Outils mathématiques · Microéconomie

La microéconomie du premier cycle n'exige pas de mathématiques nouvelles: tout ce dont ce cours a besoin figure au programme de maturité, mais il faut le mobiliser avec aisance et dans un vocabulaire un peu différent. Une courbe de demande est une fonction; une recette marginale est une dérivée; le choix du consommateur est un problème d'optimisation sous contrainte; une élasticité est une dérivée logarithmique; un surplus est une aire, donc une intégrale; un équilibre est la solution d'un système d'équations; et un choix risqué se compare par une espérance. Cette annexe rassemble ces outils, dans l'ordre où le cours les rencontre, avec les notations de l'annexe A et des exemples chiffrés en francs suisses. Les chapitres 2 à 4 utilisent surtout les fonctions linéaires, les aires et les élasticités; les chapitres 5 à 8 reposent sur les dérivées et l'optimisation; les chapitres 9 et 10 sur les systèmes d'équations; le chapitre 11 sur l'espérance.

Le lecteur qui souhaite aller plus loin (fonctions de plusieurs variables, matrices hessiennes, programmation non linéaire) trouvera dans les références de fin d'annexe les manuels de mathématiques pour économistes utilisés dans les hautes écoles suisses.

Fonctions et graphiques

La plupart des modèles du cours sont linéaires parce qu'ils se résolvent à la main. Une demande linéaire s'écrit $Q_{d} (p) = a - b p$ avec $a, b > 0$ : à prix nul on demanderait $a$ unités, et chaque franc supplémentaire réduit la quantité demandée de $b$ unités. La quantité demandée s'annule au prix de réservation $p = a / b$ . Par exemple, $Q_{d} (p) = 120 - 4 p$ vaut $80$ pour $p = 10$ , $40$ pour $p = 20$ , et $0$ pour $p = 30$ .

Avec $Q_{d} (p) = 120 - 4 p$ , on obtient $p (Q) = 30 - Q /4$ : la pente de la demande inverse est $- 1/4$ , l'inverse de la pente $- 4$ de la demande directe. Cette distinction est constante dans le cours: la recette marginale, le surplus, la tarification du monopole se calculent avec la demande inverse, tandis que l'élasticité se calcule d'abord avec la demande directe.

Deux courbes se coupent là où leurs équations sont simultanément satisfaites: c'est l'équilibre, traité plus bas avec les systèmes d'équations. Une droite horizontale $p = \overset{p}{ˉ}$ représente un prix imposé; une droite verticale $Q = \overset{ˉ}{Q}$ représente une quantité fixée (quota, offre rigide à court terme).

Dérivées

Les règles de calcul utilisées dans le cours tiennent en une table. Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables et $k$ , $n$ sont des constantes réelles.

Règle	Fonction	Dérivée
Constante	$k$	$0$
Puissance	$x^{n}$	$n x^{n - 1}$
Somme	$u + v$	$u^{'} + v^{'}$
Produit par une constante	$k u$	$k u^{'}$
Produit	$u v$	$u^{'} v + u v^{'}$
Quotient	$u / v$	$\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
Composée (chaîne)	$u (v (x))$	$u^{'} (v (x)) v^{'} (x)$
Logarithme naturel	$ln x$	$1/ x$
Exponentielle	$e^{x}$	$e^{x}$
Racine carrée	$x = x^{1/2}$	$\frac{1}{2 x}$

La règle de la puissance vaut pour tout exposant réel: $(x^{- 1})^{'} = - x^{- 2}$ , $(x^{0, 5})^{'} = 0, 5 x^{- 0, 5}$ . Combinée à la règle de la chaîne, elle donne $(ln u (x))^{'} = u^{'} (x) / u (x)$ , formule centrale pour les élasticités.

Le tableau suivant récapitule les dérivées qui reviennent d'un chapitre à l'autre.

