Théorème de Green

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

décrire le bord d'un domaine régulier du plan et l'orienter positivement — le domaine toujours à gauche —, y compris lorsque ce bord a plusieurs composantes;
énoncer le théorème de Green, le démontrer sur un domaine à la fois de type I et de type II, et l'étendre par découpage à des domaines plus généraux, troués compris;
passer de la forme «circulation» à la forme «flux» du théorème, et lire le rotationnel et la divergence comme des densités de circulation et de flux;
calculer une aire par une intégrale curviligne, en particulier l'aire d'un polygone à partir de ses sommets, et expliquer le principe du planimètre;
remplacer une intégrale curviligne difficile par une intégrale double facile, et inversement;
expliquer pourquoi le champ $H$ du chapitre 2 a une circulation $2 π$ malgré un rotationnel nul, et calculer la circulation d'un champ irrotationnel autour d'un trou.

Une circulation et une intégrale double

Le chapitre 1 a présenté le rotationnel scalaire d'un champ plan $F = (P, Q)$ ,

rot F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y},

comme la mesure de la rotation locale du champ: une petite roue à aubes plongée dans un écoulement de vitesse $F$ tourne d'autant plus vite que $rot F$ est grand. Le chapitre 2 a construit l'intégrale curviligne $\int_{γ} F \cdot d r = \int_{γ} P d x + Q d y$ , et appelé sa valeur sur une courbe fermée, notée . Ces deux objets sont de natures différentes: le premier est une dérivée, en un point; le second est une intégrale, le long d'une courbe. Ce chapitre montre qu'ils sont les deux faces d'une même quantité.

Un calcul suffit à le soupçonner. Le champ tournant témoin du cours, $G (x, y) = (- y, x)$ , a un rotationnel constant, $rot G = 1 - (- 1) = 2$ . Sa circulation sur le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique, paramétré par $(cos t, sin t)$ , vaut

\oint G \cdot d r = \int_{0}^{2 π} ((- sin t) (- sin t) + cos t cos t) d t = 2 π .

Or $2 π$ est exactement $2 \times π$ , le rotationnel multiplié par l'aire du disque. La coïncidence n'en est pas une: c'est le théorème de Green, qui dit que la circulation d'un champ sur le bord d'un domaine est l'intégrale de son rotationnel sur ce domaine.

Il faut y reconnaître une vieille connaissance. Le théorème fondamental de l'analyse, $\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)$ , dit que l'intégrale d'une dérivée sur un intervalle ne dépend que des valeurs de la fonction au bord de l'intervalle, c'est-à-dire en deux points, comptés l'un avec le signe $+$ et l'autre avec le signe $-$ . Le théorème de Green est l'énoncé analogue en dimension deux: l'intégrale d'une certaine dérivée (le rotationnel) sur un domaine plan ne dépend que des valeurs du champ sur le bord du domaine. Mais le bord n'est plus fait de deux points: c'est une courbe, et le rôle des signes et y est tenu par une . C'est donc par là qu'il faut commencer.

Le bord orienté d'un domaine du plan

Domaines réguliers

Les domaines de ce chapitre sont bornés par des courbes fermées sans point double. On rappelle le vocabulaire du chapitre 2 et on le précise.

Le bord d'un carré, d'un triangle, d'un disque, d'une ellipse est une telle courbe; une courbe en forme de huit n'en est pas une, car elle passe deux fois par son point central. Le fait géométrique qui rend tout ce chapitre possible est le suivant, que nous admettons: une courbe fermée simple découpe le plan en exactement deux régions connexes, l'une bornée — son intérieur — et l'autre non bornée, et la courbe est leur frontière commune. C'est le théorème de Jordan. Il paraît évident, et c'est précisément ce qui le rend difficile: sa démonstration, même pour une courbe de classe $C^{1}$ par morceaux, demande des outils de topologie qui dépassent ce cours, et le cas d'une courbe seulement continue est un résultat réputé délicat. Nous nous en servirons sans scrupule, parce que pour toutes les courbes que nous rencontrerons — polygones, cercles, ellipses, arcs de graphes — l'intérieur se voit sur le dessin.

Un disque fermé est un domaine régulier dont le bord a une composante, le cercle. Une couronne ${1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4}$ est un domaine régulier dont le bord a deux composantes, les cercles de rayons $1$ et $2$ . Un carré percé de deux trous circulaires en a trois. La condition «égale à l'adhérence de son intérieur» interdit les domaines munis d'une «moustache», un segment qui dépasserait du domaine sans épaisseur: un tel segment ferait partie du bord sans avoir de «côté intérieur», et l'orientation que nous allons définir n'aurait pas de sens.

L'orientation positive

Une courbe fermée simple peut être parcourue dans deux sens. Pour un domaine régulier, l'un des deux est privilégié.

