Élasticités · Microéconomie

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

expliquer pourquoi la pente d'une courbe de demande ne mesure pas la sensibilité au prix, et définir une élasticité comme un rapport de variations relatives;
calculer une élasticité-prix de la demande par la méthode de l'arc (point milieu) et par la formule ponctuelle $ε = \frac{d Q}{d p} \frac{p}{Q}$ , puis classer une demande (élastique, inélastique, unitaire);
démontrer comment l'élasticité varie le long d'une demande linéaire et pourquoi une demande de la forme $Q = A p^{- η}$ a une élasticité constante;
prévoir l'effet d'une variation de prix sur la recette totale grâce à la relation $\frac{d R T}{d p} = Q (1 + ε)$ et déterminer le prix qui maximise la recette;
interpréter les élasticités-revenu et croisées (biens normaux, inférieurs, de luxe; substituts et compléments) et l'élasticité de l'offre à court et à long terme;
appliquer les élasticités à des questions concrètes: partage d'une taxe, chocs pétroliers, paradoxe des bonnes récoltes, estimation économétrique.

Pourquoi mesurer la sensibilité?

Trois questions suisses

Le chapitre 2 a établi que la quantité demandée diminue quand le prix monte. Mais de combien? Cette question quantitative est celle que se posent chaque jour les entreprises et les autorités:

Le Conseil fédéral relève l'impôt sur le tabac et le paquet de cigarettes passe de CHF 8,50 à CHF 9,00. Les fumeurs réduiront-ils leur consommation de $1 %$ ou de $10 %$ ? La réponse détermine à la fois les recettes fiscales et l'effet de santé publique.
Les CFF augmentent le prix du billet Lausanne–Genève. Perdront-ils des voyageurs au profit de la voiture, et la hausse rapportera-t-elle finalement plus ou moins d'argent?
Le prix du carburant grimpe de $20 %$ à la suite d'une crise pétrolière. Les automobilistes suisses rouleront-ils moins, et dans quelle proportion, la semaine prochaine et dans cinq ans?

Dans les trois cas, il faut mesurer la réaction de la quantité au prix. L'outil qui le permet, l'élasticité, est sans doute le concept le plus utilisé de toute la microéconomie appliquée.

Pente ou élasticité?

Une première idée serait d'utiliser la pente de la courbe de demande, $\frac{d Q}{d p}$ . Elle a un défaut rédhibitoire: elle dépend des unités. Prenons une demande de billets de cinéma $Q = 600 - 20 p$ , avec $p$ en francs. Sa pente vaut $- 20$ billets par franc. Si l'on exprime le prix en centimes, $p^{'} = 100 p$ , la même demande s'écrit $Q = 600 - 0, 2 p^{'}$ et sa pente devient $- 0, 2$ billet par centime. Rien n'a changé dans le comportement des spectateurs, mais le chiffre a été divisé par cent. Comparer la «sensibilité» de la demande de cinéma (en billets par franc) et celle de la demande d'électricité (en kilowattheures par centime) n'aurait aucun sens.

La solution consiste à comparer des variations relatives, c'est-à-dire des pourcentages, qui sont des nombres sans unité: «une hausse de $10 %$ du prix réduit la quantité de $4 %$ » a le même sens quels que soient le bien et la monnaie.

La seconde forme de (3.1) est la limite de la première lorsque $Δ x \to 0$ : $\frac{Δ y / y}{Δ x / x} = \frac{Δ y}{Δ x} \frac{x}{y} \to \frac{d y}{d x} \frac{x}{y}$ (cours d'Analyse I, définition de la dérivée). Comme $\frac{d ( ln y )}{d ( ln x )} = \frac{d y / y}{d x / x}$ , l'élasticité est aussi la pente de la courbe tracée en coordonnées logarithmiques; nous y reviendrons.

Élasticité-prix de la demande

Élasticité d'arc et élasticité ponctuelle

Par la loi de la demande, $d Q_{d} / d p \leq 0$ , donc $ε \leq 0$ . Beaucoup d'auteurs (et beaucoup de tableaux statistiques) reportent la valeur absolue $∣ ε ∣$ et parlent d'une «élasticité de 0,4» pour $ε = - 0, 4$ . Nous garderons le signe dans les formules, car il joue un rôle dans la règle de la recette totale, mais nous dirons «plus élastique» pour «de plus grande valeur absolue».

Pourquoi la méthode du point milieu? Parce que le pourcentage de variation dépend du point de départ: passer de 8 à 9 est une hausse de $12, 5 %$ , mais revenir de 9 à 8 est une baisse de $11, 1 %$ . En divisant par la moyenne des deux valeurs, la formule (3.3) donne le même résultat dans les deux sens.

Exemple 3.1 · Hausse de l'impôt sur le tabac

Un kiosque vend $10000$ paquets de cigarettes par semaine à CHF 8,00. Après une hausse de l'impôt, le paquet passe à CHF 9,00 et les ventes tombent à $9500$ paquets.

Pourcentages simples. La quantité baisse de $\frac{- 500}{10 000} = - 5 %$ pour une hausse de prix de $\frac{1}{8} = 12, 5 %$ : $ε \approx \frac{- 0 , 05}{0 , 125} = - 0, 40$ . Si l'on refait le calcul dans l'autre sens (le prix revient de 9 à 8 et les ventes de $9500$ à $10000$ ), on trouve $\frac{+ 5 , 26 %}{- 11 , 11 %} = - 0, 47$ : un autre chiffre pour le même arc de demande.

Point milieu. La quantité moyenne est $9750$ et le prix moyen CHF 8,50:

ε_{arc} = \frac{- 500/9 750}{1/8 , 50} = \frac{- 0 , 0513}{0 , 1176} \approx - 0, 44.

Cette valeur est indépendante du sens de la variation. La demande de cigarettes est inélastique: une hausse de prix de $10 %$ ne réduit la consommation que d'environ $4, 4 %$ . C'est cohérent avec les estimations empiriques (tableau 3.1) et cela explique pourquoi l'impôt sur le tabac est à la fois un bon instrument fiscal et un instrument de santé publique modeste à court terme.

Exercice

Le prix d'un trajet de bus urbain passe de CHF 2,50 à CHF 3,00 et le nombre de trajets vendus par jour tombe de $800$ à $720$ . Calculez l'élasticité-prix d'arc par la méthode du point milieu (avec son signe).

