Convergence et identité de Parseval

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

écrire la somme partielle $S_{N} f$ comme une convolution avec le noyau de Dirichlet $D_{N}$ , et expliquer à partir de la forme de $D_{N}$ pourquoi la convergence est une affaire délicate;
énoncer le théorème de Dirichlet et prédire la valeur de la série de Fourier en tout point, y compris en un point de saut, où elle vaut la demi-somme des limites à gauche et à droite;
décrire quantitativement le phénomène de Gibbs: le dépassement près d'un saut ne s'annule pas, il tend vers $8, 95 %$ de la hauteur du saut, et c'est la convergence uniforme, non la convergence ponctuelle, qui est en défaut;
relier la vitesse de décroissance des coefficients à la régularité de $f$ (saut: $1/ n$ ; point anguleux: $1/ n^{2}$ ) et en déduire le nombre de termes nécessaires à une précision donnée;
démontrer l'inégalité de Bessel et l'identité de Parseval pour un polynôme trigonométrique, énoncer Parseval en général et distinguer convergence en moyenne quadratique et convergence ponctuelle;
utiliser Parseval pour sommer des séries numériques ( $\sum 1/ n^{2} = π^{2} /6$ , $\sum 1/ (2 k + 1)^{2} = π^{2} /8$ ) et pour répartir l'énergie d'un signal entre ses harmoniques.

La question: vers quoi la série converge-t-elle, et en quel sens?

Le chapitre 6 a associé à toute fonction $f$ de période $2 π$ , intégrable sur une période, ses coefficients de Fourier et sa série de Fourier. Rappelons les conventions, que nous gardons sans changement:

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos (n x) d x, b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin (n x) d x, c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- i n x} d x,

le terme constant de la série étant $a_{0} /2$ , la valeur moyenne de $f$ , et les deux formes étant reliées par $c_{0} = a_{0} /2$ , $c_{\pm n} = (a_{n} \mp i b_{n}) /2$ (théorème 6.4). La d'ordre s'écrit, sous forme réelle ou complexe,

S_{N} f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum N (a_{n} cos (n x) + b_{n} sin (n x)) = n = - N \sum N c_{n} e^{i n x} . (7.1)

Pour le témoin du cours, $f (x) = x$ sur $] - π, π [$ prolongée par périodicité, le chapitre 6 a trouvé $a_{n} = 0$ et $b_{n} = 2 (- 1)^{n + 1} / n$ :

x = ? 2 (sin x - \frac{sin 2 x}{2} + \frac{sin 3 x}{3} - \frac{sin 4 x}{4} + \dots) .

Nous avons écrit un point d'interrogation au-dessus du signe égal, et c'est tout le sujet de ce chapitre. Trois observations suffisent à montrer qu'il n'est pas de pure forme.

En $x = π$ , chaque terme $sin (nπ)$ est nul: la série vaut $0$ . Or $f$ vaut $π$ juste à gauche de $π$ et $- π$ juste à droite. La série ne converge donc pas vers «la» valeur de $f$ en ce point; elle choisit $0$ , qui est la moyenne des deux limites. Est-ce un hasard?

Il faut donc préciser en quel sens on parle de convergence. Trois notions nous serviront.

La convergence uniforme entraîne les deux autres: si $sup ∣ g_{N} - g ∣ \leq ε$ , alors évidemment $∣ g_{N} (x) - g (x)∣ \leq ε$ en tout , et . En revanche, la convergence ponctuelle et la convergence en moyenne quadratique sont : aucune n'entraîne l'autre, et nous en donnerons des exemples. La convergence uniforme est celle qu'un ingénieur désire (une erreur garantie partout à la fois), la convergence ponctuelle celle qu'un mathématicien énonce le plus volontiers, et la convergence en moyenne quadratique celle que la physique mesure, puisque est une énergie moyenne.

Le programme du chapitre est de répondre, pour chacune, à la question posée par le titre. En résumé, et pour $f$ raisonnable (continue par morceaux et $C^{1}$ par morceaux):

Mode de convergence	La série de Fourier converge-t-elle vers $f$ ?	Où c'est établi
Ponctuelle	Oui, vers la demi-somme des limites latérales	Théorème de Dirichlet (théorème 7.2)
Uniforme	Oui si $f$ est continue; jamais près d'un saut	Théorème 7.6; phénomène de Gibbs (théorème 7.3)
Moyenne quadratique	Oui, même pour $f$ seulement continue par morceaux	Identité de Parseval (théorème 7.8)

Le noyau de Dirichlet

La somme partielle comme moyenne pondérée

Remplaçons dans (7.1) chaque $c_{n}$ par sa définition et échangeons la somme finie et l'intégrale:

S_{N} f (x) = n = - N \sum N \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (y) e^{i n (x - y)} d y = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (y) D_{N} (x - y) d y,

où l'on a posé $D_{N} (t) = \sum_{n = - N}^{N} e^{i n t}$ . Le changement de variable $t = x - y$ , et le fait que l'intégrale d'une fonction -périodique sur une période ne dépend pas de la période choisie, donnent la forme symétrique

S_{N} f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x - t) D_{N} (t) d t . (7.2)

Une intégrale de cette forme s'appelle un produit de convolution (périodique) de $f$ et de $D_{N}$ ; nous retrouverons la convolution sur $R$ au chapitre 8. La formule (7.2) se lit ainsi: $S_{N} f (x)$ est une moyenne des valeurs de $f$ autour de $x$ , pondérée par . Tout ce que l'on peut dire de la convergence dépend donc de la forme du poids .

