Transformée de Fourier

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• expliquer comment la transformée de Fourier naît de la série de Fourier quand la période tend vers l'infini, et dire pourquoi ce passage à la limite n'est qu'une heuristique;
• calculer la transformée de Fourier d'une fonction intégrable avec la convention du cours, $\hat{f}(\xi )=\int f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}\mathrm{d}x$, et convertir une formule écrite dans l'une des deux autres conventions;
• établir les paires fondamentales (porte, exponentielle bilatérale, gaussienne) et les règles de calcul: translation, modulation, changement d'échelle, dérivée, convolution;
• énoncer la formule d'inversion avec ses hypothèses et l'identité de Plancherel, et s'en servir pour calculer des intégrales;
• démontrer et interpréter le principe d'incertitude $\Delta x\Delta \xi \ge \frac{1}{2}$, et vérifier que la gaussienne en réalise l'égalité;
• reconnaître les pièges de la théorie, en particulier qu'une fonction intégrable peut avoir une transformée qui ne l'est pas.

Des séries de Fourier à la transformée

Les chapitres 6 et 7 ont traité des fonctions périodiques. Or la plupart des signaux qu'un ingénieur rencontre ne le sont pas: une impulsion de courant, la réponse d'un circuit à un choc, la répartition initiale de la température dans une barre très longue, un paquet d'ondes. Ces fonctions sont définies sur toute la droite et s'éteignent à l'infini. La transformée de Fourier est l'outil qui leur applique les idées des deux chapitres précédents: décomposer une fonction en oscillations pures ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\xi x}$, mais cette fois avec toutes les fréquences réelles $\xi$ et non plus seulement les multiples entiers d'une fréquence fondamentale.

Le passage à la limite, heuristiquement

Partons d'une fonction $f$ nulle hors d'un intervalle borné, et choisissons $L$ assez grand pour que ce support tienne dans $]-L,L[$. Prolongée par $2L$-périodicité, $f$ admet une série de Fourier sous forme complexe (chapitre 6, après le changement de variable $x\mapsto \pi x/L$ qui ramène la période $2\pi$ à la période $2L$):

Posons ${\xi }_n=n\pi /L$: ce sont les fréquences présentes dans la série, régulièrement espacées d'un pas $\Delta \xi =\pi /L$. Comme $f$ est nulle hors de $]-L,L[$, on peut étendre l'intégrale de $c_n$ à toute la droite, et il apparaît la fonction

Les coefficients de Fourier ne sont donc rien d'autre que des échantillons de la fonction $\hat{f}$, pris aux fréquences ${\xi }_n$ et multipliés par $\Delta \xi /2\pi$. En reportant dans la série,

Le membre de droite a exactement la forme d'une somme de Riemann de la fonction $\xi \mapsto \hat{f}(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\xi x}$ avec le pas $\Delta \xi$. Faisons tendre la période vers l'infini: $L\to \infty$, donc $\Delta \xi \to 0$, les fréquences remplissent la droite, et la somme devient une intégrale:

C'est la formule d'inversion de Fourier, et la fonction $\hat{f}$ est la transformée de Fourier de $f$. La série de Fourier décomposait une fonction périodique en une infinité dénombrable d'harmoniques; l'intégrale (8.2) décompose une fonction non périodique en un continuum d'oscillations ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\xi x}$, chacune pondérée par $\hat{f}(\xi )\mathrm{d}\xi /2\pi$.

Vérifions la relation $2L{c}_n=\hat{f}({\xi }_n)$ sur un cas concret, la porte $f=1_{[-1,1]}$ (égale à 1 sur et à 0 ailleurs), dont nous calculerons la transformée à l'exemple 8.1. Pour , les coefficients calculés par (8.1) valent et ; multipliés par , ils donnent et , qui sont bien et . Pour , les fréquences sont quatre fois plus serrées (, ), et , sont les valeurs de en ces points. Plus la période est longue, plus la série échantillonne finement la même courbe.

Définition et convention

La transformée de Fourier

Dans tout le chapitre, «intégrable» signifie absolument intégrable au sens des intégrales impropres d'Analyse I (chapitre 11): une fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ continue par morceaux sur tout intervalle borné est intégrable si ${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(x)|\mathrm{d}x$ converge. On note $L^1(\mathbb{R})$ l'ensemble de ces fonctions et . De même, est , , si converge. (Le cadre naturel de la théorie est l'intégrale de Lebesgue, vue dans un cours de théorie de la mesure; tout ce qui suit reste vrai dans ce cadre, et nous signalerons chaque fois qu'un argument en a besoin.)

