Champs de vecteurs

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître un champ scalaire et un champ de vecteurs, les représenter (flèches à l'échelle, lignes de niveau, lignes de champ) et les associer aux grandeurs physiques qu'ils décrivent: vitesse d'un fluide, champ électrique, pesanteur, flux de chaleur;
lire le gradient d'une fonction comme un champ de vecteurs orthogonal à ses lignes de niveau, et reconnaître un champ qui dérive d'un potentiel;
expliquer la divergence comme une densité de sources (flux sortant par unité de volume) et le rotationnel comme une densité de rotation (circulation par unité d'aire), puis les calculer en coordonnées cartésiennes;
calculer le laplacien et l'interpréter comme l'écart entre la valeur d'une fonction et sa moyenne au voisinage;
démontrer et utiliser les identités $rot (\nabla f) = 0$ , $div (rot F) = 0$ et les règles de produit, et appliquer les formules des opérateurs en coordonnées cylindriques et sphériques;
décider, sur les deux champs témoins $F = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2})$ et $G = (- y, x)$ , lequel peut dériver d'un potentiel, et expliquer pourquoi la condition $rot F = 0$ ne suffit pas toujours.

Champs scalaires et champs de vecteurs

Deux sortes de champs

L'Analyse II a étudié des fonctions $f : R^{n} \to R$ et, plus brièvement, des applications $R^{n} \to R^{m}$ à travers leur matrice jacobienne. L'analyse vectorielle, qui occupe la première moitié de ce cours, se concentre sur le cas $m = n$ : à chaque point de l'espace, on attache un . C'est le langage naturel de la physique des milieux continus. La vitesse de l'eau dans une rivière, la force qu'exerce une charge électrique sur une autre, l'attraction de la Terre, le flux de chaleur dans un mur ne sont pas des nombres attachés aux points, mais des flèches: elles ont une direction, un sens et une intensité, et toutes trois varient d'un point à l'autre.

Un champ scalaire est exactement une fonction de plusieurs variables au sens de l'Analyse II; le mot «champ» insiste seulement sur le fait qu'on la pense comme une grandeur répartie dans une région de l'espace: une température, une pression, une densité, un potentiel électrique. Un champ de vecteurs est une application de $U$ dans $R^{n}$ , dont la matrice jacobienne est carrée. Toutes les notions d'Analyse II s'appliquent donc à ses composantes: continuité, dérivées partielles, différentiabilité, règle de la chaîne (chapitre 4 d'Analyse II). Ce qui est nouveau, c'est la façon de combiner ces dérivées partielles pour en extraire des grandeurs qui ont un sens physique et qui ne dépendent pas du repère choisi: la divergence et le rotationnel.

Dans tout le chapitre, les champs sont supposés au moins de classe $C^{1}$ ; les identités de la dernière partie demandent $C^{2}$ , et nous le dirons chaque fois.

Quatre champs de la physique

Les champs suivants reviendront tout au long du cours; chacun illustre une idée différente.

La vitesse d'un fluide. On décrit un écoulement en attachant à chaque point $x$ la vitesse $v (x)$ de la particule de fluide qui s'y trouve (description dite d'Euler; pour un écoulement qui change avec le temps, $v$ dépend aussi de $t$ , mais nous considérons des écoulements stationnaires). L'exemple le plus simple est la rotation en bloc autour de l'axe $O z$ à la vitesse angulaire $ω$ : la particule située en $(x, y)$ décrit un cercle centré sur l'axe et sa vitesse est $v = ω (- y, x)$ . Pour , c'est le du cours, .

E (r) = \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{r}{∥ r ∥ ^{3}}, (1.1)

dirigé selon le rayon, d'intensité $\frac{q}{4 π ε _{0} ρ ^{2}}$ avec $ρ = ∥ r ∥$ , et non défini à l'origine. Son domaine $R^{3} ∖ {0}$ n'est pas tout l'espace, et cette seule lacune suffira à produire des phénomènes que nous rencontrerons dès ce chapitre.

La pesanteur. Près du sol, le champ de pesanteur est uniforme, $g = (0, 0, - g)$ avec $g \approx 9, 81$ m/s². À l'échelle de la planète, la loi de Newton donne pour une masse $M$ à l'origine le champ $g (r) = - GM r / ∥ r ∥^{3}$ : la même forme que (1.1), au signe près. Gravitation et électrostatique partagent leurs mathématiques.

q = - k \nabla T, (1.2)

où $k > 0$ est la conductivité thermique du matériau (en W·m⁻¹·K⁻¹; de l'ordre de 400 pour le cuivre et de 1 pour le verre). Le vecteur $q$ mesure la puissance thermique qui traverse une surface unité perpendiculaire à lui. Ici un champ de vecteurs naît d'un champ scalaire par dérivation: c'est le gradient, que nous retrouvons dans la section suivante.

Deux questions structurent la suite. Où naît et où disparaît ce qui s'écoule, c'est-à-dire où sont les sources? Et l'écoulement fait-il tourner ce qu'il transporte? La divergence répond à la première, le rotationnel à la seconde.

Représenter un champ de vecteurs

Un champ scalaire du plan se représente par ses lignes de niveau $f (x, y) = c$ (chapitre 2 d'Analyse II). Pour un champ de vecteurs du plan, on dessine une flèche $F (x)$ issue de chaque point $x$ d'une grille régulière. Deux conventions rendent ce dessin honnête, et toutes les figures du cours les respectent:

les flèches sont calculées à partir de la formule du champ, jamais placées à la main;
leur longueur est proportionnelle à $∥ F ∥$ , avec un facteur d'échelle indiqué, et un plafond au-delà duquel les flèches sont raccourcies (et marquées comme telles) pour ne pas empiéter sur leurs voisines.

