Théorie des jeux

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• décrire une situation stratégique comme un jeu (joueurs, stratégies, gains, information) et la représenter sous forme normale (matrice) ou sous forme extensive (arbre);
• identifier les stratégies dominantes et dominées, appliquer l'élimination itérée et trouver les équilibres de Nash en stratégies pures d'une matrice de gains;
• reconnaître le dilemme du prisonnier, démontrer que son équilibre est inefficace et le repérer dans les cartels, la publicité ou l'exploitation des ressources communes;
• calculer l'équilibre en stratégies mixtes d'un jeu $2\times 2$ à l'aide de la condition d'indifférence et l'interpréter;
• déterminer, dans un jeu répété, le facteur d'escompte minimal qui rend la coopération soutenable par une stratégie de déclencheur;
• résoudre un jeu séquentiel par induction à rebours, distinguer menaces crédibles et non crédibles, et appliquer ces idées à l'entrée sur un marché, à la négociation et aux enchères.

Qu'est-ce qu'un jeu?

Joueurs, stratégies, gains

Jusqu'ici, les agents de ce cours prenaient leurs décisions face à un environnement passif: le consommateur face à des prix donnés (chapitre 5), l'entreprise concurrentielle face à un prix de marché qu'elle ne peut influencer (chapitre 7), le monopole face à une courbe de demande (chapitre 8). Le chapitre 9 a changé de registre: en oligopole, le profit de Swisscom dépend des prix de Sunrise et de Salt, et réciproquement. Chaque entreprise doit anticiper le comportement des autres, qui elles-mêmes anticipent le sien. La théorie des jeux est l'outil mathématique conçu pour ces situations d'interaction stratégique, où le résultat obtenu par chacun dépend des choix de tous.

La notion de stratégie est plus riche qu'une simple action lorsque le jeu se déroule en plusieurs étapes: une stratégie est alors un plan complet qui précise ce que le joueur fera dans chaque situation où il pourrait se trouver. Nous y reviendrons avec les jeux séquentiels. Un jeu est dit à somme nulle si les gains des joueurs se compensent en toute circonstance (${\sum }_i{u}_i(s)=0$), comme aux échecs ou au poker; la plupart des jeux économiques ne sont pas à somme nulle, car l'échange, la coopération ou la guerre des prix créent ou détruisent de la valeur.

Hypothèses: rationalité et connaissance commune

L'analyse repose sur deux hypothèses. D'abord, chaque joueur est rationnel: il choisit la stratégie qui maximise son gain compte tenu de ce qu'il anticipe des autres. Ensuite, la structure du jeu (joueurs, stratégies, gains) est connaissance commune: chacun la connaît, sait que les autres la connaissent, sait que les autres savent qu'il la connaît, et ainsi de suite. Cette hypothèse, plus forte qu'il n'y paraît, permet à chaque joueur de se mettre à la place des autres pour prévoir leur raisonnement. Lorsqu'un joueur ignore certains gains de l'autre, on parle de jeu à information incomplète; nous n'en donnerons qu'un aperçu avec les enchères.

Forme normale et forme extensive

Il existe deux représentations d'un jeu. La forme normale, ou stratégique, énumère les stratégies de chacun et les gains associés; pour deux joueurs disposant d'un petit nombre de stratégies, c'est une matrice des gains où les lignes sont les stratégies du joueur 1, les colonnes celles du joueur 2, et chaque case contient le couple $(u_1,u_2)$. Elle convient aux jeux simultanés, où chacun choisit sans observer le choix de l'autre (ou, ce qui revient au même, sans pouvoir y réagir). La forme extensive représente le jeu par un arbre: chaque nœud est un point de décision d'un joueur, chaque branche une action, chaque feuille un vecteur de gains. Elle convient aux jeux séquentiels, où l'ordre des coups compte. Toute forme extensive peut se traduire en forme normale, mais on y perd la lisibilité de la chronologie.

Pourquoi l'économiste s'y intéresse

Le chapitre 9 a présenté les modèles de Cournot, de Bertrand et de Stackelberg: ce sont des jeux, et leurs solutions sont des équilibres de Nash. Ce chapitre en dégage la logique générale et l'applique bien au-delà de l'oligopole: à la stabilité des cartels et à la politique de la COMCO, aux enchères par lesquelles la Confédération attribue les fréquences de téléphonie mobile, à la négociation salariale entre partenaires sociaux, à l'adoption de standards techniques, à la surpêche et aux biens communs (chapitre 11), aux contrôles fiscaux, et jusqu'à la conduite automobile. Partout où le meilleur choix d'un agent dépend de ce que font les autres, le vocabulaire de ce chapitre s'applique.

