Séries de Fourier

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• reconnaître une fonction périodique, ramener une période $2L$ quelconque à la période $2\pi$ par un changement d'échelle, et manipuler les polynômes trigonométriques;
• énoncer et démontrer les relations d'orthogonalité du système $1,\cos nx,\sin nx$ et en déduire les formules des coefficients de Fourier;
• calculer les coefficients $a_0,a_n,b_n$ d'une fonction donnée, ainsi que ses coefficients complexes $c_n$, et passer d'une forme à l'autre;
• exploiter la parité: reconnaître d'avance qu'une fonction paire n'a que des cosinus et qu'une fonction impaire n'a que des sinus, et le démontrer;
• construire le développement en sinus et le développement en cosinus d'une fonction donnée seulement sur $[0,L]$, par prolongement impair ou pair;
• distinguer la série de Fourier d'une fonction, objet formel que l'on sait toujours écrire, de la question de sa convergence, qui fait l'objet du chapitre 7.

Pourquoi un cours d'analyse vectorielle se tourne vers Fourier

Les cinq premiers chapitres ont construit les outils de l'analyse vectorielle: champs, intégrales curvilignes et de surface, théorèmes de Green, de la divergence et de Stokes. Ces outils ont une destination précise, qui est la physique des milieux continus. Écrire qu'une quantité de chaleur se conserve dans chaque petit volume, et que le flux de chaleur suit le gradient de température (loi de Fourier), c'est — par le théorème de la divergence du chapitre 5 — obtenir l'équation de la chaleur $u_t=\Delta u$. Les mêmes raisonnements appliqués à une corde tendue ou à une membrane donnent l'équation des ondes, et l'état stationnaire de l'une et de l'autre obéit à l'équation de Laplace $\Delta u=0$. Ces trois équations aux dérivées partielles sont l'objet des chapitres 9 et 10, et elles se résolvent, dans les géométries simples, d'une seule façon: on cherche des solutions particulières de la forme $X(x)T(t)$, et l'on découvre que, sur un intervalle dont les extrémités sont maintenues à température nulle, ces solutions sont les . Chaque mode s'éteint à sa propre vitesse; mais aucun, pris seul, ne reproduit un profil de température initial quelconque. Le pas décisif consiste à écrire ce profil initial comme une — et c'est exactement ce que fait une série de Fourier.

C'est d'ailleurs ainsi que l'histoire s'est déroulée. Joseph Fourier a présenté en 1807 à l'Institut un mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, où il affirmait qu'une fonction «arbitraire» peut se développer en série de sinus et de cosinus; l'affirmation a été reçue avec scepticisme par Lagrange et Laplace, et il a fallu tout le XIX${}^{\text{e}}$ siècle — Dirichlet, Riemann, puis Cantor et Lebesgue — pour dire précisément dans quel sens elle est vraie. Nous suivrons le même ordre, en deux temps. Ce chapitre construit l'objet: les fonctions périodiques, les relations d'orthogonalité, les formules des coefficients, les formes réelle et complexe, le rôle de la parité et les développements sur un demi-intervalle. Le chapitre 7 répondra à la question que Lagrange posait à Fourier: la série obtenue converge-t-elle, et vers quoi? Tant que cette question n'est pas tranchée, nous écrirons $f\sim \dots$ et non $f=\dots$; ce n'est pas une coquetterie, c'est la trace honnête de ce qui n'est pas encore démontré.

Il y a une seconde raison, plus proche de votre formation d'ingénieur. Au chapitre 1 d'Analyse II, vous avez résolu l'oscillateur forcé $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)$ lorsque la force est sinusoïdale, $F(t)=F_0\cos (\omega t)$. Une force périodique réelle — les impulsions d'un moteur à pistons, la tension d'un redresseur, le pas régulier d'une foule sur une passerelle — n'est pas sinusoïdale. Mais l'équation est linéaire: si l'on sait écrire comme une somme de sinusoïdes, on additionne les réponses. La série de Fourier est l'outil qui fait cette décomposition, et l'exemple 6.3 la réalisera sur un signal électrique réel.

