Intégrales curvilignes et champs conservatifs

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• paramétrer une courbe, reconnaître une courbe régulière, changer de paramétrage et dire si ce changement conserve ou renverse l'orientation;
• calculer la longueur d'un arc, l'abscisse curviligne et l'intégrale curviligne ${\int }_{\gamma }f\mathrm{d}s$ d'une fonction scalaire (masse d'un fil, centre de gravité);
• calculer le travail ${\int }_{\gamma }\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ d'un champ de vecteurs le long d'un chemin orienté et expliquer pourquoi lui seul change de signe avec l'orientation;
• énoncer et démontrer le théorème du gradient, et l'utiliser pour calculer un travail sans paramétrer le chemin;
• démontrer l'équivalence entre champ conservatif, travail indépendant du chemin et circulation nulle sur toute courbe fermée, puis trouver un potentiel par intégrations successives;
• utiliser la condition $\mathrm{rot}\mathbf{F}=0$ comme test, savoir qu'elle ne suffit pas sur le plan épointé, et qu'elle suffit sur un domaine simplement connexe.

Le chapitre 1 a défini les champs de vecteurs, le gradient et le rotationnel, et il a présenté les deux champs témoins du cours: le champ conservatif $\mathbf{F}(x,y)=(2xy,x^2+3y^2)$ et le champ tournant $\mathbf{G}(x,y)=(-y,x)$. Ce chapitre les intègre le long de courbes. La question qui l'organise est simple à poser: La réponse tient en une équivalence démontrée et en un contre-exemple qu'il faut connaître par cœur.

Dans tout le chapitre, le rotationnel d'un champ plan $\mathbf{F}=(P,Q)$ est le scalaire $\mathrm{rot}\mathbf{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$, et celui d'un champ de l'espace est le vecteur du chapitre 1; nous n'utilisons pas la notation ici.

Courbes paramétrées

Chemins, courbes et régularité

Une courbe se décrit le plus commodément comme la trajectoire d'un point mobile: à chaque instant $t$ d'un intervalle, on associe une position dans le plan ou dans l'espace. Cette description contient plus d'information que l'ensemble des points parcourus: elle dit aussi dans quel ordre et à quelle vitesse on les parcourt. Le chapitre entier tourne autour de la question de savoir quelle part de cette information compte.

Les chemins ${\mathcal{C}}^1$ par morceaux sont ceux dont on a besoin en pratique: le bord d'un carré, une ligne brisée, un demi-cercle fermé par son diamètre. Aux points anguleux $t_k$, la vitesse a une limite à gauche et une limite à droite, différentes en général; cela ne gêne aucune des intégrales de ce chapitre, qui se calculent morceau par morceau.

Quelques paramétrages reviendront sans cesse:

• le segment de $\mathbf{A}$ à $\mathbf{B}$: $\gamma (t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{B}-\mathbf{A})$, $t\in [0,1]$, de vitesse constante $\mathbf{B}-\mathbf{A}$;

La régularité exclut les arrêts du point mobile. Elle n'est pas une propriété du support: la parabole $y=x^2$ est parcourue régulièrement par $\gamma (t)=(t,t^2)$, mais pas par $\tilde{\gamma }(t)=(t^3,t^6)$, dont la vitesse s'annule en , alors que les deux chemins ont exactement le même support. Inversement, le chemin a une vitesse nulle en et son support, la parabole semi-cubique , présente un point de rebroussement à l'origine: aucun paramétrage régulier ne l'effacera. Pour les intégrales curvilignes, la régularité n'est d'ailleurs pas indispensable; elle le devient lorsque l'on veut un vecteur tangent unitaire, donc une abscisse curviligne qui croît strictement.

Reparamétrage et orientation

Le même support peut être parcouru de bien des manières. On passe de l'une à l'autre en changeant d'horloge.

Une courbe orientée est, au fond, la classe de tous les chemins qui se déduisent les uns des autres par un reparamétrage conservant l'orientation; c'est l'objet géométrique «support + sens de parcours», débarrassé de l'horloge. Le point important est que deux informations survivent au changement d'horloge: le support, et le sens de parcours si l'on se restreint à ${\phi }^{\prime }>0$. Toutes les intégrales de ce chapitre devront en dépendre au plus: une intégrale qui dépendrait de la vitesse du point mobile ne serait pas une propriété de la courbe.

Par exemple, $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$, $t\in [0,\pi ]$, et $\tilde{\gamma }(u)=(-u,\sqrt{1-u^2})$, , décrivent le même demi-cercle supérieur de à : le changement de paramètre est , croissant. Le second chemin n'est pas dérivable aux extrémités, où sa vitesse devient infinie; c'est pourquoi on préfère presque toujours le paramétrage angulaire pour un arc de cercle. Le demi-cercle parcouru de à est .

