Équations différentielles ordinaires · Analyse I

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître une équation différentielle ordinaire, son ordre, et traduire un problème d'ingénierie (décroissance, refroidissement, circuit RC, oscillateur) en un problème de Cauchy;
interpréter géométriquement une équation du premier ordre par son champ des directions et approcher sa solution par la méthode d'Euler;
résoudre les équations à variables séparables et discuter l'existence et l'unicité des solutions;
résoudre les équations linéaires du premier ordre par la méthode de variation de la constante;
résoudre les équations linéaires du second ordre à coefficients constants, avec ou sans second membre, et imposer des conditions initiales;
analyser l'oscillateur amorti (pulsation propre, taux d'amortissement, régimes) et le phénomène de résonance.

Vocabulaire et modélisation

Qu'est-ce qu'une équation différentielle?

Les chapitres précédents ont appris à dériver et à intégrer des fonctions données. Les équations différentielles renversent le point de vue: la fonction est inconnue, et l'on connaît seulement une relation entre elle et ses dérivées. C'est la situation la plus courante en sciences de l'ingénieur, car les lois de la physique (loi de Newton, lois de Kirchhoff, lois de conservation) s'expriment naturellement comme des relations entre une grandeur et sa vitesse de variation.

Le mot «ordinaire» signifie que la fonction inconnue ne dépend que d'une variable; les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des ondes), où l'inconnue dépend de plusieurs variables, relèvent de l'Analyse III. En physique, la variable est souvent le temps, noté $t$ , et les dérivées sont notées $\overset{x}{˙}$ , $\overset{x}{¨}$ ; nous utiliserons librement les deux notations.

Une équation différentielle possède en général une infinité de solutions. Par exemple, $y^{'} = 2 x$ a pour solutions toutes les fonctions $y = x^{2} + C$ , $C \in R$ : chaque constante d'intégration correspond à une solution. Pour une équation d'ordre $n$ , on doit s'attendre à $n$ constantes, puisqu'il faut «intégrer $n$ fois».

Physiquement, les conditions initiales décrivent l'état du système à l'instant $t_{0}$ (position et vitesse pour un point matériel, charge du condensateur pour un circuit); l'équation différentielle décrit la loi d'évolution. La question centrale du chapitre est: étant donné l'état initial, le futur est-il déterminé, et comment le calculer?

Quelques modèles

Chacune des situations suivantes est décrite par une équation différentielle que nous saurons résoudre à la fin du chapitre.

Décroissance radioactive. Le nombre $N (t)$ de noyaux d'un isotope décroît à un taux proportionnel à $N$ : $N^{'} = - λ N$ , où $λ > 0$ est la constante de désintégration. La solution $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ donne la demi-vie $T_{1/2} = ln 2/ λ$ : pour le cobalt 60, $T_{1/2} = 5, 27$ ans, donc $λ \approx 0, 1315$ an $^{- 1}$ .
Loi de Newton du refroidissement. La température $T (t)$ d'un corps placé dans un milieu à température $T_{a}$ varie à un taux proportionnel à l'écart: $T^{'} = - k (T - T_{a})$ , $k > 0$ .
Circuit RC. Un condensateur $C$ chargé à travers une résistance $R$ par une source de tension $e (t)$ obéit à la loi des mailles $R i + u = e (t)$ avec $i = C u^{'}$ , soit $R C u^{'} + u = e (t)$ . La constante $τ = R C$ est la constante de temps du circuit.
Chute avec frottement. Un corps de masse $m$ soumis à la pesanteur et à un frottement visqueux $- c v$ vérifie $m v^{'} = m g - c v$ : la vitesse tend vers la vitesse limite $v_{\infty} = m g / c$ .
Croissance logistique. Une population $y (t)$ limitée par les ressources suit $y^{'} = r y (1 - y / K)$ : le taux de croissance $r$ est freiné lorsque $y$ approche la capacité $K$ du milieu.
Oscillateur masse–ressort. Une masse $m$ rappelée par un ressort de raideur $k$ et freinée par un amortisseur de coefficient $c$ vérifie $m \overset{x}{¨} + c \overset{x}{˙} + k x = F (t)$ (deuxième loi de Newton), où $F$ est une force extérieure.
Circuit RLC. La charge $q (t)$ du condensateur d'un circuit série vérifie $L \overset{q}{¨} + R \overset{q}{˙} + q / C = e (t)$ : même équation que l'oscillateur, avec la correspondance $m \leftrightarrow L$ , $c \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/ C$ .

Les quatre premiers modèles sont du premier ordre, les deux derniers du second ordre. Tous sauf la logistique sont linéaires: l'inconnue et ses dérivées n'y apparaissent qu'au premier degré. Cette distinction structurera le chapitre.

Interprétation géométrique: champ des directions

Considérons une équation du premier ordre résolue $y^{'} = f (x, y)$ . En chaque point $(x, y)$ du plan, l'équation prescrit la pente $f (x, y)$ que doit avoir la tangente à toute courbe solution passant par ce point. Dessiner en chaque point d'une grille un petit segment de pente $f (x, y)$ donne le champ des directions; les graphes des solutions, appelés courbes intégrales, sont les courbes tangentes en chacun de leurs points à ce champ. On lit ainsi qualitativement le comportement des solutions sans les calculer.

Les isoclines sont les courbes $f (x, y) = m$ le long desquelles la pente est constante; l'isocline $f (x, y) = 0$ est le lieu des tangentes horizontales, donc des extremums éventuels des solutions.

Figure 12.1. Champ des directions de l'équation y′ = y − x. Les segments gris indiquent la pente prescrite en chaque point; les trois courbes colorées sont des courbes intégrales, de la famille y = x + 1 + C eˣ, tangentes au champ en chacun de leurs points. Sur l'isocline y = x (pointillés), la pente est nulle: la solution y = x + 1 (C = 0), qui ne rencontre jamais cette droite, est la seule à ne pas exploser.

Sur la figure 12.1, on devine deux propriétés que nous démontrerons: par chaque point passe une seule courbe intégrale, et deux courbes intégrales ne se croisent jamais. Le champ des directions est aussi l'idée de départ de la méthode numérique la plus simple.

La méthode d'Euler

Pour résoudre numériquement le problème de Cauchy $y^{'} = f (x, y)$ , $y (x_{0}) = y_{0}$ , Euler propose de suivre le champ des directions par petits pas rectilignes. On fixe un pas $h > 0$ , on pose $x_{k} = x_{0} + k h$ , et l'on remplace la courbe sur $[x_{k}, x_{k + 1}]$ par sa tangente en $x_{k}$ , dont la pente $f (x_{k}, y_{k})$ est connue:

y_{k + 1} = y_{k} + h f (x_{k}, y_{k}) . (12.1)

C'est exactement l'approximation $y (x + h) \approx y (x) + h y^{'} (x)$ du chapitre 7. L'erreur commise à chaque pas est en $h^{2}$ (formule de Taylor, chapitre 9); après $n = (b - x_{0}) / h$ pas, l'erreur totale est de l'ordre de $h$ : diviser le pas par $10$ divise l'erreur par $10$ environ.

Exemple 12.1 · Méthode d'Euler pour y′ = y

Approchons la solution de $y^{'} = y$ , $y (0) = 1$ , sur $[0, 1]$ avec le pas $h = 0, 25$ . Ici $f (x, y) = y$ et (12.1) devient $y_{k + 1} = y_{k} + 0, 25 y_{k} = 1, 25 y_{k}$ : la suite est géométrique.

