Oligopole et concurrence monopolistique · Microéconomie

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

situer un marché sur le spectre des structures, de la concurrence parfaite au monopole, et mesurer sa concentration par le ratio $C R_{4}$ et l'indice de Herfindahl–Hirschman;
dériver la fonction de réaction d'une entreprise et résoudre l'équilibre de Cournot–Nash d'un duopole, puis d'un oligopole à $n$ entreprises, avec coûts symétriques ou non;
expliquer le paradoxe de Bertrand, ses résolutions, et calculer l'équilibre en prix d'un duopole à produits différenciés;
résoudre le modèle de Stackelberg par induction à rebours et comparer les issues de Cournot, Bertrand et Stackelberg;
analyser la stabilité d'un cartel, l'incitation à tricher et le rôle de la loi sur les cartels et de la COMCO;
caractériser l'équilibre de court et de long terme d'une entreprise en concurrence monopolistique et interpréter la capacité excédentaire.

Entre concurrence parfaite et monopole

Deux structures intermédiaires

Les chapitres 7 et 8 ont étudié deux cas extrêmes. En concurrence parfaite, l'entreprise est si petite qu'elle prend le prix comme une donnée: sa décision n'affecte personne. En monopole, l'entreprise est seule et choisit son prix sur toute la courbe de demande du marché, sans se soucier d'aucun rival. La plupart des marchés réels sont ailleurs: quelques opérateurs de télécommunications, deux grands distributeurs, des dizaines de boulangeries dans une même ville. Ce chapitre étudie les deux structures intermédiaires.

La différence essentielle entre les deux tient à un mot: l'interdépendance. Swisscom, lorsqu'elle fixe le prix d'un abonnement mobile, anticipe la réaction de Sunrise et de Salt; un restaurant de Lausanne qui change sa carte n'attend aucune riposte particulière des deux cents autres restaurants de la ville. C'est pourquoi l'oligopole demande des outils nouveaux, ceux de la théorie des jeux (chapitre 10), alors que la concurrence monopolistique se traite avec les outils du monopole et de l'entrée libre.

Figure 9.1. Le spectre des structures de marché et, pour l'exemple linéaire p = 120 − Q avec Cm = 20, la quantité et le prix d'équilibre du modèle de Cournot selon le nombre n d'entreprises. Quand n diminue, on remonte le long de la courbe de demande: la quantité baisse de 100 à 50 et le prix monte de 20 à 70.

Mesurer la concentration

Pour situer un marché sur ce spectre, on mesure sa concentration: dans quelle mesure l'offre est-elle entre les mains de quelques entreprises? Deux indicateurs sont d'usage courant, calculés à partir des parts de marché $s_{i}$ (en pour cent des ventes, de la production ou des capacités).

L' $I H H$ vaut $10000$ pour un monopole et tend vers $0$ pour une multitude de petites entreprises. Les autorités de la concurrence, dont la COMCO, considèrent habituellement qu'un marché est peu concentré en dessous de $1500$ , modérément concentré entre $1500$ et $2500$ et fortement concentré au-delà. L'avantage de l' $I H H$ sur le $C R_{4}$ est de tenir compte des inégalités de taille: mettre les parts au carré donne un poids bien plus grand aux leaders.

Exemple 9.1 · Concentration de trois marchés suisses

Téléphonie mobile. Trois opérateurs de réseau se partagent le marché suisse; prenons les ordres de grandeur $s = (55, 27, 18)$ pour Swisscom, Sunrise et Salt. Alors $C R_{4} = 100 %$ (il n'y a que trois entreprises) et

I H H = 5 5^{2} + 2 7^{2} + 1 8^{2} = 3025 + 729 + 324 = 4078,

soit l'équivalent de $10 000/4 078 \approx 2, 5$ entreprises de même taille: un marché fortement concentré, typique de l'oligopole.

Grande distribution alimentaire. Avec des parts illustratives de $37 %$ (Migros) et $35 %$ (Coop), $8 %$ (Aldi), $6 %$ (Lidl) et sept petits acteurs à $2 %$ chacun: $C R_{4} = 86 %$ et $I H H = 1369 + 1225 + 64 + 36 + 7 \times 4 = 2722$ . Le marché est dominé par un duopole, mais l'entrée des discounters allemands depuis 2005 a fait baisser l'indice.

Banques de détail. Supposons dix banques actives dans un canton, avec des parts $(30, 20, 15, 10, 10)$ et cinq petites banques à $3 %$ : $C R_{4} = 75 %$ et $I H H = 900 + 400 + 225 + 100 + 100 + 5 \times 9 = 1770$ : concentration modérée. Les deux premières situations sont des oligopoles au sens de la définition; la troisième s'en approche.

Exercice

Un marché est partagé entre quatre entreprises dont les parts sont $40 %$ , $30 %$ , $20 %$ et $10 %$ . Calculez l'indice de Herfindahl–Hirschman.

Le duopole de Cournot

Hypothèses et fonction de réaction

Le premier modèle d'oligopole a été proposé en 1838 par Antoine Augustin Cournot, à propos de deux propriétaires de sources d'eau minérale. Ses hypothèses sont les suivantes:

deux entreprises produisent un bien homogène, vendu à un prix unique $p$ déterminé par la demande du marché $p = P (Q)$ avec $Q = q_{1} + q_{2}$ ;
chaque entreprise choisit sa quantité $q_{i}$ , simultanément et une seule fois, en connaissant la demande et les coûts de sa rivale;
chaque entreprise maximise son profit $π_{i} = P (q_{1} + q_{2}) q_{i} - C T_{i} (q_{i})$ .

Le point crucial est que le profit de l'entreprise 1 dépend de $q_{2}$ , qu'elle ne contrôle pas. Comment choisir $q_{1}$ ? L'idée de Cournot est de raisonner conditionnellement: pour chaque valeur possible de $q_{2}$ , l'entreprise 1 calcule la quantité qui maximise son profit. Cela définit sa fonction de réaction.

Prenons une demande linéaire $p = a - b Q$ et des coûts marginaux constants égaux à $c$ , avec $a > c > 0$ et $b > 0$ . Le profit de l'entreprise 1 s'écrit

π_{1} (q_{1}, q_{2}) = (a - b q_{1} - b q_{2}) q_{1} - c q_{1} .

Pour $q_{2}$ fixé, c'est un polynôme du second degré en $q_{1}$ , concave (coefficient $- b$ de $q_{1}^{2}$ ); son maximum est atteint là où la dérivée partielle par rapport à $q_{1}$ s'annule:

\frac{\partial π _{1}}{\partial q _{1}} = a - 2 b q_{1} - b q_{2} - c = 0 ⟺ q_{1} = R_{1} (q_{2}) = \frac{a - c - b q _{2}}{2 b} . (9.2)

La condition $a - 2 b q_{1} - b q_{2} = c$ n'est autre que $R m_{1} = C m$ : la recette marginale de l'entreprise 1, calculée sur la demande résiduelle $p = (a - b q_{2}) - b q_{1}$ qui lui reste une fois $q_{2}$ vendu, doit égaler son coût marginal. La fonction de réaction est décroissante: plus la rivale produit, plus la demande résiduelle est faible et moins l'entreprise 1 produit. Deux valeurs remarquables: si $q_{2} = 0$ , l'entreprise 1 produit la quantité de monopole $(a - c) / (2 b)$ ; si $q_{2} = (a - c) / b$ , la quantité concurrentielle, elle ne produit plus rien. Notez que la pente de (9.2) vaut $- 1/2$ : à chaque unité supplémentaire de la rivale, l'entreprise 1 ne réduit sa production que d'une demi-unité, de sorte que la quantité totale augmente.

L'équilibre de Cournot–Nash

Chaque entreprise a sa fonction de réaction, mais aucune ne connaît la quantité de l'autre au moment de décider. La solution proposée par Cournot, et généralisée un siècle plus tard par John Nash, est de chercher une paire de quantités mutuellement cohérentes.