Classification

Définition · demande élastique, inélastique, unitaire

Selon la valeur de $∣ ε ∣$ , la demande est dite:

$∣ ε ∣$	Qualificatif	Réaction à une hausse de prix de $1 %$
$0$	parfaitement inélastique	la quantité ne bouge pas (courbe verticale)
$0 < ∣ ε ∣ < 1$	inélastique	la quantité baisse de moins de $1 %$
$1$	unitaire	la quantité baisse d'exactement $1 %$
$1 < ∣ ε ∣ < \infty$	élastique	la quantité baisse de plus de $1 %$
$\infty$	parfaitement élastique	la quantité s'effondre à zéro (courbe horizontale)

Les deux cas extrêmes sont des idéalisations utiles. Une demande parfaitement inélastique décrit un bien vital sans substitut (l'insuline pour un diabétique, sur une plage de prix raisonnable). Une demande parfaitement élastique décrit celle qui s'adresse à un vendeur individuel sur un marché concurrentiel: un producteur de lait vaudois qui demanderait un centime de plus que le prix du marché ne vendrait plus rien; nous y reviendrons au chapitre 7.

Les déterminants de l'élasticité-prix

Qu'est-ce qui rend une demande plus ou moins élastique? Cinq facteurs reviennent dans toutes les études empiriques.

L'existence de substituts proches. Plus il est facile de remplacer le bien, plus la demande est élastique. La demande de beurre de la marque Migros est très élastique (on prend celui de Coop ou d'Aldi); la demande de beurre en général l'est moins; la demande de matières grasses encore moins.
La définition du marché. Conséquence du point précédent: plus le bien est défini étroitement, plus sa demande est élastique. «Les transports» sont inélastiques, «le train» moins, «le train de 7 h 34 pour Berne» beaucoup moins encore.
La part du budget. Une hausse de $20 %$ du prix du sel passe inaperçue; une hausse de $20 %$ du loyer ou des primes LAMal oblige à réagir. Les biens qui pèsent lourd dans le budget ont une demande plus élastique.
Nécessité ou luxe. Les biens de première nécessité (pain, électricité, médicaments) ont une demande inélastique; les biens de luxe ou reportables (voyages, restaurant, montre) une demande élastique.
L'horizon temporel. À court terme, on ne change ni de voiture ni de logement: la demande de carburant ou de chauffage est rigide. À long terme, on achète une voiture plus sobre, on isole la maison, on déménage près d'une gare: la demande devient beaucoup plus élastique. Presque toutes les demandes sont plus élastiques à long terme qu'à court terme.

Exercice

Parmi les demandes suivantes, laquelle est vraisemblablement la plus élastique (en valeur absolue)?

Élasticité le long d'une demande linéaire

Une erreur fréquente consiste à confondre élasticité et pente. Le cas de la demande linéaire, dont la pente est constante, montre que l'élasticité, elle, varie d'un bout à l'autre de la droite.

Démonstration. La dérivée de $Q_{d} = a - b p$ est $d Q_{d} / d p = - b$ , constante. En reportant dans (3.2), $ε = - b \cdot \frac{p}{a - b p}$ , ce qui est (3.4). Le numérateur $b p$ croît avec $p$ tandis que le dénominateur $a - b p$ décroît vers $0$ : $∣ ε ∣$ est croissante, nulle en $p = 0$ et tend vers $+ \infty$ quand $p \to a / b$ . Enfin $ε = - 1$ équivaut à $b p = a - b p$ , soit $p = a / (2 b)$ ; en ce point $Q_{d} = a /2$ : c'est le milieu du segment reliant les deux intersections avec les axes. $□$

Figure 3.1. Élasticité-prix le long de la demande linéaire Q = 100 − 2p. La pente est la même partout, mais l'élasticité passe de 0 (intersection avec l'axe des quantités) à −∞ (intersection avec l'axe des prix). Au-dessus du milieu du segment (p = 25, Q = 50), la demande est élastique; en dessous, inélastique.

Exemple 3.2 · Trois points d'une même demande

Reprenons la demande de billets de cinéma $Q = 600 - 20 p$ (billets par semaine, prix en CHF). D'après (3.4), $ε (p) = - \frac{20 p}{600 - 20 p}$ .

$p$ (CHF)	$Q$	$ε$	demande
10	400	$- \frac{200}{400} = - 0, 5$	inélastique
15	300	$- \frac{300}{300} = - 1$	unitaire
20	200	$- \frac{400}{200} = - 2$	élastique
25	100	$- \frac{500}{100} = - 5$	très élastique

Le prix d'élasticité unitaire est bien $a / (2 b) = 600/40 = 15$ . Un cinéma qui vend à CHF 20 se trouve sur la partie élastique: une hausse de $1 %$ du prix lui fait perdre $2 %$ de spectateurs. Nous verrons que ce n'est pas un choix judicieux s'il cherche à maximiser sa recette.

Demande à élasticité constante

Existe-t-il des courbes de demande dont l'élasticité est la même en tout point? Oui, et elles jouent un rôle central en économétrie.

Démonstration. Première méthode (dérivation directe): $\frac{d Q _{d}}{d p} = - η A p^{- η - 1}$ , donc

ε = - η A p^{- η - 1} \cdot \frac{p}{A p ^{- η}} = - η \frac{p ^{- η}}{p ^{- η}} = - η .

Seconde méthode (dérivation logarithmique, chapitre sur les logarithmes d'Analyse I): en prenant le logarithme de (3.5), $ln Q_{d} = ln A - η ln p$ . La dérivée de $ln Q_{d}$ par rapport à $ln p$ vaut $- η$ , et c'est précisément l'élasticité puisque $\frac{d ln Q}{d ln p} = \frac{d Q / Q}{d p / p}$ . $□$

En coordonnées logarithmiques, la demande (3.5) est une droite de pente $- η$ : c'est ce qui la rend si commode pour l'estimation statistique (section «Applications»). Sa courbe dans le plan $(Q, p)$ est une hyperbole généralisée, qui ne coupe aucun des deux axes. Pour $η = 1$ , la recette totale $p Q_{d} = A$ est constante: c'est le cas où un consommateur consacre un budget fixe au bien, quel que soit son prix.

Ordres de grandeur

Le tableau suivant rassemble des ordres de grandeur issus de synthèses de la littérature empirique (notamment les méta-analyses d'Espey sur l'essence et de Gallet et List sur le tabac). Ce sont des fourchettes indicatives: les valeurs varient selon le pays, la période, la méthode d'estimation et la définition exacte du bien, et les études suisses sont rares.

Bien	$∣ ε ∣$ court terme	$∣ ε ∣$ long terme
Essence	0,1 – 0,3	0,6 – 0,8
Cigarettes	0,3 – 0,5	0,5 – 0,8
Électricité des ménages	0,1 – 0,3	0,5 – 1,0
Alimentation (ensemble)	0,2 – 0,5	—
Logement (services)	0,3 – 0,7	—
Repas au restaurant	1,5 – 2,5	—
Voyages en avion (loisirs)	1,3 – 2,0	—

Tableau 3.1 — Ordres de grandeur d'élasticités-prix de la demande (valeurs absolues). On retrouve les déterminants: les biens de nécessité sans substitut (essence, électricité, tabac) sont inélastiques à court terme; les biens reportables (restaurant, voyages) sont élastiques; tout est plus élastique à long terme.