La règle se retient en se promenant: un marcheur qui suit le bord garde le domaine à sa main gauche; ce qui est à sa main droite est l'extérieur, et c'est là que pointe $n$ . Appliquée aux exemples:

pour un disque, ou pour tout domaine dont le bord n'a qu'une composante, l'orientation positive est le sens trigonométrique (antihoraire);
pour la couronne ${1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4}$ , le grand cercle est parcouru dans le sens trigonométrique, mais le petit cercle est parcouru dans le sens horaire: en le suivant dans ce sens, le marcheur a bien la couronne à sa gauche et le trou à sa droite.

Deux remarques rendent cette définition utilisable. D'abord, elle ne dépend que de la courbe et du sens de parcours, non d'une paramétrisation particulière: le chapitre 2 a établi que l'intégrale $\int_{γ} F \cdot d r$ ne change pas quand on reparamètre $γ$ en conservant le sens, et qu'elle change de signe quand on le renverse, $\int_{- γ} = - \int_{γ}$ . La circulation est donc bien définie dès que l'orientation l'est. Ensuite, pour vérifier qu'une paramétrisation donnée est positive, un point suffit: si, en un point régulier, le vecteur vitesse tourné d'un quart de tour vers la gauche entre dans , c'est vrai partout sur cette composante. Pour le cercle , au point la vitesse est , tournée vers la gauche elle devient , qui pointe vers le centre: le paramétrage est positif pour le disque, et négatif pour le complémentaire du disque dans une couronne plus grande.

Question 3.1

Soit la couronne $D = {(x, y) : 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4}$ . Quelle est l'orientation positive de son bord?

Le théorème de Green

Voici l'énoncé général. Nous le démontrerons dans le cas d'un domaine élémentaire, puis nous l'étendrons par découpage.

Trois hypothèses portent l'énoncé, et chacune servira. Le domaine est régulier, pour que son bord soit une réunion de courbes sur lesquelles l'intégrale curviligne a un sens. Le bord est orienté positivement, et le signe du membre de gauche en dépend. Enfin $P$ et $Q$ sont de classe $C^{1}$ sur tout $D$ , intérieur compris — c'est cette hypothèse-là qui tombera en défaut pour le champ $H$ du chapitre 2, et nous verrons que c'est exactement ce qui explique son comportement.

Nous démontrons le théorème pour les domaines qui sont à la fois de type I et de type II, puis pour les domaines qu'on peut découper en un nombre fini de tels morceaux, ce qui couvre tous les domaines de ce cours: polygones, disques, couronnes, domaines bornés par des arcs de graphes. Le cas d'un domaine régulier quelconque est admis: un bord de classe $C^{1}$ par morceaux peut osciller une infinité de fois (pensez à un arc du graphe de $x^{3} sin (1/ x)$ près de l'origine), et l'on ne peut plus, en général, le découper en un nombre fini de domaines à la fois de type I et de type II. La démonstration générale passe par une approximation du domaine par des réunions de petits carrés, avec un contrôle uniforme des erreurs sur le bord; elle relève d'un cours de géométrie différentielle, où le théorème de Green devient un cas particulier du théorème de Stokes pour les variétés à bord.

La démonstration sur un domaine à la fois de type I et de type II

Rappelons les deux descriptions du chapitre 9 d'Analyse II (définition des domaines élémentaires, relations (9.4) et (9.5)). Un domaine est de type I s'il s'écrit

D = {(x, y) : a \leq x \leq b, φ_{1} (x) \leq y \leq φ_{2} (x)},

et de type II s'il s'écrit

D = {(x, y) : c \leq y \leq d, ψ_{1} (y) \leq x \leq ψ_{2} (y)} .

Nous supposons ici les fonctions $φ_{1}, φ_{2}, ψ_{1}, ψ_{2}$ de classe $C^{1}$ par morceaux, pour que le bord soit une courbe sur laquelle on sache intégrer. Un disque, un rectangle, un triangle, une ellipse, et plus généralement tout domaine convexe dont le bord est par morceaux, sont à la fois de type I et de type II.

Démonstration. Les deux égalités se démontrent séparément; la première n'utilise que la description de type I, la seconde que celle de type II.

Première égalité. Écrivons $D$ comme domaine de type I. Le membre de droite se calcule par le théorème de Fubini sur un domaine élémentaire (Analyse II, chapitre 9, théorème 9.8): la fonction $\partial P / \partial y$ est continue sur $D$ , et

\iint_{D} \frac{\partial P}{\partial y} d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} \frac{\partial P}{\partial y} (x, y) d y) d x = \int_{a}^{b} [P (x, φ_{2} (x)) - P (x, φ_{1} (x))] d x,

où l'on a appliqué, à $x$ fixé, le théorème fondamental de l'analyse à la fonction $y \mapsto P (x, y)$ , qui est de classe $C^{1}$ .