Un champ dont l'intensité varie beaucoup, comme (1.1) près de l'origine, ne peut pas être dessiné fidèlement partout: le plafond est l'aveu de cette limite, et il faut toujours le lire avant d'interpréter une figure.

Une autre représentation est plus proche de l'intuition d'un écoulement. Une ligne de champ (ou, pour une vitesse, une ligne de courant) est une courbe tangente en chacun de ses points au champ. Si $γ (t)$ la parcourt, elle vérifie le système différentiel

γ^{'} (t) = F (γ (t)), (1.3)

dont les solutions existent et sont uniques localement dès que $F$ est de classe $C^{1}$ (théorème de Cauchy–Lipschitz: le chapitre 1 d'Analyse II l'énonce pour une équation scalaire, théorème 1.2; nous admettons sa version vectorielle, pour les systèmes). Pour $G = (- y, x)$ , le système $x^{'} = - y$ , $y^{'} = x$ a pour solutions : les lignes de champ sont les cercles centrés à l'origine, parcourus dans le sens trigonométrique. Pour le champ de Coulomb avec , ce sont les demi-droites issues de l'origine.

Question 1.1

Un champ du plan est dessiné par des flèches toutes tangentes aux cercles centrés à l'origine, tournant dans le sens trigonométrique, et dont la longueur croît proportionnellement à la distance à l'origine. Quelle formule lui correspond?

Le gradient, un champ de vecteurs

Rappel: ce que l'Analyse II a établi

Soit $f$ un champ scalaire différentiable sur un ouvert $U$ . Son gradient est le champ de vecteurs

\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}),

avec deux composantes dans le plan. Le chapitre 4 d'Analyse II en a établi les trois propriétés dont nous aurons besoin:

la dérivée directionnelle dans la direction unitaire $u$ vaut $D_{u} f (a) = \nabla f (a) \cdot u$ ;
en un point où il n'est pas nul, $\nabla f (a)$ indique la direction de plus forte croissance de $f$ , et $∥ \nabla f (a)∥$ est la pente dans cette direction (théorème 4.2 d'Analyse II);

Le point de vue change ici: au lieu de regarder le gradient en un point, on le regarde partout à la fois. L'application $x \mapsto \nabla f (x)$ est un champ de vecteurs, et la loi de Fourier (1.2) en est l'exemple physique type: le flux de chaleur est, au facteur $- k$ près, le champ de gradient de la température. Les lignes de ce flux coupent les isothermes à angle droit.

Champs de gradient et potentiels

Si $f$ est un potentiel, $f + C$ en est un autre pour toute constante $C$ . Réciproquement, deux potentiels d'un même champ ont une différence de gradient nul, donc constante sur chaque partie connexe par arcs de $U$ (Analyse II, chapitre 4, par l'inégalité des accroissements finis). Le potentiel est donc unique à une constante près sur un ouvert connexe.

Les physiciens préfèrent souvent la convention opposée: le champ électrique dérive du potentiel électrique $V$ par $E = - \nabla V$ , et le champ de pesanteur uniforme dérive de l'énergie potentielle par unité de masse $g z$ par $g = - \nabla (g z) = (0, 0, - g)$ . Le signe moins traduit que le champ pointe vers les potentiels décroissants; il ne change rien aux mathématiques. Pour la charge ponctuelle, on vérifie par dérivation que

V (r) = \frac{q}{4 π ε _{0} ∥ r ∥} donne - \nabla V = \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{r}{∥ r ∥ ^{3}} = E,

puisque $\frac{\partial}{\partial x} ∥ r ∥^{- 1} = - x ∥ r ∥^{- 3}$ et de même pour $y$ et $z$ .

Le champ conservatif témoin

Le cours suit deux champs du plan d'un bout à l'autre de l'analyse vectorielle. Le premier est

F (x, y) = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2}), f (x, y) = x^{2} y + y^{3} . (1.4)

On vérifie immédiatement que $\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y = P$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 3 y^{2} = Q$ : le champ témoin est un champ de gradient, de potentiel , sur tout le plan. La figure 1.1 superpose le champ et les lignes de niveau de son potentiel.

La figure illustre les trois propriétés rappelées plus haut. Les flèches traversent les lignes de niveau à angle droit; elles pointent vers les niveaux croissants, donc vers le haut dans le demi-plan supérieur et dans le demi-plan inférieur (où $f$ est négatif et croît en remontant vers 0); et elles sont longues là où les lignes de niveau, également espacées en valeur, se resserrent. L'origine est un point critique de $f$ : le champ y est nul et l'on n'y voit aucune flèche.

Question 1.2

Calculez la norme $∥ F (1, - 1)∥$ du champ témoin $F = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2})$ au point $(1, - 1)$ .

La divergence, densité de sources

Le flux sortant d'une petite boîte

Imaginons un fluide incompressible, de l'eau par exemple, qui s'écoule avec la vitesse $v$ , et une petite boîte imaginaire, fixe, plongée dans l'écoulement. Le fluide entre par certaines faces et sort par d'autres. Si, au total, il en sort davantage qu'il n'en entre, c'est que du fluide est créé à l'intérieur de la boîte: il y a une source (un tuyau qui débouche, par exemple). S'il en entre davantage, il y a un puits. Le bilan net, rapporté au volume de la boîte, mesure la densité de sources. Faisons ce bilan.

