Outils quantitatifs · Macroéconomie

La macroéconomie ne demande pas de mathématiques nouvelles: dérivées, logarithmes, systèmes linéaires à deux équations et suites géométriques suffisent à tout ce que font les douze chapitres de ce cours. Ce qu'elle demande, c'est une arithmétique sûre. Un taux de croissance annuel moyen qui n'est pas une moyenne arithmétique, un indice dont la base a changé, une série nominale qu'il faut déflater, un point de pourcentage qu'on confond avec un pourcent: ce sont ces gestes-là, et non les théorèmes, qui font échouer les copies et fausser les commentaires de presse.

Cette annexe rassemble ces outils avec, pour chacun, une démonstration courte et au moins un exemple entièrement chiffré. Les nombres proviennent autant que possible du fil rouge du cours, la Sylvanie, petite économie ouverte fictive dont les comptes sont établis au chapitre 2 et rappelés ici: PIB de 600 milliards d'unités monétaires (UM), PIB nominal de 580 en 2023, PIB réel 2023 de 590,6 aux prix de 2024, IPC de 95,0 en 2022, 97,8 en 2023 et 100,0 en 2024, dette publique de 240 fin 2023. Quelques grandeurs supplémentaires, nécessaires aux exemples et absentes des chapitres, sont introduites ici comme hypothèses propres à cette annexe et signalées comme telles. Tous les calculs ont été refaits numériquement et les identités vérifiées.

L'annexe se lit dans l'ordre ou par section. Les chapitres 2, 3 et 5 mobilisent surtout les taux, les logarithmes et les indices; les chapitres 6 et 11 l'actualisation et les récurrences; le chapitre 8 l'algèbre du multiplicateur.

Taux de croissance

Variation absolue et variation relative

Soit une grandeur $X$ observée aux dates $t - 1$ et $t$ . La variation absolue est $Δ X = X_{t} - X_{t - 1}$ , exprimée dans l'unité de $X$ ; la variation relative, ou taux de croissance, est

g = \frac{X _{t} - X _{t - 1}}{X _{t - 1}} = \frac{X _{t}}{X _{t - 1}} - 1. (B.1)

Le dénominateur est toujours la valeur de départ. Le PIB nominal de la Sylvanie passe de 580 à 600 milliards UM: la variation absolue vaut $+ 20$ milliards, la variation relative $20/580 = 3, 4483 %$ , arrondie à $3, 4 %$ . Le PIB réel passe de 590,6 à 600: $9, 4/590, 6 = 1, 5916 %$ , soit $1, 6 %$ .

Le taux de croissance annuel moyen

Sur plusieurs périodes, les taux se multiplient. Si $X$ croît aux taux $g_{1}, \dots, g_{n}$ , alors $X_{n} = X_{0} \prod_{k = 1}^{n} (1 + g_{k})$ .

Démonstration. On cherche $\overset{g}{ˉ}$ tel que $X_{0} (1 + \overset{g}{ˉ})^{n} = X_{n}$ . En divisant par $X_{0}$ et en élevant à la puissance $1/ n$ , on obtient $(1 + \overset{g}{ˉ}) = (X_{n} / X_{0})^{1/ n}$ , d'où (B.2). L'exposant $1/ n$ est là parce que la capitalisation est multiplicative: $n$ périodes appliquent $n$ fois le même facteur, pas $n$ fois la même addition. $□$

Exemple B.1 · Pourquoi la moyenne arithmétique se trompe

Supposons — hypothèse propre à cette annexe — que le PIB réel de la Sylvanie, aux prix de 2024, valait 500 milliards UM en 2014. Sur dix ans il atteint 600: le TCAM vaut

\overset{g}{ˉ} = (600/500)^{1/10} - 1 = 1, 8399 % par an .

Contrôle: $500 \times 1, 01839 9^{10} = 600, 00$ . ✔

Prenons maintenant cinq années mouvementées (toujours fictives): $+ 2, 0 %$ , $- 4, 5 %$ , $+ 5, 0 %$ , $+ 1, 8 %$ , $+ 1, 6 %$ . La moyenne arithmétique vaut $(2, 0 - 4, 5 + 5, 0 + 1, 8 + 1, 6) /5 = 1, 18 %$ . La moyenne géométrique vaut

(1, 020 \times 0, 955 \times 1, 050 \times 1, 018 \times 1, 016)^{1/5} - 1 = 1, 1316 %.

L'écart est de $0, 048$ point, apparemment minuscule. Mais appliqué à 500 milliards sur cinq ans, il donne $500 \times 1, 01131 6^{5} = 528, 94$ contre $500 \times 1, 011 8^{5} = 530, 20$ : $1, 27$ milliard d'écart, soit près d'un quart de ce que la Sylvanie produit de plus en une année. La moyenne arithmétique surestime toujours le TCAM dès que les taux ne sont pas tous égaux — c'est l'inégalité des moyennes — et l'écart croît avec la volatilité de la série. Cas extrême: $+ 25 %$ puis $- 20 %$ donnent une moyenne arithmétique de $+ 2, 5 %$ alors que le patrimoine n'a pas bougé d'un centime, $1, 25 \times 0, 80 = 1$ , soit un TCAM de $0 %$ exactement.

Annualiser un taux trimestriel

Annualiser, c'est répondre à la question: quel serait le taux sur un an si ce trimestre se répétait quatre fois? L'opération est multiplicative,

g_{annualis \overset{e}{ˊ}} = (1 + g_{trimestriel})^{4} - 1, (B.3)

et le même raisonnement à la puissance 12 annualise un taux mensuel. Une hausse trimestrielle de $0, 4 %$ donne $1, 004 0^{4} - 1 = 1, 6096 %$ , contre $4 \times 0, 4 = 1, 60 %$ par l'addition naïve: l'écart, $0, 01$ point, est négligeable. Il cesse de l'être dès que le taux de base grandit: un trimestre à $+ 3 %$ s'annualise à $12, 55 %$ et non à $12 %$ , et un mois à $+ 3 %$ d'inflation donne $42, 6 %$ par an et non $36 %$ .

