Équations des ondes et de Laplace

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

établir l'équation des ondes pour une corde vibrante à partir de la loi de Newton, en nommant les hypothèses qui la rendent linéaire;
démontrer la formule de d'Alembert, l'interpréter comme la somme de deux ondes progressives et lire sur un dessin le domaine de dépendance d'un point;
résoudre la corde finie fixée à ses extrémités par séparation des variables, calculer ses fréquences propres $n c / (2 L)$ et expliquer ce qui fait le timbre d'une corde pincée;
démontrer la conservation de l'énergie pour l'équation des ondes, en déduire l'unicité, et l'opposer à la dissipation de l'équation de la chaleur;
reconnaître une fonction harmonique, démontrer la propriété de la moyenne et en déduire le principe du maximum;
résoudre le problème de Dirichlet dans un disque par séparation en coordonnées polaires, écrire la formule de Poisson, et classer une équation du second ordre comme elliptique, parabolique ou hyperbolique.

L'équation des ondes

Le chapitre 9 a traité l'équation de la chaleur $u_{t} = u_{xx}$ : une équation d'ordre un en temps, qui décrit une grandeur qui diffuse. Ce dernier chapitre en ajoute deux autres. L'équation des ondes est d'ordre deux en temps, comme la loi de Newton dont elle provient, et elle décrit une grandeur qui se propage. L'équation de Laplace ne contient plus de temps du tout: elle décrit un équilibre. Nous verrons à la fin que ces trois comportements — propager, lisser, équilibrer — sont exactement ce qui distingue les trois familles d'équations aux dérivées partielles linéaires du second ordre, et que les outils des neuf chapitres précédents (les théorèmes intégraux de la première moitié du cours, les séries de Fourier de la seconde) sont précisément ce qu'il faut pour les résoudre.

La corde vibrante

Considérons une corde tendue entre deux points de l'axe $O x$ , par exemple une corde de guitare au repos. Sa masse linéique $μ$ (en kg/m) est constante, et elle est tendue par une force de tension $T$ (en N). Écartons-la légèrement de sa position d'équilibre dans un plan vertical, et notons $u (x, t)$ le déplacement transversal du point d'abscisse $x$ à l'instant $t$ . Nous faisons trois hypothèses:

le mouvement est transversal: chaque point se déplace verticalement, sans glisser le long de l'axe;
les pentes sont petites: $∣ u_{x} ∣ ≪ 1$ , si bien que $1 + u_{x}^{2} \approx 1$ et que la longueur de la corde, donc sa tension, ne changent pas au premier ordre;

Isolons le petit morceau de corde situé au-dessus de l'intervalle $[x, x + Δ x]$ . Sa masse vaut $μ Δ x$ (à l'hypothèse 2 près). À chacune de ses deux extrémités, le reste de la corde tire dessus avec une force de norme $T$ dirigée selon la tangente, qui fait un angle $α$ avec l'horizontale, où $tan α = u_{x}$ . La composante horizontale de la force totale vaut ; comme , elle est du second ordre en et nous la négligeons, ce qui est cohérent avec l'hypothèse 1. La composante vaut

T sin α (x + Δ x, t) - T sin α (x, t) \approx T (u_{x} (x + Δ x, t) - u_{x} (x, t)),

car $sin α = u_{x} / 1 + u_{x}^{2} = u_{x} + O (u_{x}^{3})$ . La deuxième loi de Newton appliquée verticalement au morceau donne

μ Δ x u_{tt} (ξ, t) = T (u_{x} (x + Δ x, t) - u_{x} (x, t))

pour un point $ξ$ du morceau. Divisons par $Δ x$ et faisons tendre $Δ x$ vers 0: le membre de droite devient $T u_{xx} (x, t)$ . On obtient l'équation des ondes

u_{tt} = c^{2} u_{xx}, c = \frac{T}{μ} . (10.1)

La constante $c$ a la dimension d'une vitesse: $T / μ$ s'exprime en $N / (kg/m) = m^{2} / s^{2}$ . Nous allons voir que c'est littéralement la vitesse à laquelle une déformation se propage le long de la corde. Elle augmente avec la tension (on accorde une guitare en tendant la corde) et diminue avec la masse linéique (les cordes graves sont plus grosses, souvent filées de cuivre).

Deux conditions initiales et non une: c'est la différence de structure la plus visible avec l'équation de la chaleur. Pour l'oscillateur $\overset{x}{¨} + ω^{2} x = 0$ du chapitre 1 d'Analyse II, il fallait déjà la position et la vitesse initiales; la corde est une infinité d'oscillateurs couplés, et il faut connaître la position et la vitesse de chacun de ses points.

La linéarisation a un prix qu'il faut savoir nommer. L'équation (10.1) est exacte à l'ordre un en $u_{x}$ ; elle cesse de décrire la corde lorsque la pente n'est plus petite, et elle ignore la raideur (une vraie corde d'acier résiste un peu à la flexion, ce qui ajoute un terme en $u_{xxxx}$ ) et l'amortissement (l'air et le chevalet absorbent l'énergie, ce qui ajoute un terme en $u_{t}$ ). Ces trois effets existent; ils sont faibles pour une corde de guitare pendant les premières dizaines de millisecondes, et c'est pourquoi (10.1) en rend si bien compte.

Question 10.1

Une corde de longueur $L = 0, 5$ m, de masse linéique $μ = 2$ g/m, est tendue par une force $T = 80$ N et fixée à ses deux extrémités. Quelle est la fréquence de son troisième mode propre, $f_{3} = 3 c / (2 L)$ ?