Explorateur d'élasticité

Demande linéaire Q = a − b p. Déplacez le prix courant: le point se déplace le long de la demande, le rectangle de recette totale p × Q se déforme et l'élasticité-prix change de −0 (en bas) à −∞ (en haut). À droite, la recette totale RT(p) est maximale au prix a/(2b), là où ε = −1.

Quantité Q

Élasticité ε

−0,50

Demande

inélastique

Recette totale

1600CHF

Prix de recette maximale a/(2b)

30,0CHF

Ordonnée à l'origine a120

Pente b2,0

Prix courant p20CHF

Élasticité et recette totale

La règle de la recette

Pour un vendeur, la question pratique est: une hausse de prix augmente-t-elle mes recettes? La réponse dépend de l'élasticité.

Démonstration. Par la règle de dérivation d'un produit,

\frac{d R T}{d p} = \frac{d}{d p} (p Q_{d} (p)) = Q_{d} + p \frac{d Q _{d}}{d p} = Q_{d} (1 + \frac{d Q _{d}}{d p} \frac{p}{Q _{d}}) = Q_{d} (1 + ε) .

Comme $Q_{d} > 0$ , le signe de $d R T / d p$ est celui de $1 + ε$ : positif si $ε > - 1$ , c'est-à-dire $∣ ε ∣ < 1$ ; négatif si $ε < - 1$ . $□$

L'intuition est simple. Une hausse de prix a deux effets opposés sur $R T = p Q$ : chaque unité vendue rapporte plus (effet prix, $+ Q d p$ ), mais on vend moins d'unités (effet quantité, $+ p d Q < 0$ ). L'élasticité compare exactement ces deux effets: si la quantité baisse proportionnellement moins que le prix ne monte, l'effet prix l'emporte.

Exercice

La demande d'abonnements à une salle de fitness a une élasticité-prix $ε = - 0, 4$ au prix actuel. Le gérant augmente le prix de $10 %$ . Qu'advient-il, approximativement, de sa recette totale?

Le prix qui maximise la recette

Démonstration. $R T$ est un polynôme du second degré en $p$ de coefficient dominant $- b < 0$ : sa courbe est une parabole tournée vers le bas et son maximum est atteint là où la dérivée s'annule. Or $R T^{'} (p) = a - 2 b p$ , nulle pour $p^{*} = a / (2 b)$ , avec $R T^{''} (p) = - 2 b < 0$ (condition du second ordre). On calcule $Q^{*} = a - b \frac{a}{2 b} = \frac{a}{2}$ et $R T^{*} = \frac{a}{2 b} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a ^{2}}{4 b}$ . On peut aussi partir de (3.6): $R T^{'} (p) = Q_{d} (1 + ε)$ s'annule pour $ε = - 1$ , soit $p = a / (2 b)$ d'après le théorème 3.1. $□$

Figure 3.2. Recette totale RT(p) = p(100 − 2p) pour la demande de la figure 3.1. Sur la partie inélastique de la demande (prix bas), une hausse de prix accroît la recette; sur la partie élastique (prix élevés), elle la réduit. Le maximum a²/(4b) = 1250 est atteint en p* = a/(2b) = 25, où ε = −1.

Exemple 3.3 · Le prix des places de concert

L'organisateur d'un concert en plein air à Nyon estime la demande de billets à $Q = 12000 - 100 p$ ( $p$ en CHF). Le coût d'un spectateur supplémentaire est négligeable une fois la scène montée, de sorte que maximiser le profit revient à maximiser la recette.

D'après (3.7), $p^{*} = \frac{12 000}{200} = 60$ CHF, $Q^{*} = 6000$ billets et $R T^{*} = \frac{12 00 0 ^{2}}{400} = 360000$ CHF. Vérifions avec deux autres prix:

à CHF 40: $Q = 8000$ , $R T = 320000$ CHF, $ε = - \frac{4 000}{8 000} = - 0, 5$ (inélastique: il faut augmenter le prix);
à CHF 80: $Q = 4000$ , $R T = 320000$ CHF, $ε = - \frac{8 000}{4 000} = - 2$ (élastique: il faut baisser le prix).

Les deux prix donnent la même recette, inférieure de $40000$ CHF au maximum. Remarquez qu'à CHF 60, il reste $6000$ personnes prêtes à payer moins que le prix affiché: c'est ce qui incite les organisateurs à discriminer (tarifs étudiants, early bird), sujet du chapitre 8.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes permettant de trouver le prix qui maximise la recette d'un vendeur confronté à la demande $Q = a - b p$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Annuler la dérivée:

a - 2 b p = 0

, d'où

p^{*} = a / (2 b)

Dériver:

R T^{'} (p) = a - 2 b p

Écrire la recette totale comme fonction du prix:

R T (p) = p (a - b p)

Calculer

Q^{*} = a /2

R T^{*} = a^{2} / (4 b)

et contrôler que

ε (p^{*}) = - 1

Vérifier la condition du second ordre:

R T^{''} (p) = - 2 b < 0

, il s'agit bien d'un maximum

Applications de la règle de la recette

Tarification des CFF. Les CFF vendent le même trajet à des prix très différents: billet plein tarif, demi-tarif, abonnement général, billets dégriffés (supersaver) en heures creuses. Chaque segment de clientèle a sa propre élasticité: le pendulaire du matin, sans alternative, a une demande inélastique; le retraité qui choisit son heure de départ une demande élastique. La règle (3.6) recommande des prix élevés pour les premiers et des rabais pour les seconds, ce que l'entreprise fait précisément par ses tarifs différenciés selon l'heure. Le succès de l'abonnement demi-tarif s'explique par le même mécanisme: une fois l'abonnement payé, le prix marginal du voyage est divisé par deux, ce qui attire des voyageurs occasionnels dont la demande est élastique, sans réduire de moitié la recette tirée des pendulaires.

Le paradoxe des bonnes récoltes. La demande de produits agricoles de base (pommes de terre, blé, lait) est inélastique. Une récolte exceptionnellement bonne déplace l'offre vers la droite et fait chuter le prix; comme la quantité augmente proportionnellement moins que le prix ne baisse, la recette totale des agriculteurs diminue. Ce mécanisme explique la volatilité des revenus agricoles et une partie des interventions publiques (paiements directs, anciens prix garantis du lait) discutées au chapitre 4.