L'intégrale (8.3) converge absolument pour tout $\xi$, puisque $|f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}|=|f(x)|$ (l'exponentielle complexe est de module 1, Analyse I, chapitre 2). Quatre propriétés en découlent immédiatement ou presque.

Démonstration. Les points 1 et 2 sont immédiats: $|\hat{f}(\xi )|\le \int |f(x)||{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}|\mathrm{d}x=\Vert f{\Vert }_1$, et . Pour le point 3, on écrit . Sur un intervalle , le facteur tend uniformément vers 0; hors de cet intervalle, il est borné par 2 et est aussi petit qu'on veut pour grand. On choisit d'abord , puis . Le point 4 est admis en général: sa démonstration approche par des fonctions en escalier, pour lesquelles il se vérifie à la main (la transformée d'une porte, calculée à l'exemple 8.1, tend vers 0 comme ), et l'approximation en norme par des fonctions en escalier relève de la théorie de l'intégration. C'est l'analogue exact de la décroissance des coefficients de Fourier vers 0 vue au chapitre 7.

Une dernière remarque de calcul, qui servira dans presque tous les exemples. Si $f$ est paire et réelle, la partie impaire $-\mathrm{i}f(x)\sin (\xi x)$ de l'intégrande s'intègre en 0, et

la transformée est alors elle aussi paire et réelle. C'est la version continue du fait, démontré au chapitre 6, qu'une fonction paire a une série de Fourier en cosinus seulement.

Trois conventions, et comment passer de l'une à l'autre

La définition (8.3) n'est pas la seule en usage. Le choix du signe dans l'exponentielle, de la place du facteur $2\pi$ et de la variable (pulsation ou fréquence) varie d'un livre et d'une discipline à l'autre. Ce cours utilise la convention A, et seulement elle. Les deux autres ne sont pas fausses; elles déplacent des facteurs $2\pi$, et c'est précisément pour cela qu'elles sont dangereuses.

Les conversions se lisent directement sur les définitions:

• La convention A est celle de la plupart des cours d'équations aux dérivées partielles et de physique, où $\xi$ est un nombre d'onde ou une pulsation. Son défaut est l'asymétrie: le $2\pi$ apparaît dans l'inverse et dans Plancherel.
• La convention B répartit le facteur symétriquement: la transformée et son inverse ont la même forme, Plancherel n'a plus de constante, et la gaussienne ${\mathrm{e}}^{-x^2/2}$ est exactement sa propre transformée. Elle est courante en mécanique quantique et dans une partie des manuels d'ingénierie.
• La convention C travaille avec la fréquence $\nu =\xi /2\pi$, en hertz si $x$ est un temps. Tout devient symétrique et sans constante, et c'est qui est sa propre transformée. C'est celle de Stein et Shakarchi et du traitement du signal.

Chaque fois que ce chapitre cite une formule qui s'écrit différemment ailleurs, il le signale et donne la conversion.

Les paires fondamentales

Trois transformées reviennent sans cesse: celle de la porte, celle de l'exponentielle, celle de la gaussienne. Nous les calculons entièrement; chacune a été vérifiée par une quadrature numérique de (8.3), qui reproduit la formule fermée à $10^{-11}$ près ou mieux.

La porte

Deux traits de la figure 8.1 préfigurent tout le chapitre. D'abord, une fonction concentrée (la porte est nulle hors de $[-1,1]$) a une transformée étalée sur toute la droite: aucune fonction non nulle ne peut être à la fois nulle hors d'un intervalle borné et avoir une transformée nulle hors d'un intervalle borné (nous l'admettons: la transformée d'une telle fonction se prolonge en une fonction analytique de la variable complexe, qui ne peut s'annuler sur un intervalle sans être identiquement nulle). Nous quantifierons cette opposition au dernier paragraphe. Ensuite, la discontinuité de la porte en $\pm 1$ se paie par une décroissance lente de $\hat{f}$, en $1/|\xi |$: c'est l'analogue continu des coefficients $b_n$ en de la fonction témoin des chapitres 6 et 7, dont le prolongement périodique saute en .