La formule de d'Alembert

Commençons par la corde infinie, sans extrémités: $x$ parcourt tout $R$ . C'est une idéalisation (une très longue corde, observée assez loin de ses bouts et pendant assez peu de temps pour que rien ne revienne), et c'est là que la structure de l'équation se voit le mieux. Le problème est

u_{tt} = c^{2} u_{xx} (x \in R, t > 0), u (x, 0) = f (x), u_{t} (x, 0) = g (x) . (10.2)

L'idée, due à d'Alembert (1747), est de changer de variables pour que l'équation devienne triviale. L'opérateur se factorise comme un produit de deux opérateurs du premier ordre,

\partial_{t}^{2} - c^{2} \partial_{x}^{2} = (\partial_{t} - c \partial_{x}) (\partial_{t} + c \partial_{x}),

et chacun de ces facteurs est une dérivée directionnelle dans le plan $(x, t)$ , le long des droites $x + c t = cte$ et $x - c t = cte$ . Ces droites s'appellent les caractéristiques de l'équation. Prenons-les comme nouveaux axes.

Une remarque de notation avant de commencer. Dans ce chapitre, $f$ et $g$ désignent les conditions initiales (position et vitesse), et $F$ , $G$ les deux ondes progressives, ou le prolongement périodique d'une condition initiale: rien à voir avec la série témoin $f (x) = x$ des chapitres 6 et 7 ni avec les champs $F$ , $G$ des chapitres 1 à 5. Nous gardons ces lettres parce que c'est ainsi que toute la littérature écrit la formule de d'Alembert.

Démonstration. Étape 1: la solution générale. Posons $ξ = x + c t$ , $η = x - c t$ ; c'est un changement de variables linéaire inversible, $x = (ξ + η) /2$ , $t = (ξ - η) / (2 c)$ . Pour de classe , définissons . Par la règle de dérivation en chaîne (Analyse II, chapitre 4), et , puis, en dérivant une seconde fois et en utilisant (Schwarz),

u_{xx} = v_{ξ ξ} + 2 v_{ξ η} + v_{η η}, u_{tt} = c^{2} (v_{ξ ξ} - 2 v_{ξ η} + v_{η η}) .

Donc $u_{tt} - c^{2} u_{xx} = - 4 c^{2} v_{ξ η}$ , et résout l'équation des ondes si et seulement si . Cette dernière équation s'intègre à vue: signifie que ne dépend que de , disons avec continue; si est une primitive de , alors , donc ne dépend que de . On a donc , c'est-à-dire

u (x, t) = F (x + c t) + G (x - c t) .

Réciproquement, pour $F$ , $G$ de classe $C^{2}$ , cette expression est solution: $u_{tt} = c^{2} F^{''} + c^{2} G^{''}$ et .

Étape 2: les conditions initiales. À $t = 0$ , il faut

F (x) + G (x) = f (x), c F^{'} (x) - c G^{'} (x) = g (x) .

Intégrons la seconde relation de $0$ à $x$ : $F (x) - G (x) = \frac{1}{c} \int_{0}^{x} g (s) d s + K$ , avec . En additionnant et en soustrayant avec la première,

F (x) = \frac{f ( x )}{2} + \frac{1}{2 c} \int_{0}^{x} g + \frac{K}{2}, G (x) = \frac{f ( x )}{2} - \frac{1}{2 c} \int_{0}^{x} g - \frac{K}{2} .

Alors $u (x, t) = F (x + c t) + G (x - c t)$ vaut

\frac{f ( x + c t ) + f ( x - c t )}{2} + \frac{1}{2 c} (\int_{0}^{x + c t} g - \int_{0}^{x - c t} g),

la constante $K$ disparaissant; c'est (10.3). Étape 3: existence et unicité. Toute solution $C^{2}$ est de la forme de l'étape 1, et l'étape 2 montre que les conditions initiales déterminent $F + G$ et $F - G$ à une constante près qui s'élimine: la solution est donc unique. Inversement, avec $f \in C^{2}$ et , les fonctions et ci-dessus sont , et (10.3) est bien une solution de classe qui vérifie et .

Deux ondes progressives

Une fonction de la forme $G (x - c t)$ a un graphe qui, à l'instant $t$ , est celui de $G$ translaté de $c t$ vers la droite: c'est une onde progressive qui se déplace sans se déformer, à la vitesse $c$ , dans le sens des $x$ croissants. De même, $F (x + c t)$ se déplace vers la gauche. La formule de d'Alembert dit donc que toute solution est la superposition de deux profils rigides qui glissent en sens opposés à la même vitesse.

Dans le cas le plus simple, une corde lâchée sans vitesse ( $g = 0$ ), la formule se réduit à

u (x, t) = \frac{1}{2} f (x - c t) + \frac{1}{2} f (x + c t) :

le profil initial se coupe en deux moitiés de même forme et de hauteur moitié, qui partent l'une à gauche et l'autre à droite. La figure 10.1 montre cette séparation pour une bosse initiale; tant que les deux moitiés se chevauchent (à $t = 1/2$ ), la somme n'a pas la forme de $f$ , puis elles se séparent et chacune garde sa forme pour toujours. Rien ne s'étale, rien ne s'atténue: l'équation des ondes transporte l'information sans la dégrader.

Domaine de dépendance et vitesse finie de propagation

Relisons (10.3) en un point $(x_{0}, t_{0})$ fixé. La valeur $u (x_{0}, t_{0})$ fait intervenir $f$ aux deux points et sur l'intervalle , et . Cet intervalle est le du point : c'est la base du triangle délimité par les deux caractéristiques qui descendent de ce point (figure 10.1, en bas). Si l'on modifie les données initiales hors de cet intervalle, ne change pas.

