Formulaire · Analyse III

Ce formulaire rassemble les formules du cours, dans l'ordre des chapitres, avec pour chacune ses hypothèses et le chapitre qui la démontre. Lecture des numéros: «(5.1)» désigne une équation numérotée, «théorème 5.1» un théorème; dans un même chapitre, les deux séries sont distinctes.

Trois conventions commandent tout le reste et ne varient jamais: la colatitude $φ$ en coordonnées sphériques, le terme constant $a_{0} /2$ des séries de Fourier, et la transformée $\hat{f} (ξ) = \int f (x) e^{- i ξ x} d x$ .

Notations et symboles réutilisés

Objet	Notation du cours
Champ de vecteurs	$F = (P, Q)$ ou $(P, Q, R)$ , en gras
Rotationnel plan	$rot F = Q_{x} - P_{y}$ (un scalaire)

Symboles qui changent de sens d'un chapitre à l'autre

Le cours garde les notations usuelles de chaque domaine plutôt que de les uniformiser; plusieurs lettres servent donc deux fois ou plus. Ces réutilisations ne sont pas toutes signalées dans les chapitres: les voici.

$F$ , $G$ , $H$ en gras: les trois champs témoins (chapitres 1 à 3), mais aussi des champs génériques ( $G = u \nabla w$ à l'exercice 5.5, $G = (x, y, z^{2})$ à l'exercice 4.4). , en maigre: la fonction de niveau (chapitre 4), la force (chapitre 6), les deux ondes progressives et le prolongement impair (chapitre 10), le noyau de Fejér (chapitre 7), (démonstration du théorème 8.2), le noyau de la chaleur (chapitres 8 et 9). À l'exercice 4.5, , , sont les coefficients de la , , , , sans rapport avec les champs. désigne aussi l'hémisphère (problème guidé du chapitre 4) et la hessienne.

Les opérateurs différentiels

En coordonnées cartésiennes (chapitre 1)

\nabla f = (f_{x}, f_{y}, f_{z}), div F = P_{x} + Q_{y} + R_{z}

rot F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y})

Δ f = f_{xx} + f_{y y} + f_{z z}

Dans le plan, $div F = P_{x} + Q_{y}$ et $rot F = Q_{x} - P_{y}$ . La divergence est la trace de la jacobienne; le rotationnel en lit la partie antisymétrique, et si et seulement si la jacobienne est symétrique.

Lectures intrinsèques. La divergence est un flux sortant par unité de volume, le rotationnel une circulation par unité d'aire, le laplacien un écart à la moyenne (théorèmes 1.1, 1.2, 1.4, 3.5, 5.2 et (5.11)):

div F (p) = ε \to 0 lim \frac{1}{vol ( B _{ε} )} \iint_{S_{ε}} F \cdot n d S

(rot F) (p) \cdot u = ε \to 0 lim \frac{1}{π ε ^{2}} \oint_{C_{ε}} F \cdot d r

m (r) = f (a) + \frac{r ^{2}}{4} Δ f (a) + o (r^{2})

avec $C_{ε}$ le cercle perpendiculaire à $u$ orienté par la règle de la main droite, et $m (r)$ la moyenne de $f$ sur le cercle de rayon $r$ du plan (théorème 1.4). Une petite roue à aubes tourne à $\frac{1}{2} rot F$ (théorème 1.3).

Coordonnées orthogonales: la méthode

Soit $(q_{1}, q_{2}, q_{3})$ un système de coordonnées dont la base locale $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est orthonormée et directe, et . Les sont les : est la longueur parcourue quand seule varie.

Système	$(q_{1}, q_{2}, q_{3})$	$(h_{1}, h_{2}, h_{3})$

Les quatre opérateurs s'en déduisent; c'est la démonstration que le chapitre 1 renvoie à cette annexe (théorème 1.8).

Gradient. $d f = \nabla f \cdot d r$ pour tout déplacement; en prenant $d r = h_{i} d q_{i} e_{i}$ , on trouve (règle de la chaîne).

\nabla f = i \sum \frac{1}{h _{i}} \frac{\partial f}{\partial q _{i}} e_{i} div F = \frac{1}{h _{1} h _{2} h _{3}} (\partial_{q_{1}} (h_{2} h_{3} F_{1}) + \partial_{q_{2}} (h_{3} h_{1} F_{2}) + \partial_{q_{3}} (h_{1} h_{2} F_{3}))

(rot F)_{1} = \frac{1}{h _{2} h _{3}} (\partial_{q_{2}} (h_{3} F_{3}) - \partial_{q_{3}} (h_{2} F_{2})) (et permutations) Δ f = \frac{1}{h _{1} h _{2} h _{3}} i \sum \partial_{q_{i}} (\frac{h _{1} h _{2} h _{3}}{h _{i}^{2}} \partial_{q_{i}} f)

Contrôle numérique. Toutes les formules ci-dessous ont été comparées, par différences finies centrées, aux opérateurs cartésiens appliqués au potentiel $f = e^{0, 3 x} sin (y + 0, 7 z) + x^{2} y z^{3} + 0, 2 y z$ et au champ , qui n'ont aucune symétrie, au point et au point : les écarts sont tous inférieurs à .

Coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$

$x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ ; $e_{r} = (cos θ, sin θ, 0)$ , , ; . Valables pour .

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} e_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} e_{θ} + \frac{\partial f}{\partial z} e_{z}

div F = \frac{1}{r} \frac{\partial ( r F _{r} )}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial F _{θ}}{\partial θ} + \frac{\partial F _{z}}{\partial z}

(rot F)_{r} = \frac{1}{r} \frac{\partial F _{z}}{\partial θ} - \frac{\partial F _{θ}}{\partial z}, (rot F)_{θ} = \frac{\partial F _{r}}{\partial z} - \frac{\partial F _{z}}{\partial r} (rot F)_{z} = \frac{1}{r} (\frac{\partial ( r F _{θ} )}{\partial r} - \frac{\partial F _{r}}{\partial θ})

Δ f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ^{2} f}{\partial θ ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial z ^{2}}

Sans $z$ , ce sont les coordonnées polaires du plan: $Δ u = u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r} + \frac{1}{r ^{2}} u_{θ θ}$ (chapitre 10).

Coordonnées sphériques $(ρ, φ, θ)$ , $φ$ colatitude

$x = ρ sin φ cos θ$ , $y = ρ sin φ sin θ$ , $z = ρ cos φ$ (convention d'Analyse II, chapitre 10). Base directe $e_{ρ} \times e_{φ} = e_{θ}$ :

e_{ρ} = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ) e_{φ} = (cos φ cos θ, cos φ sin θ, - sin φ) e_{θ} = (- sin θ, cos θ, 0)

Valables pour $ρ > 0$ et $sin φ \neq = 0$ .

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial ρ} e_{ρ} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial f}{\partial φ} e_{φ} + \frac{1}{ρ sin φ} \frac{\partial f}{\partial θ} e_{θ}

div F = \frac{1}{ρ ^{2}} \frac{\partial ( ρ ^{2} F _{ρ} )}{\partial ρ} + \frac{1}{ρ sin φ} \frac{\partial ( sin φ F _{φ} )}{\partial φ} + \frac{1}{ρ sin φ} \frac{\partial F _{θ}}{\partial θ}

(rot F)_{ρ} = \frac{1}{ρ sin φ} (\frac{\partial ( sin φ F _{θ} )}{\partial φ} - \frac{\partial F _{φ}}{\partial θ}) (rot F)_{φ} = \frac{1}{ρ} (\frac{1}{sin φ} \frac{\partial F _{ρ}}{\partial θ} - \frac{\partial ( ρ F _{θ} )}{\partial ρ}) (rot F)_{θ} = \frac{1}{ρ} (\frac{\partial ( ρ F _{φ} )}{\partial ρ} - \frac{\partial F _{ρ}}{\partial φ})

Δ f = \frac{1}{ρ ^{2}} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ^{2} \frac{\partial f}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ ^{2} sin φ} \frac{\partial}{\partial φ} (sin φ \frac{\partial f}{\partial φ}) + \frac{1}{ρ ^{2} sin ^{2} φ} \frac{\partial ^{2} f}{\partial θ ^{2}}

Cas radiaux (exemple 1.4, exercice 1.4): $div (ρ^{m} e_{ρ}) = (m + 2) ρ^{m - 1}$ , nul pour $m = - 2$ (loi en inverse du carré); $Δ (ρ^{n}) = n (n + 1) ρ^{n - 2}$ ; les fonctions harmoniques radiales sont dans l'espace et dans le plan. Le champ a pour divergence : .

Question B.1

En coordonnées sphériques $(ρ, φ, θ)$ , avec $φ$ la colatitude et $θ$ la longitude, quel facteur multiplie $\partial f / \partial θ$ dans la composante $e_{θ}$ du gradient?