Démonstration. En regroupant les termes $n$ et $- n$ , $e^{i n t} + e^{- i n t} = 2 cos (n t)$ , d'où la première forme, qui montre que $D_{N}$ est réelle, paire et -périodique, et que . Pour , est une somme géométrique de raison à termes, commençant à :

D_{N} (t) = e^{- i N t} \frac{e ^{i (2 N + 1) t} - 1}{e ^{i t} - 1} = \frac{e ^{i (N + \frac{1}{2}) t} - e ^{- i (N + \frac{1}{2}) t}}{e ^{i t /2} - e ^{- i t /2}} = \frac{sin ( ( N + \frac{1}{2} ) t )}{sin ( t /2 )},

où l'on a multiplié numérateur et dénominateur par $e^{- i t /2}$ , puis utilisé $e^{i θ} - e^{- i θ} = 2 i sin θ$ (chapitre 2 d'Analyse I). Enfin, $\int_{- π}^{π} cos (n t) d t = 0$ pour , donc l'intégrale de sur une période vaut .

La valeur moyenne $1$ a une conséquence immédiate: si $f$ est constante, égale à $C$ , alors (7.2) donne $S_{N} f = C$ , comme il se doit. Plus généralement, (7.2) et la parité de $D_{N}$ permettent de replier l'intégrale sur $[0, π]$ :

S_{N} f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} (f (x + t) + f (x - t)) D_{N} (t) d t, \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} D_{N} (t) d t = \frac{1}{2} . (7.3)

Un bon noyau, et un moins bon

La figure 7.1 montre deux traits de $D_{N}$ . Le premier est encourageant: lorsque $N$ croît, le poids se concentre dans un pic de hauteur $2 N + 1$ et de largeur $4 π / (2 N + 1)$ autour de $t = 0$ ; pour $N = 10$ , le premier zéro est en . Si n'était fait que de ce pic, la moyenne (7.2) ne verrait que les valeurs de très proches de , et tendrait vers en tout point de continuité, exactement comme une moyenne sur un intervalle qui rétrécit.

Le second trait gâche cette image. Les lobes latéraux sont négatifs une fois sur deux, et leur amplitude ne diminue pas quand $N$ augmente: pour $t$ fixé, $∣ D_{N} (t)∣$ oscille entre $0$ et $1/ ∣ sin (t /2)∣$ , quel que soit $N$ . La moyenne (7.2) n'est donc pas une vraie moyenne (les poids ne sont pas positifs), et elle garde une sensibilité aux valeurs lointaines de $f$ qui ne s'éteint que grâce aux oscillations de plus en plus rapides des lobes. Une mesure chiffrée de ce défaut est la

L_{N} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} ∣ D_{N} (t)∣ d t,

qui borne $∣ S_{N} f (x)∣$ par $L_{N} sup ∣ f ∣$ . Calculée par quadrature, entre les zéros successifs de $D_{N}$ , elle vaut $1, 9614$ pour , pour , pour et pour : elle croît sans borne, comme plus une constante (l'écart vaut , , , pour les mêmes ). C'est la racine de toutes les difficultés du chapitre: la continuité de ne suffit pas à garantir la convergence ponctuelle — du Bois-Reymond a construit en 1873 une fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point —, et il faudra une hypothèse de régularité supplémentaire.

Question 7.1

Pourquoi la formule $S_{N} f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x - t) D_{N} (t) d t$ ne permet-elle pas de conclure immédiatement que $S_{N} f (x) \to f (x)$ pour toute $f$ continue?

Le théorème de Dirichlet

Fonctions de classe $C^{1}$ par morceaux

Le témoin $f (x) = x$ , l'onde carrée $signe (x)$ , l'onde triangulaire $∣ x ∣$ , et en fait tous les signaux de l'électronique et presque toutes les fonctions de ce cours sont $C^{1}$ par morceaux. La valeur de $f$ aux points $x_{k}$ n'intervient pas: modifier en un nombre fini de points ne change aucune intégrale (chapitre 10 d'Analyse I), donc aucun coefficient de Fourier.

Esquisse de démonstration. Fixons $x$ et notons $ℓ = \frac{1}{2} (f (x^{+}) + f (x^{-}))$ . Grâce à (7.3), où $\frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} D_{N} = \frac{1}{2}$ , on peut écrire , donc

S_{N} f (x) - ℓ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} g_{x} (t) sin ((N + \frac{1}{2}) t) d t, g_{x} (t) = \frac{f ( x + t ) - f ( x ^{+} ) + f ( x - t ) - f ( x ^{-} )}{sin ( t /2 )} .