Les exponentielles

La gaussienne

La troisième paire est la plus importante. Elle dit que la gaussienne est, à une constante près, sa propre transformée, et c'est elle qui réalise l'égalité dans le principe d'incertitude.

Démonstration. Posons $G(\xi )=\hat{\gamma }(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2/2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}\mathrm{d}x$. Nous allons montrer que vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre et la résoudre.

Valeur en 0. $G(0)=\int {\mathrm{e}}^{-x^2/2}\mathrm{d}x$. Par le changement de variable $x=\sqrt{2}u$ et l'intégrale de Gauss (Analyse II, théorème 9.12, obtenue en passant en coordonnées polaires), .

Dérivée. On dérive sous le signe intégrale:

Cette dérivation est légitime parce que la dérivée partielle de l'intégrande par rapport à $\xi$ est majorée, uniformément en $\xi$, par $|x|{\mathrm{e}}^{-x^2/2}$, qui est intégrable sur $\mathbb{R}$. Le théorème qui l'autorise (dérivation d'une intégrale impropre dépendant d'un paramètre, sous une hypothèse de domination) est admis; sa démonstration générale relève de la théorie de la mesure, par le théorème de convergence dominée.

Intégration par parties. On reconnaît $-x{\mathrm{e}}^{-x^2/2}=({\mathrm{e}}^{-x^2/2}{)}^{\prime }$. Intégrons par parties sur $[-R,R]$ puis faisons tendre vers l'infini (Analyse I, chapitre 11):

Le crochet est nul, car ${\mathrm{e}}^{-R^2/2}\to 0$, et le dernier terme vaut $-\mathrm{i}\cdot (-\mathrm{i}\xi )G(\xi )=-\xi G(\xi )$. Donc

Résolution. C'est un problème de Cauchy pour une équation linéaire du premier ordre (Analyse II, chapitre 1), dont l'unique solution est $G(\xi )=G(0){\mathrm{e}}^{-{\xi }^2/2}=\sqrt{2\pi }{\mathrm{e}}^{-{\xi }^2/2}$.

Numériquement, la quadrature de (8.3) et la formule (8.7) coïncident à $10^{-14}$ près: $\hat{\gamma }(0)=2,50662827$, $\hat{\gamma }(1)=1,52034690$, . L'intégration par parties de la démonstration est un cas particulier de la règle de la dérivée que nous établirons au théorème 8.4: la gaussienne vérifie , et la transformation de Fourier échange la dérivation et la multiplication par la variable. La gaussienne est donc la solution d'une équation qui a la même forme des deux côtés, et c'est la vraie raison de (8.7).

Règles de calcul

Linéarité, translation, modulation, changement d'échelle

Démonstration. La linéarité est celle de l'intégrale. Pour la translation, le changement de variable $y=x-a$ donne $\int f(x-a){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}\mathrm{d}x=\int f(y){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi (y+a)}\mathrm{d}y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a\xi }\hat{f}(\xi )$. Pour la modulation, , et l'on reconnaît . Pour le changement d'échelle avec , on pose , : ; pour , le même changement de variable renverse les bornes, ce qui produit le signe qui fait apparaître . Enfin .

La translation et la modulation sont duales: décaler $f$ multiplie $\hat{f}$ par une phase, et multiplier $f$ par une phase décale $\hat{f}$. Une translation ne change donc pas $|\hat{f}|$: le spectre d'amplitude d'un signal ne dépend pas de l'instant où on l'émet. En pratique, la modulation s'emploie le plus souvent sous forme réelle: comme ,

multiplier un signal par une porteuse de pulsation $a$ recopie son spectre autour de $\pm a$. C'est le principe de la modulation d'amplitude en radio.

Le changement d'échelle est la règle qui mène au principe d'incertitude. Comprimer $f$ d'un facteur $\lambda >1$ dilate $\hat{f}$ du même facteur et en divise la hauteur par $\lambda$. Appliquée à la gaussienne (8.7) avec $\lambda =1/\sigma$, elle donne la famille complète:

Une gaussienne d'écart-type $\sigma$ a pour transformée une gaussienne d'écart-type $1/\sigma$. Pour $\sigma =0,5$, $1$ et $2$, les valeurs en $\xi =1$ sont $1,106046$, $1,520347$ et $0,678471$, et la quadrature les reproduit à .

Transformée d'une dérivée

Voici la propriété qui fait de la transformée de Fourier un outil de résolution des équations différentielles: elle change une dérivation en une multiplication.