Identités vectorielles

Deux compositions nulles (théorèmes 1.5 et 1.6, pour $f$ , $F$ de classe $C^{2}$ ; la démonstration repose sur le théorème de Schwarz):

rot (\nabla f) = 0, div (rot F) = 0, div (\nabla f) = Δ f

Règles de produit (théorème 1.7; règles 3 et 4 à l'exercice 1.5), pour des champs de classe $C^{1}$ :

\nabla (f g) = f \nabla g + g \nabla f div (f F) = f div F + \nabla f \cdot F rot (f F) = f rot F + \nabla f \times F div (F \times G) = G \cdot rot F - F \cdot rot G

Δ (f g) = f Δ g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g Δ f (1.17)

Identités du second ordre (cartésiennes; vérifiées ici par différences finies sur des champs quelconques, écarts inférieurs à $4 \cdot 1 0^{- 7}$ ). $Δ F$ désigne le laplacien de chaque composante cartésienne, et $(F \cdot \nabla) = P \partial_{x} + Q \partial_{y} + R \partial_{z}$ :

rot (rot F) = \nabla (div F) - Δ F

\nabla (F \cdot G) = (F \cdot \nabla) G + (G \cdot \nabla) F + F \times rot G + G \times rot F

rot (F \times G) = F div G - G div F + (G \cdot \nabla) F - (F \cdot \nabla) G

(F \cdot \nabla) F = \nabla (\frac{1}{2} ∥ F ∥^{2}) - F \times rot F

Conséquences utiles: $div (\nabla f \times \nabla g) = 0$ ; $div r = 3$ , $rot r = 0$ ; $div (ρ^{n} r) = (n + 3) ρ^{n}$ (1.18); pour une rotation rigide , et (exercice 1.3).

Courbes, surfaces et intégrales (chapitres 2 et 4)

Objet	Formule	Dépend de l'orientation?
longueur	$L = \int_{a}^{b} ∥ γ^{'} ∥ d t$	non
intégrale scalaire	$\int_{γ} f d s = \int_{a}^{b} f (γ) ∥ γ^{'} ∥ d t$

Invariance par reparamétrage: théorèmes 2.1, 2.2 (courbes) et 4.2, 4.4 (surfaces); le signe est celui de $φ^{'}$ , respectivement de $det J_{Φ}$ , via $\tilde{σ}_{s} \times \tilde{σ}_{t} = det J_{Φ} (σ_{u} \times σ_{v})$ (4.13). Le flux (4.19) suppose que l'orientation; sinon, signe moins. On vérifie le sens de avant tout calcul.

Vecteurs normaux usuels (dans l'ordre des paramètres indiqué):

Surface	Paramètres	$σ_{u} \times σ_{v}$	Sens
graphe $z = g$	$(x, y)$	$(- g_{x}, - g_{y}, 1)$

Normes: $1 + g_{x}^{2} + g_{y}^{2}$ , , , , . Première forme fondamentale: (exercice 4.5). Pour un graphe orienté vers le haut, flux (4.20). La bande de Möbius n'est pas orientable: le flux à travers elle n'est pas défini (théorème 4.3).

Les quatre théorèmes intégraux

1. Théorème du gradient (théorème 2.3). $U$ ouvert, $f \in C^{1} (U)$ , $γ$ de classe $C^{1}$ par morceaux dans $U$ , de $A$ vers $B$ :

\int_{γ} \nabla f \cdot d r = f (B) - f (A)

Orientation: le point d'arrivée compte $+$ , le point de départ $-$ . Sur tout chemin fermé, la circulation d'un gradient est nulle.

2. Théorème de Green (théorème 3.1; démontré sur un domaine de type I et II au théorème 3.2, étendu par découpage au théorème 3.3; cas général admis). $D$ domaine régulier du plan, $P, Q$ de classe $C^{1}$ sur un ouvert contenant tout $D$ :

\oint_{\partial D} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y

Orientation positive: le domaine à gauche; sens trigonométrique pour le bord extérieur, sens horaire pour chaque trou. Normale sortante $n = (T_{2}, - T_{1})$ (3.1), d'où la forme flux (théorème 3.4), qui est la divergence en dimension deux:

\oint_{\partial D} F \cdot n d s = \oint_{\partial D} P d y - Q d x = \iint_{D} div F d x d y

Trous parcourus dans le sens trigonométrique (3.4): $\iint_{D} rot F = \oint_{C} - \sum_{k} \oint_{C_{k}^{'}}$ . (théorème 3.6) et (théorème 3.7), sommets dans le sens trigonométrique:

aire (D) = \oint_{\partial D} x d y = - \oint_{\partial D} y d x = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} (x d y - y d x)

aire = \frac{1}{2} k = 1 \sum N (x_{k} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k}), aire = \frac{1}{2} \int r (θ)^{2} d θ

Moments: $\iint_{D} x = \frac{1}{2} \oint x^{2} d y$ , $\iint_{D} y = - \frac{1}{2} \oint y^{2} d x$ (3.8).