Démonstration. Par symétrie, $R_{2} (q_{1}) = (a - c - b q_{1}) / (2 b)$ . L'équilibre résout le système linéaire $2 b q_{1} + b q_{2} = a - c$ et $b q_{1} + 2 b q_{2} = a - c$ . En soustrayant, $b (q_{1} - q_{2}) = 0$ , donc $q_{1} = q_{2} = q$ , et la première équation donne $3 b q = a - c$ , soit $q = (a - c) / (3 b)$ . Le déterminant du système, $4 b^{2} - b^{2} = 3 b^{2}$ , est non nul: la solution est unique. Ensuite $Q^{*} = 2 q$ , $p^{*} = a - b Q^{*} = a - \frac{2}{3} (a - c) = (a + 2 c) /3$ , et chaque profit vaut $(p^{*} - c) q = \frac{a - c}{3} \cdot \frac{a - c}{3 b}$ . $□$

Figure 9.2. Fonctions de réaction du duopole de Cournot pour p = 120 − Q et Cm = 20. R₁ donne la meilleure réponse de l'entreprise 1 à chaque q₂ (pente −1/2 dans le repère q₂ → q₁), R₂ celle de l'entreprise 2; leur intersection (33,3; 33,3) est l'équilibre de Cournot. La droite en pointillés q₁ + q₂ = 50 est la quantité de monopole que se partagerait un cartel, le point (50; 50) l'issue concurrentielle p = Cm, et le point (50; 25) l'issue de Stackelberg, qui se trouve sur R₂.

Cournot entre le monopole et la concurrence

Que se passerait-il si les deux cimenteries fusionnaient, ou s'entendaient pour se comporter comme un monopole? Et si, au contraire, elles se comportaient en preneuses de prix? La comparaison est instructive.

Démonstration. Les trois quantités sont des multiples de $(a - c) / b > 0$ par les coefficients $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ et $1$ , rangés dans cet ordre. Comme $p = a - b Q$ est décroissante, les prix se rangent dans l'ordre inverse. Pour les profits, $\frac{2}{9} = \frac{8}{36} < \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ . $□$

L'interprétation est au cœur de l'oligopole. Quand une cimenterie augmente sa production d'une tonne, elle fait baisser le prix pour toutes les tonnes vendues sur le marché, mais elle ne supporte cette baisse que sur ses propres ventes: la moitié du dommage retombe sur la rivale. Elle produit donc plus que ne le ferait un monopole qui internaliserait tout l'effet-prix. Mais elle produit moins qu'une entreprise concurrentielle, parce qu'elle tient compte de l'effet-prix sur sa propre part. Dans l'exemple 9.2, le cartel produirait $Q^{M} = 50$ à $p^{M} = 70$ CHF/t pour un profit total de $2500$ , contre $2222$ en Cournot; la concurrence donnerait $Q^{C} = 100$ à $20$ CHF/t et un profit nul.

Explorateur du duopole de Cournot

Demande p = a − Q et coûts marginaux constants c₁, c₂. Les deux fonctions de réaction se déplacent avec les paramètres; leur intersection est l'équilibre de Cournot–Nash. La droite en pointillés est la quantité totale d'un cartel (monopole au coût le plus bas), le point gris l'issue concurrentielle p = Cm. Le second bloc de résultats donne l'équilibre à n entreprises symétriques de coût c₁.

q₁*

33,3

q₂*

33,3

Prix p*

53,3CHF

Profit π₁

1111CHF

Profit π₂

1111CHF

Part de marché s₁

50,0 %

Q avec n = 2 (coût c₁)

66,7

p avec n = 2 (coût c₁)

53,3CHF

Q concurrentielle (p = c)

100,0

Ordonnée à l'origine a120

Coût marginal c₁20CHF

Coût marginal c₂20CHF

Nombre d'entreprises symétriques n2

Exercice

Deux entreprises sont en duopole de Cournot sur un marché de demande $p = 100 - Q$ , chacune au coût marginal constant $C m = 10$ . Quel est le prix d'équilibre (en CHF)?

Oligopole à $n$ entreprises

Le raisonnement s'étend sans peine à $n$ entreprises identiques et fait apparaître un résultat remarquable: le modèle de Cournot contient le monopole et la concurrence parfaite comme cas limites.

Démonstration. Notons $Q_{- i} = Q - q_{i}$ la production des rivales de $i$ . Son profit $π_{i} = (a - b q_{i} - b Q_{- i}) q_{i} - c q_{i}$ est maximal en $q_{i} = (a - c - b Q_{- i}) / (2 b)$ , c'est-à-dire $2 b q_{i} = a - c - b Q_{- i}$ , ou encore $b q_{i} = a - c - b Q$ . Cette condition vaut pour chaque $i$ ; dans un équilibre symétrique, $q_{i} = q$ et $Q = n q$ , d'où $b q = a - c - n b q$ et $q = (a - c) / ((n + 1) b)$ . Le reste suit: $Q_{n}^{*} = n q$ , $p_{n}^{*} = a - b Q_{n}^{*} = a - \frac{n}{n + 1} (a - c) = \frac{a + n c}{n + 1}$ et $π_{i}^{*} = (p_{n}^{*} - c) q = \frac{a - c}{n + 1} \cdot \frac{a - c}{( n + 1 ) b}$ . Comme $\frac{n}{n + 1} \to 1$ et $\frac{a + n c}{n + 1} = c + \frac{a - c}{n + 1} \to c$ , les limites annoncées en découlent. $□$

Pour l'exemple $a = 120$ , $b = 1$ , $c = 20$ : avec $n = 1, 2, 3, 4, 10$ et $100$ , le prix vaut respectivement $70$ ; $53, 3$ ; $45$ ; $40$ ; $29, 1$ et $21, 0$ CHF/t. Quatre entreprises suffisent pour ramener la marge de $50$ à $20$ CHF/t; il en faut cent pour l'annuler presque. La formule $p_{n}^{*} - c = (a - c) / (n + 1)$ montre aussi que l'indice de Lerner de chaque entreprise vaut

L = \frac{p - c}{p} = \frac{1}{n ∣ ε ∣}, (9.5)

où $ε$ est l'élasticité-prix de la demande du marché au point d'équilibre (exercice 9.5): la marge d'un oligopoleur est celle d'un monopoleur (chapitre 8) divisée par le nombre d'entreprises.

Exemple 9.3 · Coûts asymétriques

Reprenons la demande $p = 120 - Q$ mais supposons que la cimenterie 1, plus moderne, produise à $c_{1} = 20$ CHF/t tandis que la cimenterie 2 produit à $c_{2} = 35$ CHF/t. Les fonctions de réaction deviennent $q_{1} = (120 - 20 - q_{2}) /2$ et $q_{2} = (120 - 35 - q_{1}) /2$ , soit le système $2 q_{1} + q_{2} = 100$ et $q_{1} + 2 q_{2} = 85$ . En résolvant (multiplier la première par 2 et soustraire la seconde): $3 q_{1} = 115$ , d'où

q_{1}^{*} = \frac{115}{3} \approx 38, 3, q_{2}^{*} = \frac{70}{3} \approx 23, 3, Q^{*} = \frac{185}{3} \approx 61, 7, p^{*} = \frac{175}{3} \approx 58, 33.

