construites sur une même subdivision.

Figure 10.1. Sommes de Darboux d'une fonction sur une subdivision régulière à six sous-intervalles. À gauche, la somme inférieure: chaque rectangle a pour hauteur la borne inférieure de f sur le sous-intervalle. À droite, la somme supérieure. L'aire cherchée est comprise entre les deux.

Ces sommes sont bien définies parce que $f$ est bornée. Trois propriétés élémentaires gouvernent toute la construction.

Démonstration. Le point 1 vient de $m_{k} \leq M_{k}$ . Pour le point 2, il suffit de traiter l'ajout d'un seul point $c \in] x_{k - 1}, x_{k} [$ . Le terme $m_{k} (x_{k} - x_{k - 1})$ est remplacé par $m^{'} (c - x_{k - 1}) + m^{''} (x_{k} - c)$ , où $m^{'}$ et $m^{''}$ sont les bornes inférieures de $f$ sur $[x_{k - 1}, c]$ et $[c, x_{k}]$ ; comme ces deux intervalles sont contenus dans $[x_{k - 1}, x_{k}]$ , on a $m^{'} \geq m_{k}$ et $m^{''} \geq m_{k}$ , donc le nouveau terme est supérieur ou égal à l'ancien. Le raisonnement est symétrique pour $S$ . Pour le point 3, la subdivision $σ = σ_{1} \cup σ_{2}$ est plus fine que chacune, d'où $s (f, σ_{1}) \leq s (f, σ) \leq S (f, σ) \leq S (f, σ_{2})$ . $□$

Le point 3 dit que toute somme inférieure est plus petite que toute somme supérieure. L'ensemble des sommes inférieures est donc majoré et l'ensemble des sommes supérieures minoré: par l'axiome de la borne supérieure (chapitre 1), on peut définir

I_{-} (f) = σ sup s (f, σ) et I_{+} (f) = σ in f S (f, σ),

les intégrales inférieure et supérieure de $f$ , et l'on a toujours $I_{-} (f) \leq I_{+} (f)$ .

La variable $x$ est muette: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . Le symbole $\int$ est un S allongé, initiale de «somme», et $d x$ rappelle la largeur $x_{k} - x_{k - 1}$ des rectangles: la notation, due à Leibniz, est une somme de rectangles infiniment fins.

Le critère d'intégrabilité

Décider si $I_{-} (f) = I_{+} (f)$ directement est peu commode. Le critère suivant remplace le calcul de deux bornes par une seule estimation.

Démonstration. Supposons (10.3) satisfaite. Pour la subdivision $σ$ correspondante, $s (f, σ) \leq I_{-} (f) \leq I_{+} (f) \leq S (f, σ)$ , donc $0 \leq I_{+} (f) - I_{-} (f) < ε$ . Ceci pour tout $ε > 0$ force $I_{+} (f) = I_{-} (f)$ .

Réciproquement, supposons $f$ intégrable, d'intégrale $I$ , et fixons $ε > 0$ . Par définition de la borne supérieure, il existe $σ_{1}$ avec $s (f, σ_{1}) > I - ε /2$ ; par définition de la borne inférieure, il existe $σ_{2}$ avec $S (f, σ_{2}) < I + ε /2$ . Pour $σ = σ_{1} \cup σ_{2}$ , le lemme 10.1 donne $I - ε /2 < s (f, σ_{1}) \leq s (f, σ) \leq S (f, σ) \leq S (f, σ_{2}) < I + ε /2$ , d'où $S (f, σ) - s (f, σ) < ε$ . $□$

Une fonction non intégrable

Sommes de Riemann

Les sommes de Darboux exigent de connaître les bornes de $f$ sur chaque sous-intervalle, ce qui est pénible en pratique. Riemann utilise des sommes plus souples: on évalue $f$ en un point quelconque de chaque sous-intervalle.

Comme $m_{k} \leq f (ξ_{k}) \leq M_{k}$ , toute somme de Riemann est coincée entre les sommes de Darboux: $s (f, σ) \leq R (f, σ, ξ) \leq S (f, σ)$ . Si $f$ est intégrable, l'intégrale est elle aussi dans cet intervalle, et lorsque $S - s$ tend vers $0$ les sommes de Riemann tendent vers l'intégrale. Le théorème suivant précise que cela se produit dès que le pas de la subdivision tend vers $0$ , sans qu'on ait à choisir astucieusement les points $ξ_{k}$ .

Nous admettons ce théorème sous cette forme générale: la démonstration, technique, consiste à montrer que $S (f, σ) - s (f, σ)$ devient petit dès que le pas est petit (et pas seulement pour une subdivision particulière). Pour une fonction continue, il découle directement de la preuve du théorème 10.4 ci-dessous, qui établit que $S (f, σ) - s (f, σ) \leq (b - a) ε$ pour toute subdivision de pas inférieur à $δ$ .

Explorateur des sommes de Riemann

Somme de Riemann de f(x) = x² sur [0, 2]: choisissez le nombre n de sous-intervalles et le point d'évaluation (gauche, milieu ou droite). L'intégrale exacte vaut 8/3.

Somme de Riemann

2.1875

Intégrale exacte 8/3

2.6667

Erreur

-0.4792

Pas h

0.250

Nombre de sous-intervalles n8

Point d'évaluationgauche

Exemple 10.2 · Calcul de deux intégrales par sommes de Riemann

On admet provisoirement que $x \mapsto x$ et $x \mapsto x^{2}$ sont intégrables sur $[0, 1]$ (ce sera démontré au théorème 10.4) et l'on applique (10.5) avec la subdivision régulière $x_{k} = k / n$ , $h = 1/ n$ et les sommes à droite $ξ_{k} = x_{k}$ .