Stratégies dominantes et équilibre de Nash

Dominance

La situation la plus simple est celle où un joueur dispose d'une stratégie qui est la meilleure quoi que fassent les autres.

Dans l'exemple 10.1, comparons pour Swisscom la ligne «prix bas» à la ligne «prix élevé»: si Sunrise pratique un prix élevé, Swisscom gagne $8$ en baissant son prix contre $6$; si Sunrise pratique un prix bas, Swisscom gagne $4$ contre $2$. Le prix bas est donc strictement dominant pour Swisscom, et par symétrie pour Sunrise. Lorsque chaque joueur a une stratégie dominante, la prédiction est immédiate: on parle d'équilibre en stratégies dominantes, ici (bas, bas) avec les profits $(4,4)$.

Quand aucune stratégie dominante n'existe, on peut souvent progresser en éliminant les stratégies dominées, puis celles qui deviennent dominées une fois les premières écartées, et ainsi de suite: c'est l'élimination itérée des stratégies strictement dominées. Elle repose sur la connaissance commune de la rationalité: le joueur 1 sait que le joueur 2 ne jouera pas une stratégie dominée, et le joueur 2 sait que le joueur 1 le sait.

Meilleure réponse et équilibre de Nash

L'élimination itérée ne conclut pas toujours; il faut un concept de solution plus général. L'idée de Nash est de chercher un profil de stratégies dont aucun joueur ne veuille dévier unilatéralement.

Appliquons la méthode à l'exemple 10.1. Colonne «élevé»: Swisscom préfère bas ($8>6$). Colonne «bas»: Swisscom préfère bas ($4>2$). Ligne «élevé»: Sunrise préfère bas ($8>6$); ligne «bas»: Sunrise préfère bas ($4>2$). La seule case doublement soulignée est (bas, bas): l'équilibre en stratégies dominantes est bien un équilibre de Nash, et c'est le seul. Ce n'est pas un hasard.

Démonstration. Soit $s_i^{\ast }$ la stratégie strictement dominante du joueur $i$. Par définition, elle est la meilleure réponse à tout profil $s_{-i}$, en particulier à $s_{-i}^{\ast }$: le profil $s^{\ast }$ vérifie donc (10.1). Réciproquement, dans tout autre profil $s\ne s^{\ast }$, un joueur $j$ joue $s_j\ne s_j^{\ast }$ et gagnerait strictement à passer à $s_j^{\ast }$, puisque $u_j(s_j^{\ast },s_{-j})>u_j(s_j,s_{-j})$: $s$ n'est pas un équilibre. Pour la seconde affirmation, on remarque qu'une stratégie strictement dominée n'est jamais une meilleure réponse, donc ne fait partie d'aucun équilibre de Nash; l'éliminer ne supprime aucun équilibre et n'en crée aucun (les gains des profils restants sont inchangés). Si l'élimination itérée laisse un seul profil, celui-ci est donc le seul candidat, et il est bien un équilibre: chaque joueur y joue sa seule stratégie restante, qui est une meilleure réponse au sein du jeu réduit, donc du jeu initial puisque les stratégies éliminées lui étaient inférieures. $\square$

Plusieurs équilibres, ou aucun

Un jeu peut posséder plusieurs équilibres de Nash. La théorie indique alors les issues stables sans dire laquelle sera jouée.

Les jeux de coordination ont la même structure, sans le conflit d'intérêts. Dans la chasse au cerf de Rousseau, deux chasseurs peuvent coopérer pour attraper un cerf (gain $5$ chacun) ou chasser seuls un lièvre (gain $3$, quoi que fasse l'autre); mais celui qui traque le cerf pendant que l'autre poursuit un lièvre rentre bredouille (gain $0$). Les deux équilibres sont (cerf, cerf) et (lièvre, lièvre). Le premier est meilleur pour tous, mais le second est moins risqué: si l'on juge l'autre imprévisible, un chasseur qui donne une chance sur deux à chaque comportement de son partenaire obtient en moyenne $2,5$ avec le cerf contre $3$ avec le lièvre. Les économistes distinguent ainsi l'équilibre dominant en gains de l'équilibre dominant en risque. Enfin, les conventions sont des jeux de coordination où les joueurs sont indifférents entre les équilibres, pourvu qu'ils se coordonnent: conduire à droite ou à gauche, écrire la date jour-mois-année ou l'inverse. En Suisse, on conduit à droite depuis toujours, mais la Suède est passée de gauche à droite le 3 septembre 1967 en une nuit, ce qui illustre qu'un équilibre de convention n'est pas nécessairement supérieur à l'autre: il est stable parce que tout le monde s'y attend.