Deux ingrédients terminent l'argument.

La fonction $g_{x}$ est bornée et continue par morceaux sur $] 0, π]$ . Loin de $t = 0$ , c'est clair, puisque $sin (t /2) \geq sin (δ /2) > 0$ pour $t \geq δ$ . Près de , écrivons . Le second facteur tend vers . Le premier est borné: sur le morceau où est , le théorème des accroissements finis (chapitre 8 d'Analyse I), appliqué au prolongement continu de en , l'égale à une valeur de , bornée par hypothèse. Il en va de même du terme en . : elle apprivoise la singularité du noyau.

Avec $λ = N + \frac{1}{2}$ , le lemme donne $S_{N} f (x) - ℓ \to 0$ .

Ce qui est admis, et pourquoi. L'esquisse est complète dans sa logique, mais nous admettons le lemme de Riemann–Lebesgue dans la généralité utilisée. Pour $g$ de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ , sa preuve tient en une ligne: une intégration par parties donne

\int_{a}^{b} g (t) sin (λ t) d t = [- \frac{g ( t ) cos ( λ t )}{λ}]_{a}^{b} + \frac{1}{λ} \int_{a}^{b} g^{'} (t) cos (λ t) d t,

qui est un $O (1/ λ)$ . Mais notre $g_{x}$ n'est que continue par morceaux, et le passage à ce cas demande une approximation par des fonctions en escalier, qui est une gestion d'epsilons sans idée nouvelle; la forme naturelle du lemme, pour les fonctions intégrables au sens de Lebesgue, appartient au cours de théorie de la mesure. Ce qu'il faut retenir de la preuve, c'est son architecture: la convergence en un point est une propriété locale (seules les valeurs de $f$ près de $x$ comptent, les autres étant tuées par Riemann–Lebesgue), et elle exige un peu plus que la continuité pour neutraliser le pic de $D_{N}$ .

Question 7.2

On considère la fonction de période $2 π$ égale à $e^{x}$ sur $] - π, π [$ . Vers quelle valeur converge sa série de Fourier au point $x = π$ ? (Il n'est pas nécessaire de calculer les coefficients.)

Le phénomène de Gibbs

Ce que l'on voit

Le théorème de Dirichlet garantit que $S_{N} f (x) \to x$ pour chaque $x \in] - π, π [$ . Traçons pourtant $S_{N} f$ près de pour de grandes valeurs de (figure 7.2). Juste avant le saut, la somme partielle la valeur , forme un pic, puis plonge vers en . Quand augmente, le pic se rapproche du saut, mais il ne s'aplatit pas: sa hauteur au-dessus de vaut pour , pour et pour . Elle , et tend vers une limite non nulle, .

Il n'y a là aucune contradiction avec le théorème de Dirichlet. Fixez un point $x < π$ : pour $N$ assez grand, le pic est passé entre $x$ et $π$ (il se trouve à distance $π / (N + 1)$ du saut), et en $x$ la somme partielle est proche de $x$ . En chaque point, la suite converge; mais le lieu où l'erreur est grande se déplace avec $N$ , de sorte que l'erreur maximale ne tend pas vers 0. C'est exactement la définition d'une convergence ponctuelle non uniforme.

Ce que l'on calcule

Le phénomène se prête à un calcul exact, que nous faisons pour le témoin; l'exercice 7.5 en reprend les étapes en détail.

Position du pic. Dérivons la somme partielle terme à terme: $S_{N}^{'} (x) = 2 \sum_{n = 1}^{N} (- 1)^{n + 1} cos (n x)$ . Posons . Comme , on a et

S_{N}^{'} (π - y) = - 2 n = 1 \sum N cos (n y) = 1 - D_{N} (y) .

Le noyau de Dirichlet réapparaît. Sur $] 0, π [$ , l'équation $D_{N} (y) = 1$ s'écrit $sin ((N + \frac{1}{2}) y) = sin (y /2)$ ; sa plus petite solution positive est (obtenue par ), et avant elle, puisque . Ainsi croît de jusqu'en , puis décroît: le premier maximum à gauche du saut est en

x^{*} = π - \frac{π}{N + 1} = \frac{N π}{N + 1} . (7.4)

Un balayage de toute la période sur une grille de $6000$ points, pour chaque $N$ de $1$ à $200$ , confirme que ce maximum local est aussi le maximum global de $S_{N}$ .

Hauteur du pic. En $x^{*}$ , on a $sin (n x^{*}) = sin (nπ - \frac{nπ}{N + 1}) = (- 1)^{n + 1} sin \frac{nπ}{N + 1}$ , et les signes se compensent:

S_{N} (x^{*}) = 2 n = 1 \sum N \frac{sin ( nh )}{n} = 2 n = 1 \sum N h \frac{sin ( nh )}{nh}, h = \frac{π}{N + 1} .

