Rappels d'Analyse II · Analyse III

Ce cours s'appuie constamment sur l'Analyse II. Les intégrales curvilignes du chapitre 2 dérivent une fonction le long d'une courbe; le théorème de Green du chapitre 3 intègre par piles sur un domaine élémentaire; le chapitre 4 change de paramétrage sur une surface par la formule du changement de variables; le chapitre 5 calcule des intégrales triples en coordonnées sphériques; les chapitres 8, 9 et 10 dérivent des intégrales par rapport à un paramètre. Cette annexe rassemble ces outils en un seul endroit, avec des énoncés précis — hypothèses comprises — et, pour chacun, le chapitre et le théorème d'Analyse II où il est démontré. Elle ne refait pas l'Analyse II: elle donne une démonstration seulement quand celle-ci est courte et qu'elle éclaire l'usage que nous en faisons, et elle démontre en entier le seul outil que l'Analyse II n'a pas établi, la dérivation sous le signe intégrale.

Objectifs

À la fin de cette annexe, vous serez capable de:

énoncer avec leurs hypothèses la règle de dérivation le long d'une courbe, la règle de la chaîne sous forme matricielle et le théorème de Schwarz, et dire quel chapitre de ce cours s'appuie sur chacun;
calculer une intégrale double ou triple par le théorème de Fubini, en choisissant l'ordre d'intégration et en posant les bornes d'un domaine élémentaire;
appliquer le théorème du changement de variables, en particulier en coordonnées polaires, cylindriques et sphériques, avec les jacobiens $r$ , $r$ et $ρ^{2} sin φ$ ;
utiliser la convention du cours pour les coordonnées sphériques, où $φ$ est la colatitude mesurée depuis l'axe $O z$ positif, et reconnaître une formule écrite dans une autre convention;
dériver une intégrale par rapport à un paramètre en vérifiant les hypothèses qui l'autorisent, et reconnaître un cas où elles manquent.

Ce que les chapitres empruntent à cette annexe

Le tableau suivant renvoie de chaque chapitre du cours aux rappels qu'il utilise. Les numéros d'Analyse II sont ceux de la version en ligne de ce cours.

Chapitre	Ce qu'il utilise	Ici	Analyse II
1	Schwarz; coordonnées sphériques, colatitude	A.3, A.8	th. 5.1; ch. 10
2	Dérivée le long d'une courbe; dérivation sous l'intégrale	A.1, A.9	th. 4.4; non démontré
3	Fubini sur un domaine élémentaire; additivité; moyenne	A.4 à A.6	th. 9.5, 9.6, 9.8, 9.9
4	Règle de la chaîne; changement de variables	A.2, A.7	th. 4.5, 9.10, 6.3
5	Intégration par piles; moyenne en dimension 3; sphériques	A.5, A.6, A.8	th. 10.5; ch. 10
8	Intégrale de Gauss; dérivation sous domination	A.6, A.10	th. 9.12; non démontré
9	Intégrale de Gauss; dérivation sous l'intégrale	A.6, A.9	th. 9.12
10	Dérivation sous l'intégrale; coordonnées polaires	A.9, A.8	th. 9.11

Courbes, surfaces et règle de la chaîne

Courbes paramétrées et vecteur tangent

Le chapitre 2 définit avec soin un chemin $γ : [a, b] \to R^{n}$ de classe $C^{1}$ , éventuellement par morceaux, ainsi que sa régularité et son orientation. Rappelons seulement ce qu'il emprunte à l'Analyse II. Une fonction à valeurs vectorielles se dérive composante par composante: $γ$ est dérivable en $t_{0}$ si et seulement si chacune de ses composantes l'est, et

γ^{'} (t_{0}) = h \to 0 lim \frac{γ ( t _{0} + h ) - γ ( t _{0} )}{h} = (x_{1}^{'} (t_{0}), \dots, x_{n}^{'} (t_{0}))

(Analyse II, chapitre 3, théorème 3.5, dans le cas d'une seule variable de départ). Le quotient de gauche est le vecteur qui joint deux positions voisines, divisé par la durée du trajet: sa limite, le vecteur vitesse, est tangent au support. Si $γ^{'} (t_{0}) \neq = 0$ , la droite tangente en $γ (t_{0})$ est ${γ (t_{0}) + s γ^{'} (t_{0}) : s \in R}$ et le est . Si , il peut n'y avoir aucune tangente: le chemin s'arrête en et son support présente un point de rebroussement.