Réciproquement, une perturbation initiale localisée sur $[a, b]$ n'affecte, à l'instant $t$ , que les points de $[a - c t, b + c t]$ : c'est son domaine d'influence. Un auditeur placé à la distance $d$ n'entend rien avant l'instant $d / c$ . L'équation des ondes a une vitesse de propagation finie, égale à $c$ . Nous verrons à la dernière section que c'est exactement ce que l'équation de la chaleur n'a pas.

Question 10.2

On frappe une corde infinie au repos: $f = 0$ et $g (x) = 1/ (1 + x^{2})$ , avec $c = 2$ . Que vaut $u (0, 1/2)$ ?

Question 10.3

Pour l'équation des ondes avec $c = 1$ sur la droite réelle, de quelles données initiales dépend la valeur $u (2, 3)$ ?

Les coins ne s'arrondissent pas

Le théorème 10.1 suppose $f \in C^{2}$ . Une corde de guitare pincée, pourtant, part d'un profil triangulaire, avec un coin au point pincé. La formule (10.3) garde un sens — elle définit une fonction continue — mais ce n'est plus une solution au sens classique: $u_{xx}$ n'existe pas le long des caractéristiques issues du coin. On parle de solution faible, et c'est la bonne notion physique (elle est la limite uniforme des solutions classiques obtenues en arrondissant le coin). Ce qu'il faut retenir est qualitatif et contraire à l'intuition née du chapitre 9: l'équation des ondes ne lisse rien. Un coin présent à $t = 0$ voyage à la vitesse le long des caractéristiques et reste un coin pour toujours. Une solution de l'équation de la chaleur, elle, est infiniment dérivable dès .

La corde finie: modes propres

Une vraie corde a deux extrémités fixes. Prenons-la de longueur $L$ , fixée en $x = 0$ et $x = L$ :

u_{tt} = c^{2} u_{xx} (0 < x < L, t > 0), u (0, t) = u (L, t) = 0, u (x, 0) = f (x), u_{t} (x, 0) = g (x) . (10.4)

Séparation des variables

La méthode est celle du chapitre 9, et nous l'appliquons sans en refaire la justification. On cherche d'abord des solutions non nulles de la forme $u (x, t) = X (x) Θ (t)$ qui respectent les conditions aux bords. En reportant dans l'équation et en divisant par $c^{2} X Θ$ ,

\frac{Θ ^{''} ( t )}{c ^{2} Θ ( t )} = \frac{X ^{''} ( x )}{X ( x )} = - λ,

une constante, puisque le membre de gauche ne dépend que de $t$ et celui du milieu que de $x$ . Le problème en $x$ est exactement celui du chapitre 9: $X^{''} + λ X = 0$ avec $X (0) = X (L) = 0$ . Il n'a de solution non nulle que pour , , avec . Ce qui change est l'équation en temps: au lieu de (d'où l'exponentielle décroissante de la chaleur), on obtient

Θ^{''} + c^{2} λ_{n} Θ = 0,

l'équation de l'oscillateur harmonique (Analyse II, chapitre 1), de pulsation $ω_{n} = c λ_{n} = nπ c / L$ . Ses solutions sont : elles . C'est toute la différence entre les deux équations, lue sur une seule ligne.

Par linéarité, toute somme de modes propres est encore solution, et l'on cherche la solution de (10.4) sous la forme d'une série

u (x, t) = n = 1 \sum \infty sin (\frac{nπ x}{L}) (a_{n} cos (ω_{n} t) + b_{n} sin (ω_{n} t)) . (10.6)

Démonstration. Les coefficients se lisent à $t = 0$ : $u (x, 0) = \sum a_{n} sin (nπ x / L)$ doit être le développement de $f$ , et $u_{t} (x, 0) = \sum ω_{n} b_{n} sin (nπ x / L)$ celui de ; l'unicité des coefficients de Fourier (chapitre 7, exercice 7.4, par Parseval) impose et . Les hypothèses de sommabilité donnent la convergence uniforme de la série et des séries dérivées terme à terme jusqu'à l'ordre deux, là où l'on en a besoin; nous admettons ce point technique, qui est le même qu'au chapitre 9 et qui se règle par le critère de Weierstrass. Pour la seconde affirmation, il suffit d'utiliser les formules de trigonométrie

sin (k x) cos (c k t) = \frac{1}{2} (sin k (x - c t) + sin k (x + c t)), sin (k x) sin (c k t) = \frac{1}{2} (cos k (x - c t) - cos k (x + c t)),

avec $k = nπ / L$ . La première montre que $\sum α_{n} sin (k x) cos (c k t) = \frac{1}{2} (\tilde{f} (x - c t) + \tilde{f} (x + c t))$ , où est la somme de la série de sinus de , c'est-à-dire le prolongement impair -périodique de (chapitre 6). La seconde, avec , montre que . On retrouve (10.3).

Cette dernière identité n'est pas un détail. Elle dit que la corde finie est une corde infinie dont on aurait prolongé les données de façon impaire autour de chaque extrémité: le prolongement impair est ce qui force $u (0, t) = 0$ à chaque instant, puisque les deux ondes qui arrivent en $x = 0$ de part et d'autre sont opposées. Physiquement, une onde qui atteint une extrémité fixe s'y réfléchit en changeant de signe. Après un aller et un retour, soit un trajet de longueur $2 L$ parcouru en $2 L / c$ , tout recommence: la solution est périodique en temps, de période $2 L / c = 1/ f_{1}$ . C'est l'observation faite à l'exemple 10.1.