3. Théorème de la divergence (Gauss–Ostrogradski, théorème 5.1; démontré sur un pavé et sur un solide élémentaire, cas général admis). $V$ solide borné, $\partial V$ surface fermée $C^{1}$ par morceaux, $F$ de classe $C^{1}$ sur un ouvert contenant tout $V$ :

\iint_{\partial V} F \cdot n d S = ∭_{V} div F d V

Orientation: normale sortante; sur le fond d'un solide posé sur $z = 0$ , $n = - e_{z}$ ; sur le bord d'un trou, $n$ pointe dans le trou. Pour une surface ouverte: la refermer, puis retrancher le flux du couvercle.

4. Théorème de Stokes (théorème 5.4; démontré pour une surface graphe en le ramenant à Green). $Σ$ orientable, orientée par $n$ , $F$ de classe $C^{1}$ sur un ouvert contenant $Σ$ :

\oint_{\partial Σ} F \cdot d r = \iint_{Σ} (rot F) \cdot n d S

Orientation: règle de la main droite (pouce selon $n$ , les doigts dans le sens du bord; en marchant sur le bord, tête du côté de $n$ , la surface est à gauche). Deux surfaces de même bord orienté ont le même flux de $rot F$ , et ce flux est nul à travers une surface fermée (théorème 5.5).

Théorème	Objet	Bord orienté	Dérivée
gradient	courbe de $A$ à $B$	$B$ en $+$ , $A$ en $-$	$\nabla$
Green	domaine plan	domaine à gauche	$rot$ scalaire
Stokes	surface orientée	main droite	$rot$
divergence	solide	normale sortante	$div$

Identités de Green (exercices 3.5 et 5.5; $u, w \in C^{2}$ , $\partial_{n} w = \nabla w \cdot n$ , normale sortante):

\iint_{\partial V} u \partial_{n} w d S = ∭_{V} (u Δ w + \nabla u \cdot \nabla w) d V

\iint_{\partial V} (u \partial_{n} w - w \partial_{n} u) d S = ∭_{V} (u Δ w - w Δ u) d V

Avec $u = w$ , elles donnent l'unicité pour le problème de Dirichlet (méthode de l'énergie).

Lois physiques (chapitre 5): équation de continuité $\partial_{t} ρ + div (ρ v) = 0$ (5.5); loi de Gauss $\iint E \cdot n d S = Q_{int} / ε_{0}$ , (théorème 5.3, (5.8)); loi d'Ampère (5.13); chaleur avec (9.3)–(9.4).

Champs conservatifs (chapitre 2)

Sur un domaine $U$ (ouvert connexe par arcs), pour $F$ continu, les trois propriétés suivantes sont équivalentes (théorème 2.5): $F = \nabla f$ ; travail indépendant du chemin; circulation nulle sur tout chemin fermé. Le potentiel est unique à une constante près (théorème 2.6) et vaut $f (x) = \int_{γ_{x}} F \cdot d r$ .

$rot F = 0$ est nécessaire (théorème 2.7).
Sur un ouvert étoilé, il est suffisant, et le potentiel est donné par le lemme de Poincaré (théorème 2.8, démontré).
Sur un domaine simplement connexe, il est suffisant (théorème 2.9: le sens réciproque est admis dans cette généralité; dans le plan, pour les courbes fermées simples, il suit de Green).
Sur un domaine troué, il ne suffit pas: $H = (- y, x) / (x^{2} + y^{2})$ a $rot H = 0$ sur le plan épointé et sur tout cercle entourant l'origine dans le sens trigonométrique (théorème 3.8: si la courbe n'entoure pas l'origine).

f (x) = \int_{0}^{1} F (a + t (x - a)) \cdot (x - a) d t (2.10)

Les trois champs du cours résument la leçon: $F = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2})$ , conservatif, potentiel $x^{2} y + y^{3}$ ; , lisse , non conservatif parce que ; , rotationnel nul mais domaine troué.

Séries de Fourier (chapitres 6 et 7)

Définitions

Pour $f$ $2 π$ -périodique, intégrable sur une période (définition du chapitre 6; formules démontrées pour les polynômes trigonométriques au théorème 6.3, à partir des relations d'orthogonalité du théorème 6.2):

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos (n x) d x (n \geq 0), b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin (n x) d x

f (x) \sim \frac{a _{0}}{2} + n \geq 1 \sum (a_{n} cos (n x) + b_{n} sin (n x))

Le terme constant est $a_{0} /2$ , valeur moyenne de $f$ : la même formule vaut pour tous les $a_{n}$ , $n = 0$ compris. Un ouvrage qui note $a_{0}$ la moyenne change toutes les formules où apparaît, Parseval en premier.