La question qui revient sans cesse est: comment varie une grandeur $f$ le long d'un chemin? La réponse est le premier étage de la règle de la chaîne.

L'hypothèse porte sur la différentiabilité de $f$ , pas sur la seule existence de ses dérivées partielles. En pratique on la vérifie par le théorème de différentiabilité des fonctions de classe $C^{1}$ (Analyse II, chapitre 3, théorème 3.4): si les dérivées partielles de $f$ existent et sont continues sur $U$ , alors $f$ est différentiable en tout point de $U$ . C'est la forme sous laquelle le chapitre 2 l'utilise pour démontrer le théorème du gradient (théorème 2.3): pour $F = \nabla f$ , la fonction a pour dérivée , et le théorème fondamental de l'analyse fait le reste.

La règle de la chaîne sous forme matricielle

Le deuxième étage de la règle de la chaîne est celui des changements de paramètres: $f$ dépend de $(x, y)$ , qui dépendent eux-mêmes de $(u, v)$ . Le troisième les réunit tous en un produit de matrices jacobiennes. Rappelons que la matrice jacobienne d'une application différentiable $F = (F_{1}, \dots, F_{m}) : V \subset R^{p} \to R^{m}$ est la matrice de coefficients : sa ligne est le gradient de , sa colonne est le vecteur .

Le cours utilise la forme (A.3) sous une variante vectorielle, où $f$ est remplacée par une application $σ$ à valeurs dans $R^{3}$ et où la règle s'applique composante par composante. Si $\tilde{σ} (s, t) = σ (u (s, t), v (s, t))$ , alors

\tilde{σ}_{s} = σ_{u} \frac{\partial u}{\partial s} + σ_{v} \frac{\partial v}{\partial s}, \tilde{σ}_{t} = σ_{u} \frac{\partial u}{\partial t} + σ_{v} \frac{\partial v}{\partial t} .

C'est exactement le point de départ de la démonstration du théorème 4.1 (changement de paramétrage d'une surface), d'où sort le facteur $det J$ qui rend l'aire indépendante du paramétrage. C'est aussi la règle qu'invoque le chapitre 1 pour écrire le gradient, la divergence et le laplacien en coordonnées cylindriques et sphériques (théorème 1.8).

Deux conséquences qui servent. D'abord, si $Φ$ est un difféomorphisme, en dérivant $Φ^{- 1} \circ Φ = id$ on obtient $J_{Φ^{- 1}} (Φ (u)) = J_{Φ} (u)^{- 1}$ , donc (Analyse II, relation (6.14)). Ensuite, en coordonnées polaires , , la forme (A.3) donne

\frac{\partial f}{\partial r} = cos θ \frac{\partial f}{\partial x} + sin θ \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial θ} = - r sin θ \frac{\partial f}{\partial x} + r cos θ \frac{\partial f}{\partial y} = x \frac{\partial f}{\partial y} - y \frac{\partial f}{\partial x}, (A.4)

formules que l'Analyse II établit au chapitre 4 (section sur le passage en coordonnées polaires) et dont l'exercice A.1 fait un calcul complet.

Surfaces: graphes, surfaces de niveau, surfaces paramétrées

En Analyse II, une surface de l'espace apparaît sous deux formes.

Comme graphe $z = g (x, y)$ d'une fonction différentiable: son plan tangent au point $(a, b, g (a, b))$ est $z = g (a, b) + \nabla g (a, b) \cdot (x - a, y - b)$ (Analyse II, chapitre 3, définition du plan tangent au graphe).

Le chapitre 4 remplace ces deux descriptions par une troisième, plus souple: la surface paramétrée $σ (u, v)$ , avec ses vecteurs tangents $σ_{u}$ , $σ_{v}$ et sa normale $σ_{u} \times σ_{v}$ . Un graphe en est un cas particulier, , pour lequel

σ_{x} \times σ_{y} = (1, 0, g_{x}) \times (0, 1, g_{y}) = (- g_{x}, - g_{y}, 1), ∥ σ_{x} \times σ_{y} ∥ = 1 + ∥ \nabla g ∥^{2} .