Composer deux taux: le terme croisé

Démonstration. $X_{t} = A_{t} B_{t}$ donne $X_{t} / X_{t - 1} = (A_{t} / A_{t - 1}) (B_{t} / B_{t - 1}) = (1 + a) (1 + b)$ . En développant, $1 + g = 1 + a + b + ab$ , d'où (B.4). $□$

C'est ce théorème qui se cache derrière l'affirmation «croissance nominale = croissance réelle + inflation»: le PIB nominal est le produit d'un volume et d'un niveau de prix, donc $1 + g_{N} = (1 + g_{Y}) (1 + π_{Y})$ , et l'addition n'est qu'une approximation. Le tableau suivant chiffre l'erreur pour deux taux égaux à $x$ .

$x$	somme $2 x$	valeur exacte	erreur en points	erreur relative
2 %	4,00 %	4,04 %	0,04	1,0 %
10 %	20,00 %	21,00 %	1,00	4,8 %
50 %	100,00 %	125,00 %	25,00	20,0 %

À $2 %$ l'approximation coûte quatre centièmes de point: personne ne la verra. À $50 %$ elle fait disparaître un quart de la croissance nominale: en régime d'hyperinflation, additionner les taux n'a plus aucun sens. La règle pratique: additionnez en dessous de 5 %, multipliez au-dessus, et multipliez toujours quand le résultat doit servir à un calcul ultérieur.

Exemple B.2 · Le terme croisé sur les comptes de la Sylvanie

En 2024, le PIB réel croît de $600/590, 6 - 1 = 1, 5916 %$ et le déflateur passe de 98,2 à 100,0, soit $100/98, 2 - 1 = 1, 8330 %$ . La composition exacte donne

(1, 015916) (1, 018330) - 1 = 3, 4538 %,

alors que la croissance nominale observée vaut $600/580 - 1 = 3, 4483 %$ . Il reste $0, 0055$ point d'écart: d'où vient-il? Pas du terme croisé, qui vaut ici $0, 015916 \times 0, 018330 = 0, 029$ point et qui est déjà inclus dans le produit. Il vient de l'arrondi du déflateur. Le déflateur implicite de 2023 est $100 \times 580/590, 6 = 98, 2052$ , publié à 98,2. Avec la valeur non arrondie, $π_{Y} = 100/98, 2052 - 1 = 1, 8276 %$ et

(1, 015916) (1, 018276) - 1 = 3, 4483 %,

exactement la croissance nominale. ✔ Leçon générale: quand une identité comptable ne tombe pas juste au centième, cherchez d'abord l'arrondi d'un indice publié à une décimale avant de soupçonner une erreur de méthode.

Exercice

Le PIB réel d'un pays recule de $10 %$ une année, puis progresse de $10 %$ l'année suivante. Sur les deux ans, que vaut le taux de croissance annuel moyen?

Logarithmes en économie

Pourquoi le logarithme linéarise la croissance

Une grandeur qui croît au taux constant $g$ suit $X_{t} = X_{0} (1 + g)^{t}$ : une exponentielle, dont le graphe s'incurve vers le haut et devient vite illisible. En prenant le logarithme naturel,

ln X_{t} = ln X_{0} + t ln (1 + g), (B.5)

on obtient une droite de pente $ln (1 + g)$ . Toute la lecture graphique de la croissance repose sur cette transformation: sur un graphique des logarithmes, une croissance constante est une droite, une accélération est une courbe convexe, un ralentissement une courbe concave, et deux pays qui croissent au même taux ont des droites parallèles, quel que soit leur niveau de revenu.

Avec les chiffres de l'exemple B.1, $ln 500 = 6, 2146$ et $ln 600 = 6, 3969$ ; la différence, $ln (600/500) = 0, 18232$ , divisée par dix ans, donne une pente de $0, 018232$ par an — et $e^{0, 018232} - 1 = 1, 8399 %$ , le TCAM déjà calculé. Le logarithme convertit donc une moyenne géométrique en moyenne arithmétique: c'est sa vertu principale.

L'approximation ln(1+x) proche de x

Démonstration. La fonction $f (x) = ln (1 + x)$ vérifie $f (0) = 0$ et $f^{'} (x) = 1/ (1 + x)$ , donc $f^{'} (0) = 1$ : la tangente à l'origine est la droite $y = x$ . Le développement de Taylor à l'ordre 2 donne $f (x) = x + f^{''} (0) x^{2} /2 + \dots$ avec $f^{''} (x) = - 1/ (1 + x)^{2}$ , soit $f (x) \approx x - x^{2} /2$ . $□$

$x$	$ln (1 + x)$	écart en points	erreur relative
0,1 %	0,0999 %	0,0000	0,05 %
1 %	0,9950 %	0,0050	0,50 %
2 %	1,9803 %	0,0197	1,00 %
5 %	4,8790 %	0,1210	2,48 %
10 %	9,5310 %	0,4690	4,92 %
20 %	18,2322 %	1,7678	9,70 %
50 %	40,5465 %	9,4535	23,32 %

L'approximation est excellente jusqu'à $5 %$ , acceptable jusqu'à $10 %$ , trompeuse au-delà. Comme $ln (1 + x) < x$ toujours, l'approximation surestime le taux logarithmique — ou, dit dans l'autre sens, un taux logarithmique de $20 %$ correspond à une hausse effective de $e^{0, 20} - 1 = 22, 1 %$ .

La contrepartie de cette perte de précision est un gain d'exactitude ailleurs: en logarithmes, les taux s'additionnent sans terme croisé. Si $X = A B$ , alors $ln X = ln A + ln B$ et donc $Δ ln X = Δ ln A + Δ ln B$ , exactement, sans reste. Le terme croisé du théorème B.1 n'a pas disparu: il est absorbé dans le passage du taux ordinaire au taux logarithmique. C'est pourquoi les séries longues, les décompositions de croissance et les régressions macroéconomiques travaillent en logarithmes.