En général, $q_{1}^{*} = (a - 2 c_{1} + c_{2}) / (3 b)$ et $p^{*} = (a + c_{1} + c_{2}) /3$ . Les profits valent $π_{1}^{*} = (58, 33 - 20) \times 38, 33 \approx 1469$ et $π_{2}^{*} = (58, 33 - 35) \times 23, 33 \approx 544$ . L'entreprise efficace obtient une part de marché de $62 %$ et un profit presque triple: dans un oligopole de Cournot, un avantage de coût se traduit à la fois par une part de marché plus élevée et par une marge plus forte, puisque le prix est le même pour les deux. Observez qu'avec des coûts linéaires, $π_{i}^{*} = b (q_{i}^{*})^{2}$ : le profit se lit directement sur la quantité.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la résolution d'un équilibre de Cournot à deux entreprises.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Dériver

π_{i}

par rapport à

q_{i}

en traitant

q_{j}

comme une constante et poser

\partial π_{i} / \partial q_{i} = 0

Calculer la quantité totale, le prix par la demande et les profits

Écrire le profit de chaque entreprise en fonction des deux quantités:

π_{i} = P (q_{1} + q_{2}) q_{i} - C T_{i} (q_{i})

Résoudre chaque condition du premier ordre en

q_{i}

pour obtenir la fonction de réaction

q_{i} = R_{i} (q_{j})

Résoudre le système

q_{1} = R_{1} (q_{2})

q_{2} = R_{2} (q_{1})

pour trouver

(q_{1}^{*}, q_{2}^{*})

Le modèle de Bertrand

La concurrence par les prix et le paradoxe

En 1883, le mathématicien Joseph Bertrand objecta à Cournot que les entreprises fixent des prix, pas des quantités. Reprenons alors les hypothèses du duopole (bien homogène, coût marginal $c$ , décision simultanée), mais supposons que chaque entreprise annonce un prix $p_{i}$ . Comme le bien est homogène, les consommateurs achètent tous chez le moins cher; à prix égaux, ils se partagent également entre les deux. La demande de l'entreprise 1 est donc $Q_{d} (p_{1})$ si $p_{1} < p_{2}$ , $\frac{1}{2} Q_{d} (p_{1})$ si $p_{1} = p_{2}$ et $0$ si $p_{1} > p_{2}$ .

Démonstration. Montrons d'abord que $(c, c)$ est un équilibre. Si l'entreprise 1 passe au-dessus de $c$ , elle ne vend rien et son profit reste nul; si elle passe en dessous, elle vend à perte. Elle ne peut donc pas faire mieux que $0$ , et de même pour l'entreprise 2.

Montrons ensuite qu'aucun autre couple n'est un équilibre, par l'argument de sous-enchère. Supposons $p_{1} > p_{2} > c$ : l'entreprise 1 ne vend rien; en fixant un prix légèrement inférieur à $p_{2}$ mais supérieur à $c$ , elle capterait tout le marché avec une marge positive, donc elle dévie. Supposons $p_{1} = p_{2} = p > c$ : chacune sert la moitié de la demande; en baissant son prix d'un montant infime $δ$ , l'entreprise 1 double ses ventes pour une perte de marge négligeable, ce qui est profitable dès que $δ$ est assez petit, donc elle dévie. Si $p_{2} < c$ , l'entreprise 2 vend à perte et préfère se retirer en fixant $p_{2} = c$ . Enfin si $p_{2} = c < p_{1}$ , l'entreprise 2 sert tout le marché sans profit et gagnerait à monter légèrement son prix en restant sous $p_{1}$ . Dans tous les cas sauf $(c, c)$ , une entreprise a une déviation profitable. $□$

Le résultat est paradoxal parce qu'il contredit à la fois l'intuition et les observations: deux opérateurs de téléphonie mobile ne vendent pas au coût marginal. Le paradoxe tient à trois hypothèses fortes, et chacune de ses résolutions consiste à en relâcher une.

Capacités limitées. Si l'entreprise 2 ne peut pas servir tout le marché, l'entreprise 1 conserve une demande résiduelle même en étant plus chère et n'a plus intérêt à sous-enchérir jusqu'à $c$ . Kreps et Scheinkman (1983) ont montré qu'un jeu où les entreprises choisissent d'abord leurs capacités puis leurs prix aboutit précisément à l'équilibre de Cournot: les quantités de Cournot s'interprètent comme des capacités.
Différenciation des produits. Si les biens ne sont pas parfaitement substituables, une entreprise légèrement moins chère ne capte pas tout le marché; la demande de chacune devient continue en son prix et l'équilibre se situe au-dessus du coût marginal (paragraphe suivant).
Coûts asymétriques. Si $c_{1} < c_{2}$ , l'entreprise 1 fixe son prix juste en dessous de $c_{2}$ (ou au prix de monopole s'il est inférieur) et sert tout le marché avec une marge positive: la concurrence par les prix récompense alors l'efficacité, mais laisse une marge.
Répétition. Si les entreprises se rencontrent chaque semaine, la sous-enchère d'aujourd'hui sera punie demain; la collusion tacite devient possible (chapitre 10).

Exercice

Deux stations-service voisines vendent la même essence au même coût marginal de CHF 1,50 par litre, ont des cuves suffisantes pour servir tout le quartier et fixent simultanément leur prix une seule fois. Selon le modèle de Bertrand, quel prix observera-t-on?

Bertrand avec produits différenciés

Supposons maintenant que les deux produits soient des substituts imparfaits, comme les pizzas de deux restaurants de Fribourg. La demande adressée à chacun dépend des deux prix:

q_{1} = α - β p_{1} + γ p_{2}, q_{2} = α - β p_{2} + γ p_{1}, β > γ > 0. (9.6)

Le paramètre $γ$ mesure la substituabilité: une hausse du prix du rival déplace des clients vers l'entreprise. La condition $β > γ$ signifie qu'une hausse simultanée des deux prix réduit la demande totale. Avec un coût marginal $c$ , le profit de l'entreprise 1 est $π_{1} = (p_{1} - c) (α - β p_{1} + γ p_{2})$ , concave en $p_{1}$ . La condition du premier ordre $\partial π_{1} / \partial p_{1} = α - 2 β p_{1} + γ p_{2} + β c = 0$ donne la fonction de réaction en prix

p_{1} = R_{1} (p_{2}) = \frac{α + β c + γ p _{2}}{2 β} . (9.7)

Contrairement à (9.2), elle est croissante: si le rival augmente son prix, l'entreprise 1 augmente le sien. Les prix sont des compléments stratégiques, les quantités des substituts stratégiques. En imposant la symétrie $p_{1} = p_{2} = p^{*}$ dans (9.7): $2 β p^{*} = α + β c + γ p^{*}$ , d'où

p^{*} = \frac{α + β c}{2 β - γ} > c, (9.8)

l'inégalité provenant de $α + β c > (2 β - γ) c ⟺ α > (β - γ) c$ , c'est-à-dire de l'existence d'une demande positive au prix $c$ . Plus $γ$ est proche de $β$ (produits presque identiques), plus $p^{*}$ se rapproche du coût marginal: on retrouve le paradoxe de Bertrand à la limite.

Le modèle de Stackelberg

Leader et suiveur

Cournot et Bertrand supposent des décisions simultanées. Heinrich von Stackelberg (1934) a étudié le cas où une entreprise, le leader, choisit sa quantité en premier, et où l'autre, le suiveur, observe ce choix avant de décider. C'est la situation d'une entreprise historique face à un nouvel entrant, ou de Swisscom face à ses rivaux lorsqu'elle annonce ses investissements de réseau.

Le jeu se résout par induction à rebours: on commence par la dernière décision. Le suiveur, qui observe $q_{L}$ , joue simplement sa fonction de réaction $q_{F} = R_{F} (q_{L})$ . Le leader le sait et intègre cette réaction dans son propre calcul: il ne maximise pas son profit pour un $q_{F}$ donné, mais le long de la courbe $R_{F}$ .

Démonstration. Étape 1 (suiveur). Par (9.2), $q_{F} = R_{F} (q_{L}) = \frac{a - c - b q _{L}}{2 b}$ .

Étape 2 (leader). Le leader remplace $q_{F}$ par cette expression dans son profit:

π_{L} = (a - b q_{L} - b R_{F} (q_{L}) - c) q_{L} = (a - c - b q_{L} - \frac{a - c - b q _{L}}{2}) q_{L} = \frac{( a - c - b q _{L} ) q _{L}}{2} .