Pourquoi une corde de guitare sonne juste

L'équation (10.5) contient une propriété remarquable: les fréquences propres de la corde sont les multiples entiers $f_{1}, 2 f_{1}, 3 f_{1}, \dots$ de la fondamentale. La somme (10.6) est donc une fonction périodique du temps, de période $1/ f_{1}$ , et l'oreille perçoit une hauteur bien définie, celle de . Les harmoniques ne changent pas la note; leurs amplitudes relatives, les rapportés au fondamental, en déterminent le .

Ce n'est pas une propriété de toutes les vibrations. Une membrane circulaire de tambour, fixée sur son bord, a des fréquences propres proportionnelles aux zéros des fonctions de Bessel; les trois premières sont dans les rapports $1 : 1, 593 : 2, 136$ , qui ne sont pas entiers. Le son n'est alors pas périodique, et un tambour ordinaire ne donne pas de note précise. La corde doit sa musicalité à une seule circonstance: le problème en $x$ est unidimensionnel et ses valeurs propres $(nπ / L)^{2}$ ont des racines carrées en progression arithmétique.

Les amplitudes, elles, dépendent de la manière dont on excite la corde. Une corde pincée en $x = a$ à la hauteur $h$ part d'un triangle; son coefficient de sinus se calcule par deux intégrations par parties (exercice 10.2):

α_{n} = \frac{2 h L ^{2}}{π ^{2} n ^{2} a ( L - a )} sin (\frac{nπ a}{L}) .

Deux conséquences s'entendent. D'abord, les amplitudes décroissent comme $1/ n^{2}$ , parce que le profil a un coin (chapitre 7: la décroissance des coefficients mesure la régularité). Ensuite, le mode $n$ disparaît lorsque le point pincé est un de ses nœuds, $sin (nπ a / L) = 0$ . Pincée en son milieu, la corde n'a aucun harmonique pair et sonne ronde, presque comme une flûte; pincée au cinquième de sa longueur, elle perd les harmoniques $5$ , $10$ , $15$ , … et garde tous les autres; pincée près du chevalet, elle est riche en harmoniques élevés et sonne métallique. Les guitaristes le savent sans formule. La figure 10.2 montre les quatre premiers modes et compare le spectre du triangle pincé en $L /5$ à celui de la parabole que nous étudions maintenant.

La corde pincée témoin

Le chapitre 9 a fait diffuser la chaleur dans une barre $[0, π]$ à partir du profil $x (π - x)$ . Donnons le même profil à une corde.

L'explorateur ci-dessous superpose les deux calculs. Pour la corde pincée, trois modes suffisent à l'œil. Pour une corde frappée par un marteau qui donne la vitesse $6$ à la portion $[π /8, 3 π /8]$ , la vitesse initiale a des sauts, la solution a des coins, et $b_{n}$ décroît seulement en $1/ n^{2}$ : avec $10$ modes l'écart maximal atteint encore $0, 19$ , avec modes . Observez aussi le troisième affichage: l'énergie, calculée sur le profil de d'Alembert à l'instant choisi, ne varie pas quand vous faites avancer . C'est l'objet de la section suivante.

Explorateur 10.1 · Corde pincée ou frappée: d'Alembert contre la somme des modes

Choisissez le profil, faites avancer le temps $t$ et réglez le nombre $N$ de modes. La courbe en couleur est la solution de d'Alembert, la courbe bleue la somme des $N$ premiers modes propres: pour la corde pincée elles se confondent dès trois modes, pour la corde frappée les coins de l'onde exigent beaucoup plus de termes. L'énergie, elle, ne bouge pas quand $t$ avance.

Profilpincée, x(π − x)

Temps t0,80

Nombre de modes N3

Énergie E(t) de d'Alembert

5,168

Part de l'énergie dans les modes n ≤ N

99,77 %

Écart max entre les deux courbes

0,0189

Énergie de la corde

La corde en mouvement porte une énergie cinétique, celle de ses points matériels, et une énergie potentielle élastique, celle de son allongement contre la tension. Un morceau de longueur $d x$ a une masse $μ d x$ et une vitesse $u_{t}$ , d'où une énergie cinétique $\frac{1}{2} μ u_{t}^{2} d x$ . Sa longueur est passée de à , et la tension a fourni le travail . L'énergie totale est donc . En divisant par et en utilisant , on obtient la quantité normalisée qui suit.

Démonstration. Les dérivées de $u$ jusqu'à l'ordre deux étant continues sur le compact $[0, L] \times [0, t_{1}]$ , on peut dériver sous le signe intégrale:

E^{'} (t) = \int_{0}^{L} (u_{t} u_{tt} + c^{2} u_{x} u_{x t}) d x = c^{2} \int_{0}^{L} (u_{t} u_{xx} + u_{x} u_{t x}) d x,

où l'on a remplacé $u_{tt}$ par $c^{2} u_{xx}$ et utilisé $u_{x t} = u_{t x}$ . L'intégrande est la dérivée en du produit , d'où

E^{'} (t) = c^{2} [u_{t} u_{x}]_{x = 0}^{x = L} = 0,

car $u (0, t) = 0$ pour tout $t$ entraîne $u_{t} (0, t) = 0$ , et de même en $x = L$ . Pour l'unicité, si $u_{1}$ et sont deux solutions de (10.4), leur différence résout le même problème avec . Son énergie est constante et nulle à , puisque et (car pour tout ). Donc , fonction continue positive d'intégrale nulle, est identiquement nulle: , est constante, et impose .