$x_{k}$	0	0,25	0,5	0,75	1
$y_{k}$ (Euler)	1	1,25	1,5625	1,9531	2,4414
$e^{x_{k}}$ (exact)	1	1,2840	1,6487	2,1170	2,7183

On obtient $y_{4} = 1, 2 5^{4} = 2, 4414$ au lieu de $e = 2, 7183$ , soit une erreur relative de $10 %$ . Avec $h = 0, 1$ , on trouve $1, 1^{10} = 2, 5937$ , et avec $h = 0, 01$ , $1, 0 1^{100} = 2, 7048$ : l'erreur est bien proportionnelle à $h$ . On reconnaît la suite $(1 + 1/ n)^{n}$ du chapitre 3, dont la limite est $e$ : la méthode d'Euler converge vers la solution exacte lorsque $h \to 0$ . Les méthodes de Runge–Kutta, vues en analyse numérique, obtiennent des erreurs en $h^{4}$ avec le même principe.

Exercice

Appliquez la méthode d'Euler à $y^{'} = y$ , $y (0) = 1$ , avec le pas $h = 0, 5$ . Quelle valeur approchée de $y (1)$ obtenez-vous?

Exercice

Parmi les équations suivantes, laquelle est linéaire?

Équations du premier ordre à variables séparables

La méthode

Démonstration. Puisque $h (y) \neq = 0$ sur $J$ , l'équation (12.2) équivaut à $\frac{y ^{'} ( x )}{h ( y ( x ))} = g (x)$ . Par la règle de dérivation des fonctions composées (chapitre 7), le membre de gauche est la dérivée de $x \mapsto H (y (x))$ , et le membre de droite celle de $G$ . Deux fonctions dérivables sur l'intervalle $I$ ont la même dérivée si et seulement si elles diffèrent d'une constante (chapitre 8), d'où l'équivalence avec (12.3). $□$

Exemples fondamentaux

Figure 12.2. Solutions y = A e^{kt} de l'équation y′ = ky. À gauche, k = −0,5: toutes les solutions convergent vers la solution constante y = 0 (en gris), qui est stable. À droite, k = 0,5: les solutions s'en écartent, y = 0 est instable. Par chaque point de l'axe vertical passe exactement une courbe: la valeur initiale détermine la solution.

Exemple 12.4 · Croissance logistique

Résolvons $y^{'} = r y (1 - y / K)$ avec $r, K > 0$ et $0 < y (0) = y_{0} < K$ . Les solutions stationnaires sont $y = 0$ et $y = K$ . Pour $0 < y < K$ , on sépare et l'on décompose en éléments simples (chapitre 11):

\frac{K y ^{'}}{y ( K - y )} = r, \frac{K}{y ( K - y )} = \frac{1}{y} + \frac{1}{K - y},

d'où $ln y - ln (K - y) = r t + C$ , soit $\frac{y}{K - y} = A e^{r t}$ avec $A = \frac{y _{0}}{K - y _{0}}$ . En résolvant en $y$ ,

y (t) = \frac{K}{1 + \frac{K - y _{0}}{y _{0}} e ^{- r t}} . (12.5)

La solution est croissante, tend vers $K$ quand $t \to + \infty$ , et son graphe a la forme d'un S: la croissance est d'abord presque exponentielle (tant que $y ≪ K$ ), puis ralentit. Le point d'inflexion est atteint lorsque $y = K /2$ , à l'instant $t^{*} = \frac{1}{r} ln \frac{K - y _{0}}{y _{0}}$ . Pour $r = 0, 5$ an $^{- 1}$ , $K = 1000$ et $y_{0} = 100$ : $t^{*} = 2 ln 9 \approx 4, 39$ ans et $y (4) \approx 450, 9$ . Ce modèle, dû à Verhulst (1838), décrit aussi bien la diffusion d'une innovation que la propagation d'une épidémie.

Exercice

Une pièce métallique à $80 ° C$ est plongée dans un bain maintenu à $20 ° C$ . Après $10$ minutes, elle est à $50 ° C$ . Au bout de combien de minutes atteindra-t-elle $30 ° C$ ?

Existence et unicité

Les exemples précédents suggèrent que le problème de Cauchy possède une solution et une seule, au moins localement. C'est vrai sous une hypothèse de régularité sur $f$ .

Nous admettons ce théorème, dont la démonstration (par le théorème du point fixe de Picard) relève de l'Analyse II: elle consiste à écrire le problème sous la forme intégrale $y (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y (t)) d t$ et à construire la solution comme limite d'approximations successives. La régularité de $f$ en $y$ est l'hypothèse essentielle: elle assure que $∣ f (x, y_{1}) - f (x, y_{2})∣ \leq L ∣ y_{1} - y_{2} ∣$ (condition de Lipschitz), ce qui empêche deux solutions de se séparer. Géométriquement, le théorème dit que par chaque point du rectangle passe une courbe intégrale et une seule: les courbes intégrales ne se croisent pas, comme sur la figure 12.1.

Exemple 12.6 · Perte d'unicité: y′ = 2√|y|

Considérons $y^{'} = 2 ∣ y ∣$ avec $y (0) = 0$ . La fonction $f (x, y) = 2 ∣ y ∣$ est continue, mais elle n'est pas dérivable par rapport à $y$ en $y = 0$ (la tangente y est verticale): le théorème 12.2 ne s'applique pas au point $(0, 0)$ .

Et en effet, la fonction nulle est solution, mais $y (x) = x^{2}$ pour $x \geq 0$ et $y (x) = 0$ pour $x < 0$ en est une autre: elle est dérivable en $0$ (dérivée nulle des deux côtés) et vérifie $y^{'} = 2 x = 2 x^{2}$ pour $x \geq 0$ . Pire, pour tout $a \geq 0$ , la fonction valant $0$ sur $] - \infty, a]$ et $(x - a)^{2}$ sur $[a, + \infty [$ est encore solution: le problème de Cauchy possède une infinité de solutions. Physiquement, un système gouverné par une telle loi pourrait rester au repos un temps arbitraire puis «décider» de partir: le déterminisme est perdu. Notez que ces solutions sont obtenues en recollant la solution stationnaire $y = 0$ avec les solutions $y = (x - a)^{2}$ fournies par la séparation des variables; le recollement est possible précisément parce que ces courbes sont tangentes à la solution stationnaire.

Exercice

Combien le problème de Cauchy $y^{'} = 2 ∣ y ∣$ , $y (0) = 1$ , admet-il de solutions au voisinage de $x = 0$ ?

Équations linéaires du premier ordre

Structure des solutions

Le mot «linéaire» renvoie à la propriété suivante: l'application $L : y \mapsto y^{'} + a y$ vérifie $L (λ y_{1} + μ y_{2}) = λ L (y_{1}) + μL (y_{2})$ , ce qui découle de la linéarité de la dérivation. C'est elle qui donne à l'ensemble des solutions une structure particulièrement simple.

Démonstration. 1. Si $L (y_{1}) = L (y_{2}) = 0$ , alors $L (λ y_{1} + μ y_{2}) = λ L (y_{1}) + μL (y_{2}) = 0$ . 2. Si $L (y_{h}) = 0$ , alors $L (y_{h} + y_{p}) = 0 + b = b$ : la somme est solution. Réciproquement, si $L (y) = b$ , alors $L (y - y_{p}) = b - b = 0$ , donc $y_{h} = y - y_{p}$ est solution de l'homogène et $y = y_{h} + y_{p}$ . $□$

En résumé: solution générale = solution générale de l'homogène + une solution particulière. La résolution se fait donc en deux temps.

Démonstration. Soit $y$ dérivable sur $I$ et posons $z (x) = y (x) e^{A (x)}$ . Alors $z^{'} = (y^{'} + a y) e^{A}$ , et comme l'exponentielle ne s'annule pas, $y^{'} + a y = 0$ sur $I$ si et seulement si $z^{'} = 0$ sur $I$ , c'est-à-dire si et seulement si $z$ est constante (chapitre 8), soit $y = C e^{- A}$ . Si de plus $y (x_{0}) = 0$ , alors $C = 0$ . $□$

Cette démonstration ne divise jamais par $y$ : elle évite ainsi la discussion des solutions perdues et prouve d'un coup que (12.7) donne toutes les solutions. On peut aussi retrouver (12.7) par séparation des variables, comme dans l'exemple 12.2, au prix de cette discussion.