Pour une face plane $Σ$ de normale unitaire $n$ dirigée vers l'extérieur de la boîte, le volume de fluide qui la traverse par unité de temps est l'intégrale de la composante normale $v \cdot n$ sur la face: seule cette composante fait traverser, la composante tangentielle fait glisser le fluide le long de la face. On l'appelle le flux sortant à travers la face. Le chapitre 4 définira le flux à travers une surface quelconque; pour une face d'un pavé, c'est simplement une intégrale double au sens de l'Analyse II.

Prenons le pavé $B = [x_{0}, x_{0} + h] \times [y_{0}, y_{0} + k] \times [z_{0}, z_{0} + l]$ et un champ de classe . Les deux faces perpendiculaires à l'axe ont pour normales sortantes (face ) et (face ), et la composante normale y vaut et respectivement. Leur contribution totale est

Φ_{x} = \iint_{[y_{0}, y_{0} + k] \times [z_{0}, z_{0} + l]} [P (x_{0} + h, y, z) - P (x_{0}, y, z)] d y d z . (1.5)

Seule la variation de $P$ dans la direction $x$ compte: un champ uniforme entre par une face et ressort par l'autre sans rien laisser. Au premier ordre, $P (x_{0} + h, y, z) - P (x_{0}, y, z) \approx h \frac{\partial P}{\partial x}$ , et l'intégrale sur une face d'aire donne . Les deux autres paires de faces fournissent de même et . Le flux sortant total, divisé par le volume , est donc approximativement

\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} .

Cette combinaison porte un nom.

Le raisonnement ci-dessus n'est qu'une approximation. Le théorème suivant le rend exact, et montre au passage que la divergence ne dépend pas de la forme de la boîte choisie.

Démonstration. Écrivons $B = [a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}]$ . Pour fixé, la fonction est de classe , et le théorème fondamental de l'analyse (Analyse I) donne

P (b_{1}, y, z) - P (a_{1}, y, z) = \int_{a_{1}}^{b_{1}} \frac{\partial P}{\partial x} (x, y, z) d x .

En intégrant sur $(y, z) \in [a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}]$ , le membre de gauche devient la contribution des deux faces perpendiculaires à , comme en (1.5), et le membre de droite devient, par le théorème de Fubini sur un pavé (théorème 10.4 d'Analyse II), l'intégrale triple . Le même argument appliqué à dans la direction et à dans la direction donne les deux autres paires de faces; en additionnant, on obtient (1.7).

Pour (1.8), posons $g = div F$ , continue en $a$ . Par (1.7), $\frac{Φ ( B _{h} )}{h ^{3}} - g (a) = \frac{1}{h ^{3}} ∭_{B_{h}} (g (x) - g (a)) d V$ , donc

\frac{Φ ( B _{h} )}{h ^{3}} - g (a) \leq x \in B_{h} sup g (x) - g (a),

et le membre de droite tend vers $0$ avec $h$ par continuité de $g$ en $a$ . $□$

La formule (1.7) est le théorème de la divergence pour un pavé. Le chapitre 5 l'étendra à des solides quelconques bordés par des surfaces, et c'est l'une des deux formules centrales de l'analyse vectorielle. Le même énoncé vaut dans le plan, avec un rectangle, ses quatre côtés et la normale sortante; la démonstration est identique avec une intégrale de moins.

Lire le signe de la divergence

Le théorème 1.1 donne à la divergence son sens physique:

$div F (a) > 0$ : près de $a$ , il sort de toute petite boîte plus qu'il n'y entre; $a$ est dans une région de sources;
$div F (a) < 0$ : il y entre davantage; c'est une région de puits;
$div F = 0$ dans une région: tout ce qui entre dans une petite boîte en ressort. Un tel champ est dit à divergence nulle, ou solénoïdal.

La figure 1.2 montre trois champs linéaires. Il faut la lire avec soin, car l'œil se trompe facilement: la divergence ne dit pas si les flèches «s'écartent d'un point», elle compare ce qui entre et ce qui sort d'une petite région quelconque.

Au centre, les flèches s'écartent de l'origine le long de l'axe horizontal et s'en rapprochent le long de l'axe vertical, et le bilan est exactement nul: le champ $(x, - y)$ décrit un écoulement qui se déforme sans se comprimer. À droite, aucune flèche ne converge vers un point, et pourtant le champ est un puits partout: le fluide ralentit en approchant de l'axe vertical, où il s'accumule. Pour ces trois champs linéaires, le flux à travers n'importe quel carré vaut exactement la divergence multipliée par l'aire, où que soit le carré: la divergence est constante et (1.7) n'a rien à approcher.

Quelques divergences physiques, que les chapitres suivants exploiteront:

Fluide incompressible. La masse se conserve et la masse volumique ne change pas: tout ce qui entre dans une boîte doit en sortir, et $div v = 0$ en l'absence de source. La rotation en bloc $G = (- y, x)$ vérifie $div G = 0 + 0 = 0$ .
Électrostatique. La loi de Gauss, sous forme locale, s'écrit $div E = ρ_{c} / ε_{0}$ , où est la densité volumique de charge: . Hors des charges, ; l'exemple 1.4 le vérifiera pour la charge ponctuelle.

Pour le champ témoin (1.4), $div F = \frac{\partial ( 2 x y )}{\partial x} + \frac{\partial ( x ^{2} + 3 y ^{2} )}{\partial y} = 2 y + 6 y = 8 y$ : le demi-plan supérieur est une région de sources, le demi-plan inférieur une région de puits, et l'axe des est à divergence nulle.

Question 1.3

Lequel de ces champs du plan est à divergence nulle en tout point?

