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Analyse I

Nombres réels et complexes, suites et séries, limites, continuité, dérivation, formule de Taylor, intégrale de Riemann et séries entières: le socle d'analyse du premier semestre d'ingénieur, avec démonstrations, figures interactives et exercices corrigés.

12 chapitres · 55 h · 4 lecteurs

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Sommaire

Chapitres

01Nombres réelsEnsembles de nombres, axiome de la borne supérieure, racine carrée et intervalles, valeur absolue, inégalités classiques, récurrence et formule du binôme.
02Nombres complexesForme algébrique et trigonométrique, exponentielle complexe, racines n-ièmes, polynômes, phaseurs et circuit RLC.
03Suites numériquesConvergence, opérations sur les limites, suites monotones, Bolzano–Weierstrass, suites de Cauchy, suites récurrentes, suites équivalentes et négligeables.
04Séries numériquesSéries géométriques et de Riemann, critères de comparaison, de d'Alembert et de Cauchy, séries alternées, convergence absolue, produit de Cauchy, nombre e et son irrationalité.
05Limites et continuitéLimite d'une fonction, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, théorème de Weierstrass et continuité uniforme.
06Fonctions élémentairesExponentielle, logarithme, puissances, limite de (1 + x/n)ⁿ, fonctions trigonométriques et hyperboliques et leurs réciproques.
07DérivationDérivée et tangente, règles de calcul, dérivée d'une composée et d'une réciproque, dérivées d'ordre supérieur, linéarisation, propagation des incertitudes et taux liés.
08Théorèmes du calcul différentielExtrema et critère de la dérivée seconde, théorèmes de Rolle et des accroissements finis, règle de l'Hospital, convexité, inégalité de Jensen, méthode de Newton et étude de fonctions.
09Formule de Taylor et développements limitésPolynôme de Taylor, restes de Lagrange et de Young, développements usuels, calcul de limites et d'asymptotes, séries de Taylor et premières séries entières.
10Intégrale de RiemannSommes de Riemann, fonctions intégrables, propriétés de l'intégrale, théorème fondamental et primitives, valeur efficace, méthodes des trapèzes et de Simpson.
11Techniques d'intégration et intégrales impropresIntégration par parties, changement de variable, fractions rationnelles, intégrales impropres, comparaison série–intégrale et applications géométriques et physiques.
12Séries entièresRayon de convergence (d'Alembert, Cauchy, Hadamard), convergence uniforme sur les segments, continuité, dérivation et intégration terme à terme, unicité des coefficients, développements usuels, théorème d'Abel, sommation et équations différentielles.

Annexes

ALogique, ensembles et méthodes de démonstrationQuantificateurs, implications et négation, ensembles et applications (injection, surjection, image réciproque, dénombrabilité), méthodes de démonstration, notations et alphabet grec.
BFormulaireChapitre par chapitre: réels et complexes, suites et séries, limites usuelles, trigonométrie, dérivées, développements limités, primitives, intégrales impropres et applications.
CGlossaire français – allemand – anglaisVocabulaire de l'analyse trilingue pour les hautes écoles suisses.

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