Démonstration. Étape 1: $f$ tend vers 0 à l'infini. Pour $x>0$, $f(x)=f(0)+{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$. Comme est intégrable, l'intégrale converge, donc a une limite quand . Si l'on avait , on aurait pour assez grand, et divergerait, contrairement à l'hypothèse . Donc ; de même en .

Étape 2: intégration par parties. Sur $[-R,R]$,

Le crochet est majoré en module par $|f(R)|+|f(-R)|$, qui tend vers 0 d'après l'étape 1. Les deux intégrales convergent quand $R\to \infty$, puisque $f$ et $f^{\prime }$ sont intégrables. À la limite, $\widehat{f^{\prime }}(\xi )=\mathrm{i}\xi \hat{f}(\xi )$.

Étape 3: ordre $k$. On applique (8.9) successivement à $f^{(k-1)},f^{(k-2)},\dots ,f$, ce qui est permis puisque chaque $f^{(j)}$ est ${\mathcal{C}}^1$ avec et intégrables; chaque application multiplie par un facteur .

Deux conséquences méritent d'être retenues.

Régularité et décroissance. Si $f,f^{\prime },\dots ,f^{(k)}$ sont intégrables, le théorème 8.1 appliqué à $f^{(k)}$ donne $|\xi {|}^k|\hat{f}(\xi )|=|\widehat{f^{(k)}}(\xi )|\le \Vert f^{(k)}{\Vert }_1$, soit

Plus $f$ est régulière, plus $\hat{f}$ décroît vite. C'est la version continue de la décroissance des coefficients de Fourier selon la régularité, vue au chapitre 7. La porte, discontinue, a une transformée en $1/|\xi |$; la gaussienne, indéfiniment dérivable avec toutes ses dérivées intégrables, a une transformée qui décroît plus vite que toute puissance de $1/|\xi |$.

La règle duale. Réciproquement, multiplier $f$ par la variable revient à dériver la transformée: si $f$ et $xf(x)$ sont intégrables, alors $\hat{f}$ est dérivable et

La preuve consiste à dériver (8.3) sous le signe intégrale, ce qui est légitime sous la domination $|xf(x)|$, intégrable; c'est le même théorème admis que dans la démonstration du théorème 8.2. Plus $f$ décroît vite, plus $\hat{f}$ est régulière: les rôles sont exactement échangés.

Convolution

Définition

Si, par exemple, $g$ est bornée par $M$, l'intégrande est majoré par $M|f(y)|$ et l'intégrale converge absolument pour tout $x$. Le changement de variable $z=x-y$ montre que $f\ast g=g\ast f$. On admet de plus, par le théorème de Fubini (prouvé en Analyse II, chapitre 9, sur un domaine borné, et admis ici pour les intégrales impropres absolument convergentes sur , dont la démonstration relève de la théorie de la mesure), que est intégrable, avec

La valeur $(f\ast g)(x)$ est une moyenne de $f$ pondérée par $g$ retournée et centrée en $x$. Si $g\ge 0$ est d'intégrale 1 et concentrée près de 0, $f\ast g$ est une version lissée de $f$: chaque valeur y est remplacée par une moyenne de ses voisines. C'est l'opération que réalise tout appareil de mesure de résolution finie, et tout filtre linéaire invariant dans le temps: la sortie du filtre RC de l'exemple 8.2 est , la convolution de l'entrée par la réponse impulsionnelle.

La figure 8.2 montre le calcul sur le cas le plus simple, la porte convoluée avec elle-même. Pour $f=1_{[-1,1]}$, l'intégrande $f(y)f(x-y)$ vaut 1 exactement quand $y\in [-1,1]$ et $y\in [x-1,x+1]$, de sorte que est la de ces deux intervalles. Elle vaut pour et 0 au-delà:

La quadrature numérique de (8.11) donne $2$, $1,2$, $0,5$ et $0$ en $x=0$; $0,8$; $1,5$; $2,5$, conformément à (8.12).

Observez sur la figure que la convolution régularise: deux portes discontinues donnent un triangle continu. Nous allons voir que sa transformée décroît en $1/{\xi }^2$, plus vite que celle de la porte.