Fonctions périodiques

Période et période $2\pi$

Les exemples de référence sont $\cos x$ et $\sin x$, de période fondamentale $2\pi$, et plus généralement $\cos (nx)$ et $\sin (nx)$ pour $n\ge 1$ entier, de période fondamentale $2\pi /n$ — et donc toutes $2\pi$-périodiques. C'est ce point qui organise tout le chapitre: la famille

est formée de fonctions qui ont toutes la période $2\pi$ en commun. Une somme finie de ces fonctions est encore $2\pi$-périodique; la série de Fourier cherche à écrire une fonction $2\pi$-périodique donnée comme une somme, éventuellement infinie, de ces briques.

Une fonction définie seulement sur un intervalle de longueur $2\pi$ se prolonge en une fonction $2\pi$-périodique. Si $f$ est donnée sur $]-\pi ,\pi ]$, son prolongement périodique est la fonction $\tilde{f}$ définie par $\tilde{f}(x+2k\pi )=f(x)$ pour et . C'est ainsi que l'on parle de «la série de Fourier de sur »: il s'agit en réalité de la série de Fourier de la fonction en obtenue en recopiant indéfiniment le segment de droite; ce prolongement saute de à en chaque multiple impair de . La valeur que l'on attribue à au point lui-même est sans importance pour les coefficients, qui sont des intégrales; nous y reviendrons.

Le premier outil est une observation élémentaire que nous utiliserons sans cesse: l'intégrale d'une fonction périodique sur une période ne dépend pas de l'endroit où l'on commence.

Démonstration. Écrivons $a=kT+r$ avec $k\in \mathbb{Z}$ et $r\in [0,T[$. Par le changement de variable $x=y+kT$ et la périodicité, . Coupons ensuite en :

Dans le second morceau, posons $x=y+T$: il devient ${\int }_0^{r}f(y+T)\mathrm{d}y={\int }_0^{r}f(y)\mathrm{d}y$. La somme vaut donc .

En pratique, nous intégrerons les fonctions $2\pi$-périodiques tantôt sur $[-\pi ,\pi ]$, qui se prête aux arguments de symétrie, tantôt sur $[0,2\pi ]$; le théorème 6.1 garantit que c'est la même chose.

Une période quelconque $2L$

Les signaux physiques n'ont pas la bonne idée d'avoir la période $2\pi$. La tension du réseau suisse a la période $T=20$ ms; une corde de longueur $L$ fixée aux deux bouts est naturellement décrite sur $[0,L]$. On ramène tout au cas $2\pi$ par un changement d'échelle. Notons la période $2L$ (la moitié, $L$, sera la longueur de la barre ou de la corde des chapitres 9 et 10). Si $g$ est $2L$-périodique, la fonction

est $2\pi$-périodique, puisque $f(t+2\pi )=g(Lt/\pi +2L)=g(Lt/\pi )=f(t)$. Inversement $g(x)=f(\pi x/L)$. Les briques , deviennent, dans la variable ,

qui ont toutes la période $2L$. La pulsation fondamentale est $\omega =\pi /L=2\pi /(2L)$; l'harmonique de rang $n$ oscille à la pulsation $n\omega$. En électrotechnique et en acoustique on écrit plus volontiers $\cos (n\omega t)$ avec $\omega =2\pi /T$: c'est exactement la même chose avec . Tous les énoncés de ce chapitre, démontrés pour la période , se transportent à la période par ce changement de variable; nous donnerons les formules transportées au moment où elles serviront.

Polynômes trigonométriques

Le facteur $\frac{1}{2}$ devant $a_0$ est une convention: nous verrons qu'il permet d'écrire une seule formule pour tous les $a_n$, $n=0$ compris. D'autres ouvrages posent égal à la valeur moyenne et n'ont pas de ; les deux conventions sont correctes, mais on ne les mélange pas. Dans tout ce cours, le terme constant de la série est .

