Nombres complexes · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

calculer dans $C$ en forme algébrique: somme, produit, quotient, conjugué, module, et interpréter ces opérations dans le plan d'Argand;
passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle d'un nombre complexe, et inversement;
utiliser la formule d'Euler et la formule de Moivre pour linéariser une puissance de $cos θ$ ou exprimer $cos (n θ)$ en fonction de $cos θ$ ;
déterminer les racines $n$ -ièmes d'un nombre complexe et résoudre une équation du second degré à coefficients complexes;
factoriser un polynôme à coefficients réels dans $C$ puis dans $R$ en exploitant les racines conjuguées;
représenter un signal sinusoïdal par un phaseur et calculer l'impédance d'un circuit RLC.

Pourquoi inventer de nouveaux nombres?

Le chapitre 1 a construit $R$ comme un corps ordonné complet: on y trouve $2$ , $π$ et toutes les limites de suites de Cauchy. Pourtant l'équation la plus simple qui soit, après $x + 1 = 0$ et $2 x = 1$ , reste sans solution:

x^{2} + 1 = 0.

Un carré réel est toujours positif ou nul, donc $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ pour tout $x \in R$ . Le même blocage s'était produit deux fois dans l'histoire: $x + 1 = 0$ n'a pas de solution dans $N$ (on a inventé les entiers négatifs), $2 x = 1$ n'en a pas dans $Z$ (on a inventé les fractions), $x^{2} = 2$ n'en a pas dans $Q$ (on a inventé les réels). La démarche est toujours la même: on adjoint une solution formelle et l'on vérifie que les règles de calcul restent cohérentes.

L'histoire des nombres complexes est cependant plus tortueuse. Vers 1545, Jérôme Cardan (Girolamo Cardano) publie dans son Ars Magna une formule de résolution de l'équation du troisième degré $x^{3} = p x + q$ . Or cette formule fait parfois apparaître la racine carrée d'un nombre négatif, même lorsque les trois solutions sont réelles! C'est le cas dit «irréductible». Raphaël Bombelli, en 1572, ose calculer avec ces «quantités sophistiquées» selon des règles fixes ( $- 1 \cdot - 1 = - 1$ ) et retrouve, par exemple, la solution $x = 4$ de $x^{3} = 15 x + 4$ . Pendant deux siècles, ces nombres «imaginaires» restent des intermédiaires de calcul suspects. Leonhard Euler, Bâlois de naissance, introduit en 1777 la notation $i$ pour $- 1$ et découvre la formule $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ qui relie l'exponentielle aux fonctions trigonométriques. Enfin, Caspar Wessel (1797), Jean-Robert Argand (1806) puis Carl Friedrich Gauss (1831) donnent aux nombres complexes une représentation géométrique dans le plan, ce qui lève définitivement les réticences: un nombre complexe est un point du plan, ni plus ni moins mystérieux qu'un vecteur.

Pour l'ingénieur, les nombres complexes sont avant tout un outil de calcul d'une efficacité redoutable. En électrotechnique, un courant alternatif $i (t) = I_{0} cos (ω t + φ)$ est représenté par un phaseur $I_{0} e^{i φ}$ ; les lois de Kirchhoff, qui donnent des équations différentielles, se transforment en équations algébriques sur les impédances. En traitement du signal, la transformée de Fourier décompose n'importe quel signal en exponentielles complexes $e^{i ω t}$ . En mécanique des structures, l'analyse modale d'une passerelle ou d'une pale d'éolienne conduit à des valeurs propres complexes dont la partie imaginaire est une fréquence de vibration et la partie réelle un amortissement. Enfin, au chapitre 12, la résolution des équations différentielles linéaires passera par des racines complexes d'un polynôme caractéristique.

Forme algébrique

Le corps des nombres complexes

Les nombres réels sont les complexes de partie imaginaire nulle: $R \subset C$ . Les complexes de partie réelle nulle, $z = i b$ , sont dits imaginaires purs. L'addition et la multiplication sont définies en développant «comme d'habitude» et en remplaçant $i^{2}$ par $- 1$ :

(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d), (a + i b) (c + i d) = (a c - b d) + i (a d + b c) . (2.2)

On vérifie sans difficulté (mais avec un peu de patience) que ces deux opérations sont associatives, commutatives, que la multiplication est distributive sur l'addition, que $0$ et $1$ sont les éléments neutres et que tout complexe non nul possède un inverse (nous le calculerons explicitement plus bas). Autrement dit, $C$ est un corps, exactement comme $Q$ et $R$ , et toutes les identités algébriques valables dans $R$ (binôme de Newton, identités remarquables, somme géométrique) restent vraies dans $C$ .

Exercice

Que vaut $(1 + i)^{2}$ ?

Conjugué

Démonstration. Les points 2, 3 et 4 sont des calculs immédiats à partir de $z = a + i b$ . Pour le produit dans le point 1, avec $w = c + i d$ : $\overline{z w} = (a c - b d) - i (a d + b c)$ et $\overset{z}{ˉ} \overset{w}{ˉ} = (a - i b) (c - i d) = (a c - b d) - i (a d + b c)$ . Le quotient se déduit du produit en écrivant $z = (z / w) w$ . $□$

Le point 3 est la clé du calcul de l'inverse. Si $z = a + i b \neq = 0$ , alors $z \cdot \frac{z ˉ}{a ^{2} + b ^{2}} = 1$ , donc

\frac{1}{z} = \frac{z ˉ}{z z ˉ} = \frac{a - i b}{a ^{2} + b ^{2}} . (2.3)

C'est exactement ce que nous avons fait dans l'exemple 2.1: pour diviser par $w$ , on multiplie numérateur et dénominateur par $\overset{w}{ˉ}$ , ce qui rend le dénominateur réel.

Module

Figure 2.1. Le plan d'Argand (ou plan complexe). Le nombre z = a + ib est repéré par ses coordonnées cartésiennes (a, b) ou par sa distance à l'origine |z| et l'angle θ que fait le vecteur Oz avec l'axe réel. Son conjugué est son symétrique par rapport à l'axe réel.