La dérivée logarithmique

En temps continu, $X (t) = X_{0} e^{g t}$ et

\frac{d ln X}{d t} = \frac{1}{X} \frac{d X}{d t} = g : (B.6)

la dérivée logarithmique est le taux de croissance instantané. Trois règles en découlent et servent partout dans le cours:

A B = \hat{A} + \hat{B}, A / B = \hat{A} - \hat{B}, A^{α} = α \hat{A},

où $\hat{A}$ note la dérivée logarithmique de $A$ . Ainsi, la croissance du PIB par habitant est la croissance du PIB moins celle de la population: en Sylvanie, $1, 6 % - 0, 7 % = 0, 9 %$ par an avec le $n = 0, 007$ du chapitre 5. Et la comptabilité de la croissance du même chapitre, $\hat{Y} = α \hat{K} + (1 - α) A L$ , n'est rien d'autre que l'application des trois règles à une fonction de Cobb-Douglas.

La règle des 70

Le temps de doublement d'une grandeur croissant au taux $g$ par période est le nombre $T$ tel que $(1 + g)^{T} = 2$ , c'est-à-dire

T = \frac{ln 2}{ln ( 1 + g )} \approx \frac{0 , 693}{g} = \frac{69 , 3}{g en pourcent} . (B.7)

D'où vient le 70? De deux approximations successives: $ln 2 = 0, 6931$ , arrondi vers le haut, et $ln (1 + g) \approx g$ , qui sous-estime le dénominateur et donc surestime $T$ . Les deux erreurs jouent en sens contraire, et le numérateur 70 est le compromis qui les compense le mieux autour de $2 %$ . Le tableau donne le temps de doublement exact et les trois approximations usuelles.

$g$	$T$ exact	69 / g	70 / g	72 / g
1 %	69,66	69,00	70,00	72,00
2 %	35,00	34,50	35,00	36,00
3 %	23,45	23,00	23,33	24,00
5 %	14,21	13,80	14,00	14,40
7 %	10,24	9,86	10,00	10,29
10 %	7,27	6,90	7,00	7,20
20 %	3,80	3,45	3,50	3,60

La règle de 69,3 est exacte à la limite des taux très faibles, c'est-à-dire en temps continu; la règle de 70 est exacte à $g = 1, 98 %$ et reste bonne de $1 %$ à $4 %$ , soit exactement la plage des croissances et des inflations d'un pays développé; la règle de 72 est exacte à $g = 7, 85 %$ et convient mieux aux placements financiers — elle a en outre l'avantage d'être divisible par 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 12, ce qui permet de faire le calcul de tête. Aucune des trois ne vaut au-delà de $15 %$ : à $20 %$ , la règle des 70 annonce 3,5 périodes contre 3,8 réellement, une erreur de $8 %$ .

Exercice

Le PIB par habitant de la Sylvanie croît de $0, 9 %$ par an. Combien d'années lui faut-il pour doubler? Donnez la valeur exacte, arrondie au dixième d'année.

Indices

Indice simple et indice pondéré

Un indice est un rapport, multiplié par 100, entre la valeur d'une grandeur et sa valeur une année de référence appelée base. Pour une seule grandeur, $I_{t} = 100 \times X_{t} / X_{0}$ . Le PIB nominal de la Sylvanie en base 2024 vaut ainsi $100 \times 580/600 = 96, 67$ pour 2023.

Dès qu'il y a plusieurs biens, il faut pondérer. Un indice pondéré est une moyenne des variations individuelles, les poids $w_{i}$ étant des parts de dépense qui somment à 1:

\frac{I _{1}}{I _{0}} = i \sum w_{i} \frac{p _{i, 1}}{p _{i, 0}}, d’o \overset{u}{ˋ} π = i \sum w_{i} τ_{i}, (B.8)

où $τ_{i}$ est la variation de prix du poste $i$ . Le panier de l'IPC de la Sylvanie construit au chapitre 3 en donne l'illustration: poids de $30 %$ , $20 %$ , $15 %$ et $35 %$ , variations de prix de $+ 4, 0 %$ , $+ 2, 5 %$ , $- 2, 0 %$ et $+ 1, 0 %$ . Les contributions valent $1, 20$ , $0, 50$ , $- 0, 30$ et $+ 0, 35$ point, et leur somme, $1, 75$ point, est exactement l'inflation d'ensemble. ✔

Laspeyres, Paasche et Fisher

Le choix des pondérations n'est pas neutre. Deux conventions s'opposent: pondérer avec les quantités de l'année de départ (Laspeyres) ou avec celles de l'année d'arrivée (Paasche). Avec $p_{i, 0}, q_{i, 0}$ et $p_{i, 1}, q_{i, 1}$ :

L_{P} = \frac{\sum p _{i, 1} q _{i, 0}}{\sum p _{i, 0} q _{i, 0}}, P_{P} = \frac{\sum p _{i, 1} q _{i, 1}}{\sum p _{i, 0} q _{i, 1}}, L_{Q} = \frac{\sum p _{i, 0} q _{i, 1}}{\sum p _{i, 0} q _{i, 0}}, P_{Q} = \frac{\sum p _{i, 1} q _{i, 1}}{\sum p _{i, 1} q _{i, 0}} . (B.9)

Exemple B.3 · Deux biens, quatre indices, une identité

Reprenons la sous-économie à deux biens du chapitre 2 (fictive, destinée à isoler l'arithmétique). Blé: $100$ tonnes à $3, 00$ UM en année 0, $104$ tonnes à $3, 30$ UM en année 1. Tablettes: $20$ unités à $10, 00$ UM, puis $22$ unités à $9, 50$ UM. Les quatre agrégats:

\sum p_{0} q_{0} = 500, \sum p_{1} q_{1} = 552, 2, \sum p_{0} q_{1} = 532, \sum p_{1} q_{0} = 520.

D'où $L_{P} = 520/500 = 1, 0400$ , $P_{P} = 552, 2/532 = 1, 03797$ , $L_{Q} = 532/500 = 1, 0640$ , $P_{Q} = 552, 2/520 = 1, 06192$ , et l'indice de valeur $552, 2/500 = 1, 10440$ .