Variation de la constante

Pour trouver une solution particulière de l'équation complète, Lagrange propose une idée féconde: chercher $y$ sous la forme (12.7), mais en laissant la «constante» dépendre de $x$ .

Démonstration. Posons $y = C (x) e^{- A (x)}$ . Par la règle du produit, $y^{'} = C^{'} e^{- A} - a C e^{- A}$ , d'où $y^{'} + a y = C^{'} e^{- A}$ . L'équation $y^{'} + a y = b$ équivaut donc à $C^{'} = b e^{A}$ . Cette fonction est continue sur $I$ , donc possède des primitives (théorème fondamental, chapitre 10), et les choix de $C$ diffèrent d'une constante, ce qui redonne exactement la structure du théorème 12.3. $□$

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la résolution de $y^{'} + a (x) y = b (x)$ par variation de la constante.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Poser

y = C (x) e^{- A (x)}

avec

C

fonction dérivable inconnue

Reporter dans l'équation complète et simplifier: il reste

C^{'} (x) = b (x) e^{A (x)}

Écrire la solution générale de l'équation homogène:

y_{h} = C e^{- A (x)}

Choisir une primitive

A

a

sur l'intervalle

I

Revenir à

y = C (x) e^{- A (x)}

et, s'il y a lieu, fixer la constante avec la condition initiale

Intégrer pour obtenir

C (x)

à une constante près

Exemples

Exemple 12.7 · Charge d'un condensateur par une source constante

Un circuit RC ( $R = 22$ k $Ω$ , $C = 100$ µF, donc $τ = R C = 2, 2$ s) initialement déchargé est branché à l'instant $t = 0$ sur une source continue $E = 12$ V. La tension $u$ aux bornes du condensateur vérifie $τ u^{'} + u = E$ , $u (0) = 0$ .

Homogène. $u^{'} + u / τ = 0$ a pour solutions $u_{h} = C e^{- t / τ}$ .

Solution particulière. La constante $u_{p} = E$ convient évidemment ( $u_{p}^{'} = 0$ ). La variation de la constante donne la même chose: $C^{'} (t) = (E / τ) e^{t / τ}$ , donc $C (t) = E e^{t / τ}$ et $u_{p} = E$ .

Solution générale et condition initiale. $u (t) = E + C e^{- t / τ}$ , et $u (0) = 0$ impose $C = - E$ :

u (t) = E (1 - e^{- t / τ}) . (12.9)

Le terme $- E e^{- t / τ}$ est le régime transitoire, qui s'éteint; la constante $E$ est le régime permanent. Après une constante de temps, $u (τ) = E (1 - e^{- 1}) \approx 0, 632 E \approx 7, 59$ V; après $3 τ$ , le condensateur est chargé à $95 %$ ; après $5 τ$ , à $99, 3 %$ . Le courant $i = C u^{'} = (E / R) e^{- t / τ}$ est maximal à la fermeture puis décroît vers $0$ .

Exemple 12.8 · Circuit RC alimenté par une tension sinusoïdale

Le même circuit est maintenant alimenté par $e (t) = E_{0} cos (ω t)$ : $τ u^{'} + u = E_{0} cos (ω t)$ . L'homogène est inchangée. Cherchons une solution particulière de la forme $u_{p} = a cos (ω t) + b sin (ω t)$ . En reportant,

τ (- aω sin ω t + bω cos ω t) + a cos ω t + b sin ω t = E_{0} cos ω t,

et l'identification des coefficients de $cos ω t$ et de $sin ω t$ donne $a + ω τ b = E_{0}$ et $b - ω τ a = 0$ , soit

a = \frac{E _{0}}{1 + ω ^{2} τ ^{2}}, b = \frac{ω τ E _{0}}{1 + ω ^{2} τ ^{2}} .

En écrivant $a cos ω t + b sin ω t = a^{2} + b^{2} cos (ω t - φ)$ avec $tan φ = b / a$ (chapitre 6), on obtient

u_{p} (t) = \frac{E _{0}}{1 + ω ^{2} τ ^{2}} cos (ω t - φ), φ = arctan (ω τ) . (12.10)

La solution générale est $u = u_{p} + C e^{- t / τ}$ : après le régime transitoire, la tension de sortie est une sinusoïde de même fréquence que l'entrée, atténuée d'un facteur $1/ 1 + ω^{2} τ^{2}$ et retardée de la phase $φ$ . Pour $τ = 1$ ms et $f = 50$ Hz, $ω τ = 0, 314$ : le gain vaut $0, 954$ et le déphasage $17, 4°$ ; pour $f = 5$ kHz, $ω τ = 31, 4$ et le gain tombe à $0, 032$ . Le circuit RC est un filtre passe-bas, de fréquence de coupure $f_{c} = 1/ (2 π τ) \approx 159$ Hz, pour laquelle le gain vaut $1/ 2$ .

Exemple 12.9 · Coefficients non constants

(a) Résolvons $y^{'} + \frac{y}{x} = x^{2}$ sur $I =] 0, + \infty [$ . Ici $a (x) = 1/ x$ , $A (x) = ln x$ , donc $y_{h} = C e^{- l n x} = \frac{C}{x}$ . Posons $y = \frac{C ( x )}{x}$ : alors $y^{'} + y / x = \frac{C ^{'} ( x )}{x}$ , et l'équation devient $C^{'} (x) = x^{3}$ , d'où $C (x) = \frac{x ^{4}}{4} + C$ . La solution générale est

y (x) = \frac{x ^{3}}{4} + \frac{C}{x}, C \in R .

On peut vérifier: $y^{'} = \frac{3}{4} x^{2} - C / x^{2}$ et $y / x = \frac{1}{4} x^{2} + C / x^{2}$ , dont la somme vaut bien $x^{2}$ . Seule la solution $C = 0$ se prolonge continûment en $x = 0$ .

(b) Résolvons $x y^{'} - 2 y = x^{3}$ sur $] 0, + \infty [$ . Sous forme normale: $y^{'} - \frac{2}{x} y = x^{2}$ , avec $a (x) = - 2/ x$ , $A (x) = - 2 ln x$ et $y_{h} = C e^{2 l n x} = C x^{2}$ . Posons $y = C (x) x^{2}$ : $y^{'} - 2 y / x = C^{'} (x) x^{2} = x^{2}$ , donc $C^{'} (x) = 1$ , $C (x) = x + C$ et

y (x) = x^{3} + C x^{2} .

Vérification: $x (3 x^{2} + 2 C x) - 2 (x^{3} + C x^{2}) = x^{3}$ . Ici toutes les solutions se prolongent en $0$ avec $y (0) = 0$ et $y^{'} (0) = 0$ : le problème de Cauchy en $x_{0} = 0$ n'a pas de solution unique, ce qui n'est pas contradictoire puisque le coefficient de $y^{'}$ s'annule en $0$ et que l'équation n'y est pas sous la forme (12.6).

Le problème de Cauchy linéaire

Démonstration. D'après (12.8), les solutions sur $I$ sont les $y = e^{- A} (B + C)$ , où $B$ est une primitive fixée de $b e^{A}$ sur $I$ ; elles sont toutes définies sur $I$ entier. La condition $y (x_{0}) = y_{0}$ s'écrit $e^{- A (x_{0})} (B (x_{0}) + C) = y_{0}$ , équation du premier degré en $C$ qui a exactement une solution. $□$

Contrairement à l'exemple 12.3, une équation linéaire n'a jamais de solution qui explose à l'intérieur de l'intervalle où ses coefficients sont continus: c'est l'un des grands conforts des modèles linéaires.

Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Équation caractéristique

Le théorème 12.3 se transpose mot pour mot: les solutions de l'homogène forment un espace vectoriel, et la solution générale de (12.11) est la somme de la solution générale de l'homogène et d'une solution particulière (la démonstration est identique, avec $L (y) = y^{''} + a y^{'} + b y$ ). Reste à résoudre l'homogène. L'idée est de chercher des solutions exponentielles: $y = e^{r x}$ donne $y^{''} + a y^{'} + b y = (r^{2} + a r + b) e^{r x}$ , qui s'annule si et seulement si $P (r) = 0$ . Le discriminant $Δ = a^{2} - 4 b$ distingue trois cas.

Démonstration. Nous travaillons d'abord avec des fonctions à valeurs complexes $y : R \to C$ , dérivées composante par composante; les théorèmes 12.4 et 12.5 restent valables pour de telles fonctions et des coefficients complexes, car leurs preuves n'utilisent que les règles de dérivation et la relation $(e^{r x})^{'} = r e^{r x}$ . Vérifions cette relation pour $r = α + i β$ : d'après le chapitre 2, $e^{r x} = e^{α x} cos β x + i e^{α x} sin β x$ , et en dérivant les deux composantes,

(e^{r x})^{'} = e^{α x} [(α cos β x - β sin β x) + i (α sin β x + β cos β x)] = (α + i β) e^{α x} (cos β x + i sin β x) = r e^{r x} .

Soient $r_{1}, r_{2} \in C$ les racines de $P$ (éventuellement confondues), de sorte que $r_{1} + r_{2} = - a$ et $r_{1} r_{2} = b$ . Pour toute fonction $y$ deux fois dérivable, posons $z = y^{'} - r_{2} y$ . Alors

z^{'} - r_{1} z = y^{''} - (r_{1} + r_{2}) y^{'} + r_{1} r_{2} y = y^{''} + a y^{'} + b y .

Ainsi $y$ est solution de l'homogène si et seulement si $z^{'} - r_{1} z = 0$ , c'est-à-dire (théorème 12.4) $z = K e^{r_{1} x}$ avec $K \in C$ , puis si et seulement si $y^{'} - r_{2} y = K e^{r_{1} x}$ . Cette équation linéaire du premier ordre se résout par variation de la constante: $y = C (x) e^{r_{2} x}$ avec $C^{'} (x) = K e^{(r_{1} - r_{2}) x}$ .

Si $r_{1} \neq = r_{2}$ (cas $Δ \neq = 0$ ): $C (x) = \frac{K}{r _{1} - r _{2}} e^{(r_{1} - r_{2}) x} + C_{2}$ , d'où $y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$ avec $C_{1}, C_{2} \in C$ arbitraires (car $K$ l'est). Si $r_{1} = r_{2} = r_{0}$ (cas $Δ = 0$ ): $C^{'} (x) = K$ , donc $C (x) = K x + C_{1}$ et $y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r_{0} x}$ .

Il reste à extraire les solutions réelles. Dans les cas 1 et 2, les racines sont réelles et $y$ est réelle si et seulement si $C_{1}, C_{2} \in R$ (évaluer $y$ et $y^{'}$ en $0$ ). Dans le cas 3, $r_{1} = α + i β$ et $r_{2} = \overline{r_{1}}$ . Une solution $y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{\overline{r_{1}} x}$ est réelle si et seulement si $y = \overset{y}{ˉ} = \overline{C_{2}} e^{r_{1} x} + \overline{C_{1}} e^{\overline{r_{1}} x}$ ; comme $e^{r_{1} x}$ et $e^{\overline{r_{1}} x}$ ne sont pas proportionnelles (leur quotient $e^{2 i β x}$ n'est pas constant), cela impose $C_{2} = \overline{C_{1}}$ , et alors $y = 2 Re (C_{1} e^{r_{1} x})$ . En écrivant $2 C_{1} = A - i B$ avec $A, B \in R$ ,

y = Re [(A - i B) e^{α x} (cos β x + i sin β x)] = e^{α x} (A cos β x + B sin β x),

ce qui est la forme annoncée. Dans les trois cas, les solutions dépendent linéairement de deux paramètres réels, et les deux fonctions de base ne sont pas proportionnelles: l'espace des solutions est de dimension $2$ . Enfin, résoudre $y (x_{0}) = y_{0}$ , $y^{'} (x_{0}) = y_{1}$ revient à résoudre un système linéaire $2 \times 2$ en $(C_{1}, C_{2})$ , dont le déterminant (le wronskien de l'exercice 12.5) est non nul: la solution existe et est unique. $□$

Exercice

Quelle est la solution générale de $y^{''} + 4 y^{'} + 13 y = 0$ ?

Solution particulière: méthode des coefficients indéterminés

Pour un second membre $f$ quelconque, il existe une méthode de variation des constantes (à deux fonctions inconnues) que nous ne détaillerons pas. Dans les applications, $f$ est presque toujours un polynôme, une exponentielle, une sinusoïde ou un produit de ceux-ci; on cherche alors $y_{p}$ de la même forme, avec des coefficients à déterminer par identification, comme dans l'exemple 12.8.

Second membre $f (x)$	Forme de $y_{p}$ à essayer	Cas de résonance
polynôme de degré $n$	polynôme de degré $n$	multiplier par $x$ si $P (0) = 0$ (par $x^{2}$ si $0$ est racine double)
$e^{λ x}$	$K e^{λ x}$	multiplier par $x$ si $P (λ) = 0$ (par $x^{2}$ si $λ$ est racine double)
$cos ω x$ ou $sin ω x$	$K_{1} cos ω x + K_{2} sin ω x$	multiplier par $x$ si $P (i ω) = 0$
$e^{λ x} cos ω x$	$e^{λ x} (K_{1} cos ω x + K_{2} sin ω x)$	multiplier par $x$ si $P (λ + i ω) = 0$
somme de plusieurs termes	somme des formes correspondantes	(principe de superposition)

La résonance se produit lorsque le second membre est lui-même solution de l'équation homogène: la forme naïve échoue (elle donne $0$ en la reportant) et il faut la multiplier par $x$ . Le principe de superposition — si $y_{1}$ et $y_{2}$ sont des solutions particulières pour $f_{1}$ et $f_{2}$ , alors $y_{1} + y_{2}$ en est une pour $f_{1} + f_{2}$ — découle de la linéarité et permet de traiter les seconds membres composés.

Exemple 12.11 · Second membre polynomial et résonance

(a) $y^{''} + y = x^{2}$ . L'homogène a pour solutions $C_{1} cos x + C_{2} sin x$ . Comme $P (0) = 1 \neq = 0$ , on essaie $y_{p} = α x^{2} + β x + γ$ : $y_{p}^{''} + y_{p} = 2 α + α x^{2} + β x + γ = x^{2}$ donne $α = 1$ , $β = 0$ , $γ = - 2$ . Solution générale: $y = x^{2} - 2 + C_{1} cos x + C_{2} sin x$ .

(b) $y^{''} + 4 y = cos 2 x$ . Les racines sont $\pm 2 i$ et le second membre $cos 2 x$ est solution de l'homogène: résonance. On essaie $y_{p} = x (K_{1} cos 2 x + K_{2} sin 2 x)$ . On calcule $y_{p}^{'} = (K_{1} cos 2 x + K_{2} sin 2 x) + x (- 2 K_{1} sin 2 x + 2 K_{2} cos 2 x)$ , puis $y_{p}^{''} = 2 (- 2 K_{1} sin 2 x + 2 K_{2} cos 2 x) - 4 x (K_{1} cos 2 x + K_{2} sin 2 x)$ , de sorte que $y_{p}^{''} + 4 y_{p} = 4 K_{2} cos 2 x - 4 K_{1} sin 2 x$ . L'identification donne $K_{2} = \frac{1}{4}$ et $K_{1} = 0$ :

y = \frac{x sin 2 x}{4} + C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x .

L'amplitude des oscillations croît linéairement avec $x$ : un système non amorti excité à sa fréquence propre voit sa réponse croître sans limite. C'est le phénomène de résonance, redouté en génie civil (ponts, tours) et exploité en électronique (circuits accordés).