À l'inverse, certains jeux n'ont aucun équilibre en stratégies pures. Dans pile ou face (matching pennies), deux joueurs montrent simultanément une pièce; si les faces coïncident, le joueur 1 gagne $1$ CHF du joueur 2, sinon c'est l'inverse.

Le joueur 1 veut imiter le joueur 2, qui veut se distinguer: dans chaque case, l'un des deux regrette son choix. La méthode de soulignement ne donne aucune case doublement soulignée. Il faudra élargir la notion de stratégie pour résoudre ce jeu (section sur les stratégies mixtes).

Le dilemme du prisonnier

Deux suspects, Alice et Bruno, sont interrogés séparément. Chacun peut se taire ou avouer en dénonçant l'autre. Si les deux se taisent, la police ne peut prouver qu'un délit mineur: un an de prison chacun. Si l'un avoue et l'autre se tait, le premier est libéré et le second écope de dix ans. Si les deux avouent, chacun prend cinq ans. Les gains, mesurés en années de prison comptées négativement, forment la matrice de la figure 10.1.

Le raisonnement d'Alice est implacable: si Bruno se tait, avouer la libère ($0>-1$); si Bruno avoue, avouer lui évite cinq ans ($-5>-10$). Avouer est strictement dominant, et Bruno raisonne de même. L'équilibre est (Avouer, Avouer) avec cinq ans chacun, alors que le silence commun ne leur aurait coûté qu'un an. La poursuite rationnelle de l'intérêt individuel conduit à une issue que les deux joueurs jugent pire. Le jeu des télécoms de l'exemple 10.1 a exactement la même structure.

Démonstration. Considérons le joueur 1. Si le joueur 2 coopère, D rapporte $T$ et C rapporte $R$; comme $T>R$, D est préférable. Si le joueur 2 fait défaut, D rapporte $P$ et C rapporte $S$; comme $P>S$, D est encore préférable. D est donc strictement dominante pour le joueur 1, et par symétrie pour le joueur 2. D'après le théorème 10.1, (D, D) est l'unique équilibre de Nash. Enfin, à l'issue (C, C), chaque joueur reçoit $R>P$: l'équilibre est strictement Pareto-dominé par la coopération mutuelle. $\square$

Le paradoxe n'est qu'apparent: l'équilibre n'est pas une erreur de raisonnement, mais la conséquence de l'impossibilité de s'engager. Si Alice pouvait signer un contrat exécutoire avec Bruno, tous deux se tairaient; dans l'interrogatoire séparé, une promesse de silence n'a aucune valeur, puisque chacun a intérêt à la rompre.

Applications

Le dilemme du prisonnier est le jeu le plus célèbre parce qu'on le retrouve partout où l'intérêt collectif requiert une coopération que l'intérêt individuel sape.

• Cartels et tricherie. Le chapitre 9 a montré que les membres d'un cartel maximisent leur profit joint en restreignant la production, mais que chacun a intérêt à dépasser son quota si les autres le respectent. Respecter le quota est C, tricher est D; le cartel est instable parce que c'est un dilemme du prisonnier. C'est aussi pourquoi la COMCO peut compter sur les programmes de clémence: le premier membre qui dénonce le cartel est exempté de sanction, exactement comme le prisonnier qui avoue.
• Course aux armements. Deux États préféreraient tous deux ne pas s'armer, mais chacun craint d'être désarmé face à un voisin armé; l'équilibre est l'armement mutuel, coûteux et sans gain de sécurité.
• Ressources communes. Chaque pêcheur du lac Léman gagne à prélever davantage, mais si tous le font, le stock s'effondre. Le chapitre 11 étudiera cette «tragédie des biens communs» comme un dilemme du prisonnier à $n$ joueurs, et les solutions (quotas, permis, gestion communautaire) qui y répondent.
• Publicité. Deux marques de chocolat qui se disputent un marché de taille fixe dépensent des millions en publicité pour se voler des parts de marché; si les deux s'abstenaient, les parts seraient les mêmes et les profits plus élevés. Nous y reviendrons dans le problème guidé.
• Dopage. Un sportif propre face à un concurrent dopé perd; si les deux se dopent, le classement est inchangé mais la santé de chacun en pâtit. Le dopage est la stratégie dominante, d'où la nécessité d'un contrôle extérieur.