Démonstration. Le point 1 découle de la définition. Pour le point 2, on utilise la proposition 2.1: $∣ z w ∣^{2} = z w \overline{z w} = z \overset{z}{ˉ} w \overset{w}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} ∣ w ∣^{2}$ , puis on prend la racine carrée. Le point 3 vient de $a^{2} \leq a^{2} + b^{2}$ . Pour l'inégalité triangulaire, on développe le carré du module grâce à $∣ u ∣^{2} = u \overset{u}{ˉ}$ :

∣ z + w ∣^{2} = (z + w) (\overset{z}{ˉ} + \overset{w}{ˉ}) = z \overset{z}{ˉ} + z \overset{w}{ˉ} + \overset{z}{ˉ} w + w \overset{w}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} + 2 Re (z \overset{w}{ˉ}) + ∣ w ∣^{2},

car $\overset{z}{ˉ} w = \overline{z \overset{w}{ˉ}}$ et $u + \overset{u}{ˉ} = 2 Re u$ . Par le point 3 puis le point 2, $Re (z \overset{w}{ˉ}) \leq ∣ z \overset{w}{ˉ} ∣ = ∣ z ∣ ∣ w ∣$ , d'où

∣ z + w ∣^{2} \leq ∣ z ∣^{2} + 2 ∣ z ∣ ∣ w ∣ + ∣ w ∣^{2} = (∣ z ∣ + ∣ w ∣)^{2},

et il suffit de prendre la racine carrée, les deux membres étant positifs. La seconde inégalité s'obtient en appliquant la première à $z = (z - w) + w$ puis à $w = (w - z) + z$ . $□$

Cette démonstration est un modèle du genre: dès qu'un module apparaît au carré, on le remplace par $z \overset{z}{ˉ}$ et l'on calcule. Vous l'utiliserez à nouveau dans l'exercice 2.5.

Exercice

Calculez le module de $z = \frac{3 + 4 i}{1 - 2 i}$ .

Forme trigonométrique et exponentielle

Argument

Un point du plan peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes $(a, b)$ ou par ses coordonnées polaires $(r, θ)$ : $a = r cos θ$ , $b = r sin θ$ . Pour un nombre complexe non nul, $r = ∣ z ∣$ et l'angle $θ$ s'appelle l'argument.

Pour trouver l'argument à partir de la forme algébrique, on calcule d'abord le module, puis on cherche $θ$ tel que $cos θ = a / r$ et $sin θ = b / r$ . La formule $θ = arctan (b / a)$ ne donne la bonne réponse que si $a > 0$ : dans le demi-plan de gauche il faut ajouter ou retrancher $π$ , et un dessin rapide évite toute erreur de quadrant.

La formule d'Euler

Pourquoi appeler cela une exponentielle?

À ce stade, (2.6) est une définition; qu'a-t-elle à voir avec la fonction $e^{x}$ du chapitre 6? Trois indices. D'abord, la propriété fondamentale $e^{i (θ + φ)} = e^{i θ} e^{i φ}$ , démontrée ci-dessous, est celle d'une exponentielle. Ensuite, si l'on dérive (2.6) par rapport à $θ$ en traitant $i$ comme une constante, on obtient $- sin θ + i cos θ = i (cos θ + i sin θ)$ , c'est-à-dire $(e^{i θ})^{'} = i e^{i θ}$ , comme on l'attend d'une exponentielle de «taux» $i$ . Enfin, au chapitre 9, vous verrez que $e^{x}$ , $cos x$ et $sin x$ sont sommes de leurs séries de Taylor; en remplaçant formellement $x$ par $i θ$ dans la série de $e^{x}$ et en séparant termes pairs et impairs, on retrouve exactement $cos θ + i sin θ$ . Le cas $θ = π$ donne l'identité $e^{i π} + 1 = 0$ , qui relie les cinq constantes fondamentales des mathématiques.

Deux conséquences immédiates de (2.6) sont les formules d'Euler qui expriment les fonctions trigonométriques à l'aide de l'exponentielle:

cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}, sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i} . (2.7)

Elles s'obtiennent en additionnant ou soustrayant $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ et $e^{- i θ} = cos θ - i sin θ$ . Notons aussi que $∣ e^{i θ} ∣ = cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ : les nombres $e^{i θ}$ parcourent le cercle unité, et $\overline{e^{i θ}} = e^{- i θ}$ .

Démonstration. Tout repose sur les formules d'addition de la trigonométrie:

e^{i θ} e^{i φ} = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ - sin θ sin φ) + i (sin θ cos φ + cos θ sin φ) = cos (θ + φ) + i sin (θ + φ) = e^{i (θ + φ)} .

En multipliant par $r s$ on obtient la formule du produit. Pour l'inverse, $e^{i θ} e^{- i θ} = e^{0} = 1$ montre que $1/ e^{i θ} = e^{- i θ}$ , et le quotient est le produit $z \cdot (1/ w)$ . $□$

Figure 2.2. Interprétation géométrique du produit. Multiplier par w = s·e^{iφ} revient à appliquer une similitude de centre O: une rotation d'angle φ suivie d'une homothétie de rapport s. En particulier, multiplier par i est une rotation d'un quart de tour.

La forme exponentielle transforme donc les multiplications en additions d'angles, tandis que la forme algébrique est commode pour les additions. Un bon réflexe: additionner en forme algébrique, multiplier et élever à une puissance en forme exponentielle.

Exercice

Quel est l'argument principal de $z = (- 1 + i) e^{i π /4}$ ?

La formule de Moivre

Démonstration. Par récurrence sur $n \in N$ . Pour $n = 0$ , les deux membres valent $1$ . Supposons la formule vraie au rang $n$ ; alors, d'après le théorème 2.3,

(cos θ + i sin θ)^{n + 1} = (cos (n θ) + i sin (n θ)) (cos θ + i sin θ) = cos ((n + 1) θ) + i sin ((n + 1) θ),

ce qui est la formule au rang $n + 1$ . Pour $n < 0$ , on écrit $n = - m$ avec $m \in N^{*}$ et l'on utilise $1/ e^{i m θ} = e^{- i m θ}$ . $□$

L'explorateur ci-dessous montre les puissances successives $z, z^{2}, \dots, z^{n}$ : elles s'enroulent en spirale, tournant chaque fois de l'angle $θ$ et se rapprochant de l'origine si $∣ z ∣ < 1$ , s'en éloignant si $∣ z ∣ > 1$ . C'est le comportement de la suite géométrique $(z^{n})$ que nous étudierons au chapitre 3: elle converge vers $0$ si et seulement si $∣ z ∣ < 1$ .