C'est une parabole concave en $q_{L}$ , maximale lorsque $\frac{d π _{L}}{d q _{L}} = \frac{a - c - 2 b q _{L}}{2} = 0$ , soit $q_{L}^{*} = \frac{a - c}{2 b}$ . Alors $q_{F}^{*} = \frac{a - c - ( a - c ) /2}{2 b} = \frac{a - c}{4 b}$ , $Q^{*} = \frac{3}{4} \cdot \frac{a - c}{b}$ , $p^{*} = a - \frac{3}{4} (a - c) = \frac{a + 3 c}{4}$ , et les profits valent $(p^{*} - c) q = \frac{a - c}{4} q$ pour chacune, d'où (9.9). Enfin $\frac{1}{8} > \frac{1}{9} > \frac{1}{16}$ . $□$

L'avantage au premier joueur vient de l'engagement: en produisant beaucoup, le leader place le suiveur devant le fait accompli, et celui-ci n'a d'autre choix rationnel que de réduire sa production. Ce qui compte n'est pas de décider en premier mais de s'engager de façon crédible et irréversible, par exemple en construisant une capacité. Si le suiveur refusait de suivre et produisait lui aussi $50$ , le prix s'effondrerait à $20$ et les profits seraient nuls: une «guerre de Stackelberg» où chacun veut être leader.

Comparaison des trois modèles

Le tableau suivant rassemble les résultats pour $a = 120$ , $b = 1$ et $c = 20$ (exemple des cimenteries, quantités en centaines de tonnes, prix en CHF/t), du plus concentré au plus concurrentiel.

Issue	$q_{1}$	$q_{2}$	$Q$	$p$	$π_{1}$	$π_{2}$	$π_{1} + π_{2}$
Cartel (monopole partagé)	25	25	50	70	1 250	1 250	2 500
Cournot	33,3	33,3	66,7	53,3	1 111	1 111	2 222
Stackelberg (1 leader)	50	25	75	45	1 250	625	1 875
Bertrand (bien homogène)	50	50	100	20	0	0	0

Plus l'issue est concurrentielle, plus la quantité est grande, plus le prix est bas et plus le surplus des consommateurs est élevé. Le leader de Stackelberg gagne exactement autant qu'un membre du cartel, mais aux dépens du suiveur et au prix d'une quantité totale plus grande: c'est le consommateur qui bénéficie de la rivalité.

Exercice

Sur le marché du ciment de l'exemple 9.2 ( $p = 120 - Q$ , $C m = 20$ ), quatre cimenteries identiques sont maintenant en concurrence à la Cournot. Quel est le prix d'équilibre (en CHF/t)?

Exercice

Dans le modèle de Stackelberg avec demande linéaire et coûts identiques, laquelle des affirmations suivantes est vraie?

Collusion et cartels

Le cartel, un monopole partagé

Le tableau précédent montre que les deux cimenteries auraient intérêt à s'entendre: en limitant leur production totale à $Q^{M} = 50$ , elles porteraient le prix à $70$ et le profit joint à $2500$ au lieu de $2222$ . Un cartel est un accord explicite entre entreprises pour restreindre la concurrence, en général par des quotas de production, un prix commun ou un partage géographique de la clientèle. Un cartel qui fonctionne parfaitement se comporte comme un monopole à plusieurs usines: il choisit $Q$ tel que $R m (Q) = C m$ , puis répartit la production entre ses membres.

Le problème du cartel, c'est qu'il est instable: chaque membre, pris individuellement, a intérêt à tricher.

Exemple 9.5 · L'incitation à tricher

Les deux cimenteries conviennent de produire $25$ chacune. Supposons que l'entreprise 2 respecte l'accord. La meilleure réponse de l'entreprise 1 n'est pas $25$ mais, par (9.2), $R_{1} (25) = (100 - 25) /2 = 37, 5$ . Alors $Q = 62, 5$ , $p = 57, 5$ et

π_{1} = (57, 5 - 20) \times 37, 5 = 1406, 25 > 1250, π_{2} = (57, 5 - 20) \times 25 = 937, 5 < 1 250.

La tricheuse gagne $156$ de plus, la victime perd $312$ . Le raisonnement est symétrique, et si les deux trichent, on revient à l'équilibre de Cournot avec $1111$ chacune. La matrice des profits, avec les stratégies «respecter» ( $25$ ) et «tricher» ( $37, 5$ ), a la structure suivante:

$π_{1} / π_{2}$	2 respecte	2 triche
1 respecte	1 250 / 1 250	937,5 / 1 406
1 triche	1 406 / 937,5	1 111 / 1 111

Quelle que soit la décision de la rivale, tricher rapporte davantage: c'est une stratégie dominante. Le seul équilibre est (tricher, tricher), alors que les deux préféreraient (respecter, respecter). Cette structure est celle du dilemme du prisonnier, que le chapitre 10 étudie en détail.

Les facteurs de stabilité

Si les cartels sont voués à l'instabilité, pourquoi en observe-t-on? Parce que le jeu est en réalité répété: une entreprise qui triche aujourd'hui sera détectée et punie demain par le retour à la concurrence. Le chapitre 10 montrera que la collusion est soutenable si les entreprises accordent assez de poids au futur. D'ores et déjà, on peut lister les facteurs qui la facilitent:

un petit nombre d'entreprises: plus $n$ est grand, plus le gain de la tricherie est élevé par rapport à la part de cartel, et plus la coordination est difficile;
la transparence des prix et des quantités, qui permet de détecter rapidement une déviation (d'où la méfiance des autorités envers les échanges d'informations entre concurrents);
des produits homogènes et des coûts semblables, qui rendent l'accord simple à formuler;
des interactions fréquentes et une demande stable, qui rendent la punition crédible;
des barrières à l'entrée, sans lesquelles le prix élevé attirerait de nouveaux concurrents.

Cartels célèbres, de Vienne à Coire

L'OPEP (Organisation des pays exportateurs de pétrole), fondée en 1960, fixe des quotas de production à ses membres pour soutenir le prix du brut; son histoire illustre tous les ingrédients ci-dessus, y compris les épisodes de tricherie (dépassement des quotas) et les guerres de prix qui les sanctionnent. En Suisse, la COMCO a sanctionné en 2007 le cartel des ascenseurs (Schindler, Otis, Kone et ThyssenKrupp, répartition des appels d'offres), dans le prolongement d'une décision de la Commission européenne, puis en 2013 le cartel du fret aérien (ententes sur les surtaxes carburant et sécurité entre compagnies aériennes, dont Swiss). Entre 2018 et 2020, elle a démantelé plusieurs cartels de la construction dans les Grisons (Engadine, Münstertal, région de Coire), où des entreprises se répartissaient depuis des années les marchés publics de génie civil en s'accordant sur les offres, une affaire révélée par un lanceur d'alerte et qui a conduit à des sanctions de plusieurs millions de francs.

La loi sur les cartels et la COMCO

En Suisse, la loi sur les cartels (LCart, 1995, révisée en 2003) interdit les accords qui suppriment la concurrence efficace, en particulier les accords horizontaux entre concurrents sur les prix, les quantités ou la répartition géographique (art. 5 al. 3), présumés illicites. Elle s'applique aussi aux ententes verticales entre un fournisseur et ses distributeurs: prix de revente imposés et cloisonnement territorial (art. 5 al. 4). La Commission de la concurrence (COMCO) et son secrétariat enquêtent, peuvent perquisitionner et infliger des sanctions allant jusqu'à $10 %$ du chiffre d'affaires réalisé en Suisse sur les trois derniers exercices. Depuis 2004, un programme de clémence permet à la première entreprise qui dénonce un cartel dont elle est membre d'échapper à toute sanction: c'est une application directe du dilemme du prisonnier, qui rend l'accord encore plus fragile en récompensant celui qui le trahit. La LCart contrôle enfin les concentrations (fusions et acquisitions) au-delà de certains seuils de chiffre d'affaires, en évaluant notamment l'évolution de l' $I H H$ .