Le rotationnel, densité de rotation

La circulation autour d'un petit carré

La divergence compte ce qui traverse le bord d'une petite région. L'autre question, celle de la rotation, s'intéresse à ce qui longe ce bord. Parcourons le bord d'un petit rectangle du plan dans le sens trigonométrique et accumulons, le long de chaque côté, la composante du champ dans la direction du parcours. Si le champ est une vitesse, cette quantité mesure à quel point le fluide «fait le tour» du rectangle; on l'appelle la circulation.

Soit $F = (P, Q)$ de classe $C^{1}$ et le rectangle $D = [x_{0}, x_{0} + h] \times [y_{0}, y_{0} + k]$ . Parcouru dans le sens trigonométrique, son bord se compose de quatre côtés:

en bas, de gauche à droite, direction $+ e_{x}$ : contribution $\int_{x_{0}}^{x_{0} + h} P (x, y_{0}) d x$ ;

En regroupant les côtés opposés, la circulation vaut

Γ (D) = \int_{y_{0}}^{y_{0} + k} [Q (x_{0} + h, y) - Q (x_{0}, y)] d y - \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} [P (x, y_{0} + k) - P (x, y_{0})] d x . (1.9)

Encore une fois, seules les variations comptent, mais cette fois ce sont les variations croisées: celle de $Q$ (la composante verticale) dans la direction horizontale, et celle de $P$ dans la direction verticale. Au premier ordre, $Γ (D) \approx (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) hk$ .

Démonstration. Par le théorème fondamental de l'analyse, $Q (x_{0} + h, y) - Q (x_{0}, y) = \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} \frac{\partial Q}{\partial x} (x, y) d x$ et . En reportant dans (1.9) et en appliquant le théorème de Fubini (chapitre 9 d'Analyse II) à chacune des deux intégrales doubles obtenues, , ce qui est (1.11). La limite s'en déduit exactement comme (1.8) dans la démonstration du théorème 1.1, par continuité de en .

La formule (1.11) est le théorème de Green pour un rectangle; le chapitre 3 l'étendra aux domaines du plan bordés par des courbes. Sa démonstration est la sœur jumelle de celle du théorème 1.1: dans les deux cas, on intègre une dérivée partielle et le théorème fondamental la ramène au bord.

Le champ tournant témoin

Le second champ témoin du cours est la rotation en bloc de vitesse angulaire 1:

G (x, y) = (- y, x), rot G = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial ( - y )}{\partial y} = 1 + 1 = 2, div G = 0. (1.12)

Sa densité de rotation vaut 2 en tout point, et pas seulement au centre de rotation. La figure 1.3 le montre sur deux courbes fermées.

Calculons ces deux circulations. Sur le cercle unité parcouru par $γ (t) = (cos t, sin t)$ , $t \in [0, 2 π]$ , le champ vaut $G (γ (t)) = (- sin t, cos t) = γ^{'} (t)$ : il est partout tangent au cercle, de norme 1, et la circulation est . Or l'aire du disque est : la circulation est bien . Pour le petit carré , le théorème 1.2 donne directement , et le calcul par (1.9) le confirme: augmente de entre le côté gauche et le côté droit, d'où une première intégrale de , et diminue de entre le bas et le haut, d'où une seconde de , soustraite. Sur le carré , chacun des quatre côtés apporte et la circulation vaut . Des quadratures numériques de ces trois circulations donnent , et .

La circulation de $G$ le long d'un chemin fermé n'est pas nulle. Nous verrons à la dernière section de ce chapitre que ce seul fait interdit à $G$ d'être un champ de gradient.

La roue à aubes

Pourquoi appeler «rotationnel» une densité de circulation? Plaçons dans l'écoulement une petite roue à aubes, libre de tourner autour de son axe, et supposons (c'est un modèle didactique, pas une loi de la mécanique des fluides) qu'elle prend la vitesse angulaire moyenne du fluide sur sa jante. Une particule de fluide située sur la jante, au point $a + δ u$ avec $u = (cos t, sin t)$ , tourne autour du centre $a$ à la vitesse angulaire $F (a + δ u) \cdot u^{⊥} / δ$ , où est la direction tangente dans le sens trigonométrique. La moyenne sur la jante vaut

ω (δ) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{F ( a + δ u ( t )) \cdot u ^{⊥} ( t )}{δ} d t = \frac{1}{2 π δ ^{2}} \int_{0}^{2 π} F (a + δ u (t)) \cdot (δ u^{⊥} (t)) d t, (1.13)

c'est-à-dire la circulation le long du cercle de rayon $δ$ , parcouru dans le sens trigonométrique, divisée par $2 π δ^{2}$ (le double de son aire).

Démonstration. Comme $F$ est différentiable en $a$ , on a $F (a + δ u) = F (a) + δ J (a) u + δ η (δ u)$ , où $J (a)$ est la matrice jacobienne et quand (chapitre 3 d'Analyse II). Comme quelle que soit la direction , le reste est petit sur la jante: . Reportons dans (1.13), terme par terme.

Le terme constant donne $\frac{1}{2 π δ} \int_{0}^{2 π} F (a) \cdot u^{⊥} (t) d t = 0$ , car : un champ uniforme ne fait pas tourner la roue.

Le terme linéaire donne, en notant $P_{x} = \frac{\partial P}{\partial x} (a)$ et ainsi de suite,

u^{⊥} \cdot J u = - sin t (P_{x} cos t + P_{y} sin t) + cos t (Q_{x} cos t + Q_{y} sin t),

dont la moyenne sur $[0, 2 π]$ vaut $\frac{1}{2} (Q_{x} - P_{y})$ , puisque et ont pour moyenne et pour moyenne 0.

Le reste enfin est majoré en valeur absolue par $sup_{t} ∥ η (δ u (t))∥$ , qui tend vers 0. D'où $ω (δ) \to \frac{1}{2} (Q_{x} - P_{y}) = \frac{1}{2} rot F (a)$ .