Passons au membre de gauche. Parcouru positivement, le bord de $D$ se compose de quatre morceaux (figure 3.1, à gauche):

$C_{1}$ , le graphe de $φ_{1}$ , parcouru de gauche à droite; paramétrage $γ_{1} (t) = (t, φ_{1} (t))$ , , avec ;

L'orientation est bien la bonne: sur $C_{1}$ , en allant vers la droite, on a au-dessus de soi, donc à gauche, le domaine $D$ ; de même partout ailleurs. Les segments verticaux $C_{2}$ et $C_{4}$ (éventuellement réduits à un point) ne contribuent pas à $\int P d x$ : le long d'un segment vertical, est constant, , et l'intégrande est nul. Il reste

\oint_{\partial D} P d x = \int_{C_{1}} P d x + \int_{C_{3}} P d x = \int_{a}^{b} P (t, φ_{1} (t)) d t - \int_{a}^{b} P (t, φ_{2} (t)) d t,

le signe $-$ venant de ce que $C_{3}$ est parcouru dans le sens opposé à son paramétrage naturel. C'est exactement l'opposé de l'intégrale double calculée plus haut, ce qui démontre la première égalité.

Seconde égalité. Écrivons maintenant $D$ comme domaine de type II. Par Fubini dans l'autre ordre et le théorème fondamental appliqué à $x \mapsto Q (x, y)$ ,

\iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} d x d y = \int_{c}^{d} [Q (ψ_{2} (y), y) - Q (ψ_{1} (y), y)] d y .

Parcouru positivement, le bord se compose cette fois (figure 3.1, à droite) de l'arc droit $x = ψ_{2} (y)$ , parcouru de bas en haut, paramétré par $t \mapsto (ψ_{2} (t), t)$ , $t \in [c, d]$ , de l'arc gauche , parcouru , et d'éventuels segments horizontaux en et , sur lesquels est constant et est nul. En allant vers le haut sur l'arc droit, on a bien à sa gauche. Donc

\oint_{\partial D} Q d y = \int_{c}^{d} Q (ψ_{2} (t), t) d t - \int_{c}^{d} Q (ψ_{1} (t), t) d t = \iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} d x d y .

Conclusion. Les deux découpages décrivent la même courbe fermée orientée $\partial D$ ; seule la façon de la couper en morceaux change, et l'intégrale curviligne sur une courbe ne dépend pas de la façon dont on la découpe. On peut donc additionner les deux égalités (3.3): $\oint_{\partial D} P d x + Q d y = \iint_{D} (\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y) d x d y$ .

Il vaut la peine de voir d'où vient l'asymétrie des signes dans (3.2): pourquoi $+ \partial Q / \partial x$ mais $- \partial P / \partial y$ ? Dans la première moitié, le bas du domaine est parcouru vers la droite et le haut vers la gauche: la contribution du haut, où $y$ est grand, arrive avec un signe $-$ . Dans la seconde moitié, le côté droit, où $x$ est grand, est parcouru vers le haut et arrive avec un signe $+$ . Le sens trigonométrique «monte à droite et redescend à gauche», mais il «va à droite en bas et revient à gauche en haut»: c'est toute l'asymétrie.

Question 3.2

Calculez, au moyen du théorème de Green, la circulation $\oint (x - y^{2}) d x + x y d y$ le long du bord du rectangle $[0, 2] \times [0, 1]$ , parcouru dans le sens trigonométrique.

Découper pour étendre

Le théorème 3.2 est déjà utile, mais beaucoup de domaines naturels ne sont pas élémentaires. La demi-couronne ${1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4, y \geq 0}$ n'est pas de type I: une verticale d'abscisse $x \in] - 1, 1 [$ la rencontre en deux segments séparés par le trou. L'idée pour s'en sortir est de .

Démonstration. Additionnons les formules de Green des morceaux. À droite, l'additivité de l'intégrale double par rapport au domaine (Analyse II, chapitre 9, théorème 9.5, point 2) donne

k = 1 \sum N \iint_{D_{k}} rot F d x d y = \iint_{D} rot F d x d y,

puisque deux morceaux ne se rencontrent que le long de courbes, qui sont de mesure nulle. À gauche, le bord de chaque $D_{k}$ , orienté positivement, se compose de deux sortes d'arcs.

Des arcs du bord de $D$ . Au voisinage d'un tel arc, $D_{k}$ et $D$ sont du même côté: laisser $D_{k}$ à sa gauche, c'est laisser $D$ à sa gauche. Ces arcs sont donc parcourus avec l'orientation positive de $\partial D$ , et chacun appartient à un seul morceau.
Des , le long desquelles deux morceaux et se touchent. Une telle arête appartient au bord des deux. En la parcourant avec à sa gauche, on a à sa droite; pour avoir à gauche, il faut la parcourir dans l'autre sens. L'arête est donc parcourue , et comme (chapitre 2), ses deux contributions s'annulent.