On retrouve la normale $(- g_{x}, - g_{y}, 1)$ du plan tangent au graphe. La norme d'un produit vectoriel est l'aire du parallélogramme construit sur ses deux facteurs (Algèbre linéaire, chapitre 8, théorème 8.2): c'est ce qui fait de $∥ σ_{u} \times σ_{v} ∥ d u d v$ un élément d'aire, exactement comme en est un dans le plan (section suivante).

Dérivées croisées: le théorème de Schwarz

Les deux identités fondamentales du chapitre 1, $rot (\nabla f) = 0$ et $div (rot F) = 0$ (théorèmes 1.5 et 1.6), ne disent rien d'autre que ceci: on peut échanger l'ordre de deux dérivations. La condition nécessaire pour qu'un champ soit conservatif (chapitre 2, théorème 2.7) repose sur le même fait.

Idée de la démonstration. La preuve d'Analyse II tient en une observation: l'accroissement double

Δ (h, k) = f (a + h, b + k) - f (a + h, b) - f (a, b + k) + f (a, b)

est symétrique en les deux variables. En le lisant comme un accroissement en $x$ d'une différence en $y$ , deux applications du théorème des accroissements finis donnent $Δ (h, k) = hk \partial_{y} \partial_{x} f (c, d)$ ; en le lisant dans l'autre ordre, $Δ (h, k) = hk \partial_{x} \partial_{y} f (c^{'}, d^{'})$ , les quatre nombres étant pris entre et , respectivement entre et . On divise par et l'on fait tendre vers : la des dérivées croisées au point donne l'égalité. C'est le seul endroit où l'hypothèse sert, et elle ne peut pas être retirée.

Intégrales doubles et triples

Domaines, propriétés, théorème de la moyenne

L'Analyse II construit l'intégrale double sur un pavé par des sommes de Riemann, puis l'étend à un domaine quarrable (en dimension trois: admissible), c'est-à-dire un domaine borné dont le bord est négligeable — de mesure nulle. Le critère pratique est le suivant: le graphe d'une fonction continue sur un compact est négligeable (Analyse II, théorème 9.3), donc un domaine dont le bord est une réunion finie de tels graphes est quarrable, et toute fonction continue bornée y est intégrable. Un ensemble négligeable ne change la valeur d'aucune intégrale: c'est ce qui permet de ne pas s'inquiéter du bord, d'un axe ou d'un pôle dans ce qui suit.

Ici $\int_{D}$ désigne $\iint_{D}$ ou $∭_{D}$ selon la dimension. L'additivité est ce qui permet au chapitre 3 de découper un domaine en morceaux élémentaires (théorème 3.3). La croissance a une conséquence que le cours utilise sous plusieurs formes: une fonction continue, positive, d'intégrale nulle sur un domaine d'intérieur non vide, est identiquement nulle sur ce domaine — sinon elle dépasserait la moitié de sa valeur en un point sur toute une petite boule autour de lui, et l'intégrale serait strictement positive (Analyse II, chapitre 9, remarque suivant le théorème 9.5). Le lemme de localisation du chapitre 9 (théorème 9.1) et l'unicité pour l'équation de Laplace au chapitre 3 (exercice 3.5) sont deux variantes de cet argument.

Démonstration. L'Analyse II l'énonce et le démontre pour les intégrales doubles; la démonstration n'utilise que l'encadrement et la connexité, et elle vaut telle quelle en dimension trois avec le point 4 du théorème A.4 (Analyse II, théorème 10.3). La fonction $f$ atteint sur le compact $D$ un minimum $m$ en $p_{0}$ et un maximum $M$ en $p_{1}$ ; l'encadrement donne $m \leq \overset{ˉ}{f} \leq M$ , où . Un chemin continu de à dans fait de une fonction continue qui passe de à : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend la valeur en un point .

Le chapitre 3 l'utilise en dimension deux (théorème 3.5, densités de circulation et de flux) et le chapitre 5 en dimension trois (théorème 5.2, la divergence comme flux par unité de volume): dans les deux cas on divise par l'aire ou le volume d'un petit disque ou d'une petite boule, et l'on fait tendre son rayon vers zéro.