Le nom «polynôme» n'est pas usurpé. Par les formules d'Euler (Analyse I, chapitre 2), $\cos (nx)=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}nx}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}nx})$ et $\sin (nx)=\frac{1}{2\mathrm{i}}({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}nx}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}nx})$; en posant , le polynôme (6.1) devient une combinaison des puissances — un polynôme en et . Réciproquement, toute puissance ou , et tout produit de telles puissances, est un polynôme trigonométrique: c'est la que vous avez pratiquée en Analyse I. Par exemple,

La seconde identité se vérifie en développant $(\frac{z-z^{-1}}{2\mathrm{i}}{)}^3=\frac{z^3-3z+3z^{-1}-z^{-3}}{-8\mathrm{i}}$ et en regroupant et . Ainsi a pour coefficients et , tous les autres étant nuls. Retenez cette remarque: pour un polynôme trigonométrique, la «série de Fourier» est une somme finie que l'on peut obtenir par pur calcul algébrique; les formules intégrales que nous allons établir doivent, dans ce cas, redonner les mêmes coefficients — et le théorème 6.3 dira qu'elles le font.

Relations d'orthogonalité

Le cœur de la théorie tient en une série d'intégrales. Elles disent que les briques $1,\cos nx,\sin nx$ sont, au sens d'un produit scalaire que nous préciserons à la fin du chapitre, deux à deux perpendiculaires.

Démonstration. Tout repose sur un calcul: pour un entier $k$,

La première intégrale est nulle pour $k\ne 0$ parce que $\sin (k\pi )=\sin (-k\pi )=0$; la seconde est nulle pour tout $k$, parce que $\sin (kx)$ est impaire (ou, directement, parce que $\cos (k\pi )=\cos (-k\pi )$).

On ramène alors chaque produit à une somme par les formules de trigonométrie

Relation (6.2). Avec $a=mx$, $b=nx$, on obtient $\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos ((m-n)x)\mathrm{d}x+\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos ((m+n)x)\mathrm{d}x$. Si , les deux entiers et sont non nuls (car et forcent ) et les deux intégrales sont nulles. Si , la première vaut et la seconde puisque . Si , l'intégrande vaut et l'intégrale .

Relation (6.3). Même calcul avec un signe moins: $\frac{1}{2}\int \cos ((m-n)x)-\frac{1}{2}\int \cos ((m+n)x)$. Pour , , donc le second terme est nul; le premier vaut si et sinon.

Relation (6.4). L'intégrande est $\frac{1}{2}[\sin ((m+n)x)-\sin ((m-n)x)]$, et l'intégrale de tout $\sin (kx)$ sur $[-\pi ,\pi ]$ est nulle. (On peut aussi remarquer que est impaire, ce qui suffit: nous le formaliserons dans la section sur la parité.)

Forme complexe. ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}mx}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}nx}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(m-n)x}$. Si $m=n$, l'intégrande vaut $1$ et l'intégrale $2\pi$. Sinon, avec , une primitive est , qui prend la même valeur en et en , puisque ; l'intégrale est nulle.

Deux remarques. D'abord, par le théorème 6.1, les mêmes relations valent sur n'importe quel intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[0,2\pi ]$. Ensuite, par le changement de variable $x=\pi y/L$, elles se transportent à la période $2L$: pour $m,n\ge 1$,

et de même pour les cosinus ($L{\delta }_{mn}$, et $2L$ pour $m=n=0$) et pour les produits mixtes (zéro). Le symbole ${\delta }_{mn}$ de Kronecker vaut $1$ si et sinon. Une vérification numérique ne démontre rien, mais elle protège des erreurs de facteur: une quadrature de Simpson des 48 intégrales (6.2)–(6.4) pour redonne , et à près.

Coefficients de Fourier

Les coefficients d'un polynôme trigonométrique

Commençons par le cas où tout est fini, et donc où rien ne peut mal tourner.

Démonstration. Fixons $n$ avec $1\le n\le N$ et multiplions (6.1) par $\cos (nx)$. L'intégrale d'une somme finie est la somme des intégrales, donc

Par (6.2), la première intégrale est nulle ($m=0\ne n$) et, dans la somme, seul le terme $m=n$ des cosinus survit, avec la valeur $\pi$; par (6.4), toutes les intégrales mixtes sont nulles. Il reste $\int P\cos (nx)=\pi a_n$. Pour , le même calcul donne — c'est ici que la convention montre son intérêt: la formule vaut aussi pour . Pour les , on multiplie par ; (6.3) laisse seul le terme et (6.4) tue les autres. Enfin, pour , aucun indice ne coïncide avec , et toutes les intégrales sont nulles.