Pour la rotation en bloc $ω_{0} (- y, x)$ , le rotationnel vaut $2 ω_{0}$ et la roue tourne à $ω_{0}$ , où qu'on la place: dans un solide en rotation, tout tourne à la même vitesse angulaire, pas seulement ce qui est au centre. Le facteur $\frac{1}{2}$ est la raison pour laquelle le rotationnel d'une rotation est le de sa vitesse angulaire.

L'explorateur ci-dessous place la roue dans cinq écoulements. Il calcule (1.13) pour une roue de rayon $δ = 0, 35$ par une quadrature sur la jante et l'affiche à côté de $\frac{1}{2} rot F$ au centre; pour les quatre champs polynomiaux (tous sauf le tourbillon ponctuel), dont le rotationnel est une fonction affine, les deux valeurs coïncident exactement, quel que soit $δ$ .

Explorateur 1.1 · Une roue à aubes dans cinq écoulements

Choisissez un écoulement et déplacez la roue. Elle tourne à la vitesse angulaire moyenne du fluide sur sa jante, $ω = \frac{1}{2 π δ ^{2}} \oint F \cdot d r$ (modèle didactique, rayon $δ = 0, 35$ ), que le théorème 1.3 relie à $\frac{1}{2} rot F$ au centre. Regardez le cisaillement, dont les lignes sont droites et qui fait pourtant tourner la roue, puis le tourbillon ponctuel, qui tourne autour de l'origine et laisse la roue immobile — sauf quand elle entoure l'origine. Les flèches ont une échelle propre à chaque champ et sont plafonnées à 30 px (barre à l'origine de la flèche).

ÉcoulementRotation en bloc

Centre x₀1,0

Centre y₀0,5

rot F au centre

2,00

½ rot F au centre

1,00

ω de la roue (jante)

1,00

Sens de rotation

trigonométrique

Deux écoulements méritent qu'on s'y arrête, car ils contredisent l'intuition dans les deux sens.

Le tourbillon $H$ est la limite d'un modèle physique plus réaliste, le tourbillon de Rankine, qui fait l'objet du problème guidé de ce chapitre: un cœur en rotation en bloc entouré d'un écoulement irrotationnel. La tornade et le tourbillon de vidange d'un évier en donnent une image qualitative.

Question 1.4

Dans un canal, un fluide s'écoule avec la vitesse $v (x, y) = (3 (1 - y^{2}), 0)$ m/s pour $- 1 \leq y \leq 1$ (en m). Une petite roue à aubes est placée en $y = 0, 5$ . À quelle vitesse angulaire (en rad/s) tourne-t-elle, selon le théorème 1.3? Donnez une valeur positive si elle tourne dans le sens trigonométrique, négative sinon.

Le rotationnel dans l'espace

Dans l'espace, une rotation a un axe, et la densité de rotation est naturellement un vecteur. Pour la construire, appliquons le théorème 1.2 dans chacun des trois plans de coordonnées. Soit $F = (P, Q, R)$ de classe $C^{1}$ . Dans le plan horizontal $z = z_{0}$ , un petit carré parcouru dans le sens trigonométrique vu depuis le haut (depuis les $z$ positifs) ne voit que les composantes et , et sa circulation par unité d'aire tend vers . Dans le plan , avec les coordonnées dans cet ordre et le sens trigonométrique vu depuis les positifs, on obtient ; dans le plan , avec les coordonnées et le sens vu depuis les positifs, . L'ordre , , est la permutation circulaire de : c'est la règle de la main droite.

Le rotationnel scalaire du plan est un cas particulier: pour un champ «plan» $F = (P (x, y), Q (x, y), 0)$ , la formule (1.14) donne $rot F = (0, 0, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})$ , un vecteur vertical dont la composante est le rotationnel scalaire (1.10). La composante de selon une direction unitaire quelconque est, de même, la circulation par unité d'aire autour d'un petit disque perpendiculaire à , parcouru dans le sens trigonométrique vu depuis la pointe de . Nous l'avons établi pour les trois axes de coordonnées; pour une direction quelconque, c'est une conséquence du théorème de Stokes, qui sera démontré au chapitre 5.

La direction de $rot F (a)$ est donc l'axe autour duquel une petite roue à aubes, orientable à volonté, tournerait le plus vite, et sa norme est le double de cette vitesse angulaire maximale. Pour la rotation d'un solide autour d'un axe de vecteur vitesse angulaire $ω$ , le champ des vitesses est $v = ω \times r$ , et l'exercice 1.3 établit que $rot v = 2 ω$ : le rotationnel est le double du vecteur rotation.

Le laplacien

Définition

Le gradient transforme un champ scalaire en champ de vecteurs, la divergence un champ de vecteurs en champ scalaire. Leur composition est un opérateur du second ordre qui envoie un champ scalaire sur un champ scalaire, et c'est sans doute le plus important de la physique mathématique.

Quelques exemples. Dans le plan, $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ est harmonique ( $2 - 2 = 0$ ), et $x^{2} + y^{2}$ ne l'est pas (). Pour le potentiel témoin, : on retrouve , comme il se doit puisque . Dans l'espace, avec , on a , tandis que est harmonique sur : c'est l'exemple 1.4 qui le montre, et c'est pourquoi le potentiel de Coulomb vérifie l'équation de Laplace hors de la charge.