Longueur d'arc et abscisse curviligne

Longueur d'un chemin

L'Analyse I (chapitre 11, formule 11.9) a donné la longueur du graphe d'une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$: $L={\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}\mathrm{d}x$. La même idée s'applique à tout chemin. On inscrit dans la courbe une ligne brisée de sommets ; la corde entre deux sommets voisins mesure

par la définition même de la dérivée. La somme des cordes est donc une somme de Riemann de $\Vert {\gamma }^{\prime }\Vert$, et elle tend vers son intégrale lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro. On démontre (par le théorème des accroissements finis appliqué composante par composante, et la continuité uniforme de ${\gamma }^{\prime }$ sur $[a,b]$) que cette limite est aussi la borne supérieure des longueurs de toutes les lignes brisées inscrites, ce qui justifie la définition suivante.

Pour un graphe $\gamma (t)=(t,f(t))$, on a $\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{1+f^{\prime }(t{)}^2}$ et l'on retrouve la formule d'Analyse I. La figure 2.1 montre ce qui se passe pour la parabole , , qui servira de chemin témoin dans tout le chapitre. Sa longueur se calcule avec la substitution :

La corde unique de $(0,0)$ à $(1,2)$ mesure $\sqrt{5}\approx 2,236068$; la ligne brisée à deux cordes, $2,288246$; à quatre cordes, $2,313362$; à huit cordes, . Les lignes brisées restent en dessous de la longueur de l'arc, conformément à l'inégalité triangulaire, et s'en approchent: avec quatre cordes l'écart relatif n'est plus que de .

La longueur ne dépend pas du paramétrage

Si la longueur dépendait de l'horloge choisie, elle ne serait pas une propriété de la courbe. Le résultat suivant, qui contient aussi le cas de l'intégrale scalaire de la section suivante, montre qu'il n'en est rien, et qu'elle ne dépend même pas du sens de parcours.

Démonstration. Par la règle de dérivation des fonctions composées (Analyse I, chapitre 7), ${\tilde{\gamma }}^{\prime }(u)={\gamma }^{\prime }(\phi (u)){\phi }^{\prime }(u)$, donc $\Vert {\tilde{\gamma }}^{\prime }(u)\Vert =\Vert {\gamma }^{\prime }(\phi (u))\Vert |{\phi }^{\prime }(u)|$. Si , alors , , , et le changement de variable (Analyse I, chapitre 11) donne

Si ${\phi }^{\prime }<0$, alors $\phi (c)=b$, $\phi (d)=a$ et $|{\phi }^{\prime }|=-{\phi }^{\prime }$; le même changement de variable donne

et le second membre vaut ${\int }_a^{b}f(\gamma (t))\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert \mathrm{d}t$: les deux signes moins se compensent. Le chemin opposé est le cas $\phi (u)=a+b-u$.

Retenez le mécanisme, car il va resservir: la valeur absolue $|{\phi }^{\prime }|$ provient de la norme de la vitesse, et c'est elle qui absorbe le renversement des bornes. Une intégrale où la vitesse entre sans norme se comportera autrement.

L'abscisse curviligne

L'élément d'arc est le côté oblique du petit triangle de la figure 2.1: $\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2$, avec $\mathrm{d}x=x^{\prime }(t)\mathrm{d}t$ et . C'est le théorème de Pythagore à l'échelle infinitésimale, exactement comme en Analyse I.

Comme $\gamma$ est régulier, $s^{\prime }>0$: la fonction $s$ est une bijection strictement croissante de classe ${\mathcal{C}}^1$ de $[a,b]$ sur $[0,L]$, et sa réciproque $t=t(s)$ l'est aussi. Le chemin , , est un reparamétrage qui conserve l'orientation; c'est le (ou paramétrage normal). Sa vitesse est unitaire:

On parcourt la courbe «à vitesse un»: le paramètre $s$ est la distance parcourue le long de la courbe. Sur la figure 2.1, les graduations $s=0,5$, $1$, $1,5$, $2$ sont également espacées le long de l'arc, alors que les valeurs de $t$ correspondantes ne le sont pas: par exemple $s(0,5)\approx 0,739$, mais la seconde moitié de l'intervalle en $t$ couvre les restants, car la parabole se redresse.

