Théorèmes de la divergence et de Stokes

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• énoncer le théorème de la divergence (Gauss–Ostrogradski) en précisant la normale sortante, le démontrer sur un pavé puis sur un solide élémentaire, et l'utiliser pour calculer un flux à travers une surface fermée — ou à travers une surface ouverte que l'on referme;
• calculer le flux du champ $\mathbf{F}=(x,y,z)$ à travers le paraboloïde témoin des deux façons, directement et par l'intégrale de la divergence, et expliquer pourquoi le fond ne contribue pas;
• lire la divergence comme une densité de source, en déduire l'équation de continuité et la loi de Gauss de l'électrostatique, et expliquer pourquoi le flux d'un champ en $1/r^2$ à travers une sphère ne dépend pas de son rayon;
• énoncer le théorème de Stokes en fixant l'orientation du bord $\partial \Sigma$ par la règle de la main droite, et le démontrer pour une surface graphe en le ramenant au théorème de Green;
• montrer que deux surfaces qui ont le même bord orienté ont le même flux de $\mathrm{rot}\mathbf{F}$, et en tirer la loi d'Ampère;
• reconnaître dans le théorème du gradient, le théorème de Green, le théorème de Stokes et le théorème de la divergence une seule affirmation sur les bords.

Le théorème de la divergence

Les chapitres précédents ont construit deux familles d'objets. D'un côté, les opérateurs différentiels du chapitre 1: la divergence $\mathrm{div}\mathbf{F}={\partial }_{x}P+{\partial }_{y}Q+{\partial }_{z}R$, qui mesure en un point ce qu'un champ «produit», et le rotationnel , qui mesure ce qu'il «fait tourner». De l'autre, les : la circulation du chapitre 2 et le flux du chapitre 4. Le chapitre 3 a montré, avec le théorème de Green, que ces deux familles sont reliées dans le plan: la circulation le long du bord d'un domaine est l'intégrale du rotationnel scalaire à l'intérieur. Ce chapitre fait le même pas dans l'espace, deux fois. Le théorème de la divergence relie le flux à travers le bord d'un à l'intégrale de la divergence dans ce solide; le théorème de Stokes relie la circulation le long du bord d'une au flux du rotationnel à travers elle.

L'idée des deux énoncés tient en une phrase, et il vaut la peine de la garder en tête pendant les démonstrations: ce qui sort d'une région est la somme de ce qui est produit à l'intérieur. Découpez le solide en petits cubes; le flux qui sort d'un petit cube est à peu près $\mathrm{div}\mathbf{F}\times \text{volume}$ (c'est la lecture de la divergence donnée au chapitre 1); en additionnant sur tous les cubes, les flux à travers les faces communes à deux cubes voisins se compensent exactement — ce qui sort de l'un entre dans l'autre — et il ne reste que le flux à travers les faces extérieures, c'est-à-dire à travers le bord du solide. Le théorème rend ce raisonnement exact.

Solides, bord et normale sortante

Un solide borné $V\subset {\mathbb{R}}^3$ a pour bord $\partial V$ une surface fermée — une sphère pour une boule, six faces pour un pavé, un paraboloïde et un disque pour le solide témoin de ce cours. Pour parler de flux à travers $\partial V$, il faut orienter cette surface (chapitre 4); sur le bord d'un solide, il existe un choix naturel.

Les arêtes (le cercle où le paraboloïde rencontre le fond, les douze arêtes d'un pavé) forment un ensemble d'aire nulle; elles ne contribuent à aucune intégrale de surface, et le fait que la normale n'y soit pas définie ne gêne donc pas.

Les boules, les pavés, les cylindres droits, les cônes, les ellipsoïdes, et le solide témoin $0\le z\le 4-x^2-y^2$ sont élémentaires: chacun est compris entre deux graphes dans chacune des trois directions. C'est exactement le cadre de l'intégration «par piles» d'Analyse II, chapitre 10, qui est l'outil de la démonstration.