Le laplacien est partout en physique. En électrostatique, $E = - \nabla V$ et $div E = ρ_{c} / ε_{0}$ donnent l'équation de Poisson $Δ V = - ρ_{c} / ε_{0}$ . En thermique, la loi de Fourier (1.2) et le bilan d'énergie donnent l' , où est la diffusivité thermique, désignant ici la masse volumique et la capacité thermique massique (chapitre 9), et en régime stationnaire sans source, . Les vibrations d'une membrane et la propagation du son sont régies par l' (chapitre 10). Il reste à comprendre ce que mesure cet opérateur.

Ce que mesure le laplacien

Démonstration. La formule de Taylor à l'ordre 2 (chapitre 5 d'Analyse II) s'écrit, avec $h = r u (t)$ ,

f (a + h) = f (a) + \nabla f (a) \cdot h + \frac{1}{2} h^{T} H_{f} (a) h + ∥ h ∥^{2} ε (h),

où $H_{f}$ est la hessienne et $ε (h) \to 0$ quand $h \to 0$ . Prenons la moyenne en $t$ sur $[0, 2 π]$ . Le terme du premier ordre a une moyenne nulle, puisque $cos t$ et en ont une. Le terme du second ordre vaut , de moyenne . Le reste est majoré par , car pour tout .

Ainsi $Δ f (a) > 0$ signifie que $f (a)$ est inférieure à la moyenne de $f$ sur les petits cercles qui l'entourent, et $Δ f (a) < 0$ qu'elle leur est supérieure; une fonction harmonique est, au second ordre, égale à ses moyennes. Le chapitre 10 démontrera que pour une fonction harmonique l'égalité est exacte pour tout rayon: c'est la propriété de la moyenne, dont découle le principe du maximum. En thermique, l'équation $\partial T / \partial t = α Δ T$ se lit alors sans calcul: la température monte là où elle est plus basse que la moyenne de son voisinage, et baisse là où elle est plus haute. La diffusion lisse.

Pour le potentiel témoin en $a = (1, 1)$ , où $f = 2$ et $Δ f = 8$ , la formule (1.16) prédit $m (r) \approx 2 + 2 r^{2}$ . Comme est un polynôme de degré 3 et que les termes du troisième ordre ont une moyenne nulle sur un cercle, l'égalité est ici exacte: une quadrature numérique donne , et .

Identités différentielles

Deux compositions nulles

Les trois opérateurs s'enchaînent: le gradient va des champs scalaires aux champs de vecteurs, le rotationnel des champs de vecteurs aux champs de vecteurs, la divergence des champs de vecteurs aux champs scalaires. Deux des compositions possibles sont identiquement nulles, et ce fait est à la racine de toute la théorie des potentiels.

opérateur	s'applique à	produit	lecture physique
$\nabla f$	champ scalaire	champ de vecteurs	direction et taux de plus forte croissance
$div F$	champ de vecteurs	champ scalaire	densité de sources (flux par volume)
$rot F$	champ de vecteurs	champ de vecteurs (scalaire dans le plan)	densité de rotation (circulation par aire)
$Δ f$	champ scalaire	champ scalaire	écart à la moyenne locale

Démonstration. Posons $F = \nabla f$ , soit $P = f_{x}$ , $Q = f_{y}$ , $R = f_{z}$ , qui sont de classe puisque est de classe . Par (1.14), la troisième composante de est

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) - \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) .

Comme $f$ est de classe $C^{2}$ sur l'ouvert $U$ , le théorème de Schwarz (théorème 5.1 d'Analyse II) affirme que les deux dérivées croisées sont égales en tout point de $U$ : cette composante est nulle. Les deux autres composantes, $\frac{\partial}{\partial y} f_{z} - \frac{\partial}{\partial z} f_{y}$ et , sont nulles pour la même raison, appliquée aux couples de variables et . Dans le plan, le rotationnel scalaire de est exactement la troisième composante ci-dessus, nulle par le même argument.

Démonstration. Par (1.14) et (1.6), en dérivant chaque composante du rotationnel par rapport à la variable correspondante,

div (rot F) = \frac{\partial}{\partial x} (R_{y} - Q_{z}) + \frac{\partial}{\partial y} (P_{z} - R_{x}) + \frac{\partial}{\partial z} (Q_{x} - P_{y}),

où $R_{y}$ désigne $\frac{\partial R}{\partial y}$ et ainsi de suite. Développons et regroupons les six termes selon la composante dérivée:

div (rot F) = (\partial_{y} \partial_{z} P - \partial_{z} \partial_{y} P) + (\partial_{z} \partial_{x} Q - \partial_{x} \partial_{z} Q) + (\partial_{x} \partial_{y} R - \partial_{y} \partial_{x} R),

où $\partial_{y} \partial_{z} P$ signifie «dériver $P$ d'abord par rapport à $z$ , puis par rapport à $y$ ». Chaque composante est de classe $C^{2}$ sur l'ouvert $U$ , donc, par le théorème de Schwarz, les deux dérivées croisées de chaque parenthèse sont égales: les trois parenthèses sont nulles.

Ces deux démonstrations reposent entièrement sur le théorème de Schwarz, et l'hypothèse $C^{2}$ n'est pas décorative: le chapitre 5 d'Analyse II a exhibé une fonction dont les dérivées croisées diffèrent à l'origine, et pour elle $rot (\nabla f) (0) \neq = 0$ .

Le théorème 1.5 fournit un test négatif d'une grande efficacité: un champ de classe $C^{1}$ dont le rotationnel n'est pas nul en un seul point ne peut être le gradient d'aucune fonction de classe $C^{2}$ sur aucun ouvert contenant ce point. Le théorème 1.6 joue le même rôle pour les champs qui seraient des rotationnels: le champ magnétique vérifie $div B = 0$ (l'absence de «charges magnétiques»), ce qui est la condition nécessaire pour écrire $B = rot A$ , avec un potentiel vecteur $A$ .