Ce paramétrage a une grande valeur théorique (c'est lui qu'on utilise pour définir la courbure en géométrie différentielle) et une valeur pratique très limitée: pour la parabole, il faudrait inverser $s(t)=\frac{1}{2}t\sqrt{1+16t^2}+\frac{1}{8}\mathrm{arsinh}(4t)$, ce qui ne se fait pas en termes de fonctions élémentaires. On s'en sert donc comme d'un outil de raisonnement, et l'on calcule avec le paramétrage que l'on a.

Intégrale curviligne d'une fonction scalaire

Définition et interprétation

Supposons qu'un fil mince épouse le support d'un chemin $\gamma$ et que sa masse linéique (en kg/m) varie le long du fil: elle vaut $\lambda (\mathbf{x})$ au point $\mathbf{x}$. Un petit morceau de fil de longueur $\Delta s$ autour de $\gamma (t)$ a une masse voisine de $\lambda (\gamma (t))\Delta s\approx \lambda (\gamma (t))\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert \Delta t$. En sommant et en passant à la limite, on obtient la masse totale comme une intégrale par rapport à l'élément d'arc.

Le théorème 2.1 dit précisément que (2.3) ne dépend ni du paramétrage ni de l'orientation: ${\int }_{-\gamma }f\mathrm{d}s={\int }_{\gamma }f\mathrm{d}s$. C'est une propriété de la courbe non orientée, ce que l'interprétation physique exige: la masse d'un fil ne dépend pas du bout par lequel on commence à la compter. Avec $f=1$, on retrouve la longueur; avec , la masse ; et les coordonnées du centre de gravité du fil sont

avec une troisième formule analogue dans l'espace. La valeur moyenne de $f$ le long de la courbe est $\frac{1}{L}{\int }_{\gamma }f\mathrm{d}s$; la charge électrique totale d'un fil chargé avec une densité linéique $\rho$ est ${\int }_{\gamma }\rho \mathrm{d}s$; le moment d'inertie d'un anneau par rapport à un axe est , où est la distance à l'axe. La même intégrale sert partout où une grandeur se répartit le long d'une ligne.

Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs: le travail

Définition

Une force $\mathbf{F}$ constante qui déplace son point d'application en ligne droite de $\mathbf{A}$ à $\mathbf{B}$ fournit le travail $\mathbf{F}\cdot (\mathbf{B}-\mathbf{A})$: seule la composante de la force parallèle au déplacement travaille. Si la force varie d'un point à l'autre et que le déplacement suit une courbe, on découpe le chemin en petits déplacements $\Delta \mathbf{r}\approx {\gamma }^{\prime }(t)\Delta t$, sur chacun desquels la force est presque constante, et l'on somme les travaux élémentaires .

Deux autres écritures sont d'usage courant. En composantes, avec $\mathbf{F}=(P,Q)$ et $\mathrm{d}\mathbf{r}=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$,

et de même avec trois termes $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$ dans l'espace. L'expression $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ s'appelle une forme différentielle; nous nous contenterons de la lire comme une abréviation de la formule de droite. Pour un chemin régulier, on peut aussi écrire ${\gamma }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\mathbf{T}\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert \mathrm{d}t=\mathbf{T}\mathrm{d}s$, d'où

le travail est l'intégrale scalaire de la composante tangentielle $\mathbf{F}\cdot \mathbf{T}$ du champ. Une force partout perpendiculaire au déplacement ne travaille pas: c'est le cas de la force de Lorentz $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ sur une particule chargée, et c'est pourquoi un champ magnétique courbe les trajectoires sans jamais changer l'énergie cinétique.

Le travail dépend de l'orientation, et d'elle seule

La formule (2.6) cache un changement de signe. Si l'on parcourt la courbe en sens inverse, le vecteur tangent unitaire $\mathbf{T}$ se retourne, tandis que $\mathrm{d}s$ reste positif: le travail change de signe. Voici l'énoncé précis, qui est la première obligation de démonstration du chapitre.

Démonstration. Traitons d'abord un chemin de classe ${\mathcal{C}}^1$ et un reparamétrage $\phi :[c,d]\to [a,b]$. Par la règle de dérivation des fonctions composées, ${\tilde{\gamma }}^{\prime }(u)={\gamma }^{\prime }(\phi (u)){\phi }^{\prime }(u)$, donc

La fonction $g(t)=\mathbf{F}(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)$ est continue sur $[a,b]$, et l'intégrale ci-dessus est ${\int }_c^{d}g(\phi (u)){\phi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u$. Le changement de variable (Analyse I, chapitre 11) la transforme en .

• Si ${\phi }^{\prime }>0$, alors $\phi (c)=a$ et $\phi (d)=b$: on obtient ${\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t={\int }_{\gamma }\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$.