Si maintenant $P$ admet deux écritures, avec des coefficients $(a_n,b_n)$ et $(a_n^{\prime },b_n^{\prime })$, les formules expriment les uns et les autres par les intégrales de la même fonction : ils sont égaux.

Pour ${\sin }^{3}x$, le théorème prédit $b_1=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{4}x\mathrm{d}x$ et ; une quadrature numérique donne et , en accord avec la linéarisation.

Série de Fourier d'une fonction intégrable

Le théorème 6.3 suggère une définition. Si l'on espère qu'une fonction $f$ s'écrive comme une somme de la forme (6.1), éventuellement infinie, alors ses coefficients ne peuvent être que les intégrales ci-dessus. On prend ces intégrales pour définition, ce qui a un sens dès qu'elles existent, c'est-à-dire pour toute fonction intégrable, sans rien présupposer de la convergence.

Le terme $a_0/2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f$ est la de sur une période — en électricité, la composante continue d'un signal. Le terme est la , les suivants les de rang Une harmonique s'écrit aussi avec l' : c'est cette amplitude que mesure un analyseur de spectre.

Pour une période $2L$, le changement de variable $x=\pi y/L$ appliqué à (6.5) donne, pour $g$ $2L$-périodique,

et $g(y)\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{n\ge 1}(a_n\cos (n\pi y/L)+b_n\sin (n\pi y/L))$. Le facteur remplace ; c'est le seul changement, et il se retient en se rappelant qu'il vaut l'inverse de la -période.

La série témoin: $f(x)=x$ sur $]-\pi ,\pi [$

Voici l'exemple qui nous accompagnera jusqu'au chapitre 7. Il est simple à calculer, et il présente déjà tout ce qui fait la difficulté de la théorie: une fonction parfaitement régulière sur $]-\pi ,\pi [$ dont le prolongement périodique saute de $2\pi$ en chaque multiple impair de $\pi$.

La figure 6.1 montre le mécanisme de la superposition. Aucune des harmoniques ne ressemble à une droite; c'est leur somme, avec des signes alternés et des amplitudes décroissant en $1/n$, qui construit la pente. Près de $\pm \pi$, la somme partielle doit redescendre de $\pi$ à $0$ en un intervalle de plus en plus court: elle y dépasse légèrement la valeur $\pi$ avant de chuter. Ce dépassement ne disparaît pas quand $N$ grandit — c'est le phénomène de Gibbs, qui sera mesuré au chapitre 7; nous nous contentons de le voir.

L'onde carrée

La figure 6.3 appelle trois remarques. Les sommes partielles valent $0$ en $x=0$, point de saut, comme la série témoin valait $0$ en $\pi$: encore la moyenne des deux valeurs limites. Loin du saut, elles oscillent autour de $\pm 1$ avec une amplitude qui diminue. Près du saut, la bosse devient plus étroite quand $N$ grandit, mais sa hauteur, elle, se stabilise vers $1,18$ environ, soit un dépassement d'environ $9\%$ de la hauteur du saut: c'est à nouveau le phénomène de Gibbs, et nous laissons au chapitre 7 le soin d'en calculer la limite exacte. Ces calculs montrent qu'il n'existe pas de $N$ pour lequel approche à près — une différence décisive entre convergence ponctuelle et convergence uniforme, que le chapitre 7 rendra précise.

Forme complexe

Les formules d'Euler suggèrent de remplacer les deux familles $\cos (nx)$, $\sin (nx)$, $n\ge 0$, par une seule, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}nx}$, $n\in \mathbb{Z}$. Les calculs y gagnent beaucoup: une dérivée devient une multiplication par $\mathrm{i}n$, une translation une multiplication par ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}nh}$, et la transformée de Fourier du chapitre 8 est la limite naturelle de cette forme-là, non de la forme réelle.