Vérification de la décomposition de la valeur. $L_{P} \times P_{Q} = 1, 0400 \times 1, 06192 = 1, 10440$ et $P_{P} \times L_{Q} = 1, 03797 \times 1, 0640 = 1, 10440$ . ✔ Un indice de prix de Laspeyres s'apparie toujours à un indice de quantité de Paasche, et réciproquement; prendre Laspeyres des deux côtés donnerait $1, 0400 \times 1, 0640 = 1, 10656$ , soit une valeur qui n'existe nulle part dans les comptes.

Les indices de Fisher, moyennes géométriques des deux conventions, valent $F_{P} = 1, 0400 \times 1, 03797 = 1, 03898$ et $F_{Q} = 1, 0640 \times 1, 06192 = 1, 06296$ . Leur produit, $1, 10440$ , redonne encore la variation de valeur: c'est la propriété qui fait de Fisher l'indice «idéal».

L'écart entre Laspeyres et Paasche n'est pas un hasard

Démonstration. Par construction, $E_{w} [x] = \sum_{i} w_{i} x_{i} = L_{P}$ et $E_{w} [y] = L_{Q}$ , tandis que $E_{w} [x y] = \sum_{i} w_{i} x_{i} y_{i}$ est l'indice de valeur $V$ . Comme $P_{P} = V / L_{Q}$ et $P_{Q} = V / L_{P}$ , on a $P_{P} / L_{P} = P_{Q} / L_{Q} = V / (L_{P} L_{Q}) = E_{w} [x y] / (E_{w} [x] E_{w} [y])$ , et il suffit d'écrire $E_{w} [x y] = E_{w} [x] E_{w} [y] + Cov_{w} (x, y)$ . $□$

Sur l'exemple B.3: $w = (0, 60; 0, 40)$ , $x = (1, 10; 0, 95)$ , $y = (1, 04; 1, 10)$ . La covariance pondérée vaut $- 0, 00216$ , et $- 0, 00216/ (1, 0400 \times 1, 0640) = - 0, 001952$ : on retrouve exactement $P_{P} / L_{P} - 1 = 1, 03797/1, 04000 - 1 = - 0, 001952$ . ✔ Le signe négatif dit tout: le blé, dont le prix relatif a monté, a vu sa quantité progresser moins vite que les tablettes, dont le prix relatif a baissé. Un indice de prix de Laspeyres surestime donc l'inflation, et un indice de quantité de Laspeyres surestime la croissance du volume — c'est le biais de substitution du chapitre 3, ici démontré plutôt qu'affirmé.

Chaînage et changement de base

Avec une base fixe, l'écart grandit à mesure qu'on s'éloigne de l'année de référence, parce que les pondérations vieillissent. Le chaînage y répond en calculant un maillon entre chaque paire d'années consécutives, avec des pondérations proches de ces deux années, puis en multipliant les maillons.

Exemple B.4 · Une base fixe contre une chaîne, sur trois ans

Prolongeons l'exemple B.3 d'une année: blé $108$ tonnes à $3, 60$ UM, tablettes $26$ unités à $9, 00$ UM en année 2.

Base fixe. $L_{Q}^{0 \to 2} = (3, 00 \times 108 + 10, 00 \times 26) /500 = 584/500 = 1, 1680$ , soit $+ 16, 80 %$ de volume.

Chaîne. Maillon $0 \to 1$ : $1, 0640$ . Maillon $1 \to 2$ , calculé aux prix de l'année 1: $(3, 30 \times 108 + 9, 50 \times 26) /552, 2 = 603, 4/552, 2 = 1, 09272$ . Chaîne: $1, 0640 \times 1, 09272 = 1, 16265$ , soit $+ 16, 27 %$ .

L'écart, $0, 53$ point sur deux ans seulement, va exactement dans le sens annoncé: la base fixe valorise les tablettes à leur prix élevé de l'année 0 alors que leur quantité augmente précisément parce que leur prix baisse. Sur vingt ans, avec un bien dont le prix est divisé par dix, l'écart devient l'essentiel du résultat. Le prix à payer du chaînage est que les volumes chaînés ne sont plus additifs: la somme des composantes chaînées ne redonne pas l'agrégat chaîné, et les instituts publient un écart de non-additivité.

Changer la base d'une série d'indices est en revanche une opération sans difficulté ni perte: on divise toute la série par sa valeur de la nouvelle année de référence et on multiplie par 100,

I_{t}^{nouvelle base b} = 100 \times \frac{I _{t}^{ancienne base}}{I _{b}^{ancienne base}} . (B.11)

L'IPC de la Sylvanie (95,0 / 97,8 / 100,0 en base 2024) devient, en base 2022: $100, 00$ ; $100 \times 97, 8/95, 0 = 102, 95$ ; $100 \times 100, 0/95, 0 = 105, 26$ . Les taux d'inflation sont inchangés — $97, 8/95, 0 - 1 = 2, 9 %$ en 2023 dans les deux bases — ce qui est la propriété essentielle: un changement de base déplace le zéro du thermomètre, jamais les écarts de température. Deux séries d'indices de bases différentes, en revanche, ne se comparent jamais directement: ramenez-les d'abord à une base commune.

Déflater une série

Du nominal au réel

Une grandeur nominale est mesurée aux prix de son époque; une grandeur réelle est la même grandeur exprimée aux prix d'une année de référence. On passe de l'une à l'autre en divisant par l'indice de prix, puis en multipliant par 100:

X_{t}^{r \overset{e}{ˊ} el aux prix de b} = X_{t}^{nominal} \times \frac{I _{b}}{I _{t}} . (B.12)

Quel déflateur choisir? La règle est celle de la question posée. Pour le pouvoir d'achat d'un ménage, un salaire, une rente, une indexation: l'IPC, qui suit le panier des ménages. Pour passer du PIB nominal au PIB réel: le déflateur du PIB, qui suit les prix de la production intérieure et exclut les importations. Pour une dépense publique ou un investissement: le déflateur de la composante concernée. Un projet dont les flux sont en prix constants s'actualise avec un taux réel; un projet dont les flux sont en unités courantes, avec un taux nominal.