Pour un chemin ${\mathcal{C}}^1$ par morceaux de subdivision $t_0<\cdots <t_m$, l'intégrale (2.5) est par définition la somme des intégrales sur les $[t_{k-1},t_k]$; un reparamétrage envoie la subdivision de formée des sur celle-ci, et l'on applique le cas précédent à chaque morceau. Le chemin opposé correspond à , de dérivée . Enfin, l'additivité par rapport à la juxtaposition est la relation de Chasles pour les intégrales sur les morceaux successifs.

Il n'y a donc que deux informations dont le travail dépend: le support et le sens de parcours. C'est pourquoi on parle volontiers du travail «le long d'une courbe orientée», sans préciser le paramétrage. Il n'est pas indépendant du support, en général: deux courbes différentes de $\mathbf{A}$ à $\mathbf{B}$ donnent des travaux différents. Nous allons voir que les champs pour lesquels le support n'importe pas non plus sont exactement les gradients.

Le théorème du gradient

Le champ témoin $\mathbf{F}$ a fourni le même travail sur trois chemins. L'explication tient en une ligne: $\mathbf{F}$ est le gradient de $f(x,y)=x^{2}y+y^3$ (le vérifier prend un instant: ${\partial }_{x}f=2xy$, ), et . Le travail d'un gradient est une différence de valeurs aux extrémités, exactement comme l'intégrale d'une dérivée en Analyse I.

Démonstration. Supposons d'abord $\gamma$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$ et posons $g(t)=f(\gamma (t))$. Comme $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, elle est différentiable, et la règle de dérivation le long d'une courbe (Analyse II, chapitre 4, théorème 4.4) donne

Cette fonction est continue, puisque $\nabla f$, $\gamma$ et ${\gamma }^{\prime }$ le sont. Le théorème fondamental de l'analyse (Analyse I, chapitre 10) donne alors

Si $\gamma$ n'est que ${\mathcal{C}}^1$ par morceaux, de subdivision $a=t_0<\cdots <t_m=b$, on applique ce qui précède à chaque morceau et l'on somme:

car la somme est télescopique; c'est ici que sert la continuité de $\gamma$ aux points de raccord. Si $\gamma$ est fermé, $\gamma (b)=\gamma (a)$ et le travail est nul. $\square$

Le théorème du gradient est la version à plusieurs variables du théorème fondamental de l'analyse: ${\int }_a^b{g}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=g(b)-g(a)$. Il en a la puissance. Sur la figure 2.2, les courbes grises sont les lignes de niveau $f=2,4,6,8,10$ du potentiel; chacun des deux chemins part de la ligne (l'axe , qui contient ) et arrive sur la ligne (qui contient ). Le travail est la différence de «niveau» entre l'arrivée et le départ, quel que soit le trajet, comme la différence d'altitude entre deux points d'une carte topographique ne dépend pas du sentier suivi.

Champs conservatifs

Trois propriétés équivalentes

Le théorème du gradient dit qu'un gradient a un travail indépendant du chemin. La réciproque est la partie profonde du chapitre: tout champ continu dont le travail est indépendant du chemin est un gradient. Pour l'énoncer, il faut un domaine où deux points quelconques sont reliés par un chemin, et des chemins de la bonne régularité.

La définition de la connexité par arcs ne demande que des chemins continus, alors que nos intégrales réclament des chemins ${\mathcal{C}}^1$ par morceaux. Le lemme suivant comble cet écart.

Démonstration. Fixons ${\mathbf{x}}_0\in U$ et appelons $V$ l'ensemble des points de $U$ que l'on peut relier à ${\mathbf{x}}_0$ par une ligne brisée à segments parallèles aux axes, contenue dans $U$. Si $\mathbf{x}\in U$, une boule est contenue dans (car est ouvert), et tout point de cette boule est relié à dans la boule par au plus segments parallèles aux axes (on corrige une coordonnée après l'autre; les points intermédiaires restent à distance au plus de ). Il en découle que si , toute la boule est dans , et que si , aucun point de la boule n'est dans . Ainsi et sont tous deux ouverts.

Soit maintenant $\mathbf{y}\in U$ et $c:[0,1]\to U$ un chemin continu de ${\mathbf{x}}_0$ à $\mathbf{y}$. Posons $\tau =\sup \{t\in [0,1]:c([0,t])\subset V\}$; on a puisque et que est ouvert. Si était dans l'ouvert , par continuité y serait aussi pour proche de , y compris un peu avant , ce qui contredit la définition de . Donc ; si , par continuité encore un peu au-delà de , contradiction. Ainsi et .