Remarquez le signe moins dans l'exponentielle de (6.9) et le facteur $\frac{1}{2\pi }$: ils viennent de la forme complexe de l'orthogonalité, ${\int }_{-\pi }^{\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}mx}\overline{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}nx}}\mathrm{d}x=2\pi {\delta }_{mn}$. Le conjugué de est ; c'est le produit scalaire hermitien qui l'impose. La somme partielle est prise , de à : le théorème suivant montre que c'est la même que la somme partielle réelle.

Démonstration. Écrivons ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}nx}=\cos (nx)-\mathrm{i}\sin (nx)$ dans (6.9) et utilisons la linéarité de l'intégrale:

Le même calcul avec $-n$, puisque $\cos (-nx)=\cos (nx)$ et $\sin (-nx)=-\sin (nx)$, donne $c_{-n}=(a_n+\mathrm{i}{b}_n)/2$; pour , . Additionner et soustraire ces deux relations donne et , soit .

Pour les sommes partielles, regroupons les termes d'indices $n$ et $-n$:

car ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}nx}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}nx}=2\cos (nx)$ et $-\mathrm{i}({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}nx}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}nx})=-\mathrm{i}\cdot 2\mathrm{i}\sin (nx)=2\sin (nx)$. En sommant de à et en ajoutant , on obtient sous sa forme réelle. Enfin, si est réelle, et sont réels et .

Pour la série témoin, $a_n=0$ et $b_n=2(-1{)}^{n+1}/n$, donc

On peut aussi calculer directement: $c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x$, par parties, avec et une intégrale restante nulle; on retrouve . Ainsi , , ; la quadrature numérique de (6.9) pour les confirme à près. Les coefficients sont , ce qui est la traduction complexe de « est réelle et impaire» (exercice de la série, et section suivante). Pour l'onde carrée, de même, pour impair (positif ou négatif) et pour pair.

Fonctions paires et impaires

Dans les exemples 6.1 et 6.2, la moitié des coefficients était nulle avant tout calcul, parce que la fonction était impaire. C'est un phénomène général, et il est si utile qu'il mérite un théorème et sa démonstration.

Rappelons qu'une fonction $g$ est paire si $g(-x)=g(x)$ et impaire si $g(-x)=-g(x)$ pour tout $x$. Le produit de deux fonctions paires, ou de deux impaires, est pair; le produit d'une fonction paire et d'une impaire est impair — exactement comme pour les signes de nombres. Toute fonction $f$ se décompose de façon unique en partie paire et partie impaire:

Lemme. Si $g$ est intégrable sur $[-a,a]$, alors ${\int }_{-a}^{a}g=2{\int }_0^{a}g$ si est paire et si est impaire.

Démonstration du lemme. On coupe en $0$ et l'on pose $x=-y$ dans la partie négative: ${\int }_{-a}^{0}g(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{a}g(-y)\mathrm{d}y$, qui vaut si est paire et si elle est impaire. On ajoute .

Démonstration. Cas pair. Si $f$ est paire, $f(x)\sin (nx)$ est le produit d'une fonction paire et d'une impaire: il est impair, et le lemme donne $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\sin (nx)=0$. Le produit est pair, donc .

Cas impair. Symétriquement, $f(x)\cos (nx)$ est impair (y compris pour $n=0$, où c'est $f$ elle-même), d'où $a_n=0$; et $f(x)\sin (nx)$ est pair, d'où la formule de .

Cas général. Les coefficients dépendent linéairement de $f$: $a_n(f)=a_n(f_p)+a_n(f_i)=a_n(f_p)+0$ et , par les deux cas précédents appliqués à (paire) et à (impaire).

Forme complexe. Par le théorème 6.4, $c_n=(a_n-\mathrm{i}{b}_n)/2$ et $c_{-n}=(a_n+\mathrm{i}{b}_n)/2$, avec réels puisque est réelle. Si est paire, , donc est réel. Réciproquement, si tous les sont réels, pour tout , donc et : la fonction impaire a tous ses coefficients nuls. Pour conclure que , il faut savoir qu'une fonction dont tous les coefficients sont nuls est nulle — ce qui est vrai pour une fonction continue et le sera démontré au chapitre 7 (par Parseval); pour une fonction seulement intégrable, «nulle» doit s'entendre sauf en des points isolés, où l'intégrale ne voit rien. Le cas impair est identique, avec .