Exemple 3.4 · Le paradoxe des bonnes récoltes en chiffres

Supposons que la demande de pommes de terre suisses ait une élasticité constante $ε = - 0, 3$ , soit $Q = A p^{- 0, 3}$ , et qu'un été favorable augmente la récolte de $10 %$ . Pour écouler $10 %$ de plus, le prix doit baisser jusqu'à ce que $\frac{Q _{1}}{Q _{0}} = (\frac{p _{1}}{p _{0}})^{- 0, 3} = 1, 10$ , soit

\frac{p _{1}}{p _{0}} = 1, 1 0^{- 1/0, 3} \approx 0, 728 :

le prix chute de $27 %$ . La recette totale est multipliée par $\frac{p _{1} Q _{1}}{p _{0} Q _{0}} = 1, 10 \times 0, 728 \approx 0, 80$ : elle baisse de $20 %$ . Avec une demande plus élastique, $ε = - 0, 8$ , le prix ne baisserait que de $11 %$ et la recette de $2, 4 %$ . Si la demande était élastique ( $∣ ε ∣ > 1$ ), la bonne récolte enrichirait les producteurs. (L'approximation linéaire $Δ p / p \approx Δ Q / Q \div ε = - 33 %$ surestime la baisse: les pourcentages ne s'additionnent qu'au premier ordre.)

Taxes sur le tabac. Une demande inélastique est une aubaine fiscale: la Confédération peut relever l'impôt sans que l'assiette (les paquets vendus) ne fonde, et la recette fiscale augmente. Le revers est que l'effet dissuasif est faible à court terme; il est plus marqué chez les jeunes, dont la demande est plus élastique (part du budget, habitude moins ancrée), et à long terme.

Autres élasticités de la demande

Le prix du bien n'est pas la seule variable qui fait bouger la demande: le chapitre 2 a énuméré le revenu, le prix des autres biens, les goûts. À chacune de ces variables correspond une élasticité.

Élasticité-revenu

Exemple 3.5 · Trois biens, trois élasticités-revenu

Le revenu mensuel d'un ménage lausannois passe de CHF 6000 à CHF 6600 ( $+ 10 %$ ). On observe, à prix constants:

ses dépenses de transport ferroviaire augmentent de $5 %$ : $ε_{R} = \frac{5 %}{10 %} = 0, 5$ , bien normal de nécessité;
ses repas au restaurant augmentent de $15 %$ : $ε_{R} = 1, 5$ , bien de luxe;
ses achats de pâtes de premier prix diminuent de $3 %$ : $ε_{R} = - 0, 3$ , bien inférieur (le ménage se reporte sur des produits de meilleure qualité).

Les élasticités-revenu sont essentielles pour la prévision: si le PIB suisse croît de $2 %$ , la demande de biens de luxe (montres, voyages) progressera plus vite que $2 %$ , celle de biens de nécessité moins vite, et celle de biens inférieurs reculera. Le statut d'un bien n'est pas absolu: les transports publics sont un bien normal en Suisse, mais deviennent inférieurs dans des pays où l'automobile est le marqueur de l'ascension sociale.

Élasticité croisée

On rencontre encore l'élasticité-publicité ( $\frac{d Q}{d A} \frac{A}{Q}$ , où $A$ est le budget publicitaire) et, pour les marchés d'exportation, l'élasticité-taux de change: lorsque le franc s'apprécie de $10 %$ , les montres et le chocolat suisses renchérissent d'autant à l'étranger, et c'est l'élasticité-prix de la demande étrangère qui dit de combien les exportations reculent. Le principe reste toujours celui de (3.1): un rapport de variations relatives.

Exercice

Une étude trouve une élasticité croisée de $+ 0, 8$ entre la demande de trajets en train Lausanne–Genève et le prix du carburant, et une élasticité de $- 0, 4$ entre la demande de skis et le prix des forfaits de remontées mécaniques. Quelles affirmations sont correctes?

Plusieurs réponses possibles

Élasticité de l'offre

Définition et déterminants

L'élasticité de l'offre dépend de la facilité avec laquelle les producteurs peuvent augmenter la production quand le prix monte:

Capacités et stocks. Une usine tournant à $70 %$ de sa capacité, ou un négociant disposant de stocks, répondent vite à une hausse de prix: offre élastique. Une centrale hydroélectrique en hiver ou un hôtel complet ne le peuvent pas.
Mobilité des facteurs. Si le travail et le capital peuvent être redéployés depuis d'autres usages (main-d'œuvre saisonnière, terrains constructibles disponibles), l'offre est élastique. Les biens qui exigent des facteurs spécifiques et rares (vignoble du Lavaux, personnel médical qualifié) ont une offre rigide.
Horizon temporel. C'est le déterminant majeur. À très court terme, la quantité est fixe (la récolte est faite, le nombre de logements est donné): $ε_{s} \approx 0$ . À moyen terme, on ajuste l'emploi des capacités existantes. À long terme, on construit de nouvelles usines, de nouveaux immeubles, on forme du personnel: l'offre devient très élastique. Marshall distinguait ainsi la période de marché, la courte période et la longue période.

Figure 3.3. Offre d'électricité de court terme (Q = 200 + p, rigide: ε = 0,33 en E₀) et de long terme (Q = −300 + 6p, élastique: ε = 2 en E₀), passant par le même équilibre initial E₀ (300 GWh, 100 CHF/MWh). Une même hausse de la demande D₀ → D₁ fait passer le prix à 120 CHF/MWh à court terme mais seulement à 107,5 CHF/MWh à long terme, quand de nouvelles capacités ont pu être installées.

Offre linéaire

Démonstration. $d Q_{s} / d p = d$ , donc $ε_{s} = \frac{d p}{c + d p}$ . En écrivant $d p = Q_{s} - c$ , on obtient $ε_{s} = \frac{Q _{s} - c}{Q _{s}} = 1 - \frac{c}{Q _{s}}$ . Comme $Q_{s} > 0$ , $ε_{s} > 1$ si et seulement si $c < 0$ , $ε_{s} = 1$ si et seulement si $c = 0$ , et $ε_{s} < 1$ si et seulement si $c > 0$ . $□$

Ce résultat surprend souvent: pour une offre linéaire, ce n'est pas la pente qui décide du caractère élastique ou inélastique, mais l'ordonnée à l'origine. Une droite très pentue passant par l'origine a une élasticité unitaire, exactement comme une droite presque plate passant par l'origine.

Exemple 3.7 · Offre d'électricité à court et à long terme

Sur la figure 3.3, l'offre de court terme est $Q_{s} = 200 + p$ et l'offre de long terme $Q_{s} = - 300 + 6 p$ ( $Q$ en GWh, $p$ en CHF/MWh); toutes deux passent par $E_{0} = (300, 100)$ .

Court terme: $c = 200 > 0$ , offre inélastique: $ε_{s} = \frac{1 \times 100}{300} = \frac{1}{3} \approx 0, 33$ . Les centrales existantes ne peuvent guère produire plus.
Long terme: $c = - 300 < 0$ , offre élastique: $ε_{s} = \frac{6 \times 100}{300} = 2$ . Un prix durablement plus élevé rend rentables de nouveaux parcs éoliens, panneaux solaires ou rehaussements de barrages.