L'énoncé

Nous le démontrons ci-dessous pour les pavés et les solides élémentaires, puis pour les réunions finies de tels solides. Le cas général — un solide quelconque à bord ${\mathcal{C}}^1$ par morceaux — est admis: il demande de découper le solide par une partition de l'unité et de contrôler ce qui se passe près des arêtes, ce qui relève d'un cours de géométrie différentielle ou de théorie de la mesure. Tous les solides de ce cours sont des réunions finies de solides élémentaires.

Trois remarques avant la démonstration.

Le membre de gauche est une intégrale de surface, celui de droite une intégrale triple. Le théorème transforme donc un problème en un autre, et le sens utile dépend du cas. Une surface fermée compliquée (six faces d'un pavé, quatre d'un tétraèdre) avec une divergence simple: on calcule à droite. Une divergence compliquée sur un solide simple, ou un champ qui n'est pas défini partout dans le solide: on reste à gauche.

Seule compte la normale sortante. Si l'on oriente le bord par la normale entrante, les deux membres ne sont plus égaux, ils sont opposés.

Le théorème exige un champ ${\mathcal{C}}^1$ dans tout le solide. Une seule singularité à l'intérieur de $V$ — une charge ponctuelle, une source — suffit à le mettre en défaut, et nous verrons plus loin que c'est précisément ce qui fait fonctionner la loi de Gauss.

Démonstration sur un pavé

Commençons par le cas où tout se voit: un pavé $V=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times [a_3,b_3]$. Son bord a six faces; la normale sortante est sur la face du dessus , sur celle du dessous , et de même , sur les quatre autres.

Démonstration (pavé). Écrivons $\mathbf{F}=(P,Q,R)$. Les deux membres de (5.1) sont des sommes de trois termes: à gauche $\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=P{n}_1+Q{n}_2+R{n}_3$, à droite . Il suffit donc de montrer, pour chaque composante séparément,

et les deux égalités analogues pour $P$ et $Q$. Par le théorème de Fubini (Analyse II, chapitre 10) puis le théorème fondamental de l'analyse en $z$,

À gauche, $n_3=0$ sur les quatre faces verticales, qui ne contribuent pas. Sur la face du dessus, $n_3=+1$ et $\mathrm{d}S=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$: la contribution est $\iint R(x,y,b_3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. Sur la face du dessous, : la contribution est . La somme est exactement le membre de droite. Les composantes et se traitent de la même manière, en intégrant d'abord en , respectivement en .

La démonstration montre où se loge chaque ingrédient: le théorème fondamental de l'analyse transforme la dérivée en différence de deux valeurs au bord, et la normale sortante fournit exactement le signe moins de cette différence. Le théorème de la divergence n'est rien d'autre que le théorème fondamental, appliqué dans chaque direction et empilé par Fubini.

Démonstration sur un solide élémentaire

La même idée fonctionne dès que le solide est compris entre deux graphes; il faut seulement calculer la composante $n_3$ de la normale sortante sur un graphe incliné, ce que fournit le chapitre 4.

Démonstration (solide élémentaire). Comme pour le pavé, il suffit d'établir (5.2) et ses deux analogues. Pour (5.2) on utilise que $V$ est élémentaire en $z$: $V=\{(x,y)\in D_{xy},{\phi }_1(x,y)\le z\le {\phi }_2(x,y)\}$.

Membre de droite. Par l'intégration par piles (Analyse II, chapitre 10) et le théorème fondamental en $z$,

Membre de gauche. Le bord $\partial V$ se compose de trois morceaux: le dessus ${\Sigma }_2$, graphe de ${\phi }_2$; le dessous ${\Sigma }_1$, graphe de ${\phi }_1$; et éventuellement une formée de segments verticaux au-dessus de (elle est vide si sur , comme pour une boule ou pour le solide témoin).

Sur la paroi latérale, la normale est horizontale, donc $n_3=0$ et ${\iint }_{{\Sigma }_0}R{n}_3\mathrm{d}S=0$.