Le théorème de Fubini

Dans cette définition, les lettres $φ_{1}$ , $φ_{2}$ sont celles de l'Analyse II et n'ont rien à voir avec la colatitude; le chapitre 3 les emploie de la même façon.

Le point 1 est démontré en Analyse II; les points 2 à 4 y sont démontrés en esquisse, en prolongeant $f$ par zéro à un pavé qui contient le domaine, le passage de Fubini aux fonctions intégrables mais discontinues étant admis. Le chapitre 3 démontre Green en appliquant le point 2 à un domaine qui est à la fois de type I et de type II, une fois dans chaque ordre (théorème 3.2); le chapitre 5 démontre le théorème de la divergence sur un solide élémentaire par le point 3 (théorème 5.1).

Intégrales impropres et intégrale de Gauss

Lorsque le domaine ou la fonction ne sont pas bornés, l'Analyse II définit l'intégrale d'une fonction positive comme la limite des intégrales sur une suite croissante de domaines compacts qui épuise le domaine; cette limite ne dépend pas de la suite choisie (Analyse II, chapitre 9, définition de l'intégrale double impropre, résultat admis). Pour une fonction de signe quelconque, on demande la convergence de l'intégrale de $∣ f ∣$ . Le théorème de Fubini reste vrai pour une intégrale impropre absolument convergente; c'est un résultat de théorie de la mesure (théorème de Fubini–Tonelli), que le chapitre 8 admet pour établir le théorème de convolution (théorème 8.5).

Le résultat le plus utilisé de cette section est l'intégrale de Gauss (Analyse II, théorème 9.12), obtenue en calculant le carré de l'intégrale comme une intégrale double en coordonnées polaires:

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π, donc \int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} d x = \frac{π}{a} (a > 0) (A.7)

par le changement de variable $x = u / a$ . Le chapitre 8 l'emploie avec $a = \frac{1}{2}$ , ce qui donne pour la gaussienne témoin (théorème 8.2); le chapitre 9 l'emploie avec , ce qui donne et montre que le noyau de la chaleur est d'intégrale (théorème 9.7).

Le changement de variables

L'énoncé

Trois remarques sur cet énoncé, qui expliquent comment le cours l'utilise.

Une bijection $C^{1}$ à jacobien non nul est un difféomorphisme. Par le théorème d'inversion locale (Analyse II, théorème 6.3), sa réciproque est automatiquement de classe $C^{1}$ . L'Analyse II énonce la version plane (théorème 9.10) avec un difféomorphisme; c'est la même hypothèse.
La dernière phrase est celle qui rend le théorème utilisable. Elle figure dans l'énoncé du théorème 10.7 d'Analyse II; en dimension deux, la remarque qui suit le théorème 9.11 la justifie pour les coordonnées polaires, en observant que la demi-droite retirée et l'origine sont négligeables. C'est elle qui permet d'intégrer en polaires sur un disque fermé, en sphériques sur une boule entière (le jacobien s'annule sur l'axe $O z$ ), et, au chapitre 4, d'appliquer le théorème 4.2 aux pôles d'une sphère ou au sommet d'un cône.
Le théorème est admis en Analyse II, pour une raison qui vaut d'être redite: la démonstration complète demande de contrôler uniformément la déformation d'une infinité de petits pavés, ce qui relève d'un cours de théorie de la mesure. Ce qui ne demande rien de tel, c'est de comprendre d'où vient le facteur $∣ det J ∣$ .

Le jacobien est un facteur de dilatation

Si $Φ (u) = A u$ est linéaire, l'image du cube unité est le parallélotope construit sur les colonnes de $A$ , de volume $∣ det A ∣$ (Analyse II, annexe A, théorème A.3); la formule (A.8) avec $f = 1$ dit alors $∣ A (Δ)∣ = ∣ det A ∣ ∣ Δ ∣$ . Si $Φ$ n'est que de classe , elle est, près de chaque point , égale à une application affine de partie linéaire à un terme près (Analyse II, chapitre 3, théorème 3.5). Une petite cellule de côtés , , accrochée en a donc pour image un petit solide de volume

vol (Φ (cellule)) = det J_{Φ} (u_{0}) Δ u Δ v Δ w (1 + ε), ε \to 0 avec la taille de la cellule .