Objet	Fonction	Dérivée utilisée
Demande linéaire	$Q_{d} = a - b p$	$d Q_{d} / d p = - b$
Recette du monopole	$R T = p (Q) Q$	$R m = p (Q) + p^{'} (Q) Q$
Recette avec demande inverse linéaire	$R T = (A - B Q) Q$	$R m = A - 2 B Q$
Coût quadratique	$C T = F + c q + d q^{2}$	$C m = c + 2 d q$
Utilité Cobb–Douglas	$U = x^{α} y^{1 - α}$	$U_{x} = α x^{α - 1} y^{1 - α}$ , $U_{y} = (1 - α) x^{α} y^{- α}$
Utilité logarithmique	$U = ln x$	$U^{'} = 1/ x$
Production	$q = A K^{a} L^{b}$	$\partial q / \partial L = b A K^{a} L^{b - 1}$
Fonction à élasticité constante	$Q = A p^{- ε}$	$d Q / d p = - ε A p^{- ε - 1}$

La ligne de la recette du monopole illustre la règle du produit: comme $p^{'} (Q) < 0$ , la recette marginale est inférieure au prix, car vendre une unité de plus oblige à baisser le prix sur toutes les unités (chapitre 8). Pour une fonction de deux variables, $U_{x} = \partial U / \partial x$ désigne la dérivée partielle: on dérive par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une constante.

Exercice

Une fromagerie de Gruyère a pour coût total $C T (q) = 50 + 2 q + 0, 1 q^{2}$ (CHF, $q$ en meules). Calculez le coût marginal $C m (10)$ de la dixième meule.

Optimisation sans contrainte

La condition du premier ordre a toujours la même lecture économique: à l'optimum, le bénéfice marginal égale le coût marginal. Tant que la dernière unité rapporte plus qu'elle ne coûte, il faut en faire davantage; dès qu'elle coûte plus qu'elle ne rapporte, on en a trop fait. La condition du second ordre garantit que l'on a trouvé un sommet et non un creux; elle est automatiquement satisfaite lorsque le bénéfice marginal est décroissant et le coût marginal croissant.

Pour le monopole, le prix dépend de la quantité vendue et la même méthode donne $R m (q) = C m (q)$ . Avec $p (q) = 30 - q /4$ et $C T (q) = 100 + 5 q + 0, 25 q^{2}$ , on a $R T (q) = 30 q - q^{2} /4$ , $R m (q) = 30 - q /2$ et $C m (q) = 5 + q /2$ ; l'égalité $30 - q /2 = 5 + q /2$ donne $q^{*} = 25$ , $p^{*} = 30 - 6, 25 = 23, 75$ CHF et $π^{*} = 593, 75 - 381, 25 = 212, 50$ CHF. Le lecteur vérifiera que $π^{''} = - 1 < 0$ .

Optimisation sous contrainte

Le consommateur maximise son utilité sous la contrainte de son budget; le producteur minimise son coût sous la contrainte de produire une quantité donnée. Deux méthodes permettent de résoudre ces problèmes.

Méthode de substitution

On résout la contrainte pour une variable, on la reporte dans l'objectif, et l'on se ramène à un problème sans contrainte. Pour $max U (x, y)$ sous $p_{x} x + p_{y} y = R$ , on écrit $y = (R - p_{x} x) / p_{y}$ et l'on maximise $g (x) = U (x, (R - p_{x} x) / p_{y})$ . La règle de la chaîne donne

g^{'} (x) = U_{x} - U_{y} \frac{p _{x}}{p _{y}} = 0 ⟺ \frac{U _{x}}{U _{y}} = \frac{p _{x}}{p _{y}} . (B.2)

Le rapport $U_{x} / U_{y}$ est le taux marginal de substitution $T M S$ : à l'optimum, la pente de la courbe d'indifférence égale la pente de la droite de budget (chapitre 5). La substitution est rapide à deux variables mais devient lourde au-delà; d'où la méthode suivante.

Méthode de Lagrange

Les deux premières équations disent que le gradient de $f$ est proportionnel à celui de $g$ (les courbes de niveau sont tangentes); la troisième n'est autre que la contrainte. La dernière affirmation est la clé de l'interprétation: $λ$ mesure de combien l'objectif optimal augmente lorsque l'on relâche la contrainte d'une unité.

Exemple B.3 · Consommateur Cobb–Douglas

Une étudiante genevoise dispose de $R = 1200$ CHF par mois pour deux biens, des repas $x$ à $p_{x} = 20$ CHF et des sorties $y$ à $p_{y} = 30$ CHF, et ses préférences sont $U (x, y) = x^{α} y^{1 - α}$ avec $α = 0, 4$ . Le lagrangien est

L = x^{α} y^{1 - α} - λ (p_{x} x + p_{y} y - R) .

