Surfaces et intégrales de surface

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

décrire une surface de $R^{3}$ par un paramétrage $σ (u, v)$ , reconnaître ses points réguliers et écrire son plan tangent à l'aide des vecteurs $σ_{u}$ et $σ_{v}$ ;
calculer le vecteur normal $σ_{u} \times σ_{v}$ des paramétrages usuels — graphe, sphère, cylindre, cône, surface de révolution — et dire dans quel sens il pointe;
établir la formule de l'aire $\iint_{D} ∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥ d u d v$ à partir de l'aire de l'image d'un petit rectangle, et démontrer qu'elle ne dépend pas du paramétrage choisi;
calculer une intégrale de surface d'une fonction scalaire — une masse, une aire, un centre de gravité de coque;
orienter une surface, reconnaître qu'une surface comme la bande de Möbius ne peut pas l'être, et expliquer pourquoi le flux y perd son sens;
calculer le flux $\iint_{Σ} F \cdot n d S$ d'un champ à travers une surface orientée, l'interpréter comme un débit, et démontrer qu'il ne dépend du paramétrage qu'à travers l'orientation.

Des courbes aux surfaces

Le chapitre 2 a intégré le long d'une courbe $γ : [a, b] \to R^{3}$ . Deux intégrales y sont apparues: l'intégrale d'une fonction par rapport à l'abscisse curviligne, $\int_{γ} f d s$ , qui somme une densité linéique (une masse par mètre de fil), et le travail $\int_{γ} F \cdot d r$ , qui somme la composante d'un champ. La première ne dépend pas du sens de parcours, la seconde change de signe avec lui, et les deux ne dépendent pas du paramétrage choisi pour décrire la courbe.

Ce chapitre fait exactement la même chose une dimension plus haut. On remplace la courbe par une surface, décrite par deux paramètres; l'élément de longueur $d s = ∥ γ^{'} (t)∥ d t$ par un élément d'aire $d S$ ; le vecteur tangent par un vecteur normal. Les deux intégrales ont leurs analogues: l'intégrale d'une fonction par rapport à l'aire, $\iint_{Σ} f d S$ (une masse de coque, une charge répartie sur une plaque), et le flux $\iint_{Σ} F \cdot n d S$ , qui somme la composante d'un champ — le débit d'un fluide à travers une membrane. La première ne dépend pas de l'orientation, la seconde change de signe avec elle, et les deux ne dépendent pas du paramétrage. C'est ce dernier point que nous démontrerons avec soin, parce que c'est lui qui fait de ces intégrales des objets géométriques et non des artefacts de calcul.

Une différence, pourtant, n'a pas d'analogue en dimension un: toute courbe se laisse orienter, pas toute surface. La bande de Möbius n'a qu'une face; on ne peut pas y choisir de manière cohérente un côté «positif», et le flux à travers elle n'est pas défini. Nous y viendrons.

Ce chapitre prépare directement le suivant. Le théorème de la divergence (chapitre 5) égale le flux sortant à travers une surface fermée à l'intégrale de $\nabla \cdot F$ sur le volume qu'elle enferme; le théorème de Stokes égale le flux du rotationnel à la circulation le long du bord. Les deux supposent que l'on sache calculer un flux et que l'on sache dans quel sens pointe la normale: c'est l'objet de ce qui suit.

Surfaces paramétrées

Définition

En Analyse II, les surfaces rencontrées étaient presque toujours des graphes $z = g (x, y)$ (le plan tangent au graphe, Analyse II, chapitre 3) ou des surfaces de niveau $F (x, y, z) = c$ (chapitre 6); ici $F$ est une fonction scalaire, la notation d'Analyse II, sans rapport avec le champ de vecteurs $F$ de ce cours. Ni l'une ni l'autre description ne suffit ici. Une sphère entière n'est pas un graphe; une surface de niveau ne dit pas comment la parcourir. Pour intégrer, il faut découper la surface en petits morceaux et les compter — et pour cela, il faut la paramétrer.

Les dérivées partielles

σ_{u} = \frac{\partial σ}{\partial u} = (\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}), σ_{v} = \frac{\partial σ}{\partial v} = (\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}) (4.1)

ont une lecture géométrique immédiate. Fixer $v = v_{0}$ et laisser varier $u$ trace sur $Σ$ une courbe, la courbe coordonnée $u \mapsto σ (u, v_{0})$ ; son vecteur vitesse en $u_{0}$ est . De même est le vecteur vitesse de la courbe . Les deux familles de courbes coordonnées forment sur la surface un quadrillage déformé — le grillage des figures de ce chapitre — et , sont tangents à ses fils.