Le dilemme du prisonnier n'est qu'une des familles de jeux symétriques $2\times 2$: en changeant l'ordre des quatre gains $T$, $R$, $P$ et $S$, on obtient la chasse au cerf, la poule mouillée (chicken, où le pire est que les deux fassent défaut) ou un jeu où coopérer est dominant. L'explorateur ci-dessous vous permet de parcourir ces familles et de voir comment les meilleures réponses, les équilibres et l'efficacité des issues se réorganisent.

Stratégies mixtes

Définition et théorème d'indifférence

Le jeu de pile ou face n'a pas d'équilibre en stratégies pures parce que tout choix prévisible peut être exploité. La réponse naturelle est de ne pas être prévisible: choisir au hasard.

Le gain espéré (10.2) suppose que les joueurs évaluent les loteries par leur espérance, ce qui revient à mesurer les gains par une utilité de von Neumann–Morgenstern; pour des profits d'entreprises neutres au risque, c'est naturel. La propriété clé des équilibres mixtes est la suivante.

Démonstration. Fixons les stratégies ${\sigma }_{-i}^{\ast }$ des autres joueurs et notons $v_k$ le gain espéré du joueur $i$ lorsqu'il joue la stratégie pure $k$ contre ${\sigma }_{-i}^{\ast }$. Comme le gain espéré est linéaire en les probabilités (formule (10.2)), le gain de la stratégie mixte ${\sigma }_i$ qui joue $k$ avec probabilité $p_k$ vaut ${\sum }_k{p}_k{v}_k$: c'est une moyenne pondérée des $v_k$. Une moyenne pondérée ne peut dépasser le plus grand des $v_k$, et elle lui est égale si et seulement si toutes les stratégies de poids positif atteignent ce maximum. Si ${\sigma }_i^{\ast }$ est une meilleure réponse et qu'une stratégie pure $k$ de poids $p_k>0$ donnait $v_k$ strictement inférieur au maximum $v_{\max }$, déplacer la masse $p_k$ vers une stratégie atteignant $v_{\max }$ augmenterait strictement le gain espéré, contredisant l'optimalité de ${\sigma }_i^{\ast }$. Toutes les stratégies pures de poids positif donnent donc $v_{\max }$, et le gain de ${\sigma }_i^{\ast }$ vaut $v_{\max }$; les autres donnent au plus $v_{\max }$. $\square$

Le principe d'indifférence a une conséquence surprenante: à l'équilibre, un joueur ne randomise pas pour son bénéfice (il est indifférent entre ses stratégies pures), mais ses probabilités sont réglées pour rendre l'autre indifférent, de façon que celui-ci n'ait rien à exploiter. C'est ce qui fournit la méthode de calcul.

Démonstration. À un équilibre où le joueur 1 mélange strictement ($0<p<1$), le théorème 10.3 impose que ses deux lignes rapportent le même gain espéré contre $q$: la ligne 1 rapporte $q{a}_{11}+(1-q)a_{12}$ et la ligne 2 rapporte $q{a}_{21}+(1-q)a_{22}$. L'égalité s'écrit $q(a_{11}-a_{12}-a_{21}+a_{22})=a_{22}-a_{12}$, d'où la valeur de $q^{\ast }$. Symétriquement, le joueur 2 mélange strictement seulement si ses deux colonnes rapportent le même gain contre $p$: $p{b}_{11}+(1-p)b_{21}=p{b}_{12}+(1-p)b_{22}$, soit $p(b_{11}-b_{21}-b_{12}+b_{22})=b_{22}-b_{21}$, d'où $p^{\ast }$. Réciproquement, si $p^{\ast }$ et $q^{\ast }$ appartiennent à $]0,1[$, chaque joueur est indifférent entre ses deux stratégies pures, donc entre toutes ses stratégies mixtes: sa stratégie est une meilleure réponse, et $(p^{\ast },q^{\ast })$ est un équilibre. L'absence d'équilibre pur garantit qu'un joueur ne peut pas jouer une stratégie pure à l'équilibre (l'autre y répondrait par une stratégie pure et l'on aurait un équilibre pur), et l'on vérifie alors que $p^{\ast },q^{\ast }\in ]0,1[$. $\square$

Dans la bataille des sexes (exemple 10.3), la formule (10.3) donne $q^{\ast }=\frac{1-0}{3-0-0+1}=\frac{1}{4}$ pour la probabilité que Marc choisisse Montreux, et $p^{\ast }=\frac{3-0}{1-0-0+3}=\frac{3}{4}$ pour celle que Léa le choisisse: chacun va à son lieu préféré trois fois sur quatre. Le gain espéré vaut $3\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ pour chacun, bien moins que $1$ ou $3$ aux équilibres purs, et ils ne se retrouvent qu'avec probabilité $\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$: l'équilibre mixte d'un jeu de coordination est souvent le pire des trois.