Face à la hausse de demande $D_{1} : Q_{d} = 560 - 2 p$ , le prix de court terme résout $560 - 2 p = 200 + p$ , soit $p = 120$ CHF/MWh ( $+ 20 %$ ); à long terme, $560 - 2 p = - 300 + 6 p$ donne $p = 107, 5$ CHF/MWh ( $+ 7, 5 %$ ) pour une quantité de $345$ GWh. C'est le schéma des hivers 2022–2023 en Europe: flambée des prix à court terme, puis détente à mesure que les capacités s'ajustent.

Le marché du logement à Genève ou à Zurich est l'exemple type d'une offre rigide à court terme: le parc immobilier est donné, les procédures d'autorisation et les chantiers prennent des années. Toute hausse de la demande (arrivée d'entreprises, croissance démographique) se traduit d'abord par une hausse des loyers et une baisse du taux de vacance, avant qu'une construction supplémentaire ne desserre lentement la contrainte; c'est l'objet de l'exercice 3.4. Le marché de la main-d'œuvre qualifiée (infirmières, ingénieurs, informaticiens) présente la même rigidité: former un spécialiste prend des années, si bien que les salaires réagissent fortement à court terme.

Exercice

L'offre de fromage d'alpage d'une vallée valaisanne est $Q_{s} = - 50 + 5 p$ (tonnes par an, $p$ en CHF/kg). Calculez l'élasticité-prix de l'offre au prix $p = 30$ CHF/kg.

Applications de l'élasticité

Qui supporte une taxe?

Lorsque l'État prélève une taxe de $t$ francs par unité vendue, le prix payé par l'acheteur $p_{c}$ et le prix reçu par le vendeur $p_{p}$ se séparent: $p_{c} = p_{p} + t$ . Qui paie réellement la taxe? Le chapitre 4 traitera la question en détail; les élasticités en donnent déjà la réponse.

Démonstration. À l'équilibre avec taxe, $a - b (p_{p} + t) = c + d p_{p}$ , d'où $p_{p} (t) = \frac{a - c - b t}{b + d}$ et $p_{c} (t) = p_{p} (t) + t = \frac{a - c + d t}{b + d}$ . En dérivant, $\frac{d p _{c}}{d t} = \frac{d}{b + d}$ et $\frac{d p _{p}}{d t} = - \frac{b}{b + d}$ . À l'équilibre initial $(p_{0}, Q_{0})$ , on a $∣ ε_{d} ∣ = b p_{0} / Q_{0}$ et $ε_{s} = d p_{0} / Q_{0}$ ; en divisant numérateur et dénominateur de $\frac{d}{b + d}$ par $Q_{0} / p_{0}$ , on obtient $\frac{ε _{s}}{ε _{s} + ∣ ε _{d} ∣}$ . Les deux parts sont positives et somment à $t$ . $□$

Chocs pétroliers et OPEP

En 1973 puis en 1979, l'OPEP a réduit sa production de quelques pour cent et le prix du baril a été multiplié par trois puis par deux. Comment une petite variation de quantité provoque-t-elle un tel bond? Parce qu'à court terme, la demande de pétrole et l'offre des producteurs hors OPEP sont toutes deux très inélastiques. Avec $∣ ε_{d} ∣ = 0, 1$ , écouler $5 %$ de pétrole en moins exige une hausse de prix de $\frac{5 %}{0 , 1} = 50 %$ . Mais à long terme, la demande devient plus élastique (véhicules sobres, isolation, nucléaire et renouvelables) et l'offre hors OPEP augmente (mer du Nord, puis pétrole de schiste): le prix réel du baril est retombé dans les années 1980. Le cartel gagne à court terme et perd du terrain à long terme, un thème que nous retrouverons au chapitre 9.

Le prix du chocolat suisse et le cacao

En 2024, de mauvaises récoltes en Côte d'Ivoire et au Ghana ont fait plus que tripler le prix mondial du cacao. L'offre de cacao est parfaitement inélastique à court terme (les cacaoyers mettent des années à produire) et la demande industrielle est inélastique (les chocolatiers ne peuvent pas remplacer le cacao): la pénurie s'est donc traduite presque intégralement en prix. Pour une tablette suisse, où le cacao ne représente qu'une fraction du coût (emballage, lait, sucre, distribution et marketing pèsent davantage), un triplement du prix de la fève renchérit le coût de production de l'ordre de $20$ à $30 %$ . La hausse du prix de vente qui en résulte, et la baisse des volumes exportés, dépendent alors de l'élasticité-prix de la demande de chocolat suisse, elle-même modérée par la fidélité aux marques (Lindt, Cailler, Toblerone) et l'absence de substitut proche pour le chocolat haut de gamme.

Estimer une élasticité

D'où viennent les chiffres du tableau 3.1? De l'économétrie. La forme (3.5) à élasticité constante devient linéaire en logarithmes: avec des observations $(p_{i}, Q_{i}, R_{i})$ sur plusieurs années ou plusieurs régions, on estime

ln Q_{i} = α - η ln p_{i} + γ ln R_{i} + u_{i}, (3.13)

où $u_{i}$ est un terme d'erreur. Les coefficients $- η$ et $γ$ sont directement l'élasticité-prix et l'élasticité-revenu, et on les obtient par la méthode des moindres carrés: on cherche $(α, η, γ)$ qui minimisent $\sum_{i} u_{i}^{2}$ , ce qui revient à projeter orthogonalement le vecteur des $ln Q_{i}$ sur le sous-espace engendré par les colonnes $1$ , $ln p_{i}$ et $ln R_{i}$ (cours d'Algèbre linéaire, équations normales). Avec seulement deux observations, la droite passe exactement par les points: si, d'une année à l'autre, le prix de l'essence passe de CHF 2,00 à CHF 2,20 tandis que la consommation passe de $100$ à $96$ (indice), l'estimation est

\overset{η}{^} = - \frac{ln ( 96/100 )}{ln ( 2 , 20/2 , 00 )} = - \frac{- 0 , 0408}{0 , 0953} \approx 0, 43.

Le point délicat n'est pas le calcul mais l'identification: les prix et les quantités observés sont des équilibres, où offre et demande bougent en même temps. Si la consommation a baissé parce que le revenu a baissé et non à cause du prix, on attribue à tort la variation au prix; d'où l'importance des variables de contrôle comme $R_{i}$ dans (3.13), et des techniques (variables instrumentales) enseignées en économétrie.