La réciproque de la forme complexe est le seul endroit du chapitre où nous avons besoin d'un résultat du chapitre 7; les implications directes, qui sont celles dont on se sert en calcul, sont entièrement démontrées ici.

Voici l'exemple pair de référence, qui sera aussi, dans la section suivante, le développement en cosinus de $f(x)=x$ sur $[0,\pi ]$.

La fonction $|x|$. Soit $f(x)=|x|$ sur $[-\pi ,\pi ]$, prolongée par périodicité: c'est l'onde triangulaire de la figure 6.2, en haut. Elle est paire, donc $b_n=0$. On a $a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\mathrm{d}x=\pi$, et, par parties, pour ,

Donc $a_n=-\frac{4}{\pi n^2}$ pour $n$ impair et $a_n=0$ pour pair :

Numériquement $a_1=-1,273240$, $a_3=-0,141471$, $a_5=-0,050930$, confirmés par quadrature. Comparez avec (6.7): les coefficients décroissent ici comme , et non comme . La différence tient à ce que le prolongement de est (il n'a que des points anguleux), alors que celui de saute. Le lien entre la régularité d'une fonction et la vitesse de décroissance de ses coefficients est un des résultats du chapitre 7; l'exercice 6.5 en donne le premier mécanisme.

Un signal électrique: le redresseur double alternance

Développements en demi-période

Dans les problèmes physiques des chapitres 9 et 10, la fonction n'est pas périodique du tout: c'est un profil de température le long d'une barre $[0,L]$, ou la position initiale d'une corde fixée en $0$ et en $L$. Elle n'est donnée que sur $[0,L]$. L'idée est de la prolonger à $[-L,L]$ de la façon qui nous arrange, puis par $2L$-périodicité, et de prendre la série de Fourier du prolongement. Deux choix sont naturels.

Les formules (6.11) et (6.12) ne sont pas de nouvelles définitions: ce sont les formules (6.6) appliquées au prolongement, simplifiées par le théorème 6.5 (le prolongement impair n'a que des sinus, le pair que des cosinus, et l'intégrale sur $[-L,L]$ vaut deux fois celle sur $[0,L]$). On n'a donc rien à démontrer de plus; il faut seulement comprendre pourquoi l'on choisit l'un ou l'autre.

• Chaque fonction $\sin (n\pi x/L)$ s'annule en $x=0$ et en $x=L$. Une somme de sinus est donc naturellement adaptée à une fonction qui doit s'annuler aux deux bords: la température d'une barre dont les extrémités plongent dans un bain de glace, le déplacement d'une corde fixée à ses deux bouts. C'est la condition de Dirichlet, et c'est le développement en sinus que le chapitre 9 utilisera pour son équation de la chaleur témoin, et le chapitre 10 pour la corde vibrante.
• Chaque fonction $\cos (n\pi x/L)$ a une dérivée nulle en $x=0$ et en $x=L$. Une somme de cosinus est adaptée à une barre dont les extrémités sont (flux de chaleur nul, donc ): c'est la .

Ce que l'on voit, et ce qui reste à démontrer

Nous savons maintenant écrire la série de Fourier de toute fonction intégrable. L'explorateur ci-dessous permet de regarder les sommes partielles de quatre fonctions de référence de ce chapitre: la série témoin (exemple 6.1), l'onde carrée (exemple 6.2), l'onde triangulaire $|x|$ (formule 6.10) et le sinus redressé (exemple 6.3, dans la variable $x=\omega t$). Les coefficients sont ceux que nous avons calculés, et $S_{N}f$ est sommée terme à terme.

Faites quelques expériences avant de lire la suite.