L'existence d'un équilibre mixte n'est pas un accident de ces exemples.

Nous admettons ce résultat: sa démonstration utilise le théorème du point fixe de Brouwer (ou de Kakutani) appliqué à la correspondance de meilleure réponse, dont un équilibre est précisément un point fixe. Il garantit que la méthode de ce chapitre ne tourne jamais à vide: si la matrice n'a pas de case doublement soulignée, il y a un équilibre mixte à calculer.

Interprétation

Que signifie «jouer au hasard» pour une administration ou une entreprise? Trois lectures coexistent. La première est littérale: le gardien de but qui plonge à gauche ou à droite, le contrôleur des CFF qui choisit ses trains, le fisc qui tire au sort les dossiers à vérifier ont intérêt à ne pas être prévisibles. La seconde est celle des populations: la probabilité $p$ représente la proportion d'une population d'agents qui jouent la stratégie 1, chacun jouant en fait une stratégie pure. La troisième est celle des croyances: $p$ décrit l'incertitude de l'adversaire sur ce que fera le joueur 1, et l'équilibre décrit des croyances mutuellement cohérentes.

Jeux répétés

Le dilemme du prisonnier suppose une interaction unique. Or Migros et Coop se retrouvent chaque semaine, les membres d'un cartel chaque trimestre, et un fournisseur et son client pendant des années. La répétition ouvre la possibilité de punir la trahison, donc de soutenir la coopération. Mais tout dépend de l'horizon.

Horizon fini: le retour du dilemme

Démonstration. Raisonnons à partir de la dernière période $N$. Quoi qu'il se soit passé auparavant, le jeu de la période $N$ est un dilemme du prisunier ordinaire, sans lendemain: faire défaut y est strictement dominant, et les deux joueurs font défaut. À la période $N-1$, les joueurs savent que le comportement de la période $N$ est fixé (défaut mutuel) et ne dépend pas de ce qu'ils font maintenant: aucune punition ni récompense future n'est possible, et la période $N-1$ est elle aussi un dilemme isolé, où le défaut domine. En remontant ainsi de période en période, on obtient le défaut mutuel à chaque période, y compris la première. $\square$

Le résultat choque l'intuition: deux partenaires qui savent qu'ils se rencontreront cent fois ne coopéreraient jamais? En laboratoire, les sujets coopèrent en fait pendant la plus grande partie du jeu et ne font défaut que vers la fin, ce qui suggère que l'hypothèse de rationalité commune et parfaitement anticipée est trop forte. L'argument montre en tout cas que c'est la dernière période, connue de tous, qui fait s'effondrer la coopération: la solution consiste à ne pas savoir quand le jeu finira.

Horizon infini ou indéfini: la stratégie du déclencheur

Supposons que le jeu se répète sans fin connue, ou plus réalistement qu'après chaque période il continue avec une probabilité $\rho$. Les joueurs comparent les gains futurs aux gains présents à l'aide d'un facteur d'escompte.

Démonstration. Supposons que le joueur 2 suive la stratégie du déclencheur et examinons les options du joueur 1 à une période quelconque où personne n'a encore fait défaut. S'il coopère à cette période et à toutes les suivantes, il reçoit $R$ à chaque période, pour une valeur actuelle

S'il fait défaut, il empoche $T$ immédiatement, mais déclenche la punition: le joueur 2 fera défaut pour toujours, et la meilleure chose que le joueur 1 puisse alors faire est de faire défaut aussi, gagnant $P$ à chaque période suivante (coopérer face à un défaut lui rapporterait $S<P$). Sa valeur actuelle est