C'est exactement l'argument d'unicité du chapitre 9, avec une différence de signe qui fait tout. Pour la chaleur, l'intégration par parties donnait $\frac{d}{d t} \frac{1}{2} \int u^{2} = - \int u_{x}^{2} \leq 0$ : la quantité décroît. Ici elle est constante. Chiffrons le contraste avec le même profil initial et :

pour la corde, $E = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} (π - 2 x)^{2} d x = \frac{π ^{3}}{6} = 5, 167713$ , à tout instant; l'explorateur le recalcule à partir du profil de d'Alembert et affiche quel que soit ;

L'énergie se répartit aussi mode par mode. En reportant (10.6) dans (10.7) avec $L = π$ et $c = 1$ et en utilisant l'orthogonalité $\int_{0}^{π} sin (m x) sin (n x) d x = \frac{π}{2} δ_{mn}$ (et de même pour les cosinus), les produits croisés disparaissent et il reste

E = \frac{π}{4} n \geq 1 \sum n^{2} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) .

Chaque mode conserve sa propre énergie: les modes ne s'échangent rien. C'est une identité de Parseval (chapitre 7) appliquée à $u_{x}$ et à $u_{t}$ . Pour la corde pincée témoin, le terme $n = 1$ vaut $\frac{π}{4} α_{1}^{2} = \frac{16}{π}$ , soit une fraction de l'énergie totale; le mode en porte . Le calcul direct retrouve bien .

L'équation de Laplace

Que devient la température d'une barre, ou d'une plaque, lorsqu'on attend assez longtemps en maintenant fixes les températures de son bord? Elle cesse de varier: $u_{t} = 0$ . L'équation de la chaleur en dimension deux, $u_{t} = Δ u$ , devient alors

Δ u = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} = 0. (10.8)

C'est l'équation de Laplace. En dimension un, elle se réduit à $u^{''} = 0$ : le profil d'équilibre d'une barre est affine, ce que le chapitre 9 a observé à grand temps. En dimension deux ou trois, elle a une infinité de solutions très différentes les unes des autres, et c'est elle qui gouverne la plupart des états d'équilibre de la physique.

Fonctions harmoniques

Les fonctions affines sont harmoniques, et en dimension un ce sont les seules. En dimension deux, la liste est aussitôt plus riche:

les polynômes $x^{2} - y^{2}$ , $x y$ , $x^{3} - 3 x y^{2}$ , et plus généralement les parties réelle et imaginaire de $(x + i y)^{n}$ , soit, en coordonnées polaires, et ;

En revanche, $x^{2} + y^{2}$ n'est pas harmonique: son laplacien vaut $4$ . La présence des nombres complexes dans cette liste n'est pas un hasard: les parties réelle et imaginaire d'une fonction dérivable au sens complexe sont toujours harmoniques. Ce lien fait l'objet du cours d'analyse complexe; nous n'en aurons pas besoin.

L'équation de Laplace apparaît dans trois situations physiques, qui ont toutes la même structure: une grandeur est le gradient d'un potentiel et elle a une divergence nulle (chapitre 1).

Température stationnaire. Le flux de chaleur est $q = - k \nabla u$ (loi de Fourier). À l'équilibre, sans source, ce qui entre dans un petit volume en ressort: $\nabla \cdot q = 0$ (théorème de la divergence, chapitre 5), donc $Δ u = 0$ .
Potentiel électrostatique. Dans une région vide de charges, le champ électrique dérive d'un potentiel, $E = - \nabla V$ , et la loi de Gauss donne $\nabla \cdot E = 0$ ; donc . Le problème de Dirichlet est alors celui du potentiel dans une cavité dont les parois conductrices sont portées à des potentiels imposés.

Question 10.4

Lesquelles de ces fonctions sont harmoniques sur $R^{2}$ ?

Plusieurs réponses possibles

La propriété de la moyenne

Le laplacien a une interprétation géométrique qui éclaire tout ce qui suit. Si $u$ est de classe $C^{2}$ , la moyenne de $u$ sur le cercle de centre $x_{0}$ et de rayon $r$ vaut, par la formule de Taylor à l'ordre deux (exercice 10.5),

u (x_{0}) + \frac{r ^{2}}{4} Δ u (x_{0}) + o (r^{2}) .

Le laplacien mesure donc l'écart entre la valeur en un point et la moyenne autour de ce point. L'équation de la chaleur $u_{t} = Δ u$ dit que la température monte là où elle est inférieure à la moyenne de son voisinage et descend là où elle lui est supérieure: c'est la diffusion. Et une fonction harmonique est une fonction qui, en chaque point, est la moyenne de ses voisines. Le théorème suivant rend cela exact, sans reste.

Démonstration. Pour $0 < r \leq R$ , posons

φ (r) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} u (x_{0} + r e (θ)) d θ, e (θ) = (cos θ, sin θ) .

Étape 1: $φ$ est constante. L'intégrande est de classe $C^{1}$ en $(r, θ)$ , on peut donc dériver sous le signe intégrale; par la règle de la chaîne,

φ^{'} (r) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \nabla u (x_{0} + r e (θ)) \cdot e (θ) d θ .

Or $e (θ)$ est la normale unitaire sortante $n$ au cercle $C (x_{0}, r)$ au point $x_{0} + r e (θ)$ , et l'élément d'arc y vaut $d s = r d θ$ . Donc

φ^{'} (r) = \frac{1}{2 π r} \oint_{C (x_{0}, r)} \nabla u \cdot n d s = \frac{1}{2 π r} \iint_{D (x_{0}, r)} \nabla \cdot \nabla u d A = \frac{1}{2 π r} \iint_{D (x_{0}, r)} Δ u d A = 0.