Sur le dessus, paramétrons ${\Sigma }_2$ par $\mathbf{\sigma }(x,y)=(x,y,{\phi }_2(x,y))$, $(x,y)\in D_{xy}$. Le chapitre 4 donne

dont la troisième composante est positive: ce vecteur pointe vers le haut, c'est-à-dire hors de $V$, puisque le solide est sous son dessus. C'est donc la bonne orientation, et $\mathbf{n}\mathrm{d}S=({\mathbf{\sigma }}_x\times {\mathbf{\sigma }}_y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. Seule la troisième composante intervient:

Sur le dessous, la même paramétrisation par ${\phi }_1$ donne un vecteur normal de troisième composante $+1$, qui pointe vers le haut, donc dans $V$: la normale sortante est son opposée, de troisième composante $-1$, et

La somme des trois contributions est égale à (5.3), ce qui établit (5.2). On démontre de même ${\iint }_{\partial V}P{n}_1\mathrm{d}S={\iiint }_V{\partial }_{x}P\mathrm{d}V$ en utilisant que est élémentaire en , et l'égalité pour en utilisant que est élémentaire en . En additionnant les trois, on obtient (5.1).

Remarquez que la démonstration utilise la description de $V$ dans les trois directions, une par composante: c'est la raison de la définition d'un solide élémentaire.

Réunions de solides élémentaires. Si $V=V_1\cup V_2$, où $V_1$ et $V_2$ sont élémentaires et se touchent le long d'une surface commune , on applique (5.1) à chacun et l'on additionne. À droite, on obtient . À gauche, la surface apparaît deux fois, avec des normales sortantes — ce qui sort de à travers entre dans — et ses deux contributions s'annulent; il reste le flux à travers . C'est l'argument des arêtes internes du théorème de Green (chapitre 3), une dimension plus haut. Il s'applique aussi aux solides troués, comme la coquille comprise entre deux sphères: le bord a alors composantes, et sur la sphère intérieure la normale sortante de pointe , dans le trou.

Le paraboloïde témoin, des deux façons

Le solide témoin du cours est celui de la figure 5.1: $V=\{0\le z\le 4-x^2-y^2\}$, au-dessus du disque $x^2+y^2\le 4$. Le chapitre 4 a calculé l'aire du paraboloïde, . Calculons maintenant le flux du champ radial , une fois sur la surface et une fois dans le volume.

La seconde façon est plus courte, mais elle ne dispense pas de regarder le fond: elle donne le flux à travers le bord entier, et c'est un hasard heureux du champ radial que la part du fond soit nulle. Pour le champ uniforme $\mathbf{U}=(0,0,1)$, par exemple, $\mathrm{div}\mathbf{U}=0$, donc le flux sortant total est nul; mais le fond, où $\mathbf{U}\cdot \mathbf{n}=-1$, reçoit un flux de $-4\pi$ (moins l'aire du disque), et le paraboloïde laisse donc sortir $+4\pi$. Ce que le fluide uniforme fait entrer par le bas, il le fait sortir par le haut.

Cette technique — refermer une surface ouverte par une surface simple — est l'usage le plus courant du théorème en pratique: le flux à travers une surface ouverte $\Sigma$ se calcule comme l'intégrale de la divergence, moins le flux à travers le «couvercle» ajouté pour refermer $\Sigma$, orienté par la normale sortante du solide ainsi formé.

L'explorateur reprend le solide témoin avec une hauteur $h$ réglable, $0\le z\le h-x^2-y^2$, et quatre champs. Pour $\mathbf{F}=(x,y,z)$ et , les deux membres affichent ; pour quelconque, le volume est et le flux . Le champ uniforme montre un flux total nul fait de deux moitiés opposées. Le champ a une divergence qui varie dans le solide et un fond qui compte: à , le paraboloïde laisse sortir , le fond fait entrer , et la différence est exactement l'intégrale de la divergence. Les deux colonnes sont calculées par des quadratures différentes — l'une sur les surfaces, l'autre dans le volume — et c'est leur écart, affiché à près, qui reste nul.