C'est une somme de Riemann de la fonction $t \mapsto sin (t) / t$ sur $[0, π]$ , de pas $h$ . Lorsque $N \to \infty$ ,

S_{N} (x^{*}) ⟶ 2 \int_{0}^{π} \frac{sin t}{t} d t = 2 Si (π) = 3, 703874, (7.5)

où $Si (π) = 1, 851937052$ se calcule par la méthode de Simpson. Le dépassement au-dessus de $f (π^{-}) = π$ tend donc vers

2 Si (π) - π = 0, 562281 = 2 π \times 0, 0894899.

Rapporté à la hauteur $2 π$ du saut, c'est $8, 95 %$ . Pour les trois valeurs de la figure, le rapport vaut $4, 33 %$ , $7, 97 %$ et $8, 70 %$ .

Démonstration (admise dans le cas général). Nous l'avons démontrée pour le témoin, et l'exercice 7.4 la vérifie numériquement pour l'onde carrée. Le cas général se ramène à ces deux-là: si $f$ a un saut $σ$ en $x_{0}$ , notons $w (x) = u (x - x_{0} + π)$ , où est le témoin: c'est une dent de scie dont le saut, de , est placé en . La fonction n'a plus de saut en ; elle y est continue et par morceaux, et ses sommes partielles convergent uniformément près de , par un argument local que nous admettons (il combine le théorème 7.6 ci-dessous avec la localisation vue dans la preuve de Dirichlet). Tout le dépassement vient alors de la dent de scie.

Sur la figure 7.2, le dépassement semble presque «arrêté» entre $N = 50$ et $N = 200$ . C'est normal: l'écart à la limite décroît comme $1/ N$ (la précision d'une somme de Riemann), de $0, 061801$ pour $N = 50$ à $0, 015643$ pour $N = 200$ . Une remarque de méthode s'impose ici. Le pic de n'a qu'une largeur d'environ ; échantillonné sur une grille grossière, il est facilement manqué. Sur une grille de points par période, le dépassement mesuré pour est , au lieu de la vraie valeur . , ou mieux, se calcule par une formule fermée comme (7.4).

Explorateur 7.1 · Explorateur du phénomène de Gibbs

Augmentez le nombre $N$ d'harmoniques et suivez le pic de la somme partielle (point en couleur) à côté du saut: il se rapproche du saut, mais sa hauteur au-dessus de la limite latérale ne tend pas vers 0: elle se stabilise sur une valeur fixe (par en dessous pour le témoin, par au-dessus pour l'onde carrée). Le rapport du dépassement à la hauteur du saut tend vers $0, 0894899$ pour les deux fonctions: c'est une constante universelle, pas une propriété de la fonction choisie.

Nombre d'harmoniques N10

Fonctionf(x) = x (témoin)

Position du maximum x*

2,8560

max S_N

3,413945

Dépassement: max S_N − limite latérale

0,272353

Limite du dépassement (N → ∞)

0,562281

Dépassement / hauteur du saut

0,04335

Distance du pic au saut

0,2856

L'explorateur ci-dessus montre, pour $N$ réglable, la somme partielle de part et d'autre du saut et la position exacte du pic. Faites-le passer de $N = 10$ à $N = 200$ : la distance du pic au saut est divisée par $201/11 = 18, 27$ (elle vaut $π / (N + 1)$ ), mais le dépassement, lui, se rapproche de $0, 562$ . Passez ensuite à l'onde carrée, de saut : le rapport dépassement/saut converge vers la même constante , cette fois par valeurs supérieures (pour , , , il vaut , , ).

Question 7.3

On calcule les sommes partielles $S_{N} f$ de l'onde carrée $signe (x)$ , dont le saut en 0 vaut 2. Que devient $max_{x} S_{N} f (x)$ lorsque $N \to \infty$ ?

Régularité de f et décroissance des coefficients

Intégrer par parties, encore

Pourquoi les coefficients du témoin décroissent-ils comme $1/ n$ , et ceux de l'onde triangulaire $∣ x ∣$ comme $1/ n^{2}$ (chapitre 6)? La réponse est une intégration par parties, et elle vaut pour toutes les fonctions.

Démonstration. Soit $- π = x_{0} < \dots < x_{m} = π$ une subdivision adaptée. Sur chaque $[x_{j - 1}, x_{j}]$ , intégrons par parties:

\int_{x_{j - 1}}^{x_{j}} f^{'} (x) e^{- i n x} d x = [f (x) e^{- i n x}]_{x_{j - 1}}^{x_{j}} + i n \int_{x_{j - 1}}^{x_{j}} f (x) e^{- i n x} d x .

En sommant sur $j$ , les termes entre crochets se télescopent parce que $f$ est continue en chaque $x_{j}$ , et il reste $f (π) e^{- i nπ} - f (- π) e^{i nπ} = 0$ par périodicité. Divisant par , on obtient . Par récurrence, , et comme pour toute , on a avec .