L'oscillateur amorti

Revenons au système masse–ressort–amortisseur en l'absence de force extérieure: $m \overset{x}{¨} + c \overset{x}{˙} + k x = 0$ , avec $m, k > 0$ et $c \geq 0$ . En divisant par $m$ , on l'écrit sous la forme normalisée

\overset{x}{¨} + 2 ζ ω_{0} \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = 0, ω_{0} = \frac{k}{m}, ζ = \frac{c}{2 k m} . (12.12)

Le polynôme caractéristique $r^{2} + 2 ζ ω_{0} r + ω_{0}^{2}$ a pour discriminant réduit $ω_{0}^{2} (ζ^{2} - 1)$ : les trois cas du théorème 12.7 correspondent à trois régimes physiques.

Régime pseudo-périodique ( $0 < ζ < 1$ ). Les racines sont $- ζ ω_{0} \pm i ω_{d}$ avec la pseudo-pulsation $ω_{d} = ω_{0} 1 - ζ^{2}$ , et

x (t) = e^{- ζ ω_{0} t} (C_{1} cos ω_{d} t + C_{2} sin ω_{d} t) = A e^{- ζ ω_{0} t} cos (ω_{d} t - φ) . (12.13)

Le système oscille avec la pseudo-période $T_{d} = 2 π / ω_{d} > T_{0}$ , dans une enveloppe exponentielle de constante de temps $1/ (ζ ω_{0})$ . Le rapport de deux maximums successifs vaut $e^{ζ ω_{0} T_{d}}$ ; son logarithme, le décrément logarithmique

δ = ln \frac{x ( t )}{x ( t + T _{d} )} = ζ ω_{0} T_{d} = \frac{2 π ζ}{1 - ζ ^{2}}, (12.14)

se mesure directement sur un enregistrement et permet d'estimer $ζ$ : c'est ainsi que l'on caractérise l'amortissement d'une structure réelle.

Régime critique ( $ζ = 1$ ). Racine double $- ω_{0}$ : $x (t) = (C_{1} + C_{2} t) e^{- ω_{0} t}$ . Le système revient à l'équilibre sans osciller, et c'est le retour le plus rapide: c'est le réglage recherché pour les amortisseurs de véhicules et les appareils de mesure à aiguille.

Régime apériodique ( $ζ > 1$ ). Deux racines réelles négatives $r_{1, 2} = - ζ ω_{0} \pm ω_{0} ζ^{2} - 1$ : $x (t) = C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t}$ , retour à l'équilibre sans oscillation mais plus lent, car la racine la plus proche de $0$ tend vers $0$ lorsque $ζ$ croît.

Dans tous les cas où $ζ > 0$ , toutes les solutions tendent vers $0$ : l'équilibre est asymptotiquement stable, l'énergie mécanique étant dissipée par l'amortisseur. Pour $ζ = 0$ , on retrouve l'oscillateur harmonique, dont les solutions oscillent indéfiniment.

Figure 12.3. Réponse libre x(t) de l'oscillateur ẍ + 2ζω₀ẋ + ω₀²x = 0 pour ω₀ = 5 rad/s, lâché sans vitesse de la position x(0) = 1. Pour ζ = 0,1, le mouvement est pseudo-périodique et reste dans l'enveloppe ±e^{−ζω₀t} (pointillés); pour ζ = 1 (critique), le retour à l'équilibre est le plus rapide sans oscillation; pour ζ = 2 (apériodique), il est plus lent.

Exemple 12.13 · Suspension d'un instrument

Un instrument de masse $m = 2$ kg est monté sur une suspension de raideur $k = 200$ N/m et d'amortissement $c = 8$ N·s/m. On l'écarte de $x_{0} = 10$ mm et on le lâche sans vitesse.

$ω_{0} = 200/2 = 10$ rad/s ( $T_{0} = 0, 628$ s), $c_{crit} = 2 k m = 40$ N·s/m et $ζ = 8/40 = 0, 2$ : régime pseudo-périodique. Alors $ω_{d} = 10 1 - 0, 04 = 9, 80$ rad/s, $T_{d} = 0, 641$ s, et la constante de temps de l'enveloppe vaut $1/ (ζ ω_{0}) = 0, 5$ s. Le décrément logarithmique est $δ = 2 π \cdot 0, 2/ 0, 96 = 1, 28$ : chaque oscillation a une amplitude $e^{1, 28} \approx 3, 6$ fois plus petite que la précédente.

Avec $x (0) = x_{0}$ et $\overset{x}{˙} (0) = 0$ , (12.13) donne $C_{1} = x_{0}$ et, en dérivant, $- ζ ω_{0} C_{1} + ω_{d} C_{2} = 0$ , soit $C_{2} = x_{0} ζ ω_{0} / ω_{d}$ :

x (t) = x_{0} e^{- 2 t} (cos 9, 80 t + 0, 204 sin 9, 80 t) .

Pour obtenir le régime critique, il faudrait porter $c$ à $40$ N·s/m: la valeur $ζ = 0, 2$ est trop faible pour un instrument que l'on veut lire rapidement, mais typique d'une structure de bâtiment ( $ζ$ y vaut souvent entre $0, 02$ et $0, 05$ ).

Explorateur de l'oscillateur amorti

Réponse libre de ẍ + 2ζω₀ẋ + ω₀²x = 0 avec x(0) = 1 et ẋ(0) = 0. Faites varier le taux d'amortissement ζ et la pulsation propre ω₀: observez le passage du régime pseudo-périodique au régime apériodique en passant par le régime critique (ζ = 1), qui ramène le système à l'équilibre le plus vite sans oscillation.

Régime

pseudo-périodique

Pseudo-pulsation ω_d = ω₀√(1 − ζ²)

2,939rad/s

Pseudo-période T_d = 2π/ω_d

2,138s

Constante de temps 1/(ζω₀)

1,667s

Décrément logarithmique δ

1,283

Taux d'amortissement ζ0,20

Pulsation propre ω₀3,0rad/s

Exercice

Un oscillateur a une masse $m = 0, 5$ kg, une raideur $k = 72$ N/m et un amortissement $c = 3$ N·s/m. Calculez sa pseudo-pulsation $ω_{d}$ en rad/s.

Oscillateur forcé et résonance

Soumettons l'oscillateur à une force sinusoïdale $F (t) = F_{0} cos ω t$ : $\overset{x}{¨} + 2 ζ ω_{0} \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = (F_{0} / m) cos ω t$ . Pour $ζ > 0$ , la solution homogène s'éteint (régime transitoire) et seule subsiste la solution particulière $x_{p} = X cos (ω t - φ)$ , calculée comme dans l'exemple 12.8. On trouve

X (ω) = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ ω _{0} ω ) ^{2}}, tan φ = \frac{2 ζ ω _{0} ω}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}} . (12.15)

Pour $ω \to 0$ , $X \to F_{0} / k$ : c'est la déformation statique. Lorsque $ω$ approche $ω_{0}$ , le premier terme sous la racine s'annule et l'amplitude est limitée seulement par l'amortissement: $X (ω_{0}) = \frac{F _{0} / k}{2 ζ}$ , soit $2, 5$ fois la déformation statique pour $ζ = 0, 2$ , et $10$ fois pour $ζ = 0, 05$ . Le maximum de $X$ est atteint en $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 ζ^{2}$ (pour $ζ < 1/ 2$ ) et vaut $\frac{F _{0} / k}{2 ζ 1 - ζ ^{2}}$ . C'est la résonance; pour $ζ = 0$ , on retrouve l'amplitude infinie (croissance linéaire) de l'exemple 12.11. Pour $ω ≫ ω_{0}$ , l'amplitude décroît comme $1/ ω^{2}$ : le système ne suit plus l'excitation, principe de l'isolation vibratoire.