\int_{- π}^{π} cos m x cos n x d x = π δ_{mn} (m, n \geq 1) \int_{- π}^{π} sin m x sin n x d x = π δ_{mn}, \int_{- π}^{π} cos m x sin n x d x = 0

et $\int_{- π}^{π} 1 = 2 π$ . Forme complexe (théorème 6.4):

c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- i n x} d x, f \sim n \in Z \sum c_{n} e^{i n x}

c_{0} = \frac{a _{0}}{2}, c_{\pm n} = \frac{a _{n} \mp i b _{n}}{2}, a_{n} = c_{n} + c_{- n}, b_{n} = i (c_{n} - c_{- n})

Pour $f$ réelle, $c_{- n} = \overline{c_{n}}$ et l'amplitude de l'harmonique $n$ vaut $A_{n} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = 2 ∣ c_{n} ∣$ .

Période $2 L$ (6.6): remplacer $x$ par $π y / L$ et $\frac{1}{π}$ par $\frac{1}{L}$ :

a_{n} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} g (y) cos \frac{nπ y}{L} d y, b_{n} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} g (y) sin \frac{nπ y}{L} d y

Parité (théorème 6.5): $f$ paire $\Rightarrow$ $b_{n} = 0$ et $a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f cos n x$ ; impaire et . sur : développement en sinus (prolongement impair, adapté à Dirichlet, (6.11)) ou en cosinus (prolongement pair, adapté à Neumann, (6.12)):

b_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x, a_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) cos \frac{nπ x}{L} d x

Dérivée et translation (exercice 6.5, théorème 7.4): si $f$ est continue et $C^{1}$ par morceaux, $c_{n} (f^{'}) = i n c_{n} (f)$ , soit et ; . Un saut en ajoute un terme en (7.6).

Convergence

Noyau de Dirichlet (théorème 7.1): $S_{N} f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x - t) D_{N} (t) d t$ avec , de moyenne ; la constante de Lebesgue croît comme .

Gibbs pour la série témoin $f (x) = x$ (saut $2 π$ en $π$ ), maximum exact en $x^{*} = N π / (N + 1)$ (7.4):

$N$	10	50	200	limite
$S_{N} (x^{*}) - π$	$0, 272353$	$0, 500480$	$0, 546639$

Pour l'onde carrée $signe (x)$ et $N$ impair, le maximum est en $π / (N + 1)$ et tend vers $\frac{2}{π} Si (π) = 1, 178980$ par valeurs supérieures. Ces maxima se (ou se localisent par la dérivée): une grille de points donne pour , valeur fausse.

Bessel et Parseval

Avec $⟨ f, g ⟩ = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f \overset{g}{ˉ}$ , est la de sur les polynômes trigonométriques de degré , donc la meilleure approximation en moyenne quadratique (théorème 7.5).

Bessel: \frac{a _{0}^{2}}{2} + n \geq 1 \sum (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) \leq \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x)^{2} d x

Parseval: \frac{a _{0}^{2}}{2} + n \geq 1 \sum (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x)^{2} d x

n \in Z \sum ∣ c_{n} ∣^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} ∣ f (x) ∣^{2} d x

Bessel est démontré pour $f$ continue par morceaux (théorème 7.5), Parseval pour un polynôme trigonométrique (théorème 7.7); Parseval pour $f$ continue par morceaux (théorème 7.8) est esquissé, avec un lemme d'approximation admis. Il équivaut à $∥ f - S_{N} f ∥ \to 0$ , un mode de convergence indépendant de la convergence ponctuelle. En signal de période $T$ (7.9): puissance moyenne $= (a_{0} /2)^{2} + \sum (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) /2$ , chaque harmonique portant le carré de sa valeur efficace. Pour une fonction sur développée en sinus: .

Question B.2

On admet $x^{2} \sim \frac{π ^{2}}{3} + 4 \sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} cos (n x)$ sur $[- π, π]$ . En appliquant l'identité de Parseval avec la convention $a_{0} /2$ du cours, calculez $\sum_{n \geq 1} 1/ n^{4}$ .

Séries de Fourier usuelles

Toutes sur $] - π, π [$ (ou $[- π, π]$ pour les fonctions continues), prolongées par $2 π$ -périodicité; chaque coefficient a été recalculé par quadrature de Simpson, écart inférieur à $3 \cdot 1 0^{- 11}$ pour $n \leq 5$ .

