Production et coûts · Microéconomie

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

décrire la technologie d'une entreprise par sa fonction de production et distinguer le court terme (capital fixe) du long terme (tous les facteurs variables);
calculer et interpréter les produits total, moyen et marginal du travail, énoncer la loi des rendements marginaux décroissants et démontrer le lien entre produit moyen et produit marginal;
lire une carte d'isoquantes, calculer un taux marginal de substitution technique et déterminer la nature des rendements d'échelle d'une fonction Cobb–Douglas;
distinguer coût comptable et coût économique, coûts fixes et variables, coûts moyens et coût marginal, et démontrer les relations qui les lient (le coût marginal coupe les coûts moyens en leur minimum);
déterminer la combinaison de facteurs qui minimise le coût d'une production donnée et en déduire la fonction de coût de long terme;
expliquer les économies et déséconomies d'échelle, l'échelle minimale efficace et la courbe d'apprentissage, et les reconnaître dans l'économie suisse.

L'entreprise et la production

Facteurs et fonction de production

Le chapitre 5 a décrit le consommateur qui choisit un panier sous contrainte de budget. Ce chapitre passe de l'autre côté du marché: l'entreprise achète des facteurs de production, les transforme en biens ou services, et cherche à le faire au moindre coût. Une boulangerie de Fribourg combine des heures de travail (les boulangers), du capital (four, pétrin, local) et des matières premières (farine, beurre) pour produire des pains; une centrale hydroélectrique valaisanne combine un barrage, des turbines et quelques opérateurs pour produire des kilowattheures. Dans les deux cas, la question économique est la même: combien produire, avec quels facteurs, et à quel coût?

On regroupe traditionnellement les facteurs de production en quatre catégories: le travail $L$ (heures ou personnes), le capital $K$ (machines, bâtiments, équipements), la terre et les ressources naturelles, et l'entrepreneuriat, c'est-à-dire la capacité d'organiser les trois autres et de prendre des risques. Pour simplifier, nous ne retiendrons que les deux premiers.

Produit total, moyen et marginal

À court terme, la production ne dépend que du travail: $q = f (L, \overset{ˉ}{K})$ , que nous noterons simplement $q = f (L)$ . Trois grandeurs décrivent la contribution du travail.

Le produit moyen est ce que le langage courant appelle la productivité du travail: l'Office fédéral de la statistique (OFS) la mesure comme le PIB par heure travaillée. Le produit marginal est la notion pertinente pour les décisions: embaucher un boulanger de plus vaut-il la peine? Cela dépend de ce qu'il ajoute à la production, pas de la moyenne.

Exemple 6.1 · Une boulangerie de Fribourg

Une boulangerie dispose d'un four et d'un pétrin (capital fixe). Le tableau donne le nombre de pains produits par jour selon le nombre de boulangers.

$L$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$q$ (pains)	0	50	120	210	280	330	360	375	375	365
$P M_{L}$	–	50	60	70	70	66	60	53,6	46,9	40,6
$P m_{L}$	–	50	70	90	70	50	30	15	0	−10

Le produit marginal croît d'abord (50, 70, 90): un boulanger seul doit tout faire, deux se répartissent le pétrissage et la cuisson, trois se spécialisent. À partir du quatrième, le produit marginal décroît (70, 50, 30, …): le four et le pétrin sont de plus en plus sollicités, les boulangers attendent leur tour. Le huitième n'ajoute rien, et le neuvième gêne les autres: son produit marginal est négatif.

Observez la colonne du produit moyen: il augmente tant que le produit marginal lui est supérieur ( $P m_{L} = 90 > 70$ en $L = 3$ ), atteint son maximum de 70 pains par boulanger quand $P m_{L} = P M_{L} = 70$ ( $L = 4$ ), puis diminue dès que $P m_{L} < P M_{L}$ . Ce n'est pas un hasard, c'est le théorème 6.1.

Ce n'est pas un théorème mathématique mais une régularité empirique, vérifiée dans presque tous les processus de production: un facteur fixe (four, terrain, réseau) finit toujours par saturer. Elle ne dit pas que le produit marginal décroît dès la première unité (il peut d'abord croître grâce à la spécialisation, comme dans l'exemple 6.1), ni que la production baisse (elle baisse seulement quand $P m_{L}$ devient négatif). Notez la différence avec les rendements d'échelle de la section suivante, où tous les facteurs augmentent ensemble.

Démonstration. Dérivons le quotient $P M_{L} (L) = f (L) / L$ :

\frac{d P M _{L}}{d L} = \frac{f ^{'} ( L ) L - f ( L )}{L ^{2}} = \frac{1}{L} (f^{'} (L) - \frac{f ( L )}{L}) = \frac{1}{L} (P m_{L} - P M_{L}) .

Comme $L > 0$ , la dérivée a le signe de $P m_{L} - P M_{L}$ : le produit moyen croît exactement quand le produit marginal lui est supérieur, et décroît quand il lui est inférieur. Au maximum intérieur de $P M_{L}$ , la dérivée s'annule, donc $P m_{L} = P M_{L}$ . $□$

L'intuition est celle des moyennes: si un nouvel étudiant qui rejoint un groupe a une note supérieure à la moyenne du groupe, la moyenne monte; sinon elle baisse. Le produit marginal est la «note» de la dernière unité de travail. Cette relation entre une grandeur moyenne et sa grandeur marginale reviendra, à l'identique, pour les coûts.

Figure 6.1. Produit total q = 3L² − 0,1L³ (en haut), produit moyen PM = 3L − 0,1L² et produit marginal Pm = 6L − 0,3L² (en bas), pour un capital fixé. Phase I: le produit moyen augmente, car Pm dépasse PM; en L = 15, la droite issue de l'origine est tangente au produit total et Pm = PM = 22,5. Phase II: PM décroît mais Pm reste positif, la production continue de croître jusqu'à son maximum q = 400 en L = 20. Phase III: Pm est négatif, chaque travailleur supplémentaire réduit la production. Le produit marginal est maximal au point d'inflexion L = 10.