Points réguliers et plan tangent

Le produit vectoriel est l'outil naturel: il est orthogonal à ses deux facteurs, donc à tout le plan qu'ils engendrent, et il est nul exactement quand ils sont colinéaires. Rappelons son expression en composantes, que nous utiliserons sans cesse:

a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}),

ainsi que ses deux propriétés algébriques décisives: il est bilinéaire et antisymétrique ( $b \times a = - a \times b$ , donc $a \times a = 0$ ). Sa norme est l'aire du parallélogramme construit sur $a$ et $b$ : $∥ a \times b ∥ = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin α$ , où est l'angle entre eux. C'est cette dernière propriété qui fera de un facteur d'aire.

Un point non régulier n'est pas forcément un point où la surface est anguleuse: c'est un point où le paramétrage dégénère. Le pôle nord de la sphère en coordonnées sphériques en est l'exemple type. La sphère y est parfaitement lisse, mais tous les méridiens y convergent, la courbe coordonnée $θ \mapsto σ (0, θ)$ se réduit à un point, et $σ_{θ} = 0$ . Un autre paramétrage (un graphe au voisinage du pôle) y serait régulier. À l'inverse, la pointe d'un cône n'est régulière pour aucun paramétrage: là, c'est la surface elle-même qui n'a pas de plan tangent. Pour l'intégration, ces points isolés, ou ces courbes, ne comptent pas: ils forment un ensemble négligeable du domaine, et toutes les définitions qui suivent tolèrent un tel ensemble.

Les paramétrages usuels

Cinq familles de surfaces couvrent l'immense majorité des calculs. Pour chacune, nous donnons le paramétrage, les deux vecteurs tangents, le vecteur normal $N$ et sa norme — et, ce qui compte autant, le sens dans lequel $N$ pointe. Tout est à savoir refaire; rien n'est à apprendre par cœur.

Le graphe d'une fonction

Soit $g : D \to R$ de classe $C^{1}$ et $Σ$ son graphe $z = g (x, y)$ . Le paramétrage naturel prend $x$ et $y$ eux-mêmes comme paramètres:

σ (x, y) = (x, y, g (x, y)), σ_{x} = (1, 0, g_{x}), σ_{y} = (0, 1, g_{y}),

N = σ_{x} \times σ_{y} = (- g_{x}, - g_{y}, 1), ∥ N ∥ = 1 + g_{x}^{2} + g_{y}^{2} . (4.4)

La troisième composante vaut $1 > 0$ : la normale d'un graphe paramétré par $(x, y)$ pointe toujours vers le haut. Tous les points sont réguliers. On retrouve le plan tangent d'Analyse II: (4.3) s'écrit $- g_{x} (x - x_{0}) - g_{y} (y - y_{0}) + (z - z_{0}) = 0$ , soit .

La sphère

La sphère de rayon $R$ centrée à l'origine se paramètre par les coordonnées sphériques d'Analyse II, chapitre 10, à rayon fixé: $φ \in [0, π]$ est la colatitude mesurée depuis l'axe $O z$ positif, $θ \in [0, 2 π]$ la longitude.

σ (φ, θ) = (R sin φ cos θ, R sin φ sin θ, R cos φ) . (4.5)

Le calcul du vecteur normal est fait en détail dans l'exemple 4.1 ci-dessous. Retenons son résultat: $N = R sin φ σ (φ, θ)$ , de norme $R^{2} sin φ$ , dirigé vers l'extérieur; les pôles $φ = 0$ et $φ = π$ sont les seuls points non réguliers.

Le cylindre

Le cylindre de révolution de rayon $a$ et d'axe $O z$ , entre les cotes $0$ et $h$ :

σ (θ, z) = (a cos θ, a sin θ, z), σ_{θ} = (- a sin θ, a cos θ, 0), σ_{z} = (0, 0, 1),

N = σ_{θ} \times σ_{z} = (a cos θ, a sin θ, 0), ∥ N ∥ = a . (4.6)

Le vecteur normal est horizontal et radial, dirigé vers l'extérieur (il est égal à la projection horizontale du point). Tous les points sont réguliers. Si l'on avait pris les paramètres dans l'ordre $(z, θ)$ , on aurait obtenu $σ_{z} \times σ_{θ} = - N$ , dirigé vers l'axe: échanger les deux paramètres retourne la normale. Ce fait banal, conséquence de l'antisymétrie du produit vectoriel, est la source de la moitié des erreurs de signe du chapitre suivant.

Le cône

Le cône $z = x^{2} + y^{2}$ , de sommet l'origine et de demi-angle $π /4$ , se paramètre par la distance $r$ à l'axe et l'angle polaire:

σ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r), σ_{r} = (cos θ, sin θ, 1), σ_{θ} = (- r sin θ, r cos θ, 0),

N = σ_{r} \times σ_{θ} = (- r cos θ, - r sin θ, r), ∥ N ∥ = r 2 . (4.7)

La normale pointe vers le haut et vers l'axe — vers l'intérieur du «cornet». Le sommet $r = 0$ n'est pas régulier, et aucun autre paramétrage ne le rendrait régulier: la surface y a une pointe.