Conditions du premier ordre:

L_{x} L_{y} L_{λ} = α x^{α - 1} y^{1 - α} - λ p_{x} = 0, = (1 - α) x^{α} y^{- α} - λ p_{y} = 0, = - (p_{x} x + p_{y} y - R) = 0.

En divisant la première équation par la deuxième, les puissances se simplifient et il reste

\frac{α}{1 - α} \cdot \frac{y}{x} = \frac{p _{x}}{p _{y}} ⟺ p_{y} y = \frac{1 - α}{α} p_{x} x .

Reporté dans le budget, $p_{x} x + \frac{1 - α}{α} p_{x} x = R$ , soit $p_{x} x = α R$ . On obtient les fonctions de demande

x^{*} = \frac{α R}{p _{x}}, y^{*} = \frac{( 1 - α ) R}{p _{y}} : (B.3)

le consommateur Cobb–Douglas consacre la part fixe $α$ de son revenu au bien $x$ , quel que soit le prix. Numériquement, $x^{*} = 0, 4 \cdot 1200/20 = 24$ repas et $y^{*} = 0, 6 \cdot 1200/30 = 24$ sorties, et $U^{*} = 2 4^{0, 4} \cdot 2 4^{0, 6} = 24$ .

Le multiplicateur s'obtient à partir de la première condition: $λ = U_{x} / p_{x} = 0, 4 \cdot 2 4^{- 0, 6} \cdot 2 4^{0, 6} /20 = 0, 4/20 = 0, 02$ . On vérifie de même $U_{y} / p_{y} = 0, 6/30 = 0, 02$ : à l'optimum, l'utilité marginale par franc dépensé est la même pour tous les biens. Ce $λ$ est l'utilité marginale du revenu: avec $R = 1201$ CHF, on trouve $U^{*} = 24, 02$ , soit $0, 02$ de plus, exactement comme l'annonce $V^{'} (R) = λ$ .

Exemple B.4 · Minimisation du coût de production

Une entreprise produit $q = F (K, L) = K^{1/2} L^{1/2}$ avec un salaire $w = 40$ CHF par heure et un coût du capital $r = 10$ CHF par heure-machine. Pour produire $q = 100$ au moindre coût, elle résout $min w L + r K$ sous $K^{1/2} L^{1/2} = 100$ . Le lagrangien $L = w L + r K - μ (K^{1/2} L^{1/2} - q)$ donne

w = μ \frac{1}{2} K^{1/2} L^{- 1/2}, r = μ \frac{1}{2} K^{- 1/2} L^{1/2},

et le quotient des deux, $w / r = K / L$ : le rapport des productivités marginales (le taux marginal de substitution technique) égale le rapport des prix des facteurs. Donc $K = (w / r) L = 4 L$ , et la contrainte $4 L \cdot L = 2 L = 100$ donne $L^{*} = 50$ heures, $K^{*} = 200$ heures-machine et un coût minimal $C^{*} = 40 \cdot 50 + 10 \cdot 200 = 4000$ CHF. En général, $C^{*} (q) = 2 q w r$ pour cette technologie, et $μ = C^{*'} (q) = 2 w r = 40$ CHF: ici, le multiplicateur est le coût marginal de long terme, c'est-à-dire ce que coûterait la 101e unité.

Exercice

Dans le problème du consommateur $max U (x, y)$ sous $p_{x} x + p_{y} y = R$ , le multiplicateur de Lagrange $λ$ à l'optimum s'interprète comme:

Élasticités et logarithmes

Démonstration. Posons $u = ln p$ , de sorte que $p = e^{u}$ et $d p / d u = e^{u} = p$ . Par la règle de la chaîne appliquée à $u \mapsto ln Q (e^{u})$ ,

\frac{d ln Q}{d ln p} = \frac{d ln Q}{d Q} \cdot \frac{d Q}{d p} \cdot \frac{d p}{d u} = \frac{1}{Q} \cdot \frac{d Q}{d p} \cdot p = ε . □

Cette identité a trois conséquences pratiques.