La figure 6.1 découpe la production en trois phases. En phase I, le facteur fixe est sous-utilisé: ajouter du travail augmente même la productivité moyenne, et aucune entreprise ne s'arrêtera volontairement là. En phase III, le travail est si abondant qu'il nuit: aucune entreprise ne produira là non plus, puisqu'elle pourrait produire davantage avec moins de travail. La zone économiquement pertinente est la phase II, où le produit marginal est positif mais décroissant. Géométriquement, le produit moyen en $L$ est la pente de la droite joignant l'origine au point $(L, q)$ du produit total, et le produit marginal est la pente de la tangente: le produit moyen est maximal là où la droite issue de l'origine est tangente à la courbe.

Exercice

Dans la boulangerie de l'exemple 6.1, on passe de 5 à 6 boulangers. Que peut-on affirmer?

Exercice

Un atelier d'horlogerie neuchâtelois produit $q = 3 L^{2} - 0, 1 L^{3}$ mouvements par mois avec $L$ horlogers (fonction de la figure 6.1). Pour quel effectif $L$ le produit moyen est-il maximal?

La production à long terme

Isoquantes et substitution entre facteurs

À long terme, l'entreprise choisit à la fois $L$ et $K$ . Pour représenter une fonction de deux variables dans le plan, on procède comme pour les courbes d'indifférence du chapitre 5: on trace les courbes de niveau de $f$ .

Contrairement aux courbes d'indifférence, dont le niveau d'utilité n'a pas de signification absolue, une isoquante porte un nombre mesurable: 400 pains par jour, 1000 mouvements par mois. La pente d'une isoquante mesure la possibilité de remplacer du capital par du travail.

Démonstration. Un déplacement $(d L, d K)$ le long de l'isoquante laisse la production inchangée. Au premier ordre, la variation de production est la somme des contributions des deux facteurs:

d q = P m_{L} d L + P m_{K} d K = 0,

d'où $\frac{d K}{d L} = - \frac{P m _{L}}{P m _{K}}$ et $T M S T = P m_{L} / P m_{K}$ . $□$

En général, le TMST décroît le long de l'isoquante lorsque $L$ augmente: plus l'entreprise utilise déjà de travail, moins une heure supplémentaire remplace de capital. Les isoquantes sont donc convexes, comme les courbes d'indifférence.

Rendements d'échelle

Que se passe-t-il si l'entreprise multiplie tous ses facteurs par le même nombre, par exemple en dupliquant son usine? La réponse dépend de la technologie.

Doubler tous les facteurs double la production si les rendements sont constants (une seconde boulangerie identique à côté de la première), fait plus que la doubler si les rendements sont croissants (un pipeline deux fois plus large transporte plus du double, une chaîne de montage permet de spécialiser les postes), et fait moins que la doubler si les rendements sont décroissants (coordination plus difficile, dilution de la compétence entrepreneuriale).

Fonctions de production usuelles

Cobb–Douglas. La plus utilisée en économie est la fonction

q = A L^{a} K^{b}, A, a, b > 0, (6.4)

proposée en 1928 par l'économiste Paul Douglas et le mathématicien Charles Cobb pour décrire l'industrie américaine. Ses produits marginaux sont $P m_{L} = a A L^{a - 1} K^{b} = a q / L$ et $P m_{K} = b q / K$ , d'où, par (6.3),

T M S T = \frac{a}{b} \frac{K}{L} . (6.5)

Le TMST décroît bien quand $L$ augmente le long d'une isoquante, et les isoquantes $K = (q / A)^{1/ b} L^{- a / b}$ sont des hyperboles généralisées. Le résultat qui fait l'intérêt de cette fonction est le suivant.

Démonstration. Pour $λ > 1$ ,

f (λ L, λ K) = A (λ L)^{a} (λ K)^{b} = λ^{a + b} A L^{a} K^{b} = λ^{a + b} f (L, K) .

Comme $λ > 1$ , on a $λ^{a + b} = λ$ si $a + b = 1$ , $λ^{a + b} > λ$ si $a + b > 1$ et $λ^{a + b} < λ$ si $a + b < 1$ , ce qui est exactement la définition des trois cas. $□$

Les exposants ont une seconde interprétation: $a$ est l'élasticité de la production par rapport au travail ( $\frac{\partial q}{\partial L} \frac{L}{q} = a$ ), et $b$ celle par rapport au capital. Pour l'économie suisse dans son ensemble, les estimations donnent $a \approx 0, 65$ et $b \approx 0, 35$ , proches de la part des salaires et de celle du capital dans le PIB.

Facteurs complémentaires (Leontief). Si les facteurs doivent être combinés en proportions fixes, comme un chauffeur et un bus, ou une machine CNC et un opérateur, la fonction est $q = min (L / α, K / β)$ : produire une unité exige au moins $α$ unités de travail et $β$ unités de capital, tout surplus de l'un des deux est inutile. Les isoquantes sont en forme de L, à angle droit sur la droite $K / L = β / α$ ; il n'y a aucune substitution possible.

Facteurs parfaitement substituables. À l'autre extrême, $q = α L + β K$ décrit des facteurs interchangeables à taux constant, par exemple l'électricité produite par deux centrales, ou le travail d'un employé fixe et celui d'un temporaire. Les isoquantes sont des droites de pente $- α / β$ et le TMST est constant.

Ces deux cas extrêmes sont, comme au chapitre 5, des cas limites de la Cobb–Douglas, qui représente une substituabilité intermédiaire. Elles sont toutes trois à rendements d'échelle constants (vérifiez-le sur Leontief et sur la fonction linéaire).

Progrès technique. Une innovation (nouvelle machine, meilleure organisation, logiciel) permet de produire davantage avec les mêmes facteurs: la fonction de production devient $f_{1}$ avec $f_{1} (L, K) > f (L, K)$ , et chaque isoquante se déplace vers l'origine: il faut moins de facteurs pour le même niveau $q_{0}$ . Dans la Cobb–Douglas, c'est le paramètre $A$ qui augmente; on l'appelle productivité globale des facteurs. Selon l'OFS, la croissance de la productivité du travail en Suisse a été d'environ 1 % par an depuis 2000, nettement plus faible que dans les années 1960: l'essentiel de la croissance récente du PIB vient de l'augmentation de l'emploi, non de celle de $A$ .

Exercice

Une entreprise de logistique valaisanne a pour technologie $q = 2 L^{0, 3} K^{0, 5}$ . Quelle est la nature de ses rendements d'échelle, et par quel facteur sa production est-elle multipliée quand elle double $L$ et $K$ ?