Les surfaces de révolution

Faisons tourner autour de l'axe $O z$ une courbe du demi-plan ${y = 0, x \geq 0}$ décrite par $t \mapsto (f (t), 0, h (t))$ , $t \in [a, b]$ , avec . La surface obtenue se paramètre par

σ (t, θ) = (f (t) cos θ, f (t) sin θ, h (t)),

N = σ_{t} \times σ_{θ} = (- f h^{'} cos θ, - f h^{'} sin θ, f f^{'}), ∥ N ∥ = f (t) f^{'} (t)^{2} + h^{'} (t)^{2} . (4.8)

Cette famille contient les trois précédentes. La sphère correspond à $f (t) = R sin t$ , $h (t) = R cos t$ ; le cylindre à $f = a$ , $h (t) = t$ ; le cône à $f (t) = h (t) = t$ . Elle contient aussi le du cours, , avec et , ce qui donne

σ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ, 4 - r^{2}), N = (2 r^{2} cos θ, 2 r^{2} sin θ, r) = r (2 x, 2 y, 1), (4.9)

de norme $r 1 + 4 r^{2}$ , dirigé vers le haut (troisième composante $r > 0$ ). La norme $∥ N ∥ = f f^{'2} + h^{'2}$ a une lecture simple: est l'élément de longueur de la courbe méridienne, et celui du parallèle de rayon . Les deux directions étant orthogonales, leur produit est l'élément d'aire. L'exercice 4.5 en tire la formule de Guldin.

Le tableau suivant récapitule. «Sens» désigne le sens de $σ_{u} \times σ_{v}$ dans l'ordre des paramètres indiqué.

Surface	Paramètres $(u, v)$	$∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥$	Sens
graphe $z = g (x, y)$

Question 4.1

On paramètre le cône $z = x^{2} + y^{2}$ , $0 \leq z \leq 1$ , par $σ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r)$ sur $[0, 1] \times [0, 2 π]$ . Quels points du domaine ne sont pas réguliers?

L'aire d'une surface

D'un petit rectangle à un petit parallélogramme

Comment mesurer l'aire d'une surface courbe? L'idée est celle qui a donné la longueur d'une courbe: découper, approcher chaque morceau par un objet plat dont on connaît la mesure, sommer, passer à la limite.

Découpons le domaine $D$ en petits rectangles $[u_{0}, u_{0} + Δ u] \times [v_{0}, v_{0} + Δ v]$ . L'image d'un tel rectangle par est un petit quadrilatère de la surface (figure 4.1, bord bleu). Ses quatre sommets sont

σ (u_{0}, v_{0}), σ (u_{0} + Δ u, v_{0}), σ (u_{0}, v_{0} + Δ v), σ (u_{0} + Δ u, v_{0} + Δ v) .

Par différentiabilité de $σ$ (Analyse II, chapitre 3), à l'ordre un,

σ (u_{0} + Δ u, v_{0}) \approx σ (u_{0}, v_{0}) + σ_{u} Δ u, σ (u_{0}, v_{0} + Δ v) \approx σ (u_{0}, v_{0}) + σ_{v} Δ v,

les dérivées étant prises en $(u_{0}, v_{0})$ . Les deux côtés issus du coin $σ (u_{0}, v_{0})$ sont donc, à l'ordre un, les vecteurs et , et le quadrilatère courbe est approché par le qu'ils engendrent (figure 4.1, en tirets). L'aire de ce parallélogramme est la norme du produit vectoriel de ses côtés:

∥ σ_{u} Δ u \times σ_{v} Δ v ∥ = ∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥ Δ u Δ v . (4.10)

Le facteur $∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥$ joue ici exactement le rôle que jouait $∣ det J ∣$ dans le changement de variables d'Analyse II, chapitre 9: c'est le coefficient par lequel $σ$ multiplie les aires, localement. La seule différence est que l'image est dans $R^{3}$ et non dans , si bien qu'un déterminant n'a plus de sens; le produit vectoriel en prend la place. (L'exercice 4.5 montre que , où est la matrice de colonnes , : c'est la bonne généralisation de à une matrice non carrée.)

En sommant (4.10) sur tous les rectangles, on obtient une somme de Riemann de la fonction continue $∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥$ sur $D$ . Quand le pas tend vers zéro, elle converge vers une intégrale double. Ceci motive la définition suivante.

Pour un graphe, (4.4) donne la formule qu'on retiendra:

aire (Σ) = \iint_{D} 1 + g_{x}^{2} + g_{y}^{2} d x d y . (4.12)

Elle a une lecture immédiate: $1 + g_{x}^{2} + g_{y}^{2} = 1/ cos β$ , où est l'angle entre la normale et la verticale. Un morceau de surface incliné de a une aire plus grande que son ombre sur le plan , dans le rapport . Un plan horizontal a le facteur ; un toit à le facteur .