Explorateur des puissances d'un nombre complexe

Choisissez le module r et l'argument θ de z, puis l'exposant n: les points z, z², …, zⁿ dessinent une spirale dont le module vaut rᵏ et l'argument kθ.

|zⁿ| = rⁿ

1,611

arg(zⁿ) = nθ mod 360°

200°

zⁿ (forme algébrique)

-1,513 − 0,551·i

Module r = |z|1.10

Argument θ40°

Exposant n5

La formule de Moivre a deux usages complémentaires en trigonométrie, illustrés dans l'exemple suivant: exprimer $cos (n θ)$ comme un polynôme en $cos θ$ , et, à l'inverse, linéariser une puissance de $cos θ$ ou $sin θ$ , c'est-à-dire l'écrire comme combinaison de $cos (k θ)$ et $sin (k θ)$ . La linéarisation est indispensable pour intégrer $cos^{3} θ$ (chapitre 11) et pour analyser les harmoniques créées par un composant non linéaire.

Exemple 2.3 · Trigonométrie par les complexes

a) Exprimer $cos (3 θ)$ en fonction de $cos θ$ . Par Moivre puis par le binôme de Newton, en notant $c = cos θ$ et $s = sin θ$ :

cos (3 θ) + i sin (3 θ) = (c + i s)^{3} = c^{3} + 3 i c^{2} s - 3 c s^{2} - i s^{3} .

En identifiant les parties réelles: $cos (3 θ) = c^{3} - 3 c s^{2} = c^{3} - 3 c (1 - c^{2}) = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ . La partie imaginaire donne en prime $sin (3 θ) = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$ .

b) Linéariser $cos^{3} θ$ . On part des formules d'Euler (2.7) et du binôme:

cos^{3} θ = \frac{( e ^{i θ} + e ^{- i θ} ) ^{3}}{8} = \frac{e ^{3 i θ} + 3 e ^{i θ} + 3 e ^{- i θ} + e ^{- 3 i θ}}{8} = \frac{2 cos ( 3 θ ) + 6 cos θ}{8},

soit $cos^{3} θ = \frac{1}{4} cos (3 θ) + \frac{3}{4} cos θ$ . Contrôle numérique avec $θ = 0, 7$ : $cos^{3} (0, 7) = 0, 4474$ et $\frac{1}{4} cos (2, 1) + \frac{3}{4} cos (0, 7) = 0, 4474$ . On retrouve d'ailleurs le résultat du a) en isolant $cos (3 θ)$ .

c) Retrouver une formule d'addition. Le calcul de la démonstration du théorème 2.3 fait plus que démontrer la formule du produit: lu à l'envers, il redémontre $cos (θ + φ) = cos θ cos φ - sin θ sin φ$ et $sin (θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ$ dès que l'on admet la relation $e^{i (θ + φ)} = e^{i θ} e^{i φ}$ . Ceux qui oublient les formules trigonométriques peuvent ainsi les reconstruire en quelques lignes.

Exercice

Calculez la partie imaginaire de $(1 + i)^{10}$ .

Racines n-ièmes

Racines de l'unité

Dans $R$ , l'équation $x^{n} = 1$ a une solution ( $n$ impair) ou deux ( $n$ pair). Dans $C$ , elle en a toujours exactement $n$ , et elles forment une figure remarquable.

Démonstration. Soit $z$ une solution. En prenant les modules, $∣ z ∣^{n} = 1$ , donc $∣ z ∣ = 1$ car le module est un réel positif; on écrit $z = e^{i θ}$ . Par la formule de Moivre, $z^{n} = e^{i n θ}$ , et $e^{i n θ} = 1$ équivaut à $cos (n θ) = 1$ et $sin (n θ) = 0$ , soit $n θ = 2 k π$ pour un entier $k \in Z$ : $θ = 2 k π / n$ . Réciproquement, chacun de ces nombres est solution. Reste à compter: les valeurs $k = 0, 1, \dots, n - 1$ donnent des angles $2 k π / n$ deux à deux distincts dans $[0, 2 π [$ , donc $n$ points distincts du cercle; tout autre entier $k$ s'écrit $k = q n + k^{'}$ avec $0 \leq k^{'} < n$ et donne le même point que $k^{'}$ , puisque $e^{2 i q nπ / n} = e^{2 i q π} = 1$ . Enfin $ω_{k} = e^{2 i k π / n} = (e^{2 i π / n})^{k} = ω^{k}$ , et deux racines consécutives sont séparées par l'angle $2 π / n$ : ce sont bien les sommets d'un $n$ -gone régulier. $□$

Figure 2.3. Les six racines sixièmes de l'unité, sommets d'un hexagone régulier. On lit directement ω = e^{iπ/3} = 1/2 + i√3/2, ω³ = −1, et les racines conjuguées deux à deux: ω⁵ = ω̄. Leur somme est nulle (exercice 2.5).

Pour $n = 2$ on retrouve $\pm 1$ ; pour $n = 4$ , les quatre racines sont $1, i, - 1, - i$ ; pour $n = 3$ , les racines sont $1$ , $j = e^{2 i π /3} = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}$ et $j^{2} = \overset{ˉ}{j}$ , avec la relation $1 + j + j^{2} = 0$ .

Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque

Démonstration. Le nombre $z_{0} = n ρ e^{i α / n}$ vérifie $z_{0}^{n} = ρ e^{i α} = w$ par Moivre. Si $z$ est une autre solution, alors $(z / z_{0})^{n} = w / w = 1$ , donc $z / z_{0}$ est une racine $n$ -ième de l'unité: $z = z_{0} ω^{k}$ pour un $k \in {0, \dots, n - 1}$ , et ces $n$ valeurs sont distinctes car les $ω^{k}$ le sont. Enfin $z_{0} ω^{k} = n ρ e^{i α / n} e^{2 i k π / n}$ est bien (2.11). $□$

Géométriquement, les $n$ racines de $w$ forment un polygone régulier inscrit dans le cercle de rayon $n ρ$ , dont un sommet a pour argument $α / n$ . En particulier, tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées, opposées l'une de l'autre: la notation $w$ est donc à proscrire pour $w$ non réel positif, puisqu'aucune des deux racines n'a de raison d'être privilégiée.