Question 1.5

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration de $div (rot F) = 0$ pour un champ $F = (P, Q, R)$ de classe $C^{2}$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Regrouper les six termes en trois paires de dérivées croisées d'une même composante, par exemple

\partial_{y} \partial_{z} P - \partial_{z} \partial_{y} P

Invoquer le théorème de Schwarz, valable car

F

est de classe

C^{2}

, pour annuler chaque paire.

Écrire

rot F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y})

Dériver chaque composante par rapport à la variable correspondante et additionner:

\partial_{x} (R_{y} - Q_{z}) + \partial_{y} (P_{z} - R_{x}) + \partial_{z} (Q_{x} - P_{y})

Règles de produit

Les opérateurs se comportent vis-à-vis des produits comme la dérivée d'une fonction d'une variable, avec la règle de Leibniz $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ appliquée composante par composante.

Démonstration. Nous démontrons ici les règles 1 et 2; les règles 3 et 4 font l'objet de l'exercice 1.5. Pour la règle 1, la dérivée partielle d'un produit se calcule par la règle de Leibniz: $\frac{\partial ( f g )}{\partial x} = f \frac{\partial g}{\partial x} + g \frac{\partial f}{\partial x}$ , et de même pour et ; ce sont exactement les composantes de .

Pour la règle 2, écrivons $F = (P, Q, R)$ , de sorte que $f F = (f P, f Q, f R)$ . Par (1.6) et la règle de Leibniz appliquée à chaque terme,

div (f F) = \frac{\partial ( f P )}{\partial x} + \frac{\partial ( f Q )}{\partial y} + \frac{\partial ( f R )}{\partial z} = f (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) + (\frac{\partial f}{\partial x} P + \frac{\partial f}{\partial y} Q + \frac{\partial f}{\partial z} R) .

La première parenthèse est $div F$ , la seconde est le produit scalaire $\nabla f \cdot F$ . Dans le plan, on supprime les termes en $z$ . $□$

Les règles 3 et 4 se démontrent de la même façon, composante par composante. Une conséquence immédiate des règles 1 et 2, appliquées à $div (f \nabla g + g \nabla f)$ pour $f$ et $g$ de classe $C^{2}$ , est la formule

Δ (f g) = f Δ g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g Δ f, (1.17)

qui est la règle de Leibniz pour la dérivée seconde, $(uv)^{''} = u^{''} v + 2 u^{'} v^{'} + u v^{''}$ , transposée à plusieurs variables.

Coordonnées cylindriques et sphériques

Les formules

Lorsqu'un problème a une symétrie de révolution ou une symétrie sphérique, les coordonnées cartésiennes la cachent. Le chapitre 10 d'Analyse II a introduit les coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ , avec $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ , et sphériques $(ρ, φ, θ)$ , avec $x = ρ sin φ cos θ$ , , , où est la mesurée depuis l'axe positif et la longitude. Nous gardons exactement ces conventions (annexe A).

Il faut y ajouter une base locale: en chaque point, les vecteurs unitaires dans la direction où croît chacune des coordonnées. En cylindriques,

e_{r} = (cos θ, sin θ, 0), e_{θ} = (- sin θ, cos θ, 0), e_{z} = (0, 0, 1);

en sphériques,

e_{ρ} = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ), e_{φ} = (cos φ cos θ, cos φ sin θ, - sin φ), e_{θ} = (- sin θ, cos θ, 0) .

Ces deux bases sont orthonormées et directes: $e_{r} \times e_{θ} = e_{z}$ et $e_{ρ} \times e_{φ} = e_{θ}$ . Contrairement à , . Un champ de vecteurs s'y écrit , respectivement .

Nous admettons ces formules ici. Leur démonstration ne contient aucune idée nouvelle: on exprime les dérivées partielles cartésiennes à l'aide de la règle de la chaîne (chapitre 4 d'Analyse II), puis on tient compte du fait que les vecteurs de base locaux varient d'un point à l'autre. Le calcul, long et sans surprise, est fait dans le formulaire (annexe B). Les formules du théorème 1.8 ont été contrôlées numériquement, par différences finies, sur des champs de test sans symétrie: les versions cartésienne et curviligne du gradient, de la divergence, du rotationnel et du laplacien coïncident à $1 0^{- 5}$ près en un point générique de chaque système.

Les champs du chapitre, revus

Les formules paient dès qu'on les applique aux champs rencontrés jusqu'ici; chaque calcul confirme un résultat cartésien obtenu plus haut.

Le champ tournant s'écrit $G = (- y, x) = r e_{θ}$ (vu comme champ de l'espace indépendant de $z$ ). Avec $F_{θ} = r$ et : et , comme en (1.12).

Un premier regard sur les champs conservatifs

Nous pouvons maintenant confronter les deux champs témoins du cours. Leur contraste est toute la leçon des chapitres 2 et 3, et il vaut la peine de la voir dès maintenant, même si certaines affirmations ne seront établies qu'au chapitre 2, et l'une d'elles seulement en partie.

	champ témoin $F = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2})$	champ tournant $G = (- y, x)$
$rot$

Les deux dernières lignes contiennent des intégrales de la forme $\int_{0}^{1} F (γ (t)) \cdot γ^{'} (t) d t$ , que le chapitre 2 appellera travail ou circulation. Pour $F$ , l'exemple 1.1 a montré que le résultat ne dépend que des extrémités, parce que $F = \nabla f$ et que la règle de la chaîne ramène l'intégrale à . Le même argument montre que sur un chemin , où la fin est le début, l'intégrale d'un champ de gradient est nulle. Pour , le segment donne , et la parabole donne , d'intégrale : deux chemins, deux résultats. Les quadratures numériques confirment et .