Le polyèdre inscrit ne marche pas toujours

Pour la longueur d'une courbe, on peut définir la longueur comme la limite des longueurs des lignes polygonales inscrites. Pour l'aire, l'idée analogue — la limite des aires des polyèdres dont les sommets sont sur la surface — échoue. Le contre-exemple classique est le lampion de Schwarz: on inscrit dans un cylindre de rayon 1 et de hauteur 1 (aire latérale $2 π = 6, 283185$ ) des triangles disposés en $n$ étages de $m$ triangles alternés. Avec $m = n = 20$ , le polyèdre a une aire de $6, 4443$ , raisonnable. Avec et étages, il en a ; avec , . Les triangles deviennent presque perpendiculaires à la surface, comme les plis d'un accordéon, et l'aire du polyèdre tend vers l'infini alors que tous ses sommets sont sur le cylindre et que ses facettes deviennent arbitrairement petites.

L'aire ne dépend pas du paramétrage

Une surface admet une infinité de paramétrages. La sphère se paramètre en coordonnées sphériques, mais aussi (par morceaux) comme deux graphes $z = \pm R^{2} - x^{2} - y^{2}$ , ou par projection stéréographique. Le paraboloïde témoin se paramètre par , par , ou par la cote et l'angle. Si l'aire (4.11) dépendait de ce choix, elle ne serait pas une propriété de la surface et la définition serait sans valeur. Il faut donc démontrer qu'elle n'en dépend pas. Tout repose sur un calcul de produit vectoriel.

Démonstration. Par la règle de dérivation des fonctions composées (Analyse II, chapitre 4), appliquée composante par composante,

\tilde{σ}_{s} = σ_{u} \frac{\partial u}{\partial s} + σ_{v} \frac{\partial v}{\partial s}, \tilde{σ}_{t} = σ_{u} \frac{\partial u}{\partial t} + σ_{v} \frac{\partial v}{\partial t},

où $σ_{u}$ et $σ_{v}$ sont évalués en $Φ (s, t)$ . Développons le produit vectoriel par bilinéarité. Il y a quatre termes:

\tilde{σ}_{s} \times \tilde{σ}_{t} = \frac{\partial u}{\partial s} \frac{\partial u}{\partial t} σ_{u} \times σ_{u} + \frac{\partial u}{\partial s} \frac{\partial v}{\partial t} σ_{u} \times σ_{v} + \frac{\partial v}{\partial s} \frac{\partial u}{\partial t} σ_{v} \times σ_{u} + \frac{\partial v}{\partial s} \frac{\partial v}{\partial t} σ_{v} \times σ_{v} .

Par antisymétrie, $σ_{u} \times σ_{u} = σ_{v} \times σ_{v} = 0$ et . Il reste

\tilde{σ}_{s} \times \tilde{σ}_{t} = (\frac{\partial u}{\partial s} \frac{\partial v}{\partial t} - \frac{\partial v}{\partial s} \frac{\partial u}{\partial t}) σ_{u} \times σ_{v},

et la parenthèse est $det J_{Φ}$ . $□$

Deux conséquences immédiates. D'abord, si $det J_{Φ} \neq = 0$ , un point est régulier pour $\tilde{σ}$ si et seulement si son image est régulière pour $σ$ , et les deux vecteurs normaux sont colinéaires: le plan tangent (4.3) est le même. Il est donc une propriété de la surface. Ensuite, les vecteurs normaux unitaires vérifient

\tilde{n} (s, t) = signe (det J_{Φ} (s, t)) n (Φ (s, t)) : (4.14)

ils sont égaux ou opposés selon le signe du jacobien. Cette remarque sera toute l'histoire de l'orientation.

Démonstration. L'image de $\tilde{σ}$ est $σ (Φ (\tilde{D})) = σ (D) = Σ$ . Comme $Φ$ est injective et envoie l'intérieur de $\tilde{D}$ dans celui de (un difféomorphisme est une application ouverte), est injective sur . Par (4.13) et , elle est régulière là où l'est.

Prenons la norme de (4.13): $∥ \tilde{σ}_{s} \times \tilde{σ}_{t} ∥ = ∣ det J_{Φ} ∣ ∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥ \circ Φ$ . Multiplions par et intégrons sur :

\iint_{\tilde{D}} f (\tilde{σ}) ∥ \tilde{σ}_{s} \times \tilde{σ}_{t} ∥ d s d t = \iint_{\tilde{D}} (f (σ) ∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥) (Φ (s, t)) ∣ det J_{Φ} (s, t)∣ d s d t .

Le membre de droite est exactement le membre de droite de la formule du changement de variables (Analyse II, théorème 9.10), appliquée à la fonction continue $f (σ) ∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥$ sur $D = Φ (\tilde{D})$ . Il vaut donc . Le cas de l'aire est .