Exercice

Ordonnez les étapes de la résolution de $z^{n} = w$ en forme exponentielle.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Poser

z = r e^{i θ}

et appliquer Moivre:

z^{n} = r^{n} e^{i n θ}

Écrire

w

en forme exponentielle:

w = ρ e^{i α}

(module puis argument, en contrôlant le quadrant)

Identifier les modules:

r^{n} = ρ

, donc

r = n ρ

Identifier les arguments à

2 π

près:

n θ = α + 2 k π

, donc

θ = (α + 2 k π) / n

Garder

k = 0, 1, \dots, n - 1

pour obtenir les

n

solutions distinctes, puis revenir si besoin à la forme algébrique

Racines carrées en forme algébrique

La forme exponentielle exige de connaître l'argument de $w$ , ce qui n'est commode que pour des angles remarquables. Pour une racine carrée, il existe une méthode purement algébrique. On cherche $z = x + i y$ tel que $z^{2} = a + i b$ . En développant et en identifiant, puis en ajoutant l'équation des modules $∣ z ∣^{2} = ∣ w ∣$ :

x^{2} - y^{2} = a, 2 x y = b, x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2} . (2.12)

La première et la troisième équation donnent $x^{2}$ et $y^{2}$ par demi-somme et demi-différence; la deuxième fixe le signe relatif de $x$ et $y$ : de même signe si $b > 0$ , de signes opposés si $b < 0$ .

Équation du second degré

Démonstration. Comme dans $R$ , on complète le carré: $a z^{2} + b z + c = a [(z + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}]$ . L'équation équivaut à $(z + \frac{b}{2 a})^{2} = (\frac{δ}{2 a})^{2}$ , soit $(z + \frac{b}{2 a} - \frac{δ}{2 a}) (z + \frac{b}{2 a} + \frac{δ}{2 a}) = 0$ . Un produit de complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul ( $C$ est un corps), d'où les deux solutions. Les relations entre coefficients et racines s'obtiennent en développant $a (z - z_{1}) (z - z_{2})$ . $□$

La différence avec le cas réel est de taille: il n'y a plus de cas «pas de solution». Lorsque $a, b, c$ sont réels et $Δ < 0$ , on prend $δ = i - Δ$ et les solutions $\frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ sont conjuguées l'une de l'autre.

Polynômes

L'existence de racines carrées pour tout complexe garantit que toute équation du second degré est résoluble dans $C$ . Le résultat suivant, beaucoup plus profond, affirme qu'il en va de même à tout degré.

Ce théorème est admis: toutes ses démonstrations utilisent des arguments d'analyse (continuité du module de $P$ , théorème de Weierstrass sur un compact, chapitre 5) ou de topologie qui dépassent ce cours. D'Alembert en a donné une preuve incomplète en 1746 et Gauss la première preuve rigoureuse en 1799. La factorisation (2.14) s'en déduit par récurrence: si $z_{1}$ est une racine, la division euclidienne par $z - z_{1}$ donne $P (z) = (z - z_{1}) Q (z)$ avec $Q$ de degré $n - 1$ , auquel on applique à nouveau le théorème. On dit que $C$ est algébriquement clos: en passant de $R$ à $C$ , on n'a pas seulement résolu $x^{2} + 1 = 0$ , on a résolu toutes les équations polynomiales d'un coup.

Démonstration. Écrivons $P (z) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}$ avec $a_{k} \in R$ , donc $\overset{a}{ˉ}_{k} = a_{k}$ . Par la proposition 2.1, le conjugué d'une somme est la somme des conjugués et le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, d'où

P (\overset{z}{ˉ}_{0}) = k = 0 \sum n a_{k} \overset{z}{ˉ}_{0}^{k} = k = 0 \sum n \overline{a_{k} z_{0}^{k}} = \overline{k = 0 \sum n a_{k} z_{0}^{k}} = \overline{P (z_{0})} = \overset{ˉ}{0} = 0.

Pour la multiplicité, on remarque que si $P (z) = (z - z_{0})^{m} Q (z)$ avec $Q (z_{0}) \neq = 0$ , alors, en conjuguant les coefficients, $P (z) = (z - \overset{z}{ˉ}_{0})^{m} \overset{ˉ}{Q} (z)$ où $\overset{ˉ}{Q}$ est le polynôme dont les coefficients sont les conjugués de ceux de $Q$ ; et $\overset{ˉ}{Q} (\overset{z}{ˉ}_{0}) = \overline{Q (z_{0})} \neq = 0$ . $□$

En regroupant chaque racine non réelle $z_{0} = α + i β$ avec sa conjuguée, on obtient un facteur réel du second degré:

(z - z_{0}) (z - \overset{z}{ˉ}_{0}) = z^{2} - (z_{0} + \overset{z}{ˉ}_{0}) z + z_{0} \overset{z}{ˉ}_{0} = z^{2} - 2 α z + (α^{2} + β^{2}), (2.15)

dont le discriminant $- 4 β^{2}$ est strictement négatif. D'où le corollaire: tout polynôme à coefficients réels se factorise sur $R$ en produit de facteurs du premier degré et de facteurs du second degré à discriminant négatif. Ce résultat sera essentiel au chapitre 11 pour décomposer les fractions rationnelles en éléments simples.

Exemple 2.5 · Factoriser x⁴ + 1 sur ℝ

Le polynôme $x^{4} + 1$ n'a pas de racine réelle, mais il n'est pas irréductible sur $R$ ! Ses racines complexes sont les racines quatrièmes de $- 1 = e^{i π}$ , soit d'après (2.11):

z_{k} = e^{i (π + 2 k π) /4} (k = 0, 1, 2, 3) : e^{i π /4}, e^{3 i π /4}, e^{5 i π /4} = \overline{e^{3 i π /4}}, e^{7 i π /4} = \overline{e^{i π /4}} .

On regroupe les paires conjuguées avec (2.15), en utilisant $2 Re e^{i π /4} = 2 cos \frac{π}{4} = 2$ et $2 cos \frac{3 π}{4} = - 2$ , les modules valant $1$ :

x^{4} + 1 = (x^{2} - 2 x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) .