Exercice

Pour la technologie $q = 10 L^{0, 5} K^{0, 5}$ , calculez le TMST au point $L = 4$ , $K = 16$ .

Les coûts de production

Coût d'opportunité, coût économique et coût comptable

Le chapitre 1 a défini le coût d'opportunité d'un choix comme la valeur de la meilleure alternative sacrifiée. Le coût économique d'une production est la somme des coûts d'opportunité de tous les facteurs qu'elle mobilise, qu'ils donnent lieu ou non à un paiement. Il comprend les coûts explicites (salaires, loyers, achats de matières: ce que le comptable enregistre) et les coûts implicites (le salaire auquel l'entrepreneur renonce en ne travaillant pas ailleurs, le rendement que le capital investi aurait rapporté ailleurs, le loyer du local dont il est propriétaire).

Les coûts irrécupérables (sunk costs) sont des dépenses déjà engagées et qu'aucune décision future ne peut récupérer: une étude de marché déjà payée, une licence non revendable. Ils ne font partie du coût d'opportunité d'aucune décision et ne doivent jamais influencer un choix; nous y reviendrons avec la décision de fermeture au chapitre 7.

Coûts fixes, variables, moyens et marginaux

À court terme, le capital étant fixe, une partie des coûts ne dépend pas du niveau de production.

L'égalité des deux dérivées dans (6.6) vient de ce que $C T = C F + C V$ avec $C F$ constant: le coût fixe n'influence pas le coût marginal. C'est une remarque essentielle pour la suite: les décisions de production, qui reposent sur le coût marginal, ne dépendent pas des coûts fixes.

Démonstration. 1. Comme pour le théorème 6.2,

\frac{d C M}{d q} = \frac{d}{d q} \frac{C T ( q )}{q} = \frac{C T ^{'} ( q ) q - C T ( q )}{q ^{2}} = \frac{1}{q} (C m - C M),

qui a le signe de $C m - C M$ puisque $q > 0$ ; la dérivée s'annule au minimum intérieur de $C M$ , donc $C m = C M$ en ce point. 2. Le même calcul avec $C V$ à la place de $C T$ donne $\frac{d C V M}{d q} = \frac{1}{q} (C m - C V M)$ , car $C V^{'} = C m$ par (6.6). 3. $\frac{d}{d q} \frac{C F}{q} = - \frac{C F}{q ^{2}} < 0$ . $□$

Ainsi, la courbe de coût marginal coupe la courbe de coût variable moyen et la courbe de coût moyen en leur minimum, en passant du dessous au dessus. Tant que la dernière unité coûte moins que la moyenne, elle tire la moyenne vers le bas; dès qu'elle coûte plus, elle la tire vers le haut. Comme $C M = C V M + C F M$ et que $C F M$ décroît toujours, le minimum de $C M$ est atteint après celui de $C V M$ .

Figure 6.2. Courbes de coût de court terme pour CT(q) = 100 + 10q − q² + 0,1q³. Le coût fixe moyen CFM = 100/q décroît sans cesse; le coût variable moyen CVM = 10 − q + 0,1q² est minimal en q = 5 (7,5 CHF) et le coût moyen CM = CFM + CVM en q = 10 (20 CHF). Le coût marginal Cm = 10 − 2q + 0,3q² passe par ces deux minimums: en dessous des moyennes quand elles décroissent, au-dessus quand elles croissent. Sa forme en U reflète les rendements marginaux du travail d'abord croissants, puis décroissants.

Coûts et productivité

Les courbes de coût ne sont que le reflet, en francs, des courbes de produit de la section précédente.

Démonstration. Le coût variable est $C V = w L$ et la production $q = f (L)$ . Par la règle de dérivation des fonctions composées, $C m = \frac{d C V}{d q} = w \frac{d L}{d q} = \frac{w}{d q / d L} = \frac{w}{P m _{L}}$ . De même, $C V M = \frac{w L}{q} = \frac{w}{q / L} = \frac{w}{P M _{L}}$ . $□$

Le coût marginal est donc décroissant tant que le produit marginal croît (phase I de la figure 6.1) et croissant dès que la loi des rendements marginaux décroissants s'applique: la forme en U des courbes de coût de court terme est la traduction monétaire de cette loi. Par exemple, si un boulanger coûte $w = 40$ CHF de l'heure et que le produit marginal est de 8 pains par heure, la production d'un pain de plus coûte $40/8 = 5$ CHF de travail.

Exemple 6.3 · Une fonction de coût quadratique

Un petit atelier de menuiserie vaudois a pour coût total mensuel (en centaines de francs) $C T (q) = 100 + 10 q + q^{2}$ , où $q$ est le nombre de tables produites. On lit $C F = 100$ , $C V = 10 q + q^{2}$ , puis

C F M = \frac{100}{q}, C V M = 10 + q, C M = \frac{100}{q} + 10 + q, C m = 10 + 2 q .

$q$	2	4	6	8	10	12	14	20
$C T$	124	156	196	244	300	364	436	700
$C F M$	50	25	16,67	12,5	10	8,33	7,14	5
$C V M$	12	14	16	18	20	22	24	30
$C M$	62	39	32,67	30,5	30	30,33	31,14	35
$C m$	14	18	22	26	30	34	38	50

Le coût moyen est minimal là où sa dérivée $- 100/ q^{2} + 1$ s'annule, soit $q = 10$ tables, et vaut alors $C M = 10 + 10 + 10 = 30$ . On vérifie que $C m (10) = 10 + 20 = 30 = C M (10)$ , conformément au théorème 6.5. Ici $C V M = 10 + q$ est croissant dès $q = 0$ : la fonction quadratique décrit un atelier déjà en phase de rendements marginaux décroissants, et $C m > C V M$ pour tout $q > 0$ .

Explorateur des courbes de coût de court terme

Le coût total est CT(q) = F + aq − bq² + cq³. Modifiez le coût fixe F et les coefficients a, b, c: les courbes CM, CVM, CFM et Cm sont recalculées et le coût marginal coupe toujours CVM et CM en leur minimum. Le curseur q déplace le point de lecture (trait vertical).