Le théorème répond à la question posée pour deux paramétrages reliés par un difféomorphisme. Que deux paramétrages simples et réguliers quelconques d'une même surface le soient toujours est vrai, mais nous l'admettons: localement, c'est une conséquence du théorème d'inversion locale (Analyse II, théorème 6.3) appliqué à $σ^{- 1} \circ \tilde{σ}$ lu dans une carte; le recollement global relève d'un cours de géométrie différentielle. En pratique, dans tous les calculs de ce cours, le difféomorphisme est explicite, comme dans l'exemple qui suit. De même, le théorème 10.7 d'Analyse II (et, dans le plan, la remarque qui suit le théorème 9.11) tolère que l'hypothèse de difféomorphisme soit en défaut sur un ensemble négligeable, ce qui couvre les pôles de la sphère, le sommet d'un cône ou le centre du paraboloïde.

L'aire du paraboloïde témoin

L'explorateur ci-dessous reprend la construction de la section précédente sur ce paraboloïde, avec un maillage que vous réglez. Il calcule deux approximations indépendantes de l'aire sur le même découpage: l'aire du polyèdre inscrit (chaque cellule remplacée par deux triangles plats passant par ses sommets) et la somme de Riemann $\sum ∥ σ_{r} \times σ_{θ} ∥ Δ r Δ θ$ prise au milieu des cellules. Avec $4 \times 12$ cellules, réglage initial, le polyèdre donne (écart %) et la somme de Riemann ( %). Avec , ils donnent ( %) et ( %). Le polyèdre reste toujours en dessous: ses facettes sont des cordes de la surface, et une corde est plus courte que l'arc.

Explorateur 4.1 · Explorateur: l'aire du paraboloïde témoin, cellule par cellule

Le domaine des paramètres (r, θ) est découpé en n × m cellules. Deux approximations de l'aire sont calculées sur ce maillage: celle du polyèdre inscrit, dont les facettes plates passent par les sommets des cellules, et la somme de Riemann de ‖σ_r × σ_θ‖ Δr Δθ, qui est la définition même de l'aire. Raffinez le maillage et regardez les deux se rapprocher de 36,1769, le polyèdre toujours par défaut.

Cellules en r: n4

Cellules en θ: m12

Nombre de facettes

n \times m

Aire du polyèdre inscrit

35,1397

Somme de Riemann

\sum ∥ σ_{r} \times σ_{θ} ∥ Δ r Δ θ

35,7118

Valeur exacte

\frac{π}{6} (1 7^{3/2} - 1)

36,1769

Écart relatif du polyèdre

-2,87 %

Écart relatif de la somme de Riemann

-1,29 %

Question 4.2

Calculez l'aire de la partie du cône $z = x^{2} + y^{2}$ comprise entre $z = 0$ et $z = 1$ (sans la base).

Intégrale d'une fonction sur une surface

Définition

Le théorème 4.2 a déjà énoncé l'invariance pour une fonction $f$ quelconque. Donnons-lui son nom.

Par le théorème 4.2, la valeur ne dépend pas du paramétrage. Elle ne dépend pas non plus d'une orientation: $∥ N ∥$ est insensible au signe de $N$ . C'est l'analogue exact de $\int_{γ} f d s$ .

Les interprétations sont celles des intégrales multiples, une dimension plus bas:

si $f = μ$ est une masse surfacique (en $kg/ m^{2}$ ), $\iint_{Σ} μ d S$ est la masse d'une coque mince, et $\overset{z}{ˉ} = \frac{1}{m} \iint_{Σ} z μ d S$ la cote de son centre de gravité;

Pour le paraboloïde témoin, par exemple, la cote moyenne vaut

\overset{z}{ˉ} = \frac{1}{aire ( Σ )} \iint_{Σ} z d S = \frac{1}{36 , 176903} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (4 - r^{2}) r 1 + 4 r^{2} d r d θ = \frac{π ( 1 7 ^{5/2} - 41 ) /60}{36 , 176903} = \frac{60 , 244098}{36 , 176903} = 1, 665.

Le bon point de comparaison est la cote moyenne de la surface sur son ombre, le disque $D$ : $\frac{1}{4 π} \iint_{D} (4 - x^{2} - y^{2}) d x d y = \frac{8 π}{4 π} = 2$ . Pondérer par l'aire plutôt que par l'ombre donne plus de poids aux régions raides, et sur le paraboloïde les régions raides sont près du bord, donc basses: la cote moyenne pondérée par l'aire () est inférieure à celle qu'on lit sur l'ombre ().

Question 4.3

Calculez $\iint_{S} (x^{2} + y^{2}) d S$ sur la sphère unité $S$ entière.