Dévier à une période ultérieure ne fait que retarder le même calcul, et dévier puis revenir à la coopération est pire que dévier définitivement, puisque la punition est irréversible. Le déclencheur est donc une meilleure réponse si et seulement si $V_C\ge V_D$, c'est-à-dire, en multipliant par $1-\delta >0$,

la dernière équivalence utilisant $T>P$. Comme $T>R>P$, on a $0<{\delta }^{\ast }<1$: la condition est réalisable. Par symétrie, le joueur 2 n'a pas non plus intérêt à dévier, et le profil est un équilibre. $\square$

La condition (10.4) a une lecture économique limpide. Le numérateur $T-R$ est le gain immédiat de la tricherie; le dénominateur $T-P$ mesure la perte par période que la punition inflige à partir du niveau tenté. La coopération tient si les joueurs sont assez patients ($\delta$ élevé, donc taux d'intérêt bas et forte probabilité de continuer) et si la tentation est faible relativement à la punition. Elle peut aussi tenir avec des punitions plus douces et limitées dans le temps, à condition d'être plus patient encore; et lorsque $\delta$ est proche de $1$, presque toute issue peut être soutenue comme équilibre: c'est le «théorème du folklore» (folk theorem).

La répétition explique aussi la valeur de la réputation. Un restaurant de quartier qui compte sur sa clientèle régulière sert des portions honnêtes, alors que le restaurant d'une gare qui ne revoit jamais ses clients est moins contraint; une marque horlogère qui vend depuis un siècle a plus à perdre d'un défaut de qualité qu'un nouvel entrant. Dans chacun de ces cas, le gain de court terme de la tricherie $T-R$ est faible devant la perte de toutes les transactions futures, et la coopération s'impose sans contrat.

Jeux séquentiels

Forme extensive et induction à rebours

Dans un jeu séquentiel, un joueur observe les coups précédents avant de jouer. Une stratégie est alors un plan complet: pour l'entreprise en place du jeu d'entrée ci-dessous, c'est la réponse qu'elle donnera si l'entrant entre. La méthode de résolution est celle du théorème 10.6: partir de la fin.

Considérons un marché régional, par exemple la distribution de boissons dans une vallée, dominé par une entreprise en place. Un entrant potentiel décide d'entrer ou de rester dehors. S'il entre, l'entreprise en place peut accommoder (partager le marché) ou déclencher une guerre des prix. Les profits, en millions de CHF, sont ceux de la figure 10.3: $(0,10)$ si l'entrant reste dehors, $(3,5)$ en cas d'accommodation, $(-2,1)$ en cas de guerre.

L'induction à rebours est immédiate: au nœud de l'entreprise en place, accommoder rapporte $5$ contre $1$ pour la guerre; elle accommode. L'entrant, qui anticipe cette réaction, compare $3$ (entrer) à $0$ (rester dehors) et entre. L'issue est (Entrer, Accommoder) avec les profits $(3,5)$.

L'entreprise en place aimerait pourtant dissuader l'entrée en menaçant d'une guerre des prix: si l'entrant la croyait, il resterait dehors et elle garderait $10$. Le problème est que la menace n'est pas crédible.

Démonstration. Écrivons la forme normale. Les stratégies de l'entrant sont Entrer et Rester dehors; celles de l'entreprise en place sont ses réponses en cas d'entrée, Accommoder et Guerre des prix.

Soulignons les meilleures réponses. Colonne Accommoder: l'entrant préfère Entrer ($3>0$). Colonne Guerre: il préfère Rester dehors ($0>-2$). Ligne Entrer: l'entreprise en place préfère Accommoder ($5>1$). Ligne Rester dehors: elle est indifférente ($10=10$), les deux colonnes sont des meilleures réponses. Deux cases sont doublement soulignées: (Entrer, Accommoder) et (Rester dehors, Guerre des prix). Le second profil est bien un équilibre de Nash: face à la menace de guerre, rester dehors est optimal, et face à un entrant qui reste dehors, la menace ne coûte rien puisqu'elle n'est jamais exécutée. Mais dans le sous-jeu qui suit l'entrée, la stratégie Guerre des prix n'est pas une meilleure réponse ($1<5$): le profil n'est pas un équilibre de ce sous-jeu, donc pas un équilibre parfait en sous-jeux. Seul (Entrer, Accommoder) l'est, puisqu'il est optimal dans le sous-jeu final et à la racine. $\square$

L'équilibre parfait en sous-jeux raffine l'équilibre de Nash en écartant les menaces et promesses qu'un joueur n'aurait pas intérêt à tenir le moment venu. L'entrant rationnel se dit: «une fois que je serai entré, la guerre des prix lui coûterait $4$ millions; elle ne la fera pas». Remarquez que la stratégie Guerre des prix est faiblement dominée, ce qui illustre l'avertissement de la section précédente: l'équilibre non crédible repose sur une stratégie faiblement dominée.