L'erreur de l'inflation cumulée

Ne divisez jamais par la somme des taux d'inflation

L'erreur la plus fréquente consiste à additionner les taux d'inflation annuels et à diviser par le total. Entre 2022 et 2024, la Sylvanie a connu $2, 947 %$ puis $2, 249 %$ d'inflation: la somme vaut $5, 197 %$ , alors que la hausse effective des prix est $100, 0/95, 0 - 1 = 5, 263 %$ . Un montant de $1140$ UM de 2022 vaut $1140 \times 100, 0/95, 0 = 1200, 00$ UM de 2024 par la bonne méthode, et $1199, 24$ UM par la mauvaise: $0, 76$ UM d'erreur, soit $0, 06 %$ .

Négligeable? Sur deux ans, oui. Sur vingt ans à $3 %$ par an, la somme des taux donne $60 %$ alors que la hausse effective est $1, 0 3^{20} - 1 = 80, 6 %$ : un quart du renchérissement disparaît. L'indice existe précisément pour vous dispenser de ce calcul: quand vous disposez de l'indice, servez-vous en; quand vous ne disposez que des taux, multipliez les facteurs $(1 + π_{t})$ , ne les additionnez pas.

Exercice

Une rente de $24000$ UM par an, versée depuis 2022, n'a pas été indexée; l'IPC de la Sylvanie est passé de 95,0 à 100,0 entre 2022 et 2024. De quel pourcentage faut-il relever la rente pour rétablir exactement son pouvoir d'achat de 2022?

Actualisation

Valeur actuelle d'un flux, d'une annuité, d'une perpétuité

Démonstration. Posons $v = 1/ (1 + ρ)$ , de sorte que $V A_{n} = F (v + v^{2} + \dots + v^{n})$ . Notons $S = v + v^{2} + \dots + v^{n}$ . Alors $v S = v^{2} + \dots + v^{n + 1}$ , donc $S - v S = v - v^{n + 1}$ et

S = \frac{v ( 1 - v ^{n} )}{1 - v} = \frac{1 - ( 1 + ρ ) ^{- n}}{ρ},

la dernière égalité s'obtenant en multipliant numérateur et dénominateur par $1 + ρ$ et en remarquant que $(1 + ρ) - 1 = ρ$ . Comme $0 < v < 1$ , le terme $v^{n}$ tend vers zéro et $S \to 1/ ρ$ quand $n \to \infty$ , d'où la perpétuité. Pour un flux croissant, $F_{t} = F (1 + g)^{t - 1}$ et la raison de la série devient $(1 + g) / (1 + ρ) < 1$ , ce qui donne $F / (ρ - g)$ par le même calcul. $□$

Une rente perpétuelle de $40$ UM par an au taux de $5 %$ vaut donc $800$ UM; la même rente indexée à $1 %$ par an vaut $40/ (0, 05 - 0, 01) = 1000$ UM. Et la formule de la perpétuité croissante est exactement celle qui donne le prix d'une action à dividende croissant: elle explose quand $g$ approche de $ρ$ , ce qui explique pourquoi les valorisations d'actifs de long terme sont si sensibles au taux d'intérêt.

Valeur actuelle nette et taux de rendement interne

La valeur actuelle nette d'un projet exigeant $F_{0}$ aujourd'hui est $V A N (ρ) = - F_{0} + \sum_{t \geq 1} F_{t} (1 + ρ)^{- t}$ ; le projet enrichit l'entreprise si $V A N > 0$ . Le taux de rendement interne (TRI) est le taux $ρ^{*}$ qui annule la VAN.

Le TRI peut ne pas être unique

Quand tous les flux postérieurs à la dépense initiale sont positifs, la VAN décroît strictement avec le taux et s'annule une seule fois: le TRI est unique et le critère est sans ambiguïté. Dès que les flux changent plusieurs fois de signe — une mine qu'il faudra dépolluer, une centrale qu'il faudra démanteler, un investissement de renouvellement en milieu de vie — la VAN est un polynôme en $v = 1/ (1 + ρ)$ qui peut posséder plusieurs racines positives.

Exemple minimal: $F_{0} = - 100$ , $F_{1} = + 230$ , $F_{2} = - 132$ . En posant $v = 1/ (1 + ρ)$ , l'équation $- 100 + 230 v - 132 v^{2} = 0$ a pour racines $v = 240/264$ et $v = 220/264$ , soit $ρ^{*} = 10 %$ et $ρ^{*} = 20 %$ . Entre les deux la VAN est positive — elle vaut $+ 0, 19$ à $15 %$ — et négative de part et d'autre: $- 0, 68$ à $5 %$ , $- 0, 48$ à $25 %$ . La règle «accepter si le taux est inférieur au TRI» devient alors dépourvue de sens, et la règle de décision reste la VAN, calculée au coût du capital effectif. Le TRI est un résumé commode, jamais un critère.

Taux réel et taux nominal

Démonstration. Placer une unité au taux $i$ donne $1 + i$ unités monétaires dans un an; en pouvoir d'achat d'aujourd'hui, cela vaut $(1 + i) / (1 + π^{e})$ . Par définition du taux réel, ce montant est $1 + r$ . En soustrayant 1, $r = (1 + i) / (1 + π^{e}) - 1 = (i - π^{e}) / (1 + π^{e})$ . $□$

$i$	$π^{e}$	$r$ exact	$i - π^{e}$	écart absolu
3 %	2 %	0,980 %	1,000 %	0,020 pt
5 %	2 %	2,941 %	3,000 %	0,059 pt
1,5 %	2,2 %	−0,685 %	−0,700 %	0,015 pt
60 %	50 %	6,667 %	10,000 %	3,333 pt

La troisième ligne est celle de la Sylvanie en 2024: le taux moyen sur la dette publique est de $1, 5 %$ et l'inflation IPC de $2, 2 %$ , donc le taux réel payé par l'État est négatif, environ $- 0, 69 %$ . La quatrième ligne montre pourquoi la forme approchée est inutilisable en régime d'inflation forte: elle annonce un taux réel de $10 %$ là où le prêteur n'obtient que $6, 7 %$ .