Nous pouvons maintenant démontrer l'équivalence annoncée, deuxième obligation de démonstration du chapitre.

Démonstration. (1) ⟹ (2). C'est le théorème du gradient 2.3: tout chemin de $\mathbf{A}$ à $\mathbf{B}$ donne le travail $f(\mathbf{B})-f(\mathbf{A})$.

(2) ⟹ (3). Soit $\gamma$ un chemin fermé d'origine et d'extrémité $\mathbf{A}$. Le chemin constant $\kappa (t)=\mathbf{A}$, $t\in [0,1]$, est de classe ${\mathcal{C}}^1$, va lui aussi de $\mathbf{A}$ à $\mathbf{A}$, et son travail est nul puisque . Par (2), .

(3) ⟹ (2). Soient ${\gamma }_1$ et ${\gamma }_2$ deux chemins de $\mathbf{A}$ à $\mathbf{B}$ dans $U$. La juxtaposition ${\gamma }_1+(-{\gamma }_2)$ va de à puis revient en : c'est un chemin fermé dans . Par (3) et le théorème 2.2,

(2) ⟹ (1). Fixons ${\mathbf{x}}_0\in U$. Pour $\mathbf{x}\in U$, il existe un chemin ${\mathcal{C}}^1$ par morceaux de ${\mathbf{x}}_0$ à $\mathbf{x}$ dans (théorème 2.4), et par (2) le nombre ne dépend pas du chemin choisi: est bien définie. Montrons que pour chaque coordonnée .

Soit $r>0$ tel que $B(\mathbf{x},r)\subset U$, et $h$ un réel avec $0<|h|<r$. Le segment $\sigma (s)=\mathbf{x}+s{\mathbf{e}}_i$, entre et , reste dans la boule. Le chemin va de à ; comme le travail ne dépend pas du chemin,

(Pour $h<0$, on parcourt $\sigma$ de $s=0$ à $s=h$ et la formule est la même, avec des bornes dans l'ordre inverse.) La fonction $s\mapsto F_i(\mathbf{x}+s{\mathbf{e}}_i)$ est continue, donc par le théorème fondamental de l'analyse,

Ainsi $f$ admet des dérivées partielles ${\partial }_{i}f=F_i$, continues sur $U$; $f$ est donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ (Analyse II, chapitre 3) et .

Le théorème donne plus qu'une équivalence: la démonstration de (2) ⟹ (1) construit le potentiel, en intégrant le champ depuis un point fixé. C'est exactement ce que fait un topographe qui reconstitue l'altitude en cumulant les pentes le long d'un cheminement.

Démonstration. Si $\nabla f_1=\nabla f_2=\mathbf{F}$, alors $g=f_1-f_2$ vérifie . Pour , relions-les par un chemin par morceaux dans (théorème 2.4); le théorème du gradient donne . Donc est constante.

L'hypothèse de connexité est indispensable: sur la réunion de deux disques disjoints, on peut ajouter à un potentiel une constante différente sur chaque disque.

L'explorateur ci-dessus reprend l'exemple 2.3 avec une famille continue de chemins: des arcs de parabole (courbes de Bézier quadratiques) de $\mathbf{A}$ à $\mathbf{B}$, déformés par un point de contrôle $C$. Sa position initiale, $C=(0,5;0)$, donne exactement le chemin ${\gamma }_2$; avec $C=(0,5;1)$, on obtient le segment . Les deux travaux sont calculés par une quadrature de Simpson à 200 sous-intervalles, et non par une formule: si le travail de reste figé à pendant que la longueur du chemin varie entre (le segment) et (aux coins de la plage des curseurs), ce n'est pas parce que le programme l'affiche, c'est parce que le théorème du gradient l'impose. Celui de , au contraire, vaut sur le segment, sur la parabole, et devient négatif si l'on fait passer le chemin à gauche du segment, par exemple pour : n'est pas conservatif.

Trouver un potentiel

Supposons que l'on sache (ou que l'on soupçonne) qu'un champ plan $\mathbf{F}=(P,Q)$ est conservatif. On cherche $f$ avec ${\partial }_{x}f=P$ et ${\partial }_{y}f=Q$ en intégrant ces deux équations l'une après l'autre.

1. On intègre la première par rapport à $x$, à $y$ fixé: $f(x,y)=\int P(x,y)\mathrm{d}x+C(y)$, où la «constante» d'intégration peut dépendre de $y$.
2. On dérive le résultat par rapport à $y$ et on l'égale à : on obtient une équation pour .