La somme des circulations sur les $\partial D_{k}$ se réduit donc à la circulation sur $\partial D$ orienté positivement, et l'on obtient (3.2) sur $D$ . $□$

Appliquons-le à la demi-couronne $D$ de la figure 3.2. Chaque quart de couronne est à la fois de type I et de type II — par exemple $D_{2} = {0 \leq x \leq 2, max (0, 1 - x^{2}) \leq y \leq 4 - x^{2}}$ , et de même en échangeant et —, donc le théorème 3.2 s'applique à chacun et le théorème 3.3 à leur réunion. Voyons l'annulation sur un champ qui ne s'annule pas sur la découpe. Pour , de rotationnel , la découpe , le segment , , porte la circulation quand on la parcourt vers le haut. Le bord de la parcourt vers le haut, celui de vers le bas. Les calculs numériques donnent:

Bord	Sans la découpe	Découpe	Total	$2 \times$ aire
$\partial D_{1}$	$3, 212389$	$+ 1, 5$	$4, 712389$	$3 π /2 = 4, 712389$

Chaque morceau vérifie Green isolément, les $\pm \frac{3}{2}$ de la découpe disparaissent dans la somme, et le bord de $D$ seul redonne $3 π$ , soit $2 \times \frac{3 π}{2}$ , le rotationnel multiplié par l'aire de la demi-couronne.

Ce raisonnement est plus qu'un artifice de démonstration: c'est la bonne image mentale du théorème. Découpez $D$ en une grille de petits carrés. Sur chaque petit carré, la circulation est à peu près $rot F$ multiplié par l'aire du carré. En sommant sur tous les carrés, les arêtes intérieures s'annulent deux à deux, et il ne reste que les arêtes qui touchent le bord de $D$ : la somme des petites circulations est la circulation sur le bord. Le théorème de Green, c'est cette compensation passée à la limite.

Question 3.3

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration de $\oint_{\partial D} P d x = - \iint_{D} \partial P / \partial y$ sur un domaine de type I.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Constater que les segments verticaux ne contribuent pas, car

x

y est constant

Paramétrer

C_{1}

C_{3}

par

x

, en tenant compte du sens de parcours de

C_{3}

, et comparer

Écrire

D = {a \leq x \leq b, φ_{1} (x) \leq y \leq φ_{2} (x)}

Appliquer le théorème fondamental à

y \mapsto P (x, y)

pour obtenir

\int_{a}^{b} [P (x, φ_{2}) - P (x, φ_{1})] d x

Découper le bord orienté positivement en

C_{1}

C_{2}

C_{3}

C_{4}

Calculer l'intégrale double par Fubini, en intégrant d'abord en

y

Domaines troués

La couronne et les bords à plusieurs composantes

Le découpage traite aussi les domaines troués. Prenons la couronne $A = {a^{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq b^{2}}$ , avec $0 < a < b$ . Coupée par les deux axes, elle se décompose en quatre quarts de couronne, chacun à la fois de type I et de type II. Le théorème 3.3 s'applique: les huit demi-arêtes intérieures, portées par les axes, s'annulent deux à deux, et il reste la circulation sur le bord de , c'est-à-dire le grand cercle dans le sens trigonométrique et le petit dans le sens horaire. Le même argument vaut pour tout domaine percé de trous que des coupes bien choisies ramènent à des morceaux élémentaires — et, comme pour le théorème 3.1, nous admettons le cas général.

En pratique, on préfère souvent écrire toutes les circulations dans le sens trigonométrique et faire apparaître le signe à la main. Si $D$ est le domaine compris entre une courbe extérieure $C$ et des courbes intérieures $C_{1}^{'}, \dots, C_{m}^{'}$ qui bordent ses trous, toutes parcourues dans le sens trigonométrique, la formule de Green s'écrit

\iint_{D} rot F d x d y = \oint_{C} F \cdot d r - k = 1 \sum m \oint_{C_{k}^{'}} F \cdot d r . (3.4)

C'est simplement (3.2), dans laquelle on a remplacé chaque trou parcouru dans le sens horaire par l'opposé du même trou parcouru dans le sens trigonométrique.

Pour le champ tournant témoin $G$ sur la couronne $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4$ : $rot G = 2$ et l'aire vaut $4 π - π = 3 π$ , d'où à gauche de (3.4). À droite, la circulation de sur un cercle de rayon dans le sens trigonométrique vaut , soit pour et pour : on trouve bien . Avec le petit cercle compté dans le mauvais sens, on aurait obtenu .