Quantité qui minimise CM

10,00

Minimum de CM

20,00CHF

Quantité qui minimise CVM

5,00

Cm à q = 10

20,00CHF

CM à q = 10

20,00CHF

Cm minimal

6,67CHF

Coût fixe F100CHF

Coefficient a10,0

Coefficient b1,00

Coefficient c0,10

Quantité de lecture q10

Exercice

Avec la fonction de coût de l'exemple 6.3, $C T (q) = 100 + 10 q + q^{2}$ , calculez le coût marginal de la septième table (au sens de la dérivée, en $q = 7$ ).

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration que le coût marginal coupe le coût moyen en son minimum.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Au minimum de

C M

, la dérivée s'annule, donc

C m = C M

Dériver le quotient:

C M^{'} (q) = \frac{C T ^{'} ( q ) q - C T ( q )}{q ^{2}}

Écrire le coût moyen comme un quotient:

C M (q) = C T (q) / q

Conclure que

C M

décroît si

C m < C M

et croît si

C m > C M

Reconnaître

C T^{'} (q) = C m

C T (q) / q = C M

, d'où

C M^{'} (q) = \frac{1}{q} (C m - C M)

Choix des facteurs et coûts de long terme

Minimiser le coût d'une production donnée

À long terme, l'entreprise choisit librement $L$ et $K$ . Quelle que soit la quantité $q_{0}$ qu'elle décide de produire, elle a intérêt à la produire au moindre coût. Le problème est donc

L, K min w L + r K sous la contrainte f (L, K) = q_{0} . (6.8)

Il est le symétrique du problème du consommateur: là où le consommateur maximisait l'utilité sous contrainte de budget, l'entreprise minimise la dépense sous contrainte de production.

Démonstration. Considérons un point $(L, K)$ de l'isoquante où $T M S T > w / r$ : l'entreprise peut renoncer à $T M S T$ unités de capital, soit une économie de $r \cdot T M S T$ francs, en achetant une unité de travail de plus pour $w$ francs; comme $r \cdot T M S T > w$ , le coût baisse sans que la production change. Symétriquement, si $T M S T < w / r$ , remplacer du travail par du capital réduit le coût. Le coût n'est donc minimal que là où $T M S T = w / r$ : l'isoquante a la pente de l'isocoût. Géométriquement, c'est le point où l'isocoût le plus bas touche l'isoquante (figure 6.3); si l'isocoût coupait l'isoquante, un isocoût inférieur la couperait encore. La convexité garantit qu'un tel point de tangence est unique et qu'il est bien un minimum. La même condition s'obtient par le lagrangien $L = w L + r K - μ (f (L, K) - q_{0})$ : les conditions du premier ordre $w = μ P m_{L}$ et $r = μ P m_{K}$ donnent (6.9) par division (voir l'annexe B et l'exercice 6.5). $□$

La seconde forme de (6.9) se lit ainsi: à l'optimum, le dernier franc dépensé en travail et le dernier franc dépensé en capital rapportent la même production supplémentaire. Le multiplicateur $μ$ est le coût marginal de long terme: un franc de production en plus coûte $μ = w / P m_{L} = r / P m_{K}$ .

Figure 6.3. Isoquantes de la technologie q = √(LK) pour q = 4, 6 et 8, et droites d'isocoût pour w = 2 et r = 1 (pente −2). Pour produire q = 6, l'isocoût le plus bas qui touche l'isoquante est 2L + K = 16,97, au point E où TMST = K/L = 2 = w/r, soit L* = 4,24 et K* = 8,49; l'isocoût CT = 11,9 (pointillés) ne permet pas d'atteindre q = 6. Les points de tangence des autres isoquantes sont alignés sur le sentier d'expansion K = 2L.

La fonction de coût de long terme

En reportant la combinaison optimale dans la dépense $w L + r K$ , on obtient le coût minimal de chaque niveau de production: c'est la fonction de coût de long terme $C T_{L T} (q)$ .

Exemple 6.4 · Coût de long terme d'une technologie Cobb–Douglas

Soit $q = L^{1/2} K^{1/2}$ avec un salaire $w$ et un prix du capital $r$ . La condition (6.9) donne $T M S T = K / L = w / r$ , donc $K = (w / r) L$ . En reportant dans la contrainte de production, $q = L^{1/2} ((w / r) L)^{1/2} = L w / r$ , d'où

L^{*} (q) = q \frac{r}{w}, K^{*} (q) = q \frac{w}{r} .

Le coût minimal vaut

C T_{L T} (q) = w q \frac{r}{w} + r q \frac{w}{r} = q w r + q w r = 2 q w r . (6.10)

Pour un atelier d'horlogerie où l'heure de travail coûte $w = 50$ CHF et l'heure-machine $r = 8$ CHF, $w r = 20$ et $C T_{L T} (q) = 40 q$ : chaque mouvement coûte 40 CHF, quelle que soit la quantité. Pour $q = 100$ mouvements, l'atelier emploie $L^{*} = 100 8/50 = 40$ heures de travail et $K^{*} = 100 50/8 = 250$ heures-machine, soit $50 \cdot 40 + 8 \cdot 250 = 4000$ CHF. Le coût de long terme est linéaire en $q$ : le coût moyen et le coût marginal de long terme sont constants et égaux à $2 w r$ , ce qui est la marque des rendements d'échelle constants ( $a + b = 1$ ). L'exercice 6.5 généralise ce calcul.

Économies et déséconomies d'échelle

Les rendements d'échelle croissants sont une source d'économies d'échelle (doubler les facteurs, donc le coût, fait plus que doubler la production, donc le coût moyen baisse), mais pas la seule: l'étalement d'un coût fixe indivisible (une ligne de production, un logiciel, une campagne publicitaire nationale), les remises sur les achats en gros et la spécialisation des tâches jouent le même rôle. Les déséconomies d'échelle apparaissent quand l'organisation devient trop lourde: multiplication des échelons hiérarchiques, coûts de coordination, perte de motivation.

La courbe $C M_{L T}$ typique décroît d'abord (économies d'échelle), atteint un minimum à l'échelle minimale efficace, reste souvent plate sur un large intervalle, puis remonte. La position de l'EME par rapport à la taille du marché détermine la structure de celui-ci: c'est le pont entre ce chapitre et les chapitres 7 à 9.