L'algèbre du multiplicateur

Résoudre un système à deux équations

Le modèle IS-LM du chapitre 8 est un système linéaire de deux équations à deux inconnues $Y$ et $i$ . Avec $C = C_{0} + c (Y - T)$ , $I = I_{0} - b i$ , $G$ et $N X$ exogènes, et une demande de monnaie $M / P = k Y - h i$ :

IS: (1 - c) Y + b i = A, LM: k Y - h i = \frac{M}{P}, A \equiv C_{0} - c T + I_{0} + G + N X . (B.16)

Le calibrage du cours donne $c = 0, 75$ , $C_{0} = 37, 5$ , $T = 170$ , $I_{0} = 150$ , $b = 10$ , $G = 140$ , $N X = - 20$ , $k = 0, 5$ , $h = 20$ et $M / P = 240$ . La demande autonome vaut $A = 37, 5 - 127, 5 + 150 + 140 - 20 = 180$ , et le système s'écrit $0, 25 Y + 10 i = 180$ et $0, 5 Y - 20 i = 240$ , soit sous forme résolue $Y = 720 - 40 i$ et $Y = 480 + 40 i$ .

Par substitution. $720 - 40 i = 480 + 40 i$ donne $80 i = 240$ , donc $i^{*} = 3$ et $Y^{*} = 600$ . On en déduit $C = 37, 5 + 0, 75 \times 430 = 360$ et $I = 150 - 30 = 120$ : le modèle redonne exactement les comptes nationaux de la Sylvanie. ✔

Par les fractions exactes. Le déterminant du système (B.16) vaut $Δ = - h (1 - c) - bk$ , et la règle de Cramer donne

Y^{*} = \frac{h A + b ( M / P )}{h ( 1 - c ) + b k}, i^{*} = \frac{k A - ( 1 - c ) ( M / P )}{h ( 1 - c ) + b k} . (B.17)

Le dénominateur vaut $20 \times 0, 25 + 10 \times 0, 5 = 10$ ; le numérateur de $Y^{*}$ vaut $3600 + 2400 = 6000$ , celui de $i^{*}$ vaut $90 - 60 = 30$ . On retrouve $Y^{*} = 600$ et $i^{*} = 3$ . Travailler en fractions plutôt qu'en décimales évite les arrondis et, surtout, livre la statique comparative gratuitement.

La somme géométrique des vagues de dépenses

Démonstration. Soit $S_{n} = 1 + c + \dots + c^{n}$ . Alors $c S_{n} = c + c^{2} + \dots + c^{n + 1}$ , donc $S_{n} - c S_{n} = 1 - c^{n + 1}$ et $S_{n} = (1 - c^{n + 1}) / (1 - c)$ . Comme $∣ c ∣ < 1$ , $c^{n + 1} \to 0$ , d'où la limite. $□$

L'interprétation économique est la mécanique même du multiplicateur. Une dépense publique supplémentaire $Δ G$ devient un revenu de $Δ G$ pour ceux qui l'encaissent; ils en consomment la fraction $c$ , ce qui fait une deuxième vague de $c Δ G$ ; celle-ci engendre $c^{2} Δ G$ , et ainsi de suite. La somme de toutes les vagues vaut $Δ G / (1 - c)$ , et la part de l'effet total atteinte après $n$ vagues est $1 - c^{n}$ .

Vagues	1	2	3	4	8	12
Effet réalisé	25,0 %	43,8 %	57,8 %	68,4 %	90,0 %	96,8 %
Cumul avec $Δ G = 10$	10,0	17,5	23,1	27,3	36,0	38,7

Avec $c = 0, 75$ , le multiplicateur simple vaut $k = 1/0, 25 = 4$ , mais il faut huit vagues pour en réaliser $90 %$ : la lenteur des relances n'est pas un défaut d'exécution, c'est la structure même de la série. Et l'on voit pourquoi $k$ explose quand $c \to 1$ : sans fuite, rien n'arrête la chaîne.

Statique comparative

Dériver (B.17) par rapport à un paramètre donne l'effet d'une politique, sans résoudre à nouveau le système:

\frac{\partial Y ^{*}}{\partial G} = \frac{h}{h ( 1 - c ) + bk} = \frac{20}{10} = 2, \frac{\partial Y ^{*}}{\partial ( M / P )} = \frac{b}{h ( 1 - c ) + bk} = 1, \frac{\partial i ^{*}}{\partial G} = \frac{k}{h ( 1 - c ) + bk} = 0, 05. (B.19)

Une relance de $Δ G = + 10$ porte donc $Y$ à $620$ et $i$ à $3, 5$ , d'où $I = 150 - 35 = 115$ : l'investissement recule de 5 et la production n'augmente que de 20 au lieu des 40 qu'annonçait le multiplicateur simple. L'écart, $40 - 20 = 20$ , est exactement $k \times ∣Δ I ∣ = 4 \times 5$ : c'est l'éviction. Notez la forme du dénominateur, $(1 - c) + bk / h$ après division par $h$ : la somme de deux fuites, l'épargne et l'éviction, qui pèsent ici exactement autant l'une que l'autre.

Récurrences linéaires et dynamique de la dette

Point fixe, convergence, solution explicite

Démonstration. Le point fixe vérifie $d^{*} = φ d^{*} + β$ , d'où $d^{*} (1 - φ) = β$ . Posons $e_{t} = d_{t} - d^{*}$ : alors $e_{t} = φ d_{t - 1} + β - (φ d^{*} + β) = φ e_{t - 1}$ , donc $e_{t} = φ^{t} e_{0}$ , ce qui est (B.20). La convergence de $φ^{t}$ vers zéro équivaut à $∣ φ ∣ < 1$ . $□$

La dynamique de la dette publique du chapitre 11 est exactement de cette forme. Avec $d_{t} = D_{t} / Y_{N, t}$ , un taux nominal $i$ sur la dette, une croissance nominale $g$ du PIB et un solde primaire $s_{t}$ rapporté au PIB,

d_{t} = \frac{1 + i}{1 + g} d_{t - 1} - s_{t}, (B.21)

soit $φ = (1 + i) / (1 + g)$ et $β = - s$ . La condition de convergence $∣ φ ∣ < 1$ se lit donc $i < g$ : le taux d'intérêt payé sur la dette doit rester inférieur à la croissance nominale. C'est la condition de soutenabilité, et elle ne dépend pas du solde primaire — celui-ci ne fixe que le niveau vers lequel on converge, $d^{*} = - s / (1 - φ)$ .