La deuxième égalité est le théorème de la divergence dans le plan (forme «flux» du théorème de Green, chapitre 3), appliqué au champ $\nabla u$ de classe $C^{1}$ sur le disque, bord parcouru dans le sens trigonométrique, normale sortante. La dernière vient de $Δ u = 0$ .

Étape 2: la limite en $r = 0$ . La fonction $u$ est continue en $x_{0}$ : pour $ε > 0$ , il existe $δ > 0$ tel que $∣ u (y) - u (x_{0}) ∣ < ε$ dès que . Pour ,

∣ φ (r) - u (x_{0}) ∣ \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} u (x_{0} + r e (θ)) - u (x_{0}) d θ < ε .

Donc $φ (r) \to u (x_{0})$ lorsque $r \to 0$ ; comme $φ$ est constante sur $] 0, R]$ , elle vaut $u (x_{0})$ partout. C'est la moyenne sur les cercles.

Étape 3: la moyenne sur le disque. En coordonnées polaires centrées en $x_{0}$ (Analyse II, chapitre 9),

\iint_{D (x_{0}, R)} u d A = \int_{0}^{R} (\int_{0}^{2 π} u (x_{0} + r e (θ)) d θ) r d r = \int_{0}^{R} 2 π u (x_{0}) r d r = π R^{2} u (x_{0}) . □

La même démonstration vaut en dimension trois, avec des sphères et le théorème de la divergence de Gauss-Ostrogradski (chapitre 5): la valeur d'une fonction harmonique au centre d'une boule est la moyenne de ses valeurs sur la sphère. Vérifions-la sur un exemple non trivial. Pour $u = e^{x} cos y$ , harmonique, et le cercle de centre $(1; 0, 5)$ et de rayon $1$ , une quadrature de $100000$ points donne la moyenne $2, 385517$ , et $u (1; 0, 5) = e cos (0, 5) = 2, 385517$ . Pour , qui n'est pas harmonique, la moyenne sur le cercle de rayon centré en l'origine vaut alors que la valeur au centre est : l'écart est exactement avec .

Le principe du maximum

Démonstration. 1. Soit $M = max_{\overline{Ω}} u$ et $A = {x \in Ω : u (x) = M}$ , supposé non vide. $A$ est , car c'est l'image réciproque de par la fonction continue . est aussi : si , choisissons avec ; par le théorème 10.4,

0 = u (x_{0}) - M = \frac{1}{π R ^{2}} \iint_{D (x_{0}, R)} (u - M) d A .

La fonction $M - u$ est continue et positive sur le disque, d'intégrale nulle; elle y est donc identiquement nulle, et le disque entier est dans $A$ . Un ouvert connexe ne contient pas d'autre partie à la fois ouverte et fermée que le vide et lui-même; comme $A \neq = \emptyset$ , $A = Ω$ , et $u = M$ sur $Ω$ , donc aussi sur par continuité. 2. est compact et continue, donc le maximum est atteint. S'il l'est en un point du bord, c'est fini; s'il l'est à l'intérieur, est constante par 1., et le maximum est aussi atteint sur le bord. Pour le minimum, appliquer ce qui précède à , harmonique aussi. 3. est harmonique, de valeur au bord . Par 2., , et de même . Si , on obtient .

Physiquement, la forme faible est une évidence: dans une plaque à l'équilibre thermique, sans source de chaleur, aucun point intérieur ne peut être plus chaud que le plus chaud des points du bord, sinon la chaleur s'en écoulerait. La stabilité dit qu'une petite erreur de mesure sur la température du bord produit une erreur au plus aussi petite à l'intérieur: le problème est bien posé. L'hypothèse de connexité n'est utile que pour la forme forte (sur deux disques disjoints, une fonction valant $0$ sur l'un et $1$ sur l'autre est harmonique, atteint son maximum à l'intérieur et n'est pas constante).

Le problème de Dirichlet dans un disque

Le disque est le domaine où l'on sait tout calculer, parce que son bord est une courbe fermée paramétrée par un angle, et qu'une fonction d'un angle se développe en série de Fourier. Cherchons $u$ harmonique dans le disque unité $r < 1$ , continue jusqu'au bord, avec $u (1, θ) = g (θ)$ pour une fonction $g$ continue et $2 π$ -périodique.

Séparation en coordonnées polaires

En coordonnées polaires, un calcul par la règle de la chaîne (Analyse II, chapitre 4) donne le laplacien

Δ u = u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r} + \frac{1}{r ^{2}} u_{θ θ} .

Cherchons des solutions $u = R (r) Θ (θ)$ . En multipliant $Δ u = 0$ par $r^{2} / (R Θ)$ ,

\frac{r ^{2} R ^{''} ( r ) + r R ^{'} ( r )}{R ( r )} = - \frac{Θ ^{''} ( θ )}{Θ ( θ )} = λ,

une constante. Le problème en $θ$ n'a pas de conditions aux bords, mais une condition de périodicité: $Θ$ doit être $2 π$ -périodique pour que $u$ soit bien définie. Cela impose $λ = n^{2}$ avec $n = 0, 1, 2, \dots$ , et $Θ (θ) = a cos (n θ) + b sin (n θ)$ , qui sont exactement les fonctions de base d'une série de Fourier (chapitre 6). Le problème en est l'équation d'Euler . En cherchant , on trouve , d'où et pour ; pour , les solutions sont et . Les solutions et explosent à l'origine: une solution continue dans tout le disque ne peut pas les contenir. Il reste

u (r, θ) = \frac{a _{0}}{2} + n \geq 1 \sum r^{n} (a_{n} cos (n θ) + b_{n} sin (n θ)), (10.9)

et à $r = 1$ , ce doit être la série de Fourier de $g$ . Donc $a_{n}$ et $b_{n}$ sont les coefficients de Fourier de $g$ sur $[- π, π]$ . La solution du problème de Dirichlet dans le disque est la série de Fourier de la donnée au bord, dans laquelle . Plus on s'éloigne du bord, plus les harmoniques élevées sont écrasées: au centre, il ne reste que , la moyenne de , conformément au théorème 10.4.