Il y a donc deux raisons indépendantes pour lesquelles $G$ n'est le gradient d'aucune fonction, sur aucun ouvert contenant le cercle unité:

son rotationnel vaut $2 \neq = 0$ , alors qu'un gradient de classe $C^{2}$ est irrotationnel (théorème 1.5); cet argument vaut même sur un ouvert aussi petit qu'on veut;
sa circulation sur le cercle unité vaut $2 π \neq = 0$ , alors que celle d'un gradient de classe $C^{1}$ sur un chemin fermé est nulle.

La condition $rot F = 0$ est donc nécessaire pour qu'un champ dérive d'un potentiel. Est-elle suffisante? Pour le champ témoin, oui: il a un potentiel sur tout le plan. Mais le tourbillon ponctuel de l'exemple 1.3 montre que la réponse dépend du domaine.

La méthode pour trouver un potentiel, quand il existe, se devine sur le champ témoin. On cherche $f$ avec $\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y$ : en intégrant en $x$ à $y$ fixé, $f (x, y) = x^{2} y + c (y)$ , où la «constante» d'intégration peut dépendre de . On impose alors , d'où et . Le fait que se soit simplifié, laissant une équation en seul, n'est pas un hasard: c'est exactement la condition . Tentez la même méthode sur : donne , puis devrait valoir , ce qui exigerait , une fonction de seul égale à : impossible. L'obstruction est le rotationnel .

Synthèse

Un champ de vecteurs attache un vecteur à chaque point; on le dessine par une grille de flèches calculées, de longueur proportionnelle à $∥ F ∥$ avec un plafond déclaré, ou par ses lignes de champ, solutions de $γ^{'} = F (γ)$ . Vitesse d'un fluide, champ électrique, pesanteur et flux de chaleur $q = - k \nabla T$ en sont les modèles.
Le gradient d'un champ scalaire est un champ de vecteurs orthogonal aux lignes de niveau; un champ qui s'écrit $F = \nabla f$ est un (conservatif) de potentiel . Le champ témoin dérive de , et son travail de à vaut sur tout chemin.

Série d'exercices du chapitre 1Exercice 1 sur 5

Question 1.6

Soit $f$ un champ scalaire de classe $C^{2}$ sur un ouvert de $R^{3}$ . Que vaut $div (\nabla f)$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 1.1 · Calculs de gradients, de divergences et de rotationnels

Calculer le gradient et le laplacien de $f (x, y, z) = x e^{y z}$ .
Calculer la divergence et le rotationnel de $F (x, y, z) = (y z, x z^{2}, x^{2} y)$ , puis vérifier le théorème 1.6 sur ce champ.

Exercice 1.2 · Les deux champs témoins

Retrouver le potentiel du champ témoin $F = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2})$ par la méthode d'intégration de la dernière section, et vérifier que $div F = Δ f$ .

Exercice 1.3 · Le rotationnel d'une rotation

Un solide tourne autour d'un axe passant par l'origine avec le vecteur rotation constant $ω = (ω_{1}, ω_{2}, ω_{3})$ . La vitesse du point $r = (x, y, z)$ est .

Exercice 1.4 · Champs radiaux et fonctions harmoniques radiales

On utilise les formules du théorème 1.8.

Calculer $div (ρ^{m} e_{ρ})$ pour $m$ réel, et retrouver le résultat (1.18) de l'exemple 1.4.
Déterminer toutes les fonctions harmoniques de la forme $f = u (ρ)$ sur $R^{3} ∖ {0}$ .

Exercice 1.5 · Deux règles de produit

Soient $f$ un champ scalaire et $F = (F_{1}, F_{2}, F_{3})$ , des champs de vecteurs, de classe sur un ouvert de .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, W. H. Freeman, New York, chap. 3 et 4 (champs de vecteurs, divergence et rotationnel).
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 2, De Boeck, Bruxelles, chapitre sur l'analyse vectorielle.
Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, Pearson, Toronto, chap. 15 et 16 (champs de vecteurs, opérateurs différentiels, coordonnées curvilignes).
Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, Wiley, Hoboken, chap. 9 (calcul différentiel vectoriel, gradient, divergence, rotationnel).
Polycopiés d'Analyse III de l'EPFL.

côté $h$	flux sortant $Φ (B_{h})$	$Φ (B_{h}) / h^{3}$
1	49/12 ≈ 4,083333	4,083333
0,5	193/384 ≈ 0,502604	4,020833
0,1	4801/1 200 000 ≈ 0,00400083	4,000833
0,01	480 001/120 000 000 000 ≈ 4,000008 · 10⁻⁶	4,000008

Objectifs du chapitre

Champs scalaires et champs de vecteurs

Deux sortes de champs

Quatre champs de la physique

Représenter un champ de vecteurs

Le gradient, un champ de vecteurs

Rappel: ce que l'Analyse II a établi

Champs de gradient et potentiels

Le champ conservatif témoin

La divergence, densité de sources

Le flux sortant d'une petite boîte

Lire le signe de la divergence

Le rotationnel, densité de rotation

La circulation autour d'un petit carré

Le champ tournant témoin

La roue à aubes

Le rotationnel dans l'espace

Le laplacien

Définition

Ce que mesure le laplacien

Identités différentielles

Deux compositions nulles

Règles de produit

Coordonnées cylindriques et sphériques

Les formules

Les champs du chapitre, revus

Un premier regard sur les champs conservatifs

Synthèse

Exercices

Références

Le rotationnel dans le cœur

Le rotationnel à l'extérieur

La circulation hors du cœur

D'où vient cette circulation?