Le prix du livre en Suisse

Jusqu'en 2007, les libraires et éditeurs de Suisse alémanique appliquaient un accord de prix imposé du livre (le «Sammelrevers»): chaque livre devait être vendu au prix fixé par l'éditeur dans toutes les librairies. La COMCO y a vu une entente verticale illicite et l'a interdite. Un projet de loi visant à réintroduire un prix unique du livre, défendu au nom de la diversité éditoriale et des petites librairies, a été rejeté en votation populaire le 11 mars 2012. En Suisse romande, où le prix est libre, les libraires font face à la concurrence des grandes surfaces et du commerce en ligne, ainsi qu'à la comparaison avec les prix français convertis. Le débat oppose deux lectures de ce chapitre: le prix imposé restreint la concurrence en prix, mais la différenciation des produits (conseil, catalogue) est un bien que le marché peut sous-produire.

Exercice

Parmi les circonstances suivantes, laquelle rend un cartel plus fragile?

La concurrence monopolistique

Hypothèses

Revenons aux restaurants, cafés, boulangeries, salons de coiffure ou applications mobiles d'une ville. Ces marchés partagent trois caractéristiques, formalisées par Edward Chamberlin (1933):

beaucoup de vendeurs, si bien que chacun néglige l'effet de ses décisions sur chacun des autres (pas d'interdépendance stratégique);
des produits différenciés: la boulangerie du quartier n'est pas la même que celle de la gare (localisation, recettes, horaires, ambiance), de sorte que chaque entreprise fait face à une demande décroissante pour sa variété, et non horizontale comme en concurrence parfaite;
entrée et sortie libres: il suffit d'un local et d'un four pour ouvrir une boulangerie.

Les deux premières hypothèses donnent à l'entreprise un petit pouvoir de monopole sur sa variété; la troisième le ramène à long terme à un profit nul.

Équilibre de court terme et de long terme

À court terme, le nombre d'entreprises est fixe et chacune se comporte comme un monopole sur sa variété: elle choisit $q$ tel que $R m = C m$ et vend au prix lu sur sa courbe de demande. Selon la position de cette courbe par rapport au coût moyen, elle réalise un profit ou une perte.

À long terme, les profits attirent de nouvelles variétés. Chaque entrée prend des clients aux entreprises en place: leur courbe de demande se déplace vers la gauche (et devient généralement plus élastique, les substituts étant plus nombreux). L'entrée cesse lorsque le profit s'annule, c'est-à-dire lorsque la demande de chaque entreprise ne fait plus que toucher sa courbe de coût moyen.

Démonstration. Notons $p (q)$ la demande inverse de l'entreprise à l'équilibre de long terme et $π (q) = q (p (q) - C M (q))$ son profit. L'entrée libre impose $π (q^{*}) = 0$ , et la maximisation du profit impose $π (q) \leq π (q^{*}) = 0$ pour tout $q$ . Ainsi la fonction $g (q) = p (q) - C M (q)$ est négative ou nulle pour $q > 0$ et s'annule en $q^{*}$ : elle y atteint son maximum, donc $g^{'} (q^{*}) = 0$ , soit $p^{'} (q^{*}) = C M^{'} (q^{*})$ . Les deux courbes ont la même valeur et la même pente en $q^{*}$ : elles sont tangentes. Par ailleurs, la demande est décroissante, donc $R m (q) = p (q) + q p^{'} (q) < p (q)$ , et la condition $R m (q^{*}) = C m (q^{*})$ donne $p^{*} > C m (q^{*})$ . Enfin $C M^{'} (q^{*}) = p^{'} (q^{*}) < 0$ : le coût moyen décroît en $q^{*}$ , qui est donc inférieur à l'échelle efficace où $C M$ est minimal. $□$

Figure 9.3. Équilibre de long terme d'une boulangerie en concurrence monopolistique, avec CT = 18 + q²/2 (coût moyen CM = 18/q + q/2, coût marginal Cm = q) et, après entrée, la demande p = 12 − 1,5q. La demande est tangente au coût moyen en q* = 3, p* = 7,5; la recette marginale Rm = 12 − 3q coupe le coût marginal à la même quantité. L'échelle efficace, minimum du coût moyen, est q = 6: l'entreprise a une capacité excédentaire de 3 unités et une marge p − Cm = 4,5.

Exemple 9.6 · Une boulangerie, à court et à long terme

Une boulangerie a un coût total $C T (q) = 18 + q^{2} /2$ (en centaines de CHF par jour, $q$ en centaines de pains), soit $C M = 18/ q + q /2$ et $C m = q$ . Le coût moyen est minimal en $q = 6$ (là où $C m = C M$ : $q = 18/ q + q /2 ⟺ q^{2} = 36$ ), avec $C M = 6$ .

Court terme. La demande pour ses pains est $p = 15 - 1, 5 q$ , donc $R m = 15 - 3 q$ . La condition $R m = C m$ donne $15 - 3 q = q$ , soit $q = 3, 75$ , $p = 15 - 5, 625 = 9, 375$ , et $π = 9, 375 \times 3, 75 - 18 - 7, 03 = 35, 16 - 25, 03 = 10, 125$ : un profit d'environ CHF 1 010 par jour.

Long terme. Ce profit attire d'autres boulangeries; la demande de la nôtre recule jusqu'à $p = 12 - 1, 5 q$ (figure 9.3). Alors $R m = 12 - 3 q = q$ donne $q^{*} = 3$ , $p^{*} = 12 - 4, 5 = 7, 5$ et $C M (3) = 6 + 1, 5 = 7, 5 = p^{*}$ : profit nul, courbes tangentes (les deux pentes valent $- 1, 5$ , car $C M^{'} (q) = - 18/ q^{2} + 1/2 = - 2 + 0, 5 = - 1, 5$ en $q = 3$ ). La boulangerie ne produit que $300$ pains alors que son échelle efficace est de $600$ ; sa marge est $p^{*} - C m = 7, 5 - 3 = 4, 5$ , soit un indice de Lerner $L = 4, 5/7, 5 = 0, 6$ .

Capacité excédentaire, marge et diversité

L'équilibre de long terme diffère de celui de la concurrence parfaite (chapitre 7) sur deux points, qui sont les deux faces de la différenciation.

Capacité excédentaire. Chaque entreprise produit à gauche du minimum de son coût moyen: la même production totale pourrait être obtenue à moindre coût avec moins d'entreprises produisant chacune davantage. Il y a «trop» de boulangeries, chacune «trop petite».
Marge. Le prix dépasse le coût marginal ( $p > C m$ ), comme en monopole: certains consommateurs qui valorisent un pain de plus au-delà de son coût de production n'en obtiennent pas, ce qui engendre une petite perte sèche. Mais contrairement au monopole, le profit est nul: la marge sert exactement à couvrir les coûts fixes (les $18$ de l'exemple).

Publicité et marques

Différencier son produit ne se fait pas seulement par ses caractéristiques physiques: la publicité et la marque y contribuent, et ce sont des dépenses typiques de la concurrence monopolistique et de l'oligopole (elles sont inutiles en concurrence parfaite, où l'on vend tout ce que l'on veut au prix du marché, et rares en monopole). Les économistes distinguent deux rôles.

Rôle informatif. La publicité renseigne sur l'existence, les prix et les caractéristiques des produits; elle réduit les coûts de recherche des consommateurs et augmente l'élasticité de la demande, donc intensifie la concurrence. Les études sur les marchés où la publicité des prix a été interdite (lunettes, services professionnels) montrent des prix plus élevés.
Rôle persuasif. La publicité peut aussi créer un attachement à la marque sans information réelle; elle rend la demande moins élastique, augmente la marge et constitue une barrière à l'entrée (il faut dépenser autant pour se faire connaître). Elle est alors socialement coûteuse.

Une marque a enfin une fonction de signal de qualité: une entreprise qui a investi dans sa réputation a beaucoup à perdre en décevant ses clients, ce qui rend crédible sa promesse de qualité. C'est ce qui explique qu'un voyageur préfère souvent une chaîne connue à un restaurant inconnu, ou que les fabricants horlogers suisses défendent si âprement le label «Swiss made».

Exercice

À l'équilibre de long terme d'une entreprise en concurrence monopolistique, laquelle des égalités ou inégalités suivantes est fausse?