Deux lectures de la formule: circulation et flux

La forme circulation

Le long d'une courbe paramétrée par l'abscisse curviligne, $d r = T d s$ , où $T$ est le vecteur tangent unitaire (chapitre 2). La formule de Green se lit alors

\oint_{\partial D} F \cdot T d s = \iint_{D} rot F d x d y . (3.5)

À gauche, on accumule la composante tangentielle du champ le long du bord: c'est la tendance du champ à faire circuler un fluide autour de $D$ . À droite, on somme la rotation locale en chaque point de $D$ . Si $F$ est la vitesse d'un fluide plan, la circulation sur $\partial D$ est la somme de tous les petits tourbillons qu'il contient.

La forme flux

La normale sortante (3.1) est $n = (T_{2}, - T_{1})$ , de sorte que $n d s = (T_{2} d s, - T_{1} d s) = (d y, - d x)$ . Le de à travers est donc

\oint_{\partial D} F \cdot n d s = \oint_{\partial D} P d y - Q d x .

C'est la circulation du champ $(- Q, P)$ , obtenu en tournant $F$ d'un quart de tour. Son rotationnel vaut $\frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial ( - Q )}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = div F$ . Appliquer Green à ce champ tourné donne donc, sans rien démontrer de nouveau:

C'est le théorème de la divergence en dimension deux; le chapitre 5 en donnera la version dans l'espace, où le bord d'un solide est une surface. Sa lecture physique est un bilan: si $F$ est la vitesse d'un fluide plan, $F \cdot n d s$ est le débit qui sort à travers un petit arc du bord, et $div F$ la densité des sources à l'intérieur. Ce qui sort par le bord est ce que les sources ont produit dedans. Un fluide incompressible sans source, $div F = 0$ , a un débit net nul à travers tout bord — autant de fluide entre que de fluide sort. Pour le champ radial $(x, y)$ , de divergence $2$ , le flux à travers le cercle de rayon vaut , et le calcul direct le confirme: sur ce cercle, et la longueur est .

Le rotationnel et la divergence comme densités

Les deux formes de Green donnent aux opérateurs du chapitre 1 une définition intrinsèque, indépendante de toute formule en coordonnées.

Démonstration. Soit $D_{ε}$ le disque fermé de bord $C_{ε}$ , contenu dans le voisinage où $F$ est $C^{1}$ dès que $ε$ est assez petit. Par Green, $\oint_{C_{ε}} F \cdot d r = \iint_{D_{ε}} rot F$ . La fonction est continue et est compact, connexe et d'aire : le théorème de la moyenne (Analyse II, chapitre 9, théorème 9.6) fournit un point tel que . Quand , , et la continuité de donne la première limite. La seconde s'obtient de la même manière à partir de la forme flux (3.6).

Le rotationnel est donc une circulation par unité d'aire, et la divergence un flux par unité d'aire. C'est la justification de la roue à aubes du chapitre 1: une petite roue centrée en $p$ est entraînée par la composante tangentielle du courant sur son pourtour, c'est-à-dire par la circulation sur un petit cercle, qui vaut à peu près $rot F (p)$ fois l'aire. Pour voir la limite se faire, prenons $K = (- y^{3}, x^{3})$ , de rotationnel $3 (x^{2} + y^{2})$ , qui vaut au point . Le quotient circulation/aire calculé numériquement vaut pour , pour et pour ; il suit exactement la formule , que l'on obtient en intégrant sur le disque . L'écart à la limite décroît comme l'aire du disque.

Calculer une aire par une intégrale curviligne

Si l'on choisit un champ dont le rotationnel vaut $1$ , le membre de droite de Green est l'aire de $D$ . Il suffit donc de trouver de tels champs — et il y en a d'évidents.

Démonstration. L'aire de $D$ est l'intégrale double de la fonction constante $1$ (Analyse II, chapitre 9, théorème 9.9). Appliquons la formule de Green (3.2) à trois champs polynomiaux, donc de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ tout entier:

$(P, Q) = (0, x)$ : $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - 0 = 1$ , donc ;

Les trois intégrales curvilignes sont égales au même nombre, l'aire de $D$ . $□$

La troisième forme est la plus symétrique, et c'est souvent la plus commode: pour une courbe paramétrée $(x (t), y (t))$ , l'intégrande $x y^{'} - y x^{'}$ se simplifie remarquablement. Pour l'ellipse $(a cos t, b sin t)$ , , parcourue dans le sens trigonométrique, , et

aire = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} ab d t = π ab .

Pour $a = 3$ et $b = 2$ , c'est $6 π \approx 18, 85$ ; la forme $\oint x d y$ , calculée numériquement, donne le même $18, 849556$ . On retrouve l'aire de l'ellipse sans avoir calculé de primitive de $1 - x^{2} / a^{2}$ .