Fonctions à élasticité constante. Si $Q = A p^{- b}$ avec $A, b > 0$ , alors $ln Q = ln A - b ln p$ , dont la dérivée par rapport à $ln p$ est $- b$ : l'élasticité vaut $- b$ en tout point. Par exemple $Q = 500 p^{- 1, 5}$ a une élasticité-prix de $- 1, 5$ partout; à $p = 4$ CHF on demande $Q = 500/8 = 62, 5$ unités. À l'inverse, une demande linéaire $Q = a - b p$ a une élasticité $ε = - b p / (a - b p)$ qui varie le long de la droite: pour $Q = 120 - 4 p$ , $ε = - 0, 5$ en $p = 10$ , $- 1$ en $p = 15$ et $- 2$ en $p = 20$ (chapitre 3).

Régression log-linéaire. Si l'on dispose d'observations $(p_{i}, Q_{i})$ , par exemple le prix et les ventes mensuelles d'un produit chez Coop, la régression de $ln Q_{i}$ sur $ln p_{i}$ ,

ln Q_{i} = a + b ln p_{i} + erreur_{i},

fournit directement une estimation $\hat{b}$ de l'élasticité-prix. C'est la raison pour laquelle les études empiriques d'élasticité (essence, tabac, électricité, primes LAMal) rapportent presque toujours des coefficients de régressions «en logs».

Pourcentages et taux de croissance. Pour une petite variation, $Δ ln x = ln (x_{1} / x_{0}) \approx Δ x / x_{0}$ : une hausse de $10 %$ correspond à $ln 1, 1 \approx 0, 0953$ , une hausse de $1 %$ à $0, 00995$ . Comme le logarithme transforme les produits en sommes, $ln (pQ) = ln p + ln Q$ et donc, en variations relatives,

%Δ R T \approx %Δ p + %Δ Q = %Δ p (1 + ε) .

La recette totale augmente avec le prix si $ε > - 1$ (demande inélastique) et diminue si $ε < - 1$ (demande élastique).

Exercice

Le prix d'un billet de cinéma à Lausanne passe de $10$ à $12$ CHF et les entrées hebdomadaires tombent de $100$ à $85$ . Calculez l'élasticité d'arc (formule du point milieu), arrondie à trois décimales.

Aires et surplus

Les surplus du chapitre 2 et les pertes sèches du chapitre 4 sont des aires comprises entre une courbe et une droite de prix. Avec des courbes linéaires, il suffit de deux formules:

Aire d’un triangle = \frac{1}{2} base \times hauteur, Aire d’un trap \overset{e}{ˋ} ze = \frac{1}{2} (base_{1} + base_{2}) \times hauteur .

Pour une courbe quelconque, l'aire sous $p (Q)$ entre $0$ et $Q_{0}$ est l'intégrale $\int_{0}^{Q_{0}} p (Q) d Q$ , et la primitive d'une fonction affine $A - B Q$ est $A Q - B Q^{2} /2$ .

Exemple B.6 · Perte sèche d'une taxe

Sur le marché $Q_{d} = 120 - 4 p$ , $Q_{s} = 4 p - 40$ , l'équilibre est $p^{*} = 20$ CHF et $Q^{*} = 40$ (voir la section suivante). Une taxe de $t = 3$ CHF par unité prélevée auprès des vendeurs crée un écart entre le prix payé $p_{d}$ et le prix reçu $p_{s} = p_{d} - 3$ : la condition $120 - 4 p_{d} = 4 (p_{d} - 3) - 40$ donne $p_{d} = 21, 50$ CHF, $p_{s} = 18, 50$ CHF et $Q_{t} = 34$ . Le surplus des consommateurs passe de $\frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (30 - 20) = 200$ à $\frac{1}{2} \cdot 34 \cdot (30 - 21, 5) = 144, 50$ CHF; la baisse de $55, 50$ CHF est l'aire du trapèze de hauteur $1, 50$ et de bases $40$ et $34$ : $\frac{1}{2} (40 + 34) \cdot 1, 5 = 55, 50$ . Le surplus des producteurs baisse symétriquement de $200$ à $144, 50$ CHF (l'offre coupe l'axe des prix en $p = 10$ ). L'État encaisse $3 \cdot 34 = 102$ CHF. Le bilan, $400 - (144, 50 + 144, 50 + 102) = 9$ CHF, est la perte sèche: le triangle de base $t = 3$ et de hauteur $Q^{*} - Q_{t} = 6$ , d'aire $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$ CHF. Ce sont les unités entre $34$ et $40$ qui valaient plus pour les acheteurs qu'elles ne coûtaient aux vendeurs, et qui ne sont plus échangées.