Le théorème de convolution

Démonstration. Par définition,

Interversion. La fonction de deux variables $(x,y)\mapsto f(y)g(x-y){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}$ est absolument intégrable sur ${\mathbb{R}}^2$: en intégrant d'abord en $x$, puis en $y$, . Le théorème de Fubini (admis pour les intégrales impropres absolument convergentes sur ; Analyse II, chapitre 9, le démontre sur les domaines bornés) permet alors d'intégrer dans l'ordre inverse:

Changement de variable. Dans l'intégrale intérieure, $y$ est fixé; posons $z=x-y$: $\int g(x-y){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}\mathrm{d}x=\int g(z){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi (z+y)}\mathrm{d}z={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi y}\hat{g}(\xi )$. C'est la règle de translation du théorème 8.3.

Conclusion. Il reste $\widehat{f\ast g}(\xi )=\hat{g}(\xi )\int f(y){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi y}\mathrm{d}y=\hat{f}(\xi )\hat{g}(\xi )$.

La convolution, opération intégrale coûteuse, devient après transformation un simple produit. C'est l'énoncé central du traitement du signal: un filtre linéaire invariant multiplie le spectre de l'entrée par sa fonction de transfert. Pour le filtre RC de l'exemple 8.2, $\hat{u}(\omega )=\hat{e}(\omega )/(1+\mathrm{i}\omega \tau )$: les composantes de pulsation élevée sont atténuées, d'où le nom de passe-bas.

La formule duale. Le produit ordinaire se transforme lui aussi en convolution, mais avec un facteur: sous des hypothèses convenables (par exemple $f$, $g$, $\hat{f}$, $\hat{g}$ intégrables),

Elle se déduit de (8.13) et de la formule d'inversion; nous l'admettons. Attention au facteur, qui dépend de la convention: il vaut $\frac{1}{2\pi }$ en convention A, $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ en convention B, et disparaît en convention C, où l'on a simplement . De même, (8.13) prend en convention B la forme . Une formule de convolution recopiée sans vérifier la convention est fausse d'un facteur ou une fois sur deux.

La formule d'inversion

L'heuristique du début du chapitre a produit la formule (8.2). Voici ce qu'on sait en démontrer.

Démonstration (esquisse; le passage à la limite est admis). Pour $R$ fixé, l'intégrale sur $[-R,R]\times \mathbb{R}$ de $|f(y)|$ est finie ($2R\Vert f{\Vert }_1$), donc on peut intervertir les intégrations:

Le noyau $D_R(u)=\frac{\sin (Ru)}{\pi u}$ joue ici exactement le rôle du noyau de Dirichlet $D_N$ du chapitre 7: son intégrale vaut 1 et, quand grandit, il se concentre près de en oscillant de plus en plus vite ailleurs. La suite de l'argument sépare, comme pour le théorème de Dirichlet, un voisinage de , où l'hypothèse par morceaux fournit les limites , et le reste de la droite, où le lemme de Riemann–Lebesgue fait tendre la contribution vers 0. Ce dernier contrôle, uniforme sur une droite entière, demande le théorème de convergence dominée: c'est pourquoi la démonstration complète est admise et renvoyée à un cours de théorie de la mesure.

Trois conséquences.

L'injectivité. Si $f$ et $g$ sont continues, intégrables et ${\mathcal{C}}^1$ par morceaux, avec $\hat{f}=\hat{g}$, alors $f=g$: appliquer (8.15) à . Une fonction est déterminée par sa transformée, ce qui justifie de «lire» une solution dans une table de transformées, comme à l'exemple 8.4.

L'intégrale de Dirichlet. Appliquons (8.15) à la porte en $x=0$, point de continuité où elle vaut 1:

l'intégrale étant la limite des intégrales sur $[-R,R]$. Ce calcul, difficile par les méthodes d'Analyse I, sort ici gratuitement. En $x=1$, point de saut, (8.15) donne $\frac{1}{2}$, la moyenne des limites 0 et 1. La table suivante donne les intégrales tronquées, calculées par quadrature; la convergence est lente et oscillante, comme celle des sommes partielles de Fourier près d'un saut.