Pour le champ témoin, l'étape 1 donne $f=\int 2xy\mathrm{d}x=x^{2}y+C(y)$. L'étape 2 donne ${\partial }_{y}f=x^2+C^{\prime }(y)$, à égaler à : donc et, à l'étape 3, . Le potentiel est , et l'on vérifie .

Si à l'étape 3 l'expression de $C^{\prime }(y)$ contient encore $x$, le champ n'est pas conservatif, et il est inutile d'insister. Avec $\mathbf{K}=(y^2,x)$, par exemple, l'étape 1 donne $f=x{y}^2+C(y)$, puis , d'où , qui dépend de : aucun potentiel n'existe, ce que confirmait déjà l'exercice interactif de la section précédente.

Dans l'espace, on procède de même avec une variable de plus. Pour $\mathbf{F}(x,y,z)=(yz,xz+2y,xy-{\mathrm{e}}^{-z})$: l'intégration en $x$ donne $f=xyz+C(y,z)$; la condition impose , donc ; enfin impose , donc . Le potentiel est , et le travail de de à vaut , valeur que la quadrature redonne le long du segment comme le long de la cubique gauche .

La démonstration du théorème 2.5 fournit une seconde méthode, souvent plus rapide lorsque le domaine contient les segments nécessaires: intégrer le champ le long d'une ligne brisée parallèle aux axes. Pour le champ témoin, en allant de $(0,0)$ à $(x,0)$ puis à $(x,y)$: le premier segment ne contribue pas (car $P(s,0)=0$), et le second donne ${\int }_0^y(x^2+3s^2)\mathrm{d}s=x^{2}y+y^3$. On retrouve le même potentiel, normalisé par .

Rotationnel nul: nécessaire, mais pas suffisant

La condition nécessaire

Tester si un champ est un gradient en calculant des travaux le long de tous les chemins est impossible. Il faut un critère local, qui se lise sur les dérivées du champ. Le chapitre 1 l'a fourni (théorème 1.5): le rotationnel d'un gradient est nul.

Démonstration. Si $\mathbf{F}=\nabla f$ avec $\mathbf{F}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$, alors $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ et ${\partial }_j{F}_i={\partial }_j{\partial }_{i}f={\partial }_i{\partial }_{j}f={\partial }_i{F}_j$ par le théorème de Schwarz (Analyse II, chapitre 5, théorème 5.1). C'est l'identité du théorème 1.5.

La contraposée est un test de non-conservativité très efficace: si le rotationnel n'est pas nul en un seul point, le champ n'est pas un gradient, et son travail dépend du chemin. Ainsi $\mathbf{G}=(-y,x)$ a $\mathrm{rot}\mathbf{G}=1-(-1)=2$, et $\mathbf{K}=(y^2,x)$ a ; ni l'un ni l'autre ne dérive d'un potentiel. Pour le champ témoin, : le test est passé, ce qui est cohérent avec le potentiel trouvé. Mais passer le test ne suffit pas.

Le contre-exemple du plan épointé

Considérons, sur le plan épointé $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, le champ

Il a la direction du champ tournant $\mathbf{G}$, mais sa norme vaut $1/r$ au lieu de $r$ (avec $r=\sqrt{x^2+y^2}$): il est d'autant plus fort qu'on est proche de l'origine, où il n'est pas défini. C'est, à un facteur près, le champ des vitesses du de l'exemple 1.3, et le champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant (loi de Biot-Savart), dans un plan perpendiculaire au fil.

Son rotationnel est nul. Avec $P=-y/(x^2+y^2)$ et $Q=x/(x^2+y^2)$,

donc $\mathrm{rot}\mathbf{H}=0$ en tout point de $U$.

Sa circulation autour de l'origine vaut $2\pi$. Sur le cercle de rayon $R$ parcouru dans le sens trigonométrique, $\gamma (t)=(R\cos t,R\sin t)$, on a $\mathbf{H}(\gamma (t))=\frac{1}{R}(-\sin t,\cos t)$ et , donc et

quel que soit $R>0$. Une circulation non nulle sur un chemin fermé interdit, par le théorème 2.5, que $\mathbf{H}$ soit conservatif sur $U$. Le rotationnel nul n'y change rien.

Où est la faille? Localement, $\mathbf{H}$ est bien un gradient. Sur le demi-plan $x>0$, la fonction $\theta (x,y)=\arctan (y/x)$ vérifie

c'est l'angle polaire, et $\mathbf{H}=\nabla \theta$. Plus généralement, sur le plan privé du demi-axe $\{(x,0):x\le 0\}$, l'angle polaire choisi dans $]-\pi ,\pi [$ est une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ dont $\mathbf{H}$ est le gradient. Mais l'angle ne peut pas être défini sur tout le plan épointé: en faisant le tour de l'origine, il augmente de et ne revient pas à sa valeur de départ. La circulation (2.9) mesure exactement ce saut. Le «potentiel» existe par morceaux, mais les morceaux ne se recollent pas.