• Loin des sauts, la lecture «Écart max sur $[\pi /4,3\pi /4]$» diminue quand $N$ augmente, pour les quatre fonctions. Elle diminue beaucoup plus vite pour l'onde triangulaire et le sinus redressé — dont les prolongements sont continus — que pour les dents de scie et l'onde carrée. À $N=50$, elle vaut encore $0,0503$ pour la série témoin et $0,0174$ pour l'onde carrée, mais $0,0004$ pour $|x|$ et $0,0003$ pour le sinus redressé.

Ces trois observations sont le programme exact du chapitre 7. Le théorème de Dirichlet dira à quelles conditions $S_{N}f(x)$ converge vers $f(x)$ aux points de continuité et vers la moyenne des limites à gauche et à droite aux points de saut; l'étude du phénomène de Gibbs mesurera la bosse et montrera qu'elle tend vers une limite non nulle; l'identité de Parseval donnera un sens précis, et toujours vrai, à l'affirmation «$S_{N}f$ approche $f$». Nous nous interdisons de l'anticiper ici: les valeurs numériques du tableau de l'exemple 6.1 ou de l'explorateur sont des , et le chapitre 7 en fera des théorèmes.

La série de Fourier comme changement de base

Tout ce chapitre peut se relire dans le langage de l'algèbre linéaire, et cette relecture est honnête à condition de dire où elle s'arrête. Sur l'espace vectoriel des fonctions continues $2\pi$-périodiques, $⟨f,g⟩={\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)\mathrm{d}x$ est un produit scalaire (Algèbre linéaire, chapitre 7); les relations d'orthogonalité (6.2)–(6.4) disent que la famille $1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots$ est , de normes au carré , et les formules (6.5) sont exactement les de le long de chaque vecteur de cette famille. Sur l'espace des polynômes trigonométriques de degré au plus , de dimension finie , c'est littéralement un changement de base: la base orthogonale , ou la base , et le théorème 6.4 est la matrice de passage entre les deux. Et est, par construction, la de sur (Algèbre linéaire, chapitre 7): c'est le polynôme trigonométrique de degré le plus proche de pour la distance associée à ce produit scalaire. Mais l'espace de toutes les fonctions périodiques est de dimension infinie, et la phrase «la famille trigonométrique est une base» n'y est vraie au sens de l'algèbre linéaire: une fonction comme sur n'est combinaison linéaire d'aucun sinus, et le mot «base» ne prend un sens qu'après avoir dit en quel sens converge une somme infinie. Le chapitre 7 dira que la famille est — aucune fonction non nulle n'est orthogonale à toutes ses briques, ce qui est l'identité de Parseval — et que pour la norme associée au produit scalaire; c'est seulement alors que «changement de base» cessera d'être une analogie pour devenir un théorème. L'avantage de cette nouvelle base sur l'ancienne (les valeurs ponctuelles ) est celui qu'on attend d'une bonne base en algèbre linéaire: elle l'opérateur qui nous intéresse. La dérivée seconde envoie sur ; chaque brique est un vecteur propre de . C'est exactement pour cela que l'équation de la chaleur , qui couple toutes les valeurs entre elles, se découple au chapitre 9 en une infinité d'équations différentielles ordinaires indépendantes , une par coefficient.

Synthèse

• Une fonction $2\pi$-périodique s'intègre indifféremment sur toute période (théorème 6.1); une période $2L$ se ramène à $2\pi$ par $x\mapsto \pi x/L$, et les formules gagnent le facteur $1/L$ à la place de $1/\pi$.
• Les relations d'orthogonalité (6.2)–(6.4) — ${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nx=\pi {\delta }_{mn}$, idem pour les sinus, produits mixtes nuls — se démontrent par les formules de produit en somme; elles font de une famille orthogonale.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Stein & Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press — chapitres 1 et 2 pour la genèse physique et les séries de Fourier.
• Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley — chapitre sur les séries de Fourier: période $2L$, développements en demi-période, nombreux exemples de signaux.
• Douchet & Zwahlen, Calcul différentiel et intégral, PPUR — pour les compléments sur l'intégrale de Riemann et les séries.
• Strauss, Partial Differential Equations: An Introduction, Wiley — chapitre sur les séries de Fourier, présentées à partir des problèmes aux limites des chapitres 9 et 10.
• Polycopiés d'Analyse III de l'EPFL.