Contrôle par développement: $(x^{2} + 1)^{2} - (2 x)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1 - 2 x^{2} = x^{4} + 1$ . Cette dernière identité suggère d'ailleurs une méthode directe, sans complexes: écrire $x^{4} + 1 = (x^{2} + 1)^{2} - 2 x^{2}$ et reconnaître une différence de deux carrés. Mais elle ne se généralise pas, alors que les racines $n$ -ièmes factorisent de la même façon $x^{n} + 1$ et $x^{n} - 1$ pour tout $n$ (exercice 2.4).

Exercice

Un polynôme $P$ à coefficients réels est de degré 5 et admet $2 + i$ et $- 3 i$ comme racines. Que peut-on affirmer?

Application: phaseurs et circuit RLC

Considérons un circuit série formé d'une résistance $R$ , d'une bobine d'inductance $L$ et d'un condensateur de capacité $C$ , alimenté par une tension sinusoïdale $u (t) = U_{0} cos (ω t)$ de pulsation $ω = 2 π f$ . Les lois de l'électrocinétique donnent, pour le courant $i (t)$ et la charge $q (t)$ du condensateur ( $i = q^{'}$ ),

L i^{'} (t) + R i (t) + \frac{1}{C} q (t) = U_{0} cos (ω t) .

En régime établi, le courant est lui aussi sinusoïdal de même pulsation, mais avec une amplitude $I_{0}$ et un déphasage $φ$ inconnus: $i (t) = I_{0} cos (ω t + φ)$ . Trouver $I_{0}$ et $φ$ directement demande des formules d'addition pénibles. L'astuce des électriciens (due à Steinmetz, 1893) consiste à complexifier le problème: on remplace $cos (ω t)$ par $e^{i ω t}$ , dont il est la partie réelle, et l'on cherche un courant complexe $\underline{i} (t) = \underline{I} e^{i ω t}$ , où $\underline{I} = I_{0} e^{i φ}$ est un nombre complexe constant appelé phaseur. Le courant physique sera $i (t) = Re \underline{i} (t) = I_{0} cos (ω t + φ)$ .

L'intérêt est que dériver $e^{i ω t}$ revient à multiplier par $i ω$ , et intégrer à diviser par $i ω$ . L'équation différentielle devient une équation algébrique en $\underline{I}$ :

(i L ω + R + \frac{1}{i C ω}) \underline{I} = U_{0} ⟺ \underline{Z} \underline{I} = U_{0}, \underline{Z} = R + i (L ω - \frac{1}{C ω}) . (2.16)

Le nombre complexe $\underline{Z}$ est l'impédance du circuit: c'est une «résistance complexe» qui généralise la loi d'Ohm. Sa partie réelle est la résistance, sa partie imaginaire la réactance $X = L ω - 1/ (C ω)$ . On lit alors sur $\underline{I} = U_{0} / \underline{Z}$ , grâce au théorème 2.3:

I_{0} = \frac{U _{0}}{∣ Z ∣} = \frac{U _{0}}{R ^{2} + X ^{2}}, φ = - ar g \underline{Z} = - arctan \frac{X}{R} . (2.17)

Si $X > 0$ (comportement inductif), le courant est en retard sur la tension; si $X < 0$ (capacitif), il est en avance; si $X = 0$ , c'est la résonance: l'impédance est minimale et vaut $R$ , le courant est maximal et en phase avec la tension. Cela se produit pour $ω_{0} = 1/ L C$ .

Exemple 2.6 · Circuit RLC sur le réseau 50 Hz

Un circuit série comporte $R = 100 Ω$ , $L = 50$ mH et $C = 20 μ$ F. Il est alimenté par le réseau suisse, $230$ V efficaces à $50$ Hz, soit une amplitude $U_{0} = 2302 = 325, 3$ V. Déterminer l'amplitude et le déphasage du courant.

Pulsation et réactances. $ω = 2 π \cdot 50 = 314, 2$ rad/s, donc $L ω = 0, 05 \times 314, 2 = 15, 71 Ω$ et $\frac{1}{C ω} = \frac{1}{20 \cdot 1 0 ^{- 6} \times 314 , 2} = 159, 15 Ω$ .

Impédance. $X = 15, 71 - 159, 15 = - 143, 45 Ω$ , d'où $\underline{Z} = 100 - 143, 45 i$ , de module $∣ \underline{Z} ∣ = 10 0^{2} + 143, 4 5^{2} = 174, 9 Ω$ et d'argument $ar g \underline{Z} = arctan (- 1, 4345) = - 55, 1°$ (le point est dans le quatrième quadrant, l'arctangente donne directement le bon angle).

Courant. $I_{0} = 325, 3/174, 9 = 1, 86$ A (soit $1, 32$ A efficaces) et $φ = + 55, 1°$ : le courant est en avance de $55°$ sur la tension, le circuit est capacitif à cette fréquence. On le comprend: la fréquence de résonance vaut $f_{0} = \frac{1}{2 π L C} = 159$ Hz, bien au-dessus de $50$ Hz, et à basse fréquence c'est le condensateur qui domine.

Exercice

Un circuit série a $R = 100 Ω$ , $L = 0, 3$ H et $C = 50 μ$ F, à $50$ Hz. Calculez le module de son impédance, en ohms.