Horlogerie et artisanat. Les manufactures de la vallée de Joux ou de La Chaux-de-Fonds atteignent leur EME avec quelques dizaines d'employés: le marché mondial des montres mécaniques peut faire vivre des centaines d'entreprises. La structure est concurrentielle, différenciée par les marques.
Industrie pharmaceutique. Développer un médicament coûte plus d'un milliard de francs de recherche et d'essais cliniques, un coût fixe qu'il faut étaler sur des ventes mondiales: l'EME est énorme, et le secteur bâlois est dominé par deux groupes.
Centrales électriques et réseaux. Une centrale nucléaire, un barrage ou le réseau de distribution d'électricité présentent des économies d'échelle sur toute l'étendue de la demande locale: le coût moyen décroît jusqu'à la taille du marché. On parle de monopole naturel, que nous étudierons au chapitre 8 avec la régulation de l'ElCom.

Économies de gamme. Lorsque produire plusieurs biens ensemble coûte moins que les produire séparément, on parle d'économies de gamme (ou d'envergure): La Poste transporte lettres et colis avec la même tournée, Migros vend alimentation et produits non alimentaires sous le même toit, une entreprise pharmaceutique valorise un même laboratoire sur plusieurs molécules. Formellement, $C T (q_{1}, q_{2}) < C T (q_{1}, 0) + C T (0, q_{2})$ .

Exercice

Une entreprise utilise du travail et du capital aux prix $w = 60$ CHF et $r = 15$ CHF. Au point où elle produit, $P m_{L} = 12$ et $P m_{K} = 5$ . Que doit-elle faire pour réduire son coût sans changer sa production?

Applications à l'économie suisse

Coût du travail et automatisation. Selon l'OFS, le coût total d'une heure de travail en Suisse est parmi les plus élevés d'Europe, de l'ordre de 60 CHF en moyenne, charges sociales comprises. La condition (6.9) explique la réaction des entreprises: lorsque le rapport $w / r$ augmente, la tangence se déplace le long de l'isoquante vers des combinaisons plus riches en capital. Pour une Cobb–Douglas, $K / L = \frac{b}{a} \frac{w}{r}$ est proportionnel au prix relatif du travail: si $w$ passe de 30 à 60 CHF à prix du capital inchangé, le rapport capital/travail optimal double. Les caisses automatiques de Migros et Coop, les robots de fraisage dans les ateliers jurassiens ou les guichets automatiques des CFF sont des mouvements le long d'une isoquante, pas nécessairement des changements de technologie. La rareté relative du travail incite aussi à innover pour économiser du travail, ce qui déplace les isoquantes: le franc fort, en renchérissant le travail suisse en euros, a accéléré ce mouvement après 2015.

Délocalisation. Quand la substitution de capital au travail ne suffit pas, l'entreprise peut déplacer la production là où $w$ est plus faible. La minimisation du coût compare alors des isocoûts de pentes différentes selon le pays: la décision dépend du coût du travail par unité produite, c'est-à-dire de $w / P M_{L}$ (relation 6.7), et non du seul salaire. Un salaire suisse élevé est compatible avec une production locale si la productivité l'est aussi, ce qui explique que l'horlogerie, la pharma ou les machines de précision restent en Suisse alors que le textile et l'assemblage électronique sont partis.

Agriculture et échelle des exploitations. La Suisse compte environ 48 000 exploitations agricoles d'une surface moyenne d'un peu plus de 20 hectares, contre plusieurs centaines d'hectares dans les grandes plaines françaises ou américaines. Les rendements d'échelle de la production laitière et céréalière (machines, bâtiments, gestion) sont largement croissants jusqu'à des tailles bien supérieures: les exploitations suisses produisent au-dessus de leur coût moyen minimal. La topographie et la politique agricole (paiements directs, protection à la frontière étudiée au chapitre 4) expliquent cet écart; le nombre d'exploitations diminue d'environ 2 % par an, signe que la pression des économies d'échelle s'exerce lentement.

Coût marginal d'un siège. Pour un train InterCity Genève–Zurich, presque tous les coûts (infrastructure, matériel roulant, personnel, énergie) sont fixes pour un trajet donné: le coût marginal d'un passager de plus dans un siège vide est proche de zéro, comme celui d'un spectateur de plus dans une salle de cinéma ou d'un abonné de plus à un service de streaming. Le coût moyen par passager, lui, est élevé et décroît fortement avec le remplissage. Cet écart entre coût moyen et coût marginal est au cœur de la tarification des CFF (billets dégriffés, abonnement demi-tarif) et de nombreuses stratégies de discrimination par les prix que nous étudierons au chapitre 8.

Synthèse

La fonction de production $q = f (L, K)$ décrit la technologie. À court terme, le capital est fixe; le produit marginal $P m_{L} = d q / d L$ finit par décroître (loi des rendements marginaux décroissants), et le produit moyen $P M_{L} = q / L$ croît tant que $P m_{L} > P M_{L}$ , décroît ensuite, avec $P m_{L} = P M_{L}$ à son maximum.
À long terme, les isoquantes ont pour pente $- T M S T = - P m_{L} / P m_{K}$ . Pour la Cobb–Douglas $q = A L^{a} K^{b}$ , $T M S T = (a / b) (K / L)$ et les rendements d'échelle sont constants, croissants ou décroissants selon que $a + b$ est égal, supérieur ou inférieur à 1.
Le coût économique inclut les coûts implicites (coûts d'opportunité de l'entrepreneur et du capital); le profit économique est inférieur au profit comptable. Les coûts irrécupérables n'entrent dans aucune décision.
À court terme, $C T = C F + C V$ , $C M = C F M + C V M$ et $C m = d C T / d q = d C V / d q$ . Le coût marginal coupe $C V M$ et $C M$ en leur minimum; $C m = w / P m_{L}$ et $C V M = w / P M_{L}$ , si bien que les courbes de coût en U reflètent les rendements marginaux décroissants.
À long terme, l'entreprise minimise $w L + r K$ sous contrainte $f (L, K) = q$ : à l'optimum $T M S T = w / r$ , soit $P m_{L} / w = P m_{K} / r$ . Pour $q = L^{1/2} K^{1/2}$ , $C T_{L T} = 2 q w r$ . La courbe de coût moyen de long terme est l'enveloppe des courbes de court terme.
Économies d'échelle (coût moyen de long terme décroissant), échelle minimale efficace, économies de gamme et courbe d'apprentissage déterminent la taille des entreprises et la structure des marchés: artisanat horloger, pharma, monopoles naturels des réseaux.