Une règle utile pour les chapitres 4 et 8: la perte sèche d'une distorsion de taille $t$ est proportionnelle à $t^{2}$ (base et hauteur du triangle croissent toutes deux avec $t$ ). Doubler une taxe quadruple approximativement la perte sèche.

Systèmes d'équations

Un équilibre de marché est un couple $(p^{*}, Q^{*})$ qui satisfait à la fois l'équation de demande et l'équation d'offre: c'est la solution d'un système de deux équations à deux inconnues.

Démonstration. L'égalité $a - b p = - c + d p$ équivaut à $(b + d) p = a + c$ , d'où $p^{*}$ ; en reportant dans la demande, $Q^{*} = a - b (a + c) / (b + d) = (a (b + d) - b (a + c)) / (b + d) = (a d - b c) / (b + d)$ . La condition $a d > b c$ assure $Q^{*} > 0$ , c'est-à-dire que le prix de réservation $a / b$ dépasse le prix minimal d'offre $c / d$ . $□$

Avec $a = 120$ , $b = 4$ , $c = 40$ , $d = 4$ : $p^{*} = 160/8 = 20$ CHF et $Q^{*} = (480 - 160) /8 = 40$ . Les formules (B.4) rendent aussi les statiques comparatives immédiates: une hausse de $a$ (déplacement de la demande vers la droite) élève $p^{*}$ et $Q^{*}$ ; une hausse de $c$ (déplacement de l'offre vers la gauche) élève $p^{*}$ mais réduit $Q^{*}$ .

Fonctions de réaction et systèmes 2×2

En oligopole (chapitre 9), chaque entreprise choisit sa quantité en fonction de celle de sa rivale. Dans le duopole de Cournot avec demande inverse $p = 100 - (q_{1} + q_{2})$ et coûts marginaux constants $c_{1}$ et $c_{2}$ , le profit de l'entreprise 1 est $π_{1} = (100 - q_{1} - q_{2} - c_{1}) q_{1}$ ; la condition du premier ordre $\partial π_{1} / \partial q_{1} = 100 - 2 q_{1} - q_{2} - c_{1} = 0$ donne la fonction de réaction

q_{1} = \frac{100 - c _{1} - q _{2}}{2},

et symétriquement $q_{2} = (100 - c_{2} - q_{1}) /2$ . L'équilibre de Nash–Cournot est le point où chacune réagit optimalement à l'autre, solution du système linéaire

{2 q_{1} + q_{2} = 100 - c_{1}, q_{1} + 2 q_{2} = 100 - c_{2} .

On le résout par substitution ou par combinaison (multiplier la première équation par 2 et soustraire la seconde élimine $q_{2}$ ). Sous forme matricielle, le système s'écrit $M q = b$ avec $M = (2112)$ , de déterminant $det M = 4 - 1 = 3 \neq = 0$ : la solution existe et est unique, et la règle de Cramer donne

q_{1} = \frac{2 ( 100 - c _{1} ) - ( 100 - c _{2} )}{3}, q_{2} = \frac{2 ( 100 - c _{2} ) - ( 100 - c _{1} )}{3} .

Avec $c_{1} = c_{2} = 10$ , on retrouve la solution symétrique $q_{1} = q_{2} = 30$ , $p = 40$ et $π_{i} = 900$ CHF. Le cours d'Algèbre linéaire développe le calcul matriciel et les systèmes à $n$ inconnues, indispensables dès que l'oligopole compte plus de deux entreprises ou que le modèle d'équilibre général relie plusieurs marchés (chapitre 12).