La dualité. Comparez (8.3) et la formule d'inversion: elles ne diffèrent que par le signe de l'exponentielle et le facteur $\frac{1}{2\pi }$. Si $f$ et $\hat{f}$ sont intégrables et $f$ continue, remplacer $x$ par $-x$ dans l'inversion donne

Toute paire connue en fournit donc une seconde. De (8.6) avec $a=1$, ${\mathrm{e}}^{-|x|}\mapsto \frac{2}{1+{\xi }^2}$, on tire, en transformant une seconde fois et en divisant par 2,

Vérification par quadrature: $\pi {\mathrm{e}}^{-1}=1,155727$ en $\xi =1$, reproduit à $5\cdot 10^{-8}$ près. La lorentzienne a une transformée qui a un pic anguleux en 0: $1/(1+x^2)$ décroît trop lentement pour que soit intégrable, et la règle (8.10) ne s'applique pas. En convention B, (8.16) devient , sans facteur; en convention C aussi.

L'identité de Plancherel

La série de Fourier conservait l'énergie: c'était l'identité de Parseval du chapitre 7, $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f{|}^2=\sum |c_n{|}^2$. La transformée de Fourier fait de même.

Démonstration (dans le cas où le théorème 8.6 s'applique à la fonction $h$ ci-dessous). Posons $\tilde{f}(x)=\overline{f(-x)}$. Par les règles de conjugaison et d'échelle ($\lambda =-1$) du théorème 8.3, $\hat{\tilde{f}}(\xi )=\overline{\hat{f}(\xi )}$. Soit . Par le théorème de convolution,

Si $h$ est continue en 0 et vérifie les hypothèses du théorème 8.6 (c'est le cas, par exemple, si $f$ est ${\mathcal{C}}^1$ par morceaux et nulle hors d'un intervalle borné; on l'admet), la formule (8.15) en $x=0$ donne

Comme l'intégrande est positif, cette limite est une intégrale impropre ordinaire, convergente puisque la limite est finie: $\hat{f}\in L^2$ et (8.17) est établie. La forme générale s'en déduit en appliquant (8.17) à $f+g$ et $f+\mathrm{i}g$ (identité de polarisation). Le cas général $f\in L^1\cap L^2$ est admis.

La vérification témoin sur la porte. Pour $f=1_{[-1,1]}$, $\int |f{|}^2=2$. De l'autre côté, $|\hat{f}{|}^2=4{\sin }^2\xi /{\xi }^2$, qui est exactement la transformée du triangle de l'exemple 8.3, et son intégrale vaut :

La quadrature numérique confirme: sur $[-4000,4000]$, l'intégrale vaut $12,565370$; la queue restante, $2{\int }_{4000}^{\infty }4{\sin }^2\xi /{\xi }^2\mathrm{d}\xi \approx 4/4000$, porte le total à , contre . Lue à l'envers, l'identité est un résultat de calcul: .

Les deux autres paires. Pour l'exponentielle bilatérale ${\mathrm{e}}^{-|x|}$, $\int {\mathrm{e}}^{-2|x|}\mathrm{d}x=1$ et $\frac{1}{2\pi }\int \frac{4}{(1+{\xi }^2{)}^2}\mathrm{d}\xi =1$, ce qui donne au passage . Pour la gaussienne, et . Les deux égalités ont été contrôlées par quadrature des deux membres.

L'interprétation physique est celle de Parseval: si $f(t)$ est un signal, $\int |f{|}^2\mathrm{d}t$ est son énergie, et $\frac{1}{2\pi }|\hat{f}(\omega ){|}^2$ est sa , l'énergie portée par les pulsations comprises entre et . Plancherel dit que l'énergie totale se lit indifféremment sur le signal ou sur son spectre.

Le principe d'incertitude

Largeur d'une fonction et largeur de sa transformée

La règle de changement d'échelle et la figure 8.1 l'ont suggéré: on ne peut pas comprimer à la fois $f$ et $\hat{f}$. Pour le dire en chiffres, il faut mesurer une largeur. Traitons $|f{|}^2$ comme une densité de masse (ou de probabilité, après normalisation) et prenons son écart quadratique autour de l'origine:

Pour une fonction centrée en 0, comme toutes celles de ce chapitre, $\Delta x$ mesure l'étalement de $f$, et $\Delta \xi$ celui de son spectre. Le théorème 8.4 et Plancherel permettent de calculer $\Delta \xi$ sans passer par $\hat{f}$: puisque $\xi \hat{f}=-\mathrm{i}\widehat{f^{\prime }}$, on a , et de même , d'où

Démonstration. Une intégration par parties. Comme $|f{|}^2=f\bar{f}$, sa dérivée est $f^{\prime }\bar{f}+f{\bar{f}}^{\prime }=2\mathrm{Re}\left(f^{\prime }\bar{f}\right)$. Intégrons par parties sur , puis faisons tendre vers l'infini; le crochet tend vers 0 par hypothèse:

Cauchy–Schwarz. La partie réelle est majorée par le module, et l'inégalité de Cauchy–Schwarz pour les intégrales donne

Conclusion. Élevons au carré et divisons par $(\int |f{|}^2{)}^2$: d'après (8.18) et (8.19),

qui est (8.20). Cas d'égalité. Il faut l'égalité dans Cauchy–Schwarz, donc $f^{\prime }(x)=-cxf(x)$ pour une constante $c$, et l'égalité entre partie réelle et module, qui impose $c$ réel; l'intégrabilité impose $c>0$. L'équation $f^{\prime }=-cxf$ a pour solutions (Analyse II, chapitre 1). Réciproquement, on vérifie ci-dessous que ces gaussiennes réalisent l'égalité.

La gaussienne réalise l'égalité

Prenons $f(x)={\mathrm{e}}^{-x^2/(2{\sigma }^2)}$. Alors $|f{|}^2={\mathrm{e}}^{-x^2/{\sigma }^2}$ est une gaussienne d'écart-type , donc . D'après (8.8), est une gaussienne d'écart-type , donc . Leur produit vaut

Les quadratures numériques de (8.18) et (8.19) donnent, pour $\sigma =0,5$, $1$ et $2$: $\Delta x=0,353553$, $0,707107$, $1,414214$ et $\Delta \xi =1,414214$, , , soit un produit égal à dans les trois cas. Pour , le calcul de directement à partir de , sans passer par (8.19), redonne .

Toutes les fonctions ne réalisent pas l'égalité. Pour l'exponentielle bilatérale $f(x)={\mathrm{e}}^{-|x|/s}$, un calcul analogue (fait par quadrature dans l'explorateur ci-dessous, et à la main à l'exercice 8.5) donne $\Delta x=s/\sqrt{2}$ et , d'où un produit , lui aussi indépendant de , mais strictement supérieur à . Pour la porte, est : n'est pas intégrable. La discontinuité de la porte se paie, encore une fois, dans les hautes fréquences.

Remarquez enfin que le produit $\Delta x\Delta \xi$ ne dépend jamais de la largeur: la règle de changement d'échelle multiplie $\Delta x$ par $1/\lambda$ et $\Delta \xi$ par $\lambda$. Il ne dépend que de la forme du profil, et la gaussienne est la forme optimale.

Ce que dit le principe, et dans quelles unités

Le principe d'incertitude est un théorème d'analyse, pas une limitation des instruments: il n'existe aucune fonction à la fois très concentrée et de spectre très concentré. Il a trois lectures courantes, et chacune dépend de la convention.

• En traitement du signal, une impulsion de durée $\Delta t$ occupe une bande de pulsations $\Delta \omega \ge 1/(2\Delta t)$. Pour une impulsion gaussienne d'écart-type $\sigma =1$ ns en amplitude, $\Delta t=\sigma /\sqrt{2}=7,07\cdot 10^{-10}$ s et rad/s. Transmettre des impulsions plus brèves exige une bande plus large. : en convention C, avec la fréquence , l'inégalité devient ; c'est sous cette forme qu'on la trouve dans les livres de télécommunications.

Une mise en garde: $L^1$ n'est pas stable par transformation

La définition (8.3) demande $f\in L^1$, et le théorème 8.1 garantit que $\hat{f}$ est alors bornée, continue et tend vers 0. Il ne garantit pas que $\hat{f}$ soit intégrable, et c'est souvent faux.

La leçon rejoint celle du phénomène de Gibbs au chapitre 7: une discontinuité se paie par une décroissance lente des coefficients ou de la transformée, et une convergence qui n'est plus absolue.

Synthèse

• La transformée de Fourier $\hat{f}(\xi )=\int f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}\mathrm{d}x$ est la limite heuristique de la série de Fourier quand la période tend vers l'infini: les coefficients $c_n$ sont des échantillons de , et l'inverse porte le facteur . Deux autres conventions existent; on convertit par et .

Exercices

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Références

• Stein, E. M. et Shakarchi, R., Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, Princeton, chap. 5 (transformée de Fourier sur $\mathbb{R}$). Attention: convention C, $\hat{f}(\xi )=\int f(x){\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}x$; convertir par ${\hat{f}}_C(\nu )=\hat{f}(2\pi \nu )$.