Intégrale de $x$ . Avec $k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ,

R_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k}{n} = \frac{1}{n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n} n \to \infty \frac{1}{2},

d'où $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}$ : l'aire du triangle de sommets $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(1, 1)$ .

Intégrale de $x^{2}$ . On utilise la formule $k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ , qui se démontre par récurrence (chapitre 1). Alors

R_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k ^{2}}{n ^{2}} = \frac{1}{n ^{3}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}} = \frac{2 n ^{2} + 3 n + 1}{6 n ^{2}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{6 n ^{2}} .

Donc $\int_{0}^{1} x^{2} d x = n \to \infty lim R_{n} = \frac{1}{3}$ . C'est le résultat d'Archimède: l'aire sous la parabole vaut le tiers du carré qui la contient. Pour $n = 4$ , la somme à droite vaut $0, 46875$ et la somme à gauche $0, 21875$ : l'intégrale $1/3 \approx 0, 3333$ est bien entre les deux, et la moyenne des deux, $0, 34375$ , est déjà une bonne approximation.

Exercice

Calculez la somme de Riemann à gauche de $f (x) = x^{2}$ sur $[0, 1]$ pour la subdivision régulière à $n = 4$ pas.

Exercice

Soit $f$ bornée sur $[a, b]$ et $σ^{'}$ une subdivision plus fine que $σ$ . Laquelle de ces affirmations est toujours vraie?

Fonctions intégrables et propriétés de l'intégrale

Les fonctions continues et les fonctions monotones sont intégrables

Démonstration. Une fonction continue sur un segment est bornée (théorème de Weierstrass, chapitre 5), donc les sommes de Darboux ont un sens. Fixons $ε > 0$ . Par le théorème de Heine (chapitre 5), $f$ est uniformément continue sur $[a, b]$ : il existe $δ > 0$ tel que $∣ x - y ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - f (y)∣ < ε$ . Prenons une subdivision $σ$ de pas $∣ σ ∣ < δ$ . Sur chaque sous-intervalle $[x_{k - 1}, x_{k}]$ , la fonction continue $f$ atteint son minimum $m_{k}$ en un point $u_{k}$ et son maximum $M_{k}$ en un point $v_{k}$ (Weierstrass encore); comme $∣ u_{k} - v_{k} ∣ \leq x_{k} - x_{k - 1} < δ$ , on a $M_{k} - m_{k} = f (v_{k}) - f (u_{k}) < ε$ . Par conséquent

S (f, σ) - s (f, σ) = k = 1 \sum n (M_{k} - m_{k}) (x_{k} - x_{k - 1}) < ε k = 1 \sum n (x_{k} - x_{k - 1}) = ε (b - a) .

Comme $ε (b - a)$ est arbitrairement petit, le critère 10.2 est satisfait. $□$

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration «toute fonction continue sur $[a, b]$ est intégrable».

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Sur chaque sous-intervalle,

f

atteint son minimum

m_{k}

et son maximum

M_{k}

en deux points distants de moins de

δ

, donc

M_{k} - m_{k} < ε

Choisir une subdivision

σ

de pas strictement inférieur à

δ

Conclure par le critère d'intégrabilité de Darboux

Fixer

ε > 0

et invoquer le théorème de Heine:

f

est uniformément continue, ce qui fournit un

δ

Sommer:

S (f, σ) - s (f, σ) < ε (b - a)

Démonstration. Supposons $f$ croissante (le cas décroissant est analogue). Alors $f$ est bornée par $f (a)$ et $f (b)$ . Pour la subdivision régulière à $n$ pas, de pas $h = (b - a) / n$ , la croissance donne $m_{k} = f (x_{k - 1})$ et $M_{k} = f (x_{k})$ , de sorte que la somme est télescopique:

S (f, σ) - s (f, σ) = h k = 1 \sum n (f (x_{k}) - f (x_{k - 1})) = h (f (b) - f (a)) = \frac{( b - a ) ( f ( b ) - f ( a ) )}{n} .

Cette quantité tend vers $0$ : pour $ε > 0$ donné, il suffit de prendre $n$ assez grand pour satisfaire (10.3). $□$

Ce résultat est remarquable, car une fonction monotone peut avoir une infinité de discontinuités (une à chaque point d'une suite, par exemple). Plus généralement, on démontre qu'une fonction continue par morceaux — continue sur $[a, b]$ sauf en un nombre fini de points, où elle admet des limites à gauche et à droite finies — est intégrable: on découpe $[a, b]$ aux points de discontinuité et l'on applique le théorème 10.4 sur chaque morceau, les valeurs prises en un nombre fini de points n'influençant pas les sommes de Darboux lorsque le pas tend vers $0$ . Les signaux rectangulaires ou en dents de scie de l'électronique entrent dans cette catégorie.

Propriétés de l'intégrale

Démonstration (esquisse). Ces propriétés se lisent sur les sommes de Riemann, qui sont linéaires en $f$ et positives si $f \geq 0$ ; on passe à la limite grâce au théorème 10.3. L'intégrabilité de $f + g$ et de $∣ f ∣$ demande un peu plus de soin: on vérifie que sur chaque sous-intervalle, $sup (f + g) - in f (f + g) \leq (sup f - in f f) + (sup g - in f g)$ et $sup ∣ f ∣ - in f ∣ f ∣ \leq sup f - in f f$ , ce qui transmet le critère (10.3) de $f$ et $g$ à $f + g$ et $∣ f ∣$ . Le point 4 découle alors de la croissance appliquée à $- ∣ f ∣ \leq f \leq ∣ f ∣$ . Enfin, la relation de Chasles s'obtient en ajoutant $c$ aux subdivisions, ce qui ne peut qu'améliorer (10.3), puis en séparant les sommes en deux paquets. $□$

Figure 10.2. L'intégrale est une aire signée. Pour f(x) = sin x sur [0, 3π/2], la portion au-dessus de l'axe compte positivement (+2) et la portion en dessous négativement (−1): l'intégrale vaut 1, alors que l'aire géométrique totale vaut 3.