Série d'exercices du chapitre 6

Exercice 1 sur 5

Exercice

Parmi les coûts suivants d'un restaurant lausannois, lequel est un coût fixe à court terme?

Problème guidé

Les coûts d'une petite fromagerie

Une fromagerie fribourgeoise a pour coût total hebdomadaire $C T (q) = 200 + 4 q + 0, 5 q^{2}$ (en CHF), où $q$ est le nombre de meules produites. On cherche ses coûts fixes, variables, moyens et marginaux pour $q = 10$ et $q = 20$ , la production qui minimise le coût moyen, et ce que changerait le long terme.

1
Coût fixe et coût variable
Le coût fixe est la valeur de $C T$ en $q = 0$ ; le reste est le coût variable.
Exercice
Calculez le coût variable $C V (10)$ pour $q = 10$ meules, en CHF.
CHF
Coût moyen et coût marginal
Minimum du coût moyen
Et à long terme?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 6.1 · Produit moyen et produit marginal dans un atelier

Un atelier d'horlogerie de la vallée de Joux dispose d'un parc de machines fixe. Sa production mensuelle de mouvements selon le nombre d'horlogers est la suivante.

$L$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$q$	0	8	20	36	48	55	60	63	64	63

Calculez le produit moyen et le produit marginal pour chaque effectif.
À partir de quel horloger la loi des rendements marginaux décroissants s'applique-t-elle? Délimitez les trois phases de la production.
Vérifiez que le produit moyen est maximal quand il égale le produit marginal.
Chaque horloger coûte $w = 8000$ CHF par mois. Calculez le coût marginal d'un mouvement lorsque l'atelier passe de 5 à 6 horlogers, puis de 7 à 8.

Solution

1. Le produit marginal est $Δ q$ pour $Δ L = 1$ , le produit moyen $q / L$ :

$L$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$P M_{L}$	8	10	12	12	11	10	9	8	7
$P m_{L}$	8	12	16	12	7	5	3	1	−1

2. Le produit marginal croît jusqu'au troisième horloger (8, 12, 16) puis décroît à partir du quatrième (12, 7, 5, …): la loi des rendements marginaux décroissants s'applique dès $L = 4$ . Phase I: $L \leq 4$ (le produit moyen croît, jusqu'à son maximum de 12 atteint en $L = 3$ et $L = 4$ ); phase II: de $L = 4$ à $L = 8$ (produit moyen décroissant, produit marginal positif, production croissante jusqu'à 64); phase III: $L \geq 9$ (produit marginal négatif).

3. Le produit moyen est maximal (12) en $L = 3$ et $L = 4$ ; le produit marginal du quatrième horloger vaut exactement $12 = P M_{L}$ : le passage de 3 à 4 laisse la moyenne inchangée, conformément au théorème 6.2 (en discret, la moyenne monte tant que la nouvelle unité fait mieux que la moyenne, et reste égale si elle fait exactement la moyenne).

4. Par (6.7), $C m = w / P m_{L}$ . De 5 à 6 horlogers, $P m_{L} = 5$ mouvements, donc $C m = 8000/5 = 1600$ CHF par mouvement; de 7 à 8, $P m_{L} = 1$ et $C m = 8000$ CHF par mouvement. Le coût marginal explose lorsque le produit marginal s'effondre: c'est la forme en U de la courbe de coût marginal.

Exercice 6.2 · Une technologie Cobb–Douglas

Une entreprise a pour fonction de production $q = 2 L^{1/2} K^{1/2}$ .

Calculez la production pour $L = 9$ et $K = 4$ , puis les produits marginaux $P m_{L}$ et $P m_{K}$ en ce point.
Écrivez l'équation de l'isoquante passant par ce point et calculez le TMST. Vérifiez la formule (6.5).
Déterminez la nature des rendements d'échelle.
Le capital est fixé à $K = 4$ à court terme. Écrivez $q$ en fonction de $L$ et montrez que le produit marginal du travail est décroissant.

Solution

1. $q = 2 \cdot 9 \cdot 4 = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ . Les produits marginaux sont

P m_{L} = \frac{\partial q}{\partial L} = L^{- 1/2} K^{1/2} = \frac{2}{3}, P m_{K} = \frac{\partial q}{\partial K} = L^{1/2} K^{- 1/2} = \frac{3}{2} .

On peut aussi utiliser $P m_{L} = a q / L = 0, 5 \cdot 12/9 = 2/3$ et $P m_{K} = 0, 5 \cdot 12/4 = 3/2$ .

2. L'isoquante $q = 12$ s'écrit $2 L K = 12$ , soit $L K = 36$ ou $K = 36/ L$ : une hyperbole. Sa pente est $d K / d L = - 36/ L^{2} = - 36/81 = - 4/9$ en $L = 9$ , donc $T M S T = 4/9 \approx 0, 444$ . La formule (6.5) donne $T M S T = \frac{a}{b} \frac{K}{L} = 1 \cdot \frac{4}{9}$ , et le théorème 6.3, $T M S T = P m_{L} / P m_{K} = \frac{2/3}{3/2} = \frac{4}{9}$ : les trois calculs concordent.

3. $a + b = 1/2 + 1/2 = 1$ : rendements d'échelle constants. Directement, $2 (λ L)^{1/2} (λ K)^{1/2} = λ \cdot 2 L^{1/2} K^{1/2}$ .

4. Avec $K = 4$ , $q = 2 L^{1/2} \cdot 2 = 4 L$ . Le produit marginal $P m_{L} = 2/ L$ est strictement décroissant en $L$ (sa dérivée $- L^{- 3/2}$ est négative): rendements marginaux décroissants dès la première unité, alors que les rendements d'échelle sont constants. C'est l'illustration de la mise en garde du chapitre: les deux notions sont indépendantes.

Exercice 6.3 · Une fonction de coût cubique

Une entreprise a pour coût total $C T (q) = 60 + 12 q - 2 q^{2} + 0, 2 q^{3}$ .