Ce que dit la divergence: sources, conservation, loi de Gauss

La divergence comme densité de source

Le chapitre 1 a présenté la divergence comme un taux d'expansion local. Le théorème 5.1 rend cette lecture exacte. Soit $\mathbf{p}$ un point, $B_{\epsilon }$ la boule de centre $\mathbf{p}$ et de rayon $\epsilon$, et $S_{\epsilon }$ sa sphère bord, orientée vers l'extérieur. Par le théorème puis par le théorème de la moyenne pour les intégrales triples (la divergence est continue), il existe ${\mathbf{p}}_{\epsilon }\in B_{\epsilon }$ tel que

Lorsque $\epsilon \to 0$, ${\mathbf{p}}_{\epsilon }\to \mathbf{p}$, d'où:

Cette formule ne mentionne aucun système de coordonnées: la divergence, définie au chapitre 1 par une somme de dérivées partielles en coordonnées cartésiennes, est en réalité une grandeur géométrique — le flux sortant par unité de volume. C'est ce qui permet de la calculer en coordonnées sphériques ou cylindriques (voir l'annexe B) en appliquant (5.4) à un petit élément de volume adapté. Numériquement, pour $\mathbf{F}=(x^3,y^3,z+1)$ au point $\mathbf{p}=(0,5;0,2;0,1)$, où , le quotient flux/volume calculé par quadrature sur la sphère vaut pour et pour : l'écart décroît comme .

Là où $\mathrm{div}\mathbf{F}>0$, un petit volume perd plus qu'il ne reçoit: le point est une source. Là où $\mathrm{div}\mathbf{F}<0$, c'est un puits. Un champ de divergence nulle partout est dit solénoïdal (ou à flux conservatif): le flux qui entre dans n'importe quel solide en ressort intégralement.

L'équation de continuité

Soit un fluide (ou un gaz, ou une quantité de charge électrique) de masse volumique $\rho (\mathbf{x},t)$ (dans cette section, $\rho$ désigne une masse volumique, et non le rayon sphérique) animé d'un champ de vitesses $\mathbf{v}(\mathbf{x},t)$. Le vecteur $\mathbf{j}=\rho \mathbf{v}$ est la densité de courant de masse: son flux à travers une petite surface $\mathrm{d}S$ est la masse qui la traverse par unité de temps, $\mathbf{j}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S$ (kg/s).

Fixons un solide $V$ quelconque, immobile. Si la masse ne se crée ni ne se détruit, la masse contenue dans $V$ ne peut varier que par ce qui traverse son bord:

Le signe moins vient de la normale sortante: un flux sortant positif fait diminuer la masse. En dérivant sous l'intégrale à gauche et en appliquant le théorème de la divergence à droite,

Cette égalité vaut pour tout solide $V$. Si la fonction continue entre parenthèses était strictement positive en un point, elle le serait sur une petite boule autour de ce point, et son intégrale sur cette boule serait strictement positive: contradiction. Elle est donc nulle partout:

C'est l'équation de continuité, la forme locale de la conservation de la masse. Le raisonnement — une loi de bilan pour tout volume, le théorème de la divergence, puis «pour tout volume» donne une égalité ponctuelle — est le modèle de toutes les lois de conservation de la physique des milieux continus. Deux cas particuliers:

• un fluide incompressible et homogène ($\rho$ constante) vérifie $\mathrm{div}\mathbf{v}=0$: son champ de vitesses est solénoïdal;
• en conduction thermique, la densité d'énergie est $\rho cT$ et le courant de chaleur suit la loi de Fourier, $\mathbf{q}=-k\nabla T$; le même bilan donne $\rho c{\partial }_{t}T=-\mathrm{div}\mathbf{q}=k\Delta T$. C'est l', qui sera résolue au chapitre 9.

La loi de Gauss en électrostatique

Une charge ponctuelle $q$ placée à l'origine crée le champ électrique

de norme $q/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)$, dirigé radialement: c'est la loi de Coulomb, ${\epsilon }_0\approx 8,854\cdot 10^{-12}$ F/m étant la permittivité du vide. Deux calculs, qui semblent se contredire, contiennent toute la loi de Gauss.