Inégalité et théorème de la moyenne

Démonstration. C'est la croissance appliquée à $m \leq f \leq M$ , sachant que l'intégrale de la constante $c$ vaut $c (b - a)$ (fonction en escalier à un seul palier). $□$

Cette définition prolonge la moyenne arithmétique: la valeur moyenne est la limite des moyennes $\frac{1}{n} \sum f (ξ_{k})$ des valeurs prises par $f$ en $n$ points régulièrement espacés, comme le montre (10.5) avec $h = (b - a) / n$ .

Démonstration. Par le théorème de Weierstrass, $f$ atteint son minimum $m$ et son maximum $M$ sur $[a, b]$ . D'après (10.6), la valeur moyenne $\overset{ˉ}{f}$ est comprise entre $m$ et $M$ . Le théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 5) fournit alors un $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = \overset{ˉ}{f}$ . $□$

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $x_{0} \in [a, b]$ avec $f (x_{0}) > 0$ . Par continuité, il existe $δ > 0$ tel que $f (x) > f (x_{0}) /2$ pour tout $x \in [a, b]$ avec $∣ x - x_{0} ∣ < δ$ ; cet ensemble contient un segment $[u, v]$ de longueur $ℓ > 0$ . Par la relation de Chasles et la positivité de $f$ sur les deux autres morceaux,

\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{u} f + \int_{u}^{v} f + \int_{v}^{b} f \geq 0 + \frac{f ( x _{0} )}{2} ℓ + 0 > 0,

ce qui contredit l'hypothèse. $□$

Exercice

Soit $f$ continue sur $[0, 4]$ avec $1 \leq f (x) \leq 3$ pour tout $x$ , et $\int_{0}^{4} f (x) d x = 6$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie?

Le théorème fondamental de l'analyse

Primitives

Démonstration. Toute fonction $F + C$ est dérivable de dérivée $f$ . Réciproquement, si $G$ est une autre primitive, $(G - F)^{'} = f - f = 0$ sur l'intervalle $I$ ; une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (corollaire du théorème des accroissements finis, chapitre 8), d'où $G = F + C$ . $□$

L'hypothèse «intervalle» est essentielle: sur $R^{*}$ , qui n'est pas un intervalle, la fonction valant $ln x$ pour $x > 0$ et $ln (- x) + 7$ pour $x < 0$ est une primitive de $1/ x$ qui ne diffère pas de $ln ∣ x ∣$ d'une constante globale.

On sait dériver beaucoup de fonctions; on sait donc «à l'envers» beaucoup de primitives. Mais rien, jusqu'ici, ne garantit qu'une fonction continue quelconque possède une primitive: c'est le théorème fondamental qui l'établit, en la construisant comme une intégrale.

Le théorème fondamental

Figure 10.3. La fonction aire F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt. Lorsque x augmente de h, l'aire augmente d'une bande étroite dont l'aire est proche de f(x)·h: le taux d'accroissement de F tend vers f(x).

Démonstration. Fixons $x \in [a, b]$ et soit $h \neq = 0$ tel que $x + h \in [a, b]$ . Par la relation de Chasles,

F (x + h) - F (x) = \int_{a}^{x + h} f (t) d t - \int_{a}^{x} f (t) d t = \int_{x}^{x + h} f (t) d t .

Comme $\int_{x}^{x + h} f (x) d t = f (x) h$ (intégrale d'une constante), on peut écrire

\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} - f (x) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} (f (t) - f (x)) d t .

Soit $ε > 0$ . Par continuité de $f$ en $x$ , il existe $δ > 0$ tel que $∣ f (t) - f (x)∣ < ε$ dès que $∣ t - x ∣ < δ$ . Pour $0 < ∣ h ∣ < δ$ , tout $t$ entre $x$ et $x + h$ vérifie cette condition, et l'inégalité de la moyenne (10.6), appliquée sur le segment d'extrémités $x$ et $x + h$ (de longueur $∣ h ∣$ ), donne

\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} - f (x) \leq \frac{1}{∣ h ∣} \cdot ε ∣ h ∣ = ε .

Ceci prouve que $h \to 0 lim \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} = f (x)$ , c'est-à-dire $F^{'} (x) = f (x)$ (dérivée à droite en $a$ , à gauche en $b$ ). $□$

Le théorème 10.11 est l'un des sommets de l'analyse: il affirme que l'intégration est l'opération inverse de la dérivation, et il garantit que toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives. Sa conséquence pratique est immédiate.

Démonstration. La fonction $F (x) = \int_{a}^{x} f$ est une primitive de $f$ (théorème 10.11); par la proposition 10.10, $G = F + C$ pour une constante $C$ . Alors $G (b) - G (a) = F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} f - 0$ . $□$

Primitives usuelles

Le tableau suivant, obtenu en lisant «à l'envers» celui des dérivées (chapitre 7), est à connaître. Chaque primitive est donnée à une constante près, sur tout intervalle où la fonction est continue.