Si $f$ a des sauts, les crochets ne se télescopent plus. En notant $σ_{j} = f (x_{j}^{+}) - f (x_{j}^{-})$ le saut en , la même intégration par parties donne

c_{n} (f) = \frac{1}{i n} (c_{n} (f^{'}) + \frac{1}{2 π} j \sum σ_{j} e^{- i n x_{j}}) (n \neq = 0) . (7.6)

Pour le témoin, $f^{'} = 1$ a $c_{n} (f^{'}) = 0$ pour $n \neq = 0$ , et le seul saut, en , vaut : (7.6) donne , d'où , soit — la valeur du chapitre 6, retrouvée par une seconde voie. La leçon générale se lit sur (7.6): , et c'est lui qui domine.

La figure 7.3 porte les coefficients des trois fonctions, calculés par leurs formules et vérifiés un à un par quadrature de Simpson. La troisième mérite un mot: $g (x) = x (π^{2} - x^{2})$ est impaire, s'annule en $\pm π$ , et $g^{'} (x) = π^{2} - 3 x^{2}$ vaut aux deux bords; son prolongement périodique est donc , et c'est qui saute de à en . La règle pratique prévoit , et l'on trouve .

Combien de termes pour une figure?

La décroissance des coefficients dicte le nombre de termes nécessaires. Si $\sum_{n} ∣ c_{n} ∣$ converge, l'erreur uniforme est majorée par le reste:

x sup ∣ f (x) - S_{N} f (x)∣ \leq ∣ n ∣ > N \sum ∣ c_{n} ∣ . (7.7)

Pour des coefficients en $1/ n^{k}$ avec $k \geq 2$ , ce reste est de l'ordre de $1/ N^{k - 1}$ (comparaison avec une intégrale, chapitre 4 d'Analyse I). Pour $k = 1$ , la série $\sum ∣ c_{n} ∣$ diverge et (7.7) ne dit rien — ce qui est cohérent avec Gibbs.

L'inégalité de Bessel

La géométrie des coefficients

Munissons l'espace des fonctions de période $2 π$ , continues par morceaux et à valeurs complexes, du produit scalaire et de la norme

⟨ f, g ⟩ = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) \overline{g (x)} d x, ∥ f ∥ = ⟨ f, f ⟩ .

(Rigoureusement, $∥ f ∥ = 0$ n'entraîne que la nullité de $f$ en ses points de continuité; cela ne gêne en rien ce qui suit.) Les fonctions $e_{n} (x) = e^{i n x}$ , $n \in Z$ , sont : vaut 1 si et 0 sinon (relations d'orthogonalité du chapitre 6). Dans ce langage, le coefficient de Fourier est un produit scalaire, , et la somme partielle est exactement la formule de la de sur le sous-espace des polynômes trigonométriques de degré au plus , engendré par la base orthonormée (Algèbre linéaire, chapitre 7). Tout ce que l'on sait des projections en dimension finie s'applique.

Démonstration. 1. Pour $∣ k ∣ \leq N$ , par linéarité et orthonormalité, $⟨ S_{N} f, e_{k} ⟩ = \sum_{∣ n ∣ \leq N} c_{n} ⟨ e_{n}, e_{k} ⟩ = c_{k}$ , donc . Ainsi est orthogonale à chaque de la base de , donc à tout , et en particulier à . Le théorème de Pythagore (on développe avec , , ) donne l'égalité annoncée.

Soit $P \in T_{N}$ . Alors $S_{N} f - P \in T_{N}$ est orthogonal à , et Pythagore encore donne , avec égalité si et seulement si , c'est-à-dire (un polynôme trigonométrique de norme nulle est nul, étant continu).

Deux conséquences immédiates. D'abord, les coefficients d'une fonction continue par morceaux tendent vers 0 (le terme général d'une série convergente tend vers 0): c'est une forme faible du lemme de Riemann–Lebesgue, obtenue ici sans effort. Ensuite, la somme partielle de Fourier n'est pas seulement une approximation commode: c'est la meilleure en moyenne quadratique parmi tous les polynômes trigonométriques de degré $N$ . Aucun autre choix de coefficients ne ferait mieux; en particulier, ajouter un terme ne modifie jamais les précédents, ce qui est propre aux bases orthogonales.

Pour le témoin, avec les trois premiers coefficients, Bessel donne $b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} = 4 + 1 + \frac{4}{9} = 5, 444444$ , qui est bien inférieur à . La différence, , est l'erreur quadratique de (exercice 7.2).

Conséquence: convergence uniforme des fonctions continues

L'inégalité de Bessel, appliquée non pas à $f$ mais à $f^{'}$ , règle la question de la convergence uniforme dès que $f$ est continue.