Synthèse

Un oligopole compte peu de vendeurs en interdépendance stratégique; la concurrence monopolistique compte de nombreux vendeurs de produits différenciés avec entrée libre. La concentration se mesure par $C R_{4}$ et par $I H H = \sum s_{i}^{2}$ (entre $0$ et $10000$ ; seuils usuels $1500$ et $2500$ ).
Cournot (quantités simultanées): fonction de réaction $q_{1} = (a - c - b q_{2}) / (2 b)$ , équilibre $q_{i}^{*} = (a - c) / (3 b)$ , $p^{*} = (a + 2 c) /3$ ; avec $n$ entreprises, $Q_{n}^{*} = \frac{n}{n + 1} \frac{a - c}{b}$ et $p_{n}^{*} = \frac{a + n c}{n + 1} \to c$ . La quantité de Cournot est comprise entre celle du monopole et celle de la concurrence; l'indice de Lerner vaut $s_{i} / ∣ ε ∣$ .
Bertrand (prix simultanés): avec un bien homogène, la sous-enchère conduit à $p = C m$ dès deux entreprises (paradoxe), résolu par les capacités limitées, la différenciation, les coûts asymétriques ou la répétition. Avec produits différenciés, les fonctions de réaction en prix sont croissantes et $p^{*} = (α + β c) / (2 β - γ) > c$ .
Stackelberg (leader puis suiveur): par induction à rebours, $q_{L}^{*} = (a - c) / (2 b)$ , $q_{F}^{*} = (a - c) / (4 b)$ ; l'engagement donne l'avantage au premier joueur, et la quantité totale dépasse celle de Cournot.
Un cartel reproduit le monopole mais chaque membre a une incitation dominante à tricher (dilemme du prisonnier); sa stabilité dépend du nombre de membres, de la transparence, de la répétition et des barrières à l'entrée. La LCart interdit les accords horizontaux et les prix imposés; la COMCO sanctionne (jusqu'à $10 %$ du chiffre d'affaires) et le programme de clémence exploite l'instabilité des ententes.
En concurrence monopolistique, l'entreprise maximise à court terme comme un monopole ( $R m = C m$ ); à long terme l'entrée annule le profit, la demande devient tangente au coût moyen, avec $p > C m$ et une capacité excédentaire, prix de la diversité des produits.

Série d'exercices du chapitre 9

Exercice 1 sur 5

Exercice

Une ville compte une soixantaine de salons de coiffure, chacun avec sa clientèle, son style et ses prix, et il en ouvre ou ferme plusieurs chaque année. De quelle structure de marché s'agit-il?

Problème guidé

Duopole, cartel et tricherie

Deux entreprises produisent un bien homogène sur un marché de demande $p = 200 - Q$ , avec $Q = q_{1} + q_{2}$ , et ont chacune un coût marginal constant $C m = 20$ CHF (pas de coût fixe). On compare successivement l'équilibre de Cournot, l'accord de cartel, la tentation de tricher et la situation où l'entreprise 1 s'engage la première.

1
Équilibre de Cournot
Chaque entreprise choisit sa quantité simultanément. Écrivez la fonction de réaction $q_{1} = (200 - 20 - q_{2}) /2$ et résolvez le système symétrique.
Exercice
Quel est le profit de chaque entreprise à l'équilibre de Cournot (en CHF)?
CHF
Cartel
Tentation de tricher
Leader de Stackelberg

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 9.1 · Duopole de Cournot et surplus

Deux brasseries artisanales se partagent le marché régional de la bière en fût, dont la demande hebdomadaire est $p = 150 - Q$ ( $Q$ en hectolitres, $p$ en CHF par hectolitre). Chacune produit au coût marginal constant de CHF 30 par hectolitre, sans coût fixe.

Déterminez les fonctions de réaction et l'équilibre de Cournot (quantités, prix, profits).
Déterminez l'issue de monopole (fusion des deux brasseries) et l'issue concurrentielle.
Calculez le surplus des consommateurs et la perte sèche dans les trois situations. Commentez.

Solution

1. Le profit de la brasserie 1 est $π_{1} = (150 - q_{1} - q_{2}) q_{1} - 30 q_{1}$ ; la condition $\partial π_{1} / \partial q_{1} = 150 - 2 q_{1} - q_{2} - 30 = 0$ donne $R_{1} (q_{2}) = (120 - q_{2}) /2$ , et symétriquement $R_{2} (q_{1}) = (120 - q_{1}) /2$ . À l'équilibre, $q_{1} = q_{2} = q$ avec $2 q = 120 - q$ , soit

q_{1}^{*} = q_{2}^{*} = 40, Q^{*} = 80, p^{*} = 70, π_{1}^{*} = π_{2}^{*} = (70 - 30) \times 40 = 1 600.

2. Monopole. $R m = 150 - 2 Q = 30$ donne $Q^{M} = 60$ , $p^{M} = 90$ et $π^{M} = 60 \times 60 = 3600$ , soit $1800$ par brasserie: la fusion rapporterait $200$ de plus à chacune. Concurrence. $p = C m = 30$ donne $Q^{C} = 120$ et un profit nul.

3. Le surplus des consommateurs est l'aire du triangle entre la demande et le prix: $S C = \frac{1}{2} Q (150 - p)$ . La perte sèche est l'aire du triangle entre la demande et le coût marginal, à droite de la quantité produite: $P S = \frac{1}{2} (120 - Q) (p - 30)$ .

Situation	$Q$	$p$	$S C$	Profits	$P S$
Concurrence	120	30	7 200	0	0
Cournot	80	70	3 200	3 200	800
Monopole	60	90	1 800	3 600	1 800

En passant du monopole au duopole de Cournot, la perte sèche est divisée par $2, 25$ et le surplus des consommateurs presque doublé, alors que les profits ne baissent que de $400$ : la rivalité entre deux entreprises profite d'abord aux consommateurs. Elle ne rétablit toutefois pas l'efficacité: il reste une perte sèche de $800$ , qui ne disparaîtrait qu'avec un grand nombre d'entreprises (théorème 9.3).

Exercice 9.2 · Cournot avec coûts asymétriques

Sur un marché de demande $p = 100 - Q$ , l'entreprise 1 produit au coût marginal $c_{1} = 10$ et l'entreprise 2 au coût marginal $c_{2} = 25$ .

Déterminez l'équilibre de Cournot: quantités, prix, profits et parts de marché.
Calculez l'indice de Herfindahl–Hirschman du marché, l'élasticité-prix de la demande au point d'équilibre et l'indice de Lerner de chaque entreprise. Vérifiez la relation $L_{i} = s_{i} / ∣ ε ∣$ .
À partir de quelle valeur de $c_{2}$ l'entreprise 2 cesse-t-elle de produire? Que devient alors le marché?

Solution

1. Les fonctions de réaction sont $q_{1} = (100 - 10 - q_{2}) /2$ et $q_{2} = (100 - 25 - q_{1}) /2$ , soit $2 q_{1} + q_{2} = 90$ et $q_{1} + 2 q_{2} = 75$ . En multipliant la première par 2 et en soustrayant la seconde, $3 q_{1} = 105$ :

q_{1}^{*} = 35, q_{2}^{*} = 20, Q^{*} = 55, p^{*} = 45.

On retrouve les formules générales $q_{1}^{*} = (a - 2 c_{1} + c_{2}) /3 = (100 - 20 + 25) /3$ et $p^{*} = (a + c_{1} + c_{2}) /3 = 135/3$ . Les profits valent $π_{1}^{*} = (45 - 10) \times 35 = 1225$ et $π_{2}^{*} = (45 - 25) \times 20 = 400$ ; les parts de marché sont $s_{1} = 35/55 = 7/11 \approx 63, 6 %$ et $s_{2} = 4/11 \approx 36, 4 %$ .