La figure 2.3 montre aussi un petit cercle qui ne fait pas le tour de l'origine. Il est contenu dans le demi-plan $x>0$, où $\mathbf{H}=\nabla \theta$; par le théorème du gradient, sa circulation est nulle, ce que la quadrature confirme (de l'ordre de $10^{-16}$). La circulation de $\mathbf{H}$ ne dépend donc pas de la forme du chemin fermé, mais de combien de fois il tourne autour du trou. On reviendra sur cette observation au chapitre 3: le théorème de Green expliquera pourquoi deux courbes qui entourent l'origine donnent la même circulation.

Domaines simplement connexes

Domaines étoilés et lemme de Poincaré

Le contre-exemple suggère que le rotationnel nul suffit dès que le domaine n'a pas de trou. La version la plus simple de cette idée porte sur les domaines où l'on peut tout relier à un même point par un segment.

Le plan privé du demi-axe $\{(x,0):x\le 0\}$ est étoilé par rapport au point $(1,0)$: le segment qui joint $(1,0)$ à un point hors du demi-axe ne peut pas rencontrer ce demi-axe, puisqu'il ne coupe l'axe $Ox$ qu'en un point d'abscisse positive (ou pas du tout). Le plan épointé, lui, n'est étoilé par rapport à aucun point: si $\mathbf{a}\ne 0$, le point est dans le domaine, mais le segment passe par l'origine.

La démonstration du théorème suivant dérive une intégrale par rapport à un paramètre. Nous utilisons ce résultat, que l'Analyse II n'a pas démontré, sous la forme suivante: si $g(\mathbf{x},t)$ et ses dérivées partielles ${\partial }_{x_i}g$ sont continues sur $U\times [0,1]$, alors $\mathbf{x}\mapsto {\int }_0^{1}g(\mathbf{x},t)\mathrm{d}t$ est de classe sur et ses dérivées partielles s'obtiennent en dérivant sous le signe intégrale. Nous l'admettons: sa démonstration est un exercice sur la continuité uniforme des fonctions continues sur un compact, et elle est faite en détail dans les ouvrages de référence.

Démonstration. Quitte à translater, supposons $\mathbf{a}=0$, de sorte que $f(\mathbf{x})={\int }_0^1{\sum }_j{F}_j(t\mathbf{x})x_j\mathrm{d}t$. Comme est étoilé par rapport à , le point est dans pour , et l'intégrande est de classe en , à dérivées continues en . En dérivant sous le signe intégrale par rapport à (règle du produit et règle de la chaîne; seul le terme produit une dérivée de ):

L'hypothèse ${\partial }_i{F}_j={\partial }_j{F}_i$ transforme la somme en ${\sum }_{j}t{x}_j({\partial }_j{F}_i)(t\mathbf{x})$, qui vaut par la règle de dérivation le long d'une courbe (la courbe a pour vitesse ). L'intégrande est donc

et le théorème fondamental de l'analyse donne ${\partial }_{i}f(\mathbf{x})=[t{F}_i(t\mathbf{x}){]}_{t=0}^{t=1}=F_i(\mathbf{x})$. Ainsi , et est de classe puisque ses dérivées partielles sont continues.

La démonstration montre exactement où sert l'hypothèse sur le domaine: il faut que tout le segment $[\mathbf{a},\mathbf{x}]$ reste dans $U$, pour que la formule (2.10) ait un sens. Pour $\mathbf{H}$ sur le plan épointé, aucun point $\mathbf{a}$ ne convient; sur le plan privé du demi-axe négatif, $\mathbf{a}=(1,0)$ convient, et la formule (2.10) fournit un potentiel qui est, à une constante près, l'angle polaire dans $]-\pi ,\pi [$ — ce qu'on vérifie en calculant $f(0,1)={\int }_0^1\mathbf{H}(1-t,t)\cdot (-1,1)\mathrm{d}t={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{(1-t{)}^2+t^2}=\frac{\pi }{2}$, l'angle polaire du point .

Domaines simplement connexes

Être étoilé est une condition confortable mais restrictive: une couronne coupée par une fente, un domaine en forme de fer à cheval, ou ${\mathbb{R}}^3$ privé d'un point ne sont pas étoilés, et pourtant le rotationnel nul y garantit un potentiel. La bonne notion est topologique.