On écrit $d V = ∣ det J_{Φ} ∣ d u d v d w$ pour résumer cette phrase. La valeur absolue est indispensable: un domaine d'intégration n'a pas d'orientation, et un jacobien négatif signale seulement que $Φ$ renverse l'orientation. Ce signe, sans importance pour une intégrale de volume, redevient toute l'histoire quand on intègre un flux: au chapitre 4, la normale d'une surface reparamétrée est multipliée par le signe de $det J_{Φ}$ (relation (4.14)).

Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques

Les trois systèmes et leurs jacobiens

C'est exactement la convention d'Analyse II (chapitre 6, section sur les changements de coordonnées, et chapitre 10, relation (10.11)), et celle que le chapitre 1 a fixée pour tout le cours. La figure A.1 la montre. Les deux systèmes de l'espace se relient par $r = ρ sin φ$ et $z = ρ cos φ$ , le $θ$ étant le même.

Démonstration. Pour les polaires, $cos θ sin θ - r sin θ r cos θ = r$ . Pour les cylindriques, la matrice jacobienne a pour dernière ligne , et le développement selon cette ligne ramène au cas polaire. Pour les sphériques, la matrice jacobienne a pour colonnes , et , où est la base locale du chapitre 1, orthonormée et directe. Le déterminant d'une matrice dont les colonnes sont les vecteurs d'une base orthonormée directe, multipliés par des scalaires, est le produit de ces scalaires: . L'Analyse II fait le même calcul par développement selon la troisième ligne.

Cette démonstration dit aussi comment retenir les jacobiens: la cellule sphérique a pour arêtes $d ρ$ (radiale), $ρ d φ$ (arc de méridien, de rayon $ρ$ ) et $ρ sin φ d θ$ (arc de parallèle, de rayon $ρ sin φ$ ), trois directions orthogonales. Le facteur $sin φ$ traduit que les parallèles se resserrent vers les pôles.

Question A.1

Quelles sont les coordonnées sphériques $(ρ, φ, θ)$ du point de coordonnées cartésiennes $(0, 3, 1)$ , avec la convention du cours?

Calculer avec les coordonnées adaptées

Question A.2

Calculez le volume du «cornet» ${ρ \leq 2, 0 \leq φ \leq π /3}$ , intérieur à la boule de rayon $2$ et au cône de demi-angle $π /3$ autour de l'axe $O z$ positif.

Dériver sous le signe intégrale

Le chapitre 2 construit un potentiel en dérivant $\int_{0}^{1} F (t x) \cdot x d t$ par rapport à $x$ (lemme de Poincaré, théorème 2.8); le chapitre 9 dérive l'énergie thermique $∭_{V} ρ c u d V$ par rapport au temps, puis l'énergie (théorème 9.4); le chapitre 10 dérive par rapport au rayon la moyenne d'une fonction harmonique sur un cercle (théorème 10.4); le chapitre 8 dérive la transformée de Fourier par rapport à (théorème 8.2). Tous invoquent le même résultat, que l'Analyse II n'a pas démontré — elle n'a établi, dans la démonstration du théorème 10.4, que la d'une intégrale dépendant d'un paramètre. Le voici, avec sa démonstration, qui est courte.

Sur un domaine d'intégration compact

Démonstration. Fixons $x_{0} \in U$ et $δ > 0$ tel que la boule fermée $\overset{ˉ}{B} = \overset{ˉ}{B} (x_{0}, δ)$ soit contenue dans . L'ensemble est compact, donc toute fonction continue y est (théorème de Heine, Analyse II, théorème 9.1).

Soit $ε > 0$ . Il existe $η \in] 0, δ]$ tel que $∣ g (x, t) - g (x_{0}, t)∣ \leq ε$ pour tout dès que . En intégrant, , où est la longueur (l'aire, le volume) de .

\frac{G ( x _{0} + h e _{i} ) - G ( x _{0} )}{h} - \int_{K} \partial_{i} g (x_{0}, t) d t \leq \int_{K} \partial_{i} g (x_{0} + c_{t} e_{i}, t) - \partial_{i} g (x_{0}, t) d t .