Synthèse

$C = {a + i b : a, b \in R}$ avec $i^{2} = - 1$ est un corps qui contient $R$ mais ne peut pas être ordonné. Le conjugué $\overset{z}{ˉ} = a - i b$ vérifie $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$ , ce qui donne l'inverse $1/ z = \overset{z}{ˉ} / ∣ z ∣^{2}$ et la méthode pour diviser.
Le module $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ est multiplicatif et satisfait l'inégalité triangulaire $∣ z + w ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ w ∣$ , démontrée en développant $∣ z + w ∣^{2} = (z + w) (\overset{z}{ˉ} + \overset{w}{ˉ})$ .
Formule d'Euler $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ ; tout $z \neq = 0$ s'écrit $r e^{i θ}$ . Les modules se multiplient, les arguments s'additionnent; formule de Moivre $(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{i n θ}$ . On additionne en forme algébrique, on multiplie en forme exponentielle.
Les formules d'Euler $cos θ = (e^{i θ} + e^{- i θ}) /2$ et $sin θ = (e^{i θ} - e^{- i θ}) / (2 i)$ permettent de linéariser $cos^{p} θ sin^{q} θ$ ; Moivre et le binôme donnent $cos (n θ)$ en fonction de $cos θ$ .
$z^{n} = ρ e^{i α}$ a exactement $n$ solutions $n ρ e^{i (α + 2 k π) / n}$ , sommets d'un polygone régulier; les racines $n$ -ièmes de l'unité sont $ω^{k}$ avec $ω = e^{2 i π / n}$ . Une équation du second degré a toujours deux solutions (éventuellement confondues) dans $C$ .
Théorème de d'Alembert–Gauss (admis): tout polynôme de degré $n$ a $n$ racines complexes. Pour un polynôme réel, les racines non réelles vont par paires conjuguées, d'où une factorisation sur $R$ en facteurs de degré 1 et 2.
Un signal $U_{0} cos (ω t + φ)$ se représente par le phaseur $U_{0} e^{i φ}$ ; l'impédance $\underline{Z} = R + i (L ω - 1/ (C ω))$ donne l'amplitude $U_{0} / ∣ \underline{Z} ∣$ et le déphasage $- ar g \underline{Z}$ du courant.

Série d'exercices du chapitre 2

Exercice 1 sur 5

Exercice

Que vaut le conjugué de $\frac{1 + i}{1 - i}$ ?

Problème guidé

Résoudre z³ = 8i pas à pas

On cherche toutes les solutions complexes de l'équation $z^{3} = 8 i$ . On les déterminera en forme exponentielle, puis en forme algébrique, et l'on contrôlera le résultat.

1
Module des solutions
En prenant le module des deux membres, $∣ z ∣^{3} = ∣ 8 i ∣$ , et le module est un réel positif.
Exercice
Quel est le module commun des trois solutions?
Argument de la première solution
Les trois solutions en forme algébrique
Contrôle

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 2.1 · Calculs en forme algébrique

Écrire sous forme algébrique $a + i b$ les nombres suivants:

a) $(3 - 2 i) (1 + 4 i)$ ; b) $\frac{2 + i}{3 - 4 i}$ ; c) $i^{2026}$ ; d) $(1 + i)^{2026}$ .

Pour d), on pourra commencer par calculer $(1 + i)^{2}$ .

Solution

a) On développe et l'on remplace $i^{2}$ par $- 1$ :

(3 - 2 i) (1 + 4 i) = 3 + 12 i - 2 i - 8 i^{2} = 3 + 8 + 10 i = 11 + 10 i .

b) On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué $3 + 4 i$ du dénominateur:

\frac{2 + i}{3 - 4 i} = \frac{( 2 + i ) ( 3 + 4 i )}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{6 + 8 i + 3 i + 4 i ^{2}}{25} = \frac{2 + 11 i}{25} = \frac{2}{25} + \frac{11}{25} i = 0, 08 + 0, 44 i .

Contrôle: $(3 - 4 i) (0, 08 + 0, 44 i) = 0, 24 + 1, 32 i - 0, 32 i - 1, 76 i^{2} = 2 + i$ .

c) Les puissances de $i$ sont périodiques de période 4: $i^{0} = 1$ , $i^{1} = i$ , $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$ . Or $2026 = 4 \times 506 + 2$ , donc $i^{2026} = (i^{4})^{506} i^{2} = - 1$ .

d) On a $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ , donc

(1 + i)^{2026} = ((1 + i)^{2})^{1013} = (2 i)^{1013} = 2^{1013} i^{1013} .

Comme $1013 = 4 \times 253 + 1$ , $i^{1013} = i$ et finalement $(1 + i)^{2026} = 2^{1013} i$ : partie réelle nulle, partie imaginaire $2^{1013}$ . On peut vérifier avec la forme exponentielle: $1 + i = 2 e^{i π /4}$ , donc le module vaut $(2)^{2026} = 2^{1013}$ et l'argument $2026 π /4 = 506 π + π /2 \equiv π /2$ , ce qui redonne $2^{1013} i$ .

Exercice 2.2 · Valeurs trigonométriques exactes et linéarisation

On pose $z = \frac{3 + i}{1 + i}$ .

a) Écrire $z$ en forme exponentielle, puis en forme algébrique.

b) En déduire les valeurs exactes de $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$ , puis calculer $z^{12}$ .

c) Linéariser $sin^{4} θ$ et vérifier le résultat pour $θ = π /2$ .

Solution

a) Forme exponentielle. Numérateur: $∣ 3 + i ∣ = 2$ , argument $π /6$ , donc $3 + i = 2 e^{i π /6}$ . Dénominateur: $1 + i = 2 e^{i π /4}$ . Par le théorème 2.3, les modules se divisent et les arguments se soustraient:

z = \frac{2}{2} e^{i (π /6 - π /4)} = 2 e^{- i π /12} .

Forme algébrique. On multiplie par le conjugué du dénominateur:

z = \frac{( 3 + i ) ( 1 - i )}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{3 - 3 i + i - i ^{2}}{2} = \frac{( 3 + 1 ) + ( 1 - 3 ) i}{2} .

Numériquement $z \approx 1, 366 - 0, 366 i$ , de module $1, 866 + 0, 134 = 2$ , ce qui est cohérent.

b) Valeurs exactes. En identifiant les deux écritures $z = 2 (cos \frac{π}{12} - i sin \frac{π}{12})$ et $z = \frac{3 + 1}{2} + \frac{1 - 3}{2} i$ , on obtient

cos \frac{π}{12} = \frac{3 + 1}{2 2} = \frac{6 + 2}{4} \approx 0, 9659, sin \frac{π}{12} = \frac{3 - 1}{2 2} = \frac{6 - 2}{4} \approx 0, 2588.

Contrôle: $cos^{2} + sin^{2} = \frac{( 6 + 2 + 2 12 ) + ( 6 + 2 - 2 12 )}{16} = 1$ .

Puissance. Par Moivre, $z^{12} = (2)^{12} e^{- 12 i π /12} = 2^{6} e^{- i π} = - 64$ .

c) Linéarisation de $sin^{4} θ$ . Par la formule d'Euler, $sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$ , donc, avec $(2 i)^{4} = 16$ et le binôme de Newton,

sin^{4} θ = \frac{1}{16} (e^{i θ} - e^{- i θ})^{4} = \frac{1}{16} (e^{4 i θ} - 4 e^{2 i θ} + 6 - 4 e^{- 2 i θ} + e^{- 4 i θ}) .