La divergence est nulle hors de l'origine. Notons $\rho =\Vert \mathbf{r}\Vert$ la distance à l'origine — le rayon des coordonnées sphériques, et non plus une masse volumique. Avec ${\partial }_x\rho =x/\rho$, on a ${\partial }_x(x/{\rho }^3)=1/{\rho }^3-3x^2/{\rho }^5$, et en sommant les trois termes

Le flux à travers une sphère centrée à l'origine ne l'est pas. Sur la sphère $S_R$ de rayon $R$, la normale sortante est $\mathbf{n}=\mathbf{r}/R$, donc $\mathbf{E}\cdot \mathbf{n}=q/(4\pi {\epsilon }_0{R}^2)$ est constant, et

Le rayon a disparu: le flux à travers une sphère ne dépend pas de son rayon, comme le chapitre 4 l'a déjà constaté. La raison est géométrique: l'aire de la sphère croît comme $R^2$, le champ décroît comme $1/R^2$, et les deux effets se compensent exactement. C'est le seul exposant pour lequel cela se produit, et c'est pourquoi la loi en $1/r^2$ — celle de Coulomb comme celle de Newton — est la loi naturelle d'un champ qui «ne se perd pas» en s'éloignant de sa source.

Il n'y a pas de contradiction avec le théorème 5.1: le champ (5.6) n'est pas défini à l'origine, qui est à l'intérieur de la boule, et le théorème ne s'applique pas. Il s'applique en revanche à toute région qui évite l'origine, et c'est ce qui donne la loi.

Démonstration. Si l'origine est hors de $V$, $\mathbf{E}$ est ${\mathcal{C}}^1$ sur un voisinage de $V$ et de divergence nulle: le théorème 5.1 donne un flux nul. Si l'origine est à l'intérieur de $V$, choisissons $\epsilon >0$ assez petit pour que la boule $B_{\epsilon }$ de centre soit contenue dans l'intérieur de , et appliquons le théorème 5.1 au solide troué , sur lequel est et de divergence nulle. Son bord a deux composantes: , avec la normale sortante de , et la sphère , avec la normale sortante , qui pointe vers l'origine, soit . Donc

et le dernier terme vaut $q/{\epsilon }_0$ par (5.7). $\square$

Le flux à travers une surface fermée ne dépend donc ni de sa forme ni de sa taille, seulement de la question de savoir si elle entoure la charge. Par superposition — le champ de plusieurs charges est la somme de leurs champs, et le flux est linéaire — on obtient la loi de Gauss: le flux de $\mathbf{E}$ sortant d'une surface fermée est la charge intérieure divisée par ${\epsilon }_0$. Pour une distribution continue de charge de densité volumique ${\rho }_e$, la charge intérieure est ${\iiint }_V{\rho }_e\mathrm{d}V$, et l'argument de l'équation de continuité («pour tout ») donne la forme locale

la première des équations de Maxwell. La divergence nulle de (5.6) hors de l'origine et le flux $q/{\epsilon }_0$ ne se contredisent pas: toute la «source» est concentrée en un point, où la formule (5.8) n'a plus de sens classique.

Le théorème de Stokes

Surface orientée et bord orienté

Le théorème de Green relie la circulation le long du bord d'un domaine plan à l'intégrale du rotationnel scalaire ${\partial }_{x}Q-{\partial }_{y}P$ dans ce domaine, le bord étant parcouru dans le sens trigonométrique (chapitre 3). Le théorème de Stokes fait la même chose pour une surface courbe de l'espace, bordée par une courbe fermée. Il faut d'abord dire comment le bord est parcouru, et dans l'espace il n'y a plus de «sens trigonométrique»: il dépend du côté d'où l'on regarde. Ce qui le fixe, c'est l'orientation de la surface.