Exemple B.7 · La dette de la Sylvanie, année par année

Fin 2023, $D = 240$ et $Y_{N} = 580$ , donc $d_{2023} = 240/580 = 41, 379 %$ . Le taux nominal moyen est $i = 1, 5 %$ , la croissance nominale $g = 600/580 - 1 = 3, 4483 %$ , et le solde primaire 2024 vaut $T - G = + 30$ , soit $s = 30/600 = 5, 0 %$ du PIB. Alors

φ = \frac{1 , 015}{1 , 034483} = 0, 981167, d_{2024} = 0, 981167 \times 0, 413793 - 0, 05 = 0, 3560.

Contrôle par les niveaux: $D_{2024} = 240 \times 1, 015 - 30 = 213, 6$ et $213, 6/600 = 35, 60 %$ . ✔ Les deux voies coïncident au centième de point.

Combien de temps pour effacer la dette? Comme $φ < 1$ , la Sylvanie converge. Avec un solde primaire durablement nul ( $s = 0$ ), la récurrence se réduit à $d_{t} = φ^{t} d_{0}$ et le ratio est divisé par deux en $ln (0, 5) / ln (0, 981167) = 36, 5$ ans — c'est la règle des 70 appliquée à l'envers, le ratio décroissant de $1, 88 %$ par an et $70/1, 88 = 37, 2$ approchant bien la valeur exacte. C'est l'effet boule de neige favorable: la dette fond sans qu'aucun impôt ne soit levé, simplement parce que le dénominateur croît plus vite que le numérateur. Précisons ce que le calcul ne dit pas: le point fixe formel, $- 0, 05/ (1 - 0, 981167) = - 265 %$ du PIB, signifierait que l'État accumule indéfiniment des actifs nets. C'est la limite mathématique d'une règle de politique maintenue pour l'éternité, pas une prévision.

Exemple B.8 · Le cas divergent, ou l'effet boule de neige

Reprenons le pays fictif du chapitre 11: $d_{0} = 100 %$ , $i = 5 %$ , $g = 1 %$ , excédent primaire $s = 1 %$ maintenu chaque année. Alors $φ = 1, 05/1, 01 = 1, 039604 > 1$ et $d^{*} = - 0, 01/ (1 - 1, 039604) = 25, 25 %$ . Comme $d_{0}$ dépasse $d^{*}$ , l'écart $d_{0} - d^{*} = 74, 75$ points est amplifié chaque année par le facteur $1, 0396$ . La formule explicite (B.20) donne directement, sans itérer:

d_{5} = 1, 03960 4^{5} \times 0, 7475 + 0, 2525 = 116, 02 %.

Les valeurs intermédiaires $102, 96$ , $106, 04$ , $109, 24$ et $112, 56$ reproduisent exactement la trajectoire itérée du chapitre 11. ✔ Le solde primaire stabilisant serait $s^{*} = (φ - 1) d_{0} = 3, 96 %$ du PIB, quatre fois l'excédent effectif: c'est l'ordre de grandeur de l'ajustement budgétaire que réclame une crise de dette, et il explique pourquoi ces ajustements sont politiquement explosifs.

Pourcentages, points de pourcentage et points de base

C'est la confusion la plus répandue du cours, et elle survit à l'examen.

Un taux de chômage qui passe de $4 %$ à $5 %$ augmente de 1 point de pourcentage et de 25 pour cent, puisque $5/4 - 1 = 0, 25$ . Les deux énoncés sont vrais, ils ne mesurent pas la même chose, et un titre de presse qui annonce «le chômage bondit de 25 %» est exact mais trompeur. En Sylvanie, où $u = 4, 5 %$ , un passage à $5, 0 %$ est $+ 0, 5$ point et $+ 11, 1 %$ .

Les mêmes pièges se rencontrent partout:

Parts. Si l'investissement passe de $20 %$ à $22 %$ du PIB, c'est $+ 2$ points et $+ 10 %$ .
Taux d'intérêt. Une banque centrale qui porterait son taux directeur de $1, 5 %$ à $2, 0 %$ le relèverait de 50 points de base, soit d'un tiers de sa valeur. Les salles de marché parlent en points de base précisément pour éliminer l'ambiguïté.
Inflation. Une inflation qui tombe de $5 %$ à $3 %$ baisse de 2 points; les prix, eux, continuent de monter. C'est une désinflation, pas une déflation.
Contributions. Une contribution à la croissance s'exprime en points de croissance du PIB, jamais comme le taux de croissance de la composante: en Sylvanie, la consommation croît de $1, 41 %$ et ne contribue que pour $0, 85$ point.

Moyennes, pondérations et contributions à la croissance

Démonstration. $Δ Y = \sum_{i} Δ X_{i}$ puisque la somme est linéaire. En divisant par $Y_{t - 1}$ et en multipliant chaque terme par $X_{i, t - 1} / X_{i, t - 1}$ , on obtient $Δ Y / Y_{t - 1} = \sum_{i} (X_{i, t - 1} / Y_{t - 1}) (Δ X_{i} / X_{i, t - 1}) = \sum_{i} w_{i} g_{i}$ . Aucune approximation n'intervient. $□$

Une contribution est donc le produit d'un poids et d'une croissance: une composante minuscule qui double contribue peu, une composante énorme qui progresse d'un pour cent contribue beaucoup. C'est ce qui rend les commentaires conjoncturels souvent contre-intuitifs.