On regroupe les termes conjugués: $e^{4 i θ} + e^{- 4 i θ} = 2 cos (4 θ)$ et $e^{2 i θ} + e^{- 2 i θ} = 2 cos (2 θ)$ , d'où

sin^{4} θ = \frac{2 cos ( 4 θ ) - 8 cos ( 2 θ ) + 6}{16} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} cos (2 θ) + \frac{1}{8} cos (4 θ) .

Vérification pour $θ = π /2$ : $sin^{4} (π /2) = 1$ et $\frac{3}{8} - \frac{1}{2} cos π + \frac{1}{8} cos (2 π) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = 1$ .

Exercice 2.3 · Équations dans ℂ

a) Résoudre $z^{4} = - 8 (1 + i 3)$ et donner les solutions en forme algébrique. Représenter les solutions dans le plan complexe.

b) Résoudre $z^{2} - (1 + 3 i) z - 2 + i = 0$ en calculant une racine carrée du discriminant par la méthode algébrique (2.12).

Solution

a) Écrivons le second membre en forme exponentielle: $w = - 8 - 83 i$ a pour module $64 + 192 = 16$ et son argument $α$ vérifie $cos α = - 1/2$ , $sin α = - 3 /2$ : le point est dans le troisième quadrant et $α = - 2 π /3$ (ou $4 π /3$ ). Donc $w = 16 e^{- 2 i π /3}$ .

Par le théorème 2.6, les solutions de $z^{4} = w$ sont

z_{k} = 416 e^{i (- 2 π /3 + 2 k π) /4} = 2 e^{i (- π /6 + k π /2)}, k = 0, 1, 2, 3.

Les arguments valent $- π /6$ , $π /3$ , $5 π /6$ et $4 π /3$ , ce qui donne en forme algébrique:

z_{0} = 2 e^{- i π /6} = 3 - i, z_{1} = 2 e^{i π /3} = 1 + i 3, z_{2} = 2 e^{5 i π /6} = - 3 + i, z_{3} = 2 e^{4 i π /3} = - 1 - i 3 .

Ce sont les sommets d'un carré inscrit dans le cercle de rayon 2; chaque solution s'obtient de la précédente par une rotation d'un quart de tour, c'est-à-dire par multiplication par $i$ (on vérifie: $i (3 - i) = 1 + i 3$ ). Contrôle direct pour $z_{0}$ : $(3 - i)^{2} = 3 - 23 i - 1 = 2 - 23 i$ , puis $(2 - 23 i)^{2} = 4 - 83 i + 12 i^{2} = - 8 - 83 i$ .

b) Ici $a = 1$ , $b = - (1 + 3 i)$ , $c = - 2 + i$ . Discriminant:

Δ = (1 + 3 i)^{2} - 4 (- 2 + i) = 1 + 6 i - 9 + 8 - 4 i = 2 i .

Racine carrée $δ = x + i y$ de $2 i$ par la méthode (2.12): $x^{2} - y^{2} = 0$ , $2 x y = 2$ , $x^{2} + y^{2} = ∣ 2 i ∣ = 2$ . Donc $x^{2} = y^{2} = 1$ et $x y = 1 > 0$ : $x$ et $y$ ont le même signe, $δ = 1 + i$ (contrôle: $(1 + i)^{2} = 2 i$ , déjà vu dans le quiz 2.1). Les solutions sont

z_{1} = \frac{( 1 + 3 i ) + ( 1 + i )}{2} = 1 + 2 i, z_{2} = \frac{( 1 + 3 i ) - ( 1 + i )}{2} = i .

Contrôle par Viète: $z_{1} + z_{2} = 1 + 3 i = - b$ et $z_{1} z_{2} = i (1 + 2 i) = i + 2 i^{2} = - 2 + i = c$ .

Exercice 2.4 · Factorisation de polynômes réels

a) Vérifier que $i$ est racine de $P (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + 5$ , puis factoriser $P$ dans $R$ et dans $C$ .

b) À l'aide des racines sixièmes de l'unité (figure 2.3), factoriser $x^{6} - 1$ en produit de facteurs irréductibles dans $R$ .

Solution

a) Avec $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$ :

P (i) = 1 - 2 (- i) + 6 (- 1) - 2 i + 5 = 1 + 2 i - 6 - 2 i + 5 = 0.

Comme $P$ est à coefficients réels, le théorème 2.9 assure que $- i$ est aussi racine, donc $(x - i) (x + i) = x^{2} + 1$ divise $P$ . On effectue la division (ou l'on identifie les coefficients de $P (x) = (x^{2} + 1) (x^{2} + p x + q)$ : le coefficient de $x^{3}$ donne $p = - 2$ , le terme constant $q = 5$ , et le coefficient de $x^{2}$ , $q + 1 = 6$ , est bien cohérent):

P (x) = (x^{2} + 1) (x^{2} - 2 x + 5) .

Le second facteur a pour discriminant $4 - 20 = - 16 < 0$ , donc il est irréductible sur $R$ et ses racines sont $x = \frac{2 \pm 4 i}{2} = 1 \pm 2 i$ . D'où les factorisations

dans R : P (x) = (x^{2} + 1) (x^{2} - 2 x + 5), dans C : P (x) = (x - i) (x + i) (x - 1 - 2 i) (x - 1 + 2 i) .

Contrôle: $P (1 + 2 i) = 0$ se vérifie en calculant $(1 + 2 i)^{2} = - 3 + 4 i$ , puis $(1 + 2 i)^{2} - 2 (1 + 2 i) + 5 = - 3 + 4 i - 2 - 4 i + 5 = 0$ .

b) Les racines de $x^{6} - 1$ sont les six racines sixièmes de l'unité $ω^{k} = e^{i k π /3}$ , $k = 0, \dots, 5$ . Deux d'entre elles sont réelles: $ω^{0} = 1$ et $ω^{3} = - 1$ . Les quatre autres se regroupent en paires conjuguées: $ω$ et $ω^{5} = \overset{ω}{ˉ}$ (arguments $\pm π /3$ ), $ω^{2}$ et $ω^{4} = \overline{ω^{2}}$ (arguments $\pm 2 π /3$ ). Par (2.15), chaque paire de module 1 et d'argument $\pm θ$ donne le facteur réel $x^{2} - 2 cos θ x + 1$ :

$θ = π /3$ : $x^{2} - 2 cos \frac{π}{3} x + 1 = x^{2} - x + 1$ ;
$θ = 2 π /3$ : $x^{2} - 2 cos \frac{2 π}{3} x + 1 = x^{2} + x + 1$ .