Dents de scie (série témoin, exemple 6.1), saut $2 π$ en $\pm π$ :

x \sim 2 n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin (n x) = 2 (sin x - \frac{sin 2 x}{2} + \frac{sin 3 x}{3} - \dots)

Onde carrée (exemple 6.2), $signe (x)$ ; et l'indicatrice de $] 0, π [$ (exercice 6.2), qui vaut $(1 + signe) /2$ :

signe (x) \sim \frac{4}{π} k \geq 0 \sum \frac{sin ( ( 2 k + 1 ) x )}{2 k + 1}, 1_{] 0, π [} \sim \frac{1}{2} + \frac{2}{π} k \geq 0 \sum \frac{sin ( ( 2 k + 1 ) x )}{2 k + 1}

Onde triangulaire (6.10), continue, points anguleux:

∣ x ∣ \sim \frac{π}{2} - \frac{4}{π} k \geq 0 \sum \frac{cos ( ( 2 k + 1 ) x )}{( 2 k + 1 ) ^{2}}

Sinus redressé (exemple 6.3, exercice 7.3), de période $π$ :

∣ sin x ∣ \sim \frac{2}{π} - \frac{4}{π} m \geq 1 \sum \frac{cos ( 2 m x )}{4 m ^{2} - 1}

Parabole (problème guidé du chapitre 6, exercice 7.1), et cubique (figure 7.3):

x^{2} \sim \frac{π ^{2}}{3} + 4 n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} cos (n x), x (π^{2} - x^{2}) \sim 12 n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{3}} sin (n x)

Exponentielle (exercice 6.3), avec $sinh π / π = 3, 676078$ :

e^{x} \sim \frac{sinh π}{π} (1 + 2 n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{1 + n ^{2}} (cos (n x) - n sin (n x)))

Sur $[0, π]$ en sinus (chapitres 9 et 10): le profil témoin et la corde pincée en $a$ à la hauteur $h$ sur $[0, L]$ :

x (π - x) \sim \frac{8}{π} k \geq 0 \sum \frac{sin ( ( 2 k + 1 ) x )}{( 2 k + 1 ) ^{3}}, α_{n} = \frac{2 h L ^{2} sin ( nπ a / L )}{π ^{2} n ^{2} a ( L - a )}

Fonction	Régularité du prolongement	Décroissance	$\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f^{2}$
$x$

Sommes numériques qui en découlent

Par Parseval (P) ou Dirichlet (D) sur les séries ci-dessus:

n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6} = 1, 6449340668 (P sur x; D sur x^{2} en π) k \geq 0 \sum \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8} = 1, 2337005501 (P sur signe; D sur ∣ x ∣ en 0)

n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{12}, k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 k + 1} = \frac{π}{4} (D) n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{4}} = \frac{π ^{4}}{90}, k \geq 0 \sum \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{4}} = \frac{π ^{4}}{96}, n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{6}} = \frac{π ^{6}}{945}

k \geq 1 \sum \frac{1}{4 k ^{2} - 1} = \frac{1}{2}, k \geq 1 \sum \frac{1}{( 4 k ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2} - 8}{16}, 1 - \frac{1}{3 ^{3}} + \frac{1}{5 ^{3}} - \dots = \frac{π ^{3}}{32}

Transformée de Fourier (chapitre 8)

Convention et conversions

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i ξ x} d x, f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{i ξ x} d ξ

pour $f$ intégrable; $\hat{f}$ est bornée par $∥ f ∥_{1}$ , continue, tend vers $0$ à l'infini (théorème 8.1), et $\hat{f} (0) = \int f$ .

Convention	$\hat{f}$	Inverse	Plancherel
A (cours)	$\int f e^{- i ξ x} d x$	$\frac{1}{2 π} \int \hat{f} e^{i ξ x} d ξ$

\hat{f}_{B} (ξ) = \frac{1}{2 π} \hat{f} (ξ), \hat{f}_{C} (ν) = \hat{f} (2 π ν), ξ = 2 π ν (8.4)

Ce qui change avec la convention: $f g = \frac{1}{2 π} \hat{f} * \overset{g}{^}$ en A, en B, en C; en A et C, en B; la dualité en A devient en B et C; l'incertitude garde sa forme en A et B et devient en C. : a pour transformée (A), (B), (C).

Propriétés (convention A)

Opération	Fonction	Transformée	Source
translation	$f (x - a)$	$e^{- i a ξ} \hat{f} (ξ)$	th. 8.3
modulation	$e^{i a x} f (x)$

Hypothèses: $f, g$ intégrables (l'une bornée pour la convolution); pour la dérivée, $f, \dots, f^{(k)}$ intégrables et $f \in C^{k}$ . Convolution: $(f * g) (x) = \int f (y) g (x - y) d y$ (8.11).