Le circuit RLC série, $L \overset{q}{¨} + R \overset{q}{˙} + q / C = e (t)$ , obéit à la même équation avec $ω_{0} = 1/ L C$ et $ζ = \frac{R}{2} \frac{C}{L}$ . Pour $L = 10$ mH, $C = 100$ nF et $R = 20 Ω$ : $ω_{0} = 31623$ rad/s, soit $f_{0} = 5, 03$ kHz, et $ζ = 0, 032$ : le circuit est très faiblement amorti, et son amplification à la résonance, $1/ (2 ζ) \approx 16$ , permet de sélectionner une fréquence (accord d'un récepteur radio). La résistance critique vaudrait $2 L / C \approx 632 Ω$ .

Aperçu: au-delà des coefficients constants

Équations d'Euler. L'équation $x^{2} y^{''} + a x y^{'} + b y = 0$ sur $] 0, + \infty [$ n'est pas à coefficients constants, mais le changement de variable $x = e^{t}$ (soit $t = ln x$ ), avec $z (t) = y (e^{t})$ , l'y ramène: on calcule $y^{'} (x) = z^{'} (t) / x$ et $y^{''} (x) = (z^{''} (t) - z^{'} (t)) / x^{2}$ , d'où $z^{''} + (a - 1) z^{'} + b z = 0$ . Les solutions de la forme $z = e^{r t}$ correspondent à $y = x^{r}$ , où $r$ est racine de l'équation indicielle $r (r - 1) + a r + b = 0$ . Par exemple, $x^{2} y^{''} - 2 x y^{'} + 2 y = 0$ donne $r^{2} - 3 r + 2 = 0$ , soit $r = 1$ ou $r = 2$ , et la solution générale $y = C_{1} x + C_{2} x^{2}$ (vérifiez-le). Cette équation apparaît dans les problèmes à symétrie radiale, comme le calcul des contraintes dans un tube sous pression.

Systèmes et ordre supérieur. Une équation d'ordre $n$ se ramène à un système de $n$ équations du premier ordre en prenant pour inconnues $y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}$ ; réciproquement, les systèmes linéaires $Y^{'} = A Y$ se résolvent avec les valeurs propres de la matrice $A$ , qui généralisent les racines de l'équation caractéristique. Le théorème de Cauchy–Lipschitz s'étend aux systèmes, et le résultat de dimension du théorème 12.7 devient: les solutions d'une équation linéaire homogène d'ordre $n$ forment un espace vectoriel de dimension $n$ . L'Analyse II et l'algèbre linéaire fourniront ces outils, ainsi que l'étude qualitative (stabilité, portraits de phase) des équations non linéaires que l'on ne sait pas résoudre explicitement — c'est-à-dire la plupart.

Synthèse

Une équation différentielle d'ordre $n$ possède une solution générale à $n$ constantes; un problème de Cauchy la fixe par $n$ conditions initiales. Le champ des directions donne l'allure des solutions de $y^{'} = f (x, y)$ , et la méthode d'Euler $y_{k + 1} = y_{k} + h f (x_{k}, y_{k})$ les approche avec une erreur en $h$ .
Équations à variables séparables $y^{'} = g (x) h (y)$ : on intègre $\int d y / h (y) = \int g (x) d x$ , sans oublier les solutions stationnaires $h (y) = 0$ . Le théorème de Cauchy–Lipschitz garantit l'existence et l'unicité locales si $f$ est continûment dérivable en $y$ ; l'unicité peut se perdre sinon, et une solution peut exploser en temps fini.
Équations linéaires du premier ordre $y^{'} + a (x) y = b (x)$ : solution générale $= C e^{- A (x)} + y_{p}$ , la solution particulière s'obtenant par variation de la constante ( $C^{'} (x) = b (x) e^{A (x)}$ ); le problème de Cauchy a une unique solution définie sur tout l'intervalle.
Équations linéaires du second ordre à coefficients constants: l'équation caractéristique $r^{2} + a r + b = 0$ donne $C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$ ( $Δ > 0$ ), $(C_{1} + C_{2} x) e^{r_{0} x}$ ( $Δ = 0$ ) ou $e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)$ ( $Δ < 0$ ); l'espace des solutions est de dimension 2.
Une solution particulière se cherche de la même forme que le second membre (polynôme, exponentielle, sinusoïde), multipliée par $x$ en cas de résonance; les conditions initiales se traitent sur la solution complète.
L'oscillateur $\overset{x}{¨} + 2 ζ ω_{0} \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = 0$ est pseudo-périodique ( $ζ < 1$ , pseudo-pulsation $ω_{0} 1 - ζ^{2}$ , décrément logarithmique $2 π ζ / 1 - ζ^{2}$ ), critique ( $ζ = 1$ ) ou apériodique ( $ζ > 1$ ); excité à sa pulsation propre, il entre en résonance avec une amplitude $\propto 1/ (2 ζ)$ .

Série d'exercices du chapitre 12

Exercice 1 sur 5

Exercice

Laquelle de ces équations est à la fois du premier ordre, linéaire et à variables séparables?

Problème guidé

Charge d'un condensateur

Un condensateur $C = 100$ µF, initialement déchargé, est relié à l'instant $t = 0$ à une source continue $E = 12$ V à travers une résistance $R = 22$ k $Ω$ . On note $u (t)$ la tension aux bornes du condensateur et $τ = R C$ la constante de temps. On cherche $u (t)$ et le temps nécessaire pour que le condensateur soit chargé à $95 %$ .

1
Mise en équation
La loi des mailles s'écrit $R i + u = E$ , et le courant qui charge le condensateur vaut $i = C u^{'}$ .
Exercice
Quelle équation différentielle vérifie $u$ ?
Équation homogène
Solution particulière et condition initiale
Temps de charge à 95 %

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 12.1 · Séparation des variables

Résoudre les problèmes de Cauchy suivants et préciser l'intervalle de définition de la solution maximale.

$y^{'} = x y^{2}$ , $y (0) = 1$ .
$y^{'} = \frac{1 + y ^{2}}{1 + x ^{2}}$ , $y (0) = 1$ .
$y^{'} = e^{x - y}$ , $y (0) = 0$ .

Solution

1. La solution nulle est écartée par la condition initiale. Pour $y \neq = 0$ , $\frac{y ^{'}}{y ^{2}} = x$ , d'où $- \frac{1}{y} = \frac{x ^{2}}{2} + C$ . La condition $y (0) = 1$ donne $C = - 1$ , donc

y (x) = \frac{1}{1 - x ^{2} /2} = \frac{2}{2 - x ^{2}} .

Le dénominateur s'annule en $x = \pm 2$ : la solution maximale est définie sur $] - 2, 2 [$ et tend vers $+ \infty$ aux deux bords. Vérification: $y^{'} = \frac{4 x}{( 2 - x ^{2} ) ^{2}} = x y^{2}$ .

2. Séparation: $\frac{y ^{'}}{1 + y ^{2}} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , d'où $arctan y = arctan x + C$ . Avec $y (0) = 1$ : $C = arctan 1 = π /4$ . Ainsi $y = tan (arctan x + \frac{π}{4})$ , ce qui n'a de sens que tant que $arctan x + π /4 \in] - π /2, π /2 [$ , c'est-à-dire $arctan x < π /4$ , soit $x < 1$ . Par la formule d'addition de la tangente,

y (x) = \frac{x + 1}{1 - x} sur] - \infty, 1 [.

Vérification: $y^{'} = \frac{( 1 - x ) + ( x + 1 )}{( 1 - x ) ^{2}} = \frac{2}{( 1 - x ) ^{2}}$ et $\frac{1 + y ^{2}}{1 + x ^{2}} = \frac{( 1 - x ) ^{2} + ( 1 + x ) ^{2}}{( 1 - x ) ^{2} ( 1 + x ^{2} )} = \frac{2 ( 1 + x ^{2} )}{( 1 - x ) ^{2} ( 1 + x ^{2} )}$ : égalité.