Synthèse

Une élasticité est un rapport de variations relatives, $ε_{y, x} = \frac{d y}{d x} \frac{x}{y} = \frac{d ln y}{d ln x}$ : sans unité, elle mesure la sensibilité de $y$ à $x$ , contrairement à la pente. Entre deux points, on utilise la méthode du point milieu (3.3).
L'élasticité-prix de la demande $ε = \frac{d Q _{d}}{d p} \frac{p}{Q _{d}} \leq 0$ classe la demande en inélastique ( $∣ ε ∣ < 1$ ), unitaire ou élastique ( $∣ ε ∣ > 1$ ). Elle est d'autant plus forte que les substituts sont nombreux, le marché étroit, la part du budget élevée, le bien superflu et l'horizon long.
Le long d'une demande linéaire $Q = a - b p$ , $ε = - b p / Q$ varie de $0$ à $- \infty$ , avec élasticité unitaire au milieu $p = a / (2 b)$ . La demande $Q = A p^{- η}$ a l'élasticité constante $- η$ .
Règle de la recette: $\frac{d R T}{d p} = Q (1 + ε)$ . Une hausse de prix accroît la recette si la demande est inélastique, la réduit si elle est élastique; la recette d'une demande linéaire est maximale en $p^{*} = a / (2 b)$ et vaut $a^{2} / (4 b)$ .
L'élasticité-revenu distingue biens inférieurs ( $ε_{R} < 0$ ), de nécessité ( $0 < ε_{R} < 1$ ) et de luxe ( $ε_{R} > 1$ ); l'élasticité croisée distingue substituts ( $> 0$ ) et compléments ( $< 0$ ).
L'élasticité de l'offre $ε_{s} = \frac{d Q _{s}}{d p} \frac{p}{Q _{s}}$ croît avec l'horizon temporel; pour une offre linéaire, son caractère élastique dépend du signe de l'ordonnée à l'origine ( $ε_{s} = 1 - c / Q_{s}$ ). Le côté du marché le moins élastique supporte l'essentiel d'une taxe: $Δ p_{c} = \frac{ε _{s}}{ε _{s} + ∣ ε _{d} ∣} t$ .

Série d'exercices du chapitre 3

Exercice 1 sur 5

Exercice

La demande de forfaits de ski journaliers d'une station est $Q = 300 - 3 p$ ( $p$ en CHF). Au prix $p = 60$ , la demande est:

Problème guidé

Tarification d'une liaison CFF

La demande quotidienne de billets pour une liaison régionale des CFF est estimée à $Q = 2000 - 25 p$ , où $p$ est le prix du billet en CHF. Le coût d'un voyageur supplémentaire est négligeable (les trains circulent de toute façon). Le prix actuel est de CHF 40.

1
Élasticité au prix actuel
Calculez d'abord la quantité vendue à CHF 40, puis appliquez la formule ponctuelle $ε = - b p / Q$ .
Exercice
Quelle est l'élasticité-prix de la demande au prix $p = 40$ CHF (avec son signe)?
Prix de recette maximale
Effet d'une hausse à CHF 50
Élasticité croisée avec le carburant

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 3.1 · Élasticités d'arc et ponctuelle

Un cinéma de Lausanne relève ses tarifs de CHF 14 à CHF 16; la fréquentation hebdomadaire passe de $5000$ à $4400$ entrées.

Calculez l'élasticité-prix en pourcentages simples, dans le sens de la hausse puis dans le sens de la baisse. Commentez.
Calculez l'élasticité d'arc par la méthode du point milieu.
On suppose maintenant que la demande est linéaire, $Q = 500 - 10 p$ (en centaines d'entrées, prix en CHF). Calculez l'élasticité ponctuelle aux prix $10$ , $25$ et $40$ CHF et classez la demande en chacun de ces points. À quel prix la recette est-elle maximale?

Solution

1. Dans le sens de la hausse: $\frac{Δ Q}{Q} = \frac{- 600}{5 000} = - 12 %$ et $\frac{Δ p}{p} = \frac{2}{14} = 14, 3 %$ , d'où $ε = \frac{- 0 , 12}{0 , 1429} = - 0, 84$ . Dans le sens de la baisse (de 16 à 14, de $4400$ à $5000$ ): $\frac{600}{4 400} = + 13, 6 %$ et $\frac{- 2}{16} = - 12, 5 %$ , d'où $ε = - 1, 09$ . Le même arc paraît inélastique dans un sens et élastique dans l'autre: les pourcentages simples dépendent du point de référence.

2. Point milieu: $\overset{ˉ}{Q} = 4700$ et $\overset{p}{ˉ} = 15$ :

ε_{arc} = \frac{- 600/4 700}{2/15} = \frac{- 0 , 1277}{0 , 1333} \approx - 0, 96.

La demande est à peu près unitaire sur cet arc, ce qui est cohérent avec les deux valeurs de la question 1 qui l'encadrent.

3. Avec $a = 500$ et $b = 10$ , $ε (p) = - \frac{10 p}{500 - 10 p}$ :

$p$	$Q$	$ε$	classification
10	400	$- 100/400 = - 0, 25$	inélastique
25	250	$- 250/250 = - 1$	unitaire
40	100	$- 400/100 = - 4$	élastique

La recette est maximale au prix d'élasticité unitaire $p^{*} = a / (2 b) = 25$ CHF, avec $R T^{*} = a^{2} / (4 b) = 6250$ (centaines de CHF). Les tarifs de CHF 14 à 16 de la question 1 sont donc, dans ce modèle, sur la partie inélastique: le cinéma gagnerait à augmenter encore ses prix, au moins tant qu'il ne considère que sa recette de billetterie.

Exercice 3.2 · Recette et tarification d'une station de ski

La demande journalière de forfaits d'une station des Alpes vaudoises est $Q = 8000 - 100 p$ ( $p$ en CHF). Le coût marginal d'un skieur supplémentaire est nul tant que les remontées ne sont pas saturées. Le prix actuel est de CHF 55.

Calculez la quantité, la recette et l'élasticité-prix au prix actuel. La station devrait-elle augmenter ou baisser son prix?
Déterminez le prix qui maximise la recette, la recette correspondante et le gain par rapport à la situation actuelle.
La station envisage un tarif «famille» à CHF 30. Calculez l'élasticité et la recette à ce prix, et comparez avec le prix optimal.
Un concurrent ouvre une station voisine. Comment cela affecte-t-il l'élasticité de la demande et le prix optimal? Répondez qualitativement.

Solution

1. $Q (55) = 8000 - 5500 = 2500$ forfaits, $R T = 55 \times 2500 = 137500$ CHF, $ε = - \frac{100 \times 55}{2 500} = - 2, 2$ . La demande est élastique: d'après la règle de la recette (3.6), $d R T / d p = Q (1 + ε) = 2500 \times (- 1, 2) < 0$ , la station devrait baisser son prix.

2. $p^{*} = \frac{8 000}{200} = 40$ CHF, $Q^{*} = 4000$ , $R T^{*} = \frac{8 00 0 ^{2}}{400} = 160000$ CHF. Le gain par rapport à CHF 55 est de $160000 - 137500 = 22500$ CHF par jour, soit $+ 16, 4 %$ , avec $1500$ skieurs de plus (ce qui suppose que les remontées puissent les absorber: si ce n'est pas le cas, le coût marginal cesse d'être nul et l'analyse relève du chapitre 8).