Paires usuelles (convention A)

Chaque paire a été contrôlée par quadrature de (8.3) en $ξ = 0, 5$ , $1, 3$ et $2$ (écart inférieur à $1 0^{- 11}$ , sauf $8 \cdot 1 0^{- 7}$ pour la lorentzienne, dont la queue est lente).

$f (x)$	$\hat{f} (ξ)$	Source
$1_{[- a, a]}$	$2 sin (a ξ) / ξ$	ex. 8.1

Inversion (théorème 8.6, esquisse): pour $f$ intégrable et $C^{1}$ par morceaux, $lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π} \int_{- R}^{R} \hat{f} (ξ) e^{i ξ x} d ξ = \frac{1}{2} (f (x^{+}) + f (x^{-}))$ ; intégrale absolue si est intégrable. Conséquence: (limite symétrique).

Plancherel (théorème 8.7): $\int ∣ f ∣^{2} = \frac{1}{2 π} \int ∣ \hat{f} ∣^{2}$ . Sur la porte témoin: et ; d'où et (exercice 8.3).

Incertitude (théorème 8.8), avec les largeurs (8.18) et $Δ ξ^{2} = \int ∣ f^{'} ∣^{2} / \int ∣ f ∣^{2}$ (8.19):

Δ x Δ ξ \geq \frac{1}{2}

avec égalité pour les gaussiennes seules; $e^{- ∣ x ∣ / s}$ donne $1/ 2$ , la porte $Δ ξ = \infty$ . Mise en garde: une fonction intégrable discontinue n'a jamais de transformée intégrable ( $\int_{0}^{N π} ∣ sin ξ / ξ ∣$ croît comme ).

Question B.3

Avec la convention du cours, $\hat{f} (ξ) = \int f (x) e^{- i ξ x} d x$ , que vaut la transformée de $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ au point $ξ = 2$ ?

Équations aux dérivées partielles (chapitres 9 et 10)

Équation de la chaleur

u_{t} = α Δ u + \frac{f}{ρ c}, α = \frac{k}{ρ c} [m^{2} /s] (9.5)

obtenue par le bilan (9.1), le théorème de la divergence et la loi de Fourier $q = - k \nabla u$ . Sur une barre $[0, L]$ , le changement $\tilde{x} = π x / L$ , $\tilde{t} = t / τ_{1}$ avec (9.7) ramène tout à sur . Une condition initiale; une condition par extrémité: Dirichlet (température imposée), Neumann ( imposé, pour un bout isolé).

Séparation des variables (étapes du chapitre 9): $u = X (x) T (t)$ , $X^{''} = - λ X$ , $T^{'} = - λ T$ . Valeurs propres sur $[0, π]$ (théorème 9.2):

Conditions	$λ_{n}$	$X_{n}$	Série de $g$
Dirichlet $X (0) = X (π) = 0$

u (x, t) = n \geq 1 \sum b_{n} e^{- n^{2} t} sin (n x), b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} g (x) sin (n x) d x (9.12) - (9.13)

Sur $[0, L]$ avec diffusivité $α$ : modes $sin (nπ x / L) e^{- α n^{2} π^{2} t / L^{2}}$ . Existence pour $g$ continue, par morceaux, (théorème 9.3, esquisse; dérivation terme à terme admise); est dès .

Unicité par l'énergie (théorème 9.4): $E (t) = \int_{0}^{π} w^{2}$ vérifie $E^{'} = - 2 \int_{0}^{π} w_{x}^{2} \leq 0$ ; de plus (exercice 9.5, inégalité de Wirtinger).

u (x, t) = (G_{t} * g) (x) = \frac{1}{4 π t} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x - y)^{2} / (4 t)} g (y) d y

En unités physiques, $G_{t} (x) = (4 π α t)^{- 1/2} e^{- x^{2} / (4 α t)}$ : longueur de diffusion $4 α t$ , vitesse de propagation infinie.

Problème témoin ( $u_{t} = u_{xx}$ sur $] 0, π [$ , bords à $0$ , $u (x, 0) = x (π - x)$ ): pour impair, , , .

$t$	$0, 1$	$0, 5$	$1$	$2$
$u (π /2, t)$	$2, 267422$	$1, 543470$	$0, 936786$

Équation des ondes

u_{tt} = c^{2} u_{xx}, c = T / μ (10.1)

Deux conditions initiales, $u (x, 0) = f (x)$ et $u_{t} (x, 0) = g (x)$ . Formule de d'Alembert (théorème 10.1, démontrée; $f \in C^{2}$ , ):

u (x, t) = \frac{f ( x - c t ) + f ( x + c t )}{2} + \frac{1}{2 c} \int_{x - c t}^{x + c t} g (s) d s (10.3)

Toute solution s'écrit $F (x + c t) + G (x - c t)$ : deux ondes progressives. Domaine de dépendance $[x_{0} - c t_{0}, x_{0} + c t_{0}]$ ; les coins ne s'arrondissent pas.