3. L'équation s'écrit $e^{y} y^{'} = e^{x}$ ( $h (y) = e^{- y}$ ne s'annule jamais: pas de solution stationnaire), d'où $e^{y} = e^{x} + C$ . Avec $y (0) = 0$ : $C = 0$ , et $y = x$ , définie sur $R$ . On vérifie que $y^{'} = 1 = e^{x - x}$ . Pour une autre condition initiale $y (0) = y_{0}$ , on aurait $y = ln (e^{x} + e^{y_{0}} - 1)$ , définie seulement pour $e^{x} > 1 - e^{y_{0}}$ : si $y_{0} < 0$ , la solution n'existe que sur $] ln (1 - e^{y_{0}}), + \infty [$ .

Exercice 12.2 · Équations linéaires du premier ordre

Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle indiqué.

$y^{'} + 2 x y = x$ sur $R$ , puis la solution vérifiant $y (0) = 2$ .
$x y^{'} + y = sin x$ sur $] 0, + \infty [$ .
$y^{'} - y tan x = 1$ sur $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ .

Solution

1. Homogène: $a (x) = 2 x$ , $A (x) = x^{2}$ , $y_{h} = C e^{- x^{2}}$ . Solution particulière: la constante $y_{p} = \frac{1}{2}$ convient ( $2 x \cdot \frac{1}{2} = x$ ). Par variation de la constante, on retrouve $C^{'} (x) = x e^{x^{2}}$ , $C (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}}$ , $y_{p} = \frac{1}{2}$ . Solution générale:

y (x) = \frac{1}{2} + C e^{- x^{2}} .

La condition $y (0) = 2$ donne $C = \frac{3}{2}$ : $y = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} e^{- x^{2}}$ , d'où $y (1) \approx 1, 052$ ; toutes les solutions tendent vers $\frac{1}{2}$ à l'infini.

2. On remarque que $x y^{'} + y = (x y)^{'}$ : l'équation s'écrit $(x y)^{'} = sin x$ , d'où $x y = - cos x + C$ et

y (x) = \frac{C - cos x}{x} .

La méthode générale donne le même résultat: forme normale $y^{'} + y / x = (sin x) / x$ , $y_{h} = C / x$ , puis $y = C (x) / x$ avec $C^{'} (x) / x = (sin x) / x$ , soit $C^{'} = sin x$ . Seule la solution $C = 1$ , $y = (1 - cos x) / x$ , reste bornée en $0$ (elle tend vers $0$ ).

3. Homogène: $y^{'} = y tan x$ , $a (x) = - tan x$ , dont une primitive est $A (x) = ln cos x$ (car $cos x > 0$ sur l'intervalle); donc $y_{h} = C e^{- l n c o s x} = \frac{C}{cos x}$ . Variation de la constante: $y = \frac{C ( x )}{cos x}$ , $y^{'} - y tan x = \frac{C ^{'} ( x )}{cos x} = 1$ , d'où $C^{'} (x) = cos x$ et $C (x) = sin x + C$ :

y (x) = tan x + \frac{C}{cos x} .

Vérification pour $y_{p} = tan x$ : $y_{p}^{'} - y_{p} tan x = (1 + tan^{2} x) - tan^{2} x = 1$ .

Exercice 12.3 · Second ordre et conditions initiales

Résoudre $y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0$ avec $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 1$ . Mettre la solution sous la forme $A e^{- x} cos (2 x - φ)$ et donner ses zéros.
Résoudre $y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = e^{2 x}$ (attention à la résonance).
Résoudre $y^{''} + y = cos x + x$ avec $y (0) = 0$ , $y^{'} (0) = 0$ .

Solution

1. $Δ = 4 - 20 = - 16$ , racines $- 1 \pm 2 i$ : $y = e^{- x} (C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x)$ . On a $y (0) = C_{1} = 1$ et $y^{'} = e^{- x} ((- C_{1} + 2 C_{2}) cos 2 x + (- C_{2} - 2 C_{1}) sin 2 x)$ , d'où $y^{'} (0) = - C_{1} + 2 C_{2} = 1$ et $C_{2} = 1$ :

y (x) = e^{- x} (cos 2 x + sin 2 x) = 2 e^{- x} cos (2 x - \frac{π}{4}),

puisque $cos 2 x + sin 2 x = 2 (cos 2 x cos \frac{π}{4} + sin 2 x sin \frac{π}{4})$ . Les zéros sont donnés par $2 x - π /4 = π /2 + k π$ , soit $x = \frac{3 π}{8} + \frac{k π}{2}$ , $k \in Z$ : ils sont régulièrement espacés de $π /2$ , la demi-pseudo-période.

2. $P (r) = (r - 2)^{2}$ : racine double $r_{0} = 2$ , $y_{h} = (C_{1} + C_{2} x) e^{2 x}$ . Le second membre $e^{2 x}$ correspond à $λ = 2$ , racine double: on cherche $y_{p} = K x^{2} e^{2 x}$ . Avec $y_{p}^{'} = K (2 x + 2 x^{2}) e^{2 x}$ et $y_{p}^{''} = K (2 + 8 x + 4 x^{2}) e^{2 x}$ ,

y_{p}^{''} - 4 y_{p}^{'} + 4 y_{p} = K e^{2 x} [(2 + 8 x + 4 x^{2}) - (8 x + 8 x^{2}) + 4 x^{2}] = 2 K e^{2 x},

donc $K = \frac{1}{2}$ et

y (x) = (C_{1} + C_{2} x + \frac{x ^{2}}{2}) e^{2 x} .

3. Homogène: $y_{h} = C_{1} cos x + C_{2} sin x$ . Par superposition, on traite les deux termes du second membre séparément. Pour $x$ : $P (0) = 1 \neq = 0$ , $y_{p, 1} = α x + β$ donne $α x + β = x$ , soit $y_{p, 1} = x$ . Pour $cos x$ : résonance ( $\pm i$ sont racines), $y_{p, 2} = x (K_{1} cos x + K_{2} sin x)$ ; le calcul de l'exemple 12.11 (avec $ω = 1$ ) donne $y_{p, 2}^{''} + y_{p, 2} = 2 K_{2} cos x - 2 K_{1} sin x$ , donc $K_{2} = \frac{1}{2}$ , $K_{1} = 0$ et $y_{p, 2} = \frac{1}{2} x sin x$ . Solution générale:

y = C_{1} cos x + C_{2} sin x + x + \frac{x sin x}{2} .

Conditions initiales: $y (0) = C_{1} = 0$ ; $y^{'} = - C_{1} sin x + C_{2} cos x + 1 + \frac{1}{2} (sin x + x cos x)$ , donc $y^{'} (0) = C_{2} + 1 = 0$ et $C_{2} = - 1$ :

y (x) = x - sin x + \frac{x sin x}{2} .

Vérification: $y^{''} = sin x + cos x - \frac{1}{2} x sin x$ et $y^{''} + y = cos x + x$ .

Exercice 12.4 · Cuve de mélange

Une cuve contient $1000$ L d'eau dans laquelle sont dissous $50$ kg de sel. À partir de $t = 0$ , on y verse de la saumure à $0, 02$ kg/L au débit de $10$ L/min; le mélange, supposé homogène à chaque instant, s'écoule au même débit. On note $m (t)$ la masse de sel (en kg) dans la cuve à l'instant $t$ (en minutes).

Établir l'équation différentielle vérifiée par $m$ et identifier sa solution stationnaire.
Résoudre le problème de Cauchy et tracer l'allure de $m$ .
Quelle est la concentration dans la cuve après une heure? Au bout de combien de temps la masse de sel atteint-elle $25$ kg?

Solution

1. Le volume reste constant, égal à $1000$ L, puisque les débits entrant et sortant sont égaux. Le sel entre au taux $10 \times 0, 02 = 0, 2$ kg/min. Il sort au taux (débit) $\times$ (concentration) $= 10 \times \frac{m}{1000} = \frac{m}{100}$ kg/min. Le bilan de masse donne

m^{'} = 0, 2 - \frac{m}{100}, m (0) = 50.