La formule de Poisson

On peut sommer la série (10.9) une fois pour toutes.

Démonstration. La formule. Reportons dans (10.9) les coefficients $a_{n} = \frac{1}{π} \int g (φ) cos (n φ) d φ$ et $b_{n} = \frac{1}{π} \int g (φ) sin (n φ) d φ$ . Comme ,

u (r, θ) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} (1 + 2 n \geq 1 \sum r^{n} cos n (θ - φ)) g (φ) d φ .

L'échange de la somme et de l'intégrale est licite car, pour $r < 1$ fixé, la série est dominée par $\sum 2 r^{n} max ∣ g ∣$ et converge uniformément en $φ$ . La somme entre parenthèses se calcule avec $z = r e^{i ψ}$ , :

1 + 2 n \geq 1 \sum r^{n} cos (n ψ) = Re (1 + \frac{2 z}{1 - z}) = Re \frac{1 + z}{1 - z} = \frac{1 - ∣ z ∣ ^{2}}{∣1 - z ∣ ^{2}} = \frac{1 - r ^{2}}{1 - 2 r cos ψ + r ^{2}},

où l'avant-dernière égalité vient de $\frac{1 + z}{1 - z} = \frac{( 1 + z ) ( 1 - z ˉ )}{∣1 - z ∣ ^{2}}$ dont la partie réelle a pour numérateur . Chaque terme , est harmonique, et la série (10.9) peut être dérivée terme à terme deux fois pour (ses coefficients sont bornés par , et ). Le dénominateur vaut , et le numérateur est positif; l'intégrale de vaut en prenant , dont la solution est la constante . Ce point, que lorsque , est : il repose sur le fait que se concentre autour de lorsque (c'est une , de la même famille que le noyau de la chaleur), et sa démonstration demande une estimation soignée que l'on trouve dans Stein et Shakarchi, chapitre 2. C'est le théorème 10.5, 3.

La formule de Poisson rend visibles deux propriétés. D'abord, la valeur en $r = 0$ est $\frac{1}{2 π} \int g$ : c'est la propriété de la moyenne. Ensuite, $P_{r} > 0$ : la valeur de en chaque point intérieur dépend de les valeurs au bord, pondérées d'autant plus fort qu'elles sont proches. Il n'y a ni vitesse de propagation ni domaine de dépendance: une modification de n'importe où change partout dans le disque.

Question 10.5

Remettez dans l'ordre les étapes de la résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité de donnée $g (θ)$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Résoudre l'équation d'Euler en

r

et écarter

r^{- n}

ln r

Sommer la série pour obtenir le noyau de Poisson

Imposer la

2 π

-périodicité:

Θ = cos n θ

sin n θ

Chercher des solutions séparées

R (r) Θ (θ)

Écrire le laplacien en coordonnées polaires

Identifier les coefficients avec ceux de Fourier de

g

Trois équations, trois comportements

Nous avons maintenant rencontré les trois équations classiques de la physique mathématique. Réunissons-les.

ondes u_{tt} = c^{2} u_{xx} chaleur u_{t} = u_{xx} Laplace u_{xx} + u_{y y} = 0

Une classification par le discriminant

Une équation linéaire du second ordre à coefficients constants en deux variables $(x, y)$ ,

A u_{xx} + 2 B u_{x y} + C u_{y y} + (termes d’ordre \leq 1) = 0,

est dite hyperbolique si $B^{2} - A C > 0$ , parabolique si $B^{2} - A C = 0$ et elliptique si $B^{2} - A C < 0$ . Les noms viennent des coniques , dont le type est décidé par le même discriminant. En prenant :

l'équation des ondes $u_{tt} - c^{2} u_{xx} = 0$ a $A = - c^{2}$ , , : , ;

Un changement de variables linéaire ramène toute équation de ce type à l'une des trois formes ci-dessus (à des termes d'ordre un près). La démonstration de d'Alembert est l'exemple hyperbolique de cette réduction: les variables $ξ = x + c t$ , $η = x - c t$ sont les directions où le symbole s'annule, les caractéristiques. Une équation elliptique n'a aucune direction caractéristique réelle; une équation parabolique en a une seule, la direction $t = cte$ .

Ce que chacune fait de l'information

Le discriminant est une étiquette. Ce qui compte est ce qu'il annonce, et que nous avons vu dans chaque cas.

	Ondes (hyperbolique)	Chaleur (parabolique)	Laplace (elliptique)
Données	$u$ et $u_{t}$ à $t = 0$ , bords	$u$ à $t = 0$ , bords	$u$ sur tout le bord
Vitesse de propagation	finie, égale à $c$

L'équation des ondes propage. Elle transporte l'information à vitesse finie, sans la dégrader: un coin reste un coin, l'énergie ne se perd pas, et changer $t$ en $- t$ donne encore une solution — un film de la corde passé à l'envers est encore un film de corde. Chaque point dépend d'un intervalle borné des données initiales.