Fonction $f (x)$	Primitive $F (x)$	Intervalle
$x^{n}$ ( $n \in N$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$R$
$x^{α}$ ( $α \in R ∖ {- 1}$ )	$\frac{x ^{α + 1}}{α + 1}$	$] 0, + \infty [$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$	$] 0, + \infty [$ ou $] - \infty, 0 [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$R$
$a^{x}$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ )	$\frac{a ^{x}}{ln a}$	$R$
$sin x$	$- cos x$	$R$
$cos x$	$sin x$	$R$
$\frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$	$tan x$	$] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$arctan x$	$R$
$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$arcsin x$	$] - 1, 1 [$
$sinh x$	$cosh x$	$R$
$cosh x$	$sinh x$	$R$
$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$ln (x + 1 + x^{2})$	$R$

Dérivée d'une intégrale à bornes variables

Combinons le théorème fondamental et la règle de dérivation des fonctions composées (chapitre 7). Soient $f$ continue sur un intervalle $I$ , et $u, v$ dérivables à valeurs dans $I$ . Si $F$ désigne une primitive de $f$ , la relation de Chasles donne

Φ (x) = \int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t = F (v (x)) - F (u (x)),

d'où, en dérivant,

Φ^{'} (x) = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x) . (10.9)

Exercice

Soit $Φ (x) = \int_{1}^{x^{3}} \frac{d t}{t}$ . Calculez $Φ^{'} (2)$ .

Premières techniques de calcul

Le chapitre 11 est consacré aux méthodes systématiques d'intégration (intégration par parties, changement de variable, fractions rationnelles). Voici dès maintenant les réflexes qui suffisent pour une grande partie des calculs.

Linéarité et primitives «à vue»

Par linéarité, une somme de fonctions du tableau s'intègre terme à terme. Ensuite, la règle de dérivation des fonctions composées, lue à l'envers, fournit trois formes qu'il faut savoir reconnaître au premier coup d'œil:

\int u^{'} (x) u (x)^{n} d x = \frac{u ( x ) ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1), \int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x = ln ∣ u (x)∣ + C, \int u^{'} (x) e^{u (x)} d x = e^{u (x)} + C . (10.10)

Dans chaque cas, le facteur $u^{'}$ doit être présent (à une constante multiplicative près, que l'on ajuste): $\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int 2 x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ , mais $\int e^{x^{2}} d x$ n'est pas de cette forme et n'a pas de primitive élémentaire.

Valeur efficace d'un signal sinusoïdal

Exemple 10.5 · Valeur efficace de la tension du réseau

La tension du réseau suisse est $v (t) = V_{m a x} sin (ω t)$ avec $ω = 2 π / T$ et $T = 20$ ms (fréquence 50 Hz). La puissance instantanée dissipée dans une résistance $R$ est $v (t)^{2} / R$ ; la puissance moyenne sur une période est donc $\overset{ˉ}{v^{2}} / R$ , où $\overset{ˉ}{v^{2}}$ est la valeur moyenne de $v^{2}$ . La valeur efficace (ou RMS, root mean square) est la tension continue qui dissiperait la même puissance:

V_{eff} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v (t)^{2} d t .

Pour calculer $\int_{0}^{T} sin^{2} (ω t) d t$ , on linéarise avec $sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}$ (chapitre 6), et l'on intègre terme à terme:

\int_{0}^{T} sin^{2} (ω t) d t = \int_{0}^{T} \frac{1}{2} d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{T} cos (2 ω t) d t = \frac{T}{2} - \frac{1}{2} [\frac{sin ( 2 ω t )}{2 ω}]_{0}^{T} = \frac{T}{2} - 0,

puisque $2 ω T = 4 π$ et $sin 4 π = 0$ . Donc $\overset{ˉ}{v^{2}} = V_{m a x}^{2} /2$ et

V_{eff} = \frac{V _{m a x}}{2} . (10.11)

Pour $V_{eff} = 230$ V, l'amplitude vaut $V_{m a x} = 2302 \approx 325$ V: c'est cette valeur crête, et non 230 V, que doivent supporter les isolants. Le facteur $1/ 2 \approx 0, 707$ est propre à la sinusoïde; le problème guidé en fin de chapitre le calcule pour un signal redressé.

Aire entre deux courbes

Si $f \leq g$ sur $[a, b]$ , l'aire de la région comprise entre les deux graphes vaut $\int_{a}^{b} (g (x) - f (x)) d x$ : c'est la différence des aires sous chaque courbe (ou, si les fonctions changent de signe, le résultat de la translation verticale qui les rend positives, laquelle ne change pas l'aire entre elles). Lorsque les courbes se croisent, on découpe l'intervalle aux points d'intersection.

Sommes de Riemann et limites de suites

La formule (10.5), lue de droite à gauche, transforme certaines limites de suites en intégrales. La forme à repérer est

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x, (10.12)

valable pour $f$ continue sur $[0, 1]$ (somme à droite de la subdivision régulière). Le facteur $1/ n$ joue le rôle de $d x$ et $k / n$ celui de $x$ .

Exercice

Que vaut $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{n}{n ^{2} + k ^{2}}$ ?

Approximation numérique d'une intégrale

Lorsqu'aucune primitive explicite n'est disponible — situation courante en ingénierie, où $f$ est parfois seulement connue par des mesures — on revient à l'idée des sommes de Riemann. Sur la subdivision régulière de pas $h = (b - a) / n$ , notons $x_{k} = a + k h$ et $y_{k} = f (x_{k})$ .

Méthode des rectangles. C'est la somme de Riemann à gauche, à droite ou au point milieu:

R_{g} = h k = 0 \sum n - 1 y_{k}, R_{d} = h k = 1 \sum n y_{k}, R_{m} = h k = 0 \sum n - 1 f (x_{k} + \frac{h}{2}) .

Pour $f$ monotone, $R_{g}$ et $R_{d}$ encadrent l'intégrale et leur erreur est de l'ordre de $h$ ; la méthode du point milieu est nettement meilleure (erreur en $h^{2}$ ), car les erreurs de part et d'autre du milieu se compensent partiellement.