Donnez $C F$ , $C V$ , $C F M$ , $C V M$ , $C M$ et $C m$ .
Pour quelle quantité le coût variable moyen est-il minimal? Vérifiez que $C m = C V M$ en ce point.
Montrez que la quantité $q^{*}$ qui minimise le coût moyen vérifie $0, 4 q^{3} - 2 q^{2} - 60 = 0$ , et vérifiez que $q^{*} \approx 7, 6$ convient. Calculez $C M (q^{*})$ et $C m (q^{*})$ .
Calculez $C M$ et $C m$ pour $q = 2, 4, 6, 8, 10$ et commentez le sens de variation du coût moyen.

Solution

1. $C F = 60$ et $C V = 12 q - 2 q^{2} + 0, 2 q^{3}$ , donc

C F M = \frac{60}{q}, C V M = 12 - 2 q + 0, 2 q^{2}, C M = \frac{60}{q} + 12 - 2 q + 0, 2 q^{2}, C m = 12 - 4 q + 0, 6 q^{2} .

Le coût marginal est minimal en $q = 4/1, 2 = 10/3$ et vaut alors $12 - 40/3 + 20/3 = 16/3 \approx 5, 33 > 0$ : la fonction est admissible.

2. $C V M^{'} (q) = - 2 + 0, 4 q = 0$ donne $q = 5$ , avec $C V M (5) = 12 - 10 + 5 = 7$ . Et $C m (5) = 12 - 20 + 15 = 7$ : égalité, conformément au théorème 6.5.

3. $C M^{'} (q) = - \frac{60}{q ^{2}} - 2 + 0, 4 q = 0$ ; en multipliant par $q^{2}$ , $0, 4 q^{3} - 2 q^{2} - 60 = 0$ . Pour $q = 7, 6$ : $0, 4 \cdot 438, 98 - 2 \cdot 57, 76 - 60 = 175, 59 - 115, 52 - 60 = 0, 07 \approx 0$ ; la racine exacte est $q^{*} \approx 7, 598$ . Alors $C M (q^{*}) \approx 7, 90 + 12 - 15, 20 + 11, 55 \approx 16, 25$ et $C m (q^{*}) \approx 12 - 30, 39 + 34, 64 \approx 16, 25$ : les deux coïncident au minimum du coût moyen, atteint après celui du coût variable moyen ( $q = 5$ ), comme annoncé.

$q$	2	4	6	8	10
$C T$	77,6	88,8	103,2	130,4	180
$C M$	38,8	22,2	17,2	16,3	18
$C m$	6,4	5,6	9,6	18,4	32

Tant que $C m < C M$ ( $q \leq 6$ ), le coût moyen décroît; en $q = 8$ , $C m = 18, 4 > C M = 16, 3$ et le coût moyen a commencé à croître: le minimum se situe entre 6 et 8, en accord avec $q^{*} \approx 7, 6$ .

Exercice 6.4 · Minimisation du coût et sentier d'expansion

Une fabrique de chocolat a pour technologie $q = 10 L^{1/2} K^{1/2}$ (tonnes par mois), avec $w = 30$ CHF par heure de travail et $r = 120$ CHF par heure-machine.

Écrivez la condition de minimisation du coût et déduisez-en la relation entre $K$ et $L$ le long du sentier d'expansion.
Déterminez la combinaison optimale et le coût minimal pour produire $q = 600$ tonnes.
Écrivez la fonction de coût de long terme $C T_{L T} (q)$ et déterminez le coût moyen et le coût marginal de long terme.
Le salaire passe à $w = 120$ CHF. Que devient la combinaison optimale pour $q = 600$ ? Interprétez.

Solution

1. Par (6.5) avec $a = b$ , $T M S T = K / L$ , et la condition (6.9) donne $K / L = w / r = 30/120 = 1/4$ , soit $L = 4 K$ : le sentier d'expansion est la droite $K = L /4$ . Comme le travail est quatre fois moins cher que le capital, l'entreprise en utilise quatre fois plus.

2. En reportant dans la contrainte, $600 = 10 4 K \cdot K = 20 K$ , donc $K^{*} = 30$ heures-machine et $L^{*} = 120$ heures de travail. Le coût minimal vaut $30 \cdot 120 + 120 \cdot 30 = 7200$ CHF. On vérifie la condition $P m_{L} / w = P m_{K} / r$ : $P m_{L} = 0, 5 \cdot 600/120 = 2, 5$ et $P m_{K} = 0, 5 \cdot 600/30 = 10$ , d'où $2, 5/30 = 10/120 = 1/12$ ; le multiplicateur $μ = 12$ CHF est le coût marginal d'une tonne.

3. Pour $q$ quelconque, $K^{*} = q /20$ et $L^{*} = q /5$ , d'où $C T_{L T} (q) = 30 \cdot q /5 + 120 \cdot q /20 = 6 q + 6 q = 12 q$ . On retrouve la formule (6.10) adaptée à $A = 10$ : $C T_{L T} = \frac{2 q}{10} w r = \frac{2 q}{10} 3600 = 12 q$ . Le coût moyen et le coût marginal de long terme sont constants et égaux à 12 CHF par tonne: rendements d'échelle constants.

4. Avec $w = r = 120$ , la condition devient $K / L = 1$ : $600 = 10 L$ , donc $L^{*} = K^{*} = 60$ et $C T = 120 \cdot 60 + 120 \cdot 60 = 14400$ CHF. Le quadruplement du salaire a conduit l'entreprise à diviser par deux ses heures de travail (de 120 à 60) et à doubler ses heures-machine (de 30 à 60): substitution du capital au travail le long de l'isoquante $q = 600$ . Le coût a doublé, mais il aurait été de $120 \cdot 120 + 120 \cdot 30 = 18000$ CHF sans substitution.

Exercice 6.5 · Fonction de coût de long terme d'une technologie Cobb–Douglas

Soit la technologie $q = A L^{a} K^{b}$ avec $A, a, b > 0$ , et les prix des facteurs $w, r > 0$ .

Écrivez le lagrangien du problème (6.8) et ses conditions du premier ordre. Déduisez-en $K = \frac{b w}{a r} L$ le long du sentier d'expansion.
Montrez que la fonction de coût de long terme s'écrit

C T_{L T} (q) = (a + b) (\frac{q}{A})^{\frac{1}{a + b}} (\frac{w}{a})^{\frac{a}{a + b}} (\frac{r}{b})^{\frac{b}{a + b}} .