Démonstration. Par le théorème 7.4, $c_{n} (f) = c_{n} (f^{'}) / (i n)$ pour $n \neq = 0$ , et est continue par morceaux. L'inégalité de Cauchy–Schwarz pour les sommes finies (Algèbre linéaire, chapitre 7) donne, pour tout ,

0 < ∣ n ∣ \leq N \sum ∣ c_{n} (f)∣ = 0 < ∣ n ∣ \leq N \sum \frac{∣ c _{n} ( f ^{'} )∣}{∣ n ∣} \leq (n \neq = 0 \sum \frac{1}{n ^{2}})^{1/2} (n \sum ∣ c_{n} (f^{'}) ∣^{2})^{1/2} \leq \frac{π}{3} ∥ f^{'} ∥,

où l'on a utilisé $\sum_{n \neq = 0} 1/ n^{2} = 2 \cdot \frac{π ^{2}}{6} = \frac{π ^{2}}{3}$ (que nous démontrerons à la section suivante; la convergence suffit ici) et l'inégalité de Bessel pour . La série converge donc. Comme , le critère de Weierstrass (une série de fonctions majorée terme à terme par une série numérique convergente converge uniformément, puisque son reste est majoré par le reste numérique, indépendant de ) montre que converge uniformément vers une fonction , et (7.7) majore l'écart. Enfin, étant continue et par morceaux, le théorème de Dirichlet donne en tout point, donc .

La réciproque partielle est tout aussi instructive: une fonction qui a un saut ne peut pas avoir $\sum ∣ c_{n} ∣ < \infty$ . Sinon, par l'argument ci-dessus, $S_{N} f$ convergerait uniformément vers une fonction continue qui, par Dirichlet, coïnciderait avec $f$ en tout point de continuité, ce qui est impossible de part et d'autre d'un saut. La décroissance en $1/ n$ du témoin n'est donc pas un hasard de calcul: aucune fonction discontinue ne fait mieux au sens de $\sum ∣ c_{n} ∣$ .

Question 7.4

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration de la convergence uniforme de la série de Fourier d'une fonction $f$ continue et $C^{1}$ par morceaux.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Appliquer l'inégalité de Bessel à

f^{'}

\sum ∣ c_{n} (f^{'}) ∣^{2} < \infty

Conclure par le critère de Weierstrass que

S_{N} f

converge uniformément vers une fonction

g

Intégrer par parties pour obtenir

c_{n} (f^{'}) = i n c_{n} (f)

Identifier

g = f

grâce au théorème de Dirichlet

Majorer

\sum ∣ c_{n} (f)∣

par Cauchy–Schwarz avec

\sum 1/ n^{2}

L'identité de Parseval

Le cas d'un polynôme trigonométrique

L'inégalité de Bessel est une inégalité parce que la projection $S_{N} f$ peut perdre une partie de $f$ . Si $f$ appartient elle-même à $T_{N}$ , rien n'est perdu.

Démonstration. Par linéarité du produit scalaire et orthonormalité des $e_{n}$ ,

c_{k} (P) = ⟨ P, e_{k} ⟩ = n = - N \sum N γ_{n} ⟨ e_{n}, e_{k} ⟩ = {γ_{k} 0 si ∣ k ∣ \leq N, sinon,

et, en développant le produit scalaire de $P$ avec lui-même (bilinéarité à gauche, antilinéarité à droite),

∥ P ∥^{2} = ⟨ n \sum γ_{n} e_{n}, m \sum γ_{m} e_{m} ⟩ = n = - N \sum N m = - N \sum N γ_{n} \overline{γ_{m}} ⟨ e_{n}, e_{m} ⟩ = n = - N \sum N ∣ γ_{n} ∣^{2},

puisque seuls les termes $m = n$ survivent. La forme réelle s'en déduit comme dans le théorème 7.5, avec $γ_{0} = α_{0} /2$ et $∣ γ_{n} ∣^{2} + ∣ γ_{- n} ∣^{2} = \frac{1}{2} (α_{n}^{2} + β_{n}^{2})$ .

Par exemple, $cos^{3} x = \frac{3}{4} cos x + \frac{1}{4} cos 3 x$ est un polynôme trigonométrique. Parseval donne, sans calculer de primitive, , ce que confirme une quadrature numérique ().

Le cas général

Esquisse de démonstration. Par le point 1 du théorème 7.5, $∥ f ∥^{2} - \sum_{∣ n ∣ \leq N} ∣ c_{n} ∣^{2} = ∥ f - S_{N} f ∥^{2}$ : l'identité (7.8) équivaut donc à la convergence en moyenne quadratique, et c'est elle que nous établissons.

Si $f$ est continue et $C^{1}$ par morceaux, le théorème 7.6 donne la convergence uniforme, qui entraîne la convergence en moyenne quadratique: $∥ f - S_{N} f ∥ \leq sup ∣ f - S_{N} f ∣ \to 0$ .

∥ f - S_{N} f ∥ \leq ∥ f - S_{N} g ∥ \leq ∥ f - g ∥ + ∥ g - S_{N} g ∥ < 2 ε .