Pour un domaine $D$ du plan $z=0$ orienté par $\mathbf{n}={\mathbf{e}}_z$, cette règle redonne le sens trigonométrique du chapitre 3 sur le bord extérieur — et le sens horaire sur le bord d'un trou, puisque la personne qui marche doit garder le domaine à sa gauche. Pour le paraboloïde témoin orienté vers le haut, elle donne le cercle $r=2$, $z=0$ parcouru dans le sens trigonométrique .

L'énoncé

Rappelons que $\mathrm{rot}\mathbf{F}=({\partial }_{y}R-{\partial }_{z}Q,{\partial }_{z}P-{\partial }_{x}R,{\partial }_{x}Q-{\partial }_{y}P)$ (chapitre 1). Si est un domaine du plan orienté par , alors , , et (5.9) le théorème de Green. Le théorème de Stokes est donc le théorème de Green pour des surfaces qui ne sont pas planes, et c'est exactement ainsi qu'on le démontre: en «aplatissant» la surface sur son ombre.

La paternité de l'énoncé est curieuse: Kelvin le communiqua à Stokes dans une lettre de 1850, et Stokes le posa en 1854 comme question d'examen aux étudiants de Cambridge. Le nom est resté à l'examinateur.

Démonstration pour une surface graphe

Nous démontrons (5.9) dans le cas où $\Sigma$ est le graphe d'une fonction au-dessus d'un domaine plan où le théorème de Green s'applique. Le cas général s'obtient en découpant une surface en morceaux qui sont chacun un graphe (en $z$, en $x$ ou en $y$) et en additionnant: les circulations le long des coutures internes, parcourues deux fois en sens opposés, se compensent, comme les arêtes internes de Green au chapitre 3. Ce découpage est admis dans le cas d'une surface quelconque, pour la même raison que pour la divergence.

Démonstration (surface graphe). Soit $D$ un domaine du plan $(x,y)$ auquel le théorème de Green s'applique (chapitre 3), de bord $\partial D$ parcouru dans le sens trigonométrique et paramétré par $t\mapsto (x(t),y(t))$, $t\in [a,b]$. Soit $g$ une fonction de classe sur un voisinage de et son graphe, , orienté par la normale ,

L'orientation du bord. Le bord de $\Sigma$ est l'image de $\partial D$: $\partial \Sigma$ est parcouru par $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),g(x(t),y(t)))$. Vu d'en haut — du côté de $\mathbf{N}$, dont la composante verticale est positive — cette courbe tourne dans le même sens que son ombre $\partial D$, le sens trigonométrique: c'est l'orientation que la règle de la main droite associe à .

Le membre de droite. Avec $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ évalué en $(x,y,g(x,y))$,

Le membre de gauche. Le long de $\partial \Sigma$, $z=g(x,y)$, donc $\mathrm{d}z=g_x\mathrm{d}x+g_y\mathrm{d}y$ par la règle de la chaîne, et

où $P$, $Q$, $R$ sont évalués en $(x,y,g(x,y))$. C'est une circulation plane le long de $\partial D$, dans le sens trigonométrique. Le théorème de Green la transforme en

Le calcul de l'intégrande. Chaque fonction composée $P(x,y,g(x,y))$ se dérive par la règle de la chaîne: ${\partial }_x[P(x,y,g)]=P_x+P_z{g}_x$. Ainsi

Dans la différence, le terme $R_z{g}_x{g}_y$ apparaît deux fois et se simplifie, et les termes $R{g}_{yx}$ et se simplifient par le — c'est là que sert l'hypothèse . Il reste

qui est exactement l'intégrande de (5.10). $\square$

La démonstration fait voir d'où vient chaque composante du rotationnel: la composante verticale $Q_x-P_y$ est celle de Green, et les deux composantes horizontales apparaissent parce que la surface penche ($g_x$, $g_y$) et que le champ a une composante qui travaille le long d'un bord qui monte et descend.