Engagement et crédibilité

Comment rendre une menace crédible? Paradoxalement, en réduisant ses propres options ou en modifiant ses propres gains de façon visible, de sorte que l'action menaçante devienne la meilleure réponse le moment venu. C'est l'idée d'engagement de Thomas Schelling: brûler ses vaisseaux, comme Cortés au Mexique, rend la retraite impossible et le combat crédible.

Négociation

La négociation d'un salaire, du prix d'une reprise ou du partage d'un héritage est un jeu séquentiel d'offres et de contre-offres. Le modèle le plus simple est le jeu de l'ultimatum: un proposant reçoit $100$ CHF et propose une part $x$ au répondant; celui-ci accepte, et le partage est appliqué, ou refuse, et personne ne reçoit rien. Par induction à rebours, le répondant accepte toute offre $x>0$ (mieux vaut peu que rien) et est indifférent en $x=0$; le proposant, qui anticipe cela, offre le montant minimal, disons $0,05$ CHF, et garde presque tout. L'équilibre parfait en sous-jeux prédit un partage extrêmement inégal.

Si le répondant peut faire une contre-offre, le pouvoir de négociation se déplace. Dans le modèle d'offres alternées de Rubinstein, les deux parties se relaient à chaque période et le gâteau perd de la valeur à chaque refus (facteur d'escompte $\delta$): le temps qui passe coûte aux deux. On montre par induction à rebours (exercice 10.4 pour un horizon de trois périodes) que le premier proposant obtient une part $\frac{1}{1+\delta }$ du gâteau lorsque l'horizon est infini: proche de $1$ si les joueurs sont impatients ($\delta$ petit, l'avantage du premier coup est décisif), proche de $\frac{1}{2}$ s'ils sont patients. La patience est le pouvoir de négociation: le syndicat dont la caisse de grève est pleine, ou l'acheteur qui n'est pas pressé, obtient une meilleure part.

Enchères

Les enchères sont des jeux à information incomplète: chaque enchérisseur connaît sa propre valeur $v_i$ pour l'objet, mais pas celle des autres. Les quatre formats classiques sont l'enchère anglaise (le prix monte jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un enchérisseur, qui paie le dernier prix annoncé), l'enchère hollandaise (le prix descend jusqu'à ce qu'un enchérisseur l'arrête et paie ce prix, comme au marché aux fleurs d'Aalsmeer), l'enchère sous pli fermé au premier prix (chacun soumet une offre; le plus offrant gagne et paie son offre) et l'enchère au second prix, ou enchère de Vickrey (le plus offrant gagne mais paie la deuxième offre la plus élevée). L'enchère anglaise et celle au second prix sont stratégiquement équivalentes (dans l'enchère anglaise, on reste jusqu'à sa valeur et l'on paie le prix auquel l'avant-dernier a renoncé), de même que l'enchère hollandaise et celle au premier prix. Le format de Vickrey a une propriété remarquable.

Démonstration. Fixons l'enchérisseur $i$ et notons $m$ la plus haute des offres des autres enchérisseurs. L'offre de $i$ détermine seulement s'il gagne, pas ce qu'il paie: s'il gagne, il paie $m$ et son gain est $v_i-m$; s'il perd, son gain est nul. Comparons l'offre $b_i=v_i$ à toute autre offre.

Cas $m<v_i$. En offrant $v_i$, $i$ gagne et obtient $v_i-m>0$. Une offre $b_i>v_i$ donne le même résultat. Une offre $b_i<v_i$ donne le même résultat si $b_i>m$, mais fait perdre l'enchère (gain $0$ au lieu de $v_i-m>0$) si $b_i<m$. Offrir $v_i$ est donc au moins aussi bon, et parfois strictement meilleur.

Cas $m>v_i$. En offrant $v_i$, $i$ perd et gagne $0$. Une offre $b_i<v_i$ donne aussi $0$. Une offre $b_i>v_i$ donne $0$ si $b_i<m$, mais fait gagner l'enchère à un prix $m>v_i$, pour un gain $v_i-m<0$, si $b_i>m$. Offrir $v_i$ est encore au moins aussi bon, et parfois strictement meilleur.

Cas $m=v_i$. Toute offre donne un gain nul (gagner en payant $m=v_i$ ou perdre).