3. À CHF 30: $Q = 5000$ , $R T = 150000$ CHF, $ε = - \frac{3 000}{5 000} = - 0, 6$ . La demande est maintenant inélastique: on est passé de l'autre côté du maximum, et la recette est inférieure de $10000$ CHF à l'optimum. Le tarif famille ne se justifie que s'il est réservé à un segment (les familles) dont la demande est plus élastique que la moyenne, sans être offert à tous les skieurs: c'est la discrimination par les prix du chapitre 8.

4. Un substitut proche rend la demande plus élastique à chaque prix (premier déterminant): la courbe pivote et devient plus plate, $b$ augmente. Le prix optimal $a / (2 b)$ diminue: la concurrence pousse les prix à la baisse, mécanisme que formaliseront les chapitres 7 et 9.

Exercice 3.3 · Élasticités-revenu et croisées

Une enquête de consommation auprès de ménages genevois donne les résultats suivants, à prix constants, lorsque le revenu augmente de $8 %$ : les achats de produits bio augmentent de $12 %$ , ceux de pâtes de premier prix baissent de $2 %$ et ceux de pain augmentent de $1, 6 %$ . Par ailleurs, lorsque Coop augmente de $10 %$ le prix de son café en capsules, les ventes de capsules Migros augmentent de $6 %$ et les ventes de lait dans les magasins Coop baissent de $2 %$ .

Calculez les trois élasticités-revenu et classez les biens.
Que dit la loi d'Engel sur la part du pain dans le budget des ménages lorsque le revenu augmente? Vérifiez-le avec vos chiffres.
Calculez les deux élasticités croisées et interprétez leur signe.
Le prix de toutes les capsules (Coop et Migros) augmente de $10 %$ . Peut-on prédire l'effet sur les ventes de capsules Migros à l'aide des élasticités calculées? Expliquez.

Solution

1. $ε_{R}^{bio} = \frac{12}{8} = 1, 5$ : bien de luxe. $ε_{R}^{p \overset{a}{ˆ} tes} = \frac{- 2}{8} = - 0, 25$ : bien inférieur. $ε_{R}^{pain} = \frac{1 , 6}{8} = 0, 2$ : bien normal de nécessité.

2. La loi d'Engel affirme que la part du budget consacrée à l'alimentation de base diminue quand le revenu augmente, ce qui correspond à une élasticité-revenu comprise entre $0$ et $1$ . Ici, les dépenses de pain augmentent de $1, 6 %$ tandis que le revenu augmente de $8 %$ : la part du pain, proportionnelle au rapport dépense/revenu, est multipliée par $\frac{1 , 016}{1 , 08} \approx 0, 94$ , elle baisse d'environ $6 %$ . En général, la part d'un bien évolue au taux approximatif $(ε_{R} - 1) \times \frac{Δ R}{R}$ : elle baisse si $ε_{R} < 1$ et monte si $ε_{R} > 1$ .

3. $ε_{Migros, Coop} = \frac{6}{10} = 0, 6 > 0$ : les deux marques de capsules sont des substituts, et d'assez bons substituts vu la valeur. $ε_{lait, caf \overset{e}{ˊ}} = \frac{- 2}{10} = - 0, 2 < 0$ : café et lait sont des compléments (faibles).

4. Non. L'élasticité croisée $0, 6$ mesure la réaction des ventes Migros à une hausse du prix Coop seul, prix Migros inchangé: les clients changent d'enseigne. Si les deux prix augmentent ensemble, il n'y a plus de report d'une marque à l'autre; l'effet sur les ventes Migros est celui d'une hausse du prix des capsules en général, gouverné par l'élasticité-prix propre de la demande de capsules (négative, et vraisemblablement inélastique compte tenu de l'absence de substitut proche pour les possesseurs d'une machine). Cet exercice illustre l'importance de la définition du marché: la demande pour une marque est bien plus élastique que la demande pour la catégorie.

Exercice 3.4 · Le marché du logement à Genève à court et à long terme

On modélise le marché de la location d'appartements de trois pièces à Genève. La demande est $Q_{d} = 60000 - 20 p$ , où $p$ est le loyer mensuel en CHF et $Q$ le nombre d'appartements. À court terme, le parc est fixe: $Q_{s} = 30000$ . À long terme, la construction réagit au loyer: $Q_{s} = - 30000 + 40 p$ .

Vérifiez que les deux offres passent par le même équilibre initial et calculez le loyer d'équilibre $p_{0}$ .
Calculez, à l'équilibre initial, l'élasticité-prix de la demande, de l'offre de court terme et de l'offre de long terme.
L'arrivée d'organisations internationales ajoute $4000$ ménages à la demande: $Q_{d} = 64000 - 20 p$ . Calculez le nouveau loyer d'équilibre à court terme et à long terme, en pourcentage de $p_{0}$ .
Expliquez pourquoi la hausse de long terme est plus faible et reliez le résultat aux élasticités de la question 2. Que se passerait-il si l'offre de long terme était parfaitement élastique?

Solution

1. Court terme: $60000 - 20 p = 30000$ donne $p_{0} = 1500$ CHF. Long terme: $- 30000 + 40 \times 1500 = 30000$ , donc l'offre de long terme passe bien par $(30000, 1500)$ . Le loyer d'équilibre initial est $p_{0} = 1500$ CHF pour $Q_{0} = 30000$ appartements.

2. Demande: $ε_{d} = - \frac{20 \times 1 500}{30 000} = - 1$ (unitaire). Offre de court terme: $\frac{d Q _{s}}{d p} = 0$ , donc $ε_{s}^{C T} = 0$ (parfaitement inélastique). Offre de long terme: $ε_{s}^{L T} = \frac{40 \times 1 500}{30 000} = 2$ (élastique, comme le prévoit le théorème 3.5 puisque $c = - 30000 < 0$ ).

3. Court terme: $64000 - 20 p = 30000$ donne $p_{C T} = 1700$ CHF, soit $+ 13, 3 %$ ; la quantité est inchangée et tout le choc passe dans le loyer. Long terme: $64000 - 20 p = - 30000 + 40 p$ donne $60 p = 94000$ , $p_{L T} = 1566, 67$ CHF, soit $+ 4, 4 %$ , avec $Q_{L T} = 64000 - 20 \times 1566, 67 \approx 32667$ appartements: $2667$ logements ont été construits.

4. À court terme, l'offre ne peut pas réagir ( $ε_{s} = 0$ ): la hausse de la demande se traduit intégralement par une hausse du loyer, jusqu'à ce que la demande soit ramenée au parc existant. À long terme, l'offre élastique ( $ε_{s} = 2$ ) absorbe une partie du choc par des quantités supplémentaires, ce qui modère la hausse de prix. En général, l'effet prix d'un déplacement de la demande est d'autant plus faible que l'offre est élastique. Si l'offre de long terme était parfaitement élastique (droite horizontale en $p_{0}$ ), le loyer reviendrait à $1500$ CHF et la quantité passerait à $34000$ : le choc serait entièrement absorbé par la construction. Ce modèle éclaire le débat genevois sur les loyers: tant que l'offre reste rigide (rareté du foncier, procédures, oppositions), toute hausse de la demande alimente les loyers plutôt que la construction.