Comme $∥ f - S_{N} f ∥$ décroît avec $N$ (meilleure approximation sur des espaces emboîtés), il reste inférieur à $2 ε$ pour tous les $N$ suivants. $□$

Ce qui est admis, et pourquoi. Le lemme d'approximation est élémentaire mais fastidieux (il faut contrôler l'aire perdue près des sauts et l'écart de l'interpolation sur les morceaux continus); il n'apporte aucune idée sur les séries de Fourier. L'énoncé le plus général — Parseval pour toute $f$ de carré intégrable au sens de Lebesgue, et sa réciproque, le théorème de Riesz–Fischer, selon lequel toute suite $(c_{n})$ avec $\sum ∣ c_{n} ∣^{2} < \infty$ est la suite des coefficients d'une telle fonction — exige l'intégrale de Lebesgue et relève du cours de théorie de la mesure.

L'identité de Parseval est le théorème de Pythagore en dimension infinie: le carré de la norme de $f$ est la somme des carrés de ses composantes sur la base orthonormée $(e_{n})$ . Elle dit aussi que cette base est complète: aucune fonction continue par morceaux non nulle (hors d'un nombre fini de points) n'est orthogonale à toutes les $e_{n}$ . L'exercice 7.4 en tire le théorème d'unicité — une fonction continue par morceaux dont tous les coefficients sont nuls est nulle en ses points de continuité —, que le chapitre 6 avait annoncé pour la réciproque de son théorème 6.5.

Convergence en moyenne quadratique

Le théorème 7.8 est remarquable par ce qu'il n'exige pas: ni continuité, ni dérivabilité par morceaux. Pour le témoin, qui a un saut, la convergence en moyenne quadratique est garantie, et on la chiffre exactement par Parseval: l'écart est le reste de la série des coefficients,

\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} (x - S_{N} f (x))^{2} d x = n > N \sum b_{n}^{2} = n > N \sum \frac{4}{n ^{2}} .

$N$	1	5	10	50	200
écart quadratique $\sum_{n > N} 4/ n^{2}$	$2, 579736$	$0, 725292$	$0, 380665$	$0, 079205$

La dernière ligne rappelle que, sur $] - π, π [$ , l'écart maximal ne diminue pas du tout: tout près de $π$ , $f$ vaut presque $π$ et $S_{N} f$ presque $0$ . L'écart quadratique, lui, tend vers 0 comme $4/ N$ : la zone où l'erreur est grande a une largeur de l'ordre de , et elle pèse de moins en moins dans l'intégrale. C'est sa force (elle converge toujours) et sa faiblesse (elle ne garantit rien en un point).

Question 7.5

Pour le témoin $f (x) = x$ sur $] - π, π [$ , laquelle de ces affirmations est vraie?

Applications: sommes de séries numériques

L'identité de Parseval et le théorème de Dirichlet transforment chaque série de Fourier connue en une ou deux identités numériques. Les deux exemples suivants sont ceux du cours.

Le même procédé, appliqué à l'onde triangulaire, donne $\sum 1/ n^{4} = π^{4} /90$ (problème guidé ci-dessous); appliqué à la cubique de la figure 7.3, dont les coefficients sont $12 (- 1)^{n + 1} / n^{3}$ et pour laquelle $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} (π^{2} - x^{2})^{2} d x = \frac{16 π ^{6}}{105} = 146, 497401$ , il donne .

Énergie d'un signal et harmoniques

Parseval en langage physique

Soit $v (t)$ un signal de période $T$ , par exemple une tension, et $ω = 2 π / T$ . Avec le changement de variable $x = ω t$ , sa série de Fourier s'écrit $v (t) = \frac{a _{0}}{2} + \sum_{n \geq 1} (a_{n} cos (nω t) + b_{n} sin (nω t))$ , et Parseval devient

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} v (t)^{2} d t = (\frac{a _{0}}{2})^{2} + n = 1 \sum \infty \frac{a _{n}^{2} + b _{n}^{2}}{2} . (7.9)

Le membre de gauche est le carré de la valeur efficace (RMS) de $v$ ; appliquée à une résistance $R$ , $v^{2} / R$ est la puissance instantanée, et (7.9) divisée par $R$ est la puissance moyenne. Le membre de droite se lit harmonique par harmonique: la composante continue contribue $(a_{0} /2)^{2}$ , et l'harmonique $n$ , sinusoïde d'amplitude , contribue , le carré de sa propre valeur efficace. , sans termes croisés: c'est l'orthogonalité, traduite en watts. Deux harmoniques différentes ne «se gênent» pas énergétiquement, alors que leurs tensions s'ajoutent.

La suite $n \mapsto A_{n}^{2} /2$ est le spectre de puissance du signal. Le théorème 7.4 le relie à la forme du signal: les fronts raides (sauts) placent de l'énergie dans les harmoniques élevées, en $1/ n^{2}$ pour $A_{n}^{2}$ , alors qu'un signal sans point anguleux la concentre sur les premières.

Question 7.6

Pour le signal en dents de scie $f (x) = x$ sur $] - π, π [$ , quelle fraction (en %) de l'énergie moyenne $\frac{1}{2 π} \int f^{2}$ est portée par la seule harmonique fondamentale $b_{1} sin x$ ?