Orientation

Choisir un côté

Le flux d'un fluide à travers une membrane a un signe: il compte positivement ce qui traverse dans un sens, négativement ce qui traverse dans l'autre. Pour le définir, il faut donc d'abord décider quel côté de la surface est le côté «positif», c'est-à-dire choisir en chaque point l'une des deux normales unitaires $\pm n$ — et le faire de manière cohérente d'un point à l'autre.

Un paramétrage régulier fournit toujours une orientation de son image, celle de $n = σ_{u} \times σ_{v} / ∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥$ , qui est continue puisque est de classe . On dit que une orientation donnée si ce vecteur coïncide avec elle. Par (4.14), deux paramétrages reliés par définissent la même orientation si , les orientations opposées si . Échanger les deux paramètres, ou changer en , renverse l'orientation.

Les orientations qu'on rencontre ont des noms consacrés, et il faut les écrire à chaque fois:

un graphe $z = g (x, y)$ est orienté vers le haut par $n = (- g_{x}, - g_{y}, 1) / 1 + g_{x}^{2} + g_{y}^{2}$ , ce qui est l'orientation de (4.4), ou vers le bas par l'opposé;

La bande de Möbius

On fabrique une bande de Möbius en prenant une bande de papier et en recollant ses extrémités après un demi-tour. Paramétrons-la: un segment de longueur $2 ℓ$ (ici $ℓ = 0, 45$ ) centré sur le cercle unité du plan $O x y$ tourne autour de lui-même d'un demi-tour pendant que son centre fait un tour complet,

σ (u, v) = ((1 + v cos \frac{u}{2}) cos u, (1 + v cos \frac{u}{2}) sin u, v sin \frac{u}{2}), u \in [0, 2 π], v \in [- ℓ, ℓ] . (4.17)

Sur le cercle central $v = 0$ , un calcul direct donne $σ_{u} = (- sin u, cos u, 0)$ , $σ_{v} = (cos \frac{u}{2} cos u, cos \frac{u}{2} sin u, sin \frac{u}{2})$ , et

n (u) = σ_{u} \times σ_{v} (u, 0) = (cos u sin \frac{u}{2}, sin u sin \frac{u}{2}, - cos \frac{u}{2}),

qui est déjà unitaire ( $sin^{2} \frac{u}{2} + cos^{2} \frac{u}{2} = 1$ ). Suivons ce vecteur le long du cercle central. Il varie continûment. Mais en il vaut , et en — au , puisque — il vaut . (figure 4.3).

Démonstration. Supposons qu'un tel champ $m$ existe. En chaque point du cercle central, il n'y a que deux normales unitaires, $\pm n (u)$ . La fonction $ε (u) = m (σ (u, 0)) \cdot n (u)$ ne prend donc que les valeurs $\pm 1$ , et elle est continue sur $[0, 2 π]$ comme produit scalaire de deux fonctions continues. Par le théorème des valeurs intermédiaires, elle est constante. Mais est une fonction du de la bande, et , donc , alors que . D'où , ce qui contredit la constance.

Le paramétrage (4.17) est pourtant régulier et injectif sur l'intérieur de son domaine. Il n'y a pas de contradiction avec la remarque qui ouvre cette section: $σ$ oriente bien l'image de $] 0, 2 π [\times [- ℓ, ℓ]$ , c'est-à-dire la bande coupée le long du segment $u = 0$ . C'est le recollement qui est impossible: les deux bords de la coupure reçoivent des normales opposées.

Une surface fermée et bornée de $R^{3}$ sans auto-intersection — une sphère, un tore, la surface d'un cube — est toujours orientable, et l'est par sa normale sortante. Ce résultat (qui relève de la topologie et que nous admettons) explique pourquoi la bande de Möbius, qui a un bord, et la bouteille de Klein, qui ne peut pas être plongée dans $R^{3}$ sans se traverser, sont les deux exemples classiques de surfaces non orientables.

Question 4.4

Laquelle de ces affirmations est correcte?

Le flux d'un champ à travers une surface

Définition et lecture physique

La formule (4.19) est celle qu'on utilise: elle ne contient aucune racine carrée. On la retient en écrivant $d S = n d S = σ_{u} \times σ_{v} d u d v$ , le vecteur élément de surface, qui porte à la fois l'aire et l'orientation du petit parallélogramme tangent. Pour un graphe orienté vers le haut, avec $F = (P, Q, R)$ et (4.4):

\iint_{Σ} F \cdot n d S = \iint_{D} (- P g_{x} - Q g_{y} + R) d x d y, (4.20)

les trois composantes étant évaluées en $(x, y, g (x, y))$ .