L'équation de la chaleur lisse. Elle propage instantanément: une source localisée chauffe (un tout petit peu) la barre entière dès $t > 0$ , parce que le noyau de la chaleur est strictement positif partout. Elle détruit l'information fine: le mode $n$ est divisé par $e^{n^{2} t}$ , si bien qu'au chapitre 9 le premier mode seul décrivait la température au milieu de la barre à $1, 2 \cdot 1 0^{- 5}$ près (en valeur relative) dès . Ce lissage est irréversible: retrouver l'état initial à partir de l'état final exigerait de multiplier le mode par , ce qui amplifie sans limite la moindre erreur de mesure. L'équation de la chaleur est mal posée.

L'équation de Laplace équilibre. Elle ne décrit pas une évolution mais un état, celui vers lequel tendent à grand temps les deux autres (le régime stationnaire de la chaleur, la configuration de repos d'une membrane dont on impose le bord). Sa solution en un point dépend de toutes les données au bord à la fois, par un noyau positif; elle est la moyenne de ses voisines; elle ne peut avoir ni maximum ni minimum intérieur. Ses solutions sont infiniment dérivables à l'intérieur même si la donnée au bord a des sauts, comme dans l'exemple 10.4 — c'est ce que montre la série (10.9), où chaque harmonique est écrasée par $r^{n}$ .

C'est ici que les deux moitiés du cours se rejoignent. La première moitié a construit les outils du bilan: gradient, divergence, théorème de la divergence. Ce sont eux qui ont transformé une loi physique locale en équation — Newton pour la corde, Fourier et la conservation de l'énergie pour la chaleur, Gauss pour le potentiel — et qui ont démontré les propriétés qualitatives: l'énergie de la corde par une intégration par parties, la propriété de la moyenne par le théorème de la divergence sur un disque. La seconde moitié a construit l'outil de la résolution: décomposer une donnée en modes, sur lesquels l'équation agit simplement — en oscillant, en s'éteignant ou en s'amortissant selon le rayon. Une équation aux dérivées partielles se comprend avec les premiers, se résout avec les seconds, et la manière dont elle traite chaque mode dit à elle seule si elle propage, lisse ou équilibre.

Synthèse

Une corde tendue, pour de petits déplacements transversaux, vérifie l'équation des ondes $u_{tt} = c^{2} u_{xx}$ avec $c = T / μ$ ; le problème se pose avec deux conditions initiales, position et vitesse.

Série d'exercices du chapitre 10Exercice 1 sur 5

Question 10.6

Une corde de longueur $π$ , avec $c = 1$ , est lâchée sans vitesse depuis le profil $f (x) = x (π - x)$ . Que vaut son énergie $E = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} (u_{t}^{2} + u_{x}^{2}) d x$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 10.1 · La formule de d'Alembert sur un cas trigonométrique

Résolvez sur $R$ le problème $u_{tt} = c^{2} u_{xx}$ , $u (x, 0) = sin x$ , . Vérifiez directement que votre réponse satisfait l'équation et les deux conditions initiales, puis calculez pour . Écrivez enfin la solution comme une somme de deux ondes progressives .

Exercice 10.2 · Le timbre d'une corde pincée

Une corde de longueur $L$ est pincée au point $a \in] 0, L [$ à la hauteur $h$ et lâchée sans vitesse: $f (x) = h x / a$ sur $[0, a]$ , $f (x) = h (L - x) / (L - a)$ sur .

Exercice 10.3 · Un problème de Dirichlet dans le disque

Trouvez la fonction $u$ harmonique dans le disque unité, continue jusqu'au bord, telle que $u (1, θ) = sin^{3} θ$ . Calculez $u$ au point $(0; 0, 5)$ et vérifiez que $u$ respecte le principe du maximum en ce point.

Exercice 10.4 · Laplace dans un carré par séparation des variables

On cherche la température stationnaire $u (x, y)$ d'une plaque carrée $[0, π] \times [0, π]$ dont trois côtés sont maintenus à $0$ et le côté supérieur au profil $u (x, π) = sin x$ . Trouvez par séparation des variables , calculez la température au centre, et expliquez pourquoi elle est comprise entre et sans calcul.

Exercice 10.5 · Le laplacien comme défaut de moyenne

Soit $u$ de classe $C^{2}$ sur un ouvert $Ω \subset R^{2}$ et $x_{0} \in Ω$ . On note la moyenne de sur le cercle de centre et de rayon .

Références

Strauss, W. A., Partial Differential Equations: An Introduction, 2e éd., Wiley, Hoboken, chap. 2 (formule de d'Alembert, énergie), chap. 4 (séparation des variables) et chap. 6 (équation de Laplace, formule de Poisson).
Stein, E. M. et Shakarchi, R., Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, Princeton, chap. 1 (la corde vibrante et d'Alembert) et chap. 2 (noyau de Poisson comme approximation de l'identité).
Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, Wiley, Hoboken, chap. 12 (équations aux dérivées partielles: corde vibrante, d'Alembert, Laplace en coordonnées polaires).
Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, Pearson, Toronto (fonctions harmoniques et équation de Laplace).
Polycopiés d'Analyse III de l'EPFL (équations des ondes, de la chaleur et de Laplace).

Objectifs du chapitre

L'équation des ondes

La corde vibrante

La formule de d'Alembert

Deux ondes progressives

Domaine de dépendance et vitesse finie de propagation

La corde finie: modes propres

Séparation des variables

Pourquoi une corde de guitare sonne juste

La corde pincée témoin

Énergie de la corde

L'équation de Laplace

Fonctions harmoniques

La propriété de la moyenne

Le principe du maximum

Le problème de Dirichlet dans un disque

Séparation en coordonnées polaires

La formule de Poisson

Trois équations, trois comportements

Une classification par le discriminant

Ce que chacune fait de l'information

Synthèse

Exercices

Références

La série modale

La valeur au milieu par d'Alembert

L'énergie

La part du fondamental