Méthode des trapèzes. On remplace $f$ sur chaque sous-intervalle par la corde joignant $(x_{k - 1}, y_{k - 1})$ à $(x_{k}, y_{k})$ ; l'aire du trapèze vaut $h (y_{k - 1} + y_{k}) /2$ , d'où

T_{n} = h (\frac{y _{0}}{2} + y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n - 1} + \frac{y _{n}}{2}) = \frac{R _{g} + R _{d}}{2} . (10.13)

Nous admettons ce résultat, dont la preuve repose sur la formule de Taylor avec reste (chapitre 9) appliquée sur chaque sous-intervalle. Sa leçon pratique: diviser le pas par $2$ divise l'erreur par $4$ . Pour une fonction convexe, la corde est au-dessus du graphe et $T_{n}$ surestime l'intégrale; pour une fonction concave, $T_{n}$ la sous-estime.

Méthode de Simpson. On remplace $f$ sur chaque paire de sous-intervalles $[x_{2 j}, x_{2 j + 2}]$ par la parabole passant par les trois points correspondants ( $n$ doit être pair). On obtient

S_{n} = \frac{h}{3} (y_{0} + 4 y_{1} + 2 y_{2} + 4 y_{3} + \dots + 2 y_{n - 2} + 4 y_{n - 1} + y_{n}), (10.14)

avec une erreur majorée par $\frac{( b - a ) M _{4}}{180} h^{4}$ ( $M_{4}$ majorant de $∣ f^{(4)} ∣$ ): diviser le pas par $2$ divise l'erreur par $16$ . C'est la méthode par défaut de la plupart des calculatrices.

Exemple 10.8 · Approximation de l'intégrale de Gauss sur [0, 1]

Approchons $I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ , dont la valeur de référence est $I \approx 0, 746824$ , avec $n = 4$ sous-intervalles, $h = 0, 25$ . Les valeurs de $f (x) = e^{- x^{2}}$ aux nœuds sont

$x_{k}$	0	0,25	0,5	0,75	1
$y_{k}$	1	0,939413	0,778801	0,569783	0,367879

et aux milieux $0, 125$ ; $0, 375$ ; $0, 625$ ; $0, 875$ : $0, 984496$ ; $0, 868815$ ; $0, 676634$ ; $0, 465043$ .

Méthode	Valeur	Erreur
Rectangles à gauche	$0, 25 (1 + 0, 939413 + 0, 778801 + 0, 569783) = 0, 822000$	$+ 0, 075176$
Rectangles à droite	$0, 25 (0, 939413 + 0, 778801 + 0, 569783 + 0, 367879) = 0, 663969$	$- 0, 082855$
Point milieu	$0, 25 (0, 984496 + 0, 868815 + 0, 676634 + 0, 465043) = 0, 748747$	$+ 0, 001923$
Trapèzes	$0, 25 (0, 5 + 0, 939413 + 0, 778801 + 0, 569783 + 0, 183940) = 0, 742984$	$- 0, 003840$
Simpson	$\frac{0 , 25}{3} (1 + 4 \cdot 0, 939413 + 2 \cdot 0, 778801 + 4 \cdot 0, 569783 + 0, 367879) = 0, 746855$	$+ 0, 000031$

Avec seulement cinq évaluations de $f$ , Simpson donne cinq décimales exactes, alors que les rectangles à gauche ou à droite n'en donnent aucune. La borne du théorème 10.13, avec $M_{2} = 2$ (maximum de $∣ f^{''} ∣ = ∣(4 x^{2} - 2) e^{- x^{2}} ∣$ sur $[0, 1]$ , atteint en $0$ ), vaut $\frac{2}{12} \cdot 0, 0625 \approx 0, 0104$ : l'erreur réelle des trapèzes, $0, 0038$ , la respecte. On remarque aussi que l'erreur du point milieu est environ la moitié de celle des trapèzes et de signe opposé: la combinaison $(2 R_{m} + T_{n}) /3$ est exactement la méthode de Simpson.

Exercice

On approche $\int_{0}^{2} x^{2} d x = 8/3$ par la méthode des trapèzes avec $n = 2$ ( $h = 1$ ). Quelle valeur obtient-on, et pourquoi est-elle du côté attendu?

Synthèse

L'intégrale de Riemann d'une fonction bornée est la valeur commune de $sup_{σ} s (f, σ)$ et $in f_{σ} S (f, σ)$ ; $f$ est intégrable si et seulement si $S (f, σ) - s (f, σ)$ peut être rendu plus petit que tout $ε$ .
Les fonctions continues (via la continuité uniforme), monotones et continues par morceaux sont intégrables; la fonction de Dirichlet ne l'est pas.
L'intégrale est linéaire, additive (Chasles), croissante, et vérifie $∣ \int f ∣ \leq \int ∣ f ∣$ et l'inégalité de la moyenne; pour $f$ continue, la valeur moyenne est atteinte.
Théorème fondamental: si $f$ est continue, $F (x) = \int_{a}^{x} f$ est dérivable et $F^{'} = f$ ; toute fonction continue possède des primitives, uniques à une constante près sur un intervalle.
Formule de Newton–Leibniz: $\int_{a}^{b} f = G (b) - G (a)$ pour toute primitive $G$ de $f$ ; les sommes de Riemann permettent en retour de calculer des limites de suites.
Sans primitive explicite, on approche l'intégrale par les rectangles (erreur en $h$ ), les trapèzes ou le point milieu (erreur en $h^{2}$ ) ou Simpson (erreur en $h^{4}$ ).

Série d'exercices du chapitre 10

Exercice 1 sur 5

Exercice

Laquelle de ces fonctions n'est pas intégrable au sens de Riemann sur $[0, 1]$ ?