Le paraboloïde témoin, encore

Deux surfaces de même bord

Le calcul précédent suggère une remarque. Le disque plat $D$: $z=0$, $x^2+y^2\le 4$, orienté par ${\mathbf{e}}_z$, a que le paraboloïde (figure 5.3). Sur , et le flux du rotationnel vaut , sans aucun calcul sur le paraboloïde. Ce n'est pas un hasard.

Démonstration. Par le théorème de Stokes, chacun des deux flux est égal à la circulation de $\mathbf{F}$ le long du bord commun, parcouru dans le même sens. Pour une surface fermée $S$, coupons-la par une courbe fermée $C$ en deux morceaux $S_1$ et $S_2$ (par exemple une sphère le long de son équateur); orientée par la normale sortante, $S_1$ induit sur une orientation et l'orientation opposée, de sorte que les deux flux sont des circulations opposées le long de , et leur somme est nulle.

Il y a une seconde démonstration, qui éclaire la première. Si ${\Sigma }_1$ et ${\Sigma }_2$ ne se coupent qu'en leur bord commun, elles délimitent un solide $V$; orienter $\partial V={\Sigma }_1\cup {\Sigma }_2$ par la normale sortante revient à garder l'orientation de l'une et à celle de l'autre. Le théorème de la divergence et l'identité , démontrée au chapitre 1, donnent

Sur l'exemple 5.3: le paraboloïde vers le haut donne $8\pi$; pour le solide témoin, le fond a pour normale sortante $-{\mathbf{e}}_z$ et donne $-8\pi$; le total $8\pi -8\pi =0$ est bien l'intégrale de $\mathrm{div}\mathrm{rot}\mathbf{F}=0$. Les deux théorèmes du chapitre se contrôlent l'un l'autre.

Le théorème 5.5 explique aussi le sens physique du rotationnel, parallèle à celui de la divergence (théorème 5.2). Soit $\mathbf{p}$ un point, $\mathbf{u}$ un vecteur unitaire, $D_{\epsilon }$ le disque de centre $\mathbf{p}$ et de rayon $\epsilon$ perpendiculaire à $\mathbf{u}$, et $C_{\epsilon }$ son bord orienté par la règle de la main droite autour de . Le théorème de Stokes et la continuité de donnent

La composante du rotationnel selon $\mathbf{u}$ est la circulation par unité d'aire dans le plan perpendiculaire à $\mathbf{u}$. C'est la petite roue à aubes du chapitre 1, dont l'axe est $\mathbf{u}$: elle tourne à la moitié de cette densité de circulation (théorème 1.3), donc d'autant plus vite que cette circulation est grande, et le plus vite lorsque son axe est aligné avec $\mathrm{rot}\mathbf{F}$.

La loi d'Ampère

En magnétostatique — courants constants dans le temps — le champ magnétique $\mathbf{B}$ produit par une densité de courant $\mathbf{J}$ (en A/m²) satisfait l'équation locale

où ${\mu }_0\approx 4\pi \cdot 10^{-7}$ T·m/A est la perméabilité du vide (depuis la révision du SI de 2019, ${\mu }_0$ est une constante mesurée, égale à $4\pi \cdot 10^{-7}$ à mieux que près en valeur relative). Intégrons (5.12) sur une surface de bord et appliquons le théorème de Stokes:

C'est la loi d'Ampère: la circulation de $\mathbf{B}$ le long d'une boucle fermée est ${\mu }_0$ fois le courant qui traverse n'importe quelle surface bordée par la boucle, compté positivement dans le sens de $\mathbf{n}$ donné par la règle de la main droite. Le théorème 5.5 garantit que «n'importe quelle» est légitime: le résultat ne dépend pas de la surface choisie, parce que $\mathbf{J}$ est un rotationnel ($\mathbf{J}=\mathrm{rot}\mathbf{B}/{\mu }_0$). Il en découle aussi que $\mathrm{div}\mathbf{J}=0$ en magnétostatique: c'est l'équation de continuité (5.5) pour la charge, dans le cas où rien ne dépend du temps.