D'où la factorisation en irréductibles sur $R$ :

x^{6} - 1 = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) .

Contrôle: $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ et $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1$ , et $(x^{3} - 1) (x^{3} + 1) = x^{6} - 1$ . Les deux trinômes ont pour discriminant $- 3 < 0$ : ils sont bien irréductibles sur $R$ .

Exercice 2.5 · Deux identités à démontrer

a) Démontrer l'identité du parallélogramme: pour tous $z, w \in C$ ,

∣ z + w ∣^{2} + ∣ z - w ∣^{2} = 2 (∣ z ∣^{2} + ∣ w ∣^{2}) .

Interpréter géométriquement (diagonales et côtés d'un parallélogramme).

b) Soit $n \geq 2$ et $ω = e^{2 i π / n}$ . Démontrer que la somme des racines $n$ -ièmes de l'unité est nulle: $1 + ω + ω^{2} + \dots + ω^{n - 1} = 0$ . En déduire que $k = 0 \sum n - 1 cos \frac{2 k π}{n} = 0$ .

Solution

a) Identité du parallélogramme. On utilise $∣ u ∣^{2} = u \overset{u}{ˉ}$ et les propriétés du conjugué (proposition 2.1):

∣ z + w ∣^{2} ∣ z - w ∣^{2} = (z + w) (\overset{z}{ˉ} + \overset{w}{ˉ}) = z \overset{z}{ˉ} + z \overset{w}{ˉ} + \overset{z}{ˉ} w + w \overset{w}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} + 2 Re (z \overset{w}{ˉ}) + ∣ w ∣^{2}, = (z - w) (\overset{z}{ˉ} - \overset{w}{ˉ}) = z \overset{z}{ˉ} - z \overset{w}{ˉ} - \overset{z}{ˉ} w + w \overset{w}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} - 2 Re (z \overset{w}{ˉ}) + ∣ w ∣^{2},

où l'on a utilisé $\overset{z}{ˉ} w = \overline{z \overset{w}{ˉ}}$ et $u + \overset{u}{ˉ} = 2 Re u$ . En additionnant, les termes croisés $\pm 2 Re (z \overset{w}{ˉ})$ se compensent:

∣ z + w ∣^{2} + ∣ z - w ∣^{2} = 2 ∣ z ∣^{2} + 2 ∣ w ∣^{2} . □

Interprétation. Les points $0$ , $z$ , $z + w$ et $w$ sont les sommets d'un parallélogramme dont les côtés ont pour longueurs $∣ z ∣$ et $∣ w ∣$ et les diagonales $∣ z + w ∣$ et $∣ z - w ∣$ . L'identité dit que la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés. Pour un rectangle ( $z \overset{w}{ˉ}$ imaginaire pur, c'est-à-dire $z ⊥ w$ ), les deux diagonales sont égales et l'on retrouve le théorème de Pythagore. Contrôle numérique avec $z = 2 + 3 i$ , $w = - 1 + i$ : $∣ 1 + 4 i ∣^{2} + ∣ 3 + 2 i ∣^{2} = 17 + 13 = 30$ et $2 (13 + 2) = 30$ .

b) Somme des racines de l'unité. Posons $S = 1 + ω + ω^{2} + \dots + ω^{n - 1}$ . Comme $n \geq 2$ , on a $ω = e^{2 i π / n} \neq = 1$ (son argument $2 π / n \in] 0, π]$ n'est pas un multiple de $2 π$ ). On peut donc appliquer la formule de la somme géométrique, valable dans tout corps:

S = \frac{ω ^{n} - 1}{ω - 1} = \frac{1 - 1}{ω - 1} = 0,

puisque $ω^{n} = e^{2 i π} = 1$ . Autre démonstration, plus élégante: multiplier $S$ par $ω$ permute circulairement les termes, car $ω \cdot ω^{n - 1} = ω^{n} = 1$ ; donc $ω S = S$ , soit $(ω - 1) S = 0$ , et comme $ω \neq = 1$ , $S = 0$ . $□$

Géométriquement, les $n$ vecteurs $ω^{k}$ sont répartis régulièrement sur le cercle unité et leur somme vectorielle est nulle par symétrie: c'est la raison pour laquelle un système triphasé équilibré ( $n = 3$ , courants déphasés de $120°$ ) a un courant de neutre nul.

Conséquence. En prenant la partie réelle de $S = 0$ et en utilisant $Re ω^{k} = cos \frac{2 k π}{n}$ (formule de Moivre), il vient

k = 0 \sum n - 1 cos \frac{2 k π}{n} = Re S = 0,

et de même $\sum_{k = 0}^{n - 1} sin \frac{2 k π}{n} = Im S = 0$ . Contrôle pour $n = 6$ : $1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (chapitre sur les nombres complexes).
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année. Cours et exercices avec solutions, Dunod, Paris.
Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, tome 1: Algèbre, Masson, Paris.
Stewart, J., Analyse. Concepts et contextes, volume 1, De Boeck, Bruxelles (annexe sur les nombres complexes).
Needham, T., Visual Complex Analysis, Oxford University Press (pour l'interprétation géométrique).
Nahin, P. J., An Imaginary Tale: The Story of √−1, Princeton University Press (histoire de Cardan à Gauss).

Objectifs du chapitre

Pourquoi inventer de nouveaux nombres?

Forme algébrique

Le corps des nombres complexes

Conjugué

Module

Forme trigonométrique et exponentielle

Argument

La formule d'Euler

La formule de Moivre

Explorateur des puissances d'un nombre complexe

Racines n-ièmes

Racines de l'unité

Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque

Racines carrées en forme algébrique

Équation du second degré

Polynômes

Application: phaseurs et circuit RLC

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 2

Résoudre z³ = 8i pas à pas

Module des solutions

Argument de la première solution

Les trois solutions en forme algébrique

Contrôle

Exercices

Références