Problème guidé

Valeur moyenne et valeur efficace d'un signal redressé

Un redresseur simple alternance ne laisse passer que la demi-période positive d'une tension sinusoïdale: sur une période $T = 20$ ms, $v (t) = V_{m a x} sin (ω t)$ pour $0 \leq t \leq T /2$ et $v (t) = 0$ pour $T /2 < t \leq T$ , avec $ω = 2 π / T$ et $V_{m a x} = 10$ V. On cherche la valeur moyenne et la valeur efficace de $v$ sur une période.

1
Intégrale sur la demi-période
Le signal est nul sur la seconde moitié de la période: par la relation de Chasles, seule la première moitié compte. Une primitive de $sin (ω t)$ est $- cos (ω t) / ω$ .
Exercice
Calculez $\int_{0}^{T} v (t) d t$ en V·s (utilisez $T = 0, 02$ s).
V·s
Valeur moyenne
Valeur efficace
Interprétation

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 10.1 · Intégrale de x³ par sommes de Riemann

On admet $k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}$ .

Justifier que $f (x) = x^{3}$ est intégrable sur $[0, 1]$ et écrire la somme de Riemann à droite $R_{n}$ associée à la subdivision régulière à $n$ pas.
Calculer $lim_{n \to \infty} R_{n}$ et en déduire $\int_{0}^{1} x^{3} d x$ .
Pour cette fonction, la somme à gauche est la somme de Darboux inférieure et la somme à droite la somme supérieure. Calculer $S (f, σ_{n}) - s (f, σ_{n})$ et déterminer le plus petit $n$ tel que cet écart soit inférieur à $1 0^{- 2}$ .

Solution

1. La fonction $f (x) = x^{3}$ est continue (et croissante) sur $[0, 1]$ : elle est intégrable par le théorème 10.4 (ou 10.5). Pour la subdivision régulière $x_{k} = k / n$ , de pas $h = 1/ n$ , la somme à droite est

R_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{3} = \frac{1}{n ^{4}} k = 1 \sum n k^{3} = \frac{1}{n ^{4}} \cdot \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4} = \frac{( n + 1 ) ^{2}}{4 n ^{2}} .

2. $R_{n} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n})^{2} \to \frac{1}{4}$ lorsque $n \to \infty$ . Par le théorème 10.3, $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4}$ , ce que confirme la formule de Newton–Leibniz: $[x^{4} /4]_{0}^{1} = 1/4$ .

3. Comme $f$ est croissante, $m_{k} = f (x_{k - 1})$ et $M_{k} = f (x_{k})$ , et la différence des sommes de Darboux est télescopique:

S (f, σ_{n}) - s (f, σ_{n}) = h k = 1 \sum n (f (x_{k}) - f (x_{k - 1})) = \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n} = \frac{1}{n} .

On veut $1/ n < 1 0^{- 2}$ , soit $n > 100$ : le plus petit entier convenable est $n = 101$ . Cet écart est exactement l'aire du «rectangle-somme» de largeur $h$ et de hauteur $f (1) - f (0) = 1$ obtenu en empilant les bandes de la figure 10.1.

Exercice 10.2 · Calculs de primitives et d'intégrales

Calculer les intégrales suivantes.

$\int_{0}^{1} (3 x^{2} - 2 x + 4) d x$
$\int_{1}^{2} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x} d x$
$\int_{0}^{π} sin^{2} x d x$
$\int_{0}^{2} ∣ x^{2} - 1 ∣ d x$
$\int_{0}^{4} x d x$ , puis vérifier que la valeur moyenne de $x$ sur $[0, 4]$ est atteinte en un point $c$ que l'on déterminera.

Solution

1. Par linéarité et le tableau des primitives,

\int_{0}^{1} (3 x^{2} - 2 x + 4) d x = [x^{3} - x^{2} + 4 x]_{0}^{1} = 1 - 1 + 4 = 4.

2. Le numérateur $2 x + 1$ est la dérivée du dénominateur $u (x) = x^{2} + x$ , strictement positif sur $[1, 2]$ : forme $u^{'} / u$ de (10.10).

\int_{1}^{2} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x} d x = [ln (x^{2} + x)]_{1}^{2} = ln 6 - ln 2 = ln 3 \approx 1, 0986.

3. On linéarise $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ :

\int_{0}^{π} sin^{2} x d x = [\frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4}]_{0}^{π} = \frac{π}{2} - 0 = \frac{π}{2} .

On remarque que $\int_{0}^{π} sin^{2} = \int_{0}^{π} cos^{2} = π /2$ puisque leur somme vaut $\int_{0}^{π} 1 = π$ et que les deux intégrales sont égales par symétrie du graphe autour de $x = π /2$ .

4. Le signe de $x^{2} - 1$ change en $x = 1$ : on découpe par la relation de Chasles.

\int_{0}^{2} ∣ x^{2} - 1 ∣ d x = \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x = [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} + [\frac{x ^{3}}{3} - x]_{1}^{2} = \frac{2}{3} + (\frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 1) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2.

À titre de comparaison, $\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) d x = 8/3 - 2 = 2/3$ : l'aire algébrique est bien plus petite que l'aire géométrique.

5. Avec $x = x^{1/2}$ et la primitive $\frac{x ^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}$ ,

\int_{0}^{4} x d x = [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} .

La valeur moyenne sur $[0, 4]$ vaut $\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{3} = \frac{4}{3}$ . Elle est atteinte en $c$ tel que $c = 4/3$ , soit $c = \frac{16}{9} \approx 1, 778 \in [0, 4]$ , conformément au théorème de la moyenne.

Exercice 10.3 · Étude d'une fonction définie par une intégrale

Soit $H (x) = \int_{x}^{2 x} e^{- t^{2}} d t$ pour $x \in R$ .