Trois remarques sur cette formule.

Elle relie le champ témoin à l'aire. Le champ $\frac{1}{2} (- y, x)$ de la troisième ligne est la moitié du champ tournant témoin $G$ . La formule (3.7) dit donc que $\oint_{\partial D} G \cdot d r = 2 aire (D)$ : la circulation de mesure l'aire. Sur le cercle unité, c'est le de l'introduction; sur le carré unité, la circulation vaut .

Les mêmes idées donnent les moments d'une plaque homogène. Le champ $(0, x^{2} /2)$ a pour rotationnel $x$ , et $(- y^{2} /2, 0)$ a pour rotationnel $y$ ; donc

\iint_{D} x d x d y = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} x^{2} d y, \iint_{D} y d x d y = - \frac{1}{2} \oint_{\partial D} y^{2} d x, (3.8)

et le centre de gravité se calcule à partir du seul contour.

Question 3.4

L'astroïde est la courbe $(cos^{3} t, sin^{3} t)$ , $t \in [0, 2 π]$ . Calculez l'aire du domaine qu'elle borde au moyen de $\frac{1}{2} \oint (x d y - y d x)$ . Donnez la valeur décimale.

Le polygone et la formule du géomètre

Le cas où le bord est un polygone mérite d'être isolé, parce qu'il est d'un usage quotidien en topographie, en infographie et en conception assistée par ordinateur.

Démonstration. Par (3.7), l'aire est la somme sur les $N$ côtés de $\frac{1}{2} \int (x d y - y d x)$ . Paramétrons le côté qui va de $(x_{k}, y_{k})$ à par , , , avec et . Alors

x y^{'} - y x^{'} = (x_{k} + t Δ x) Δ y - (y_{k} + t Δ y) Δ x = x_{k} Δ y - y_{k} Δ x,

car les termes en $t$ se compensent. L'intégrande est constant et son intégrale sur $[0, 1]$ vaut $x_{k} (y_{k + 1} - y_{k}) - y_{k} (x_{k + 1} - x_{k}) = x_{k} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k}$ . On somme sur et on multiplie par .

Le planimètre

Avant les ordinateurs, les ingénieurs, les géomètres et les médecins mesuraient les aires sur des plans avec un instrument mécanique, le planimètre: on suit le contour d'une figure avec une pointe, et une roulette graduée affiche son aire. Le modèle le plus répandu, le planimètre polaire, a été mis au point en 1854 par Jakob Amsler à Schaffhouse. Que l'instrument ne voie que le contour et affiche pourtant l'aire est le théorème de Green, réalisé en laiton.

Analysons le modèle le plus simple, le planimètre linéaire. Un bras rigide de longueur $L$ relie un chariot, qui roule le long de l'axe des $x$ , à une pointe traçante que l'on promène en $(x, y)$ sur le contour, avec $∣ y ∣ < L$ . Le chariot est alors en $(x - L^{2} - y^{2}, 0)$ et le bras a pour direction unitaire

u = \frac{1}{L} (L^{2} - y^{2}, y), et on pose N = \frac{1}{L} (- y, L^{2} - y^{2}),

le vecteur unitaire perpendiculaire au bras. Une roulette dont l'axe est parallèle au bras ne roule que du déplacement perpendiculaire au bras: quand elle glisse dans la direction du bras, elle ne tourne pas. Supposons d'abord la roulette placée à la pointe. Quand la pointe se déplace de $d r$ , la roulette tourne de $N \cdot d r$ , et sur un tour complet du contour elle affiche la circulation

\oint_{\partial D} N \cdot d r, rot N = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{L ^{2} - y ^{2}}{L}) - \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{y}{L}) = 0 + \frac{1}{L} .

Le rotationnel du champ $N$ est la constante $1/ L$ : par Green, la roulette affiche $aire (D) / L$ , et il suffit de graduer la roulette en unités d'aire. Avec un bras de $10$ cm et un cercle de rayon $3$ cm, la circulation calculée numériquement vaut $2, 8274$ cm, soit $π \cdot 9/10$ ; elle est la même que le cercle soit centré à l'origine ou en $(4, 1)$ , comme il se doit.

Dans l'instrument réel, la roulette est montée sur le bras à une distance $d$ de la pointe, en $r - d u$ . Son déplacement perpendiculaire au bras vaut alors $N \cdot d r - d N \cdot d u$ . Or $u$ est un vecteur unitaire qui tourne, de sorte que $d u = N d θ$ , où est l'angle du bras avec l'axe des ; le terme supplémentaire est , dont l'intégrale sur un tour complet est fois la variation totale de , puisque le bras revient à sa position initiale sans avoir fait de tour sur lui-même. La position de la roulette sur le bras ne change donc pas la lecture; la simulation d'une roulette à cm de la pointe redonne cm.