Dans tous les cas, $b_i=v_i$ fait au moins aussi bien que toute autre offre, et strictement mieux pour certaines configurations des offres adverses: c'est une stratégie faiblement dominante. $\square$

L'intérêt pratique est immense: l'enchérisseur n'a pas besoin d'estimer les valeurs des autres ni de «raser» stratégiquement son offre, comme il doit le faire au premier prix (exercice 10.5), et le vendeur obtient une allocation efficace, l'objet allant à celui qui le valorise le plus. On montre par ailleurs que, lorsque les valeurs sont indépendantes et les enchérisseurs neutres au risque, les quatre formats procurent le même revenu espéré au vendeur (théorème d'équivalence des revenus).

Les enchères sont devenues un outil central de l'action publique. En Suisse, la Commission fédérale de la communication (ComCom) attribue les fréquences de téléphonie mobile par enchère: celle de février 2019 pour les fréquences 5G, organisée comme une enchère au cadran sur plusieurs blocs simultanés, a rapporté environ $380$ millions de CHF à la Confédération, Swisscom, Sunrise et Salt se partageant le spectre. Sur le marché de l'électricité, Swissgrid achète les réserves de réglage nécessaires à la stabilité du réseau par des appels d'offres réguliers, et les bourses de l'électricité fixent le prix horaire par une enchère à prix uniforme où toutes les offres retenues sont payées au prix de la dernière acceptée: la conception de ces mécanismes, qui doivent inciter les producteurs à révéler leurs coûts, est une application directe des idées de ce chapitre.

Synthèse

• Un jeu est décrit par ses joueurs, leurs stratégies et leurs gains; la forme normale (matrice) convient aux jeux simultanés, la forme extensive (arbre) aux jeux séquentiels. L'analyse suppose des joueurs rationnels et une structure de connaissance commune.
• Une stratégie strictement dominante est la meilleure quoi que fassent les autres; l'élimination itérée des stratégies strictement dominées réduit le jeu. Un équilibre de Nash est un profil où chaque stratégie est une meilleure réponse aux autres: on le trouve en soulignant les meilleures réponses dans la matrice. Un jeu peut avoir plusieurs équilibres (coordination, bataille des sexes) ou aucun équilibre pur (pile ou face).
• Dans le dilemme du prisonnier ($T>R>P>S$), faire défaut est dominant et l'unique équilibre (D, D) est Pareto-dominé par la coopération: cartels, publicité, ressources communes, course aux armements. On en sort par les contrats, la répétition ou les normes.
• Une stratégie mixte est une loterie sur les stratégies pures; à l'équilibre, chaque joueur est indifférent entre les stratégies pures qu'il joue (principe d'indifférence), ce qui donne pour un jeu $2\times 2$ les formules (10.3). Tout jeu fini possède un équilibre, éventuellement mixte (théorème de Nash).
• Dans le dilemme répété un nombre fini de fois, l'induction à rebours rétablit le défaut; à horizon indéfini, la stratégie du déclencheur soutient la coopération si et seulement si $\delta \ge (T-R)/(T-P)$.
• Les jeux séquentiels se résolvent par induction à rebours; l'équilibre parfait en sous-jeux écarte les menaces non crédibles, que seul un engagement (capacité, contrat, réputation) peut rendre crédibles. Dans l'enchère au second prix, enchérir sa valeur est faiblement dominant.

Exercices

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Références

• Varian, H. R., Introduction à la microéconomie, 9e éd., De Boeck, Louvain-la-Neuve, chap. 29–30 (théorie des jeux, applications).
• Pindyck, R. S. et Rubinfeld, D. L., Microéconomie, 9e éd., Pearson, Montreuil, chap. 13 (théorie des jeux et stratégie concurrentielle).
• Mankiw, N. G. et Taylor, M. P., Principes de l'économie, 5e éd., De Boeck, Louvain-la-Neuve, chap. 16 (oligopole et dilemme du prisonnier).
• Dixit, A. K., Skeath, S. et Reiley, D. H., Games of Strategy, 5e éd., W. W. Norton, New York (introduction complète, sans mathématiques avancées).
• Gibbons, R., A Primer in Game Theory, Pearson, Harlow (jeux statiques, dynamiques et à information incomplète; enchères).
• Axelrod, R., Donnant donnant. Théorie du comportement coopératif, Odile Jacob, Paris (le tournoi et la stratégie tit for tat).
• Commission fédérale de la communication (ComCom), Rapport d'activité 2019, Berne (attribution des fréquences 5G).