Corde fixée sur $[0, L]$ (théorème 10.2): $ω_{n} = nπ c / L$ , fréquences propres $f_{n} = n c / (2 L)$ (10.5), $n - 1$ nœuds intérieurs.

u = n \geq 1 \sum sin \frac{nπ x}{L} (a_{n} cos ω_{n} t + b_{n} sin ω_{n} t), a_{n} = α_{n}, b_{n} = \frac{β _{n}}{ω _{n}}

où $α_{n}$ , $β_{n}$ sont les coefficients de sinus de $f$ et de $g$ ; la série coïncide avec d'Alembert appliqué aux prolongements impairs $2 L$ -périodiques. Énergie (théorème 10.3): $E = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} (u_{t}^{2} + c^{2} u_{x}^{2}) d x$ est constante, d'où l'unicité; pour , , . Corde témoin (profil lâché sans vitesse): , dont dans le fondamental.

Équation de Laplace

$Δ u = 0$ : fonctions harmoniques (température stationnaire, potentiel électrostatique, écoulement potentiel). Exemples: $x^{2} - y^{2}$ , $r^{n} cos n θ$ , $r^{n} sin n θ$ , , hors de l'origine.

Propriété de la moyenne (théorème 10.4, démontrée par la forme flux de Green), si le disque fermé est dans le domaine:

u (x_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} u (x_{0} + r e (θ)) d θ = \frac{1}{π R ^{2}} \iint_{D (x_{0}, R)} u d A

Principe du maximum (théorème 10.5): sur un ouvert borné, $max_{\overline{Ω}} u = max_{\partial Ω} u$ ; forme forte si $Ω$ est connexe; unicité et stabilité du problème de Dirichlet.
Disque unité (10.9) et formule de Poisson (théorème 10.6), $a_{n}$ , coefficients de Fourier de la donnée :

u (r, θ) = \frac{a _{0}}{2} + n \geq 1 \sum r^{n} (a_{n} cos n θ + b_{n} sin n θ)

u (r, θ) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} \frac{( 1 - r ^{2} ) g ( ψ )}{1 - 2 r cos ( θ - ψ ) + r ^{2}} d ψ

Pour un disque de rayon $a$ : remplacer $r$ par $r / a$ . Rectangle $[0, π]^{2}$ , trois côtés à $0$ , $u (x, π) = h (x)$ (exercice 10.4): $u = \sum c_{n} sin (n x) sinh (n y)$ avec égal au -ième coefficient de sinus de .

Classification

$A u_{xx} + 2 B u_{x y} + C u_{y y} + \dots = 0$ est si (ondes), si (chaleur), si (Laplace).

	Ondes	Chaleur	Laplace
mode $n$	$cos (ω_{n} t)$	$e^{- n^{2} t}$	$r^{n}$

Données témoins du cours

Objet	Valeur
travail de $F$ de $(0, 0)$ à $(1, 2)$	$10$ (segment et parabole)
circulation de $G$ , cercle unité, sens trigo.	$2 π = 2 \times aire$
circulation de $H$ autour de l'origine	$2 π$ , bien que

cartésien	$(x, y, z)$	$(1, 1, 1)$	$d x d y d z$
cylindrique	$(r, θ, z)$	$(1, r, 1)$	$r d r d θ d z$
sphérique	$(ρ, φ, θ)$	$(1, ρ, ρ sin φ)$	$ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ$

Notations et symboles réutilisés

Les opérateurs différentiels

En coordonnées cartésiennes (chapitre 1)

Coordonnées orthogonales: la méthode

Coordonnées cylindriques (r,θ,z)

Coordonnées sphériques (ρ,φ,θ), φ colatitude

Identités vectorielles

Courbes, surfaces et intégrales (chapitres 2 et 4)

Les quatre théorèmes intégraux

Champs conservatifs (chapitre 2)

Séries de Fourier (chapitres 6 et 7)

Définitions

Convergence

Bessel et Parseval

Séries de Fourier usuelles

Sommes numériques qui en découlent

Transformée de Fourier (chapitre 8)

Convention et conversions

Propriétés (convention A)

Paires usuelles (convention A)

Équations aux dérivées partielles (chapitres 9 et 10)

Équation de la chaleur

Équation des ondes

Équation de Laplace

Classification

Données témoins du cours

Coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$

Coordonnées sphériques $(ρ, φ, θ)$ , $φ$ colatitude