C'est une équation linéaire à coefficients constants, $m^{'} + m /100 = 0, 2$ . La solution stationnaire est $m_{*} = 20$ kg: c'est la masse pour laquelle la concentration de la cuve, $0, 02$ kg/L, égale celle de la saumure entrante.

2. Homogène: $m_{h} = K e^{- t /100}$ . Particulière: $m_{p} = 20$ . Avec $m (0) = 50$ , $K = 30$ et

m (t) = 20 + 30 e^{- t /100} .

La fonction décroît de $50$ kg vers l'asymptote $20$ kg, avec une constante de temps de $100$ min (le temps de renouvellement du volume de la cuve): l'excès de sel initial est «lavé» exponentiellement. L'équation se résout aussi par séparation des variables, $\frac{m ^{'}}{m - 20} = - \frac{1}{100}$ , avec la précaution habituelle sur le signe de $m - 20$ (ici positif).

3. Après $60$ min, $m (60) = 20 + 30 e^{- 0, 6} \approx 36, 46$ kg, soit une concentration de $0, 0365$ kg/L. La masse atteint $25$ kg lorsque $30 e^{- t /100} = 5$ , soit $e^{t /100} = 6$ et

t = 100 ln 6 \approx 179, 2 min,

un peu moins de trois heures. Si le débit sortant était différent du débit entrant, le volume varierait linéairement et l'équation aurait un coefficient non constant: la variation de la constante resterait applicable.

Exercice 12.5 · Superposition et wronskien

Soient $a, b \in R$ et $L (y) = y^{''} + a y^{'} + b y$ .

Montrer que si $y_{1}$ et $y_{2}$ sont solutions de $L (y) = 0$ sur $R$ , alors $λ y_{1} + μ y_{2}$ l'est aussi pour tous $λ, μ \in R$ .
On appelle wronskien de deux fonctions dérivables $y_{1}, y_{2}$ la fonction $W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{1}^{'} y_{2}$ . Calculer le wronskien de $y_{1} = e^{r_{1} x}$ et $y_{2} = e^{r_{2} x}$ et montrer qu'il ne s'annule jamais si $r_{1} \neq = r_{2}$ .
En déduire que si $r_{1} \neq = r_{2}$ , les fonctions $e^{r_{1} x}$ et $e^{r_{2} x}$ sont linéairement indépendantes: $λ e^{r_{1} x} + μ e^{r_{2} x} = 0$ pour tout $x$ implique $λ = μ = 0$ .
Montrer que si $y_{1}$ et $y_{2}$ sont deux solutions quelconques de $L (y) = 0$ , leur wronskien vérifie $W^{'} = - a W$ (formule d'Abel), et en déduire que $W$ est soit identiquement nul, soit jamais nul.

Solution

1. La dérivation est linéaire: $(λ y_{1} + μ y_{2})^{'} = λ y_{1}^{'} + μ y_{2}^{'}$ et de même pour la dérivée seconde. Donc

L (λ y_{1} + μ y_{2}) = λ y_{1}^{''} + μ y_{2}^{''} + a (λ y_{1}^{'} + μ y_{2}^{'}) + b (λ y_{1} + μ y_{2}) = λ L (y_{1}) + μL (y_{2}) = 0.

L'ensemble des solutions est donc stable par combinaison linéaire: c'est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions deux fois dérivables (il contient la fonction nulle).

2. Avec $y_{1}^{'} = r_{1} e^{r_{1} x}$ et $y_{2}^{'} = r_{2} e^{r_{2} x}$ ,

W (x) = e^{r_{1} x} \cdot r_{2} e^{r_{2} x} - r_{1} e^{r_{1} x} \cdot e^{r_{2} x} = (r_{2} - r_{1}) e^{(r_{1} + r_{2}) x} .

L'exponentielle ne s'annule jamais; si $r_{1} \neq = r_{2}$ , le facteur $r_{2} - r_{1}$ est non nul, donc $W (x) \neq = 0$ pour tout $x$ . (Le calcul reste valable pour $r_{1}, r_{2}$ complexes, avec la relation $(e^{r x})^{'} = r e^{r x}$ établie dans la preuve du théorème 12.7.)

3. Supposons $λ e^{r_{1} x} + μ e^{r_{2} x} = 0$ pour tout $x \in R$ . En dérivant, $λ r_{1} e^{r_{1} x} + μ r_{2} e^{r_{2} x} = 0$ . En un point $x$ fixé, $(λ, μ)$ est solution du système linéaire homogène

{e^{r_{1} x} λ + e^{r_{2} x} μ = 0 r_{1} e^{r_{1} x} λ + r_{2} e^{r_{2} x} μ = 0

dont le déterminant est précisément $W (x) \neq = 0$ . Par la règle de Cramer, la seule solution est $λ = μ = 0$ . Ainsi les deux fonctions sont linéairement indépendantes et, avec le point 1, l'espace qu'elles engendrent est de dimension $2$ : c'est la partie «indépendance» du théorème 12.7 dans le cas $Δ \neq = 0$ . Le même argument, avec $W = e^{2 r_{0} x} \neq = 0$ pour $y_{1} = e^{r_{0} x}$ , $y_{2} = x e^{r_{0} x}$ , traite le cas $Δ = 0$ .

4. Dérivons $W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{1}^{'} y_{2}$ par la règle du produit: $W^{'} = y_{1}^{'} y_{2}^{'} + y_{1} y_{2}^{''} - y_{1}^{''} y_{2} - y_{1}^{'} y_{2}^{'} = y_{1} y_{2}^{''} - y_{1}^{''} y_{2}$ . Comme $y_{1}$ et $y_{2}$ sont solutions, $y_{i}^{''} = - a y_{i}^{'} - b y_{i}$ , donc

W^{'} = y_{1} (- a y_{2}^{'} - b y_{2}) - (- a y_{1}^{'} - b y_{1}) y_{2} = - a (y_{1} y_{2}^{'} - y_{1}^{'} y_{2}) = - a W .

Par le théorème 12.4 (ou l'exemple 12.2), $W (x) = W (x_{0}) e^{- a (x - x_{0})}$ : si $W (x_{0}) = 0$ en un point, $W$ est identiquement nul; sinon $W$ ne s'annule jamais. On vérifie sur le point 2: $W^{'} = (r_{1} + r_{2}) W = - a W$ , car $r_{1} + r_{2} = - a$ . Le wronskien est l'outil qui, en Analyse II, permettra d'étendre la théorie aux coefficients variables: deux solutions dont le wronskien est non nul forment toujours une base de l'espace des solutions.

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles, chap. 7.
Boyce, W. E. et DiPrima, R. C., Équations différentielles, Chenelière Éducation, Montréal.
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Apostol, T. M., Calculus, vol. 1, 2e éd., Wiley, New York, chap. 8.
Rao, S. S., Mechanical Vibrations, 6e éd., Pearson, Harlow, chap. 2–3 (oscillateur amorti et résonance).

Objectifs du chapitre

Vocabulaire et modélisation

Qu'est-ce qu'une équation différentielle?

Quelques modèles

Interprétation géométrique: champ des directions

La méthode d'Euler

Équations du premier ordre à variables séparables

La méthode

Exemples fondamentaux

Existence et unicité

Équations linéaires du premier ordre

Structure des solutions

Variation de la constante

Exemples

Le problème de Cauchy linéaire

Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Équation caractéristique

Solution particulière: méthode des coefficients indéterminés

L'oscillateur amorti

Explorateur de l'oscillateur amorti

Oscillateur forcé et résonance

Aperçu: au-delà des coefficients constants

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 12

Charge d'un condensateur

Mise en équation

Équation homogène

Solution particulière et condition initiale

Temps de charge à 95 %

Exercices

Références