Le champ témoin G et le champ H du chapitre 2

G: une circulation qui mesure l'aire

Le champ tournant témoin $G = (- y, x)$ est de classe $C^{1}$ sur tout le plan et de rotationnel constant $2$ . Green s'applique donc sans restriction, et la circulation de $G$ sur le bord positivement orienté de n'importe quel domaine régulier vaut $2 \times$ son aire. Sur le cercle unité, $2 π$ ; sur le bord de la couronne $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4$ , ; sur la demi-couronne de la figure 3.2, . La circulation de n'est sur le bord d'un domaine d'aire non nulle: n'est pas conservatif, et Green le démontre en une ligne.

Le champ conservatif témoin $F = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2})$ est à l'opposé: de classe $C^{1}$ sur le plan et de rotationnel nul, il a une circulation nulle sur le bord de tout domaine régulier. Le chapitre 2 l'a établi par le potentiel $f = x^{2} y + y^{3}$ et le théorème du gradient; Green en donne une seconde démonstration, qui n'a pas besoin de connaître le potentiel.

H: le trou est là où le théorème ne s'applique pas

Le chapitre 2 a présenté le champ

H (x, y) = (\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}), (x, y) \neq = (0, 0),

défini sur le plan épointé $R^{2} ∖ {(0, 0)}$ . Son rotationnel est nul en tout point où il est défini:

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}) = \frac{y ^{2} - x ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}),

et pourtant sa circulation sur le cercle unité, dans le sens trigonométrique, vaut $\int_{0}^{2 π} (sin^{2} t + cos^{2} t) d t = 2 π$ et non $0$ .

Le théorème de Green appliqué au disque unité $D$ affirmerait $2 π = \iint_{D} 0 = 0$ . Il n'y a pas de contradiction, parce que le théorème ne s'applique pas: il exige que $P$ et $Q$ soient de classe $C^{1}$ sur un ouvert contenant , et n'est même pas défini à l'origine, au voisinage de laquelle il n'est pas borné: . Toute la circulation de est «concentrée» dans ce point que le théorème exclut. Le trou du plan épointé est exactement l'endroit où l'hypothèse de Green tombe.

Ce que Green dit, en revanche, est précis, et plus intéressant.

Démonstration. 1. Si l'origine n'est pas dans l'intérieur de $C$ , le domaine $D$ formé de $C$ et de son intérieur est contenu dans le plan épointé, ouvert sur lequel $F$ est $C^{1}$ . Green s'applique sur $D$ : $\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{D} 0 = 0$ .

L'intérieur de $C$ est ouvert et contient l'origine, donc un petit disque centré en $0$ ; soit $C_{ε}$ un cercle centré en $0$ contenu dans cet intérieur. Le domaine $D$ compris entre $C$ et $C_{ε}$ ne contient pas l'origine: c'est un domaine troué, sur lequel est . La forme (3.4) de Green donne

\oint_{C} F \cdot d r - \oint_{C_{ε}} F \cdot d r = \iint_{D} rot F = 0. □

Nous avons utilisé que le domaine compris entre $C$ et $C_{ε}$ est régulier et que Green s'y applique; pour une courbe $C$ quelconque, c'est le cas général admis après le théorème 3.1, et pour toutes les courbes de ce cours — cercles, ellipses, polygones — on peut l'obtenir par un découpage explicite.

Pour $H$ , la valeur commune est $2 π$ : toute courbe fermée simple qui fait le tour de l'origine dans le sens trigonométrique a une circulation $2 π$ , toute autre une circulation nulle. Les quadratures directes le confirment: $6, 2831853$ sur l'ellipse $x^{2} /4 + y^{2} = 1$ et sur le bord du carré , sur le cercle de centre et de rayon et sur le bord du rectangle . La circulation de ne mesure pas la forme de la courbe: elle compte si la courbe entoure le trou.

Le lien avec l'exemple 3.2 n'est pas fortuit. Le champ $H$ est le champ électrique $E$ du fil tourné d'un quart de tour: $H = (- E_{2}, E_{1})$ . Sur toute courbe, $H \cdot T = - E_{2} T_{1} + E_{1} T_{2} = E \cdot (T_{2}, - T_{1}) = E \cdot n$ : , et les deux calculs sont le même calcul. En physique, est, à une constante près, le champ magnétique d'un fil parcouru par un courant: sa circulation autour du fil est le théorème d'Ampère.

Question 3.5

Que vaut la circulation de $H = (- y / (x^{2} + y^{2}), x / (x^{2} + y^{2}))$ sur le cercle de centre $(2, 0)$ et de rayon $1$ , parcouru dans le sens trigonométrique?