Par uniforme continuité de $\partial_{i} g$ sur $\overset{ˉ}{B} \times K$ , l'intégrande est majoré par $ε$ dès que $∣ h ∣ \leq η$ , puisque $∣ c_{t} ∣ \leq ∣ h ∣$ ; le membre de droite est au plus . La dérivée partielle existe donc et vaut (A.10). Sa continuité est le point 1 appliqué à . Enfin, des dérivées partielles continues font de une fonction de classe (Analyse II, théorème 3.4).

La démonstration montre où servent les hypothèses: la compacité de $\overset{ˉ}{B} \times K$ donne l'uniformité en $t$ , sans laquelle on ne pourrait pas intégrer l'estimation. C'est aussi ce qui manque lorsque $K$ n'est pas borné.

Question A.3

Soit $F (x) = \int_{0}^{1} \frac{sin ( x t )}{t} d t$ , l'intégrande valant $x$ en $t = 0$ . Dérivez sous le signe intégrale et donnez $F^{'} (π /2)$ .

Sur un domaine non borné: l'hypothèse de domination

Sur $R$ tout entier, la compacité manque et l'argument précédent ne passe plus. On le remplace par une hypothèse de domination.

Ce théorème est admis: sa démonstration naturelle passe par le théorème de convergence dominée de Lebesgue, qui appartient à un cours de théorie de la mesure. On peut en démontrer à la main des cas particuliers en coupant l'intégrale en $[- A, A]$ , où s'applique le théorème A.9, et en deux queues que la domination rend petites uniformément en $ξ$ ; mais le cas général demande le bon outil. C'est sous cette forme que le chapitre 8 l'utilise: pour la gaussienne, $g (ξ, x) = e^{- x^{2} /2} e^{- i ξ x}$ et , intégrable et indépendant de (théorème 8.2); pour la règle duale (8.10), la domination est .

Synthèse

La règle de la chaîne est un produit de matrices jacobiennes (A.2); le long d'une courbe elle s'écrit $\frac{d}{d t} f (γ (t)) = \nabla f (γ (t)) \cdot γ^{'} (t)$ (A.1) et elle demande que $f$ soit , ce que garantit la classe .

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice A.1 · La règle de la chaîne en coordonnées polaires

Soit $f (x, y) = x^{2} y$ .

Calculez $\partial f / \partial r$ et $\partial f / \partial θ$ au point $(r, θ) = (2, π /6)$ par les formules (A.4).

Exercice A.2 · Inverser l'ordre pour rendre une intégrale calculable

Calculez $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x$ . (La fonction n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles: l'ordre donné est impraticable.)

Exercice A.3 · Une intégrale triple, en sphériques et en cylindriques

Soit $B$ la boule unité fermée.

Calculez $∭_{B} z^{2} d V$ en coordonnées sphériques.
Recalculez-la en coordonnées cylindriques, par tranches horizontales.
En déduire, sans nouveau calcul, $∭_{B} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d V$ , puis contrôlez en sphériques.

Exercice A.4 · Coordonnées sphériques dilatées et ordre des variables

Pour $a, b, c > 0$ , on pose $Φ (ρ, φ, θ) = (a ρ sin φ cos θ, b ρ sin φ sin θ, c ρ cos φ)$ .

Exercice A.5 · Règle de Leibniz: une borne qui dépend du paramètre

Soient $U \subset R$ un intervalle ouvert, $g$ et $\partial_{x} g$ continues sur $U \times [a, B]$ , et $b : U \to] a, B [$ de classe . On pose .

Références

Analyse II (ce site), chapitres 3 à 6 pour le calcul différentiel, chapitres 9 et 10 pour les intégrales multiples et les changements de variables, annexe A pour le déterminant comme volume.
Douchet & Zwahlen, Calcul différentiel et intégral, PPUR.
Marsden & Tromba, Vector Calculus, Freeman.
Stewart, Analyse — concepts et contextes, vol. 2, De Boeck.
Adams & Essex, Calculus: A Complete Course, Pearson.
Polycopiés d'Analyse II et d'Analyse III de l'EPFL.

$Δ$	$V_{exact} / Δ^{3}$	$23$	écart relatif
$0, 1$	$3, 739125$	$3, 464102$	$7, 4$ %
$0, 01$	$3, 491443$	$3, 464102$	$0, 78$ %
$0, 001$	$3, 466834$	$3, 464102$	$0, 079$ %