Vérifiez que l'on retrouve (6.10) pour $A = 1$ , $a = b = 1/2$ .
Montrez que le coût moyen de long terme est décroissant si et seulement si $a + b > 1$ : les économies d'échelle correspondent exactement aux rendements d'échelle croissants.

Solution

1. Le lagrangien est $L (L, K, μ) = w L + r K - μ (A L^{a} K^{b} - q)$ . Les conditions du premier ordre sont

\frac{\partial L}{\partial L} = w - μ a A L^{a - 1} K^{b} = 0, \frac{\partial L}{\partial K} = r - μ b A L^{a} K^{b - 1} = 0, A L^{a} K^{b} = q .

En écrivant $P m_{L} = a q / L$ et $P m_{K} = b q / K$ , les deux premières deviennent $w = μ a q / L$ et $r = μ b q / K$ . Leur quotient élimine $μ$ : $\frac{w}{r} = \frac{a K}{b L}$ , d'où $K = \frac{b w}{a r} L$ . C'est la condition $T M S T = w / r$ de (6.9).

2. Posons $θ = \frac{b w}{a r}$ , de sorte que $K = θ L$ . La contrainte donne $q = A L^{a} (θ L)^{b} = A θ^{b} L^{a + b}$ , donc

L^{*} = (\frac{q}{A θ ^{b}})^{\frac{1}{a + b}}, K^{*} = θ L^{*} .

Le coût est $w L^{*} + r K^{*} = (w + r θ) L^{*} = (w + \frac{b w}{a}) L^{*} = \frac{( a + b ) w}{a} L^{*}$ . Reste à simplifier $L^{*}$ : $θ^{- b / (a + b)} = (\frac{a r}{b w})^{b / (a + b)}$ , donc

C T_{L T} (q) = \frac{( a + b ) w}{a} (\frac{q}{A})^{\frac{1}{a + b}} (\frac{a r}{b w})^{\frac{b}{a + b}} .

Écrivons $\frac{w}{a} = (\frac{w}{a})^{\frac{a}{a + b}} (\frac{w}{a})^{\frac{b}{a + b}}$ : le second facteur se combine avec $(\frac{a r}{b w})^{\frac{b}{a + b}}$ en $(\frac{w}{a} \cdot \frac{a r}{b w})^{\frac{b}{a + b}} = (\frac{r}{b})^{\frac{b}{a + b}}$ , ce qui donne la formule annoncée:

C T_{L T} (q) = (a + b) (\frac{q}{A})^{\frac{1}{a + b}} (\frac{w}{a})^{\frac{a}{a + b}} (\frac{r}{b})^{\frac{b}{a + b}} .

Le coût est proportionnel à $q^{1/ (a + b)}$ et homogène de degré 1 en $(w, r)$ : doubler les deux prix double le coût, comme il se doit.

3. Pour $A = 1$ et $a = b = 1/2$ : $a + b = 1$ , les exposants valent $1$ , $1/2$ et $1/2$ , et $C T_{L T} = 1 \cdot q \cdot (2 w)^{1/2} (2 r)^{1/2} = 2 q w r$ : c'est bien (6.10). Vérification numérique avec l'exemple 6.4 ( $w = 50$ , $r = 8$ , $q = 100$ ): $2 \cdot 100 \cdot 20 = 4000$ CHF.

4. Le coût moyen de long terme est $C M_{L T} (q) = C T_{L T} (q) / q = κ q^{\frac{1}{a + b} - 1}$ , où $κ > 0$ regroupe les constantes. L'exposant $\frac{1}{a + b} - 1 = \frac{1 - ( a + b )}{a + b}$ est strictement négatif si et seulement si $a + b > 1$ : dans ce cas $C M_{L T}$ est une puissance décroissante de $q$ (économies d'échelle). Si $a + b = 1$ , $C M_{L T} = κ$ est constant; si $a + b < 1$ , il croît (déséconomies d'échelle). Le coût marginal vaut $C m_{L T} = \frac{κ}{a + b} q^{\frac{1}{a + b} - 1} = \frac{C M _{L T}}{a + b}$ : il est inférieur au coût moyen exactement quand $a + b > 1$ , ce qui est une nouvelle illustration du théorème 6.5. Pour une technologie Cobb–Douglas, économies d'échelle et rendements d'échelle croissants sont donc une seule et même chose. $□$

Références

Varian, H. R., Introduction à la microéconomie, 9e éd., De Boeck, Louvain-la-Neuve, chap. 19–22 (technologie, maximisation du profit, minimisation des coûts, courbes de coût).
Pindyck, R. S. et Rubinfeld, D. L., Microéconomie, 9e éd., Pearson, Montreuil, chap. 6–7 (la production, les coûts de production).
Mankiw, N. G. et Taylor, M. P., Principes de l'économie, 5e éd., De Boeck, Louvain-la-Neuve, chap. 13 (les coûts de production).
Krugman, P. et Wells, R., Microéconomie, 4e éd., De Boeck, Louvain-la-Neuve, chap. 11 (le producteur et ses coûts).
Perloff, J. M., Microeconomics, 8e éd., Pearson, Harlow, chap. 6–7 (firms and production, costs).
Office fédéral de la statistique, Productivité du travail et Recensement des entreprises agricoles, Neuchâtel, données annuelles.

Objectifs du chapitre

L'entreprise et la production

Facteurs et fonction de production

Produit total, moyen et marginal

La production à long terme

Isoquantes et substitution entre facteurs

Rendements d'échelle

Fonctions de production usuelles

Les coûts de production

Coût d'opportunité, coût économique et coût comptable

Coûts fixes, variables, moyens et marginaux

Coûts et productivité

Explorateur des courbes de coût de court terme

Choix des facteurs et coûts de long terme

Minimiser le coût d'une production donnée

La fonction de coût de long terme

Économies et déséconomies d'échelle

Applications à l'économie suisse

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 6

Les coûts d'une petite fromagerie

Coût fixe et coût variable

Coût moyen et coût marginal

Minimum du coût moyen

Et à long terme?

Exercices

Références