Synthèse

La somme partielle est une convolution avec le noyau de Dirichlet: $S_{N} f (x) = \frac{1}{2 π} \int f (x - t) D_{N} (t) d t$ , . Son pic se concentre, mais ses lobes changent de signe et : la continuité seule ne garantit pas la convergence.

Série d'exercices du chapitre 7Exercice 1 sur 5

Question 7.7

Soit $f$ la fonction de période $2 π$ égale à $x^{2}$ sur $[- π, π]$ . Vers quelle valeur sa série de Fourier converge-t-elle en $x = π$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 7.1 · La parabole et deux sommes de séries

Soit $f$ la fonction de période $2 π$ égale à $x^{2}$ sur $[- π, π]$ .

Montrez que $a_{0} = \frac{2 π ^{2}}{3}$ , pour , et .

Exercice 7.2 · Meilleure approximation du témoin

On considère le témoin $f (x) = x$ sur $] - π, π [$ .

Parmi tous les polynômes trigonométriques de degré au plus 3, lequel minimise $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} (x - P (x))^{2} d x$ ? Donnez la valeur de ce minimum.

Exercice 7.3 · Le sinus redressé

Soit $f (x) = ∣ sin x ∣$ , de période $π$ (donc aussi $2 π$ ).

Sans calcul, prévoyez la vitesse de décroissance de ses coefficients de Fourier et le mode de convergence de sa série.
Vérifiez que $a_{0} = \frac{4}{π}$ , pour pair , et sinon.

Exercice 7.4 · Unicité: les coefficients déterminent la fonction

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de période $2 π$ , continues par morceaux, ayant les mêmes coefficients de Fourier.

Montrez que $f (x) = g (x)$ en tout point $x$ où $f$ et $g$ sont toutes deux continues.

Exercice 7.5 · Le phénomène de Gibbs, démonstration complète pour le témoin

Soit $S_{N} (x) = 2 \sum_{n = 1}^{N} (- 1)^{n + 1} \frac{s i n ( n x )}{n}$ la somme partielle du témoin.

Références

Stein, E. M. et Shakarchi, R., Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, chap. 2 et 3 (noyaux de Dirichlet et de Fejér, convergence en moyenne quadratique, Parseval).
Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (séries de Fourier, théorème de Dirichlet).
Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, Wiley, chap. 11 (séries de Fourier, phénomène de Gibbs, approximation en moyenne quadratique).
Strauss, W. A., Partial Differential Equations: An Introduction, Wiley, chap. 5 (convergence complète, Parseval, phénomène de Gibbs).
Polycopiés d'Analyse III de l'EPFL.

Harmoniques conservées	1	1 et 3	1, 3 et 5	1 à 21
Puissance (W)	$1, 6211$	$1, 8013$	$1, 8661$	—
Fraction de $P$	$81, 06 %$	$90, 06 %$	$93, 31 %$	$98, 16 %$

$N$	$max S_{N}$	dépassement	dépassement / saut
9	$1, 182328$	$0, 182328$	$0, 091164$
49	$1, 179113$	$0, 179113$

Objectifs du chapitre

La question: vers quoi la série converge-t-elle, et en quel sens?

Le noyau de Dirichlet

La somme partielle comme moyenne pondérée

Un bon noyau, et un moins bon

Le théorème de Dirichlet

Fonctions de classe $C^{1}$ par morceaux

Le phénomène de Gibbs

Ce que l'on voit

Ce que l'on calcule

Régularité de f et décroissance des coefficients

Intégrer par parties, encore

Combien de termes pour une figure?

L'inégalité de Bessel

La géométrie des coefficients

Conséquence: convergence uniforme des fonctions continues

L'identité de Parseval

Le cas d'un polynôme trigonométrique

Le cas général

Convergence en moyenne quadratique

Applications: sommes de séries numériques

Énergie d'un signal et harmoniques

Parseval en langage physique

Synthèse

Exercices

Références

Vérifier un coefficient

Dirichlet en x = 0

Parseval

La somme de tous les 1/n⁴

Objectifs du chapitre

La question: vers quoi la série converge-t-elle, et en quel sens?

Le noyau de Dirichlet

La somme partielle comme moyenne pondérée

Un bon noyau, et un moins bon

Le théorème de Dirichlet

Fonctions de classe C1 par morceaux

Le phénomène de Gibbs

Ce que l'on voit

Ce que l'on calcule

Régularité de f et décroissance des coefficients

Intégrer par parties, encore

Combien de termes pour une figure?

L'inégalité de Bessel

La géométrie des coefficients

Conséquence: convergence uniforme des fonctions continues

L'identité de Parseval

Le cas d'un polynôme trigonométrique

Le cas général

Convergence en moyenne quadratique

Applications: sommes de séries numériques

Énergie d'un signal et harmoniques

Parseval en langage physique

Synthèse

Exercices

Références

Vérifier un coefficient

Dirichlet en x = 0

Parseval

La somme de tous les 1/n⁴

Fonctions de classe $C^{1}$ par morceaux