2. $I H H = 10 0^{2} (s_{1}^{2} + s_{2}^{2}) = 10000 \times (49 + 16) /121 \approx 5372$ . L'élasticité de la demande $Q = 100 - p$ en $p^{*} = 45$ , $Q^{*} = 55$ vaut $ε = \frac{d Q}{d p} \frac{p}{Q} = - \frac{45}{55} = - \frac{9}{11}$ . Les indices de Lerner sont

L_{1} = \frac{45 - 10}{45} = \frac{7}{9}, L_{2} = \frac{45 - 25}{45} = \frac{4}{9},

et l'on vérifie $s_{1} / ∣ ε ∣ = \frac{7}{11} \cdot \frac{11}{9} = \frac{7}{9}$ et $s_{2} / ∣ ε ∣ = \frac{4}{11} \cdot \frac{11}{9} = \frac{4}{9}$ . L'entreprise efficace a une marge relative presque double: dans le modèle de Cournot, le pouvoir de marché d'une entreprise est proportionnel à sa part de marché.

3. $q_{2}^{*} = (100 - 2 c_{2} + 10) /3$ s'annule pour $c_{2} = 55$ . Au-delà, l'entreprise 2 ne produit rien et l'entreprise 1 est en monopole: $q_{1} = (100 - 10) /2 = 45$ et $p = 55$ ; l'entreprise 2 ne peut effectivement pas couvrir un coût marginal supérieur à $55$ . Remarquez que pour $c_{2}$ entre $45$ et $55$ , l'entreprise 2 produit encore un peu bien que son coût dépasse le prix de Cournot symétrique: par exemple $c_{2} = 40$ donne $q_{1}^{*} = 40$ , $q_{2}^{*} = 10$ et $p^{*} = 50$ .

Exercice 9.3 · Stackelberg contre Cournot

Sur un marché de demande $p = 100 - Q$ , deux entreprises produisent au coût marginal constant $c = 40$ .

Calculez l'équilibre de Cournot.
L'entreprise 1 devient leader de Stackelberg. Résolvez par induction à rebours et comparez quantités, prix et profits avec le point 1.
Que se passe-t-il si les deux entreprises se croient chacune leader et produisent toutes deux la quantité de leader? Commentez la notion d'engagement.
Calculez le surplus des consommateurs dans les situations 1 et 2. Laquelle préfèrent-ils?

Solution

1. Avec $a - c = 60$ et $b = 1$ : $q_{1}^{*} = q_{2}^{*} = 20$ , $Q^{*} = 40$ , $p^{*} = 60$ et $π_{i}^{*} = 20 \times 20 = 400$ .

2. Suiveur. $q_{2} = R_{2} (q_{1}) = (60 - q_{1}) /2$ . Leader. En substituant, $π_{1} = (100 - q_{1} - q_{2} - 40) q_{1} = (60 - q_{1} - \frac{60 - q _{1}}{2}) q_{1} = \frac{( 60 - q _{1} ) q _{1}}{2}$ , maximal en $q_{1} = 30$ (dérivée $(60 - 2 q_{1}) /2 = 0$ ). Alors $q_{2} = 15$ , $Q = 45$ , $p = 55$ , $π_{L} = 15 \times 30 = 450$ et $π_{F} = 15 \times 15 = 225$ .

	$q_{1}$	$q_{2}$	$Q$	$p$	$π_{1}$	$π_{2}$
Cournot	20	20	40	60	400	400
Stackelberg	30	15	45	55	450	225

Le leader gagne $50$ de plus, le suiveur $175$ de moins; la quantité totale augmente et le prix baisse.

3. Si les deux produisent $30$ , alors $Q = 60$ , $p = 40 = c$ et les profits sont nuls: pire que Cournot pour les deux. Le résultat de Stackelberg ne tient que si le suiveur accepte son rôle, c'est-à-dire si le leader s'est engagé de manière crédible et irréversible (capacité déjà construite, contrats signés) avant que le suiveur ne décide. Une simple annonce ne suffit pas: si le suiveur ne la croit pas, ou si les deux annoncent en même temps, on retombe sur un jeu simultané et donc sur Cournot, ou sur la guerre de quantités du point 3.

4. $S C = \frac{1}{2} Q (100 - p)$ : en Cournot, $\frac{1}{2} \times 40 \times 40 = 800$ ; en Stackelberg, $\frac{1}{2} \times 45 \times 45 = 1012, 5$ . Les consommateurs préfèrent l'issue de Stackelberg, plus proche de la concurrence: l'asymétrie entre entreprises, en intensifiant la rivalité, leur est favorable.

Exercice 9.4 · Concurrence monopolistique: du court au long terme

Un café de Neuchâtel a un coût total $C T (q) = 32 + q^{2} /2$ (en centaines de CHF par semaine, $q$ en centaines de boissons). Sa demande actuelle est $p = 20 - 1, 5 q$ .

Calculez le coût moyen, le coût marginal et l'échelle efficace.
Déterminez l'équilibre de court terme (quantité, prix, profit).
L'entrée de nouveaux cafés déplace la demande parallèlement vers la gauche: $p = A - 1, 5 q$ avec $A < 20$ . Déterminez la valeur de $A$ et la quantité $q^{*}$ de l'équilibre de long terme; vérifiez la tangence entre la demande et le coût moyen.
Calculez la capacité excédentaire et l'indice de Lerner à long terme.

Solution

1. $C M (q) = 32/ q + q /2$ et $C m (q) = q$ . Le minimum du coût moyen vérifie $C M^{'} (q) = - 32/ q^{2} + 1/2 = 0$ , soit $q^{2} = 64$ : l'échelle efficace est $q = 8$ , où $C M = 4 + 4 = 8 = C m$ .

2. $R m = 20 - 3 q$ et $R m = C m$ donne $20 - 3 q = q$ , soit $q = 5$ , $p = 20 - 7, 5 = 12, 5$ , $C T = 32 + 12, 5 = 44, 5$ et $π = 12, 5 \times 5 - 44, 5 = 18$ : environ CHF 1 800 par semaine ( $C M (5) = 8, 9 < 12, 5$ ).

3. À long terme, $R m = C m$ et $p = C M$ . La première condition, $A - 3 q = q$ , donne $q^{*} = A /4$ ; la seconde, $A - 1, 5 q^{*} = 32/ q^{*} + q^{*} /2$ , devient $A - 1, 5 \cdot \frac{A}{4} = \frac{128}{A} + \frac{A}{8}$ , soit $\frac{5 A}{8} - \frac{A}{8} = \frac{128}{A}$ , donc $\frac{A}{2} = \frac{128}{A}$ et $A^{2} = 256$ : $A = 16$ et $q^{*} = 4$ . Vérification: $p^{*} = 16 - 6 = 10$ et $C M (4) = 8 + 2 = 10$ ; les pentes sont $p^{'} (q) = - 1, 5$ et $C M^{'} (4) = - 32/16 + 1/2 = - 1, 5$ : les deux courbes sont bien tangentes en $q^{*} = 4$ . Le profit est nul et l'entrée s'arrête.

4. Le café sert $400$ boissons alors que son échelle efficace est de $800$ : capacité excédentaire de $400$ boissons par semaine, soit la moitié de sa capacité efficace. Le coût marginal vaut $C m (4) = 4$ pour un prix de $10$ : $L = (10 - 4) /10 = 0, 6$ . La marge de $6$ par centaine de boissons, multipliée par $4$ , couvre exactement les $32$ de coûts fixes (loyer, machine) — moins le supplément du coût variable moyen: $(10 - 4) \times 4 = 24 = 32 - 8$ , la différence $8 = q^{2} /2$ étant l'écart entre coût variable total et $C m \times q$ .

Exercice 9.5 · Oligopole de Cournot général et indice de Lerner

On considère $n$ entreprises en concurrence à la Cournot sur un marché de demande inverse $p = P (Q)$ décroissante et dérivable, $Q = \sum_{i} q_{i}$ ; l'entreprise $i$ a un coût marginal constant $c_{i}$ . On note $s_{i} = q_{i} / Q$ sa part de marché et $ε = P^{'} (Q)^{- 1} p / Q$ l'élasticité-prix de la demande du marché à l'équilibre.