Pourquoi un débit. Soit $v$ le champ des vitesses d'un fluide, en $m/s$ . Pendant un court instant $Δ t$ , les particules qui traversent un petit parallélogramme d'aire $Δ S$ et de normale $n$ remplissent un prisme oblique de base $Δ S$ et d'arête $v Δ t$ . Son volume est la base multipliée par la hauteur, et la hauteur est la composante de l'arête sur la normale: $(v \cdot n) Δ t$ . Le volume qui traverse par unité de temps est donc , et en sommant,

\iint_{Σ} v \cdot n d S = d \overset{e}{ˊ} bit volumique \overset{a}{ˋ} travers Σ (m^{3} /s),

compté positivement dans le sens de $n$ . Seule la composante normale compte: un fluide qui glisse le long de la surface ne la traverse pas. Avec $F = ρ v$ (masse volumique fois vitesse), le flux est un débit massique, en $kg/s$ . En thermique, le flux du vecteur densité de courant de chaleur $q = - k \nabla T$ (loi de Fourier) est une puissance en watts; en électromagnétisme, le flux du champ électrique à travers une surface fermée mesure la charge qu'elle enferme.

Deux exemples font sentir ce que mesure un flux.

Un écoulement uniforme. Soit $F = (0, 0, 1)$ , un courant vertical de vitesse unité, et $Σ$ un graphe au-dessus de $D$ orienté vers le haut. Par (4.20), le flux vaut $\iint_{D} 1 d x d y = aire (D)$ , . Tout ce qui monte à travers le disque d'ombre traverse le graphe, et rien d'autre. Pour le paraboloïde témoin, le flux est , alors que l'aire de la surface est : les deux nombres n'ont rien à voir, parce que le flux ne «voit» que la projection de la surface perpendiculairement au courant.

Le champ de Coulomb. Une charge ponctuelle $q$ à l'origine crée le champ $E (x) = \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{x}{∥ x ∥ ^{3}}$ . Sur la sphère de rayon orientée vers l'extérieur, (exemple 4.1), donc est constant, et le flux vaut cette constante multipliée par l'aire :

\iint_{S_{R}} E \cdot n d S = \frac{q}{ε _{0}} .

Le résultat ne dépend pas de $R$ : le champ décroît en $1/ R^{2}$ exactement comme l'aire croît en $R^{2}$ . C'est la loi de Gauss de l'électrostatique; le chapitre 5 montrera qu'elle vaut pour toute surface fermée entourant la charge, parce que la divergence de $E$ est nulle hors de l'origine.

Le flux ne dépend que de l'orientation

Démonstration. Le signe est constant. La fonction $det J_{Φ}$ est continue (les dérivées partielles de $Φ$ le sont) et ne s'annule pas sur l'ouvert connexe $\overset{˚}{\tilde{D}}$ . Si elle y prenait une valeur positive et une valeur négative, elle s'annulerait, par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué le long d'un chemin joignant les deux points. Elle garde donc un signe constant $ε \in {- 1, + 1}$ , et .

Le calcul. Faisons le produit scalaire de (4.13) avec $F (\tilde{σ}) = F (σ) \circ Φ$ :

F (\tilde{σ}) \cdot (\tilde{σ}_{s} \times \tilde{σ}_{t}) = det J_{Φ} (F (σ) \cdot (σ_{u} \times σ_{v})) \circ Φ = ε (F (σ) \cdot (σ_{u} \times σ_{v})) \circ Φ ∣ det J_{Φ} ∣ .

Intégrons sur $\tilde{D}$ et appliquons la formule du changement de variables (Analyse II, théorème 9.10) à la fonction continue $F (σ) \cdot (σ_{u} \times σ_{v})$ sur $D$ : le membre de droite devient .

L'orientation. Par (4.14), $\tilde{n} = ε n \circ Φ$ : les deux paramétrages respectent la même orientation si et seulement si $ε = + 1$ . Si $ε = + 1$ , les deux intégrales (4.19) sont égales; si $ε = - 1$ , elles sont opposées, et la définition (4.18), qui corrige le signe quand le paramétrage ne respecte pas l'orientation choisie, redonne la même valeur.

La démonstration fait apparaître ce qui distingue les deux invariances. Pour l'aire, le changement de variables fait intervenir $∣ det J_{Φ} ∣$ et (4.13) fournit $∥ \cdot ∥$ de $det J_{Φ} N$ , soit exactement $∣ det J_{Φ} ∣ ∥ N ∥$ : tout s'emboîte sans condition. Pour le flux, (4.13) fournit , alors que le changement de variables réclame la valeur absolue; le signe qui reste, c'est l'orientation. C'est la situation du chapitre 2, où la longueur d'une courbe était invariante et le travail changeait de signe avec le sens de parcours.

Le flux témoin

Question 4.5

Calculez le flux du champ $F = (0, 0, z)$ à travers le paraboloïde témoin $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ , $z \geq 0$ , orienté vers le haut.