L'exemple éclaire le chapitre 2 d'un jour nouveau. Hors du fil, $\mathrm{rot}\mathbf{B}=0$, et pourtant la circulation autour du fil vaut ${\mu }_{0}I\ne 0$: le domaine ${\mathbb{R}}^3$ privé de l'axe n'est pas simplement connexe, et toute surface bordée par une boucle qui enlace le fil est obligée de traverser le fil, là où $\mathbf{J}\ne 0$. Le «rotationnel caché» que le chapitre 2 ne pouvait pas voir est le courant.

Une seule formule sur les bords

Les quatre théorèmes intégraux de ce cours se ressemblent trop pour que ce soit une coïncidence. Écrivons-les côte à côte.

Chaque ligne dit la même chose: l'intégrale d'une dérivée sur un objet est égale à l'intégrale de la fonction elle-même sur son bord orienté. Les «dérivées» changent avec la dimension — gradient pour passer des points aux courbes, rotationnel pour passer des courbes aux surfaces, divergence pour passer des surfaces aux volumes — et chaque fois l'orientation du bord est induite par celle de l'objet: le point d'arrivée compte positivement, le bord d'un domaine plan se parcourt en le gardant à gauche, le bord d'une surface suit la main droite, le bord d'un solide est orienté vers l'extérieur. Green est le cas particulier de Stokes où la surface est plane; le théorème fondamental de l'analyse, ${\int }_a^b{f}^{\prime }=f(b)-f(a)$, est le cas le plus ancien et le plus simple, dont les trois autres dérivent par Fubini, comme l'ont montré les démonstrations de ce chapitre.

La chaîne des opérateurs éclaire une seconde régularité. Le chapitre 1 a démontré que $\mathrm{rot}(\nabla f)=0$ et que $\mathrm{div}(\mathrm{rot}\mathbf{F})=0$: deux dérivations successives de la chaîne

donnent zéro. Du côté des bords, la même chose se lit géométriquement: le bord d'un bord est vide. Le bord d'une surface est une courbe fermée, qui n'a pas d'extrémités; le bord d'un solide est une surface fermée, qui n'a pas de bord. Les théorèmes intégraux traduisent l'une des propriétés dans l'autre: la circulation d'un gradient le long d'une courbe fermée est nulle (chapitre 2) parce qu'une courbe fermée n'a pas d'extrémités, et le flux d'un rotationnel à travers une surface fermée est nul (théorème 5.5) parce qu'une surface fermée n'a pas de bord.

Ce parallèle n'est pas qu'une analogie: en géométrie différentielle, les quatre théorèmes sont les cas particuliers d'un seul, appelé lui aussi théorème de Stokes, qui vaut en toute dimension, pour tout objet orienté à bord. Sa formulation demande le langage des formes différentielles, qui dépasse ce cours; ce qu'il faut en retenir ici est le réflexe: devant une intégrale sur un bord fermé, chercher l'objet dont c'est le bord et la dérivée qui convient; devant une intégrale d'une dérivée, chercher le bord.

Synthèse

• Théorème de la divergence: pour un solide $V$ dont le bord est orienté par la normale sortante, ${\iint }_{\partial V}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S={\iiint }_V\mathrm{div}\mathbf{F}\mathrm{d}V$. Démonstration: le théorème fondamental dans chaque direction, empilé par Fubini sur un solide compris entre deux graphes.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes — les théorèmes intégraux de l'analyse vectorielle, dans la tradition de l'enseignement de l'EPFL.
• Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, W. H. Freeman — les chapitres sur les théorèmes de Green, Stokes et Gauss, avec les applications à la physique et un aperçu des formes différentielles.
• Stewart, J., Analyse — concepts et contextes, vol. 2, De Boeck — le théorème de Stokes et le théorème de flux-divergence, avec de nombreux exemples calculés.
• Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, Pearson — analyse vectorielle, applications physiques des théorèmes intégraux (équation de continuité, électrostatique).
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, Wiley — les théorèmes intégraux du point de vue de l'ingénieur, avec la loi de Gauss et la conduction thermique.
• Polycopiés d'Analyse III de l'EPFL.