Exemple B.9 · Les contributions à la croissance de la Sylvanie en 2024

Les comptes du cours donnent les composantes 2024 mais pas celles de 2023. Nous posons, comme hypothèse propre à cette annexe et compatible avec les totaux publiés, les valeurs réelles suivantes aux prix de 2024 (milliards UM): $C = 355$ , $I = 116$ , $G = 138, 6$ , $X = 273$ , $M = 292$ . Leur somme algébrique vaut $355 + 116 + 138, 6 + 273 - 292 = 590, 6$ , le PIB réel de 2023. ✔

Poste	2023	2024	Poids 2023	Croissance	Contribution
Consommation	355,0	360,0	60,11 %	+1,41 %	+0,85 pt
Investissement	116,0	120,0	19,64 %	+3,45 %	+0,68 pt
Dépenses publiques	138,6	140,0	23,47 %	+1,01 %	+0,24 pt
Exportations	273,0	280,0	46,22 %	+2,56 %	+1,19 pt
Importations	292,0	300,0	−49,44 %	+2,74 %	−1,35 pt
PIB	590,6	600,0	100 %	+1,59 %	+1,59 pt

Contrôle d'addition: $0, 8466 + 0, 6773 + 0, 2370 + 1, 1852 - 1, 3546 = 1, 5916$ point, exactement $600/590, 6 - 1$ . ✔

Trois lectures. D'abord, les importations entrent avec un poids négatif: leur croissance retranche de la croissance du PIB, non parce qu'elles appauvrissent le pays, mais parce qu'elles sont soustraites dans l'identité comptable. Ensuite, le commerce extérieur contribue au net pour $1, 19 - 1, 35 = - 0, 17$ point: le solde extérieur se dégrade, passant de $- 19$ à $- 20$ milliards. Enfin, l'investissement croît deux fois et demie plus vite que la consommation ( $+ 3, 45 %$ contre $+ 1, 41 %$ ) mais contribue moins ( $0, 68$ contre $0, 85$ point), parce qu'il pèse trois fois moins lourd. Poids et croissance sont deux informations distinctes: ne commentez jamais l'une sans l'autre.

Désaisonnalisation et lissage

Une série trimestrielle brute mélange trois composantes: une tendance, un profil saisonnier qui se répète chaque année, et un irrégulier. Sans correction, le quatrième trimestre paraîtrait toujours excellent et le premier toujours mauvais, et l'on daterait des récessions imaginaires quatre fois par an.

Deux réponses existent. La première, gratuite, consiste à comparer un trimestre au même trimestre de l'année précédente: le profil saisonnier s'élimine par différence, mais on perd en réactivité, puisque le chiffre mélange quatre trimestres d'histoire. La seconde consiste à estimer et retirer le profil saisonnier.

Le principe de l'estimation est la moyenne mobile. Pour une série trimestrielle, on utilise la moyenne mobile centrée d'ordre 4, dont les poids extrêmes valent un demi pour que la fenêtre soit symétrique et couvre exactement quatre trimestres:

\overline{x}_{t} = \frac{\frac{1}{2} x _{t - 2} + x _{t - 1} + x _{t} + x _{t + 1} + \frac{1}{2} x _{t + 2}}{4} . (B.23)

Comme un profil saisonnier de somme nulle sur quatre trimestres consécutifs disparaît de cette moyenne, $\overline{x}_{t}$ estime la tendance. Les coefficients saisonniers s'obtiennent ensuite en moyennant les résidus $x_{t} - \overline{x}_{t}$ par trimestre, et la série corrigée des variations saisonnières est $x_{t}$ diminué du coefficient de son trimestre.

Pour vérifier vos acquis

Exercice

Sous-économie à deux biens. Année 0: $100$ tonnes de blé à $3, 00$ UM et $20$ tablettes à $10, 00$ UM. Année 1: $104$ tonnes à $3, 30$ UM et $22$ tablettes à $9, 50$ UM. Calculez l'indice de prix de Paasche de l'année 1, base 100 en année 0, à deux décimales.

Exercice

Un projet exige $240000$ CHF aujourd'hui et rapporte $90000$ CHF par an pendant trois ans. Calculez sa valeur actuelle nette au taux de $6 %$ , arrondie au franc.

Exercice

Un pays entre dans une crise avec une dette de $80 %$ du PIB, un taux d'intérêt nominal moyen de $4 %$ , une croissance nominale de $1 %$ et un solde primaire nul. Quel sera le ratio d'endettement au bout de cinq ans, en pourcent du PIB, à un dixième de point près?

Exercice

Le taux de chômage d'un canton passe de $4, 0 %$ à $5, 0 %$ . Parmi les formulations suivantes, lesquelles sont exactes?

Plusieurs réponses possibles

Exercice

Ordonnez les étapes qui permettent de comparer correctement deux salaires observés à deux dates différentes.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Multiplier chaque salaire nominal par le rapport de l'indice de l'année de référence à l'indice de son année d'observation

Contrôler le résultat par la relation entre taux:

(1 + g_{w}) / (1 + π) - 1

Choisir l'année de référence aux prix de laquelle les deux salaires seront exprimés

Repérer l'indice des prix correspondant à chacune des deux dates, et vérifier qu'ils partagent la même base

Comparer les deux montants réels obtenus et en tirer la variation de pouvoir d'achat

Références

K. Sydsæter, P. Hammond et A. Strøm, Mathématiques pour l'économie, Pearson. Manuel de première année dans plusieurs hautes écoles suisses: suites géométriques, logarithmes, systèmes linéaires et récurrences y sont traités avec des exercices corrigés.
A. C. Chiang et K. Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill. Les chapitres sur les équations aux différences du premier ordre et la statique comparative prolongent directement les sections sur le multiplicateur et sur la dette.
O. Blanchard, A. Amighini et F. Giavazzi, Macroéconomie, Pearson. Les appendices mathématiques y rassemblent taux de croissance, logarithmes et actualisation dans les notations mêmes de ce cours.
Nations unies et al., Système de comptabilité nationale 2008 (SCN 2008), et sa déclinaison européenne SEC 2010. Chapitres sur les mesures de volume et de prix: définitions officielles de Laspeyres, Paasche, Fisher et du chaînage.
Organisation internationale du travail et al., Manuel de l'indice des prix à la consommation: théorie et pratique. Référence méthodologique sur la construction des indices, les biais de substitution et le traitement de la qualité.
Office fédéral de la statistique, documentation méthodologique de l'Indice des prix à la consommation et des Comptes nationaux (Neuchâtel): base, chaînage, révisions et désaisonnalisation des séries suisses.