Une définition précise demande la notion d'homotopie de chemins, que nous ne développerons pas. Les exemples suffisent à fixer les idées:

• un domaine étoilé est simplement connexe (on contracte le chemin vers $\mathbf{a}$ le long des segments);
• dans le plan: un disque, un demi-plan, le plan privé d'une demi-droite, un domaine en fer à cheval sont simplement connexes; le plan épointé, une couronne $1<r<2$, un disque privé d'un point ne le sont pas;
• dans l'espace: ${\mathbb{R}}^3$ privé d'un point est simplement connexe (un lacet peut toujours contourner le point manquant en passant «par-dessus»); ${\mathbb{R}}^3$ privé d'une droite ne l'est pas (un lacet qui entoure la droite ne peut pas s'en décrocher). Un tore plein non plus.

Le sens direct est le théorème 2.7. Nous admettons la réciproque dans cette généralité. Sa démonstration consiste à montrer que la circulation de $\mathbf{F}$ ne change pas lorsqu'on déforme continûment un chemin fermé, puis à contracter celui-ci en un point; la première étape s'obtient en recouvrant la déformation par de petits disques, sur chacun desquels le lemme de Poincaré 2.8 s'applique, et elle relève d'un cours de topologie ou de géométrie différentielle. Dans le plan, pour des chemins fermés simples, elle découlera directement du théorème de Green au chapitre 3: la circulation de $\mathbf{F}$ le long du bord d'un domaine sans trou y sera l'intégrale double de $\mathrm{rot}\mathbf{F}$, donc nulle.

Le bilan pour le champ $\mathbf{H}$ est maintenant complet:

Dans les deux dernières lignes, c'est la circulation sur un cercle centré à l'origine qui tranche, pas le théorème 2.9: celui-ci ne dit rien sur un domaine qui n'est pas simplement connexe, où un champ à rotationnel nul peut être conservatif (le champ témoin $\mathbf{F}$ restreint au plan épointé l'est toujours) ou ne pas l'être ($\mathbf{H}$).

Récapitulatif pratique

Face à un champ $\mathbf{F}$ dont on veut calculer le travail, la démarche est la suivante.

1. Calculer le rotationnel. S'il n'est pas identiquement nul, le champ n'est pas conservatif: on paramètre le chemin et l'on applique (2.5).
2. S'il est nul, regarder le domaine. Sur un domaine simplement connexe — en pratique, sur un ouvert étoilé qui contient le chemin —, le champ est conservatif: on cherche un potentiel par intégrations successives et l'on applique le théorème du gradient.
3. Si le domaine a un trou (un point, une droite ôtés), rien n'est garanti: on calcule la circulation autour du trou. Si elle est nulle, on peut encore chercher un potentiel; sinon, le travail entre deux points dépend de la manière dont le chemin contourne le trou.

Le champ de gravitation de l'exemple 2.4 illustre le deuxième cas malgré son trou: il est défini sur ${\mathbb{R}}^3$ privé d'un point, qui est simplement connexe, et nous avons d'ailleurs exhibé son potentiel. Le champ $\mathbf{H}$ illustre le troisième.

Synthèse

• Un chemin $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ est une courbe munie d'une horloge; un reparamétrage change l'horloge et conserve ou renverse l'orientation selon le signe de ${\phi }^{\prime }$. Seuls le support et le sens de parcours sont des propriétés de la courbe orientée.
• La longueur $L={\int }_a^b\Vert {\gamma }^{\prime }\Vert \mathrm{d}t$ et l' (masse d'un fil, centre de gravité) ne dépendent ni du paramétrage ni du sens, parce que la vitesse y entre par sa norme. L' reparamètre un chemin régulier à vitesse un.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes (PPUR). Les chapitres sur les intégrales curvilignes et les champs dérivant d'un potentiel, dans la tradition des cours de l'EPFL.
• Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, W. H. Freeman. Exposé détaillé des chemins, de leur paramétrage et des champs conservatifs, avec de nombreuses applications physiques.
• Stewart, J., Analyse — concepts et contextes, vol. 2, De Boeck. Chapitre sur le calcul vectoriel: intégrales curvilignes, théorème fondamental pour les intégrales curvilignes, champs conservatifs.
• Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, Pearson. Chapitres sur les champs de vecteurs et les intégrales curvilignes, avec une discussion soignée des domaines simplement connexes.
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, Wiley. Point de vue de l'ingénieur: travail, indépendance du chemin et potentiel, avec des applications en mécanique et en électrostatique.
• Polycopiés d'Analyse III de l'EPFL, chapitre sur les intégrales curvilignes.