L'explorateur ci-dessous met les deux membres de la formule côte à côte. Pour $G$ , $F$ et $K = (- y^{3}, x^{3})$ , ils coïncident quels que soient le domaine, sa position et sa taille. Pour $H$ , ils coïncident — tous deux nuls — tant que l'origine est hors du domaine; dès qu'elle y entre, la circulation saute à $2 π$ et l'intégrale double perd son sens.

Explorateur 3.1 · Les deux membres de la formule de Green

Choisissez un champ et un domaine, puis déplacez et agrandissez le domaine. La circulation sur le bord (orienté dans le sens trigonométrique) et l'intégrale double du rotationnel sont calculées par deux quadratures indépendantes: elles coïncident, sauf pour H quand l'origine est dans le domaine — c'est exactement le cas que le théorème exclut.

ChampG

Domainedisque

Centre x₀0,00

Taille r1,00

Circulation sur le bord

6,2832

Intégrale double du rotationnel

6,2832

Écart entre les deux

0,000000

Aire de D

3,1416

Synthèse

Un domaine régulier est compact, borné par un nombre fini de courbes fermées simples de classe $C^{1}$ par morceaux, disjointes. Son bord est orienté positivement quand on le parcourt en gardant le domaine à gauche: sens trigonométrique pour la courbe extérieure, sens horaire pour les trous; la normale sortante est $n = (T_{2}, - T_{1})$ .
Théorème de Green: $\oint_{\partial D} P d x + Q d y = \iint_{D} (\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y) d x d y$ , pour de classe sur un ouvert contenant tout . Démontré sur un domaine de type I et II (la partie en par le type I, la partie en par le type II), puis étendu par découpage: les arêtes internes, parcourues deux fois en sens opposés, s'annulent.

Série d'exercices du chapitre 3Exercice 1 sur 5

Question 3.6

Pour un champ $F$ de classe $C^{1}$ sur un domaine régulier $D$ , à quelle intégrale double est égal le flux sortant $\oint_{\partial D} F \cdot n d s$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 3.1 · Vérifier Green sur un triangle

Soit $T$ le triangle de sommets $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(0, 1)$ et $F = (x^{2}, x y)$ . Calculez séparément , le bord étant parcouru dans le sens trigonométrique, et , et vérifiez qu'ils sont égaux.

Exercice 3.2 · Une intégrale curviligne impossible, une intégrale double immédiate

Soit $D$ la lentille ${0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq x}$ de l'exemple 3.1, et son bord orienté positivement. Calculez

Exercice 3.3 · L'aire sous une arche de cycloïde, et son orientation

L'arche de cycloïde est la courbe $x = t - sin t$ , $y = 1 - cos t$ , $t \in [0, 2 π]$ , qui va de à . Soit le domaine compris entre cette arche et l'axe des .

Exercice 3.4 · Circulation et flux autour d'un fil

Soient $H = (- y, x) / (x^{2} + y^{2})$ et $E = (x, y) / (x^{2} + y^{2})$ , définis sur le plan épointé.

Exercice 3.5 · Les identités de Green et l'unicité pour l'équation de Laplace

Soit $D$ un domaine régulier connexe, $n$ sa normale sortante, et $u$ , $v$ deux fonctions de classe $C^{2}$ sur un ouvert contenant $D$ . On note $\partial u / \partial n = \nabla u \cdot n$ la dérivée normale et le laplacien.

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, vol. 2, Presses polytechniques et universitaires romandes. Le chapitre sur les intégrales curvilignes et la formule de Green, avec des hypothèses soigneusement énoncées.
Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, W. H. Freeman. Le chapitre sur les théorèmes intégraux en dimension deux, avec la démonstration par domaines élémentaires et la discussion des domaines troués.
Stewart, J., Analyse — concepts et contextes, vol. 2, De Boeck. La section sur le théorème de Green, riche en exemples de calcul d'aires et en exercices.
Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, Pearson. Formes circulation et flux, et interprétation physique de la divergence et du rotationnel.
Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, Wiley. Applications des théorèmes intégraux en mécanique des fluides et en électrostatique.
Polycopiés du cours d'Analyse III de l'EPFL.

Côté	Calcul	Terme
$(0, 0) \to (40, 0)$	$0 \cdot 0 - 40 \cdot 0$	$0$
$(40, 0) \to (55, 30)$	$40 \cdot 30 - 55 \cdot 0$	$1200$
$(55, 30) \to (20, 45)$	$55 \cdot 45 - 20 \cdot 30$	$1875$
$(20, 45) \to (- 5, 25)$	$20 \cdot 25 - (- 5) \cdot 45$	$725$
$(- 5, 25) \to (0, 0)$	$(- 5) \cdot 0 - 0 \cdot 25$	$0$