Flux à travers une surface fermée

Quand $Σ$ est la réunion de plusieurs morceaux, le flux est la somme des flux à travers les morceaux, chacun orienté de manière compatible — pour une surface fermée, tous par la normale sortante. Le cylindre plein $x^{2} + y^{2} \leq a^{2}$ , $0 \leq z \leq h$ en donne l'exemple le plus simple. Son bord comporte trois morceaux: la paroi latérale, de normale sortante par (4.6); le couvercle , de normale ; le fond , de normale . Pour , le flux à travers la paroi est

\int_{0}^{h} \int_{0}^{2 π} (a cos θ, a sin θ, 0) \cdot (a cos θ, a sin θ, 0) d θ d z = 2 π a^{2} h,

et les flux à travers le couvercle et le fond sont nuls ( $F \cdot e_{z} = 0$ ). Le flux sortant total est $2 π a^{2} h$ , soit deux fois le volume $π a^{2} h$ — et $\nabla \cdot F = 2$ . Encore le théorème de la divergence, en germe.

La même remarque éclaire le cône. Pour $F = (x, y, z)$ sur le cône $z = x^{2} + y^{2}$ paramétré par (4.7), : le flux est nul, quelle que soit la portion du cône. Géométriquement, le champ radial est au cône, dont toutes les génératrices passent par l'origine; il glisse le long de la surface sans la traverser.

Synthèse

Une surface paramétrée $σ : D \to R^{3}$ porte deux vecteurs tangents $σ_{u}$ , $σ_{v}$ ; en un point régulier, $N = σ_{u} \times σ_{v} \neq = 0$ est normal au plan tangent. Pour un graphe, vers le haut; pour la sphère, vers l'extérieur; échanger les paramètres retourne .

Série d'exercices du chapitre 4Exercice 1 sur 5

Question 4.6

Pour le graphe $z = g (x, y)$ paramétré par $(x, y)$ , quel est l'élément d'aire $d S$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 4.1 · Plan tangent à un hélicoïde

L'hélicoïde est la surface balayée par une droite horizontale qui tourne autour de l'axe $O z$ en montant régulièrement — la forme d'une vis d'Archimède ou d'un escalier en colimaçon:

σ (u, v) = (u cos v, u sin v, v), u \in R, v \in R .

Exercice 4.2 · Aire d'un tour d'hélicoïde

Calculez l'aire de la portion de l'hélicoïde de l'exercice 4.1 correspondant à $0 \leq u \leq 1$ , $0 \leq v \leq 2 π$ — une marche d'escalier en colimaçon de rayon 1, sur un tour complet. Comparez à l'aire du disque unité.

Solution

Par l'exercice 4.1, $∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥ = 1 + u^{2}$ . L'aire vaut

Exercice 4.3 · Le tore

Le tore de rayons $a > b > 0$ s'obtient en faisant tourner autour de l'axe $O z$ le cercle de rayon $b$ centré en $(a, 0, 0)$ dans le plan $O x z$ .

Montrez qu'il se paramètre par $σ (ψ, θ) = ((a + b cos ψ) cos θ, (a + b cos ψ) sin θ, b sin ψ)$ , .

Exercice 4.4 · Flux à travers un cône et un cylindre

Calculez le flux de $F = (x, y, z)$ à travers le cône $z = x^{2} + y^{2}$ , , orienté par la normale dirigée vers le bas et vers l'extérieur. Interprétez le résultat.

Exercice 4.5 · L'identité de Lagrange et le théorème de Guldin

Démontrez l'identité de Lagrange: pour tous $a, b \in R^{3}$ , $∥ a \times b ∥^{2} = ∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} - (a \cdot b)^{2}$ .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes — le chapitre sur les surfaces et les intégrales de surface, dans les notations des cours de l'EPFL.
Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, W. H. Freeman — le chapitre sur les surfaces paramétrées et les intégrales de surface; une discussion soignée de l'invariance par changement de paramétrage et de l'orientation.
Stewart, J., Analyse — concepts et contextes, vol. 2, De Boeck — de nombreux exemples de surfaces paramétrées et de calculs de flux.
Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, Pearson — les formules de surface pour les graphes et les surfaces de révolution, avec les applications physiques.
Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, Wiley — le flux et ses interprétations en mécanique des fluides et en électrostatique.

Objectifs du chapitre

Des courbes aux surfaces

Surfaces paramétrées

Définition

Points réguliers et plan tangent

Les paramétrages usuels

Le graphe d'une fonction

La sphère

Le cylindre

Le cône

Les surfaces de révolution

L'aire d'une surface

D'un petit rectangle à un petit parallélogramme

L'aire ne dépend pas du paramétrage

L'aire du paraboloïde témoin

Intégrale d'une fonction sur une surface

Définition

Orientation

Choisir un côté

La bande de Möbius

Le flux d'un champ à travers une surface

Définition et lecture physique

Le flux ne dépend que de l'orientation

Le flux témoin

Flux à travers une surface fermée

Synthèse

Exercices

Références

Le vecteur normal en sphériques

Le flux en sphériques

Le même flux comme un graphe

Et vers l'intérieur?