Exercice

Duopole de Cournot avec $p = 100 - (q_{1} + q_{2})$ , $c_{1} = 10$ et $c_{2} = 16$ . Calculez la quantité d'équilibre $q_{1}$ de l'entreprise la plus efficace.

Espérance et risque

Le chapitre 11 (assurance, sélection adverse) et les choix en incertitude demandent de comparer des perspectives aléatoires. Une loterie est une liste de résultats $w_{1}, \dots, w_{n}$ (ici des niveaux de richesse en CHF) et de probabilités $π_{1}, \dots, π_{n}$ de somme $1$ .

L'espérance et l'utilité espérée ne se confondent pas. Un individu est averse au risque s'il préfère recevoir $E [w]$ avec certitude plutôt que la loterie elle-même, c'est-à-dire si $u (E [w]) > E [u (w)]$ . C'est exactement la propriété des fonctions concaves ( $u^{''} < 0$ , utilité marginale de la richesse décroissante): la corde joignant deux points du graphe est sous la courbe (inégalité de Jensen). L'équivalent certain $E C$ est la richesse sûre qui procure la même utilité que la loterie, $u (E C) = E [u (w)]$ , et la prime de risque est $E [w] - E C \geq 0$ .

Exemple B.7 · Prime d'assurance maximale

Un cycliste possède une richesse de $10000$ CHF, dont un vélo électrique de $3600$ CHF qui a une probabilité de $10 %$ d'être volé dans l'année; son utilité est $u (w) = w$ . Sans assurance, la richesse espérée est $0, 9 \cdot 10000 + 0, 1 \cdot 6400 = 9640$ CHF, et l'utilité espérée

E [u] = 0, 910000 + 0, 16400 = 0, 9 \cdot 100 + 0, 1 \cdot 80 = 98.

L'équivalent certain est $E C = 9 8^{2} = 9604$ CHF: le cycliste est indifférent entre sa situation risquée et $9604$ CHF sûrs. Il accepte donc de payer jusqu'à $10000 - 9604 = 396$ CHF pour une assurance qui rembourse intégralement le vélo. La prime actuariellement juste, égale à la perte espérée, n'est que $0, 1 \cdot 3600 = 360$ CHF; la différence, $36$ CHF, est la prime de risque, marge que l'assureur peut prélever pour ses frais tout en laissant l'assuré gagnant. Un individu neutre au risque ( $u$ linéaire) n'aurait payé que $360$ CHF.

Exercice

Même cycliste ( $w = 10000$ CHF, $u = w$ ), mais le risque de vol est de $20 %$ . Quelle prime maximale (en CHF) accepte-t-il de payer pour une assurance complète?

Exercice

Ordonnez les étapes de la résolution du problème du consommateur par la méthode de Lagrange.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Diviser les deux premières conditions pour obtenir

T M S = p_{x} / p_{y}

Calculer

λ = U_{x} / p_{x}

et l'interpréter comme utilité marginale du revenu.

Annuler les dérivées partielles

L_{x}

L_{y}

L_{λ}

Écrire le lagrangien

L = U (x, y) - λ (p_{x} x + p_{y} y - R)

Reporter la relation entre

x

y

dans la contrainte budgétaire pour trouver

x^{*}

y^{*}

Références

A. C. Chiang et K. Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, 4e éd., McGraw-Hill. Le classique: dérivées, optimisation libre et sous contrainte, statiques comparatives, avec de nombreux exemples économiques.
C. P. Simon et L. Blume, Mathématiques pour économistes, De Boeck (trad. de Mathematics for Economists). Plus complet et plus rigoureux; les chapitres sur le lagrangien et les conditions du second ordre prolongent cette annexe.
K. Sydsæter, P. Hammond et A. Strøm, Mathématiques pour l'économie, 5e éd., Pearson. Manuel de référence en première année dans plusieurs universités suisses, avec des exercices corrigés sur chaque outil présenté ici.
H. R. Varian, Introduction à la microéconomie, De Boeck. Les appendices mathématiques de chaque chapitre montrent comment le cours utilise dérivées et lagrangiens.
Polycopiés Mathématiques I et Mathématiques II (HEC Lausanne) et Méthodes mathématiques pour économistes (UNIGE, GSEM): notes de cours disponibles auprès des enseignants, alignées sur les prérequis de ce cours.