Exercice 3.5 · Deux démonstrations et une réciproque

Soit $Q_{d} (p)$ une fonction de demande dérivable et strictement décroissante sur $] 0, + \infty [$ , d'élasticité $ε (p) = \frac{Q _{d}^{'} ( p ) p}{Q _{d} ( p )}$ .

Démontrer que la recette totale $R T (p) = p Q_{d} (p)$ vérifie $R T^{'} (p) = Q_{d} (p) (1 + ε (p))$ , et en déduire qu'en un maximum intérieur de la recette, l'élasticité vaut $- 1$ .
Montrer que la demande $Q_{d} = A p^{- η}$ ( $A, η > 0$ ) a une élasticité constante égale à $- η$ .
Réciproque: montrer que si l'élasticité d'une demande est constante, $ε (p) = - η$ pour tout $p > 0$ , alors $Q_{d}$ est nécessairement de la forme $A p^{- η}$ . (Indication: écrire la condition comme une équation différentielle à variables séparables et la résoudre, comme au chapitre 12 d'Analyse I.)
En considérant la recette comme fonction de la quantité, $R T (Q) = p (Q) Q$ où $p (Q)$ est la demande inverse, montrer que la recette marginale $R m = \frac{d R T}{d Q}$ vérifie $R m = p (1 + \frac{1}{ε})$ . Que vaut $R m$ pour une demande unitaire? Pour une demande parfaitement élastique?

Solution

1. Par la règle du produit, $R T^{'} (p) = Q_{d} (p) + p Q_{d}^{'} (p)$ . En mettant $Q_{d} (p) > 0$ en facteur,

R T^{'} (p) = Q_{d} (p) (1 + \frac{p Q _{d}^{'} ( p )}{Q _{d} ( p )}) = Q_{d} (p) (1 + ε (p)) .

En un maximum intérieur $p^{*}$ de $R T$ , la dérivée s'annule (condition nécessaire du premier ordre, Analyse I); comme $Q_{d} (p^{*}) > 0$ , il faut $1 + ε (p^{*}) = 0$ , soit $ε (p^{*}) = - 1$ . $□$

2. $Q_{d}^{'} (p) = - η A p^{- η - 1}$ , donc

ε (p) = \frac{- η A p ^{- η - 1} \cdot p}{A p ^{- η}} = \frac{- η A p ^{- η}}{A p ^{- η}} = - η,

indépendamment de $p$ . $□$

3. L'hypothèse $\frac{Q _{d}^{'} ( p ) p}{Q _{d} ( p )} = - η$ s'écrit $\frac{Q _{d}^{'} ( p )}{Q _{d} ( p )} = - \frac{η}{p}$ , équation différentielle du premier ordre à variables séparables en la fonction inconnue $Q_{d}$ . Comme $Q_{d} > 0$ , le membre de gauche est la dérivée de $ln Q_{d} (p)$ et le membre de droite celle de $- η ln p$ . Deux fonctions dérivables sur l'intervalle $] 0, + \infty [$ ayant la même dérivée diffèrent d'une constante:

ln Q_{d} (p) = - η ln p + C d’o \overset{u}{ˋ} Q_{d} (p) = e^{C} p^{- η} = A p^{- η}

avec $A = e^{C} > 0$ . Les demandes à élasticité constante sont donc exactement les fonctions puissances (3.5); c'est ce qui justifie le modèle log-linéaire (3.13) de l'économétrie. $□$

4. Notons $p (Q)$ la demande inverse, réciproque de $Q_{d}$ ; par la dérivation des fonctions réciproques, $p^{'} (Q) = \frac{1}{Q _{d}^{'} ( p )}$ . Alors

R m = \frac{d}{d Q} (p (Q) Q) = p + Q p^{'} (Q) = p (1 + \frac{Q}{p} \frac{1}{Q _{d}^{'} ( p )}) = p (1 + \frac{1}{ε}),

puisque $\frac{1}{ε} = \frac{Q}{p Q _{d}^{'} ( p )}$ . Pour une demande unitaire ( $ε = - 1$ ), $R m = 0$ : vendre une unité de plus ne rapporte rien, ce qui est une autre façon de dire que la recette est maximale. Pour une demande parfaitement élastique ( $ε \to - \infty$ ), $R m = p$ : chaque unité supplémentaire se vend au prix du marché sans le faire baisser, situation du producteur en concurrence parfaite (chapitre 7). Pour une demande élastique, $R m > 0$ mais $R m < p$ ; pour une demande inélastique, $R m < 0$ . Cette formule est le point de départ de la règle de tarification du monopole au chapitre 8. $□$

Références

Varian, H. R., Introduction à la microéconomie, 9e éd., De Boeck Supérieur, Louvain-la-Neuve, chap. 15 (demande du marché et élasticité).
Pindyck, R. S. et Rubinfeld, D. L., Microéconomie, 9e éd., Pearson, Montreuil, chap. 2.
Mankiw, N. G. et Taylor, M. P., Principes de l'économie, 5e éd., De Boeck Supérieur, Louvain-la-Neuve, chap. 5 (l'élasticité et ses applications).
Krugman, P. et Wells, R., Microéconomie, 4e éd., De Boeck Supérieur, Louvain-la-Neuve, chap. 6.
Espey, M., «Gasoline demand revisited: an international meta-analysis of elasticities», Energy Economics, 20(3), 1998, p. 273–295; Gallet, C. A. et List, J. A., «Cigarette demand: a meta-analysis of elasticities», Health Economics, 12(10), 2003, p. 821–835.
Office fédéral de la statistique (OFS), Enquête sur le budget des ménages (EBM), Neuchâtel, résultats annuels (structure des dépenses par classe de revenu).

Objectifs du chapitre

Pourquoi mesurer la sensibilité?

Trois questions suisses

Pente ou élasticité?

Élasticité-prix de la demande

Élasticité d'arc et élasticité ponctuelle

Classification

Les déterminants de l'élasticité-prix

Élasticité le long d'une demande linéaire

Demande à élasticité constante

Ordres de grandeur

Explorateur d'élasticité

Élasticité et recette totale

La règle de la recette

Le prix qui maximise la recette

Applications de la règle de la recette

Autres élasticités de la demande

Élasticité-revenu

Élasticité croisée

Élasticité de l'offre

Définition et déterminants

Offre linéaire

Applications de l'élasticité

Qui supporte une taxe?

Chocs pétroliers et OPEP

Le prix du chocolat suisse et le cacao

Estimer une élasticité

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 3

Tarification d'une liaison CFF

Élasticité au prix actuel

Prix de recette maximale

Effet d'une hausse à CHF 50

Élasticité croisée avec le carburant

Exercices

Références