Justifier que $H$ est définie et dérivable sur $R$ , et calculer $H^{'} (x)$ .
Montrer que $H$ est impaire.
Déterminer les variations de $H$ sur $[0, + \infty [$ et la valeur de $x$ où $H$ atteint son maximum.
À l'aide de l'inégalité de la moyenne, montrer que $0 \leq H (x) \leq x e^{- x^{2}}$ pour $x \geq 0$ et en déduire $lim_{x \to + \infty} H (x)$ .

Solution

1. La fonction $f (t) = e^{- t^{2}}$ est continue sur $R$ ; le théorème fondamental lui associe la primitive $G (x) = \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t$ , dérivable sur $R$ avec $G^{'} = f$ . Par la relation de Chasles, $H (x) = G (2 x) - G (x)$ , donc $H$ est définie et dérivable sur $R$ , et par la règle de dérivation des composées (formule 10.9),

H^{'} (x) = 2 G^{'} (2 x) - G^{'} (x) = 2 e^{- 4 x^{2}} - e^{- x^{2}} .

2. Montrons d'abord que $G$ est impaire. Posons $K (x) = G (x) + G (- x)$ . Alors $K^{'} (x) = G^{'} (x) - G^{'} (- x) = e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}} = 0$ sur l'intervalle $R$ , donc $K$ est constante, égale à $K (0) = 2 G (0) = 0$ . Ainsi $G (- x) = - G (x)$ , et

H (- x) = G (- 2 x) - G (- x) = - G (2 x) + G (x) = - H (x) :

$H$ est impaire. (Le changement de variable $t \mapsto - t$ , vu au chapitre 11, donne le même résultat plus rapidement.)

3. On factorise $H^{'} (x) = e^{- x^{2}} (2 e^{- 3 x^{2}} - 1)$ . Comme $e^{- x^{2}} > 0$ , le signe de $H^{'}$ est celui de $2 e^{- 3 x^{2}} - 1$ , qui s'annule pour $e^{- 3 x^{2}} = \frac{1}{2}$ , c'est-à-dire $3 x^{2} = ln 2$ , soit

x^{*} = \frac{ln 2}{3} \approx 0, 4807.

Pour $0 \leq x < x^{*}$ , $3 x^{2} < ln 2$ donc $e^{- 3 x^{2}} > 1/2$ et $H^{'} > 0$ ; pour $x > x^{*}$ , $H^{'} < 0$ . Ainsi $H$ est croissante sur $[0, x^{*}]$ , décroissante sur $[x^{*}, + \infty [$ , et atteint son maximum en $x^{*}$ . Par imparité, $H$ admet un minimum en $- x^{*}$ . (Numériquement, par la méthode de Simpson, $H (x^{*}) \approx 0, 286$ .)

4. Pour $x \geq 0$ et $t \in [x, 2 x]$ , la fonction $t \mapsto e^{- t^{2}}$ est décroissante sur $[0, + \infty [$ , donc $0 < e^{- t^{2}} \leq e^{- x^{2}}$ . L'inégalité de la moyenne (10.6) sur le segment $[x, 2 x]$ , de longueur $x$ , donne

0 \leq H (x) \leq x e^{- x^{2}} .

Or $x e^{- x^{2}} \to 0$ lorsque $x \to + \infty$ (croissance comparée, chapitre 6). Par encadrement, $lim_{x \to + \infty} H (x) = 0$ . On vérifie que la borne est cohérente au maximum: $x^{*} e^{- (x^{*})^{2}} \approx 0, 382 \geq 0, 286$ .

Exercice 10.4 · Limites de suites et approximation de π

Calculer $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{k}{n ^{2} + k ^{2}}$ .
Calculer $n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n cos (\frac{k π}{2 n})$ .
On rappelle que $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{4}$ . Calculer l'approximation de cette intégrale par la méthode des trapèzes puis par la méthode de Simpson avec $n = 4$ , et en déduire deux valeurs approchées de $π$ . Comparer à $π = 3, 14159 \dots$

Solution

1. On met $n^{2}$ en facteur au dénominateur:

k = 1 \sum n \frac{k}{n ^{2} + k ^{2}} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k / n}{1 + ( k / n ) ^{2}},

somme de Riemann à droite de $f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ , continue sur $[0, 1]$ . La forme $u^{'} / u$ avec $u = 1 + x^{2}$ (à un facteur $2$ près) donne

n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{k}{n ^{2} + k ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = [\frac{1}{2} ln (1 + x^{2})]_{0}^{1} = \frac{ln 2}{2} \approx 0, 3466.

2. C'est la somme de Riemann de $f (x) = cos (\frac{π x}{2})$ sur $[0, 1]$ . Une primitive est $\frac{2}{π} sin (\frac{π x}{2})$ , d'où

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n cos (\frac{k π}{2 n}) = \int_{0}^{1} cos (\frac{π x}{2}) d x = \frac{2}{π} [sin (\frac{π x}{2})]_{0}^{1} = \frac{2}{π} \approx 0, 6366.

3. Avec $h = 0, 25$ et $f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , les valeurs aux nœuds sont

$x_{k}$	0	0,25	0,5	0,75	1
$y_{k}$	1	0,941176	0,8	0,64	0,5

Trapèzes (10.13): $T_{4} = 0, 25 (0, 5 + 0, 941176 + 0, 8 + 0, 64 + 0, 25) = 0, 782794$ , d'où $π \approx 4 T_{4} = 3, 13118$ (erreur $- 0, 0104$ ). La fonction est concave sur $[0, 1/ 3]$ puis convexe: la sous-estimation globale vient surtout de la partie concave près de $0$ .

Simpson (10.14): $S_{4} = \frac{0 , 25}{3} (1 + 4 \cdot 0, 941176 + 2 \cdot 0, 8 + 4 \cdot 0, 64 + 0, 5) = 0, 785392$ , d'où $π \approx 4 S_{4} = 3, 14157$ (erreur $- 2, 4 \cdot 1 0^{- 5}$ ).