Écrivez la condition du premier ordre de l'entreprise $i$ et montrez que son indice de Lerner vérifie $L_{i} = \frac{p - c _{i}}{p} = \frac{s _{i}}{∣ ε ∣}$ .
En déduire que la moyenne des indices de Lerner pondérée par les parts de marché vaut $\frac{I H H}{10 000 ∣ ε ∣}$ , où $I H H$ est calculé avec les parts en pour cent.
Pour la demande linéaire $p = a - b Q$ , résolvez explicitement l'équilibre: montrez que $Q^{*} = \frac{n a - \sum _{i} c _{i}}{( n + 1 ) b}$ , $p^{*} = \frac{a + \sum _{i} c _{i}}{n + 1}$ et $q_{i}^{*} = \frac{p ^{*} - c _{i}}{b}$ (en supposant toutes ces quantités positives). Retrouvez le théorème 9.3 et l'exemple 9.3 comme cas particuliers.
Montrez que dans le cas linéaire symétrique, $L = \frac{1}{n ∣ ε ∣}$ , et interprétez la limite $n \to \infty$ .

Solution

1. Le profit de l'entreprise $i$ est $π_{i} = P (Q) q_{i} - c_{i} q_{i}$ avec $Q = q_{i} + Q_{- i}$ , où $Q_{- i}$ est traité comme une constante. Par la règle du produit et $\partial Q / \partial q_{i} = 1$ ,

\frac{\partial π _{i}}{\partial q _{i}} = P (Q) + P^{'} (Q) q_{i} - c_{i} = 0 ⟺ p - c_{i} = - P^{'} (Q) q_{i} .

Divisons par $p$ et faisons apparaître la part de marché: $\frac{p - c _{i}}{p} = - P^{'} (Q) \frac{Q}{p} \cdot \frac{q _{i}}{Q}$ . Or $ε = \frac{d Q}{d p} \frac{p}{Q} = \frac{1}{P ^{'} ( Q )} \frac{p}{Q}$ , donc $- P^{'} (Q) \frac{Q}{p} = - \frac{1}{ε} = \frac{1}{∣ ε ∣}$ (la demande étant décroissante, $ε < 0$ ). Ainsi $L_{i} = s_{i} / ∣ ε ∣$ . $□$

La marge relative de chaque entreprise est proportionnelle à sa part de marché: c'est la généralisation de la règle du monopole $L = 1/ ∣ ε ∣$ (chapitre 8), que l'on retrouve pour $s_{i} = 1$ .

2. En pondérant par les parts: $\sum_{i} s_{i} L_{i} = \frac{1}{∣ ε ∣} \sum_{i} s_{i}^{2}$ . Avec les parts en pour cent, $\sum_{i} (100 s_{i})^{2} = I H H$ , donc $\sum_{i} s_{i}^{2} = I H H /10 000$ et $\sum_{i} s_{i} L_{i} = \frac{I H H}{10 000 ∣ ε ∣}$ . $□$ C'est ce résultat qui justifie l'usage de l' $I H H$ par les autorités de la concurrence: dans le modèle de Cournot, il mesure directement la marge moyenne du secteur, à élasticité donnée.

3. Avec $P (Q) = a - b Q$ , $P^{'} (Q) = - b$ et la condition du premier ordre de l'entreprise $i$ s'écrit $a - b Q - b q_{i} = c_{i}$ , soit $b q_{i} = a - b Q - c_{i}$ . Sommons ces $n$ égalités: $b Q = n a - n b Q - \sum_{i} c_{i}$ , d'où $(n + 1) b Q = n a - \sum_{i} c_{i}$ et

Q^{*} = \frac{n a - \sum _{i} c _{i}}{( n + 1 ) b}, p^{*} = a - b Q^{*} = \frac{( n + 1 ) a - n a + \sum _{i} c _{i}}{n + 1} = \frac{a + \sum _{i} c _{i}}{n + 1} .

Enfin, la condition individuelle $b q_{i} = p^{*} - c_{i}$ donne $q_{i}^{*} = (p^{*} - c_{i}) / b$ , positive si et seulement si $c_{i} < p^{*}$ (sinon l'entreprise $i$ sort du marché et il faut recommencer avec $n - 1$ entreprises). Cas symétrique $c_{i} = c$ : $\sum_{i} c_{i} = n c$ , donc $p^{*} = (a + n c) / (n + 1)$ , $Q^{*} = n (a - c) / ((n + 1) b)$ et $q_{i}^{*} = (a - c) / ((n + 1) b)$ : c'est (9.4). Exemple 9.3 ( $n = 2$ , $a = 120$ , $b = 1$ , $c_{1} = 20$ , $c_{2} = 35$ ): $p^{*} = 175/3$ , $q_{1}^{*} = (175/3 - 20) = 115/3$ et $q_{2}^{*} = 175/3 - 35 = 70/3$ . $□$

4. Dans le cas linéaire symétrique, $s_{i} = 1/ n$ et le point 1 donne $L = \frac{1}{n ∣ ε ∣}$ , ce qui est (9.5). On peut le vérifier directement: $p^{*} - c = (a - c) / (n + 1)$ et $∣ ε ∣ = p^{*} / (b Q^{*}) = \frac{( a + n c ) / ( n + 1 )}{n ( a - c ) / ( n + 1 )} = \frac{a + n c}{n ( a - c )}$ , donc $\frac{1}{n ∣ ε ∣} = \frac{a - c}{a + n c} = \frac{( a - c ) / ( n + 1 )}{( a + n c ) / ( n + 1 )} = \frac{p ^{*} - c}{p ^{*}}$ . Lorsque $n \to \infty$ , l'élasticité tend vers $c / (a - c)$ , valeur finie, et $L \to 0$ : la marge disparaît, non parce que la demande devient infiniment élastique, mais parce que chaque entreprise ne supporte qu'une fraction $1/ n$ de l'effet-prix de sa production. L'équilibre converge vers la concurrence parfaite, et l'on comprend pourquoi les autorités s'inquiètent des fusions qui réduisent $n$ et augmentent l' $I H H$ . $□$

Références

Varian, H. R., Introduction à la microéconomie, 9e éd., De Boeck, Louvain-la-Neuve, chap. 28 (Oligopole) et 26 (Concurrence monopolistique).
Pindyck, R. S. et Rubinfeld, D. L., Microéconomie, 9e éd., Pearson, Montreuil, chap. 12 (Concurrence monopolistique et oligopole).
Mankiw, N. G. et Taylor, M. P., Principes de l'économie, 5e éd., De Boeck, Louvain-la-Neuve, chap. 15 et 16.
Krugman, P. et Wells, R., Microéconomie, 4e éd., De Boeck, Louvain-la-Neuve, chap. 14 et 15.
Tirole, J., Théorie de l'organisation industrielle, tomes 1 et 2, Economica, Paris (référence avancée sur Cournot, Bertrand, Stackelberg et la collusion).
Commission de la concurrence (COMCO), Rapports annuels et Loi fédérale sur les cartels et autres restrictions à la concurrence (LCart, RS 251), Berne; Chamberlin, E. H., The Theory of Monopolistic Competition, Harvard University Press, Cambridge (Mass.), 1933.

Objectifs du chapitre

Entre concurrence parfaite et monopole

Deux structures intermédiaires

Mesurer la concentration

Le duopole de Cournot

Hypothèses et fonction de réaction

L'équilibre de Cournot–Nash

Cournot entre le monopole et la concurrence

Explorateur du duopole de Cournot

Oligopole à n entreprises

Le modèle de Bertrand

La concurrence par les prix et le paradoxe

Bertrand avec produits différenciés

Le modèle de Stackelberg

Leader et suiveur

Comparaison des trois modèles

Collusion et cartels

Le cartel, un monopole partagé

Les facteurs de stabilité

La loi sur les cartels et la COMCO

La concurrence monopolistique

Hypothèses

Équilibre de court terme et de long terme

Capacité excédentaire, marge et diversité

Publicité et marques

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 9

Duopole, cartel et tricherie

Équilibre de Cournot

Cartel

Tentation de tricher

Leader de Stackelberg

Exercices

Références

Oligopole à $n$ entreprises