Avec seulement cinq évaluations, Simpson fournit quatre décimales exactes de $π$ là où les trapèzes n'en donnent qu'une: la différence entre une erreur en $h^{2}$ et une erreur en $h^{4}$ est spectaculaire.

Exercice 10.5 · Inégalité de Cauchy–Schwarz pour les intégrales

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ .

Pour $λ \in R$ , justifier que $P (λ) = \int_{a}^{b} (f (x) + λ g (x))^{2} d x \geq 0$ et développer $P (λ)$ comme un polynôme du second degré en $λ$ .
En déduire l'inégalité de Cauchy–Schwarz:

(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)^{2} \leq \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x \cdot \int_{a}^{b} g (x)^{2} d x .

Montrer qu'il y a égalité si et seulement si $f$ et $g$ sont proportionnelles (l'une est un multiple constant de l'autre). On utilisera le théorème 10.9.
Application: montrer que pour $f$ continue sur $[a, b]$ , $(\int_{a}^{b} f)^{2} \leq (b - a) \int_{a}^{b} f^{2}$ , et interpréter cette inégalité en termes de valeur moyenne et de valeur efficace.

Solution

1. La fonction $(f + λ g)^{2}$ est continue et positive sur $[a, b]$ ; par positivité de l'intégrale (théorème 10.6), $P (λ) \geq 0$ . En développant le carré et en utilisant la linéarité,

P (λ) = \int_{a}^{b} f^{2} + 2 λ \int_{a}^{b} f g + λ^{2} \int_{a}^{b} g^{2} = A + 2 B λ + C λ^{2},

avec $A = \int_{a}^{b} f^{2}$ , $B = \int_{a}^{b} f g$ et $C = \int_{a}^{b} g^{2}$ .

2. Si $C = 0$ , alors $g^{2}$ est continue, positive, d'intégrale nulle: par le théorème 10.9, $g = 0$ , donc $B = 0$ et l'inégalité $B^{2} \leq A C$ se réduit à $0 \leq 0$ . Si $C > 0$ , $P$ est un polynôme du second degré en $λ$ à coefficient dominant strictement positif, qui reste positif ou nul pour tout $λ$ réel: il n'a pas deux racines réelles distinctes, donc son discriminant est négatif ou nul:

Δ = 4 B^{2} - 4 A C \leq 0 ⟺ B^{2} \leq A C,

c'est-à-dire

(\int_{a}^{b} f g)^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2} \cdot \int_{a}^{b} g^{2} .

3. Supposons $g \neq = 0$ (sinon $f$ et $g$ sont trivialement proportionnelles et l'égalité est acquise), donc $C > 0$ . Il y a égalité $B^{2} = A C$ si et seulement si $Δ = 0$ , c'est-à-dire si et seulement si $P$ possède une racine (double) $λ_{0} = - B / C$ . Or $P (λ_{0}) = 0$ signifie $\int_{a}^{b} (f + λ_{0} g)^{2} = 0$ ; la fonction $(f + λ_{0} g)^{2}$ étant continue et positive, le théorème 10.9 donne $f + λ_{0} g = 0$ , soit $f = - λ_{0} g$ : $f$ est un multiple de $g$ . Réciproquement, si $f = μg$ , alors $B = μ C$ et $A = μ^{2} C$ , d'où $B^{2} = μ^{2} C^{2} = A C$ .

4. On applique l'inégalité avec $g = 1$ (fonction constante), pour laquelle $\int_{a}^{b} g^{2} = b - a$ :

(\int_{a}^{b} f)^{2} \leq (b - a) \int_{a}^{b} f^{2} .

En divisant par $(b - a)^{2}$ , on obtient $\overset{ˉ}{f}^{2} \leq \overline{f^{2}}$ , c'est-à-dire $∣ \overset{ˉ}{f} ∣ \leq \overline{f^{2}} = f_{eff}$ : la valeur absolue de la valeur moyenne d'un signal ne dépasse jamais sa valeur efficace, avec égalité si et seulement si le signal est constant (proportionnel à $g = 1$ ). Pour le signal redressé du problème guidé, $\overset{v}{ˉ} = V_{m a x} / π \approx 3, 18$ V et $V_{eff} = V_{m a x} /2 = 5$ V; pour la sinusoïde complète, $\overset{v}{ˉ} = 0$ et $V_{eff} = V_{m a x} / 2$ .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
Spivak, M., Calculus, 4e éd., Publish or Perish, Houston, chap. 13–14.
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3e éd., McGraw-Hill, New York, chap. 6.
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Apostol, T. M., Calculus, vol. 1, 2e éd., Wiley, New York.

Objectifs du chapitre

Pourquoi intégrer?

Construction de l'intégrale

Subdivisions et fonctions en escalier

Sommes de Darboux

Le critère d'intégrabilité

Une fonction non intégrable

Sommes de Riemann

Explorateur des sommes de Riemann

Fonctions intégrables et propriétés de l'intégrale

Les fonctions continues et les fonctions monotones sont intégrables

Propriétés de l'intégrale

Inégalité et théorème de la moyenne

Le théorème fondamental de l'analyse

Primitives

Le théorème fondamental

Primitives usuelles

Dérivée d'une intégrale à bornes variables

Premières techniques de calcul

Linéarité et primitives «à vue»

Valeur efficace d'un signal sinusoïdal

Aire entre deux courbes

Sommes de Riemann et limites de suites

Approximation numérique d'une intégrale

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 10

Valeur moyenne et valeur efficace d'un signal redressé

Intégrale sur la demi-période

Valeur moyenne

Valeur efficace

Interprétation

Exercices

Références